阿诺德_数学科学与牛顿力学300年

A.I.Arnold:数学科学与天体力学300年

Prince 发表于2007/11/16 21:53:00

数学科学与天体力学300年

原载于数学传播第十三卷第四期

V.I. Arnold

高非译;王继海校

自从牛顿《自然哲学数学原理》问世至今，已整整三百年了。牛顿这一著作奠定了现代理论物理学基础，对科学发展全部进程，都产生了巨大影响。书中不少章节，现已发展成为理论，对此，已写出了成千上万的书。

1.

牛顿的书，主要为了论述如何解决如下数学问题：证明在到与吸引中心的距离平方成反比的引力作用下，被吸引物体沿椭圆运动，而吸引中心在其中一个焦点上(当初始速度足够大时，物体也可能沿其它锥截曲线──拋物线和双曲线──运动)。换句话说，即根据牛顿万有引力定律，推出刻卜勒行星第一定律(行星沿备圆轨道运行，太阳位于其中一个焦点上)。

为此目的，牛顿远远地发展了力学的数学工具，从大家熟知的牛顿三定律直到月球摄动理论。

2.

无论是万有引力定律还是牛顿定律，都不是牛顿发现的。惯性定律(牛顿第一定律)始于伽利略。惠更斯在1659年推导了圆周运动的向心力公式(为此，需要掌握牛顿第二定律)。1663年，惠更斯在伦敦皇家科学院会议上，叙述了能量和动量守值规律。

刻卜勒(1609)写道：「如果地球停止吸引，所有海水都将涌入月球。」引力平方反比定律，已见于1645年I. Biot 所著书中。

激发牛顿认真研究引力的推动力，是虎克的一封信。虎克是始建于1662年的皇家科学院的学监，根据规

定，学监有责任在每间举行的科学院会议上演示二三种证明某些自然定律的实验。这些定律不一定是他本人的发现，也可得知于和其它学者的通讯，或取自出版物等，只要求是由实验证明成立的定律。

虎克忠实地完成了自己的使命，在长达四十年的期间里，证明了大量自然规律。他个人，一生中发现的规律达五百以上。其中一些规律，至今仍以虎克命名，如弹性基本定律：回复力正比于对平衡位置的偏离。其它一些规律，被归属于另外的作者(如气体弹性定律，作为助手虎克的发现，首先在博伊尔的书中发表，现称为波义耳─马略特定律)。

3.

由于每周都必须证明几项自然规律，虎克常常很匆忙，无暇顾及自己所发现规律的数学表述。1679年底至1680年初，在与牛顿的通信中。虎克把自己关于引力的一些想法告知牛顿：

(1)被中心力所吸引的物体，当力的大小反比于距离平方时，将沿偏心的类椭圆线(即类似于椭圆的曲线)运动；

(2)实验已经证明，地球引力随高度增加而减小；

(3)如同弹性力在趋向平衡位置时变弱一样，当物体向矿井下落时，引力也将减弱，因此(在无阻力情况下)落体轨道将类似椭圆，其中心即在地球中心处。虎克未能精确确定轨道形状。看来，他用图解法积分运动方程，或者利用了某种特殊的模拟计算器(虎克曾对沿平面、球面，或者其它曲面运动的摆进行实验，他指出，这些实验，视表面不同模拟的引力规律亦不同)。

4.

虎克希望，牛顿以其卓越的数学方法，定能证明轨道的椭圆性。牛顿也的确完成了这一任务。他用几何方法的证明曾经是(而且仍然是)异常复杂，这使牛顿清楚地意识到，虎克「所断定的比他所知道的要多」。因此，在进一步的工作中，他避免引用虎克。哈雷在1686年曾劝说牛顿在《原理》中提及虎克(虎克在1666年和1674年就发表过关于引力的论文)，在与哈雷的通信中牛顿曾以一段话表达了自己关于数学家(牛顿)与物理学家(虎克)对待科学的差异，这些话时至今日仍有现实意义，牛顿写道：「发现一切的数学家，应满足于驮重的牲畜和枯燥无味的计算者的角色，而另一个人，他什么也不能证明，只是攫取一切，潜望一

切，并囊括其前辈及后人的全部荣誉」。

牛顿于1714年断言，他在1665或1666年发现了距离平方反比规律(关于苹果落地的轶闻，是牛顿的外甥女大约在1726年向伏尔泰讲述的)，而轨道的椭圆性，则是在1676或1677年证明的(即在与虎克通讯之前)。后一日期似乎是可疑的，至少，在1684年以前，牛顿从未向任何人谈过自己的证明。而且他什么也没有发表过。

早在l676年，牛顿就写道：「人应当作出抉择──或者什么都不发表，或者用一生去保卫自己的发明权。」看来，他两者都做到了：首先，他什么也未发表过；其次，不断进行关于发明权的争辩(与虎克、莱布尼兹、弗莱斯蒂得、等等)。

5.

证明轨道的椭圆性之后，牛顿仍然不认为引力定律已经证明。他注意到，地球不是一个点。当然，在吸引物体远处，其引力接近于将该质量放于物体中心点的引力。但是引力定律的导出，是建立在地球对月球的吸引和向地面落石(或苹果)这两者对比基础上的，在计算对月球的吸引时，地球尚可认为是一个点，但对石块，将是另外一种情况。需要证明，虽然地球的不同部位沿不同方向吸引石块，但其合力对石块的作用相当于将地球全部质量集中于中心。

对这一事实的几何证明(如《原理》中所叙述的，其中包括关于完整的球壳对内部点完全无吸引的证明)是要克服许多困难，这在当时也只有牛顿力所能及。

牛顿的这些定理的现代证明基于流体力学考虑，最早由拉普拉斯提出。问题在于，不可压缩流体唯一可能的球对称流，是沿径向的流，其速度与到中心的距离的平方成反比。〔这是因为，单位时间通过半径为任何值的球面的流量均相等而球面积正比于半径平方。与此同理，从中心源向外飞散的粒子(例如太阳光子)通量强度反比于到源的距离平方。〕

于是，点质量的引力场在数学上与不可压缩流体速度场一致！在此意义上，超距作用「变成」了近距作用。由此立即可得牛顿关于球的引力定理。的确，任意质量系统的引力场在质量之外具有同样的「不可压缩性」(由于总场的通量等于分通量之和，所以，不可压缩场之和也是不可压缩的)。

由球对称的质量分布所产生的引力场仍然是球对称的，在这些质量之外是不可压缩的，因此，其强度反比于到质量中心的距离。比例常数由以下条件确定：通过包含全部源的球面的通量等于源的总强度。因此，