第八章图与网络分析

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运筹学填空题及基础知识

7．线性规划问题的最优基为B，基变量的目标系数为CB，则其对偶问题的最优解Y﹡= CBB－1。
8．若X﹡和Y﹡分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX﹡= Y﹡b。
9．若X、Y分别是线性规划的原问题和对偶问题的可行解，则有CX≤Yb。
10．若X﹡和Y﹡分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX﹡=Y*b。
6．若线性规划问题有最优解，则最优解一定可以在可行域的顶点（极点）达到。
7．线性规划问题有可行解，则必有基可行解。
8．如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在其基可行解_的集合中进行搜索即可得到最优解。
9．满足非负条件的基本解称为基本可行解。
10．在将线性规划问题的一般形式转化为标准形式时，引入的松驰数量在目标函数中的系数为零。
14.(单纯形法解基的形成来源共有三种
15.在大M法中，M表示充分大正数。
七、用大M法求解下列线性规划问题。并指出问题的解属于哪一类。
第四章线性规划的对偶理论
一、填空题
1．线性规划问题具有对偶性，即对于任何一个求最大值的线性规划问题，都有一个求最小值/极小值的线性规划问题与之对应，反之亦然。
5．运筹学研究和解决问题的基础是最优化技术，并强调系统整体优化功能。运筹学研究和解决问题的效果具有连续性。
6．运筹学用系统的观点研究功能之间的关系。
7．运筹学研究和解决问题的优势是应用各学科交叉的方法，具有典型综合应用特性。
8．运筹学的发展趋势是进一步依赖于_计算机的应用和发展。
9．运筹学解决问题时首先要观察待决策问题所处的环境。
第五章线性规划的灵敏度分析
一、填空题
1、灵敏度分析研究的是线性规划模型的原始、最优解数据变化对产生的影响。

最大流最小割

给标号（49），（，）加粗线。
计算结果： — — 为最短路，路长为49。
即：在第一年、第三年初各购买一台新设备为最优决策。这时5年的总费用为49。
例13已知某地区的交通网络如图8-37所示，其中点代表居民小区，边代表公路，为小区间公路距离，问区中心医院应建在哪个小区，可使离医院最远的小区居民就诊时所走的路程最近？
=｛59,…19+30,…12+20,…｝=28,
给标号（28），（，）加粗线。
5) min｛( ), , , ,( ), , , ｝
=｛40,…41, 40,… 43, …｝=40,对应两个边：
给标号（40），（，）加粗线,（，）加粗线。
6）min｛ , ,( ), , ｝= min｛59,53,49,50,55｝=49
边（，）表示第i年购进的设备一直使用到第j年初（即第j-1年底）。
边（，）上的数字表示第i年初购进设备，一直使用到第j年初所需支付的购买费、维修的全部费用（可由表8-2计算得到）。例如：（，）边上的28是第一年初的购买费11加上三年的维修费5，6，8，减去3年役龄机器的残值2；（，）边上的20是第二年初购买费12减去机器残值3与使用二年维修费5，6之和，见下图：
Min｛（）, , ｝=min｛6,9,8｝=6
给标号（6）：表明从第二个圈出来最近的一站是，总长度是6。
给（，）划成粗线。
划第三个圈。
表明：圈内的点已完成考察。
4）现已走出第三个圈，向奔。有四条路可走，最优路线在何方？即：
Min｛ ,（）, , ｝=min｛9,8,10,13｝=8
给标号（8）：表明从第三个圈出来后最近的一站是，总长度是8。

运筹学第八章图论 - 全

(a)明显为二部图，(b)也是二部图，但不明显，改画为(c) 时即可看出。
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图与网络的基本知识
次，奇点，偶点，孤立点与某一个点vi相关联的边的数目称为点vi的次（也叫做度），记作d(vi)。右图中d(v1)＝４,d(v3)=5,d(v5)=1。次为奇数的点称作奇点，次为偶数的
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图与网络的基本知识
有向图无向图
道路
回路
链
圈
道路(边的方向一致)
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图与网络的基本知识
连通图
定义10 一个图中任意两点间至少有一条链相连，则称此图为连通图。任何一个不连通图总可以分为若干个连通子图，每一个称为原图的一个分图（连通分支）。
连通图
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边，对余下的图重复这个步骤，直至无圈为止。
２、避圈法：每次增加一条边，且与已有边不构成圈，直至恰有n-1条边为止。
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树
例１、下图是某建筑物的平面图，要求在其内部从每一房间都能走到别的所有的房间，问至少要在墙上开多少门？试给出一个开门的方案。
三
七
Байду номын сангаас
三八一四二五
七八九六
无向图
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有向图
8
图与网络的基本知识
环, 多重边, 简单图如果边e的两个端点相重，称该边为环。如右图中边e1为环。如果两个点之间边多于一条，称为多重边，如右
v2 e5
多重边
e2
e1 v1
环
e3 v3
e4
图中的e4和e5，对无环、无多重边的

