集合论与图论试题A

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集合论与图论答案第一章习题

若存在 Gfi ,Gf j (i j) ，使得 Gfi Gf j 且 Gf j Gfi ，则结论成立。
反证法：假设不存在 G fi 和 G f j 满足 Gfi Gf j 且 Gf j Gfi 。于是
i, j(i j),Gfi与Gf j 应满足： Gfi Gf j 或 Gf j Gfi 必有一个成立。
设 A 1, B 2，则 2A ,1, 2B ,2 。 2A 2B ,1,2，而 A B 1, 2, 2A B ,1,2,1, 2，
所以 2A 2B 2A B 。例 5 (多项选择)设集合 A 是以空集为唯一元素的集合，集合 B 22A ，则下列各式那个正确？
(1) B ；(2) B ；(3) B ；(4), B ；(5), B 。
i 1
n
x Mn \ Nn MnNn (NiMi ) 。
i 1
n
综上可得： NnQn (NiMi ) 。
i 1
例 4 (P225 ) 设 A, B 为集合，证明： A B B A 充要条件是下列三个条件至少一个成立：（1） A ；（2） B ；（3） A B 。
1．若 A B B A ，则 A 或 B 。
即{x} B ，所以 x B ，即 A B 。
（2） P(A) P(B) (P(A) P(B)) (P(B) P(A)) ABB A AB。
例 4 设 A, B 是两个任意集合，证明： (1) 2A 2B 2A B ；(2) 2A 2B 2A B ；(3) 举例说明 2A 2B 2A B 。其中 2A 表示集合 A 的幂集。证：(1) 证 2A 2B 2A B 。 x 2A 2B ，有 x 2A 或 x 2B 。若 x 2A ，则 x A ，而 A A B ，故 x A B ，因此 x 2A B 。同理，若 x 2B ，也有 x 2A B 。因此 2A 2B 2A B 。 (2) 证 2A 2B 2A B 。证 x 2A 2B x 2A 且 x 2B x A且 x B x A B x2A B 。所以 2A 2B 2A B 。 (3) 下面举例说明 2A 2B 2A B 。

答案08秋季集合论与图论试题A

本试卷满分90分(计算机科学与技术学院07级)10分，每小题各1 分)B ，则A 等于什么？2. 设X 为集合，R 为X 上的偏序关系，计算U R ，等于什么?i 1(R )3. 把置换123456789分解成循环置换的乘积。

436987251((149) (2367) (58))4. 什么是无穷集合？(凡能与自身的一个真子集对等的集称为无穷集合)5 .设T 是一棵树，p 2，贝U p 个顶点的树T 至多有多少个割点？(p -2 )6. 设D 是一个有p 个顶点q 条弧的有向图，若D 是连通的，则q 至少是多大？ ( p -17. 设V {1,2, , n}，则以V 为顶点集的无向图共有多少个？8.设V {1,2, , n}，则以V 为顶点集的有向图共有多少个？ 2p(p1))哈工大2008年秋季学期注意行为规范一、填空(本题满分1.设A,B 是集合，若A B遵守考场纪律(2 P (P 1)/29.每个有3个支的不连通图，若每个顶点的度均大于或等于2,则该图至少有多少个圈？（ 3 ）10.设T是一个正则二元树，它有n。

个叶子，则T有多少条弧？（2（n0-1 ））二、判断对错（本题满分10分，每小题各1分）1.设A,B是两个集合，则A B且A B不可能同时成立。

（错）2.在集合｛1,2, ,10｝上可以定义210个二元运算。

（错）3 . 设f：X Y , 若是可逆的。

（错）是一个集合，则上的自反和反自反的二元关系个数相同。

（对）5.设为一个有限字母表，上所有字（包括空字）之集记为。

则不是可数集。

（错）6.设G是一个（p,q）图，若q p，则G中必有圈。

（对）7.若G是一个(p,p)连通图，则G至多有p个生成树。

(对)8.设r 2，G是r正则图且顶点连通度为1，贝U (G) r。

(对)9.把平面分成p个区域，每两个区域都相邻，则p最大为5。

(错)10.有向图的每一条弧必在某个强支中。

北工大-集合与图论习题整理版

习题集（一）一、填空1．设}7|{)},5()(|{<∈=<∈=+x E x x B x N x x A 且且（N ：自然数集，E + 正偶数）则 =⋃B A 。

2．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为。

6．设A={1，2，3，4}，A 上关系图为则 R 2 = 。

7．设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图为则 R= 。

8．图的补图为。

二、选择2、下列集合中相等的有（）A ．{4，3}Φ⋃；B ．{Φ，3，4}；C ．{4，Φ，3，3}；D ． {3，4}。

3、设A={1，2，3}，则A上的二元关系有（）个。

A．23 ；B．32 ；C．332⨯；D．223⨯。

4、设R，S是集合A上的关系，则下列说法正确的是（）R 是自反的；A．若R，S 是自反的，则SR 是反自反的；B．若R，S 是反自反的，则SR 是对称的；C．若R，S 是对称的，则SR 是传递的。

D．若R，S 是传递的，则S5、设A={1，2，3，4}，P（A）（A的幂集）上规定二元系如下t st spR=∈=则P（A）/ R=（）<>A∧s(||||})(,{t|,A．A ；B．P(A) ；C．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}}；D．{{Φ}，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}}6、设A={Φ，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A上包含关系“⊆”的哈斯图为（）7、下列函数是双射的为（）A．f : I→E , f (x) = 2x ；B．f : N→N⨯N, f (n) = <n , n+1> ；C．f : R→I , f (x) = [x] ；D．f :I→N, f (x) = | x | 。

