高中物理：确定磁场最小面积的方法
带电粒子在磁场中的最小范围问题
一、磁场范围为圆形
例1 一质量为m 、带电量为q的粒子以
速度 从O点沿 轴正方向射入磁感强度为B
的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于 纸面，粒子飞出磁场区后，从b处穿过x 轴，速度方向与x轴正向夹角为30°，如 图1所示（粒子重力忽略不计）。
试求：（1）圆形磁场区的最小 面积； （2）粒子从O点进入磁场区到 达点所经历的时间； （3） 点的坐标。
例3 如图，一个质量为m，带电量为 的粒子在BC边上的M点以速度 垂直于BC边飞入正三角形ABC。 例4 在平面内有许多电子（质量为m、电量q为），从坐标O不断以相同速率vo沿不同方向射入第一象限，如图所示。
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为了使该粒子能在AC边上的N点（CM＝CN）垂真于AC边飞出ABC，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强 磁场。
现加一个垂直于 平面向内、磁感强度为B的匀强磁场，要求这些电子穿过磁场后都能平行于x轴向正方向运动，求符合该条件磁场的 最小面积。
为了使该粒子能在AC边上的N点（CM＝CN）垂真于AC边飞出ABC，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强 磁场。
（1）粒子在磁场里运动
的轨道半径ｒ及周期T；
（2）该粒子在磁场里运 动的时间t； （3）该正三角形区域磁 场的最小边长；
（1）
（2）Leabharlann （3）四、磁场范围为树叶形
例4 在平面内有许多电子（质量为m、电量 q为），从坐标O不断以相同速率vo沿不同方 向射入第一象限，如图所示。现加一个垂直 于 平面向内、磁感强度为B的匀强磁场， 要求这些电子穿过磁场后都能平行于x轴向正 方向运动，求符合该条件磁场的最小面积。
带电粒子在磁场中运动之
有界磁场最小面积全攻略
有界磁场最小面积全攻略作者：高爱虎来源：《中学物理·高中》2013年第12期带电粒子在磁场中的运动问题，既是高中物理的重点，也是学生学习的难点，同时又是高考的热点.而这类问题中求解有界磁场最小面积的题目更是近年来高考及各类试卷的“新宠儿”.求解有界磁场的最小面积的题目主要考查了学生对平面几何知识与物理知识的综合运用能力，它能够很好的体现高考对学生“分析综合能力、应用数学处理物理问题的能力”的考查.其难点在于粒子做部分圆周运动的圆心、半径、射入磁场点、射出磁场点的确定.下面按磁场区域的形状分类解析.1磁场区域为矩形例1如图1所示，在直角坐标系xOy第一象限的区域内存在沿y轴正方向的匀强电场.现有一质量为m，电量为e的电子从第一象限的某点A（L，38L）以初速度v0沿x轴的负方向开始运动，经过x轴上的点B（L4，0）进入第四象限，先做匀速直线运动然后进入垂直纸面向里的矩形匀强磁场区域，电子偏转后恰好经过坐标原点O，并沿y轴的正方向运动，不计电子的重力.求：（1）电子经过B点的速度v；（2）该匀强磁场的磁感应强度B的大小和矩形磁场的最小面积S.小结求解该类问题时，应依据题意确定圆心的位置、圆的半径、射入磁场点、射出磁场点，从而画出粒子在磁场中运动的部分圆弧；让矩形的一边与射入、射出磁场点的连线重合，另一边（运动轨迹小于半圆周）或三边（运动轨迹大于半圆周）与圆弧相切，据此画出能恰好覆盖运动轨迹的矩形即是最小.2磁场区域为圆形小结磁场区域为三角形的题目当三角形边长最小时粒子圆周运动的轨迹并不是三角形磁场的内切圆，因此在计算最小边长时要注意等边三角形三边的三条中垂线中只有射入、射出磁场点所在边的中垂线过轨迹圆的圆心.4磁场区域为树叶形磁场区域为树叶形的题目的特征是大量相同带电粒子都过磁场中某点.设大量质量为m、带电量为q的粒子以相同速率v垂直射入磁感应强度为B的匀强磁场中，且均过磁场中某点P.则粒子将在磁场中做半径为r=mvBq的匀速圆周运动，且轨迹圆的圆心集合是以P点为圆心、r为半径的圆（以下统称“圆心圆”），如图7虚线所示.下面利用“圆心圆”的知识求解树叶形磁场的最小面积.例4（2009年海南卷）如图8，ABCD是边长为a的正方形.质量为m、电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域.在正方形内适当区域中有匀强磁场.电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场.不计重力，求：（1）此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；（2）此匀强磁场区域的最小面积.小结沿“圆心圆”的部分弧平移某条半径即可找到相应的磁场区域边界，从而求出磁场的最小面积.。
磁场中的最小面积及动态圆积问题
磁场中的最小面积及动态圆积问题因带电粒子在磁场中做匀速圆周运动轨迹的特殊性，时常出现最小面积问题，常见的有圆形、矩形和三角形等等，以下仅就此类问题进行专题性演练。
【例1】如图所示，一质量为m 重力不计电量为q 的带电质点, 以平行于ox 轴的速度v 从y 轴上的a 点射入图中第一象限所示的区域。
为了使该质点能从x 轴上的b 点以垂直于ox 轴的速度v 射出，可在适当的地方加一个垂直于xy 平面、磁感应强度为B 的匀强磁场。
若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求此圆形磁场区域的最小半径。
