Lecture5 表面等离激元教学教材
第五课：表面等离激元
Hiy
将上两式代入麦克斯韦方程，可得：
其中：
（qi为x方向的波矢）
由边界条件： H1y H2y E1x E2x
上述方程组有解的条件为： 由束缚解的条件可得： i 0 由表面处的连续性条件可得：
12 0
要求：1 2
表面等离激元存在的条件（色散关系）
For q, ωis given by the solution of 1 2 0
Surface Plasmon的微观理论描述
n+
n0
ε (ω )
d//
ε (ω )=1
z
B
0
d⊥ V
(V z B)
Di
(z,ຫໍສະໝຸດ q,)
()Ei (z, q,), Ei (z, q,),(z
(z B), V ).
对任意z:
方法：将 z=B 代入以上两式，得到表面两边的连接方程，再联立求解。 困难： 两个未知积分的存在！ 出路： 近似求解（Q<<1），在所有关于Q的表达式中精确到Q的一次项。 关键： Dx 和 Ez （仅仅需要其在Q=0 的情况下的表达式）。
表面等离激元的微观描述 表面等离激元的杂化理论 表面等离激元的激发和探测
电子激发 光子激发
等离激元：起源于电子间的长程库伦相互作用
ee- -
ee--
微观尺度上电子密度的起伏：电子气体相对于正离子背景的集体振荡 !
纳米颗粒中的电子气的集体振荡
类比例子：容器中水波的振荡
等离激元的经典描述
n (E2 E1) 0
z≠0
代入
z=0
0,(z 0) (z) 1,(z 0)
表面等离激元
表面等离激元介绍定义及原理：当光波（电磁波）入射到金属与介质分界面时，金属表面的自由电子发生集体振荡，电磁波与金属表面自由电子耦合而形成的一种沿着金属表面传播的近场电磁波，如果电子的振荡频率与入射光波的频率一致就会产生共振，在共振状态下电磁场的能量被有效地转变为金属表面自由电子的集体振动能，这时就形成的一种特殊的电磁模式：电磁场被局限在金属表面很小的范围内并发生增强，这种现象就被称为表面等离激元现象。
性质：表面等离激元是外界光场与金属中自由电子相互作用的电磁模，在这种相互作用下外界光场被集体振荡的电子俘获，构成了具有独特性质的SPPs 。
在平坦的金属/介质界面，SPPs 沿着表面传播，由于金属中欧姆热效应，它们将逐渐耗尽能量，只能传播到有限的距离，大约是纳米或微米数量级。
只有当结构尺寸可以与SPPs 传播距离相比拟时，SPPs 特性和效应才会显露出来。
随着工艺技术的不断进步，现今已经可以制作特征尺寸为微米和纳米级的电子元件和回路，在这个领域的研究也迅速开展起来。
表面等离激元主要具有如下的的基本性质:1. 在垂直于界面的方向场强呈指数衰减;2. 能够突破衍射极限;3. 具有很强的局域场增强效应;4. 只能发生在介电参数(实部)符号相反(即金属和介质)的界面两侧。
表面等离激元的激发：由于表面等离激元在界面附近的电场方向与界面垂直，要激发表面等离激元，光波必须具有与界面垂直的电场分量。
此外，在激发表面等离激元的过程中，还需要满足波矢匹配条件。
相同频率下，金属与介质界面的表面等离激元与光波的波矢关系可以表示为：2/121210)(εεεε+=k k spp ，其中spp k 是表面等离激元波矢，0k 是光波波矢。
一般来说，对于介质01>ε；而对于金属，212;0εεε<<且。
相同频率时，表面等离激元的波矢大于光波波矢，所以用平面光波无法直接激发出表面等离激元。
要想实现光激发，就必须通过特殊方法来补偿光波损失，使波矢匹配条件成立。
Lecture5表面等离激元(课堂)-2022年学习资料
20-iQE,z+dE,/dz=0-d2Ex /dz2=Q2Ex2,+0-QE,z=-idE,/dz-Ex =Ae-zexpQz+Bezexp-Qz-0,z<0-⊙z=-E,z=-iAe-zexpQz+iBezex -Qz-1,a>0-Z=0-代入-Ex0=Ex0+-A=B-E20-=EoE,0+--A=E@B-o=-1 w2=o/2-ew=1-op/o2-12
表面等离激元-a-Dielectric-由AAA:-δa-Metal-局域在表面（界面）附近的电子密度振荡 air-metal-8-振荡波沿着表面方向传播
表面等离激元的经典描述-non-retarded regime,light speed co-由麦克斯韦方 组：-10-VXH:=eic月-Ei=0-1∂-V xEi=--.0H;=0-c∂t-V.e;E=0-7· ;=0,-Z=0-i=1 at<0,and i=2 at>0.-9
