(完整版)期权定价实验报告(E101613109黄冬璇)

广东金融学院实验报告课程名称：金融工程)tσT-σ。

tT-B.实验算例算例：考虑一个不分红利5个月欧式看涨期权：股票价格为50，执行价格为50，无风险利率为10%，波动率为40。

试构造二叉树模型，确定期权的价格。

C.实验过程在Excel 中创建欧式期权表单模型步骤为（将Excel 求解过程和输出结果截图填写在下面）（1）输入.在EXCEL 的单元格A4：A9中分别输入“标的资产”、“执行价格”、“波动率”、“到期日”、“无风险利率”和“红利”。

其中将期限为5个月的欧式期权的到期日化为单位为年，即为5/12=0.416666667年 ；并且题目中的标的资产的不考虑红利的，所以红利等于0,所以根据题目给出的要求，在对应的单元格B4：B9中分别输入初始值。

如下图：图2-1 欧式看涨期权初始值赋值后的对话框1（2）欧式看涨期权初始值赋值假定使用10期的二叉树来计算标的资产的价值，接下来我们可以根据公式teu ∆=σ和ted ∆-=σ来计算二叉树中的上行和下行的幅度，即u 和d 的值。

同时再根据公式du d e p t r --=∆计算其风险中性概率。

利用EXCEL 软件来计算，我们可以先在单元格A14：A16分别输入u 、d 和p 。

并在对应的单元格中B14：B16中分别输入公式为“=EXP(B6*SQRT(B7/B12))”，“=1/B14”和“=(EXP(B8*B7/B12)-B15)/(B14-B15)”。

得到的结果为u 的值为1.085075596及d 的值为0.921594775，p 的值为0.50513928。

计算过程和计算结果如下图：图2-2 u、d和p的计算图2-3 欧式看涨期权初始值赋值后的对话框2（3）计算每个节点的股票价格利用二叉树模型生成每个节点的股票价格。

首先，将当前的股票价格输入到单元格D12中，在命令框中输入“=B4”.在单元格E11中，输入公式“=D12*$B$14”，其含义是股票市场初始价格乘以u，生成股票价格上升后的价格。

同理，当股票下降的情况下，其股票价格应该为初始价格乘以d，在单元格E13中输入公式“=D12*$B$15”。

结果如图：图2-4 单步二叉树的结果同样的在单元格F10、F12和F14中分别输入公式“=E11*$B$14”、“=E11*$B$15”和“=E13*$B$15”。

后面各列应该输入的公式以此类推，直至将10期所有可能的股票价格节点填满。

得到的计算过程和结果如下图：图2-5 整个二叉树的计算过程图2-6 整个二叉树的计算结果（4）计算每个节点上的期权价格从上图中计算得出每个节点的股票价格，相对应的可以计算出每个节点的期权价格。

在这里应运用逐期倒推的方法。

到期日，期权的价格等于股票价格和执行价格之间的差额与0的较大值，即最后一列节点),(j N 的期权价值j N f ,为 Nj X dSu f jN jj N ,,1,0),0,max(,⋅⋅⋅=-=- 。

在图2-6所示的EXCEL 表格中，选中单元格N3，输入EXCEL 公式“=MAX(N2-$B$5,0)”用来显示与单元格N3相对应的欧式看涨期权的价格。

类似，低于每一个节点，将其对应的期权价格显示在它下面的一个单元格中。

在N 列的其他单位格以此类推，向下填充，直至把每一个节点对应的期权价格填满。

其过程如图所示：图2-7 第10期的期权价格接下来可以计算M 列（第9期）的股票价格对应的期权价格了。

又因为对于无收益的欧式看涨期权，节点（i,j ）的期权价值为])1([,11,1,j i j i t r j i f p pf e f +++∆--+=；10-≤≤N i ，i j ≤≤0在单元格M4中的期权的价值依赖于单元格N3和单元格N5，所以单元格N3中认购期权的价格为“=EXP(-$B$8*$B$7/$B$12)*(N3*$B$16+N5*(1-$B$16))”，类似，在N 列其他的股票价格对应的期权价格以此类推，其过程如下图所示：图2-8 第9期的期权价格以此规律填充每个节点对应的期权价格，直至填满整个表格，得到最初的欧式看涨期权的价格。

计算结果如图：图2-9 完整的二叉树期权定价模型的股票价格和期权价格的值由上图可以知道，利用二叉树模型期权定价计算得到欧式看涨期权的理论价格为5.99元。

B.实验算例算例：已知股票价格为50，欧式看跌期权执行价格为50，到期日为5个月，无风险利率为10%，波动率标准差为0.4。

试用有限差分法确定期权的价格。

C.实验过程 在Excel 中创建欧式期权表单模型步骤为（将Excel 求解过程和输出结果截图填写在下面） （1）输入在EXCEL 的单元格A4：A9中分别输入“期权种类”、“标的资产价格”、“执行价格”、 “期限”、“波动率”和“无风险利率”。

其中将期限为5个月的欧式期权的到期日化为单位为年，即为5/12=0.416667年 ；所以根据题目给出的要求，在对应的单元格B4：B9中分别输入初始值。

如下图：图2-10 欧式看跌期权的初始赋值1（2）有限差分法的初始赋值首先，从0时刻开始到到期日T 之间的时间分为有限个等间隔的小时间段，设5/100.0416670.04212T t N ∆===≈。