（注：I—整数集，E—偶数集，N—自然数集，R—实数集）8、图中从v1到v3长度为3 的通路有（）条。

A．0；B．1；C．2；D．3。

哈工大2005年秋季学期《集合论与图论》试题

集合论与图论计算机学院05年秋季一、解答下列问题，要求只给出答案（每题2分，共16分）1.设A B 、为集合，试求一个集合X ，合得A X B ∆=。

（ A B ∆ ）2.设{}1,2,3,4A =，{}1,2B =，试求从A 到B 的满射的个数。

（42214-=）3.设{}1,2,,10A = ，试求A 上反自反二无关系的个数。

（29022n n -=）4.设{}12,,,p A u u u = ，()112q p p ≤-。

试求以V 为顶点集具有条边的无向图的个数。

（ ⎝⎛-2/)1(p p q）5.设T 是一个有P 个顶点的正则二元树，试求下的叶子数，其中P 是奇数。

（12P +）6.正整数m 和n 为什么值时,Km n 为欧拉图？（m n 和为偶数）7.设(),G V E =为无向图，,V P E P ==。

如果G 是边通图，那么G 至少有几个生成树？（3个）8. 具有p 个顶点q 条边的平面连通图中，p 和q 应满足什么样的关系式？(36q p ≤-)二、以下各题要求只给出答案（每题2分，共14分）１.设{}()()(){},,,,,,,,,X a b c d R a b b c c a ==，试求R 的传递闭包。

（()()()()()()()()(),,,,,,,,,,a a b b c c a b b c c a a c b a c b ，，，，，，，）2.将置换（123456789791652348）分解为循环置换的乘积，然后分解成对换的乘积()()()()()()()()()173298465171329282426=。

3.设0000010110100000010000000A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦12345110000210110310100410110500001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 如果A 4.设{}{}0,1,,,,,,,B E a b c x y z == 。

集合论与图论试题与参考答案哈工大本科

哈尔滨工业大学（威海）继续教育学院年春季学期集合与图论本科试题考试形式：开卷答题时间：90 分钟本卷面成绩站课程成绩100 %（所有答案必须写在答题纸上、标清题号）一、填空题(每空2分，计20分)1. 集合{0}的所有子集是______________。

2. 设A={1,2,3,{1,2},{3}}，B={2,{1},{2,3}}，则B- A=__________。

3. 有偏序集(N,≤)，即自然数集N上的小于等于关系，N的子集A={2,3,6,8}的下确界和上确界分别是______、_______。

4. 设A={1,2,3,4,5,6}，R={<1,5>,<2,3>,<2,6>,<3,2>,<3,6>,<5,1>, <6,2>,<6,3>}∪I A，则[1]=_____________，[2]=_______________。

5. n个顶点的有向完全图边数是______，每个顶点的度数是_____。

6. 设图G1=<V1, E1>和G2=<V2, E2>，若____________，则G2是G1的真子图；若____________，则G2是G1的生成子图。

二、简答题(每题 10 分，计 40 分)1. 设A是一个非空集合，问(1)A上是否存在一个既是等价关系又是偏序关系的关系？若不存在，请说明理由；若存在，请给出一个实例。

(2) A上是否存在一个既是自反的又是反自反的关系？若不存在，请说明理由；若存在，请给出一个实例。

2. 是否存在每个顶点的度数≥3且只有7条边的简单平面连通图？请说明理由。

3. 某公司来了9名新员工，工作时间不能互相交谈，为了尽快互相了解，他们决定利用每天吃午饭时间相互交谈，于是，每天吃午饭时他们围在一张圆桌旁坐下，他们是这样安排的，每一次每人的左右邻均与以前的人不同，问这样的安排法能坚持多久？4. 有向图D如图所示，(1) 给出D的邻接矩阵A；(2) D中长度为1, 2, 3, 4的通路各有多少条？其中回路分别为多少条？(3) D中长度小于或等于4的通路为多少条？其中有多少条回路？三、计算题(每题 10 分，计 20 分)1. 设A ＝{a, b, c, d}，R 是A 上的二元关系，且R ＝{<a, b>, <b, a>, <b, c>, <c, d>}，求r(R)、s(R)和t(R)。

集合论与图论习题册

集合论与图论习题册软件基础教研室刘峰2019.03第一章集合及其运算8P 习题1. 写出方程2210x x ++=的根所构成的集合。

2.下列命题中哪些是真的，哪些为假a)对每个集A ，A φ∈； b)对每个集A ，A φ⊆； c)对每个集A ，{}A A ∈； d)对每个集A ，A A ∈； e)对每个集A ，A A ⊆； f)对每个集A ，{}A A ⊆； g)对每个集A ，2A A ∈；h)对每个集A ，2A A ⊆；i)对每个集A ，{}2A A ⊆； j)对每个集A ，{}2A A ∈； k)对每个集A ，2A φ∈；l)对每个集A ，2A φ⊆；m)对每个集A ，{}A A =； n) {}φφ=；o){}φ中没有任何元素；p)若A B ⊆，则22A B ⊆q)对任何集A ，{|}A x x A =∈； r)对任何集A ，{|}{|}x x A y y A ∈=∈； s)对任何集A ，{|}y A y x x A ∈⇔∈∈； t)对任何集A ，{|}{|}x x A A A A ∈≠∈。

