湘教版(初中二年级)八年级数学下册全套PPT课件
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八年级数学下册第2章四边形2.6菱形2.6.1菱形的性质教学课件新版湘教版
【解析】连结AC，与BD相交于点O， 因为四边形ABCD是菱形, 所以AC⊥BD，∠ADB=∠CDB，AC=2AO. 当∠ADC=60°时，△ADC是等边三角形. 所以AC=AD=AB=40. 当∠ADC=120°时， ∠ADO=60°，∠OAD=30°,又AD=40,所以OD=20.
通过本课时的学习，需要我们 1.掌握菱形的定义、性质. 2.会利用菱形的对角线求菱形的面积. 3.会应用菱形的知识解决有关计算和证明的问题.
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出 一个菱形的纸片？
小明是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折， 然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理吗？
已知四边形ABCD是菱形
1.图中有哪些相等的线段？ 2.图中有哪些相等的角？ 3.图中有哪些等腰三角形？ 4.图中有哪些直角三角形？
A 12
两条对角线的平方和为（ ）
(A)16
(B)8
(C)4
(D)1
【解析】选A.设这个菱形两条对角线长分别为a,b.由菱
形对角线互相垂直且平分，则 ( a )2 +( b )2 =22,
22
即a2+b2=16.
【解析】
【解析】
4.如图，菱形ABCD中，∠B=60°,AB=2,E、F分别是BC、 CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为( ) （A）2 3 （B）3 3 （C）4 3 （D）3
（5）菱形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心.
命题：菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线
平分一组对角.
已知：菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O. A
D
求证：AC⊥BD；AC平分∠BAD和∠BCD；
BD平分∠ABC和∠边形ABCD是菱形， 所以AC⊥BD，AC平分 所以AB=AD（菱形的四条边都相等）∠同B理A：D，AC平分∠BCD；BD平分
湘教版八年级数学下册平行四边形教学课件(2课时共37张)
我思 我进步
通过本节课，你有什么收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴交流.
D
四边形ABCD是
平行四边形
B
平行四边形ABCD记作“□ ABCD”.
C
新知探究 1
每位同学根据定义画一个平行四边形，测量平行四边形
（或图中的□ABCD）四条边的长度、四个角的大小，
由此你能做出什么猜测？
A
D
B
C
通过视察和测量，我发 现平行四边形的对边相
等 ，对角相等.
你能证明吗？
如图，连接AC.
答：1.不是.反例：
2.不是.反例：
练习
3.如图，把△ABC的中线AD延长至E，使得DE=AD，连 接EB，EC.求证：四边形ABEC是平行四边形.
证明：∵D是BC的中点， ∴BD=CD. ∵DE=AD， ∴四边形ABEC是平行四边形.
4. 如图，□ABCD的对角线相交于点O，直线MN经过
点O，分别与AB，CD交于点M，N，连接AN，CM.求 证：四边形AMCN是平行四边形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO，BO=DO，∠MBO=∠NDO. ∵∠BOM=∠DON， ∴△BOM≌△DON(ASA).∴MO=NO. ∴四边形AMCN是平行四边形.
A
D
1O4
3
2
B
C
由此得到平行四边形的性质定理：
平行四边形的对角线相互
平分.
【例3】如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相
交于点O，AC=6，BD=10，CD=4.8.试求△COD 的周长.
解：∵AC，BD为平行四边形ABCD的对角线，
∴OC=
1 2
AC=3，OD=
1 2
湘教版八年级下册数学3.1.1平面直角坐标系(一)课件 (共20张PPT)
原点 第三象限
第四象限
横轴（x轴）和纵轴（y轴）统称为坐标 轴，坐标轴不属于任何一个象限。
选择：下面四个图形中，是平面直角坐标系的是（ D ）
Y
Y
2
1
-3 -2 -1 O1 2 3
X
X
3 2 1 O -1 -2 -3 -1
-2
（A）
（B）
3Y 2 1
-3 -2 -1-1 O1 2 3 X
-2 -3
解：A在第二象限， B在第三象限， C在第一象限， D在第二象限， E在第四象限， F在原点， G在第一象限， H在第三象限， K在第四象限。
2.已知坐标平面内点A(m,n)在第
四象限，那么点B(n,m)在（B ）
A.第一象限 B.第二象限.
