全同粒子体系
全同粒子体系
第六章 全同粒子体系6.1 全同粒子体系之前所讨论的问题都是单粒子问题，在自然界中经常碰到由多个粒子所组成的体系，称为多粒子体系，这些体系或者由非全同粒子构成或者由全同粒子构成，而我们关注是由全同粒子构成的体系。
首先研究由全同粒子组成的多粒子体系的特性。
1、全同粒子我们称质量m ，电荷q ，磁矩M，自旋S 等固有属性完全相同的微观粒子为全同粒子。
其中，固有属性又叫内禀属性，如所有的电子，所有的质子系都是全同粒子系，在相同的物理条件下，全同粒子体系中的全同粒子的行为应该是相同的。
全同粒子体系有个重要的特点，就是我们量子力学第5个基本假设给出的。
2、量子力学基本假设全同性原理假设（不能由量子力学中的基本假设推出）：全同粒子具有不可区分性，交换任何两个粒子不引起体系物理状态的改变。
（不可区分性与交换不变性）量子力学中，粒子的状态是用波函数来描述的，如果描述两个粒子的波没有重叠，例如：把两个粒子分别置于两个不同的容器中，自然可以区分哪个是1粒子，哪个是2粒子；但如果描述两个粒子的波发生重叠，例如：氢原子中的两个电子，这两个全同电子就无法区分了，因为一切测量结果都不会因为交换而有所改变。
由于全同粒子的不可区分性，每个粒子都是处于完全相同的状态，所以交换任何两个全同粒子并不形成新的状态。
在自然界中，实际出现的状态，只是那些交换不变的态，其余的态实际都不存在，由全同性原理假设出发，可以得到全同粒子体系的一些重要性。
3、全同粒子体系ˆH算符的交换不变性 粒子不可区分，单体算符形式一样。
在量子力学情况下，微观粒子不存在严格意义的轨道，对于粒子的坐标，我们仅知道粒子在某处出现的几率，设有两个全同粒子在不同时刻给它们照相，根据照片上的位置，在某一时刻把它两个粒子编号，则在后一时刻的照片上没有任何根据能指出哪个是第一号，哪个是第二号，即使两次的照片时间间隔再短，也无法分辨。
但我们又必须给粒子的“坐标”i q 编上号码（1,2,i N = ），因为不可能把各个粒子的不同坐标的哦要用一个变量q 来表示，这样，12,N q q q 代表第一个位置（含自旋），第二个位置，……各有一个粒子，不能规定是哪一个粒子；于是，12,N q q q 表示粒子的坐标（含自旋），但每一个坐标q 都不专属于某一个粒子，若把12,N q q q 顺序作任意置换后，也还是在(1,2,)i q i N = 各有一个粒子。
量子力学--第九章 全同粒子体系
注：交换简并显然存在： ) j ( )k ( ) 中填 粒子交换只不过是 i ( 入不同的排列，它们仍是 H 的属于 E 的本征函数。 2、对称化波函数与泡利原理 描述全同粒子体系的波函数必须是对称化的波函数。 交换简并的存在使我们有可能把波函数进行线性组合。
可以证明下面两个函数是H的属于能级E的本征函数 (q1 , q 2 ) i (q1 ) j (q 2 ) ( 7 .7 2 ) (q 2 , q1 ) i (q 2 ) j (q1 )
ˆ (q , q ) [ H ˆ (q ) H ˆ (q )] (q ) (q ) 证明： H 1 2 0 1 0 2 i 1 j 2
ˆ ， 则称 A 若P 为交换反对称波函数。 ij A A 交换对称性或反对称性是全同粒子体系波函数的特殊的 固有的性质，因此也是(微观)粒子的特殊的、固有的性质。 它决定了粒子所服从的统计。
也就是说，描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或 反对称的，它们的对称性不随时间改变。 这一点可以从全同粒子体系的哈密顿算符是粒子交换下不变 的这点出发,很易得到证明. 全同粒子体系的哈密顿算符是粒子交换不变的
其中
ˆ ( s s s ) ( s s s ) E ( s s s ) H 1 1 N 1 1 N s 1 1 N
对于两个费米子体系的情况，只有如下两种形式：
(q1q2 q N ) (r1 r2 rN ) ( s1 s2 s N ) ˆ H (r1 r2 rN ) (r1 r2 rN ) Er (r1 r2 rN )
2 2 2 ˆ [ H 1 U (q1 )] [ 2 2 U (q 2 )] 2 2 ˆ H ˆ (q ) H ˆ (q ) H
全同粒子体系概念
全同粒子体系概念
全同粒子体系是物理学中的一个重要概念，涉及到全同粒子、粒子体系、全同性原理、量子态、玻色子和费米子等多个方面。
1.全同粒子
全同粒子是指具有完全相同属性的粒子。
这些粒子可以是光子、电子、质子、中子等基本粒子，也可以是由这些基本粒子组成的复合粒子，如原子、分子等。
2.粒子体系
粒子体系是指由一组粒子组成的系统。
这些粒子可以是全同粒子，也可以是不同的粒子。
在粒子体系中，粒子之间可以相互作用，例如通过力场、电磁场等相互耦合。
3.全同性原理
全同性原理是指在一个全同粒子体系中，无法区分单个粒子，因为它们的属性完全相同。
这一原理是全同粒子体系的基本特征之一，也是导致全同粒子表现出集体行为的重要原因。
