空间向量与立体几何高考题汇编

1. （2009北京卷）（本小题共14分）

如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形， PD _底面ABCD ,

点E 在棱PB 上.

（I ）求证：平面 AEC _平面PDB ；

（H ）当PD = J2AB 且E 为PB 的中点时，求 AE 与

平面PDB 所成的角的大小.

解：如图，以D 为原点建立空间直角坐标系 D-xyz ,

设 AB 二 a,PD 二h,

则 A a,0,0 ,B a,a,0 ,C 0,a,0 , D 0,0,0 ,P 0,0,h ,

(I 「AC …a,a,0 齐=0,0,h,DB=a,a,0 ,

••• AC 丄 DR AC 丄 DB ••• AC 丄平面 PDB

•••平面AEC _平面PDB .

（n ）当PD =・』2AB 且E 为PB 的中点时,

设ASBD=O 连接 OE

由（I ）知ACL 平面PDB 于 O, • / AEO 为AE 与平面PDB 所的角，

•- AOE =45，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45 •

2.（2009山东卷）（本小题满分

12分）

P 0,0,、、2a Ji i 42

E —a, —a, — a , 匹2 2

丿

•cos AEO

EA 】EO 2

p,

解法二：(1)因为AB=4, BC=CD=2, F 是棱AB 的中点， 所以BF=BC=CF ^ BCF 为正三角形，因为ABCD 为 等腰梯形，所以/ BAC=Z ABC=60 ,取AF 的中点M, 连接。皿＞则DMLAB,所以DM L CD,

以DM 为x 轴,DC 为y 轴,DDi 为z 轴建立空间直角坐标系， ,则 D( 0,0,0 ) ,A (、.3,-1,0 ) ,F ( ... 3,1,0 ) ,C

向量为；=(x, y,则 4 ^F=0所以

]n C 。= 0

i

EE i i-丄.3 i 0=0,所以 n _ EE i ,所以直线 EEj/ 平面 FCC . 2 2

2 ) FB =(0, 2,0),设平面BFC 的法向量为n =( x, y, z)则]J

i n FC =0

.厂 ,取 n=(2,0, J3),则

-、3x i y i 2 Z i —0

2 7

,由图可知二面角 B-FC 1 -C

2 .7

7

B-FC i -C 的余弦值为+

3. (2009全国卷H)(本小题满分12分)

如图，直三棱柱 ABC-ABG 中，AB_AC, D 、E 分别为AA ,、

B i

C 的中点，DE _平面BCC i

(I )证明：AB=AC

(II )设二面角A-BD -C 为60°,求B i C 与平面BGD 所成的角 的大小。 (I )分析一：连结BE, ： ABC -AQG 为直三棱柱，一 B^C =90 ,

C (0,2,2 ) ,E (邑

2 i

2。) ,Ei ( • 3小)，

E i

,_1,1),CF =(.3-1,0),CC i =(0,0,2)

D

E

? A

M

F

F C 、3,I ,2) 设平面CGF

(020

③-八。取 n=(i,§0),

z = 0

yi =0 n 2 i 一、3 0 0 .3 =2,

|二汀(3)2 =2,|；|「22 0 c ，3)2 -7

所以cos n, n

|n||n |

为锐角，所以二面角

D i

A i

B i

:E为B i C的中点，.BE二EC。又DE _平面BCC“,

.BD = DC （射影相等的两条斜线段相等）而DA _平面ABC ,

.AB = AC （相等的斜线段的射影相等）。分析二：取BC的中点F，证四边形AFED为平行四边形，进而证AF // DE , AF I BC ,得AB = AC 也可。

分析三：利用空间向量的方法。具体解法略。

（II ）分析一：求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可。

作AG _ BD于G，连GC，则GC _ BD , . AGC为二面角A-BD -C的平面角，

一AGC = 60 .不妨设AC = 2 J3 ,则A G = 2 , G C 4.在RT L ABD 中，由

AD AB B D A G得AD 二.6 .

设点吕到面BDC的距离为h , B1C与平面

BCD 所成的角为〉。禾U用

11 —

3 S B1BC DE = 3 S BCD h ,可求得h = 2、、3，又可

_ h 1

求得B1C = 4 /3 sin 30 .

1B1C 2

即BQ与平面BCD所成的角为30 .

分析三：利用空间向量的方法求出面BDC的法向量n，贝U B1C与平面BCD所成的角即

为BC与法向量n的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。

总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半

壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益

4. （2009全国卷I）（本小题满分12分）

如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SD _底面ABCD , AD —三,

DC 二SD =2，点M 在侧棱SC 上，Z ABM=60。

（I）证明：M是侧棱SC的中点；

|：〔打求二面角S-AM -B的大小。

解法二、分别以DA DC DS为x、y、z轴如图建立空间直角

坐标系D—xyz，则A( 2,0,0),B( 2,2,0),C(0,0,2),S(0,0,2)。