答案：3.设有n 个集合12,,,n A A A 且121n A A A A ⊆⊆⊆⊆，试证：12n A A A ===。

4.设{,{}}S φφ=，试求2S ？5.设S 恰有n 个元素，证明2S 有2n 个元素。

16P 习题 6.设A 、B 是集合，证明:(\)()\A B B A B B B φ=⇔=。

7.设A 、B 是集合，试证A B A B φ=⇔=∆。

9.设A ，B ，C 为集合，证明：\()(\)\A B C A B C =。

10.设A ，B ，C 为集合，证明：()\(\)(\)A B C A C B C =。

11.设A ，B ，C 为集合，证明：()\(\)(\)A B C A C B C =。

12.设A ，B ，C 都是集合，若A B A C =且A B B C =，试证B=C 。

集合论与图论参考答案

℘({∅, {∅}}) = {∅, {∅}, {∅, {∅}} }
这是错误的，记住对任意的集合A，℘(A)中的元素个数总是2的幂，所以不可能是3个元素。注意下面几个集合的差别：
∅
{∅}
{{∅}}
{{{∅}}}
对于(3)，有些同学没有想到上面的说明方法，对于计算℘℘℘({∅})又没有耐心，所以要么计算错，要么直接写上了答案（我怀疑是参考别人的答案）。对于(4)，很多同学忘记了 ℘(A) = A这个等式，而在计算时也有不少同学出错，最多错的答案是：
(1) A ∪ B ∪ C ∪ D = {−7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 16, 18, 21, 24, 27, 30, 32, 64}
(2) A ∩ B ∩ C ∩ D = ∅ (3) B − (A ∪ C) = {−7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 4, 5, }
若且，则。 (5) A∈B B∈C A∈C
解答：
(1) 该命题为真。因为B ⊆ C意味着对任意的x，若x∈B，则x∈C，因此若A∈B，则A∈C。
该命题为假。例如，则及，但。的子 (2)
A = {1}, B = {{1}}, C = {{1}, 2} A∈B B ⊆ C A ⊆ C C
由，就得到。 A∪ ∼ A = E B ∩ E = B, C ∩ E = C
B=C
点评：这一比较简单，类似课堂上举的例子：A ∩ B = A ∩ 且C A ∪ B = A ∪ C蕴含B = C，但有
些同学没有认真听课，而没有想到这一点。
作业1.8 化简下列各式

北工大-集合与图论选择题

1、在0 Φ之间应填入（）符号。

A 、= ；B 、⊂；C 、∈；D 、∉。

2、设A={{1，2，3}，{4，5}，{6，7，8}}，下列各式中（）是错的。

A 、A ⊆Φ；B 、{6，7，8}∈A ；C 、{{4，5}}⊂A ；D 、{1，2，3}⊂A 。

3、下列结论中，( ) 为正确的。

A 、{Ф}∈{Ф,{{Ф}}} ；B 、{Ф}⊆{Ф,{{Ф}}}；C 、Ф∈{{Ф}}；D 、{a,b}∈{a,b,{a},{b}}。

4、下列结论中，( )是正确的。

A 、所有空集都不相等；B 、{Ф}≠Ф；C 、{Ф}=Ф；D 、若A 为非空集，则A ⊂A 成立。

5、设P={x|(x+1)2≤4且x ∈R},Q={x|5≤x 2+16且x ∈R}，则结论（）正确。

A 、Q ⊂P ；B 、Q ⊆P ；C 、P ⊂Q ；D 、P=Q 。

6、下列各式中， ( ) 是对的。

A 、{a,b}={x|(x-a)(x-b)(x-c)=0}；B 、{a,b,c} ={x|(x-a)(x-b)(x-c)=0}；C 、{b,a}={x|x 2-(a+b)x+ab=0}；D 、{b,a}={a,b,c}。

7、设A={1，2，3，4，5}，下面（）集合等于A 。

A 、{1，2，3，4，5，6}；B 、}25{2≤x x x 是整数且； C 、}5{≤x x x 是正整数且；D 、}5{≤x x x 是正有理数且。

8、设S 1={1，2，…，8，9}，S 2={2，4，6，8}，S 3={1，3，5，7，9}，S 4={3，4，5}，S 5={5}，在条件31S X S X ⊄⊆且下X 与（）集合相等。