4.量子态
量子态是描述量子系统状态的数学对象，它包含了系统的所有信息，包括粒子的位置、自旋、能量等。
在全同粒子体系中，粒子的量子态可以相同或不同，这将对体系的性质产生影响。
5.玻色子
玻色子是全同粒子中的一种特殊类型，其特性符合玻色子的统计规律。
玻色子具有整数自旋，包括光子、胶子、W和Z玻色子等。
玻色子在凝聚态物理、核物理和宇宙学等领域中具有重要应用价值。
6.费米子
费米子是另一种全同粒子，其特性符合费米子的统计规律。
费米子具有半整数自旋，包括电子、质子、中子等基本粒子以及由它们组成的原子和分子等。
费米子在描述多体系统中的粒子的行为时具有重要作用，例如在超导和费米凝聚等领域中。
量子力学--第九章 全同粒子体系
1 2
S1z
1 2
S2z
1 2
S1z
1
2
S2z
A
1 2
1 2
S1z
1 2
S2z
1 2
S1z
1
2
S2z
可以证明，上面四个波函数是正交归一的见习题。
（二）自旋单态与三重态
上面我们从全同粒子波函数的对称性角度来考虑，构造了
七. 两个电子的自旋函数
两个电子系统是很重要的，氦原子，氢原子都是两个
电子的系统。另外它是多粒子系的最简单情况，
因此理论上也很重要。
（一）两电子的自旋波函数（不计自旋―自旋相互作用）
1、自旋波函数
电 子 的 两 个 单 粒 子 自 旋态：
这四个自旋波函数
1 Sz 1 Sz
2
四个对称化的自旋波函数，
下面我们从两个角动量的耦合角度来考察这个问题。
1、两电子体系总自旋角动量算符
定 义：
Sˆ Sˆ1 Sˆ 2
或者
Sˆ x Sˆ1x Sˆ 2x Sˆ y Sˆ1 y Sˆ 2 y Sˆ z Sˆ1z Sˆ 2z
再 引 入 Sˆ 2 Sˆ x 2 Sˆ y 2 Sˆ z 2
为泡利不相容原理
(2) 玻色子系的对称波函数
S C Pi (q1 ) j (q2 )k (qN )
P
(7.7 7)
（7.7-7）式中P表示N各粒子在波函数中的某一种排列， 表
P
示对所有可能的排列求和.
i) Hˆ S ES E i j k
全同粒子体系
全同粒子本讲介绍多粒子体系的量子力学基本原理。
首先从全同粒子的基本概念出发，根据全同性原理，给出描述全同粒子体系的波函数；最后以氦原子为例讨论多粒子体系问题。
1. 全同粒子的基本概念1.1 全同粒子：静质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子。
例如，电子、质子，中子等。
在经典力学中，粒子是用坐标和动量来描述，可以根据各自的运动轨迹来区分。
而在 量子力学中，微观全同粒子的状态是用波函数来描述，每个粒子的波函数弥散于整个空 间，即处于同一区域各粒子波函数重迭，对粒子无法加以区分；另外，对全同粒子体系进 行测量时，关心的是在空间某点附近粒子出现的概率（或数目），而这个概率（或数目） 究竟属于体系中的哪几个，是无法确定的。
即全同粒子具有不可区分性，这是微观粒子的 基本性质之一。
1.2 全同性原理：由于全同粒子具有不可区分性，则在全同粒子体系中，任意两个全同粒子相互交换后并不会引起整个体系物理状态的改变，即不会出现任何可观测的物理效应，该论断称为量子力学中的全同性原理。
这是量子力学基本原理之一。
1.3哈密顿算符∧H 的交换对称性考虑N 个全同粒子组成的体系，i q 表示第i 个粒子的空间坐标i r与自旋变量i S ，),(t q u i 表示 第i 个粒子在外场中的能量，),(j i q q w 表示第i 、j 粒子的相互作用能量，则体系的哈密顿算符∧H 写为∑∑<++∇-=ji j i i i i N j i q q w t q u t q q q q q H ),()],(2[),,,(ˆ2221μ （1） 任何两个粒子（如第i 个与第j 个）相互交换后，∧H 显然是不变的，记为),,,(ˆ21t q q q q q H P Nj i ij ∧),,,(ˆ21t q q q q q H Ni j = ),,,(ˆ21t q q q q q HNji= （2） ij P ∧称为交换算符，它同时交换两个粒子的坐标和自旋，哈密顿算符的这种交换对称性又可记为0,=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∧∧H P ij （3）1.4 全同粒子波函数的交换对称性 （1）ij P ∧对波函数的作用设N 个全同粒子体系用波函数),,,,,(21t q q q q q N j i Φ描述，则有),,,,,(),,,,,(2121t q q q q q t q q q q q P N i j N j i ij Φ=Φ∧（4）根据全同性原理，Φ∧ij P 与Φ所描述的是同一量子态，而量子力学中描述同一量子态的波函数之间最多只能相差一个常数因子λ，即Φ=Φ∧λij P （5） 上式用ij P ∧再作用一次，相当于Φ中的交换复原，即Φ=Φ=Φ=Φ∧∧22λλij ijP P （6）由此得12=λ，所以交换算符的本征值为 1±=λ （7） （2）波函数的交换对称性当λ＝+1时，则Φ=Φ∧ij P ，表示交换两个粒子后波函数不变，这时的波函数称为对称波函数，记为S Φ 。