等离激元：起源于电子间的长程库伦相互作用-微观尺度上电子密度的起伏：电子气体相对于正离子背景的集体振荡！米颗粒中的电子气的集体振荡-类比例子：容器中水波的振荡-5
等离激元的经典描述-设电子气相对与正电背景的位移为x,则产生的电场为：-E=nex/8o-作用在每个电子上 恢复力为-E,电子气的运动方程为：-d2x-=-meE=_-e'x-nm-+0x=0-其中：，=nen-对 于频率为w,的简谐振动的运动方程！-在量子理论中，其振荡的能量w。是量子化的，其能量量子称为等离激元。
真空-金属界面的等离激元-z）-δn-no-VACUUM-METAL Ew-εw=1-2-2,9,o=,g 2,q,o-可-8oEz,q,o,z>0-Ez,9,⊙，z<0-10
表面等离激元课程教学大纲
表面等离激元课程教学大纲表面等离激元课程教学大纲引言：表面等离激元是一门重要的物理学课程，它涉及到光学、纳米技术、材料科学等多个领域。
本文将探讨表面等离激元课程的教学大纲，旨在为教师和学生提供一个清晰的学习框架。
一、课程简介1.1 课程背景介绍表面等离激元的概念和应用领域，解释为什么学习这门课程对于理解光学和纳米技术的发展具有重要意义。
1.2 学习目标明确课程的学习目标，包括理解表面等离激元的基本原理、掌握相关的数学和物理模型、了解表面等离激元在光学器件和传感器中的应用等。
二、基础知识2.1 光学基础回顾光的基本概念、光的传播、折射和反射等基础知识，为后续学习表面等离激元打下基础。
2.2 纳米技术基础介绍纳米技术的概念和发展，包括纳米材料的制备和表征方法，为理解表面等离激元在纳米尺度上的应用做准备。
三、表面等离激元的基本原理3.1 电磁波与金属表面的相互作用解释电磁波在金属表面上的传播过程，包括电磁波的吸收、反射和透射等。
3.2 表面等离激元的起源与定义介绍表面等离激元的起源和定义，解释表面等离激元的特殊性质和应用前景。
3.3 表面等离激元的数学模型介绍表面等离激元的数学模型，包括Maxwell方程组、Drude模型等，以及如何利用这些模型来描述和计算表面等离激元的性质。
四、表面等离激元的应用4.1 表面等离激元传感器介绍表面等离激元在传感器领域的应用，包括生物传感器、化学传感器等，解释其原理和优势。
4.2 表面等离激元光学器件介绍表面等离激元在光学器件中的应用，包括超透镜、纳米光源等，解释其原理和性能。
五、实验教学5.1 实验目标明确实验的目标和要求，培养学生的动手能力和实验设计能力。
5.2 实验内容介绍一些与表面等离激元相关的实验，包括表面等离激元的激发和探测实验等，让学生亲自操作和观察实验现象。
六、评估方法6.1 课堂测验设计一些课堂测验题目，检验学生对于表面等离激元的理解程度和数学模型的应用能力。
表面等离激元
表面等离激元介绍定义及原理：当光波（电磁波）入射到金属与介质分界面时，金属表面的自由电子发生集体振荡，电磁波与金属表面自由电子耦合而形成的一种沿着金属表面传播的近场电磁波，如果电子的振荡频率与入射光波的频率一致就会产生共振，在共振状态下电磁场的能量被有效地转变为金属表面自由电子的集体振动能，这时就形成的一种特殊的电磁模式：电磁场被局限在金属表面很小的范围内并发生增强，这种现象就被称为表面等离激元现象。
性质：表面等离激元是外界光场与金属中自由电子相互作用的电磁模，在这种相互作用下外界光场被集体振荡的电子俘获，构成了具有独特性质的SPPs。
在平坦的金属/介质界面，SPPs沿着表面传播，由于金属中欧姆热效应，它们将逐渐耗尽能量，只能传播到有限的距离，大约是纳米或微米数量级。
只有当结构尺寸可以与SPPs传播距离相比拟时，SPPs特性和效应才会显露出来。
随着工艺技术的不断进步，现今已经可以制作特征尺寸为微米和纳米级的电子元件和回路，在这个领域的研究也迅速开展起来。
表面等离激元主要具有如下的的基本性质:在垂直于界面的方向场强呈指数衰减;能够突破衍射极限;具有很强的局域场增强效应;只能发生在介电参数(实部)符号相反(即金属和介质)的界面两侧。
表面等离激元的激发：由于表面等离激元在界面附近的电场方向与界面垂直，要激发表面等离激元，光波必须具有与界面垂直的电场分量。
此外，在激发表面等离激元的过程中，还需要满足波矢匹配条件。
相同频率下，金属与介质界面的表面等离激元与光波的波矢关系可以表示为：，其中是表面等离激元波矢，是光波波矢。
一般来说，对于介质；而对于金属，。
相同频率时，表面等离激元的波矢大于光波波矢，所以用平面光波无法直接激发出表面等离激元。