C.第三象限 D.第四象限
四：小结：这节课主要学习了平面直角坐标系的有 关概念和一个最基本的问题，坐标平面内的点 与有序实数对是一一对应的。
快速说出图中各点的坐标 各象限内的点的坐标有何特征？
y
（-，+） 5 （+，+）
C (-2,3)4 3
F (-7,2)
2
B (5,3) A (3,2)
1
- 9 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1-1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 x
-2
（-，-） -3 G (-5,-4) -4
· 纵轴 y 5
B(0,5)
4
3 2
·A(5,2)
1
-4 -3 -2 -1 0 -1
12345
x 横轴
-2
· (-2,-3)D
-3
-4
·C(2,-3)
钟楼 大成殿
湘教版八年级下册数学全册课件
求证：△ABC是直角三角形.
证明：
CD
1 2
AB=
BD=
AD,
∴ ∠1=∠A，∠2=∠B .
∵∠A+∠B+∠ACB =180°， 即∠A+∠B+∠1+∠2=180°，
2(∠A+∠B)=180°.
∴ ∠A+∠B =90°.
∴ △ABC是直角三角形.
2021/8/7
例6 如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别 是AB、AC的中点．
∴ BDCB. ∴ CD= BD.
故得
CD=
AD=
BD=
1 2
AB.
∴ 点D'是斜边上的中点，即CD' 是斜边AB的中线.
从而CD与CD' 重合，且 CD 1 AB.
2
性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
2021/8/7
例5 已知：如图，CD是△ABC的AB边上的中线，
且
CD
1 2
AB
.
2021/8/7
三 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
问题： 如图，画一个Rt△ABC， 并作出斜边AB上 的中线CD，比较线段CD 与线段AB 之间的数量关 系，你能得出什么结论？
2021/8/7
线段CD 比线段 AB短.
我测量后发现
1
CD = 2 AB.
试给出 数学证
明.
猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
湘教版八年级下册数学全册课件
第1章 直角三角形
1.1 直角三角形的性质和判定（Ⅰ）
第1课时 直角三角形的性质和判定
2021/8/7
学习目标
湘教版八年级数学下册教学课件(XJ) 第1章 直角三角形 第2课时 勾股定理的实际应用
解：(1)在Rt△ ABC中，
A
别踩我,我怕疼!
C 根据勾股定理得
AB 32 42 5米，
∴这条“径路”的长为5米. （2）他们仅仅少走了
(3+4-5)×2=4(步). B
二 利用勾股定理求最短距离
问题 在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择A 不选择A C B路线，难道小狗也懂数学？
问题 观看下面同一根长竹竿以三种不同的方式进门的情况，并结合曾 小贤和胡一菲的做法，对于长竹竿进门之类的问题你有什么启发？
这个跟我们学的勾股 定理有关，将实际问 题转化为数学问题
典例精析 例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m的长方形薄木板能
否从门框内通过?为什么?
分析：可以看出木板横着，竖着都不能通过，
A A
B
解：台阶的展开图如图，连接AB.
在Rt△ABC中，根据勾股定理得
C
B
AB2=BC2＋AC2＝552＋482＝5329,
∴AB=73cm.
能力提升： 5. 为筹备迎新晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然 后缠绕红色油纸，如图.已知圆筒的高为108cm，其横截面周长为36cm， 如果在表面均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？
例4 在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂， 树的顶部落在离树根底部8米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？
6 米
8米
A
6 米
C
8米
解：根据题意可以构建一直角三角
形模型，如图.
在Rt△ABC中，
AC=6米，BC=8米，
由勾股定理得
AB AC2 BC2
62 82
B
AB32= 62 +（10+8）2 =360， B2 ∴AB1＜AB2＜AB3.