计算机网络安全第八章IDS

2 之 2
误用检测模型
目录>>IDS的分类>>按照分析方法分
2 之 1
网络数据
日志数据
误用检测
入侵行为
攻击模式描述库
规则匹配
动态产生新描述动态更新描述
特点
目录>>IDS的分类>>按照分析方法分
2 之 2
误报率低，漏报率高。攻击特征的细微变化，会使得误用检测无能为力。
按照数据来源分
目录
10 之 8
建立预警机制采取灾备措施提高保障意识
从预警到保障
IDS发展过程
— 概念的诞生
目录
10 之 9
1980年4月，James P. Anderson为美国空军做了一份题为《Computer Security Threat Monitoring and Surveillance》（计算机安全威胁监控与监视）：
异常检测模型
目录>>IDS的分类>>按照分析方法分
2 之 1
网络数据
日志数据
异常检测
入侵行为
正常行为描述库
规则不匹配
动态产生新描述动态更新描述
特点
目录>>IDS的分类>>按照分析方法分
异常检测系统的效率取决于用户轮廓的完备性和监控的频率；因为不需要对每种入侵行为进行定义，因此能有效检测未知的入侵；系统能针对用户行为的改变进行自我调整和优化，但随着检测模型的逐步精确，异常检测会消耗更多的系统资源；漏报率低，误报率高。
统计分析
目录>>IDS的基本结构>>信息分析
统计分析方法首先给系统对象（如用户、文件、目录和设备等）创建一个统计描述，统计正常使用时的一些测量属性（如访问次数、操作失败次数和延时等）。测量属性的平均值和偏差将被用来与网络、系统的行为进行比较，任何观察值在正常值范围之外时，就认为有入侵发生。

804运筹学考研大纲

三、考试时间与试卷结构
考试时间为180分钟，满分150分。试题的类型含：计算题和建模题，或上述题型的综合。
四、参考书目
胡运权，运筹学教程（1998年版或2003年第二版），清华大学出版社
胡运权，运筹学习题集（第三版），清华大学出版社，2002年
一、考试要求
要求考生系统掌握运筹学的基本概念、主要理论和方法，各类模型的结构特点、实际含义及一般问题的建模技巧。
二、考试内容
第一章、第二章线性规划及单纯形法、线性规划的对偶理论与灵敏度分析
1、基本内容：线性规划问题的数学模型；图解法；基本概念和基本定理；单纯形法原理与计算步骤；解的情况判别；线性规划问题的建模与应用。线性规划问题的原问题与对偶问题的对应关系，对偶问题的性质；影子价格；了解对偶单纯形法；价值系数cj和资源可用量bi变化时的灵敏度分析。
2、重点内容：M/M/l等待制排队系统的分析和优化
第十三章决策分析
1、基本内容：决策分析的基本概念、基本类型；风险型决策问题的期望值和决策树方法；不确定型决策方法；熟悉效用函数方法和层次分析方法基本思想。
2、重点内容：决策问题益损系数矩阵的形成和决策问题的建立；风险型决策问题的期望值和决策树方法（包括多个决策点的决策树方法）；不确定型决策方法；效用函数方法基本思想。
第七章动态规划
1、基本内容：动态规划的基本概念；动态规划数学模型的特点及构建；离散确定型动态规划模型的求解；几个典型的动态规划问题建模和求解；一般数学规划模型的动态规划解法。
2、重点内容：最段路问题、资源分配问题、背包问题、复合系统可靠性问题等典型动态规划问题的建模和求解。
第八章图与网络分析
1、基本内容：PERT网络图的要素与构建；PERT网络图时间参数的计算；网络的关键路线；最低成本日程（工期~成本优化）问题。