【解析】由牛顿第二定律有：2v qvB m R = 可得mv R qB = 圆形磁场区域面积最小的圆是带电粒子在穿越磁场过程中以入射点 和出射点为直径的圆，故22r R = 其最小面积是：222222m v S r q B ππ== 【例2】如图，质量为m 重力不计带电量为q 的带电粒子以速度0v 从O点沿y 轴正向射入垂直于纸面、磁感强度为B 的圆形匀强磁场区域，粒子飞出磁场区域后从b 处穿过x 轴，速度方向与x 轴正向夹角为30°。
试求：（1）圆形磁场区的最小面积；（2）粒子从o 到b 经历的时间。
【解析】（1）由牛顿第二定律有：200v qv B m R = 可得0mv R qB= 如图，圆形磁场区域面积最小的圆是带电粒子以入射点和出射点为直径的圆，其半径°cos30r R =故其最小面积为：22202234m v S r q B ππ== （2）粒子从o 到b 经历的时间为：0132(3)33r m t T v qB π=+=+ 【例3】图为可测定带电粒子比荷装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里磁感应强度-32.010B T =⨯的匀强磁场，在x 轴上距坐标原点0.50L m =的P 处为离子的入射口，在y 上安放接收器，现将一重力不计的带正电的粒子以43.510/v m s =⨯的速率从P 处射入磁场，若粒子在y 轴上距坐标原点0.50L m =的M处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，试求：（1）该带电粒子的比荷q m； （2）为了在M 处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限内的磁场可以限制在一个以PM 为边界的矩形区域内，求此矩形磁场区域的最小面积。
求磁场区域最小面积的三类问题
求磁场区域最小面积的三类问题1、右图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=2．0×10-3T,在X 轴上距坐标原点L=0．50m 的P 处为离子的入射口，在Y 上安放接收器，现将一带正电荷的粒子以v=3．5×104m/s 的速率从P 处射入磁场，若粒子在y 轴上距坐标原点L=0．50m 的M 处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m,电量为q,不记其重力。
（1）求上述粒子的比荷；（2）如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限内再加一个匀强电场，就可以使其沿y 轴正方向做匀速直线运动，求匀强电场的场强大小和方向，并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强电场；（3）为了在M 处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限内的磁场可以局限在一个矩形区域内，求此矩形磁场区域的最小面积，并在图中画出该矩形。
2、如图所示，在竖直平面内，虚线MO 与水平线PQ 相交于O ，二者夹角θ=30°，在MOP 范围内存在竖直向下的匀强电场，电场强度为E ，MOQ 上方的某个区域有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，O 点处在磁场的边界上，现有一群质量为m 、电量为+q 的带电粒子在纸面内以速度v （0<v ≤BE）垂直于MO 从O 点射入磁场，所有粒子通过直线MO 时，速度方向均平行于PQ 向左，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力。
求：（1）速度最大的粒子在磁场中运动的时间；（2）速度最大的粒子打在水平线POQ 上的位置离O 点的距离； （3）磁场区域的最小面积。
3、如图，ABCD 是边长为a 的正方形。
质量为m 、电荷量为e 的电子以大小为v 0的初速度沿纸面垂直于BC 变射入正方形区域。
在正方形内适当区域中有匀强磁场。
电子从BC 边上的任意点入射，都只能从A 点射出磁场。
不计重力，求：（1）次匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小； （2）此匀强磁场区域的最小面积。
18 磁场最小面积问题—高中物理三轮复习重点题型考前突破
一、磁场形状为圆状的最小面积计算1.如图，在直角坐标系xOy平面内，虚线MN平行于y轴，N点坐标(－l，0)，MN与y 轴之间有沿y轴正方向的匀强电场，在第四象限的某区域有方向垂直于坐标平面的圆形有界匀强磁场(图中未画出)。
现有一质量为m、电荷量大小为e的电子，从虚线MN上的P点，以平行于x轴正方向的初速度v0射入电场，并从y轴上A点(0，0.5l)射出电场，射出时速度方向与y轴负方向成30°角，此后，电子做匀速直线运动，进入磁场并从圆形有界磁场边界上Q点(3l6，－l)射出，速度沿x轴负方向，不计电子重力。
求：(1)匀强电场的电场强度E的大小？(2)匀强磁场的磁感应强度B的大小？电子在磁场中运动的时间t是多少？(3)圆形有界匀强磁场区域的最小面积S是多大？解析(1)设电子在电场中运动的加速度为a，时间为t，离开电场时沿y轴方向的速度大小为v y，则a＝eE mv y＝atl＝v0tv0＝v y tan 30°解得E＝3m v20 el。
(2)设轨迹与x轴的交点为D，OD距离为x D，则x D＝0.5l tan 30°x D＝3l 6所以DQ平行于y轴，电子在磁场中做匀速圆周运动的轨道的圆心在DQ上，电子运动轨迹如图所示。