A 、S 2或S 5 ；B 、S 4或S 5；C 、S 1，S 2或S 4；D 、X 与S 1，…，S 5中任何集合都不等。

9、设}}2,1{},1{,{Φ=S ，则有（）S ⊆。

A 、{{1,2}}；B 、{1,2 }；C 、{1}；D 、{2}。

集合论与图论基础题

集合论与图论基础题在数学中，集合论和图论是两个重要的分支。

集合论研究元素的归类和组织，而图论研究元素之间的关系和连接。

本文将通过一些基础题目来介绍集合论和图论的基本概念和应用。

1. 集合论1.1. 基本概念在集合论中，我们首先需要了解集合的概念及其相关术语。

一个集合是由一些确定的元素组成的整体。

通常用大写字母表示集合，而集合中的元素用小写字母表示。

例如，集合A={1, 2, 3}表示一个包含元素1、2和3的集合。

1.2. 集合的运算在集合论中，还有一些常见的集合运算：并集、交集和补集。

- 并集（Union）：将两个或多个集合中的元素合并成一个集合。

记作A∪B，表示包含了属于集合A或集合B的所有元素。

- 交集（Intersection）：将两个或多个集合中共有的元素取出来，形成一个新的集合。

记作A∩B，表示包含了同时属于集合A和集合B的所有元素。

- 补集（Complement）：给定一个全集U和一个集合A，A对于U 的补集是指在U中但不在集合A中的元素组成的集合。

记作A'或者A^c，表示不属于A的所有元素。

1.3. 集合的关系在集合论中，还可以通过比较集合的元素来描述集合之间的关系。

- 包含关系：如果集合A中的所有元素都属于集合B，我们称集合A是集合B的子集，记作A⊆B。

- 相等关系：如果两个集合A和B具有相同的元素，互相包含对方的所有元素，我们称它们相等，记作A=B。

- 真子集：如果集合A是集合B的子集，但集合A和集合B不相等，我们称集合A是集合B的真子集，记作A⊂B。

2. 图论2.1. 基本概念图是由一些顶点和连接这些顶点的边组成的数学结构。

图论研究顶点和边之间的关系及其相关性质。

2.2. 有向图与无向图图可以分为有向图和无向图两种类型。

- 有向图：图中的边有方向，连接顶点A和顶点B的边从A指向B，记作(A, B)。

- 无向图：图中的边没有方向，连接顶点A和顶点B的边可以从A到B，也可以从B到A，不加箭头表示。

集合论与图论期末考试试题 A 卷,2008年1月

1 2 3 4 5 6 1 1 2 1 3 2 3 2 4 2 5 3 5 4 5 4 6 5 6 1 1 2 3 4 5 6
0 1 2 3 4 5
0
1/v1 1 /v1
4/v1 3/v2 3 /v2
∞ 8/v2 8/v2 7/v5 7 /v5
∞ 6/v2 4/v3 4 /v3
∞ ∞ ∞ 10/v5 9/v4 9 /v4
解答：由不饱和点x 出发构造增广路径P ：
u eu x1 •
y1
3 4 5 2g www gg qqq g PPg gg ww g {{ {{ P q g { q PPqqg gg ww g {{ {{ g { q w gg ww {g qq PP ggg {{ gg ww {{{ g PP gg {{{ qqqq www gg {{ g g { PP g{ g g { qq ww {g PP {{{{gggg qqq {{ ggg wwww g q g { q wq g g g P{ g g {{ {{PP qqqwww ww g ggg ggg {{ { q q P { { gg g { PP qqqggg www {{ g g {{{ ww qqq {{
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《集合论与图论》期末考试试题（A 卷，2008年1月）
设R和S是非空集A上的等价关系，则下面的关系中是等价关系的是：
A. (A × A) − R B. R◦R C. R−S D.
设R和S是非空集A上的等价关系，则下面命题中正确的是： A A. 若R和S 是自反的，则R ◦ S也是自反的 B. 若R和S 是对称的，则R ◦ S也是对称的 C. 若R和S 是反对称的，则R ◦ S也是反对称的 D. 若R和S 是传递的，则R ◦ S也是传递的 4. 设f ◦ g 是满函数，则： A A. f 必定是满函数 B. f 必定是单函数 C. g 必定是满函数 D. g 必定是单函数 5. 记Z是整数集合，函数f : Z→Z定义为，∀x ∈ Z, f (x) = |x| − 2x，则f 是： A A. 单函数 B. 满函数 C. 双函数 D. 既不是单函数也不是满函数 6. 下列哪个序列不可能构成一个图的结点度数序列？ C

大学集合论与图论期末考试复习资料

集合论与图论JK211009——在线考试复习资料2021版一、单选题1.设G是简单有向图,可达矩阵P(G)刻画下列关系中的是()A.点与边B.边与点C.点与点D.边与边答案：C2.A.6B.5C.4D.3答案：B3.图中满足以下哪个条件?()A.有欧拉回路和哈密尔顿回路B.有欧拉回路,但无哈密尔顿回路C.无欧拉回路,但有哈密尔顿回路D.既无欧拉回路,又无哈密尔顿回路答案：D4.A.B.C.D.答案：B5.下面不能成为图的度数序列是()A.(1,2,3,4)B.(1,2,3,6)C.(1,3,5,7)D.(1,3,4,9)答案：D6.设简单无向图G有15条边,有3个4度结点,有4个3度结点,其余结点的度数均为2,那么G的结点总数为()A.9B.10C.11D.12答案：B7.如图所示,以下说法正确的是()A.e是割点B.{a,e}是点割集C.{b,e}是点割集D.{d}是点割集答案：A8.图G和G1的结点以及边分别存在一一对应关系,此对应关系是两图同构的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也非必要条件答案：B9.设顶点集为V={a,b,c,d,e},下列几个无向图是简单图的有()A.G1=(V,E1),E1={(a,b),(b,c),(c,b),(a,e)}B.G2=(V,E2),E2={(a,b),(b,c),(c,a),(a,d),(d,e)}C.G3=(V,E3),E3={(a,b),(b,c),(c,d),(e,e)}D.G4=(V,E4),E4={(a,a),(a,b),(c,c),(c,e)}答案：B10.若R是集合A上的等价关系,则下面哪个不一定满足()A.B.R2=RC.t(R)=RD.R-1=R答案：A11.A.B.C.D.答案：A12.A.B.C.D.答案：A13.下列哪个关系矩阵具有反自反性?()A.B.C.D.答案：A14.设集合A={1,2,3,4},A上的等价关系R={<1,3>,<3,1>,<2,4>,<4,2>}∪I A,则对应于R的A划分是()A.B.C.D.答案：B15.设集合A={1,2,3,4}上的二元关系,R={<1,1>,<2,2>,<2,3>,<4,4>},S={<1,1>,<2,2>,<2,3>,<3,2>,<4,4>},则S是R的()A.自反闭包B.传递闭包C.对称闭包D..不是任何闭包答案：C16.哈密尔顿回路是()A.只是简单回路B.是基本回路,但不是简单回路C.既是基本回路也是简单回路D.既非基本回路也非简单回路答案：C17.设A={1,2,3,4,5,6,7,8},R是A上的整除关系,B={2,4,6},则集合的最大元、最小元、上界、下界依次为()A.8、2、8、2B.无、2、无、2C.6、2、6、2D.8、1、6、1答案：B18.下列各组数中不能构成无向图的度数序列的是()A.(1,1,2,3,5)B.(1,3,1,3,2)C.(1,2,3,4,5)D.(1,2,3,4,6)答案：C19.A.自反的B.对称的C.传递且对称的D.反自反且传递的答案：B20.图中满足以下哪个条件?()A.有欧拉回路和哈密尔顿回路B.有欧拉回路,但无哈密尔顿回路C.无欧拉回路,但有哈密尔顿回路D.既无欧拉回路,又无哈密尔顿回路答案：B21.设A={a,{a}},下列命题错误的是()A.B.C.D.答案：A22.设G1、G2、G3、G4都是(4,3)的简单无向图,则它们之间至少有几个是同构的?()A.2个B.3个C.4个D.可能都不同构答案：B23.若集合A的元素个数为4,则其幂集的元素个数为()A.1个B.4个C.8个D.16个答案：D24.设结点集V={a,b,c,d},则下列与V构成强连通图的边集的是()A.E1={<a,d>,<b,a>,<b,d>,<c,b>,<d,c>}B.E2={<a,d>,<b,a>,<b,c>,<b,d>,<d,c>}C.E3={<a,c>,<b,a>,<b,c>,<d,a>,<d,c>}D.E4={<a,b>,<a,c>,<a,d>,<b,d>,<c,d>}答案：A25.在0()之间写上正确的符号。