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湘教版八年级数学下册全套精美 课件目录
0002页 0027页 0068页 0085页 0132页 0216页 0254页 0267页 0269页 0300页 0318页 0339页 0392页 0440页 0442页
第1章 直角三角形 1.2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ) 1.4 角平分线的性质 第2章 四边形 2.2 平行四边形 2.4 三角形的中位线 2.6 菱形 IT教室 利用几何画板验证成中心对称的两个图形的性质 第3章 图形与坐标 3.2 简单图形的坐标表示 数学文化 笛卡儿与坐标系 4.1 函数和它的表示法 4.4 用待定系数法确定一次函数表达式 IT教室 用几何画板绘制一次函数的图像 5.1 频数与频率
第1章 直角三角形
湘教版八年
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第1章 直角三角形 1.2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ) 1.4 角平分线的性质 第2章 四边形 2.2 平行四边形 2.4 三角形的中位线 2.6 菱形 IT教室 利用几何画板验证成中心对称的两个图形的性质 第3章 图形与坐标 3.2 简单图形的坐标表示 数学文化 笛卡儿与坐标系 4.1 函数和它的表示法 4.4 用待定系数法确定一次函数表达式 IT教室 用几何画板绘制一次函数的图像 5.1 频数与频率
第1章 直角三角形
湘教版八年
八年级数学下册 第2章 四边形2.6 菱形2.6.1 菱形的性质课件(新版)湘教版
解：因为四边形ABCD是菱形，
所以OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，AB=AD=BC=CD.
又因为∠BAD ＝60°,所以△ABD 是等边三角形.
因为菱形 ABCD 的边长为2 cm，所以 BD ＝2 cm ,
所以
OD
＝
1 2
BD
＝
1 2
×2＝1
(cm).
在 Rt△AOD 中,由勾股定理, 得
O A =A D 2-O D 2=2 2-1 2=3 c m
（2）解: 若AB ＝12 cm,则 EF
＝
1 2
AB ＝6 cm.
所以菱形ADEF 的周长为 4EF ＝ 4×6＝ 24(cm).
课堂小结
菱形的定义： 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形． 菱形的性质：
➢ 菱形的四条边相等. ➢ 菱形的对角相等. ➢ 菱形的对角线互相垂直且平分. ➢ 菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心. ➢ 菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴.
因此，菱形 ABCD 的周长为4×2.5=10（cm）.
练习
1. 菱形 ABCD 的两条对角线的交点为 O. 已知 AB=5cm，
OB = 3cm. 求菱形 ABCD 的两条对角线的长度以及它
的面积. 【教材P67】 解：如右图所示. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，∴∠AOB=60°. ∵OB=3cm，AB=5cm， 在Rt△AOB中，由勾股定理，
解 菱形 ABCD 的面积为
S=1 2×4×3=6(cm 2) .
在 Rt△ABO 中，
OA=12AC=12× 4=2(cm), OB=12BD=12× 3=1.5(cm),
【教材P67】
湘教版八年级下册数学课件第1课时解决所列方程组中含“x+y=”形式的实际问题
解： 设自行车路段的长度为x m，长跑路段的长
度为ym.
x
y
5000,
根据等量关系，得
1x0
y 10
1560.
3
解这个方程组，得
x y
3000, 2000.
因此自行车路段的长度为3000m，
长跑路段的长度为2000m．
例3 某食品厂要配制含蛋白质15％的食品100kg，现 在有含蛋白质分别为20％，12％的甲乙两种配料．用 这两种配料可以配制出所要求的食品吗？如果可以的 话，它们各需多少千克？
y=75.
5.某工地挖掘机的台数和装卸机的台数之和为21，如 果每台挖掘机每天平均挖土750m3，每台装卸机每天 平均运土300m3，正好能使挖出的土及时运走，问挖 掘机有多少台？装卸机有多少台？
解：设挖掘机x台，装卸机y台， 根据题意列出方程组得 x y 21， 750x 300y.