管理运筹学判断题背诵讲义

管理运筹学判断题背诵讲义第一章线性规划与单纯形表a)图解法同单纯形法虽然求解的形式不同,但从几何上理解,两者是一致的； b) 线性规划模型中增加一个约束条件,可行域的范围般将缩小,减少一个约束条件,可行域的范围一般将扩大；c) 线性规划问题的每一个基解对应可行域的一个顶点； d)如线性规划问题存在可行域，则可行域定包含坐标的原点；e)对取值无约束的变量j x ，通常令'''j j j x x x =-其中'j x ≥0,''j x ≥0,在用单纯形法求得的最优解中有可能同时出现'j x >0，''j x >0；f)用单纯形法求解标准型的线性规划问题时，与j σ>0对应的变量都可以被选作换人变量；g)单纯形法计算中，如不按最小比值原则选取换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值为负；h) 单纯形法计算中,选取最大正检验数k σ对应的变量k x 作为换入变量，将使目标函数值得到最快的增长；i)一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，则该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除,而不影响计算结果；j)线性规划问题的任-可行解都可以用全部基可行解的线性组合表示；k)若X 1,X 2分别是某一线性规划问题的最优解则X=1λX 1 +2λX 2也是该线性规划问题的最优解，其中1λ，2λ可以为任意正的实数；1)线性规划用两阶段法求解时，第一阶段的目标函数通常写为 minz=ai ix ∑(ai x 为人工变量)，但也可写为minz=i ai ik x ,只要所有k i ,均为大于零的常数； m)对一个有n 个变量、m 个约束的标准型的线性规划问题,其可行域的顶点恰好为m n c 个；n) 单纯形法的迭代计算过程是从一个可行解转换到目标函数值更大的另一个可行解；o)线性规划问题的可行解如为最优解，则该可行解定是基可行解；p)若线性规划问题具有可行解，且其可行域有界，则该线性规划问题最多具有有限个数的最优解；q)线性规划可行域的某一顶点若其目标函数值优于相邻的所有顶点的目标函数值,则该顶点处的目标函数值达到最优；r) 将线性规划约束条件的“≤”号及“≥”号变换成“一”号,将使问题的最优目标函数值得到改善；s)线性规划目标函数中系数最大的变量在最优解中总是取正的值:t)一个企业利用3种资源生产4种产品建立线性规划模型求解得到的最优解中最多只含有3种产品的组合；u)若线性规划问题的可行域可以伸展到无限，则该问题一定具有无界解； v)一个线性规划问题求解时的选代工作量主要取决于变量数的多少，与约束条件的数量关系相对较小。

运筹学综合练习题

《运筹学》综合练习题第一章线性规划及单纯形法1、教材43页——44页题2、教材44页题3、教材45页题4、教材46页题5、教材46页题6、补充：判断下述说法是否正确LP 问题的可行域是凸集。

LP 问题的基本可行解对应可行域的顶点。

LP 问题的最优解一定是可行域的顶点,可行域的顶点也一定是最优解。

若LP 问题有两个最优解,则它一定有无穷多个最优解.求解LP 问题时,对取值无约束的自由变量，通常令"-'=j j j x x x ,其中∶≥"'j j x x ,在用单纯形法求得的最优解中,不可能同时出现0"'j j x x .当用两阶段法求解带有大M 的LP 模型时，若第一阶段的最优目标函数值为零，则可断言原LP 模型一定有最优解。

7、补充：建立模型（1）某采油区已建有n 个计量站B 1，B 2…B n ，各站目前尚未被利用的能力为b 1，b 2…b n （吨液量/日）。

为适应油田开发的需要，规划在该油区打m 口调整井A 1，A 2…A m ，且这些井的位置已经确定。

根据预测，调整井的产量分别为a 1，a 2…a m （吨液量/日）。

考虑到原有计量站富余的能力，决定不另建新站，而用原有老站分工管辖调整井。

按规划要求，每口井只能属于一个计量站。

假定A i 到B j 的距离d ij 已知，试确定各调整井与计量站的关系，使新建集输管线总长度最短。

（2）靠近某河流有两个化工厂(见附图)，流经第一个工厂的河流流量是每天500万立方米；在两个工厂之间有一条流量为每天200万立方米的支流。

第一个工厂每天排放工业污水2万立方米；第二个工厂每天排放工业污水1.4万立方米。

从第一个工厂排出的污水流到第二个工厂之前，有20%可自然净化。

根据环保要求，河流中工业污水的含量不应大于%，若这两个工厂都各自处理一部分污水，第一个工厂的处理成本是1000元/万立方米，第二个工厂的处理成本是800元/万立方米。