保留小数点后两位使得。

其中N=10，所以有11个时点。

其次，把资产价格的变化从0到资产的最大值也分成M 个等间隔的小价格段。

又因为该标的资产为欧式看跌期权，所以最大值S max =50，设M=10，所以有M+1=11个资产价格。

其max 50510S S M ∆===。

因为有限差分法是根据布莱克—舒尔斯—默顿期权定价模型（BSM 模型）的原理来实现的。

而BSM 期权定价模型的最基本的基础假设是标准布朗运动。

dS Sdt Sdz μσ=+ ①所以，我们可以进行变量置换，即令Z=lnS ，使得2ln ()2dZ d S dt dz σμσ==-+ ②由几何布朗运动的性质可知2ln ()2Z S t zz tσμσε∆=∆=-∆+∆∆=∆ ③根据其性质可以得知期权价格S的对数也服从布朗运动，在任意时间长度内的变化值都服从均值为、方差为的正态分布。

由连续复利的知识可以得知，实际上就是期权价格在期间的连续复利。

期权价格百分比收益率的漂移率，均值较小，当波动率越大，期望就越小。

所以在这里，我们可以看做为为了方便操作，将取值为使得等于0.1。

输出数据如下图所示：图2-11 欧式看跌期权的初始赋值2（3）用显性差分法计算期权价值根据已知的结果构造了一个共有11*11个格点的图，时间、资产价格和期权价值都仅仅在相应的格点出离散计算。

点（i,j）相对应时刻和资产价格，表示处的期权价值。

在B17：N58建立一个表格，如图所示，并在表格中的单元格B18：B58中输出等间隔的置换变量的因为该标的资产是欧式看跌期权，其行权日为它的到期日。

所以根据有限差分方法的边界条件：①T时刻的看跌期权的价值为其中，。

②S=0时，期权价值为③股票价格趋于无穷时，看跌期权的价值趋于0。

当资产价格时，在到期日，期权的支付是X，将它折现到时间t，得到：，综上将通过EXCEL来画出利用有限差分法的网格节点的记号来表示期权价格。

根据上面的边界条件，可以得知,其中。

所以在EXCEL的单元格D18中输入公式“=MAX(($B$6-$C18)*EXP(-$B$9*($B$8-D17*$B$13)),0)”；图2-13 期权价格的边界计算过程在单元格E18中输入公式“=MAX(($B$6-$C18)*EXP(-$B$9*($B$8-E17*$B$13)),0)”；以此类推到N18的单元格里。

计算结果如图：图2-14 期权价格的边界计算结果而在行权日，看跌期权的价值为。

所以对于在N列的期权价格，单元格N19的期权价格的输入公式为“=MAX($B$6-$C19,0)”。

并在excel将选中单元格N19并向下拉，可以得到N20：图2-15 到期日的期权价格计算过程结果如下：图2-16 到期日的期权价格计算结果显性差分的差分方程***1,11,1,11,j j i j j i j j i j i a f b f c f f +-+++-++=)1,,3,2,1;1,2,1,0(-⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅=M j N i ④其中 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆+∆--∆+=t j t j q r t r a j 22*21)(2111σ )1(1122*t j tr b j ∆-∆+=σ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆+∆-∆+=t j t j q r t r c j 22*21)(2111σ根据上面公式在单元格C8:N11，计算a j *,b j *,c j *的值。

在单元格D9中即a 0的值的单元格中输入公式“=(1/(1+$B$9*$B$13))*((-1*$B$9*D17*$B$13+(D17^2)*($B$7^2)*$B$13)/2)”；同样D10中即b 0的值的单元格中输入公式“=(1/(1+$B$9*$B$13))*(1-($B$7^2)*(D17^2)*$B$13)”； D11中即c 0的值的单元格中输入公式“=(1/(1+$B$9*$B$13))*(($B$9*$B$13*D17)+($B$7^2)*(D17^2)*$B$13)/2”。

同理可以得到整个单元格D9：N11里的值。

如下图：图2-17接下来，可以根据上表和公式④的差分方程推算其他格点位置（j,i ）的期权价格。

又因为显性有限差分法是从格点图外部推知内部格点期权价值的方法。

所以，我们先在单元格M19中即网点为（9,1），利用公式为：***9,11010,01010,11010,2f a f b f c f =++来求值。

所以网格点的excel 公式为：“=$N$9*N18+$N$10*N19+$N$11*N20”其中N9，N10，N11分别为101010,,a b c 。

在其他网格点中依理类推，可以得到的整个格点图如下：图2-18 显性差分法的欧式看跌期权价格格点图2-19 欧式看跌期权的价格判断结果由上图可以看出来，利用显性有限差分法来定价欧式看跌期权的价格是2.52元。

（四）基于Excel 的期权定价的蒙特卡洛模拟实验 A.实验原理期权定价蒙特卡罗模拟的步骤：1.从初始时刻的标的资产价格开始，直到到期为止，为S 取一条在dz 风险中性世界中跨越整个有效期的随机路径。

（1）将S 变化路径的有效期等分为N 个长度为t ∆的时间段，由公式t t S t t S q r t S t t S ∆+∆-+=∆+εσ)()()()()(或 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆+∆⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=∆+t t q r t S t t S σεσ2exp )()(2计算t ∆时刻的S 值。