集合论、图论重要习题100

例：1、设A,B是两个集合,B≠¢,试证:若A×B=B×B, 则A=B。

2、设A,B,C,D是任意四个集合，证明：（A∩B)×(C∩D)=(A×C)∩(B×D)3、某班30名学生中学英语有7人，学日语有5人，这两科都选有3人，问两科都不选的有多少人？(|AC∩BC|+|A∪B|=30, |AC∩BC|=21人)4、令N={1,2,3,…}，S:N→N，则(1)∀n∈N,S(n)=n+1,Ｓ称为自然数集N上的后继函数。

(2)S(1)=1,∀n∈N,S(n)=n-1,n≥2,Ｓ称为自然数集N 上的前仆函数。

5、设f:N×N →N,f((x,y))=xy。

则（1）说明f是否是单射、满射或双射？（2）求f(N×{1}),f-1({0})。

(1,4)≠(2,2),f((1,4))=f((2,2))=4；∀y∈N,f((1,y))=1·y=y,任一元都有原象；[f不是单射,f是满射]f(N×{1})={n·1|n ∈N}=N；f-1({0})={(x,y)|xy=0}={N×{0}}⋃{{0}×N}。

6、设R、I、N是实数、整数、自然数集合，下面定义映射f1,f2,f3,f4,f5,f6，试确定它们的性质。

（0 ∈N）（1）f1:R→R,f1(x)=2x；（2）f2:I→N,f2(x)=|x|；f1单射，不是满射。

f2不是单射，满射。

（3）f3:N→N,f3(n)=n(mod3)；（4）f4:N→N×N,f4(n)=(n,n+1)；f3不是单射，不是满射；f4单射，不是满射。

（5）f5:R→R,f5(x)=x+2；（6）f6:R→R,f6(x)=x2,x≥0,f6(x)=-2,x<0；f5是双射(单射,满射)；f6不是单射,不是满射。

7、证明：在52个正整数中，必有两个整数，使得这两个整数之和或差能被100整除。

哈工大2006年秋季学期《集合论与图论》试题

哈工大2006年秋季学期《集合论与图论》试题哈工大 2006年秋季学期《集合论与图论》试题本试题满分90，平时作业分满分10分。

一、（10分，每小题1分）判断下列各命题真伪（真命题打“√”号，假命题打“×”号）：1．从{1，2，3}到{4，5}共有9个不同的映射。

（）2．从{1，2，3}到{4，5}共有5个不同的满射。

（）3．从{4，5}到{1，2，3}共3个不同的单射。

（）4．集合{1，2，…，10}上共有2100个不同的二元关系。

（）5．如果A为可数集，则2A也是可数集合。

（）6．欧拉图中没有割点。

（）7．有向图的每一条弧必在某个强支中。

（）8．P为正整数，Kp的顶点连通度为P－1。

（）9．（P，P）连通图至少有2个生成树。

（）10．每个有2个支的不连通图，若每个顶点的度均大于或等于2，则该图至少有2个圈。

（）二、（20分，每小题2分）计算题。

对每一小题给出计算结果：1．{1，2，…，n}上有多少个反自反且对称的二元关系？（）2．把置换123456789579413826分解成循环置换的乘积。

（）3．计算下面两个图G1和G2的色数。

（）G1：G2：（答：G1的色数为，G2的色数为）4．设X为集合，R为X上的偏序关系，计算1iiR ∞=等于什么。

（）5．求下面的有向图D的邻接矩阵和可达矩阵。

D=-------------------：（）6．一个有向图D=(V，A)满足什么条件是V到V的一个映射的图？（）7．P个顶点的无向连通图G的邻接矩阵中至少有多少个1？（）8．设X为n 个元素的集合，X上有多少个二元运算？（）9．9个学生，每个学生向其他学生中的3个学生各送一张贺年卡。

