近世代数ch2(1-6节)习题参考答案
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第二章前6节习题解答 P35 §1
1.全体整数集合对于普通减法来说是不是一个群?
解 ∵减法不满足结合律,∴全体整数对于减法不构成群。 2.举出一个有两个元的群例子。
解 }11{-,对于普通乘法构成一个群。 ]}1[]0{[,对于运算][][][j i j i +=+构成群。 ]}2[]1{[,对于运算][]][[ij j i =构成群。
它们都是两个元的群。
3. 设G 是一个非空集合,”“ο是一个运算。若①”“ο运算封闭;②结合律成立;③G 中存在
右单位元R e :G a ∈?,有a ae R =;④G a ∈?,G a R
∈?-1,有R R e aa =-1。则G 是一个群。 证(仿照群第二定义的证明)
先证R R R
e a a aa ==--1
1。 ∵G a R
∈-1,∴G a ∈?',使R R e a a =-'1, ∴R R R R R R R R R R R
e a a a e a a aa a a a a a e a a a a ======--------''')()')(()(11111111,R R e a a =?-1。 ∴R R R
e a a aa ==--11。 再证a ae a e R R ==,即R e 是单位元。
G a ∈?,已证R R R
e a a aa ==--11,∴a a e a ae a a a a aa a e R R R R R =?====--)()(1
1。 ∴a ae a e R R ==。即R e 就是单位元e 。再由e a a aa R R ==--11得到1
-R a 就是1-a 。
这说明:G 中有单位元, G a ∈?都有逆元1-a 。
∴G 是一个群。
P38 §2
1. 若群G 的每一个元都适合方程e x =2,那么G 是可交换的。 证∵ 12,-=?=∈?x x e x G x 。 ∴。b b a a G b a 11,,--==?∈? ∴ba ba b a ab ===---111)(。
∴ba ab =,即G 是可换群。
2.在一个有限群中阶大于2的元的个数一定是偶数。
证 令a 是有限群G 中一个阶2>的元,∵互逆元是同阶的,∴1-a 的阶也大于2,且a a ≠-1 (若矛盾的阶与2,21>=?=-a e a a a )。
设G 中还有阶2>的元b ,且1,-≠≠a b a b ,∴1-b 的阶也大于2,且b b ≠-1。
我们还可以得出a b ≠-1,11--≠a b 。
这是因为若11--=?=a b a b ,矛盾;若a b a b =?=--11,矛盾。 所以在有限群G 中,阶2>的元成对出现,因此命题成立。
3. 假定G 是一个阶是偶数的有限群,在G 中阶等于2的元的个数一定是奇数。 证 由上题知阶2>的元的个数是偶数。
∵G 是偶数,∴ 阶2≤的元也必是偶数。但阶是1的元只有单位元e ,∴阶等于2的元的个数为奇数。
4. 在有限群G 中,每一元素具有一有限阶。
证e a G a ≠∈?,,G a a a a a G G ∈+1||||32,,....,,,,根据鸽巢原理,这1||+G 个幂至少有两个相同。不妨设)1||1(+≤<≤=G j i a a j i ,那么e a i j =-。所以命题成立。 P44§4
1. 假定两个群G 与G 的一个同态之下,
a a →,
那么a a 与的阶是否相同? 解 不一定。
取},{o e G =,运算为e e e =ο,显然},{o e G =是一个群。取整数加群}{+=Z ,G 。 建立G G →:?,其中Z n e n ∈?=,)(?。
显然?是G G 到的同态。G 的单位元0是一阶元,它的象是一阶元e ,G 的除0外的其他元都是无穷阶元,它们的象也是一阶元e 。
思考:若假定两个群G 与G 的一个同构?之下,
a a →,
那么a a 与的阶是否相同? 解 肯定相同。
①若+∞<=n a o )(,即e a n
=,∵?是同构,∴
e a e
e a
a a n n
n n =???
?
??===)()]([)(???,∴a 的阶也是有限,记m a o =)(,∴n m ≤。
又∵1
-?是G 到G 的一个同构,且e a m
=,∴e a e e a
a a m m m m
=???
???===---)()]([)(1
11???,∴m n ≤。