设电子离开电场时速度为v ，在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为r ， 则v 0＝v sin 30° r ＝m v eB ＝2m v 0eB r ＋r sin 30°＝l (有r ＝l3)t ＝13TT ＝2πm eB ⎝ ⎛⎭⎪⎫或T ＝2πr v ＝πl 3v 0解得B ＝6m v 0el ，t ＝πl9v 0。
(3)以切点F 、Q 为直径的圆形有界匀强磁场区域的半径最小，设为r 1，则 r 1＝r cos 30°＝3r 2＝3l6S ＝πr 21＝πl 212。
答案 (1)3m v 20el (2)6m v 0el ，πl 9v 0(3)πl 2122．如图所示，在直角坐标系xoy 中，第Ⅰ象限存在沿y 轴正方向、电场强度为E 的匀强电场，第Ⅳ象限存在一个方向垂直于纸面、磁感应强度为B 的圆形匀强磁场区域。
磁场中的最小面积问题
磁场中的“最小面积”问题河南省信阳高级中学陈庆威2016.12.27带电粒子在磁场中运动类题目本身就是磁场中的重难点问题，而求粒子在磁场中运动时的“最小面积”问题，又是这类问题中比较典型的难题。
很多时候面对这种题目，同学们的大脑都是一片空白，没有思路、没有方法、也没有模型。
那么，如何突破这一难题呢？以下是我精心整理的几道相关试题。
相信，我们通过该种模型题的训练，能学会举一反三、活学活用、准确把握模型、深刻理解模型，形成自己独立解决该类问题的思维和方法，从而全面提升我们的解题能力。
例题1：如图所示，一质量为m、电荷量为q的带电粒子，从y轴上的P/点以速度丫射入第一象限所示的区域，入射方向与x 轴正方向成。
角.为了使该粒子能从x轴上的P/点射出该区域，且射出方向与x轴正方向也成a角，可在第一象限适当的地方加一个垂直于xoy平面、磁感应强度为B的匀强磁场.若磁场分布为一个圆形区域，求这一匕心一圆形区域的最小面积为（不计粒子的重力）一一 .：解析：粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得："二崂则粒子在磁场中做圆周的半径：R =竺qB由题意可知，粒子在磁场区域中的轨道为半径等于r 的圆上的一段圆周，这段圆弧应与入射方向的速度、 出射方向的速度相切，如图所示：则到入射方向所在直线和出射方向所在直线相距为 R 的O,点 就是圆周的圆心.粒子在磁场区域中的轨道就是以0,为圆心、R 为半径的圆上的圆弧 ef,而e 点和f 点应在所求圆形磁场区 域的边界上，在通过 e 、f 两点的不同的圆周中，最小的一个 是以ef 连线为直径的圆周.即得圆形区域的最小半径 一 R sin a =皿sin ° qB 则这个圆形区域磁场的最小面积例题2：如图所示，一带电质点，质量为m,电量为q,以平行于ox 轴的速度v 从y 轴上的a 点射入图中第一象限所示的区域。
为了使该 质点能从x 轴上的b 点以垂直于ox 轴的速度v 射出，可在适当的地方加一个垂直于xoy 平面、 磁感应强度为B 的匀强磁场。
磁聚焦最小磁场面积
磁聚焦最小磁场面积磁聚焦技术是一种利用磁场对带电粒子进行引导和控制的方法。
在磁聚焦过程中，带电粒子在磁场中受到洛伦兹力的作用，沿着特定的轨迹运动。
为了使粒子聚焦在某一特定点上，需要满足一定的条件，其中最关键的是磁场的最小面积。
最小磁场面积是指为了使带电粒子聚焦在某一特定点上，所需要的最小的磁场覆盖区域。
这个面积的大小取决于粒子的速度、电荷量和磁场的强度等因素。
理论上，最小磁场面积可以通过计算洛伦兹力与粒子运动方向的夹角来确定，但在实际应用中，通常需要通过实验来找到合适的磁场配置。
为了确定最小磁场面积，需要进行一系列的实验和模拟。
这些实验和模拟需要考虑不同的磁场强度、粒子速度和夹角等因素，以找到使粒子聚焦在最佳位置的磁场配置。
在实际应用中，最小磁场面积的大小通常由磁透镜的设计和制造精度来决定。
除了最小磁场面积外，磁聚焦技术还有其他重要的参数和限制。
例如，磁场的均匀性和稳定性对聚焦效果有很大影响。
如果磁场不均匀或不稳定，带电粒子可能会偏离理想的轨迹，导致聚焦效果不佳。
因此，在实际应用中，需要综合考虑各种因素，包括磁场的设计、制造和校准等，以确保磁聚焦系统的性能和精度。
另外，磁聚焦技术还可以应用于其他领域，如粒子加速器、核聚变、医学成像和电子显微镜等。
在这些领域中，磁聚焦技术的作用是控制和引导带电粒子的运动，使其按照特定的轨迹和速度运动。
通过优化磁场的设计和配置，可以提高这些应用的性能和精度，推动相关领域的发展。
总之，磁聚焦技术是一种重要的控制和引导带电粒子的技术。
最小磁场面积是磁聚焦过程中的一个关键参数，其大小取决于粒子的速度、电荷量和磁场的强度等因素。
为了实现最佳的聚焦效果，需要综合考虑各种因素，包括磁场的设计、制造和校准等。
此外，磁聚焦技术还可以应用于其他领域，如粒子加速器、核聚变、医学成像和电子显微镜等。
通过不断优化磁场的设计和配置，可以推动相关领域的发展和技术进步。
磁场大小计算公式
磁场大小计算公式
磁场大小的计算公式是非常重要的，因为它可以帮助我们确定磁场的强度和方向。
首先，要明白一个基本的概念，那就是磁场是由带电粒子运动产生的。
当电子在运动时，它们会产生磁场，这是由于电荷的运动导致了电场的变化，从而产生了磁场。
那么，如何计算磁场的大小呢？根据磁场的定义，我们知道磁场的大小是由磁场力线的密度来决定的。
换言之，磁场的大小与磁通量密度有关。
磁通量密度是指在一个垂直于磁场方向的面上通过的磁通量与这个面积的比值，用符号B表示。
具体的计算公式是：
B = Φ / A
其中Φ是通过这个面积的磁通量，A是这个面积的大小。