确定能否使每个学生收到的卡均来自其送过卡的相同人？为什么？（）10．某次会议有100人参加，每人可以是诚实的，也可能是虚伪的。

已经知道下面两项事实：（1）这100人中至少有一人是诚实的；（2）任两人中至少有一人是虚伪的。

离散数学考试试题及答案

离散数学考试试题及答案离散数学考试试题及答案离散数学是计算机科学和数学中的一门重要学科，它研究的是离散的结构和对象。

离散数学的理论和方法在计算机科学、信息科学、通信工程等领域具有广泛的应用。

下面将为大家提供一些离散数学考试试题及答案，希望对大家的学习和复习有所帮助。

1. 集合论题目(1) 设A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5,6,7}，求A∪B的结果。

答案：A∪B={1,2,3,4,5,6,7}(2) 设A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5,6,7}，求A∩B的结果。

答案：A∩B={3,4,5}(3) 设A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5,6,7}，求A-B的结果。

答案：A-B={1,2}2. 图论题目(1) 给定一个无向图G，顶点集为V={A,B,C,D,E}，边集为E={(A,B),(A,C),(B,D),(C,D),(D,E)}，求该图的邻接矩阵。

答案：邻接矩阵为：A B C D EA 0 1 1 0 0B 1 0 0 1 0C 1 0 0 1 0D 0 1 1 0 1E 0 0 0 1 0(2) 给定一个有向图G，顶点集为V={A,B,C,D,E}，边集为E={(A,B),(B,C),(C,D),(D,E),(E,A)}，求该图的邻接表。

答案：邻接表为：A ->B ->C ->D ->E -> AB -> CC -> DD -> EE -> A3. 命题逻辑题目(1) 判断以下命题是否为永真式：(p∨q)∧(¬p∨r)∧(¬q∨¬r)。

答案：是永真式。

(2) 给定命题p：如果天晴，那么我去游泳；命题q：我没有去游泳。

请判断以下命题的真假：(¬p∨q)∧(p∨¬q)。

答案：是真命题。

4. 关系代数题目(1) 给定关系R(A,B,C)和S(B,C,D)，求R⋈S的结果。

《集合与图论》习题

第一章习题1．画出具有4个顶点的所有无向图(同构的只算一个)。

2．画出具有3个顶点的所有有向图(同构的只算一个)。

3．画出具有4个、6个、8个顶点的三次图。

4．某次宴会上，许多人互相握手。

证明：握过奇数次手的人数为偶数(注意，0是偶数)。

5．证明：哥尼斯堡七桥问题无解。

6．设u与v是图G的两个不同顶点。

假设u与v间有两条不同的通道(迹)，那么G中是否有回路？7．证明：一个连通的(p，q)图中q ≥p-1。

8．设G是一个(p，q)图，δ(G)≥[p/2]，试证G是连通的。

9．证明：在一个连通图中，两条最长的路有一个公共的顶点。

10．在一个有n个人的宴会上，每个人至少有m个朋友(2≤m≤n)。

试证：有不少于m+1个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人的左、右均是他的朋友。

11．一个图G是连通的，当且仅当将V划分成两个非空子集V1和V2时，G总有一条联结V1的一个顶点与V2的一个顶点的边。

12．设G是图。

证明：假设δ(G)≥ 2，那么G包含长至少是δ(G)+1的回路。

13．设G是一个(p，q)图，证明：(a)q≥p，那么G中有回路；(b)假设q≥p+4，那么G包含两个边不重的回路。

14．证明：假设图G不是连通图，那么G c 是连通图。

15．设G是个(p，q)图，试证：(a)δ(G)·δ(G C)≤[(p-1)/2]([(p+1)/2]+1)，假设p≡0，1，2(mod 4)(b) δ(G)·δ(G C)≤[(p-3)/2]·[(p+1)/2]，假设p≡3(mod 4)16．证明：每一个自补图有4n或4n+1个顶点。

17．构造一个有2n个顶点而没有三角形的三次图，其中n≥3。

18.给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子，使得每一对不邻接的顶点u和v，均有degu+degv≥919．试求Kp中不同的哈密顿回路的个数。

20．试证：图四中的图不是哈密顿图。

21．完全偶图Km，n为哈密顿图的充分必要条件是什么？22．菱形12面体的外表上有无哈密顿回路？23．设G是一个p(p≥3)个顶点的图。

哈工大2004年秋季学期《集合论与图论》试题答案

《集合论与图论》试题哈工大2004/2005年秋季学期参考答案一、1．｛2，5，6｝ 2．３．２４４．２４５．６６．５７．２162６８．９．１０．４122164二、１．２． rq C 222n n+ ３．{( ４． P ＝2n －1 ５．q －p ＋1６．m ＝n ７．４８．()９．不存在１０．没有零因子，若有零因子,),(,)}a c a b (1),, (2),,,a b N a b N r R n N rn N nr N ∀∈−∈∀∈∈∈∈0a ≠，则存在b ≠0，使得，0ab ob ==由消去律有矛盾 0a =三、（1） p ＝6，q ＝9（2）不一定是平面图。