全同粒子系统的总轨道角动量_理论说明
全同粒子系统的总轨道角动量理论说明1. 引言1.1 概述全同粒子系统的研究在现代物理学中具有重要意义。
全同粒子指的是在量子力学框架下，无法通过任何实验手段将它们区分开来的粒子。
例如，电子、质子和中子等都属于全同粒子系统。
对于这样的系统，我们需要借助特定的理论框架来描述它们的性质和行为。
其中一个重要概念是总轨道角动量，它涉及到粒子运动状态的量子数和空间排列方式。
总轨道角动量不仅与粒子间相互作用有关，而且与自旋角动量密切相关。
因此，对于全同粒子系统来说，探讨其总轨道角动量的性质和理论说明具有极大意义。
1.2 文章结构本文将围绕全同粒子系统的总轨道角动量展开论述，并以详细的理论说明为主线。
首先，在第2节中将介绍全同粒子系统的背景知识并明确总轨道角动量的定义及其一些基本性质。
接着，在第3节中将详细阐述该理论，并探讨波函数对称性与反对称性原理、总轨道角动量算符的定义与性质以及粒子组态与总轨道角动量量子数分析之间的关系。
1.3 目的本文旨在深入探究全同粒子系统的总轨道角动量，并通过理论说明为读者提供一个清晰的概念框架。
我们将详细解释相关概念和理论，引导读者理解全同粒子系统中总轨道角动量起到的作用，并希望能够帮助读者深入了解这一领域的研究进展和意义。
2. 全同粒子系统的总轨道角动量2.1 全同粒子系统介绍全同粒子系统是指由多个具有相同质量和性质的粒子组成的系统。
在这样的系统中，无法将其中一个粒子与其他粒子区分开来，因为它们具有相同的物理属性。
例如，电子对和质子对都是全同粒子系统的例子。
2.2 总轨道角动量的定义与性质总轨道角动量是描述全同粒子系统旋转运动的重要物理量。
它由每个粒子的轨道角动量向量之和构成。
对于一个包含N个全同粒子的系统，该系统的总轨道角动量L等于每个单独粒子轨道角动量l_i之和：L = l_1 + l_2 + ... + l_N总轨道角动量具有一些重要性质:- 总轨道角动量是矢量求和：各个单独轨道角动量遵循矢量相加规则。
19第7章概念4-全同性原理
1 2 0 1 0 2 1 2 1 2
令
Φ(q1 , q 2 ) = ϕ (q1 )ϕ (q 2 )
设第一个粒子处于第i态 第二个粒子处于第 态 设第一个粒子处于第 态，第二个粒子处于第j态，有
全同粒子
第七章 全同粒子本章介绍：本章首先介绍全同粒子的特性，然后介绍了全同粒子体系的波函数及泡利不相容原理。
§7.1 全同粒子的特性§7.2 全同粒子体系的波函数◆全同粒子的定义：我们称质量、电荷、自旋、同位旋即其他所有内禀固有属性完全相同的粒子为全同粒子。
例如：所有电子是全同粒子。
◆全同粒子的重要特点：在同样的物理条件下，它们的行为完全相同，因此用一个全同粒子代替另一粒子，不引起物理状态的变化。
◆在经典力学中，即使是全同粒子，也总是可以区分的。
因为我们总可以从粒子运动的不同轨道来区分不同的粒子。
而在量子力学中由于波粒二象性，和每个粒子相联系的总有一个波。
随着时间的变化，波在传播过程中总会出现重叠，在两个波重叠在一起的区域，无法区分哪一个是第一个粒子的波，哪一个是第二个粒子的波。
因此全同粒子在量子力学中是不可区分的。
我们不能说哪个是第一个粒子，哪个是第二个粒子。
全同粒子的不可区分性，在量子力学中称为全同性原理。
从全同性原理出发，可以推知，由全同粒子组成的体系具有以下性质：全同粒子体系的哈密顿算符具有交换对称性。
讨论一个由N 个全同粒子组成的体系，第i 个粒子的全部变量用i q 表示，体系的哈密顿算符是1ˆ(,,,,)i j N H q q q q t ，由于全同粒子的不可区分性，将粒子i 和j 互换，体系的哈密顿算符不变交换算符ˆij P 引入交换算符ˆijP ，表示将第i 个粒子和第j 个粒子相互交换的运算： ψ是任意波函数，由ˆH 的交换不变性有：即ˆˆ[,]0ijP H =另外，将交换算符作用到薛定谔方程上，得表明：若ψ是薛定谔方程的解，则ˆij P ψ也是薛定谔方程的解。
于是有ˆijP ψλψ=利用22ˆijP ψλψψ==得21,1λλ==± 即ˆˆ,ij ijP P ψψψψ==-由上两式可见，全同粒子组成的体系的状态只能用交换对称或交换反对称的波函数描述。
全同粒子体系波函数的对称性不随时间变化。
全同粒子体系的波函数泡利原理
§ 7.1 电子的自旋
一、提出电子自旋的依据 1、1912年反常塞曼效应，特别是氢原子的偶数重磁场谱线 分裂 ，无法用轨道磁矩与外磁场相互作用来解释 ，因 为这只能分裂谱线为 （2n+1）重，即奇数重。
2、原子光谱的精细结构 。比如，对应于氢原子2p→1s的跃 迁存在两条彼此很靠近的两条谱线，碱金属原子光谱也 存在双线结构等
4
S
2 x
S
2 y
S
2 z
2 4
.