要想实现光激发，就必须通过特殊方法来补偿光波损失，使波矢匹配条件成立。
目前主要通过全反射和散射波矢补偿两种方法。
应用：随着表面等离激元理论研究的深入以及各种结构的器件的成功制作，其在光学各领域应用具有巨大的潜力，尤其在解决了一些以往光学长期不能解决的问题，其中包括金属亚波长结构的增透效应在超分辨率纳米光刻、高密度数据存储、近场光学等领域的应用。
表面等离激元PPT课件
Part 1
Surface plasmon polaritons(SPPs)
Surface plasmons (not SPPs), occur as light induced packets of electrical charges collectively oscillate at the surfaces of metals at optical frequencies. Under specific conditions, the light that radiates the object (incident light) couples with the surface plasmons to create self-sustaining, propagating electromagnetic waves known as surface plasmon polaritons (SPPs). Once launched, the SPPs ripple along the metal-dielectric interface and do not stray from this narrow path. Compared with the incident light that triggered the transformation, the SPPs can be much shorter in wavelength. In other words, when SPs couple with a photon, the resulting hybridised excitation is called a surface plasmon polariton (SPP). This SPP can propagate along the surface of a metal until energy is lost either via absorption in the metal or radiation into free-space.
表面等离激元
表面等离激元
表面等离激元是一种物质表面上生成的量子现象，它是由电子或
其它粒子的表面辐射而产生的。
表面等离激元也被称为薛定谔光子，又或通常称为表面等离激元散射或表面等离激元发射，它是
当电子和其它粒子受到较高能量条件的冲击，高能粒子释放出的
物质表面上的微小散射现象。
表面等离激元的发现可追溯到二十世纪的晚期，当时物理学家薛
定谔假设了一种解释辐射的力学模型，可用来解释电子在物质表
面受到辐射时、所产生的等离激元现象。
这样，当具有足够高能
量的电子或其它高能粒子（比如X射线等）击中某种物质表面时，将会产生表面等离激元现象，从而激发电子并使其跃迁到更高的
能量状态，从而排放出光子。
表面等离激元散射现象是这种现象
的特征表现。
表面等离激元的研究为物理和材料科学提供了丰富的研究方向。
它可以被运用于物质表面外延生长中的自体表面活化，以及电子学、材料学和光电子学等领域。
在生物学领域，表面等离激元还可用来研究细胞膜外层结构的形成和固态变化等。
此外，该现象还在应用物理、工程、医疗等领域不断拓展其研究面，也正在被用于先进的材料设计和表面增强等技术。
因此，表面等离激元是一种由物质表面受到高能量冲击而发出的量子现象，它具有广泛的应用前景
可用于物理、工程、生物学及其它领域等。
它不仅使科学家们获得更大的自由度去探索表面辐射现象，而且希望能为更多领域的研究带来重要信息，并有助于人们了解空间的辐射现象。
Lecture5 表面等离激元ppt课件
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32
Band-structure effects
微观描述的关键
n 1 ( r ,) d 3 r 1 ( r ,r ,) s( c r ,f)
1 (r ,r , ) k ,k (fk fk )k * (r ) k (r k ) k * k ( r i )k (r )
