【原创】第二章 基本初等函数幂函数概念

例3 ：比较下列各组数的大小
练习：如果函数
f (x) = (m2－m－1) x m 是幂函数，
求实数m的值。
m= -1 或 m= 2
小结
一. 定 义 二. 图 象 三. 性 质 四. 应 用
★如果α>0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1) 并在(0,+∞)上为增函数.
★如果α<0,则幂函数的图象过点(1,1),并在 (0,+∞)上为减函数.
★当α为奇数时,幂函数为奇函数,
★当α为偶数时,幂函数为偶函数.
例2.证明幂函数f (x) x在[0,]上是增函数.
证明: 任取 x1, x2 [0,],且 x1x2,则
看看未知数x是指数还是底数
指数函数
幂函数
例1:
判断下列函数是否为幂函数.
(1) y=x4
1 (2) y x2
1
(4) y x 2
(5) y=2x2
(3) y= -x2
(6) y=x3+2
P87练习
这个是幂函数
这个是幂函数
1.在函数y x2 , y 2x, y x2 x, y 1中,
哪几个是幂函数
2.已知幂函数y f (x)的图象过点(2, 2),
试求出这个函数的解析式.
解 : 设所求幂函数为y x ,
因为函数过点(2,
2), 所以
2
2
,
所以 log 2
2
log 2
1
22
1 2
1
故所求的幂函数为y x2 .
作出下列函数的图象:
yx
y x2 y x3
1
y x2
y x1
f (x1) f (x2)
(
x1 x2
x1 x2 x1 x2
x1 x2) ( x1 x2) x1 x2
方法技巧:分子有理化
因为x1x2, x1, x2 [0,],所以x1 x2 0, x1 x20,
所以f (x1) f (x2),即幂函数f (x) x在[0,]上的增函数.
这里V是a函数;
y
3
x
3
a
,
(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么Βιβλιοθήκη Baidu个正方形的
s 边长a
1
2,
这里S是a的函数;
1
y x2
(5)如果人ts内骑车行进了1km,那么他骑车的平均速度
t v 1 km/ s, 这里v是t的函数.
y
1
x
若将它们的自变量全部用x来表示,函数值用y来表
示,则它们的函数关系式将是:
y x2 y x3
(-2,4)
4
(2,4)
3
yx
2
(-1,1)
1
(1,1)
1
y x2
-4
-2
(-1,-1)
-1
-2
-3
2
4
6
从图象能得出他 们的性质吗?
几个幂函数的性质:
y x y x2
1
y x3 y x2 y x1
定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点
yx R
R
奇函数 增函数 (0,0),(1,1)
y x2 y x3
1
y x2
R R
x0
y0
R
偶函数 奇函数
(0,0),(1,1)
增函数 (0,0),(1,1)
y 0 非奇非偶 增函数 (0,0),(1,1)
y x1 x 0 y 0 奇函数
(1,1)
一般幂函数的性质:
★幂函数的定义域、奇偶性，单调性，
α 因函数式中 的不同而各异.
★所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数 图象都通过点(1,1).
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
y x3 … -27 -8 -1 0 1 8 27 …
1
y x2 … \ \ \ 0 1 2 3 …
y x1
…
1 1 32
-1
\
1
1 1…
23
作出下列函数的图象:
y
x
定义
一般地,函数y x 叫做幂函数,其中x是自变量,
是常量.
几点说明:
1、y x中x 前面的系数为1,并且后面没为常数项.
2、 定义域没有固定， 与的值有关.
幂函数与指数函数的对比
式子 a
指数函数: y=a x 底数
名称 x
指数
y
幂值
幂函数: y= x a 指数
底数
幂值
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点
高中数学必修 ①人教版A
§2.3幂函数
毓英中学 曾庆国
问题引入
我们先看几个具体问题:
(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需
要支付p=w元,这里p是w的函数; y x
(2) 如果正方形的边长为a,那么正方形的面积
这里S是a的函数;
y x2
S
2
a
,
(3) 如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V