电力企业管理网络图的构成要素及其绘制步骤;网络时间参数的含义、作用;网络计划的优化方法

电力企业管理网络图的构成要素及其绘制步骤；网络时间参数的含义、作用；网络计划的优化方法主题：网络计划技术学习时间： 2017年6月5日--6月11日内容：这周我们将学习课件第八章中的第1-4节，主要介绍网络图的构成要素及其绘制步骤；网络时间参数的含义、作用；网络计划的优化方法。

一、相关案例分析在开始学习前，请同学们先阅读1个案例，在案例中加深对本次课程的认识。

1、某变电站施工工序明细表如下表所示，试计算节点最早开始时间和最迟结束时间，绘制网络图，并指出关键线路。

某变电站施工工序明细表解：根据工序明细表，绘制出如下图所示的网络图。

计算节点最早开始时间E T (1)=0{}E E T (j)=max T (i)+T (i,j) j=23n，，可得2)计算节点最迟结束时间矩形框内和三角形框内为计算得到的节点最早开始时间和最迟结束时间。

3)计算各工序时间和工序总时差，根据前面我们学的公式，计算结果如下表所示。

{}{}{}{}{}{}{}{}{}EE E E E E E E E E E E E E T (1)=0T (2)=max T (1)+T (1,2)=max 0+44T (3)=max T (1)+T (1,3)=max 0+33T (4)=max T (3)+T (3,4),T (2)+T (2,4)=max 3+4,4+1014T (5)=max T (1)+T (1,5),T (2)+T (2,5)=max 0+2,4+610T (6)=max T (4)+T (4,6),T (5)+T (5,6)=m ===={}{}{}E E ax 14+8,10+522T (7)=max T (6)+T (6,7)=max 22+224=={}{}{}{}{}{}{}{}{}{}LE L L LL L L L L LL LL T (7)=T (7)=24T (6)=min T (7)-T (6,7)=min 24-2=22 T (5)=min T (6)-T (5,6)=min 22-5=17T (4)=min T (6)-T (4,6)=min 22-8=14T (3)=min T (4)-T (3,4)=min 14-4=10T (2)=min T (4)-T (2,4),T (5)-T (2,5)=min 14-10,17-6=4T (1){}{}L L L =min T (2)-T (1,2),T (3)-T (1,3),T (5)-T (1,5)=min 4-4,10-3,17-2=4)由上表可以看出，时差为零的工序为关键工序，由这些关键工序连接起来的线路为关键线路，本题的关键线路为1-2-4-6-7，路长为24个月。

运筹学习题答案(1)

第一章线性规划及单纯形法（作业）1.4 分别用图解法和单纯型法求解下列线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。

（1）Max z=2x 1+x 2St.⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0,24261553212121x x x x x x 解：①图解法：由作图知，目标函数等值线越往右上移动，目标函数越大，故c 点为对应的最优解，最优解为直线⎩⎨⎧=+=+242615532121x x x x 的交点，解之得X=(15/4,3/4)T 。

Max z =33/4. ② 单纯形法：将上述问题化成标准形式有： Max z=2x 1+x 2+0x 3+0x 4St. ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++0,,,242615535421421321x x x x x x x x x x其约束条件系数矩阵增广矩阵为：P 1 P 2 P 3 P 4⎥⎦⎤⎢⎣⎡241026150153 P 3,P 4为单位矩阵，构成一个基，对应变量向，x 3,x 4为基变量，令非基变量x 1,x 2为零，找到T 优解，代入目标函数得Max z=33/4.1.7 分别用单纯形法中的大M 法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出属哪一类。