z=0
n（ D2 D1 )
n ( E2 E1 ) 0
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11
z≠0
代入
z=0
0,(z 0) (z) 1,(z 0)
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12
Retarded regime (light speed c is finite)
由麦克斯韦方程组：
可编辑课件PPT
13
可以证明：s-polarized wave (TE mode) 在表面上不能存在！ 因此，我们只考虑 p-polarized wave (TM mode)：
39
几种极限情况
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40
Free-standing Ag薄膜的表面等离激元
反对称模式 -+-+-++-+-+-+
对称模式 +-+-+-+ +-+-+-+
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41
Z. Yuan and S. Gao, Phys. Rev. B 73, 155411 (2006)
表面等离激元的杂化理论
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37
模型（Non-retarded regime）
z
v 1 v
c
1
2 c
2
c
第五课：表面等离激元
z=0
n （ D2 D1 ) n ( E2 E1 ) 0
z≠0
0, ( z 0) ( z ) 1, ( z 0)
代入
z=0
Retarded regime (light speed c is finite)
由麦克斯韦方程组：
可以证明：s-polarized wave (TE mode) 在表面上不能存在！ 因此，我们只考虑 p-polarized wave (TM mode)：
表面等离激元
局域在表面（界面）附近的电子密度振荡
振荡波沿着表面方向传播
表面等离激元的经典描述 (non-retarded regime, light speed c)
由麦克斯韦方程组：
=0 =0
真空-金属界面的等离激元
Φ(z) δn n0 METAL ε(ω)
VACUUM
ε(ω)=1
0
表面等离激元的微观描述 表面等离激元的杂化理论 表面等离激元的激发和探测
电子激发 光子激发
等离激元：起源于电子间的长程库伦相互作用
e e-
e e-
微观尺度上电子密度的起伏：电子气体相对于正离子背景的集体振荡 !
纳米颗粒中的电子气的集体振荡
类比例子：容器中水波的振荡
等离激元的经典描述
n+
n0
ε (ω )
d//
ε (ω )=1 0
z
B
d⊥
V (V z B )
( ) Ei ( z, q, ), ( z B), Di ( z, q, ) Ei ( z, q, ), ( z V ).
对任意z:Βιβλιοθήκη s cq s / c
表面等离激元效应
表⾯等离激元效应⾦属材料表⾯的等离激元表⾯等离激元理论涉及到⾦属中电⼦的共谐振荡和麦克斯韦⽅程求解等较为复杂的物理和数学知识,其相关概念如下。
1. 表⾯等离激元 (SPPs)SPPs是光和⾦属表⾯的⾃由电⼦相互作⽤增强了电⼦集体振动所引起的⼀种电磁波模式,或者说是在局域⾦属表⾯的⼀种⾃由电⼦和光⼦相互作⽤形成的混合激发态。
当具有⾦属薄膜结构的电池器件受到⼊射光照射时，在⾦属膜与介质形成的界⾯上也会产⽣表⾯等离激元共振，形成表⾯等离激元模式。
2. 局域表⾯等离激元共振(LSPR)当电磁波与微纳尺⼨的⾦属粒⼦（包括纳⽶级颗粒、微结构、缺陷等）相互作⽤时，载流电⼦与电磁场耦合产⽣共振效应（表⾯等离激元共振），导致粒⼦内部和外部近场区域的场放⼤，⽽外场作⽤下产⽣的这种表⾯等离激元波会被局限在微纳⾦属结构附近的亚波长尺⼨范围之内，且不会发⽣SPPs似的传播，这样的表⾯等离激元叫做局域表⾯等离激元。
3. 表⾯等离激元和⼊射光的耦合⽅式如图是在太阳能电池结构中表⾯等离激元和⼊射光的耦合⽅式：a.多重散射主导的光俘获；b.局域表⾯等离激元共振主导的光俘获；c.吸收层/⾦属（光栅）薄膜界⾯表⾯等离激元主导的光获。
⾦属纳⽶颗粒发⽣表⾯等离激元共振时，其散射截⾯相对于其⼏何截⾯要⼤很多，散射截⾯⼤约是其⼏何截⾯的10倍（图a）。
