二次函数常考题型

教 学 内 容

【基础知识】

常考知识点总结：

1、二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

注：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．

2、二次函数2y ax bx c =++的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项 3、()2

y a x h k =-+的性质：

4、二次函数2y ax bx c =++的性质：

（1） 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a

a ⎛⎫-- ⎪

⎝⎭，；当2b

x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b

x a =-时，y 有最小值

244ac b a -． （2） 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a

a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，；当2b

x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a

=-时，y 有最大值

244ac b a -。 5、二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一

般来说，有如下几种情况：

（1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

（2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； （3）已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 6、二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系（0a >时）：

常考题型：

题型一：根据图像，判断a 、b 、c 的关系问题。

1、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图1所示，•则下列结论：①a 、b 同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x 的值只能取0.其中正确的个数是（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

图1 图2 图3

2、小强从如图2所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：（1）0a <；（2） 1c >；（3）0b >；（4） 0a b c ++>； （5）0a b c -+>；你认为其中正确信息的个数有（ ）

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

3、已知=次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图3．则下列5个代数式： ac ，a+b+c ，4a －2b+c ， 2a+b ，2a －b 中，其值大于0的个数为（ ） A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

4、二次函数c bx ax y ++=2

的图象如图4所示，则abc ，ac b 42-，c b a ++这3个式子中，

0∆> 抛物线与x 轴

有两个交点

二次三项式的值可正、可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根

0∆= 抛物线与x 轴

只有一个交点

二次三项式的值为非负

一元二次方程有两个相等的实数根

0∆< 抛物线与x 轴

无交点

二次三项式的值恒为正

一元二次方程无实数根.

1211O

1

x

y

2

1

-1

O

x

y

值为正数的有 。

5、如图5所示，二次函数()02

≠++=a c bx ax y 的图象经过点()2,1-,且与x 轴交点的横坐标

为1x 、2x ,其中121-<<-x 、102<abc ④

ac a b 482>+正确的结论是 。

图6、已知抛物线①a ＜0；②a ＋b ＋c ＞0；③－2a

＞0，则正确的是 。 题型二：比较大小问题。

1、若A （－4，y1），B （－3，y2），C （1，y3）为二次函数y=x 2+4x －5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）

A ．y1＜y2＜y3

B ．y2＜y1＜y3

C ．y3＜y1＜y2

D ．y3＜y2＜y1 2、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图6所示，若c b a M ++=24c b a N +-=，b a P -=4，则

（ ）

A ．0>M ，0>N ，0>P

B ．0N ，0>P

C ．0>M ，0P

D ．0N ，0

图6 3、已知抛物线2y ax bx c =++（a ＜0）过A （2-，0）、O （0，0）、B （3-，1y ）、C （3，2y ）四点，则1y 与2y 的大小关系是（ ）

A ．1y ＞2y

B ．1y 2y =

C ．1y ＜2y

D ．不能确定

题型三：点坐标及平移问题。

1、二次函数2y ax bx c =++的图像如图1，则点),(c

b M 在（ ）

A