B
再写出两种作物的总产量
1:2
甲：100x×1
乙：100y×2
总产量= 单位面积产量×面积
则列方程为
100x:200y=3:4
01 竖着画，把长分成两段，则宽不变
D
100m
A
F
200m
C
解：过点E作EF⊥AB， 交CD于点F.
设AE＝xm，BE＝ym.
甲种作物
乙种作物
根据题意列方程组为
x
y
EB
x+y=200 100x:200y=3:4
60
练一练： 8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形， 每块小长方形地砖的长河宽分别是多少?（单位cm）
湘教版八年级下册数学精品教学课件 第2章四边形 平行四边形的性质 第1课时 平行四边形的边、角的性质
∴2x+3x= 180°,
解得 x= 36°.
∴ ∠A = ∠C=72°, ∠B= ∠D=108°.
(2)若 ABCD的周长为28cm,AB:BC=3:4,求各边的长度. 解： (2)在平行四边形ABCD中, ∵AB=CD，BC=AD. 又∵AB+BC+CD+AD=28cm, ∴AB+BC= 14cm. ∵AB:BC=3:4,设AB=3ycm,BC=4ycm, ∴3y+4y=14，解得y=2. ∴AB=CD=6cm，BC=AD=8cm.
平行四边形的性质除了对边互相平行以外，还有:
A
D
B
C
平行四边形的对边相等．
平行四边形的对角相等．
动手做一做:剪两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一 起，重合部分构成了一个四边形，转动其中一张纸条， 线段AD和BC的长度有什么关系？为什么？
解：AD和BC的长度相等. 理由如下：由题意知 AB//CD,AD//BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC.
B
FC
∴ △ABE≌ △CDF.
∴BE=DF.
练一练
1.如图，在□ABCD中.
(1)若∠A=130°，则∠B=___5_0_°_ ，∠C=__1_3_0_°_ ， ∠D=___5_0_°_.
(2)若AB=3,BC=5,则它的周长= __1_6___.
(3)若∠A+ ∠C= 200°，则∠A=_1_0_0_°_，∠B=__8_0_°__.
第2章 四边形
八年级数学下（XJ） 教学课件
2.2.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形的边、角性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
最新湘教版八年级数学下全册实用优质课件(五单元共641页ppt)
在Rt△AOD中， AO =30 3 海里，∠AOD=30°. 北 于是 AD = 1 AO 2 = 1 30 3 30 3 2 ≈ 25.98( 海里 ) . 60° >20（海里） 所以轮船不会触礁.
图1-8
东 D B
练习
1.如图是某商店营业大厅电梯示意图.电梯AB的 倾斜角为30°，大厅两层之间的距离BC为6米. 你能算出电梯AB的长度吗？
动脑筋
如图1-6，在Rt△ABC中，∠BCA=90°， 如果∠A=30°，那么直角边BC与斜边AB 有什么关系呢?
图1-6
如图1-6，取线段AB的中点D，连接CD.
∵ CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
AB BD. ∴ CD 1 2
∵ ∠BCA=90°，且∠A=30°， ∴ ∠B=60°. ∴ △BDC为等边三角形.
1 AB. 2
图1-4
结论
由此得到：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
例1 已知：如图1-5，CD是△ABC的AB边上的中 线，且CD 1 AB . 2 求证：△ABC是直角三角形.
图1-5
证明：因为 CD 1 AB= BD= AD ， 2 所以 ∠1=∠A，(等边对等角) ∠2=∠B .
解：在Rt△ABC中,
B
BC=6 , ∠BAC=30°, ∴ AB=2BC=2×6=12图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CD垂直于 BC ，求∠A的度数. AB，垂足为点D，DB = 1 2
解：∵ 在Rt△BDC中，∠BDC= 90°， DB = 1 BC ， 2 ∴ ∠BCD=30°.
根据三角形内角和性质，有 ∠A+∠B+∠ACB =180°， 即得∠A+∠B+∠1+∠2=180°， 2(∠A+∠B)=180°. 所以
图1-8
东 D B
练习
1.如图是某商店营业大厅电梯示意图.电梯AB的 倾斜角为30°，大厅两层之间的距离BC为6米. 你能算出电梯AB的长度吗？
动脑筋
如图1-6，在Rt△ABC中，∠BCA=90°， 如果∠A=30°，那么直角边BC与斜边AB 有什么关系呢?