这使得散射光在半导体中以⼀定⾓度进⾏传播，光程得到有效增加。
当⾦属纳⽶颗粒放置于电池电介质层（称减反层）的前后表⾯（称前位和背位）时，会产⽣散射作⽤。
表⾯等离激元共振会对⼊射光产⽣很强的吸收，在⾦属纳⽶颗粒附近产⽣很强的电场，这种电场会在⾦属纳⽶颗粒附近的半导体材料中激发产⽣激⼦。
这种⽅式称为近场增强（图b）。
如果将⾦属纳⽶颗粒置于太阳电池电介质层（减反层）和功能层中，就有可能同时实现散射增强和近场增强。
表⾯局域和近场增强是表⾯等离激元的两个特有性质：在⾦属和半导体中场分布呈指数形衰减，在界⾯处呈现⾼度局域，因此表⾯等离激元在太阳电池的吸收层中能有效的陷光和导光（图c）。
表面等离激元
表面等离激元1.表面等离激元(SPP)的定义、性质及激发方式。
表面等离激元（SPPs）定义为自由电子与电磁场相互作用产生的沿金属表面传播的电子疏密波。
性质1. 在垂直于界面的方向场强呈指数衰减2.能够突破衍射极限;3.具有很强的局域场增强效应;4.只能发生在介电参数(实部)符号相反(即金属和介质)的界面两侧。
激发方式:1.棱镜耦合Kretschamann与Otto结构2.光栅(金属表面缺陷)耦合k//=k0sinq±Nkg= kspp 3.波导模耦合4.强聚焦光束(SNOM)2.理解并掌握金属电介质SPP色散关系的物理意义。
3.选择一种SPP的应用简述原理。
4.光子晶体的基本概念、定义、特性、带隙成因及其与电子材料的区别。
光子晶体是指具有光子带隙（PhotonicBand-Gap,简称为PBG）特性的人造周期性电介质结构。
由于介电常数存在空间上的周期性，进而引起空间折射率的周期变化。
当介电系数的变化足够大且变化周期与光波长相当时，光波的色散关系会出现带状结构，介电常数周期性排列的方向并不等同于带隙出现的方向，在一维光子晶体和二维光子晶体中，也有可能出现全方位的三维带隙结构。
特性:1.抑制自发辐射，带隙中态密度为零，自发辐射几率也就为零，这也就抑制了自发辐射。
2.光子局域化，当光子晶体原有的对称性遭到破坏时，即有了缺陷，在光子晶体中禁带中就可能出现频宽极窄的缺陷态或局域态，与缺陷态频率符合的光子会被局限在缺陷位置，而不能向空间传播。
带隙成因:电磁波在周期性电介质材料中传播时，由于受到调制而形成光子能带结构，频率落在带隙内的电磁波不能通过介质而被全部反射，即形成光子带隙。
电子材料:电子在周期场中传播时，由于会受到周期势场的布拉格散射，会形成能带结构，带与带之间可能存在带隙。
电子波的能量如果落在带隙中，传播是禁止的。
电子材料是通过周期性的晶体结构从而产生周期性势垒，按照薛定谔方程形成带隙。
电磁波是通过周期性的介电常数，按照麦克斯韦方程形成光子带隙。
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– Non-retarded regime – Electrostatic surface waves – Non-propagating collective vibrations of the electron
plasma near the metal surface
等离激元相关的几种尺度
衬底中的衰减长度 真空中的衰减长度 波长
传播长度
SP vs. SPP
• Surface plasmon polarition (SPP)
– Retarded regime – Electromagnetic surface waves that can propagate
along a surface. – Surface plasmon coupled with a photon
第五课:
表面等离激元
主要内容
体等离激元回顾 表面等离激元简介 表面等离激元的经典描述
✓ Retarded regime ✓ Non-retarded regime
表面等离激元的微观描述 表面等离激元的杂化理论 表面等离激元的激发和探测
✓ 电子激发 ✓ 光子激发
等离激元：起源于电子间的长程库伦相互作用
Hiy
将上两式代入麦克斯韦方程，可得：
其中：
（qi为x方向的波矢）
由边界条件： H1y H2y E1x E2x
上述方程组有解的条件为： 由束缚解的条件可得： i 0 由表面处的连续性条件可得：
12 0
要求：1 2
表面等离激元存在的条件（色散关系）
For q, ω is given by the solution of 1 2 0
ee--
ee--
微观尺度上电子密度的起伏：电子气体相对于正离子背景的集体振荡 !