（3）Min z=4x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=-+=+)4,3,2,1(0426343342132121j xj x x x x x x x x 解：这种情况化为标准形式： Max z ＇=-4x 1-x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=-+=+)4,3,2,1(0426343342132121j xj x x x x x x x x 添加人工变量y1,y2Max z ＇=-4x 1-x 2+0x 3+0x 4-My 1-My 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=≥=++=+-+=++0,).4,3,2,1(04263433214112321121y y j xj x x x y x x x y x x(2) 两阶段法： Min ω=y 1+y 2St.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=≥=++=+-+=++0,).4,3,2,1(04263433214112321121y y j xj x x x y x x x y x x第二阶段，将表中y 1,y 2去掉，目标函数回归到Max z ＇=-4x 1-x 2+0x 3+0x 4第二章线性规划的对偶理论与灵敏度分析（作业）2.7给出线性规划问题：Max z=2x 1+4x 2+x 3+x 4⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤++≤++≤+≤++)4,3,2,1(096628332143221421j x x x x x x x x x x x x j要求：（1）写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为X *=(2,2,4,0),试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。

8.1__图与网络分析基本概念

• 不连通图中的每个连通的部分,称为原图的连通分图. 链、圈、路、回路都是原图的连通分图.
16
5、连通图、连通分图、子图
• 给定图 G
(V , E )
,如果有 (V , E ),使得 V V,E E ， G 为则称 G 为 G 的一个子图.当 V V 时, 则称 G G 的一个
而 e i 是 v i , v j的关联边. • 同一条边的两个端点称为相邻顶点.具有共同端点的边称为相邻边. • 一条边的两个端点相同,称为环.具有两个共同端点的
两条边称为多重边. • 既没有环也没有多重边的图称为简单图.
9
3、端点、关联边、相邻、次
• 一个没有环,但允许有多重边的图称为多重图. 今后若不加特别说明,所研究的图均为简单图. • 在无向图中,以顶点 v 为端点的边的数目,称为该顶点的次,记作 d ( v ) . 次为1的点称为悬挂点,连接悬挂点的边称为悬挂边. 次为0的点称为孤立点. 仅有孤立点的图为零图. 次为奇数的点称为奇点,次为偶数的点称为偶点. 图中顶点均为偶点的图称为偶图.
链中没有重复点和重复边的链称为初等链. • 链 ( v i , v i , v i ) 中,若 v i v i ,则称此链为圈.
1 1 k
1
k
没有重复点和重复边的圈称为初等圈.
14
4、链、圈、路、回路
• 设D是一个有向图, G是它的基础图.若 ( v i , e i , ...., e i , v i )
6
无向图
有向图
混合图
• 图G或D的边数记作 m ( G ) 或 m ( D ) , 顶点个数记作n ( G ) 或 n ( D ) .在不引起混淆情况下,也简记为m , n .

Python中的数据分析和统计方法

Python中的数据分析和统计方法Python是一门功能强大的编程语言，广泛应用于数据分析和统计方法。

本文将详细介绍Python中常用的数据分析和统计方法，并按类进行章节划分，深入探讨每个章节的具体内容。

第一章：数据预处理在进行数据分析之前，通常需要对原始数据进行清洗和预处理。

Python提供了很多用于数据预处理的库和方法。

其中，pandas是最常用的库之一。

pandas可以用于数据的读取、清洗、转换和合并等操作。

另外，NumPy库也提供了许多用于数组操作和数值运算的函数，可用于数据预处理过程中的一些计算。

第二章：数据可视化数据可视化是数据分析的重要环节，它可以使得数据更加直观和易于理解。

Python中有多个可视化库可以使用，如Matplotlib、Seaborn和Plotly等。

这些库可以生成各种类型的图表，如线图、散点图、柱状图和饼图等。

通过合理选择和使用可视化方法，可以更好地展示数据的分布和趋势。

第三章：统计描述统计描述是对数据进行摘要和概括的过程。

在Python中，可以使用pandas库的describe()函数来计算数据的基本统计量，如均值、标准差、最大值和最小值等。

此外，还可以使用scipy库中的一些函数来计算概率分布、置信区间和假设检验等统计指标。

第四章：回归分析回归分析是数据分析中常用的一种方法，用于探究变量之间的关系和预测未来趋势。

Python中的statsmodels库提供了许多回归分析的方法，如线性回归、逻辑回归和多元回归等。

通过回归分析，可以得到模型的参数估计和拟合优度等指标，进而对未知数据进行预测和推测。

第五章：聚类分析聚类分析是将数据按照相似性进行分组的一种方法。

在Python 中，可以使用scikit-learn库中的KMeans算法来进行聚类分析。

KMeans算法通过迭代计算将数据划分为K个簇，使得同一簇内的数据相似度最高，不同簇之间的相似度最低。

聚类分析可以帮助我们发现数据中潜在的模式和规律。

高等运筹学教学大纲

研究生课程教学大纲格式课程编号：（由研究生院统一编写）课程名称：高等运筹学开课院系：数学系任课教师：刘巍先修课程：高等数学、线性代数、概率论与数理统计适用学科范围：交通信息工程及控制、交通运输规划与管理、物流工程与管理、管理科学与工程、交通工程、企业管理、行政管理学时：36 学分：2开课学期：第一学期开课形式：课堂讲授为主课程目的和基本要求：（200字左右）课程目的是通过本课程的教学使学生掌握运筹学的基本原理和方法，具有运用运筹学思想和方法分析、解决实际问题的能力和创新思维与应用能力。

