常用的二次曲面方程及其图形

这些交线都是椭圆。
3） 再看这个曲面平行于 xoy 的平面 z= z1 ( z1 c )的交线
x 2 y 2 z12 1 a2 b2 c2
a2 c2
x2 (c2
z
2 1
)
b2 c2
y2 (c2
z12 )
1
z= z 1
4） 如果 a=b,那么方程变为：
x2 a2
y2 a2
z2 c2
1
x2 y2 a2
4、 双曲面
方程为： 单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
1） 当 z=0 时，为过原点的圆，圆点在原点上。
x2 y2 1 a2 b2
2） 当用平行与 z=0 的平面 z= z1 截双曲面时，
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
Z= z1
x 2 y 2 1 z12
a2 b2
c2
-------------椭圆
3） 当 y=0 时，在 xoz 平面上为一双曲线
x2 z2 1 a2 c2
4） 当用平行 y=0 的平面 y= y1（ y1 ≠±b）截得曲面为中心在 y 轴上的双曲线
x2 a2
z2 c2
1
y12 b2
双曲线知识回顾：
双曲线定义 图形
m MF1 MF2 2a2a F1F2
常用的二次曲面方程及其图形
旋转曲面：L 是 XOZ 平面内的一个曲面
p0
P
f (x, z) 0
y0
其方程是：
得到旋转面的方程为： f ( x2 y2 , z) 0
柱面： 是空间的一个曲线，直线 L 沿着 平行移动 所形成的曲面，叫做柱面， 称作柱面的准线，L 称作柱面的母线。
若准线的方程为 f ( x , y ) 0
a2
z2 c2
1Leabharlann 2、 抛物面方程为：
x 2 y 2 z （p 与 q 同号） 2 p 2q
取 p>0,q>0
1） 当 z=0 时，截得为原点 O,原点叫做抛物面的顶点
z= z 2） 当
1 平面截得曲面为圆点在 z 轴上的圆。
x2 y2 z 2 p 2q
z= z 1
x2 y2 1 2 pz 1 2 qz 1
3） 当 y=0 时，截得的为 xoz 平面上的抛物线 x2 2 pz
y 4） 当 y= 1 平面截得曲面为平行 xoz 平面的抛物线
x2 y2 z 2 p 2q
y= y1
x2 2 p(z y12 ) 2q
5） 当 p=q 时，
x 2 y 2 z 表 示 xoz 平 面 上 的 抛 物 线 2p 2p
2） 旋转，根据旋转曲面与平面方程（母线）的关系，列 出空间旋转曲面等式
3） 当 z 0 =z，带入平面曲线方程。
M0 (x0,0, z0 )
M(x,y,z)
x02 z02 1
a2
c2
x2 y 2 x0
x2 y2 带入平面曲线方程： a 2
z02 c2
1
x2 y2
当 z 0 =z 时，得到：
z2 c2
1
根据旋转曲面的知识：
-----------------------（2）
（2）式表示在 xoz 平面上的椭圆
x2 a2
z2 c2
1 围绕 z 轴的而行程的
旋转曲面，它与一般椭圆球不同之处在于，其用 z= z1 平面截得的平面为一个
圆点在 z 轴上的圆。
具体步骤：
1） 列出平面曲线（母线）方程，比如 f (x0, y0) 0
z0
当 母 线 方 向 向 量 是 {l , m, n} 时 ， 柱 面 方 程 是
f (x l z, y m z) 0
n
n
x f (t)
若准线的方程是： : y h ( t ) ，母线的方向向量为
z g (t)
x f (t) lu {l , m, n}时，柱面方程是： : y h ( t ) m u
x 2 2 pz 围绕 z 轴而称的旋转曲面。
具体步骤：
M 1 (x1 ,0, z1 )
M (x, y, z)
1） x12 2 pz1
2）
x 2 y 2 x1
x 2 y 2 2 pz1
3) z1 =z 时，得到：
x2 y2 z 2p 2p
3、 双曲抛物面（鞍型曲面）
方程为：
x 2 y 2 z （p 与 q 同号） 2 p 2q
z g (t) nu
1、 椭圆球
x2 方程为： a 2
y2 b2
z2 c2
1
曲线为：
-------------------（1）
1）
由方程（1）可知
x2 a2
1，
y2 b2
1
，
z c
2 2
1，
2） 其与三个坐标平面的交线为：
x2 a2
y2 b2
1
z=0
x2 a2
z2 c2
1
y =0
y2 z2 1 b2 c2 x=0
( F1、F2 为定点， 为a常数)
标准方程
焦点坐标
a,b,c
x2 y2 1a 0，b 0
a2 b2
F1 c，0 F2 c，0
y2 a2
x2 b2
1a
0，b 0
F10， c F2 0，c
c2 a2 b2 c a 0，c b 0
双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1