如K 3,3就不是平面图．（3）G 一定是哈密顿图。

因为对任一对不相邻的顶点,u v V ∈，degu ＋degv ≥p ＝6 G 不是平面图。

因为G 的顶点度数不全是偶数。

四、1.解1：a 与a -1，b 与b -1同阶，故ab 与a -1 b -1＝（ba ）-1同阶。

而（ba ）-1与ab 同阶，故ab与ba 同阶。

解2：设a 的阶为n ，则有111111()()()()nn bab bab bab bab ba bbeb e −−−−−−===L =−)nbab e −；反之，设bab 的阶为n ，即(11=，得1n ba b − e =，而1n a b eb −e ==，所以与bab a 1−同阶，而ab 与同阶。

1bab b ba −=2．设G e ，则由3个元素构成的群如表所示{,,}a b =x e a be e a ba ab e b be a3．因为R 为环，故乘法满足分配律左边＝()()na b a a a b n =+++L 1442443)((ab ab ab a b b b a nb n n =++=+++=L L 14424431442443=右边个个个五、1.因为F 有四个元支，所以（F ，＋）群的阶为4，由Lagrange 定理知，F 中每个元素对加法的阶只能为1，2，4，又因为元素的特征数只能是素数，所以特殊数只能为2。

复旦大学《集合论与图论》课堂练习1(2017年11月6日)(参考答案)

《集合论与图论》课堂练习1（2017年11月6日 13:30-15:10 复旦大学计算机学院）学号姓名成绩一、填空题（30分，每格2分）1．设A为一个集合，若A为空集或与集合{0,1,2,…,n-1}的基数相同，则A为有限集。

若存在从N到A的双射，则称A为可列集。

2．设R是A上的二元关系，定义R的自反（对称，传递）闭包记为R’，满足下列三个条件：（1）R’是自反的（对称的，传递的）；（2）R’⊇R；（3）对任一自反（对称，传递关系）R”，R⊆R”，则R’⊆R”。

3．集合A的递归（归纳）定义由三部分组成：（1）_基础: 某些元素属于我们正在定义的集合A中,说明集合A是非空的_ _;（2）_递归（归纳）: 使用当前集合A中的现有元素来产生含在此集合中的更多元素, 即建立产生集合A中新元素的一种方法_ ;（3）_闭合: 只有在集合A中的元素是通过有限次应用(1)和(2)得到的_ _。

4．设A和B是两个任意集合，f 是从A到B的二元关系。

若f 具有性质：（1）f 的定义域Dom f=A；（2）如果(a, b)，(a, b’)∈f，则b=b’。

则称关系f 是从A到B的函数，记为f:A⎯→B。

5．函数f:R⨯R→ R⨯R，f((x, y))=(x+y, x-y)。

f的逆函数f-1是f-1((x, y))=((x+y)/2, (x-y)/2) 。

6. 设集合A={ x | (x∈R) and (x3-2x2-x+2=0) },则集合A的幂集P(A)= {∅, {1},{-1}, {2}, {-1, 1}, {-1, 2}, {1. 2}, {-1, 1, 2} } 。

7. 设R是从A到B的二元关系，则从B到A的二元关系记为R-1，定义为R-1 ={(b, a)|(a, b)∈R}，称为R的逆关系。

8. 设g: A⎯→B, f: B⎯→C，定义复合函数f o g为：f o g ={(a, c) | a∈A, c∈C，且存在b∈B，使b=g(a), c=f(b) }，称f o g是从A到C的复合函数。