图1-6
如图1-6，取线段AB的中点D，连接CD.
∵ CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
AB BD. ∴ CD 1 2
∵ ∠BCA=90°，且∠A=30°， ∴ ∠B=60°. ∴ △BDC为等边三角形.
1 AB. 2
图1-4
结论
由此得到：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
例1 已知：如图1-5，CD是△ABC的AB边上的中 线，且CD 1 AB . 2 求证：△ABC是直角三角形.
图1-5
证明：因为 CD 1 AB= BD= AD ， 2 所以 ∠1=∠A，(等边对等角) ∠2=∠B .
解：在Rt△ABC中,
B
BC=6 , ∠BAC=30°, ∴ AB=2BC=2×6=12图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CD垂直于 BC ，求∠A的度数. AB，垂足为点D，DB = 1 2
解：∵ 在Rt△BDC中，∠BDC= 90°， DB = 1 BC ， 2 ∴ ∠BCD=30°.
根据三角形内角和性质，有 ∠A+∠B+∠ACB =180°， 即得∠A+∠B+∠1+∠2=180°， 2(∠A+∠B)=180°. 所以
湘教版八年级数学下册课件-菱形的判定
∵AC∠B＝AB920°B，C2AB＝626c8m2， 1B0Cc＝m8.cm，
∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm， ∴归四纳边形四A边C形FD的是条菱件形中．存在多个关于边的等量关系 时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较 方便．
例3 如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四
证一证 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,对角线AC 与BD相交于点O ，AC⊥BD. 求证：□ABCD是菱形.
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形.
B
∴OA=OC.
O
又∵AC⊥BD,
A
C
∴BD是线段AC的垂直平分线.
D
∴BA=BC.
∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.
归纳总结
平行四边形的判定定理：
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
(2)解：∵∠BCF＝120°， ∴∠EBC＝60°， ∴△EBC是等边三角形， ∴菱形的边长为4，高为 2 3 ， ∴菱形的面积为4 2 3 8 3 . 归纳 判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选 择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形； 如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以 先尝试证出这个四边形是平行四边形．
B．AC⊥BD
C．AB=CD
D．AB∥CD
三 菱形的性质与判定的综合运用
例6 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点， BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF. (1)求证：四边形BCFE是菱形； (1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE∥BC且2DE＝BC. 又∵BE＝2DE，EF＝BE， ∴EF＝BC，EF∥BC， ∴四边形BCFE是平行四边形． 又∵EF＝BE， ∴四边形BCFE是菱形；
∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm， ∴归四纳边形四A边C形FD的是条菱件形中．存在多个关于边的等量关系 时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较 方便．
例3 如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四
证一证 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,对角线AC 与BD相交于点O ，AC⊥BD. 求证：□ABCD是菱形.
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形.
B
∴OA=OC.
O
又∵AC⊥BD,
A
C
∴BD是线段AC的垂直平分线.
D
∴BA=BC.
∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.
归纳总结
平行四边形的判定定理：
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
(2)解：∵∠BCF＝120°， ∴∠EBC＝60°， ∴△EBC是等边三角形， ∴菱形的边长为4，高为 2 3 ， ∴菱形的面积为4 2 3 8 3 . 归纳 判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选 择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形； 如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以 先尝试证出这个四边形是平行四边形．
B．AC⊥BD
C．AB=CD
D．AB∥CD
三 菱形的性质与判定的综合运用
例6 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点， BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF. (1)求证：四边形BCFE是菱形； (1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE∥BC且2DE＝BC. 又∵BE＝2DE，EF＝BE， ∴EF＝BC，EF∥BC， ∴四边形BCFE是平行四边形． 又∵EF＝BE， ∴四边形BCFE是菱形；
湘教版八年级数学下：3.1《平面直角坐标系》课件(共31张PPT)
01 2 3
4
5x
如何表示点Ａ的位置-1：
过点Ａ作x轴的-垂2 线，垂足在x轴上对 应的数是４，就是点Ａ的横坐标．
过点Ａ作y轴的-垂3 线，垂足在y轴上对 应的数是３，就是点Ａ的纵坐标．
有序数对（４，-4３）就是点Ａ的坐标．
y
2
在平面直角坐标
1
系中找到表示 A(3,-2)的点.
