11-5 光的吸收与辐射的半经典理论

kk W e 1 (1) k k Ck k (t ) 2 k k
(6)
因此从 k k ( k )的跃迁概率
2 sin [(k k ) t 2] ) (7) Pk k (t ) Ck(1 ( t ) k 4 2 [(k k ) 2]2 当时间t充分长以后,只有 kk 的入射光才对Ek Ek 2
(16)
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 11.5.2 自发辐射的Einstein理论 前已提及,原子自发辐射现象,在非相对论力学 框架内是无法解释的.因为按照量子力学一般原理, 如无界作用,原子的Hamilton量是守恒量,如果初始时 刻原子处于某定态,则原子将保持在该定态,不会跃 迁到低能级去. Einstein (1917)曾经提出一个很巧妙的半惟象理 论来说明原子自发辐射与吸收和受激辐射之间的关 系.按前面讨论,在强度为 ( ) 的辐射的照射下,原子 从 k 态到 k 态的跃迁速率为(设 Ek Ek )
Wk k
2
的跃迁有明显贡献.此时
Pk k (t )
t 2 W k k ((k k ) 2) 2 4
(8)
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 而跃迁速率为
d 2 2 wk k Pk k 2 Wk k (k k ) 2 Dk k E0 (k k ) dt 2 2 2 2 Dk k E02 cos 2 (k k ) (9) 2
即受激辐射系数等于吸收系数.它们都与入射强度无关. 设处于平衡态下的体系的绝对温度为T, nk 和 nk 分别 为处于能级 Ek和 Ek 上的原子数目.按Boltzmann分布律
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nk nk e
( Ek Ek )
kT
e
kk kT
(22)
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( )
比较式(25)与(26),得

2
c
2 3
kT
(26)
Akk k3k 2 3 Bkk c
(27)
再利用式(20),就求出了自发辐射系数 3 4e2k 2 k
Ak k 3 c
3
rkk
(28)
自发辐射的选择定则,与受激辐射和吸收完全相同.
wk k Bk k (kk )
(17)
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 其中
4 2 e 2 Bk k rk k 2 3
2
(18)
称为受激辐射系数.由于 r 为厄米算符,所以
Bkk Bkk
称为吸收系数.与此类似,对于从 k k 态的受激辐射, 跃迁速率为 wkk Bkk (kk ) (19) 其中 4 2 e 2 2 Bk k r k k (20) 3 2
Wk k t ikk t it it 1 t ikk t k d t C e Hk e (e e ) d t i 0 2i 0 Wk k ei(kk )t 1 ei(kk ) t 1 [ ] 2 k k k k
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常数项对于跃迁无贡献,不妨略去.因此,入射可见光对于 原子中电子的作用可表示为 H e D E0 cos t W cos t (4)
其中
W D E0 , D er
把 H 代入跃迁振幅的一级微扰公式(11.1节,式(31))
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 11.5.1 光的吸收和受激辐射 为简单起见,先假设如射光为平面单色光,其电磁强度为
E E0 cos(t k r ) { B kE k
(1)
在原子中,电子的速度 v c ,磁场对电子的作用远小 于电场作用.因此只需考虑电场的作用.此外,对于可见 光波长远大于玻尔半径,在原子大小范围中,电场变化 极微,可以看成均匀电场,即 E E0 cost (2) 它相应的电势为 (3) E r C
Akk Akk 1 (k k ) Bkk nk nk 1 Bkk e
T
1
kk kT
1
Akk kT Bkk k k
(25)
在高温极高情况下,有大量原子处于激发能级, 物体可以吸收和发射各种频率的辐射,接近于完全 黑体,此时( kT kk ),可以用Rayleigh-Jeans公式来 描述与黑体达到平衡的辐射场的强度分布,即
8 4 E02 ( ) 1 T 1 2 2 (11) d t cos t E0 ( ) 0 4 T 8 2 E 可把式(10)中 0 换为 d 8 ( ), 就得出非偏振自然光
( )
(E B )
E
引起的跃迁速率.