如果我们知道磁场力线的密度，就可以用这个公式来计算出磁通量密度。
反过来，如果我们知道磁通量密度，就可以用这个公式来计算出磁场力线的密度。
另外，还有一种计算磁场大小的方法，那就是根据磁场的源头来计算。
磁场的源头是指产生磁场的物质，例如磁铁、电流等。
根据毕奥-沙伐定律，产生磁场的物质会对周围的空间产生一个磁场，磁场的大小与磁场源头的性质有关。
如果我们知道磁场源头的性质，例如磁体的磁感应强度或电流的大小，就可以用相应的公式来计算出磁场的大小。
总之，磁场大小的计算公式是一项非常重要的知识，在研究磁场的性质和应用中都具有重要的指导意义。
希望大家能够好好掌握这一知识点，为未来的科学研究和应用奠定坚实的基础。
带电粒子在磁场中运动之磁场最小范围问题剖析
带电粒子在磁场中运动之磁场最小范围问题剖析江苏省扬中高级中学刘风华近年来在考题中多次出现求磁场的最小范围问题，这类题对学生的平面几何知识与物理知识的综合运用能力要求较高。
其难点在于带电粒子的运动轨迹不是完整的圆，其进入边界未知的磁场后一般只运动一段圆弧后就飞出磁场边界，运动过程中的临界点(如运动形式的转折点、轨迹的切点、磁场的边界点等)难以确定。
下面我们以实例对此类问题进行分析。
一、磁场范围为圆形例1 一质量为、带电量为的粒子以速度从O点沿轴正方向射入磁感强度为的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从处穿过轴，速度方向与轴正向夹角为30?，如图1所示(粒子重力忽略不计)。
试求:(1)圆形磁场区的最小面积;(2)粒子从O点进入磁场区到达点所经历的时间;(3)点的坐标。
解析:(1)由题可知，粒子不可能直接由,点经半个圆周偏转到点，其必在圆周运动不到半圈时离开磁场区域后沿直线运动到点。
可知，其离开磁场时的临界点与,点都在圆周上，到圆心的距离必相等。
如图2，过点逆着速度的方向作虚线，与轴相交，由于粒子在磁场中偏转的半径一定，且圆心位于轴上，距O点距离和到虚线上点垂直距离相等的点即为圆周运动的圆心，圆的半径。
由，得。
弦长为:，要使圆形磁场区域面积最小，半径应为的一半，即:，面积0 (2)粒子运动的圆心角为120，时间。
(3)距离，故点的坐标为(，0)。
点评:此题关键是要找到圆心和粒子射入、射出磁场边界的临界点，注意圆心必在两临界点速度垂线的交点上且圆心到这两临界点的距离相等;还要明确所求最小圆形磁场的直径等于粒子运动轨迹的弦长。
二、磁场范围为矩形例2 如图3所示，直角坐标系第一象限的区域存在沿轴正方向的匀强电场。
现有一质量为，电量为的电子从第一象限的某点(，)以初速度沿轴的负方向开始运动，经过轴上的点(，0)进入第四象限，先做匀速直线运动然后进入垂直纸面的矩形匀强磁场区域，磁场左边界和上边界分别与轴、轴重合，电子偏转后恰好经过坐标原点，并沿轴的正方向运动，不计电子的重力。
磁场的最小面积
磁场的最小面积1．一匀强磁场，磁场方向垂直于xoy 平面，在xy 平面上，磁场分布在以O 为中心的一个圆形区域内。
一个质量为m 、电荷量为q 的电带粒子,由原点O 开始运动，初速度为v ，方向沿x 正方向。
后来，粒子经过y 轴上的P 点，此时速度方向与y 轴的夹角为30°，P 到O 的距离为L ，如图所示。
不计重力的影响。
求磁场的磁感应强度B 的大小和xy 平面上磁场区域的半径R.2。
如图所示,第四象限内有互相正交的匀强电场E 与匀强磁场B 1， E 的大小为0。
5×103V/m,B 1大小为0。
5T;第一象限的某个矩形区域内，有方向垂直纸面向里的匀强磁场B 2，磁场的下边界与x 轴重合．一质量m =1×10-14kg 、电荷量q =1×10—10C 的带正电微粒以某一速度v 沿与y 轴正方向60°角从M 点沿直线运动，经P 点即进入处于第一象限内的磁场B 2区域．一段时间后，小球经过y 轴上的N 点并与y 轴正方向成60°角的方向飞出。
M 点的坐标为（0，-10)，N 点的坐标为(0，30），不计粒子重力,g 取10m/s 2．（1)请分析判断匀强电场E 1的方向并求出微粒的运动速度v ； （2)匀强磁场B 2的大小为多大?； （3）B 2磁场区域的最小面积为多少？yxv L30°P O3．一个质量为m ，带+q 电量的粒子在BC 边上的M 点以速度v 垂直于BC 边飞入正三角形ABC 。
为了使该粒子能在AC 边上的N 点垂直于AC 边飞出该三角形，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B 的匀强磁场。
若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内,且不计粒子的重力.试求：(1）该粒子在磁场里运动的时间t ； (2）该正三角形区域磁场的最小边长； （3）画出磁场区域及粒子运动的轨迹.4．如图，ABCD 是边长为a 的正方形。
带电粒子在磁场中运动最小面积问题
带电粒子在磁场中运动最小面积问题例1.在xOy平面内有许多电子（质量为m,电荷量为e）,从坐标原点O不断以相同大小的速度v0沿不同的方向射入第一象限,如图所示.现加上一个垂直于xOy平面的磁感应强度为B的匀强磁场,要求这些电子穿过该磁场后都能沿平行于x轴正方向运动,试求出符合条件的磁场最小面积.例2．一质量为m、带电荷量为q的粒子以速度v0从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向夹角30°，如图所示(粒子重力忽略不计)．试求：(1)圆形磁场区域的最小面积．(2)粒子从O点进入磁场区域到达b点所经历的时间．(3)b点的坐标．例3．一个质量为m，带＋q电量的粒子在BC边上的M点以速度v垂直于BC边飞入正三角形ABC。