(7.2 3)
所以，
Sˆ
2
Sˆx2
Sˆy2
Sˆz2
3 4
2
(7.2 4)
令 S 2 s(s 1)2 (7.2 5)
将上式与轨道角动量平方算符的本征值L2 l (l 1) 2
比较，可知s与角量子数 l 相当，我们称s为自旋量子数。但
这里s只能取一个数值，即s=1/2.
nlm 也是Hˆ Hˆ 0 Hˆ B 的本征函数。在强磁场中，
因为外磁场很强，可以略去自旋轨道耦合。波函 数中自旋和空间部分可以分离变量。哈密顿量H 的本征态可选为守恒量完全集（H, L2, Lz , Sz)的共 同本征态。能量的本征值为：
当 Sz
时， 2
nlm 1 2
RnlYlm 1
二、泡利算符
为简便起见，引进一个算符ˆ
，它和
Sˆ
的关系是
Sˆ
ˆ
2
Sˆ
x
Sˆ y
Sˆ
z
2
ˆ
x
2
ˆ
y
2
ˆ
z
(7.2 6)
将（7.2-6）式代入（7.2-1）式，得到ˆ 所满足的对易关系：
ˆ
全同粒子的特性
h2
2
2j
U (qj ,t)
ji
1 2
W
(q
j
,
qi
)
Hˆ (q1,..., qi ,..., qj ,..., qN ,t)
Hˆ (q1,..., qi ,..., qj ,..., qN ,t) Hˆ (q1,..., qj ,..., qi,..., qN ,t)
二、全同性原理
全同性原理：全同粒子组成的体系中，任意交换两个全同粒子， 体系的物理状态保持不变。
全同粒子的不可区分性导致了全同性原理。
例如：氦原子中有两个电子，一个处于基态，一个处于第一激发 态，能量分别为
E1
Z 2es2 2a0
E2
Z 2es2 2a0 22
体系的能量为E E1 。E2
若交换两个电子的位置和自旋，体系的能量不变。
三、全同粒子体系的波函数与哈密顿及其特性
1．全同粒子体系的波函数与哈密顿 用 qi (代rvi ,表Siz )第i个粒子的坐标和自旋。
全同粒子体系的波函数和哈密顿分别为
(q1, q2 ,..., qN ,t)
Hˆ (q1, q2 ,...,qN
当 时 ，1有
1
(..., q j ,..., qi ,...) (..., qi ,..., q j ,...)
则波函数是交换对称的，用 表S 示；
当 时 ，1 有
(..., q j ,..., qi ,...) (..., qi ,..., q j ,...)
,t)
N i 1
2
2
2 i
第七章2 全同粒子系
全同粒子体系(tǐxì)哈密 顿量是对称的
结论：
描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，其 对称性不随时间改变。如果体系在某一时刻处于对称（或反对 称）态上，则它将永远处于对称（或反对称）态上。
共六十八页
（四）Fermi 子和 Bose 子
实验表明(biǎomíng)：对于每一种粒子，它们的多粒子波函数 的交换对称性是完全确定的，而且该对称性与粒子的自 旋有确定的联系。
共六十八页
3 微观粒子的不可(bùkě)区分性
服从
用
微观粒子运动
量子力学
波函数描写
(yùndòng)
在波函数重叠区粒子是不 可区分的
4 全同性原理
全同粒子所组成的体系中，二全同粒子互相代换不引 起体系物理状态的改变。
全同性原理是量子力学的基本原理之一。
第五条基本假设
共六十八页
（二）波函数的对称性质
皆为 ：
Ei j
共六十八页
V S 和 A 的归一化
首先 证明
若单粒子(lìzǐ)波函数是正交归一化的， 则 (q1,q2) 和 (q2 , q1) 也是正交归一化的
证明
(zhèngmíng)： （ * q1,q2) （ q1,q2)d1 q d2 q
（ i* q1) * j(q2)（ i q1) j(q2)d1 q d2 q
(q1,q2, qj qi qN ,t) (q1,q2, qi qj qN ,t)
再做一次（q i , q j ) 调换(diàohuàn)
( q 1 , q 2 , q i q j q N ,t ) ( q 1 , q 2 , q j q i q N ,t ) 2 ( q 1 , q 2 , q i q j q N ,t )
7.6全同粒子的特性
全同性原理： 由于全同粒子具有不可区分性，则在全同粒子体系 中，任意两个全同粒子相互交换后并不会引起整个体系物理 状态的改变，即不会出现任何可观测的物理效应，该论断称 为量子力学中的全同性原理。这是量子力学基本原理之一。 哈密顿算符的交换对称性 考虑N个全同粒子组成的体系，q i 表示第i个粒子的空 间坐标 r i 与自旋变量 S i ，u ( q i , t ) 表示 第i个粒子在外场中 的能量，w ( q i , q j ) 表示第i、j粒子的相互作用能量，则体系的 哈密顿算符 H 写为
（7.6-3）