4 2 4 2 e 2 2 2 wk k 2 Dk k (k k ) r (k k ) k k 2 3 3
式中k为Boltzmann常数.显然,对于Ek Ek ,粒子数 nk nk (正常情况下, nk nk ),因此
nk Bk k (k k ) nk Bk k (k k )
(23)
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因此,如只有受激辐射,就无法与吸收过程达到平衡. 出自平衡的要求,必须引进自发辐射,即在式(23)右边 再加上一项,使体系能达到热平衡 nk Bk k (k k ) nk [ Bkk (k k ) Akk ] (24)
(1) k k
(5)
对于可见光, 很大.对于原子的光跃迁, kk 也很大.
量子力学教程 量子力学教程(第二版) (5)式中的两项,只当 k k 时,才有显著的贡献.为确切 起见,下面讨论原子吸收光的跃迁, Ek Ek ,此时,只当入 射光 kk ( Ek Ek ) 的情况下,才会引起 Ek Ek 的 跃迁.此时 i( ) t
Ak k称为自发辐射系数.它表示在没有外界光的照射之 下,单位时间内原子从 k 态 k 态的跃迁概率 ( Ek Ek )
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 式(24)左边是单位时间内从 Ek 到 Ek 跃迁的原子数目, 右边则是单位时间内从 Ek Ek 跃迁的原子数目. 利用式(21)、（22）与(24),得
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11.5 光的吸收与辐射的半经典理论
在光的照射下,原子可能吸收光而从低能级跃 迁到高能级,或从较高能级跃迁到低能级并放出光 . 这现象分别称为光的吸收和受激辐射.实验上还观 察到 , 如果原子本来处于激发能级 , 即使没有外界 光的照射,也可能跃迁到某些较低能级而放出光来 , 这称为自发辐射. 对于光的吸收和受激辐射现象 ,可以在非相对 论量子力学的框架中采用半经典方法来处理 .在这 里 , 原子是作为一个量子力学体系来对待 , 但辐射 场仍用一个连续变化的经典电磁场来描述 ,并未进 行量子化,即把光辐射场当作一个与时间有关的外 界微扰 . 用微扰论来近似计算原子的跃迁速率 . 但 对于自发辐射,这个办法就无能为力了.
其中 是Dk k 与 E0 的夹角.如入射光为非偏振光,光 2 cos 换为 E 偏振( 0 )的方向是完全无规则的,因此把 它对空间各方向的平均值,即
1 1 2 2 2 cos d cos d sin cos d 1 3 0 0 4 4 2
所以
2 wk k 2 Dk k E02 (k k ) 6
(10)
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 这里 E0 是角频率为 的单色光的电场强度值.以上讨论 的是理想的单色光.自然界中不存在严格的单色光.对于 这种自然光的跃迁,要对式(10)中各种频率的成分的贡献 求和.令 ( ) 表示角频率为 的电磁辐射场的能量密度. 利用 1 1 2 2 2
(12)
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 可以看出,跃迁快慢与入射光中角频率为 k k 的光强度 (k k )成比例.如入射光中没有这种频率成分,则不能引起 2 Ek Ek 两能级之间的跃迁.跃迁速率还与 rk k 成比例, 这就涉及初态与末态的性质.设 l k nlm , 宇称 ( ) 原子初态 (13) l 原子末态 k n l m , 宇称 () 考虑到 r 为奇宇称算符,只当宇称 时, rk k 才不可能为零.由此得出电偶极辐射的宇称选择定则 宇称, 改变. (14) 其次考虑角动量的选择定则.再根据球谐函数的正交 性,可以看出,只当 l l 1, m m, m 1 时 rk k 才可能 不为0.此即电偶极辐射的角动量选择定则
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Δl l l 1, Δm m m 0,1
(15)
计及电子自旋及自旋-轨道耦合作用后,电子的状态 应该用好量子数 nljm j 来描述.可以证明,电偶极辐射 的选择定则为 宇称, 改变
Δl 1 Δj 0,1; Δm j 0,1