为了使该粒子能在AC边上的N点图示 (CM＝CN)垂直于AC边飞出三角形ABC，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力．试求：(1)粒子在磁场里运动的轨迹半径r及周期T；(2)该粒子在磁场里运动的时间t；(3)该正三角形磁场区域的最小边长；针对训练1．(09年海南高考)如图甲所示，ABCD是边长为a的正方形．质量为m、电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域．在正方形内适当区域中有匀强磁场．电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场．不计重力，求：(1)此匀强磁场区域中磁感应强度的大小和方向．(2)此匀强磁场区域的最小面积．2．（09年福建卷）图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=2.0×10-3T,在X 轴上距坐标原点L=0.50m的P处为离子的入射口，在Y上安放接收器，现将一带正电荷的粒子以v=3.5×104m/s的速率从P处射入磁场，若粒子在y 轴上距坐标原点L=0.50m的M处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m,电量为q,不记其重力。
寻找最小磁场的方法
据此 并 由题 意 可知 ， 子 在 磁 场 中的 轨迹 的 圆 粒 心 Ｃ必在 － 上 ， Ｐ 点在 磁场 区之外 ， Ｐ 点沿速 ｙ轴 且 过
解析 （ ）粒 子在极 板 间做类 平 抛运 动 ， 平 方 １ 水
度方 向作延 长线 ， 与 轴 相交 于 Ｑ 点 ， 圆 弧过 ０ 它 作
．
、
磁 场 边 界 为 圆 形
６ ｄｖｃ ０ ／ ｍ ｌ
、＜
例 １ 如 图 １所 示 ， 一
（ ）由 图 ２可知 ， 场 Ｂ 的最小 区域应 该应 该将 ２ 磁
质 量 ｍ— ｌ １ ｋ 、 × Ｏ ｇ 电荷
粒子 在磁场 中的轨迹 包括 进去 ， 就应是 以 Ｐ 为 直 那 Ｑ
所 以速度与 水平 方 向成 ３ 。 斜 向下 ． Ｏ角 （ ）粒 子 出 电 场 后 最 终 垂 直 Ｍ Ｎ 射 出 磁 场 ， 先 ２ 应
由 图 ４ 中几 何 关 系 得 Ｌ
一 ３ｒ．
｝ 、
找到 圆周运 动 的圆心 ， 出 电场 的 速度 方 向延 长 ， 将 与
ＡＡ 交 于 一 点 ， 就 是 两 速 度 切 线 的 交 点 ， 做 此 角 这 再
寻 找 最 小 磁 酌 方法 场
口 韩 连 仲
寻找 最小 磁场 面积 的 题 目是 磁偏 转 问 题 中 常见 的 半 径 为 Ｒ＝ ０ｃ ２ ｍ 的考查方 向， 是近 几年 高 考试 题 中常 见 的题 目． 也 但
ｍ
，
对许 多考 生来 说 ， 是一 类 较难 的题 目， 却 其难 点在 于
人 、 出磁场 边 界 的 点 ， 后 再 寻 找 磁 场 的 半 径 ． 射 之 如
域 ． 段 时 间后 ， 球 经 过 轴 上 的 Ｎ 点 并 沿 与 轴 为 劣弧 ， 连接 射入 和 射 出点 是 轨迹 圆的 最 大 弦 ， 一 小 则 以 正 方 向 成 ６ 。 的 方 向 飞 出． 点 的 坐 标 为 （ ， 此 弦为 半径 的 圆即 为最 小 的磁 场 圆 ； 为 优 弧 ， 小 ０角 Ｍ ０ 如 最
专题04 有界磁场的最小面积模型-高考物理模型(解析版)
一模型界定带电粒子在有界磁场中运动时,要完成题目要求的运动过程,空间中有粒子必须经过的一个磁场区域,按照题目要求的边界形状或由粒子临界状态下的运动轨迹所决定的有界磁场区域,其面积存在着一个最小值,此模型着重归纳有界磁场最小面积的确定与计算方法.二模型破解在涉及最小磁场面积的题目中,主要有两种类型,一种是单一粒子的运动中所经过磁场的最小面积,这种类型的题目通常对磁场区域的形状有明确的要求,如矩形、圆形、三角形;另一种类型是大量粒子经过磁场的运动,由临界状态下的粒子运动轨迹及对粒子的特定运动形式要求所产生的对磁场边界形状的特定要求,从而形成有界磁场的面积的极值问题.(i)确定粒子在磁场运动的轨迹半径粒子在磁场运动的轨迹半径通常是已知的或是能够由题目中条件计算得出的,也可在未知时先将半径假设出来.(ii)确定粒子在有界磁场中的入射方向和出射方向粒子在有界磁场中的入射方向和出射方向通常也是由题目给出或能够从题目中条件分析得出.(iii)确定粒子在有界磁场中运动时的入射点与出射点的位置当题目中没有给定粒子在进出磁场的位置时,先延长粒子的入射方向与出射方向所在的直线得到一个交点,粒子在磁场中运动的轨迹圆心必在这两条直线所形成的两对夹角中的其中一条夹角平分线上,由粒子经过磁场前后的运动要求确定圆心所在的夹角平分线;再在此夹角平分线上取一点O,过该点作粒子入射方向、出射方向所在直线的垂线,使O点到两直线的垂直距离等于粒子的运动轨迹半径,则两垂足即分别为粒子进出磁场时的入射点与出射点.(iv)确定有界磁场的边界连接入射点与出射点得到一条线段或直线,并作出粒子在磁场处于入射点与出射点之间的一段运动轨迹圆,再由题目对磁场边界形状的要求确定磁场边界线的位置或圆形磁场的最小半径.①圆形有界磁场(I)当题目对圆形磁场区域的圆心位置有规定时,连接圆心与粒子在磁场中的出射点即得到磁场区域的半径.但是这种情况下磁场区域的大小是固定的.(II)当题目对圆形磁场区域的圆心位置无规定时,若粒子在磁场中转过的圆弧为一段劣弧时，将连接入射点a与出射点b所得的线段作为磁场区域的直径,则所得圆即为最小面积的圆形磁场区域,如图1所示.