二项式定理经典习题及标准答案

二项式定理经典习题及答案

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二项式定理

1. 求()x x

2

9

12-

展开式的： （1）第6项的二项式系数； （2）第3项的系数； （3）x 9

的系数。

分析：（1）由二项式定理及展开式的通项公式易得：第6项的二项式系数为C 95

126=；

（2）T C x x

x 392

27

2

12129=⋅⋅-=()()，故第3项的系数为9； （3）T C x x C x r r

r

r r r r +--=⋅⋅-

=-⋅192991831212

()()()，令1839-=r ，故r ＝3，所求系数是()-=-

1

2

212

393

C 2. 求证：51151

-能被7整除。 分析：5114921494924922151

51

5105151150515150515151

-=+-=+⋅++⋅+-()C C C C ，

除C 5151

51

2

1-以外各项都能被7整除。

又C C C C C 5151

51

31717170171711617161717

2

1217117771⋅-=-=+-=++++-()()

显然能被7整除，所以51151

-能被7整除。 3. 求9192

除以100的余数。

分析：91

90190909092

92920929219192919292=+=++++()C C C C

由此可见，除后两项外均能被100整除，而C C 9291

9292

9082818210081+==⨯+ 故9192

除以100的余数为81。

4.（2009北京卷文）若4

(12)2(,a b a b +=+为有理数），则a b +=

A ．33

B ． 29

C ．23

D ．19 【答案】B

【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查.

∵()

()

()()

()

()4

1

2

3

4

012344

4

4

4

4

12

22222C

C

C C

C

+=++++

1421282417122=++++=+，

由已知，得171222a b +=+，∴171229a b +=+=.故选B .

5.（2009北京卷理）若5

(12)2(,a b a b +=+为有理数），则a b += （ ）

A ．45

B ．55

C ．70

D ．80 【答案】C

【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵

()

()

()()

()

()

()5

1

2

3

4

5

0123455

5

5

5

5

5

12222222C

C

C C

C

C

+=+++++

15220202204241292=+++++=+，

由已知，得412922a b +=+，∴412970a b +=+=.故选C . 6. 已知()x x

n -

1

24的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列。

（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项。

分析：依条件可得关于n 的方程求出n ，然后写出通项T r +1，讨论常数项和有理项对r 的限制。

解：依题意，前三项系数的绝对值分别为1，C C n n 1

2

2

12

12

()()

，且

212112

12

2C C n n ⋅=+⋅()()

即n n 2

980-+= 解得n ＝8或n ＝1（舍去）

∴=-=-+--T C x x

C

x r r r r r r

r

r 1

884816341

212()()() （1）若T r +1为常数项，当且仅当16340-=r

，即316r =，而r Z ∈，这不可能，故展开式中没有常数项。

（2）若T r +1为有理数，当且仅当

1634

-r

为整数。 08≤≤∈r r Z ，

∴=r 048,,，即展开式中的有理项共有三项，T x T x T x 14592

3581256

==

=-，， 7. （1）如果122

12222187n n n n n C C C +++

+=，则012n

n n n n C C C C ++++= （答：

128）；

（2）化简012

23(1)n n n n n C C C n C +++++（答：1

(2)2n n -⋅+）

已知92

90129(13)x a a x a x a x -=+++

+，则0129||||a a a a ++++等于_____

（答：9

4）；

（2）2004

220040122004(12)

x a a x a x a x -=++++，则0102()()a a a a +++＋

02004()a a ++＝_____（答：2004）；（3）设n

n n x a x a x a a x x 2222102)1(++++=++ ,

则=+++n

a a a 220 _____（答：2

1

3+n ）。

8．（湖南理15）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上

往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 ． 第1行 1 1