基本要求：正确理解运筹学方法论，掌握运筹学整体优化思想；熟悉决策分析的思路和过程；掌握线性规划、动态规划、网络模型等基本模型的功能和特点，熟悉其建模条件、步骤及相应技巧；能够采用计算机软件对常用模型进行求解计算和分析，能正确应用各类模型分析、解决一些实际问题；培养和提高学生科学思维、科学方法和创新能力，为进一步的研究和应用打下基础。

课程主要内容：（1000~1500字）第一章线性规划及单纯形法1.线性规划问题及其数学模型2.线性规划问题的几何意义3.单纯形法4.应用举例第二章对偶理论与灵敏度分析1.单纯形法的矩阵描述2.对偶问题的提出3.线性规划的对偶理论4.对偶问题的经济解释—影子价格5.对偶单纯形法6.灵敏度分析第三章运输问题1.运输问题的数学模型2.表上作业法3.产销不平衡的运输问题及其求解方法4.应用举例第四章目标规划1.目标规划的数学模型2.解目标规划的图解法3.解目标规划的单纯形法4.应用举例第五章整数规划1.整数规划问题的提出2.分枝定界法3.割平面解法4.指派问题第六章动态规划1.多阶段决策过程及实例2.动态规划的基本概念和基本方程3.动态规划的最优性原理和最优性定理4.动态规划和静态规划的关系第七章图与网络分析1.基本概念2.最短路问题3.网络最大流问题4.最小费用最大流问题第八章网络设计的图解评审法1.网络计划2.图解评审法第九章决策论1.决策的分类2.决策过程3.不确定型的决策4.风险决策5.效用理论在决策中的应用6.序列决策课程主要教材：1. 《运筹学》（修订版），《运筹学》教材编写组编，清华大学出版社。

北交大交通运输学院《管理运筹学》知识点总结与例题讲解第8章图与网络分析

（a）
（b）
（c）
图 8-9 图、子图、支撑子图
（4）图的同构设 G1 与 G2 是两个同阶图，若顶点集合 V1 和 V2 以及边集 E1 和 E2 之间在保持关联性
质条件下的一一对应，则称图 G1 和图 G2 同构。例如：图 8-10（a）和图 8-10（b）就为同构。
（a）
(b)
图 8-10 同构图
（10）定理 8.1 对于图 G=(V ,E) ，其中 V = n , E = m ,则有：
∑d (v) = 2m
（8-2）
v∈V
证明：每条边都有两个端点，在计算顶点的次时，每个端点都要计算对应边次，故共有
2m 次。
通俗地讲，就是线有两头，共有 2m 个线头的意思。
（11）定理 8.2 奇次顶的总数是偶数。
第八章图与网络分析
8.1 图与网络的基本知识
8.1.1 图与网络的基本概念 8.1.1.1 图的定义自然界和人类社会中，大量的事物以及事物之间的关系，常可以用图形来描述。例如：图 8-4 所示的我国北京、上海等十个城市间的交通图反映了这十个城市间铁路
分布情况。这里用点代表城市，用点和点之间的连线代表这两个城市之间有直通铁路。
图 8-7 一个无向图
G = (V, E) V= {v1, v2 ,v3 , v4} E={e1, e2 ,e3 , e4 ,e5 , e6 , e7}
其中
e1 = [v1 ,v2 ] , e2 = [v1 ,v2 ] , e3 = [v2 ,v3 ] , e4 = [v3 ,v4 ] ,
图 8-8 是一个有向图。该图可以表示为：
图 8-4 十个城市间铁路分布图
又如某单位储存五种化学药品，其中，某些药品是不能放在同一库房里的，为了反映这种情况，可以用点 v1 、 v2 、 v3 、 v4 、 v5 分别代表这五种药品，若药品 vi 和药品 v j 是不能存放在同一库房的，则在 vi 和 v j 之间连一条线，如图 8-5 所示。如果问题归结为寻求存放这种化学药品的最少库房个数，则该问题就是染色问题。事实上，至少需要三个库房来存放这些药品，即 v1 和 v5 、 v2 和 v4 、 v3 各存放在一个库房里。