-3 -2 -1 O 1 2 3 x
b分别叫做点P的横坐标、纵坐
标，有序数实数对（a，b）叫
1
做点P的坐标。
a
记作：P（a，b） -3 -2 -1 O 1 2 3 X
-1
P（a，b）
-2
b -3
温馨提示：横坐标必须写在纵坐标前面
根据点求坐标：
yБайду номын сангаас
有序数实数对（3，2）叫做 3 点A的坐标。
2
记作：A（3，2）
1
A（3，2）
a
-3 -2 -1 O
∟ 12345
C（3，-4）
(1)写出图中的平行四边形ABCD各个顶点的坐标.
做一做: (2)图中A与D,B与C的纵坐标相同吗? 为什么?
(3)A与B,C与D的横坐标相同吗?为什么?
y (-2,3) A
D (4,3)
1 01 B (-3,-1)
x C (3,-1)
作业：
1.课本第89页A组第1、2题（
-1
-2
A
-3
由坐标找点的方法： 先找到表示横坐标与纵坐标的点， 然后过这两点分别作x轴与y轴的垂线， 垂线的交点就是该坐标对应的点。
快速说出图中各点的坐标
各象限内的点的坐标有何特征？
（-，+） 5 y （+，+）
湘教版八年级数学下册教学课件(XJ) 第2章 四边形 正方形
△ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO.
B
C
例2 如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形，
求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° .
证明：∵ ΔBEC是等边三角形，
A
D
∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，
E
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，
∴四边形AFBE是正方形．
思考 前面学菱形时我们探究了顺次连接任意四边形各边中点所得的四 边形是平行四边形.顺次连接矩形各边中点能得到菱形，那么顺次连接正 方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？
A
H
A
E 平行四边形
D G
E
B
F
CB
任意四边形
H 菱形
F 矩形
A
H
D
D
G
E 正方形 G
CB
F
C
正方形
当堂练习
第2章 四边形
2.7 正方形
学习目标
1.探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、 矩形、菱形之间的联系和区别；(重点、难点)
2．探索并证明正方形的判定，并了解平行四边形、 矩形、菱形之间的联系和区别；(重点、难点)
3．会运用正方形的性质及判定条件进行有关的论证 和计算 . (难点)
导入新课
情景引入 观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不 在.
（2）解：当点E运动到AC的中点时四边形AFBE是正方
形，
理由：∵点E运动到AC的中点，AB=BC，
∴BE⊥AC，BE=AE= AC， 1
∵AF=AE，
2
∴BE=AF=AE.
湘教版八年级下册数学精品教学课件 第2章 四边形 菱形的性质
(1)求OC的长； (2)求四边形OBEC的面积． 解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.
在直角△OCD中，由勾股定理得OC＝4cm；
(2)∵CE∥DB，BE∥AC，
∴四边形OBEC为平行四边形.
又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°，
∴平行四边形OBEC为矩形.
∵OB＝OD＝3cm，
∴S矩形OBEC＝OB·OC＝3×4＝12(cm2)．
∴CB=CD， CA平分∠BCD． ∴∠BCE=∠DCE．
B F
又 CE=CE，
C
∴△BCE≌△CDE（SAS）．
EA
∴∠CBE=∠CDE．
D
∵在菱形ABCD中，AB∥CD，
∴∠AFD=∠FDC.
∴∠AFD=∠CBE．
6.如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝ 5cm，OD＝3cm；过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC， CE与BE相交于点E.
