高中数学-三次函数的性质：单调区间和极值测试

高中数学-三次函数的性质：单调区间和极值测试

1．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋7，在x ∈[3,5]上的最大值和最小值分别是

( )

A ．f (2)，f (3)

B ．f (3)，f (5)

C ．f (2)，f (5)

D ．f (5)，f (3) 答案 B

解析 ∵f ′(x )＝－2x ＋4，

∴当x ∈[3,5]时，f ′(x )<0，

故f (x )在[3,5]上单调递减，

故f (x )的最大值和最小值分别是f (3)，f (5)．

2．函数f (x )＝x 3－3x (|x |＜1)

( )

A ．有最大值，但无最小值

B ．有最大值，也有最小值

C ．无最大值，但有最小值

D ．既无最大值，也无最小值

答案 D

解析 f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )＜0，所以f (x ) 在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D. 3．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是 ( )

A ．π－1 B.π2

－1 C ．π D ．π＋1 答案 C

解析 因为y ′＝1－cos x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，时，y ′＞0，则函数在区间⎣⎢⎡⎦

⎥⎤π2，π上为增函数，所以y 的最大值为y max ＝π－sin π＝π，故选C.

4．(2012·安徽改编)函数f (x )＝e x sin x 在区间⎣

⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为 ( )

A.

B. C. D.

答案 A 解析 f ′(x )＝e x

(sin x ＋cos x )．

∵x ∈⎣

⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ′(x )＞0. ∴f (x )在⎣

⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调增函数， ∴f (x )min ＝f (0)＝0，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2＝. 5．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________．

答案 －71

解析 f ′(x )＝3x 2

－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)．

由f ′(x )＝0得x ＝3或x ＝－1. 又f (－4)＝k －76，f (3)＝k －27， f (－1)＝k ＋5，f (4)＝k －20.

由f (x )max ＝k ＋5＝10，得k ＝5，

∴f (x )min ＝k －76＝－71.

1．求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最值

(1)极值是部分区间内的函数的最值，而最值是相对整个区间内的最大或最小值．

(2)求最值的步骤：

①求出函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；

②将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

2．极值与最值的区别和联系

(1)函数的极值表示函数在某一点附近的局部性质，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．

(2)函数的极值不一定是最值，需要将极值和区间端点的函数值进行比较，或者考查函数在区间内的单调性．

(3)如果连续函数在区间(a ，b )内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．

(4)可导函数在极值点的导数为零，但是导数为零的点不一定是极值点．例如，函数y ＝x 3

在x ＝0处导数为零，但x ＝0不是极值点．