纳米颗粒中的电子气的集体振荡
类比例子：容器中水波的振荡
等离激元的经典描述
设电子气相对与正电背景的位移为x，则产生的电场为：
E nex / 0
作用在每个电子上的恢复力为-eE，电子气的运动方程为：
d2x
n2e2 x
nm dt2 neE 0
d2x dt 2
2 p
x
0
其中： p
( ne2 )1/2
m 0
对应于频率为 ωp的简谐振动的运动方程！
在量子理论中，其振荡的能量ωp是量子化的，其能量量子称为等离激元。
表面等离激元
局域在表面（界面）附近的电子密度振荡
振荡波沿着表面方向传播
表面等离激元的经典描述 (non-retarded regime, light speed c)
真空-金属界面的等离激元
对于满足Drude模型的金属-真空界面：
1
1
2 p
2
2 1
可得：
2 p
c2q2
Bulk plasmon
cq
p
light
s p / 2
Surface plasmon
s
q s / c
c
Retarded regime
q s / c
Non-retarded regime
以上利用麦克斯韦方程讨论了表面等离激元的经典
图像，但是忽略量子效应的影响。实际上量子效应会
对系统电子的非局域响应和表面处电子密度的微观空 间分布产生很大的影响。在长波极限(q<<qF)，这些 量子效应一般可以被忽略。但是当等离激元的波长接 近原子尺度时，量子效应将变得非常明显。
Surface Plasmon的微观理论描述
qrLeabharlann c1r 1r 1
qi
c
1r 1r
1
3
/
2
1i 212r
定义传播长度：Li (2qi )1
对于 λ=633nm, Li=44μm (Ag), Li=14μm (Au),
穿透深度(Skin depth)
真空-金属界面等离激元的穿透深度
定义穿透深度：
真空中的穿透深度要大于金属，尤其是在长波极限。
(V,B)区域之外Surface Plasmon电场的表达式
z (V , B)
代入
代入
Dz
(B)
Dz
(V
)
iQ
B
V dzzdDx
(z)
/
dz
zDx
(B)
VDx
(V
)
考虑到：
(V = 0¯)
(B = 0+)
代入
Ex
(B)
Ez
(V
)
iQ
B
V dzzdEz
(z)
/
dz
zEz
(B)
VEz
(V
)
n+
n0
ε(ω)
d//
ε(ω)=1
z
B
0
d⊥ V
(V z B)
Di
(
z,
q,
)
()Ei (z, q,), Ei (z, q,),(z
(z B), V ).
对任意z:
方法：将 z=B 代入以上两式，得到表面两边的连接方程，再联立求解。 困难： 两个未知积分的存在！ 出路： 近似求解（Q<<1），在所有关于Q的表达式中精确到Q的一次项。 关键： Dx 和 Ez （仅仅需要其在Q=0 的情况下的表达式）。
z=0
n（ D2 D1)
n (E2 E1) 0
z≠0
代入
z=0
0,(z 0) (z) 1,(z 0)
Retarded regime (light speed c is finite)
由麦克斯韦方程组：
可以证明：s-polarized wave (TE mode) 在表面上不能存在！ 因此，我们只考虑 p-polarized wave (TM mode)：
由麦克斯韦方程组：
=0 =0
真空-金属界面的等离激元
δn
VACUUM
ε(ω)=1
Φ(z) n0
METAL ε(ω)
0
z
D(z,
q,)
(
z,
q,
)·E ( z,
q,
)
()E(z, q,), (z 0)
E(z, q,), (z 0)
由于沿表面的平移不变性：
根据Maxwell方程组（non-retarded limit）： z≠0
群速：dω / dk
传播长度 (Propagation length)
对于实际情况的金属，其介电函数还存在虚数项：
1
1
2 p
(
i)
1r
i1i
1/ 2
q
qr
iqi
c
1 2 1 2
由：
可知：表面等离激元沿着表面方向的传播是衰减的。
对于： 1r 0, 1r 1, 1r 1i ,2 1
1/ 2
考虑到：
(V = 0¯)
(B = 0+)
微观描述下表面等离激元的色散关系
d//(ω)和d⊥(ω)的示意图
xx RPA
(
z,
)
1
2 p
n0
(
z)
2n0 ()
d/R/ P（ A ）
d
d
dzz dz n0 (z) / dz dz n0 (z)
• 其中d// 对应于平衡状态下表面电荷的质心相对于凝胶边界（最 外层原子核向表面外延伸一个半晶格长度）的位置。