• 1.4 全同粒子波函数的交换对称性 （1）P i j 对波函数的作用 (, q q ,q ,q ,q , t ) 设N个全同粒子体系用波函数 1 2 i j N 描述，则有
P ( q ,, q ,q ,q , t ) ( q ,, q ,q ,q , t ) i j （7.6-4） 1 2q i j N 1 2q j i N
ˆ H (, q q , q ,) t 1 2 j q i q N ˆ H (, q q , q ,) t 1 2 i q j q N
称为交换算符，它同时交换两个粒子的坐标和自旋，哈 密顿算符的这种交换对称性又可记为
ij
（7.6-2）
P
P ij , H
0
（7.6-6）
由此得 2 1 ，所以交换算符的本征值为
1
（2）波函数的交换对称性 • 当λ＝+1时，则 P ij ，表示交换两个粒子后波函数 不变，这时的波函数称为对称波函数，记为 S 。 • 当λ＝-1时，则 Pij ，表示交换两个粒子后波函数 变号，这时的波函数称为反对称波函数，记为 A 。 可见，描述全同粒子体系的波函数对于任何两个粒子的交 换，或者是对称的，或者是反对称的。这一性质称为全同粒 子波函数的交换对称性。不具有交换对称性的波函数是不能 描述全同粒子体系的。 另外，由于 P ij , H 0 ，可见P i j 是守恒量，同粒子： 静质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒 子。例如，电子、质子，中子等。 在经典力学中，粒子是用坐标和动量来描述，可以根 据各自的运动轨迹来区分。而在量子力学中，微观全同粒子 的状态是用波函数来描述，每个粒子的波函数弥散于整个空 间，即处于同一区域各粒子波函数重迭，对粒子无法加以区 分；另外，对全同粒子体系进行测量时，关心的是在空间某 点附近粒子出现的概率（或数目），而这个概率（或数目） 究竟属于体系中的哪几个，是无法确定的。即全同粒子具有 不可区分性，这是微观粒子的基本性质之一。
量子力学9
波函数反对称化 1 [φ i ( q 1 )φ j ( q 2 ) φ j ( q 1 )φ i ( q 2 ) ] Φ (q1 , q 2 ) = 2 1 φ i (q1 ) φ i (q 2 ) = 2! φ j ( q 1 ) φ j ( q 2 )
2. N个费米子组成的体系：
Φ（ q1 , q 2 L q N ) = A
L φ k (q2 )
L L L L
φ i (q N ) φ j (q N )
L φ k (q N )
如果N个单粒子态φi φj ……φk中有两个相同，则行列式中 有两行相同，于是行列式为0。 上述讨论表明，N个费米子体系中，不能有2个或2个 以上费米子处于同一状态，这一结论称为 Pauli 不相容 原理。波函数的反对称化保证了全同费米子体系的这一重 要性质。
Байду номын сангаас
φi ( q1 ) φi ( q 2 ) L φi ( q N ) 1 φ j ( q1 ) φ j ( q 2 ) L φ j ( q N )
L L L N! L φ k ( q1 ) φ k ( q 2 ) L φ k ( q N )
讨论
I.行列式展开后，每一项都是单粒子波函数乘积形式，因而ΦA是 体系定态薛定谔方程的解. II.交换任意两个粒子，等价于行列式中相应两列对调，由行列 式性质可知，行列式要变号，故是反对称波函数。此行列式称为 Slater 行列式。 III.N个粒子分别排列在N个单粒子态上，共有N!个排列方式，所 以ΦA共有N!项。
111
I.n1=n2=n3=1
+ φ 1 q 2 )φ 2 ( q 1 )φ 3 ( q 3 ) + φ 1 q 1 )φ 2 ( q 3 )φ 3 ( q 2 )] （ （
全同粒子体系的波函数_泡利原
能量本征值仍为
E i j
交换两粒子后，能量本征值不变，这种简并称为交换简并。
下面讨论体系的波函数。 前面讲过，全同粒子体系的波函数必须有确定对称性。
（1）当i j 时，(q1, q2 ) i (q1 )i (q2 ) 是对称函数； （2）当i j 时，(q1, q2 ) i (q1) j (q2 ) (q2 , q1 ) j (q1 )i (q2 )
Hˆ 0 (q2 ) j (q2 ) j j (q2 )
···················
Hˆ 0 (qN )k (qN ) kk (qN )
有
Hˆ (i j k )
E i j k
交换任意两个粒子，体系能量本征值不变，即存在交换简并。
令
(q1, q2 ) (q1)(q2 )
设第一个粒子处于第i态，第二个粒子处于第j态，有
(q1, q2 ) i (q1 ) j (q2 )
且
Hˆ 0 (q1)i (q1) ii (q1)
Hˆ 0 (q2 ) j (q2 ) j j (q2 )
则
HˆΦ(q1, q2 ) [Hˆ 0 (q1) Hˆ 0 (q2 )]i (q1) j (q2)