图中几何关系为θsin R r=②半圆形有界磁场(I)当粒子在磁场中运动轨迹是一段劣弧时，连接入射点a 与出射点b 所得直线与半圆形边界的直边重合，以ab 为直径作出的半圆弧即为所求,如图2甲所示.图中几何关系为θsin R r =(II)当粒子在磁场中运动轨迹是一段优弧时，连接入射点a 与出射点b 所得直线与半圆形边界的直边重合，以其中点为圆心作出与粒子运动轨迹相切的圆弧，此圆弧即为半圆形磁场区域的曲线边界,如图2乙所示．图中几何关系为)cos 1(θ+=R r(III)当粒子在磁场中运动轨迹是一个半圆弧时，磁场圆形边界与粒子运动轨迹重合.③矩形有界磁场(I)当题目对矩形磁场区域边界某个边有规定时,过入射点或过出射点作已知边界线的平行线或垂线,再作与已知边界线平行或垂直的、与粒子在磁场中运动轨迹相切的直线,则所得矩形即为题目要求的最小矩形.(II)当题目对矩形磁场区域边界无规定时,第一步:连接入射点a 与出射点b 得一条直线ab;第二步:作ab 的平行线且使其与粒子运动轨迹圆相切;图2 图1第三步:作ab 的两条垂线,若粒子在磁场中转过的是一个优弧时,应使这两条垂线也与粒子运动轨迹圆弧相切,如图3甲所示;若粒子在磁场转过的是一段劣弧时,两条垂线应分别过入射点a 和出射点b,如图3乙所示.所得矩形即为题目要求的最小矩形.甲图中几何关系为)cos 1(1θ+=R L 、R L 22=乙图中几何关系为)cos 1(1θ-=R L 、θsin 22R L =○4正三角形有界磁场 当粒子在磁场中转过的圆心角超过1200时,先作入射点a 、出射点b 连线的中垂线,再从中垂线上某点作粒子运动轨迹圆的两条切线,且使两切线间的夹角为600,则此三条直线所组成的三角形即为题目所要求的最小三角形,如图4甲所示.当粒子在磁场中转过的圆心角不超过1200时,也是先作入射点a 、出射点b 连线的中垂线,再从中垂线上某点连接入射点a 与出射点b,使其与ab 组成一正三角形,此正三角形即为所示如图4乙所示.甲图中几何关系为θcos30sin30cos 00R R L +=;乙图中几何关系为θsin 2R L =. 例1.一质量为m 、带电量为＋q 的粒子以速度v 0从O 点沿y 轴正方向射入一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从b 处穿过x 轴，速度方向与x 轴正方向的夹角为30°，同时进入场强大小为大小为E ，方向沿x 轴负方向成60°角斜向下的匀强电场中，通过了b 点正下方c 点，如图所示，已知 b 到O 的距离为L ，粒子的重力不计，试求：图4 图3⑴磁感应强度B⑵圆形匀强磁场区域的最小面积；⑶c 点到b 点的距离【答案】（1）qL mv B3=（2）22min 12L S r ππ==（3）Eq mv s 2034=30° v obcv 0x yyEO 例1题图例2.如图所示，在直角坐标xOy 平面y 轴左侧（含y 轴）有一沿y 轴负方向的匀强电场，一质量为m ，电荷量为q 的带正电的粒子从x 轴上P 处发速度v0沿x 轴正方向进入电场，从ｙ轴上Q 点离开电场时速度方向与ｙ轴负方向间夹角θ＝300，Q 点坐标为(0,-ｄ)，在ｙ轴右侧有一与坐标平面垂直的有界匀强磁场区域（图中未画出），磁场磁感应强度大小qd mv B 0=，粒子能从坐标原点O 沿ｘ轴负方向再进入电场，不计粒子重力，求：(1)电场强度大小E(2)如果有界匀强磁场区域为半圆形，求磁场区域的最小面积(3)粒子从P 点运动到O 点的总时间【答案】（1）qdmv E 2320=（2）24.5d π（3）0(1338d π+） 学*科网 【解析】：（1）设粒子从Q 点离开电场时速度大小v 由粒子在匀强电场中做类平抛运动得：02v v = 由动能定理得 2022121mv mv qEd -= （2分） 例2题图解得qd mv E 2320=（1分）学*科网（3）设粒子在匀强电场中运动时间为1t粒子从Q 点离开电场时沿y 轴负向速度大小为y v 有03v v y =例2答图例3.如图所示，第三象限内存在互相垂直的匀强电场和匀强磁场，匀强磁场方向向里，大小为B 0，匀强电场场强为E 。
磁场最小面积的求法
18.（09年福建卷）22.(20分)图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=2.0×10-3T,在X 轴上距坐标原点L=0.50m 的P 处为离子的入射口，在Y 上安放接收器，现将一带正电荷的粒子以v=3.5×104m/s 的速率从P 处射入磁场，若粒子在y 轴上距坐标原点L=0.50m 的M 处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m,电量为q,不记其重力。
（1）求上述粒子的比荷q m； （2）如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限内再加一个匀强电场，就可以使其沿y 轴正方向做匀速直线运动，求该匀强电场的场强大小和方向，并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强电场；（3）为了在M 处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限内的磁场可以局限在一个矩形区域内，求此矩形磁场区域的最小面积，并在图中画出该矩形。
答案（1）mq =4.9×710C/kg （或5.0×710C/kg ）；（2）s t 6109.7-⨯= ； （3）225.0m S = 解析：第（1）问本题考查带电粒子在磁场中的运动。
