全同粒子体系

第六章全同粒子体系

6.1 全同粒子体系

之前所讨论的问题都是单粒子问题，在自然界中经常碰到由多个粒子所组成的体系，称为多粒子体系，这些体系或者由非全同粒子构成或者由全同粒子构成，而我们关注是由全同粒子构成的体系。首先研究由全同粒子组成的多粒子体系的特性。

1、全同粒子

我们称质量m，电荷q，磁矩M，自旋S等固有属性完全相同的微观粒子为全同粒子。其中，固有属性又叫内禀属性，如所有的电子，所有的质子系都是全同粒子系，在相同的物理条件下，全同粒子体系中的全同粒子的行为应该是相同的。

全同粒子体系有个重要的特点，就是我们量子力学第5个基本假设给出的。

2、量子力学基本假设

全同性原理假设（不能由量子力学中的基本假设推出）：全同粒子具有不可区分性，交换任何两个粒子不引起体系物理状态的改变。（不可区分性与交换不变性）

量子力学中，粒子的状态是用波函数来描述的，如果描述两个粒子的波没有重叠，例如：把两个粒子分别置于两个不同的容器中，自然可以区分哪个是1粒子，哪个是2粒子；但如果描述两个粒子的波发生重叠，例如：氢原子中的两个电子，这两个全同电子就无法区分了，因为一切测量结果都不会因为交换而有所改变。由于全同粒子的不可区分性，每个粒子都是处于完全相同的状态，所以交换任何两个全同粒子并不形成新的状态。在自然界中，实际出现的状态，只是那些交换不变的态，其余的态实际都不存在，由全同性原理假设出发，可以得到全同粒子体系的一些重要性。

3、全同粒子体系ˆH算符的交换不变性

粒子不可区分，单体算符形式一样。在量子力学情况下，微观粒子不存在严

格意义的轨道，对于粒子的坐标，我们仅知道粒子在某处出现的几率，设有两个全同粒子在不同时刻给它们照相，根据照片上的位置，在某一时刻把它两个粒子编号，则在后一时刻的照片上没有任何根据能指出哪个是第一号，哪个是第二号，即使两次的照片时间间隔再短，也无法分辨。但我们又必须给粒子的“坐标”i q 编上号码（1,2,

i N =），因为不可能把各个粒子的不同坐标的哦要用一个变量q

来表示，这样，12,N q q q 代表第一个位置（含自旋）

，第二个位置，……各有一个粒子，不能规定是哪一个粒子；于是，12

,N q q q 表示粒子的坐标（含自旋）

，但每一个坐标q 都不专属于某一个粒子，若把12,N q q q 顺序作任意置换后，也

还是在(1,2,

)i q i N =各有一个粒子。假设有一由N 个全同粒子组成的体系，以

i q 表示第i 个粒子的坐标和自旋的(),i i i q r S =，(),i U q t 表示第i 个粒子在外场中的能量，(),i j W q q 表示第i 个粒子与第j 个粒子之间的相互作用能量，则体系的Hamilton 量算符可写为：

()

()()12

2211

ˆˆ,,,1,,22i j

N N

N

i i i j i i j H H q q q q q t U q t W q q μ=≠==⎡⎤=-∇++⎢⎥⎣⎦∑∑ (6.1.1)

显然交换两个粒子，全同体系的ˆH

不变，即交换对称性。这里我们引入：交换算符ˆij

P ：它表示交换第i 个粒子与第j 个粒子的运算 ()()1

2

12

ˆ,,,,i j

N i j

N q q

q q q H q q q q q ≡

(6.1.2)

全同性原理中，全同粒子的不可区分性使得体系ˆH

具有交换不变性，同样全同性原理要求体系具有交换不变性，即交换任意两粒子，体系物理状态不变。 而量子力学中状态用波函数来描述，所以全同性原理对多粒子体系的波函数提出了新的限制，除了满足其它条件外（单位、连续、有限），还必须具有交换对称性。

4、全同粒子体系波函数的交换对称性

考虑由N 个全同粒子组成的多体系，其状态用波函数

()12

,,i j

N q q q q q ψ

描述，ˆij

P 表示第i 个粒子与第j 个粒子交换的算符，即 ()()12

12

ˆˆ,,,,ij i j

N i j

N P H q q q q q q q q q q ψ≡

(6.1.3)

由全同性原理可知，ˆij

P 与ψ描述的是同一量子状态，在量子力学中，它们最多只能相差一个常数因子λ，即

()()12

12

ˆ,,

,,

ij i j

N i j

N P q q q q q q q q q q ψλψ=

(6.1.4)

用ˆij P 在运算一次，得2ˆˆˆˆij ij ij ij P P P P ψλψλψλψ⋅=⋅==，所以得22ˆij

P ψλψ=，说明,i j 交换两次等价于不变换，2ψλψ=，因而1λ=±。这样，全同粒子的波函数必须满足下列关系式之一：

()()()121212ˆ,,

,,

,,

ij i j

N i j

N i j

N P q q q q q q q q q q q q q q q ψψψ==+波函数交换对称；

()()()12

12

12

ˆ,,

,,

,,

ij i j

N i j

N i j

N P q q q q q q q q q q q q q q q ψψψ==-波

函数交换反对称。

即全同性原理要求，全同粒子波函数要么是交换对称的，要么是交换反对称的，而且这种交换对称性不随时间改变。在这里，我们把交换对称与交换反对称统称为波函数的交换对称性。

5、全同粒子体系波函数的交换对称性取决于粒子的自旋

迄今为止的一切实验事实表明，对于每一类全同粒子，它们波函数的交换对称性是确定的，但到底是波函数交换对称，还是交换反对称与粒子的自旋有确定的关系。凡自旋为整数倍的粒子（0,1,2

S =），波函数对于交换两粒子总是

对称的。例如，π介子（0S =），光子（S =）。它们在统计上遵守Bose 统计法，故称波色子。凡自旋为半奇数倍的粒子（35

2

22,,,

S =

），波函数对于

交换两粒子总是反对称的。例如，电子、质子及中子等。它们遵守Fermi 统计法，故称费米子。

由基本粒子组成的复杂粒子，如α粒子（氦核），31H （氚核），21H （氘核）

。复杂粒子究竟是费米子还是波色子取决于其中费米子的个数，而与波色子个数无关。由N 个波色子构成的复杂粒子仍然是波色子（总自旋为的整数倍），其波

函数满足交换对称；由偶数个费米子构成的复杂粒子是波色子（总自旋为的整