j (q2 ) j (r2 ) j (S2z )
··················· k (qN ) k (rN )k (SNz ) 则体系的波函数可改写为
, ,(,.rS1)..,()1,r..S2,.,.2(z,,, rSz Nz N rr r12 SSN S1z 2z z N
即 S是对称波函数， A 是反对称波函数。
它们都是 Hˆ 的本征函数，对应本征值E i j 。
§6.4全同粒子体系的波函数泡利原理
§6.4 全同粒子体系的波函数泡利原理重点：波函数所满足的对称性下面我们首先讨论在不考虑粒子间相互作用时，两个全同粒子组成体系的波函数的对称性问题，然后推广到N个全同粒子体系中去，（一）两个全同粒子体系在不考虑粒子间相互作用时，设两个全同粒子，分别处于i，j态，若哈密顿算符不显含时间，则单粒子的体征值方程为（6.4-1）式中分别表示对应于i，j态的能量，体系的哈密顿算符（6.4-2）体系的能量为（6.4-3）波函数为（6.4-4）这可由（6.4-4）式满足下列本征值方程看出：（6.4-5）交换两粒子坐标，则有（6.4-6）同样有（6.4-7）可见和都的本征函数，本征值都是，这表示体系的能量本征值E是简并的，这种简并由于波函数中交换后得出，故称交换简并。
当两个粒子所处的状态相同，即i=j，则（6.4-4）和（6.4-6）式是同一对称波函数，当两粒子所处状态不同，即，（6.4-4）和（6.4-6）式既不是对称波函数，又不是反对称波函数，不满足全同粒子体系波函数的要求，但可以把它们组合成对称波函数或反对称波函数：（6.4-8）容易证明，归一化常数，显然，都是相的本征函数，并且都属于本征值。
这样，归一化的对称波函数和反对称波函数为：（6.4-9）（6.4-10a）反对称波函数（6.4-10a）可写成行列式形式（6.4-10b）对二个玻色子系统的波函数取（6.4-9）式，二个费密子系统的波函数取（6.4-10a）或（6.4-10b）式。
由这式可见，当i=j，即两粒子状态相同时，就得到，即体系中不能有两个费密子处于同一状态，这是泡利不相容原理在两个粒子组成体系中的表述。
（二）N个全同粒子体系把上述计论推广到含N个全同粒子的体系，设粒子相互作用可以忽略，单粒子的哈密顿算符不显含时间，则有（6.4-11）体系薛定谔方程（6.4-13）的解是（6.4-14）（6.4-15）由此可见：由无相互作用的全同粒子所组成的体系的哈密顿算符其本征函数等于各单粒子哈密顿算符本征函数之积，本征能量则等于各粒子本征能量之和。
5-3 全同粒子系统波函数的交换对称性
pF 0
V h3
8
p2dp
N,
( pF 2mF )
其中 4 变为 8 的原因是每一个空间运动状态可以容纳自旋向上和向下的两个电子，这就决定了系统
的费米能量为
对应的电子动量为
F
h2 3 2m 8
N V
2/3
,
pF
h
3 8
N V
1/3
.
在动量空间中以 pF 为半径的球面称为费米面。所以，在T 0 时，系统中的电子将填满被费米面包围的
而
所以，
Pˆij Pˆij ,
C 2 1,
解得
C 1 或者 1,
也就是说，
Pˆij 或者 . (对任何i j)
假如
Pˆij ,
则称 为交换对称波函数；假如
Pˆij ,
则称 为交换反对称波函数。
交换对称或反对称是全同粒子体系波函数的特殊的、固有的性质，因此也是微观粒子的特殊的、固
成要复杂得多，它强烈地依赖于1,, N 当中有多少个是相同的，这里不再细讲。 波函数的对称化或者反对称化会对系统的性质产生重要的影响。假设 q 是粒子的空间坐标，让我们
考虑一个双粒子体系的两个粒子的位置互相重合（ r1 r2 r ）的几率。对于波函数 I (r1, r2 ) ，这个几
子、固体中的公用电子、原子核中的核子、处在同一个势中的许多原子、等等。显然，对于全同粒子体
系，Hamiltonian 中的 mi 都相同， qi 也都有相同的组成。但是在量子力学中，全同粒子体系与非全同粒
子体系有更深刻的区别。
在经典力学中，即使两个粒子是全同的，它们也仍然是可区别的，因为它们各有自己的轨道。但是
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第六章全同粒子体系6.1 全同粒子体系之前所讨论的问题都是单粒子问题，在自然界中经常碰到由多个粒子所组成的体系，称为多粒子体系，这些体系或者由非全同粒子构成或者由全同粒子构成，而我们关注是由全同粒子构成的体系。
首先研究由全同粒子组成的多粒子体系的特性。
1、全同粒子我们称质量m，电荷q，磁矩M，自旋S等固有属性完全相同的微观粒子为全同粒子。
其中，固有属性又叫内禀属性，如所有的电子，所有的质子系都是全同粒子系，在相同的物理条件下，全同粒子体系中的全同粒子的行为应该是相同的。
全同粒子体系有个重要的特点，就是我们量子力学第5个基本假设给出的。