第（2）问涉及到复合场（速度选择器模型）第（3）问是带电粒子在有界磁场（矩形区域）中的运动。
（1）设粒子在磁场中的运动半径为r 。
如图甲，依题意M 、P 连线即为该粒子在磁场中作匀速圆周运动的直径，由几何关系得 22Lr =① 由洛伦兹力提供粒子在磁场中作匀速圆周运动的向心力，可得rv m qvB 2= ②联立①②并代入数据得mq =4.9×710C/kg （或5.0×710C/kg ） ③ （2）设所加电场的场强大小为E 。
如图乙，当粒子子经过Q 点时，速度沿y 轴正方向，依题意，在此时加入沿x 轴正方向的匀强电场，电场力与此时洛伦兹力平衡，则有 qvB qE = ④ 代入数据得 C N E /70= ⑤所加电场的长枪方向沿x 轴正方向。
带电粒子在磁场中的运动的最小面积问题
带电粒子在磁场中的运动的最小面积问题引言磁场是由磁场线引起电场的结果，同样地，电场也是由电荷引起的。
磁力线可以用来描述磁场，电荷可以用来描述电场。
针对带电粒子在磁场中的运动的最小面积问题，根据电磁场和相对论，我们将得出一组有效的解决方案。
一、磁力线磁力线就是电流通过一个指定的半径r的圆形区域的磁场感应而形成的线状物，它也是一种物理现象。
磁力线的分布是特定的，大致呈现环状或类似波状，磁力线的密度随着半径r的增大而减小。
它表现出一种有规律的分布，这是理论上它版本，它也称为密度存在着一定的减弱规律，我们不妨以圆环或者一种类似于椭圆状的“钟形磁力线”为例，描述它是如何形成的：磁力线的面积减小，电流分布从圆轴向圆环的外延拓展，同时电流的宽度也会加宽来空间平衡。
大多数物理现象都可以用磁力线描述，例如电动力，磁场能量等等。
二、多普勒效应多普勒效应是1880年和1905年由德国物理学家阿尔伯特·爱因斯坦和英国物理学家罗素发现的，它是指物体在磁场中移动时，它们之间会产生电磁叠加的现象，并产生移动的“拉曼光谱”。
这种现象可以用电磁力线描述，其原理是当一个物体在一个磁场中移动时，它会影响它周围的磁力线的面积，而磁力线的面积因被影响而改变，从而产生电磁叠加的现象，另外，磁场中的电荷也会改变，从而叠加出新的物理性质。
三、相对论1905年，阿尔伯特·爱因斯坦发表了他经典的相对论，这是物理学史上的一个重大突破，他用蕴藏在物质里的相对性，解释了物理世界的性质，并建立了我们今天的宇宙论和量子力学的基础。
相对论应用于电动力学，则为我们提供了有效的描述和分析电磁场的手段，可以用来分析物体在磁场中如何受到力的影响，从而研究其在特定磁力线面积上的运动轨迹。
四、解决方案针对带电粒子在磁场中的运动的最小面积问题，考虑到多普勒效应和相对论，有两种解决方案可以考虑：1. 由多普勒效应，可以利用拉曼光谱来分析物体在不同磁力线和电荷的面积中的运动情况，从而判断物体在特定磁力线面积的最小运动轨迹，也就是物体在特定面积内的最小面积；2. 通过应用相对论理论，可以考虑到电磁场各种参数（强度和方向），将它们作为条件分析，利用相对论推导出物体最小运动轨迹的面积。
磁场区域的最小面积问题201409
（2）磁场区域的最小面积.
（3）根据你以上的计算可求出粒子射到PQ上的最远点离O的距离，请写出该距离的大小（只要写出最远距离的最终结果，不要求写出解题过程）
【答案】(1) 或 (2) 或 (3)d= （
【解析】（1）(11分)粒子的运动轨迹如图所示，设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，粒子在匀强磁场中运动时间为t1
（3）设在坐标（x，y）的点进入磁场，由相似三角形得到：
圆的方程为：
消去（y+b），磁场边界的方程为：
11、（揭阳二模1304）(18分)直角坐标系xoy界线OM两侧区域分别有如图所示电、磁场（第三象限除外），匀强磁场磁感应强度为B、方向垂直纸面向外，匀强电场场强 、方向沿x轴负方向。一不计重力的带正电的粒子，从坐标原点O以速度为v、沿x轴负方向射入磁场，随后从界线上的P点垂直电场方向进入电场，并最终飞离电、磁场区域。已知粒子的电荷量为q，质量为m，求：
3、一质量为m、带电量为q的粒子以速度v0从O点沿y轴的正方向射入磁感强度为B的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向夹角为30°，如图所示，粒子的重力不计，试求：
⑴圆形磁场区域的最小面积。
⑵粒子从O点进入磁场区域到达b点所经历的时间。
⑶b点的坐标。
磁场区域的最小面积问题
考题中多次出现求磁场的最小范围问题，这类题对学生的平面几何知识与物理知识的综合运用能力要求较高。其难点在于带电粒子的运动轨迹不是完整的圆，其进入边界未知的磁场后一般只运动一段圆弧后就飞出磁场边界，运动过程中的临界点（如运动形式的转折点、轨迹的切点、磁场的边界点等）难以确定。下面我们以实例对此类问题进行分析。
高中物理：确定磁场最小面积的方法
高中物理：确定磁场最小面积的方法电磁场内容历来是高考中的重点和难点，而这类问题单纯从物理的角度又比较难求解，下面介绍几种数学方法。
一、几何法例1. 一质量为m、电荷量为+q的粒子以速度，从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向的夹角为30°，同时进入场强为E、方向沿与x轴负方向成60°角斜向下的匀强电场中，通过了b点正下方的c点，如图1所示，粒子的重力不计，试求：（1）圆形匀强磁场区域的最小面积；（2）c点到b点的距离。