运筹学—第八章图与网络分析

v5 1 v6 7 1 v7 －5 －3
e1 {v1 , v2 }
e3 {v2 , v3 }
e2 {v1 , v2 }
e4 {v3 , v4 } e6 {v3 , v5 } e8 {v5 , v6 } e10 {v1 , v6 }
e5 {v1 , v3 }
e7 {v3 , v5 } e9 {v6 , v6 }
v1
第二节树一、树的概念和性质例8.3 已知有六个城市，它们之间要架设电话线，要求任意两个城市均可以互相通话，并且电话线的总长度最短。
v1 v6 v5 v2
v3
v4
定义9 一个连通的无圈的无向图叫做树。
作为树T的定义，下列定义是等价的：（1）T是一个树。（设其顶点数为n ，边数为 m ）（2）T无圈，且m=n-1。（3）T连通，且m=n-1 。（4）T无圈，但在树中不相邻的两个点之间加上一条边，那么恰好得到一个圈。（5）T中任意两个顶点之间有且仅有一条链。（6）T连通，但去掉T的任一条边，T就不连通。
( vi , v j )
一、狄克斯屈拉(Dijkstra)算法适用于wij≥0，给出了从vs到任意一个点vj的最短路。
算法步骤： 1.给始点vs以P标号 P(vs ) 0 ，这表示从vs到 vs的最短距离 T 为0，其余节点均给T标号， (vi ) (i 2 , 3,, n) 。 2.设节点 vi 为刚得到P标号的点，考虑点vj，其中 (vi , v j ) E ，且vj为T标号。对vj的T标号进行如下修改：
e1 v1
e2 e5
e8 v5
v2
d(v1)= 4，d(v6)= 4
e10 v6 e9
e3 e v4 4 e6 e7 v3

《运筹学》第八章图与网络分析习题及答案

《运筹学》第八章图与网络分析习题1.思考题(１)解释下列名词，并说明相互之间的区别与联系：①顶点，相邻，关联边；②环，多重边，简单图；③链，初等链；④圈，初等圈，简单拳；⑤ 回路，初等路；⑥节点的次，悬挂点，孤立点；⑦）连通图，连同分图，支撑子图；⑧有向图，基础图，赋权图。

⑨子图，部分图，真子图．(２)通常用记号Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）表示一个图，解释Ｖ及Ｅ的涵义及这个表达式的涵义．(３)通常用记号Ｄ＝（Ｖ，Ａ）表示一个有向图，解释Ｖ及Ａ的涵义及这个表达式的涵义．(４) 图论中的图与一般几何图形的主要区别是什么？ (５) 试述树与图的区别与联系．(６) 试述求最短路问题的Ｄijkstra 算法的基本思想及其计算步骤． (７) 试述寻求最大流的标号法的步骤与方法．(８) 简述最小费用最大流的概念及其求解的基本思想和方法．(９) 通常用记号Ｎ＝（Ｖ，Ａ，Ｃ）表示一个网络，试解释这个表达式的涵义． (10) 在最大流问题中，为什么当存在增广链时，可行流不是最大流？ (11) 试叙述最小支撑树、最大流、最短路等问题能解决那些实际问题。