2、量子力学基本假设全同性原理假设（不能由量子力学中的基本假设推出）：全同粒子具有不可区分性，交换任何两个粒子不引起体系物理状态的改变。
（不可区分性与交换不变性）量子力学中，粒子的状态是用波函数来描述的，如果描述两个粒子的波没有重叠，例如：把两个粒子分别置于两个不同的容器中，自然可以区分哪个是1粒子，哪个是2粒子；但如果描述两个粒子的波发生重叠，例如：氢原子中的两个电子，这两个全同电子就无法区分了，因为一切测量结果都不会因为交换而有所改变。
由于全同粒子的不可区分性，每个粒子都是处于完全相同的状态，所以交换任何两个全同粒子并不形成新的状态。
在自然界中，实际出现的状态，只是那些交换不变的态，其余的态实际都不存在，由全同性原理假设出发，可以得到全同粒子体系的一些重要性。
3、全同粒子体系ˆH算符的交换不变性粒子不可区分，单体算符形式一样。
在量子力学情况下，微观粒子不存在严格意义的轨道，对于粒子的坐标，我们仅知道粒子在某处出现的几率，设有两个全同粒子在不同时刻给它们照相，根据照片上的位置，在某一时刻把它两个粒子编号，则在后一时刻的照片上没有任何根据能指出哪个是第一号，哪个是第二号，即使两次的照片时间间隔再短，也无法分辨。
但我们又必须给粒子的“坐标”i q 编上号码（1,2,i N =），因为不可能把各个粒子的不同坐标的哦要用一个变量q来表示，这样，12,N q q q 代表第一个位置（含自旋），第二个位置，……各有一个粒子，不能规定是哪一个粒子；于是，12,N q q q 表示粒子的坐标（含自旋），但每一个坐标q 都不专属于某一个粒子，若把12,N q q q 顺序作任意置换后，也还是在(1,2,)i q i N =各有一个粒子。
假设有一由N 个全同粒子组成的体系，以i q 表示第i 个粒子的坐标和自旋的(),i i i q r S =，(),i U q t 表示第i 个粒子在外场中的能量，(),i j W q q 表示第i 个粒子与第j 个粒子之间的相互作用能量，则体系的Hamilton 量算符可写为：()()()122211ˆˆ,,,1,,22i jN NNi i i j i i j H H q q q q q t U q t W q q μ=≠==⎡⎤=-∇++⎢⎥⎣⎦∑∑ (6.1.1)显然交换两个粒子，全同体系的ˆH不变，即交换对称性。
这里我们引入：交换算符ˆijP ：它表示交换第i 个粒子与第j 个粒子的运算 ()()1212ˆ,,,,i jN i jN q qq q q H q q q q q ≡(6.1.2)全同性原理中，全同粒子的不可区分性使得体系ˆH具有交换不变性，同样全同性原理要求体系具有交换不变性，即交换任意两粒子，体系物理状态不变。
而量子力学中状态用波函数来描述，所以全同性原理对多粒子体系的波函数提出了新的限制，除了满足其它条件外（单位、连续、有限），还必须具有交换对称性。
4、全同粒子体系波函数的交换对称性考虑由N 个全同粒子组成的多体系，其状态用波函数()12,,i jN q q q q q ψ描述，ˆijP 表示第i 个粒子与第j 个粒子交换的算符，即 ()()1212ˆˆ,,,,ij i jN i jN P H q q q q q q q q q q ψ≡(6.1.3)由全同性原理可知，ˆijP 与ψ描述的是同一量子状态，在量子力学中，它们最多只能相差一个常数因子λ，即()()1212ˆ,,,,ij i jN i jN P q q q q q q q q q q ψλψ=(6.1.4)用ˆij P 在运算一次，得2ˆˆˆˆij ij ij ij P P P P ψλψλψλψ⋅=⋅==，所以得22ˆijP ψλψ=，说明,i j 交换两次等价于不变换，2ψλψ=，因而1λ=±。
这样，全同粒子的波函数必须满足下列关系式之一：()()()121212ˆ,,,,,,ij i jN i jN i jN P q q q q q q q q q q q q q q q ψψψ==+波函数交换对称；()()()121212ˆ,,,,,,ij i jN i jN i jN P q q q q q q q q q q q q q q q ψψψ==-波函数交换反对称。
即全同性原理要求，全同粒子波函数要么是交换对称的，要么是交换反对称的，而且这种交换对称性不随时间改变。
在这里，我们把交换对称与交换反对称统称为波函数的交换对称性。
5、全同粒子体系波函数的交换对称性取决于粒子的自旋迄今为止的一切实验事实表明，对于每一类全同粒子，它们波函数的交换对称性是确定的，但到底是波函数交换对称，还是交换反对称与粒子的自旋有确定的关系。
凡自旋为整数倍的粒子（0,1,2S =），波函数对于交换两粒子总是对称的。
例如，π介子（0S =），光子（S =）。
它们在统计上遵守Bose 统计法，故称波色子。
凡自旋为半奇数倍的粒子（35222,,,S =），波函数对于交换两粒子总是反对称的。
例如，电子、质子及中子等。