图论试卷及参考答案A-13级数学本科

**学院2013—2014学年第二学期期末考试数学与应用数学专业2013级《图论》试卷A（本试卷满分100分，考试时间110分钟）一、填空题（每小题2分，共20分） 1．5阶完全图G 的边的个数是___________．2．如果图G 的每个顶点的度数都相同，则称图G 为________图． 3．当且仅当无向连通图G 的顶点个数比边的个数多1时，图 G 是___． 4．无向图G 为欧拉图当且仅当G 连通，并且所有顶点的度都是． 5．(p ,q ) 图G 的向量空间的维数是_________．6．图G 的任意一个顶点的关联集都是其余各顶点关联集的____． 7．5阶完全图的边连通度是．8．已知M 是图G 的一个，若从G 中一个顶点到另一个顶点存在一条道路，此路径由属于M 和不属于M 的边交替出现组成的，则称此路径为M -交错道路．9．图G 是2-色的当且仅当G 是． 10．极大平面图所有面的次数均为．二、判断题（每小题2分，共20分）1．图的所有顶点的度数之和是边数的2倍．2．连通图的一个生成树是边数最少的连通生成子图． 3．若一个图是欧拉图，那它也一定是哈密顿图．4．图的秩等于图的完全关联矩阵的秩，也等于其关联矩阵的秩． 5．r 一定是r —正则图的一个特征值． 6．图的点连通度小于等于图的边连通度．7．若一个图G 存在完美匹配，则该匹配必定是最大匹配． 8．图G 的一个M —可增广道路未必是一个M —交错道路． 9．图的边着色问题可以转化成图的点着色问题．10．设G 为p 阶、q 条边、f 个面的连通平面图，则 p -q +f =2．专业：__________ 班级：______ 学号：_______________________ 姓名：_____________________——————————————密——————————————封————————————————线———————————专业：________ 班级：___________ 学号：_______________________ 姓名：_____________________ ——————————————密——————————————封————————————————线———————————三、解答题（每小题5分，共30分） 1．试判断下列两个图是否同构．2．写出下图G 的一个生成树T 并写出图G 关于T 的基本圈组．3．求下图的完全关联矩阵并以v 2为参考点写出关联矩阵和一个可逆大子阵．4．简述图的点连通度、边连通度、最小顶点的度数三者之间的关系，并举例说明．5．下面的图中加粗的边构成最大匹配吗？如果不是请说明理由．v 143 v e 2 e 34 e AB CDGF4v5v 6v 1v2v 3v 15 u u43 u u26 u u6．试写出下图的一个着色方案，并回答该图的色数．四、应用题（每小题5分，共10分）1．下图是一个公园的平面图，能不能使游人走遍每一条路不重复？入口和出口又应设在哪儿？2．试建立下列问题的数学模型：有两组化学药品X 和Y ，每组各三类，设{}123,,x x x 和{}123,,y y y ，已知不同组的化学药品不能放在一起，否则会发生爆炸．现在将这些物品存放在三个仓库1，2，3中，但由于物品的特性及仓库自身的物理条件（如有无空调、通风条件等），1x 和1y 只允许放在1号和2号仓f 1 f 2 m 1f 3 f 4f 5m 2 m 3 m 4 m 5v 2v 3v 4v 1v 5库内，2x 和2y 只允许放在2号和3号仓库内，3x 和3y 只允许放在1号和3号仓库内，问：满足要求的存放方案是否存在？若存在，如何存放？五、证明题（每小题10分，共20分）1．设T 是一个无向（p ,q ）图，证明T 是树则T 无圈且q =p -1．2．设G 为p 阶连通平面图, 有q 条边, 且每个面的次数不小于l (l ³3), 证明 ()≤lq p -2l -2．**学院2013—2014学年第二学期期末考试数学与应用数学专业2013级《图论》参考答案与评分标准A命题教师：***二、填空题（每小题2分，共20分）参考答案：1．120；2．正则图；3．树；4．偶数；5．q ;6．环和；7．4；8．匹配；9．二部图；10．3 评分标准：本部分每小题2分．凡与答案一致或意义相同的得2分，不一致（含空白）的不得分．三、判断题（每小题2分，共20分）参考答案：1-5.√√×√√ 6-10.√√×√√ 评分标准：本部分每小题2分．凡与答案一致的得2分，不一致（含未做判断）的不得分．三、解答题（每小题5分，共30分）参考答案：1.解：建立一一映射,1,2,3,4,5,6i i v u i =a ，可知两图同构． ……（5分）2.解：因为图的生成树即其连通无圈的生成子图，因此，去掉图的一些边使其保持连通无圈即得其生成树．下图是其中的一种做法． …………（2分）关于这棵树的基本圈有6个：AEG ，ABG ，EFG ，BCE ，DEF ，CDF ．（5分）3.解： ………………（3分）其中一个可逆的大子阵100011001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭123e e e …………………………………………（5分） 4.解：图的点连通度、边连通度、最小顶点的度数三者之间的关系为k (G )≤l (G )≤d (G )． …………………………………………（3分）下图是无向连通图，点连通度k (G )=1，边连通度l(G )=2，最小度d(G )=3，此图满足k (G )≤l (G )≤d (G )． …………………………………………（5分）100110110100110⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2完全关联矩阵关联矩阵(v 为参考点)1001111000→0110100110EAB CDGF5.解：不是最大匹配，因为该图中存在M-可增广道路． ………………（5分） 6.该图是3色的，颜色1：v 1，v 5，颜色2：v 2，v 4，颜色3：v 3． ………（5分）本部分每小题5分，由于某些题的结果不唯一，因此要求只要运用理论正确，结果与答案等价，即得满分；如果有些偏差，酌情扣分；如果关键部分错误，该得分点不得分．四、应用题（每小题5分，共10分）参考答案：1.这个问题可以归结为一笔画问题，一个连通图存在欧拉圈当且仅当图的顶点的度数是偶数．H 点和B 点是奇点，其余都是偶点，所以入口和出口应设在H 点和B 点． ………………（5分）2.解：以药品为点，两药品不能放在一起则连边，则得到一个二部图，然后再对图中每个点x ，指定一个集合()L x ，用以表示允许存放的仓库和集合，即令()(){}111,2L x L y ==，()(){}222,3L x L y ==，()(){}331,3L x L y ==，如下图所示，于是问题转化为对3,3K 的点着色，但要求对每个点x 的着色，应选用各自的中所罗列的“颜色”，如下图所示：f 1f 2m 1 f 3f 4f 5m 2 m 3 m 4 m 5{}11,2x{}22,3x{}31,3x实际上，本问题的着色不存在． ………………（5分）评分标准：本部分每小题5分，考生每解出一个步骤，得相应的分数．由于某一步单纯计算错误而导致其后数据错误，但方法正确的，酌情给分．五、证明题（每小题10分，共20分）参考答案：1.证明:由树的定义可知T 无圈．下证q =p -1．对p 进行归纳证明．当p=1时，q=0，显然q =p -1．假设p=k 时结论成立，现证明p=k+1时结论也成立． ………… （2分）由于树是连通而无圈的，所以至少有一个度数为1的顶点v ，在T 中删去v 及其关联边，便得到k 个顶点的连通无圈图． ………… （4分）由归纳假设它有k-1条边．再将顶点v 及其关联边加回得到原图T ，所以T 中含有k+1个顶点和k 条边，故结论q =p -1成立．所以树是无圈且q =p -1的图．即q =k +1时结论成立． ……………… （10分）2.证明：由于在计算面数之和时，每个边被计算了两次，因此各面次数之和等于边数的2倍，再由欧拉公式得： ……………… （5分） 2q ³ lf = l (2+q-p )()1⎛⎫≥⇒≥⇒≤ ⎪⎝⎭2q 2l 2+q -p -q 2-p q p -2l l l -2 …… （10分）评分标准：本部分每小题10分，根据参考答案的答题要点给分。