2.判断下列说法是否正确(1) 图论中的图是为了研究问题中有哪些对象及对象之间的关系，它与图的几何形状无关。

(2) 一个图G 是树的充分必要条件是边数最少的无孤立点的图。

(3) 如果一个图G 从V 1到各点的最短路是唯一的，则连接V 1到各点的最短路，再去掉重复边，得到的图即为最小支撑树。

(4 )图G 的最小支撑树中从V 1到V n 的通路一定是图G 从V 1到V n 的最短路。

(5) {f ij =0}总是最大流问题的一个可行流。

(6 )无孤立点的图一定是连通图。

(7) 图中任意两点之间都有一条简单链，则该图是一棵树。

(8) 求网络最大流的问题总可以归结为求解一个线性规划问题。

(9)在图中求一点Ｖ１到另一点Ｖn 的最短路问题总可以归结为一个整数规划问题 (10) 图G 中的一个点V 1总可以看成是G 的一个子图。

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2023运筹学的原理和方法第二版（邓成梁著）课后习题答案下载运筹学的原理和方法第二版（邓成梁著）课后答案下载绪论1运筹学的产生和发展2运筹学的`研究对象及特点3运筹学模型及其研究方法第一章线性规划引论1线性规划问题及其数学模型2线性规划问题的图解法3线性规划问题解的基本性质4线性规划问题解的几何意义第一章习题第二章单纯形法1单纯形法的引人2单纯形法的基本原理3单纯形法的迭代步骤与解的讨论4初始可行基的求法5单纯形法的进一步讨论6改进单纯形法第二章习题第三章线性规划的对偶理论1对偶问题的一般概念2对偶问题的基本性质3对偶问题的解4对偶问题的经济解释——影子价格 5对偶单纯形法6原始一对偶单纯形法第三章习题第四章灵敏度分析与参数规划1灵敏度分析的基本原理2 目标函数系数的灵敏度分析3右端常数的灵敏度分析4技术系数的灵敏度分析5参数线性规划第四章习题第五章运输问题1 运输问题的数学模型及其特征2初始基可行解的求法3最优性判别与基可行解的改进4运输问题的扩展第五章习题第六章目标规划1 目标规划的基本概念及其数学模型2 目标规划的图解法3 目标规划的单纯形法4 目标规划的灵敏度分析第六章习题第七章整数规划1整数规划问题及其数学模型2分枝定界法3割平面法40-1整数规划与隐枚举法5分配问题与匈牙利法第七章习题第八章动态规划1多阶段决策问题2动态规划的基本概念和基本方程3最优性定理第九章图与网络分析第十章存贮论习题与参考答案参考文献运筹学的原理和方法第二版（邓成梁著）：内容简介点击此处下载运筹学的原理和方法第二版（邓成梁著）课后答案运筹学的原理和方法第二版（邓成梁著）：目录《运筹学的原理和方法》内容：运筹学是近几十年发展起来的一门新兴学科，主要运用数学方法研究各种系统的优化途径和方案，为决策者提供各种决策的科学依据，它也是高等院校经济管理类专业的一门重要专业基础课。

《运筹学的原理和方法》基于运筹学这门学科的理论体系，同时考虑到经济管理类专业的特点，选编了线性规划、整数规划、目标规划、动态规划、图与网络分析、存贮论等运筹学的基本内容，论述了这些分支的基本原理和基本方法，同时注意了它们的应用，《运筹学的原理和方法》力求深入浅出、通俗易懂，每章后面都附有习题，便于自学。

运筹学8图与网络分析

e3 。在剩下的图中，再取一个圈
定理8.7充分性的证明，提供了一个寻找连通图支撑树的方法叫做“破圈法”。就是从图中任取一个圈，去掉一条边。再对剩下的图重复以上步骤，直到不含圈时为止，这样就得到一个支撑树。
例8.4 用破圈法求出图8-11的一个支
撑树。
v2
e1
e7 e4
v1
e3 v4
e8
v5
e2
e5
v3
e6
图8-11
取一个圈(v1,v2,v3,v1)，在一个圈中去掉边
3
4
初等链：链中所含的点均不相同, 也称通路；
5
6
为闭链或回路或圈；
简单圈：如果在一个圈中所含的边均不相同初等圈：除起点和终点外链中所含的点均
不相同的圈；
连通图：图中任意两点之间均
至少有一条通路，否则 v1
v4 v5 v8
称为不连通图。
v2
初等链: (v1 , v2 , v3 , v6 ,
图的连通性：
简单链：链中所含的边均不相同；
圈：若 v0 ≠ vn 则称该链为开链，否则称
1
2
链：由两两相邻的点及其相关联的边构成的点边序列。如:v0 ,e1 ,v1 ,e2 ,v2，e3 ,v3 ,…,vn1 , en ， vn ; v0 ，vn 分别为链的起点和终点。记作（ v0 ,v1 , v2， ,v3 , …, vn-1 , vn ）
v5
v7
(v5
,v1v6),(v6
(v4 ,v6),(v5 ,v7)}
,v3),(v5
v6
,v4),
v2
v4
图8.5
下面介绍一些常用的名词：