图1解析：（1）先找圆心，过b点逆着速度v的方向作直线bd，交y轴于d，由于粒子在磁场中偏转的半径一定，且圆心位于Ob连线上，距O点距离为圆的半径，据牛顿第二定律有：①解得②过圆心作bd的垂线，粒子在磁场中运动的轨迹如图2所示：要使磁场的区域有最小面积，则Oa应为磁场区域的直径，由几何关系知：图2③由②③得所以圆形匀强磁场的最小面积为：（2）带电粒子进入电场后，由于速度方向与电场力方向垂直，故做类平抛运动，由运动的合成知识有：④⑤而⑥联立④⑤⑥解得二、参数方法例2. 在xOy平面内有许多电子（质量为m、电荷量为e），从坐标原点O不断地以相同的速率沿不同方向射入第一象限，如图3所示。
现加一个垂直于平面向里，磁感应强度为B的匀强磁场，要使这些电子穿过磁场区域后都能平行于x轴向x轴正向运动。
求符合该条件磁场的最小面积。
图3解析：由题意可知，电子是以一定速度从原点O沿任意方向射入第一象限时，先考察速度沿+y方向的电子，其运动轨迹是圆心在x轴上的A1点、半径为的圆。
该电子沿圆弧OCP运动至最高点P时即朝x轴的正向，可见这段圆弧就是符合条件磁场的上边界，见图5。
当电子速度方向与x轴正向成角度时，作出轨迹图4，当电子达到磁场边界时，速度方向必须平行于x轴方向，设边界任一点的坐标为，由图4可知：图4，消去参数得：可以看出随着的变化，S的轨迹是圆心为（0，R），半径为R的圆，即是磁场区域的下边界。
最小磁场区域面积问题
最小磁场区域面积问题1.（09年海南物理）16．如图，ABCD 是边长为a 的正方形。
质量为m 、电荷量为e 的电子以大小为0v 的初速度沿纸面垂直于BC 边射入正方形区域。
在正方形内适当区域中有匀强磁场。
电子从BC 边上的任意点入射，都只能从A 点射出磁场。
不计重力，求： （1）此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；（2）此匀强磁场区域的最小面积。
解析：（1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为B 。
令圆弧 AEC 是自C 点垂直于BC 入射的电子在磁场中的运行轨道。
电子所受到的磁场的作用力0f ev B =应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外。
圆弧 AEC 的圆心在CB 边或其延长线上。
依题意， 圆心在A 、C 连线的中垂线上，故 B 点即为圆心，圆半径为a 按照牛顿定律有202v f m =联立①②式得 0mv B ea=（2）由（1）中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自C 点垂直于BC 入射电子在A 点沿DA 方向射出，且自BC 边上其它点垂直于入射的电子的运动轨道只能在BAEC 区域中。
因而，圆弧 AEC 是所求的最小磁场区域的一个边界。
为了决定该磁场区域的另一边界，我们来考察射中A 点的电子的速度方向与BA 的延长线交角为θ（不妨设02πθ≤<）的情形。
该电子的运动轨迹qpA 如图所示。
图中，圆 AP 的圆心为O ，pq 垂直于BC 边 ，由③式知，圆弧 AP 的半径仍为a ，在D 为原点、DC 为x 轴，AD 为y 轴的坐标系中，P 点的坐标(,)x y 为sin [(cos )]cos x a y a z a a θθθ==---=-④⑤这意味着，在范围02πθ≤≤内，p 点形成以D 为圆心、a 为半径的四分之一圆周 AFC ，它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界。
因此，所求的最小匀强磁场区域时分别以B 和D 为圆心、a 为半径的两个四分之一圆周 AEC 和 AFC 所围成的，其面积为2221122()422S a a a ππ-=-=评分参考：本题10分。
带电粒子在磁场中的运动最小非圆面积的一类题的解法(磁聚焦问题)
S
2(1 r2
r2 )
(
1) m2v02
4
2
2 e2B2
例2、（2009·海南·T16）如图，ABCD是边长为a的正方形。
质量为m电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂 直于BC边射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀
强磁场，电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射
出磁场。不计重力，求：
在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发
射出一束具有相同质量m、电荷量q(q＞0)和初速度v的带
电微粒。发射时，这束带电微粒分布在0＜y＜2R的区间内。
已知重力加速度大小为g。
（1）从A点射出的带电微粒平行于x轴从C点进入有磁场区
域，并从坐标原点O沿y轴负方向离开，求电场强度和磁感
应强度的大小与方向。
磁发散：反之,从磁场边界上某点向四周发射速率相 同的粒子,其出射方向都平行于入射点的切线方向.
一点发散成平行
平行会聚于一点
磁发散原理图解
B
O1
O2
A
演示
演示
磁聚焦原理
演示
演示
磁聚焦原理
例3、（2009年浙江卷）如图，在xOy平面内与y轴平行的匀强
电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场。
这一片电子最后扩展到 －2H<y<2H 范围内，继续沿 x
轴正向平行地以相同的速率 v0向远处射出。已知电子的 电量为 e，质量为 m，不考虑电子间的相互作用。
y
v0
O
x
v0
On
O1 O2 O3 O5O4
1解1:电子由O点射入第Ⅰ象限做匀速
y
a
圆周运动
ev0