它们遵守Fermi 统计法，故称费米子。
由基本粒子组成的复杂粒子，如α粒子（氦核），31H （氚核），21H （氘核）。
复杂粒子究竟是费米子还是波色子取决于其中费米子的个数，而与波色子个数无关。
由N 个波色子构成的复杂粒子仍然是波色子（总自旋为的整数倍），其波函数满足交换对称；由偶数个费米子构成的复杂粒子是波色子（总自旋为的整数倍），其波函数满足交换对称；由奇数个费米子构成的复杂粒子是费米子（总自旋为的半整数倍），其波函数满足交换反对称。
Equation Chapter 6 Section 2§6.2全同粒子体系的波函数 全同性原理对全同粒子体系的波函数加上了新的限制，或者说条件，只能交换对称或反对称，这节讨论全同粒子体系对称性波函数的具体形式。
从2个粒子推广到N 个粒子的情况。
为方便先不考虑粒子间的相互作用，则两全同粒子组成的体系ˆH可写为()()()2010201ˆˆˆˆii H H q H q H q ==+=∑ (6.2.1)ˆH 是单粒子哈密顿算符，因为全同粒子，所以在同一体系中两粒子的哈密顿算符形式是相同的，只是变量不同。
当ˆH不显含时间t ，体系定态薛定谔方程为：()()1212ˆ,,H q q E q q Φ=Φ (6.2.2)先看单粒子的状态，两全同粒子满足的是同一个单粒子的定态薛定谔方程，设第1个单粒子处于0ˆH 的第i 个本征态1()i q φ，解量本征值为i q ；第2个单粒子处在第j 个0ˆH 的本征态2()j q φ上，解量本征值为j q 。
单粒子定态薛定谔方程为0ˆ,(1,2,3)i i i H i φεφ==，i φ为单粒子解量本征态，则第一个粒子的本征值和本征态为1(),i i q φε，第二个粒子的本征值和本征态为2(),j j q φε，则01110222ˆ()()()ˆ()()()i i i j j j H q q q H q q q φεφφεφ⎧=⋅⎪⎨=⋅⎪⎩ (6.2.3)体系的波函数为()1212,()()i j q q q q φφΦ=，能量为i j E εε=+，如果交换1，2两个粒子，即2号粒子在i φ态上，1号粒子在j φ态上，重复上述过程可得()2121,()()i j i j q q q q E φφεεΦ=⎧⎪⎨=+⎪⎩(6.2.4)它也是体系定态薛定谔方程的解。
显然同一解量对应两个定态波函数，因此该体系的解量是简并的，该简并是由于交换波函数中1，2粒子引起的，ˆH 的本征函数为()()12122121,()(),()()i j i j q q q q q q q q φφφφΦ=⎧⎪⎨Φ=⎪⎩(6.2.5)称为交换简并。
我们可以得出如下结论，两无相互作用的全同粒子体系，其定态薛定谔方程的解量本征值等于两单粒子本征解量之和，体系哈密顿量的本征函数等于两单粒子哈密顿量本征函数积，且是交换简并的。
上面的讨论可以推广到N 个全同粒子体系（不考虑粒子间的相互作用），则体系的本征函数及本征值分别为()121212,,()()()i j N N i j k N E q q q q q q εεεεεφφφ=++++⎧⎨Φ=⎩ (6.2.6)是交换简并的。
上述理论上交换简并的波函数解是不是自然界中实际能够存在的两粒子体系的波函数呢？全同粒子体系的波函数要满足交换对称性，费米子满足波函数交换反对称，波色子满足波函数交换对称。
下面我们分两种情况进行讨论： 1、费米子体系如果所讨论的全同粒子体系由费米子组成，则体系的波函数满足交换反对称。
首先讨论两费米子系，(6.2.5)两式的简并波函数显然不是交换反对称的，我们必须将波函数反对称化，可以将这些简并的，不满足波函数交换反对称的波函数(6.2.5)两式通过适当的线性组合构造出满足交换反对称的波函数。
如：对两费米子体系，我们可以利用(6.2.5)两式构造出如下的反对称的波函数()()()121221,,,A A q q N q q q q Φ=Φ-Φ⎡⎤⎣⎦，该波函数在考虑粒子间的相互作用仍然可用，其中A N 为归一化常数，()()()12122112211212,,,()()()()()()()()A i j i j i i j j q q q q q q q q q q q q q q φφφφφφΦ=Φ-Φ⎡⎤⎣⎦⎡⎤=-⎣⎦=(6.2.7)显然()12,A q q Φ也还是体系ˆH 的本征函数，本征解量为i jE εε=+。
推广到N 费米子体系，其交换反对称的ˆH 的本征函数为，（它应为N 个单粒子波函数乘积的各不同交换形式线性组合）()1212121212()()()()()(),,()()()()()()i i i N j i i N A N k k k N P i i k N Pq q q q q q q q q q q q P q q q φφφφφφδφφφΦ==⋅⋅ (6.2.8)1P δ=+，p 为偶排列，1P δ=-，p 为奇排列。