高考高难度压轴填空题平面向量

1.在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝3，P 是边BC 的垂直平分线上的一点，则BC AP ⋅u u u r u u u r

＝_

_

___________

【答案】2

7- 解析：

2

7

)(21)()()()(-

=+⋅-=⋅-=+⋅-=⋅

2.

0,31=⋅==，点C 在AOB ∠内，AOC ∠30o =.

设(,)OC mOA nOB m n R =+∈u u u r u u u r u u u r ，则m

n

等于

【答案】3

[解析]：法一：建立坐标系，设),(y x C 则由(,)OC mOA nOB m n R =+∈u u u r u u u r u u u r

得

⎩⎨⎧==⇒+=n

y m x n m y x 3)3,0()0,1(),(而030=∠AOC 故n m

x y 330tan 0==

法二：(,)OC mOA nOB m n R =+∈u u u r u u u r u u u r

两边同乘或得

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⇒=⋅=⇒=⋅n n m

m 333两式相除得3=n m 3.在△ABC 中，若4=•=•，则边AB 的长等于22

A

O

A B

C

P

Q

解析：4=•=•CB AB AC AB 88)(2

=⇒=+⇒AB CB AC AB

4.已知点G 是ABC ∆的重心，点P 是GBC ∆内一点，若,AP AB AC λμλμ=++u u u r u u u r u u u r

则的取值范

围是___________)1,3

2(

解析：

=+=

+=''3

2

GP AG GP AG AP λ )()(31

GC n GB m t AC AB +++(其中1,10=+<

)(31[)(31BC AC n CB AB m t AC AB +⋅++⋅++ =AC nt AB mt )1(31)1(31+++，则)1,3

2(3132∈+=+t μλ 5.已知O 为ABC ∆所在平面内一点，满足22OA BC +=u u u r u u u r 22

OB CA +=u u u r u u u r 22

OC AB +u u u r u u u r ，则点O 是ABC ∆的心垂心

解析：22OA BC +=u u u r u u u r 22

OB CA +=u u u r u u u r 0))(())((=-++-+⇒CA BC CA BC OB OA OB OA 02=⋅⇒OC BA ，可知AB OC ⊥，其余同理

6.设点O 是△ABC 的外心，AB ＝c ，AC ＝b ，()1122=+-c b 则·的取值

范围⎪⎭⎫⎢

⎣⎡2,4

1- 解析：

()112

2=+-c b 222b b c -=⇒200<<⇒>b

7.在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6，

33=CA ，若2=⋅+⋅，则与的夹角的余弦值等于_____

3

2 A

B

C

O

A

B

C

G

P G

P

解析：（2007全国联赛类似38.39题）因为2=⋅+⋅AF AC AE AB ，所以

2)()(=+⋅++⋅，即22

=⋅+⋅+⋅+。因为12

=，

11

33236

133133-=⨯⨯-+⨯⨯=⋅，-=，所以21)(1=--⋅+，即2=⋅。

设EF 与BC 的夹角为θ，则有2cos ||||=⋅⋅θBC BF ，即3cos θ=2，所以3

2

cos =θ

8.已知向量αu r ,βu r ,γr 满足||1α=u r ,||||αββ-=u r u r u r ,()()0αγβγ-⋅-=u r r u r r .若对每一确定的βu r ,||γu u r

的最大值和最小值分别为,m n ,则对任意βu r

,m n -的最小值是

2

1

解析：数形结合.=AB ,β=,βα-=,,γ=

BD CD ⊥⇒-=-=αγβγ,，点D 在以BC 为直径的圆上运动，m n -就是BC ，而

2

1

121,≥⇒≥⇒==BC BC AB BC AC （C B A ,,共线时取等号）和9题相同.

9.已知向量a ，b ，c 满足|a |=1，|a -b |=|b |，(a -c )(b -c )=0，若对每一个确定的b ，|c |的最大值和最小值分别为m ，n ，则对于任意的向量b ，m +n 的最小值为_________．2

3

解析：本题和8完全相同。数形结合，具体参见8

10.设21,e e 是夹角为060的两个单位向量，已知21,e e ==，y x +=，若PMN ∆是以M 为直角顶点的直角三角形，则实数y x -取值的集合为_____________{1} 解析：画图解即可

11.如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点D A ,分别在x 轴，y 轴上正半轴上滑动，则⋅的最大值为________2

12sin ))((+=++θDC OD AB OA

A

B

C

D