平行四边形 一组邻边相等 菱形
归纳总结 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
菱形是特殊的平行四边形. 平行四边形不一定是菱形.
活动1 如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确 地剪出一个菱形的纸片？观看下面视频：
活动2 在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中 的图形(如图），并回答以下问题:
BD相交于点O.
B
求证:(1)AB = BC = CD =AD； (2)AC⊥BD；
A
O
C
∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA， D
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = CD，AD = BC（菱形的对边相等）.
又∵AB=AD,
在直角△OCD中，由勾股定理得OC＝4cm；
(2)∵CE∥DB，BE∥AC，
∴四边形OBEC为平行四边形.
又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°，
∴平行四边形OBEC为矩形.
∵OB＝OD＝3cm，
∴S矩形OBEC＝OB·OC＝3×4＝12(cm2)．
∴CB=CD， CA平分∠BCD． ∴∠BCE=∠DCE．
B F
又 CE=CE，
C
∴△BCE≌△CDE（SAS）．
EA
∴∠CBE=∠CDE．
D
∵在菱形ABCD中，AB∥CD，
∴∠AFD=∠FDC.
∴∠AFD=∠CBE．
6.如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝ 5cm，OD＝3cm；过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC， CE与BE相交于点E.
平行四边形 一组邻边相等 菱形
归纳总结 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
菱形是特殊的平行四边形. 平行四边形不一定是菱形.
活动1 如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确 地剪出一个菱形的纸片？观看下面视频：
活动2 在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中 的图形(如图），并回答以下问题:
BD相交于点O.
B
求证:(1)AB = BC = CD =AD； (2)AC⊥BD；
A
O
C
∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA， D
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = CD，AD = BC（菱形的对边相等）.
又∵AB=AD,
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随堂练习
1.如图,l1//l2, l3⊥l4 ， ∠1=42°，那么∠2的 度数（ A ）
A 48°
分析
B 42°
C 38°
l4D 21°l3 Nhomakorabea1
先根据两直线平行，同位 角相等求出∠3，再根据 直角三角形两锐角互余即
3
l1 l2
2
可求出∠2．
2.如图所示，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是 AB，AC边上的高，且CD，BE交于一点P，若∠A=50°， 则∠BPC的度数是（ B ）. A.150° B.130°
2
如图，取线段AB的中点D，连结CD，即CD为Rt△ABC 斜边上的中线， 则有CD 1 AB BD. 2 又已知 BC 1 AB ， 2 所以CD=BD=BC，即△BDC为等边三角形.
所以∠B=60°.
又Rt△ABC中，∠A+∠B=90°， 所以∠A=30°. 在直角三角形中， 如果一条直角边等于 斜边的一半，那么这 条直角边所对的角等 于30°.
例题精讲
例2 如图，在A岛周围20海里(1海里=1852m)
水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，
发现A岛在北偏东60°的方向，且与轮船相距 30 3
海里，若该船继续保持航向不变，有触暗礁的
危险吗？
取轮船航向所在的直线为OB.过
分析
点A作AD⊥OB, 垂足为D.AD长 为A岛到轮船航道的最短距离 , 若AD大于20海里, 则轮船由西向 东航行就不会有触礁的危险.
湘教版（初中二年级） 八年级数学下册全套 PPT课件
直角三角形的性质和判定（Ｉ）
新知探究
01 思考
问题1：小学我们对直角三角形有哪些认识？ 问题2：直角三角形作为一种特殊的三角形， 除了具有一般三角形的性质外，它还会具有哪些特 殊的性质？
02 探究1
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，两锐角的和等于 多少呢？
在Rt△ABC中，因为
∠C=90°，由三角形内角和
定理，可得∠A +∠B=90°.
结论
直角三角形的两个锐角互余.
02 探究2 有两个锐角互余的三角形是直角三角形吗？
已知：△ABC中，∠A+∠B=90°.
求证： △ABC是直角三角形.
在△ABC中， ∵ ∠A +∠B +∠C=180°，∠A +∠B=90°， ∴∠C=90°. 于是△ABC是直角三角形 (直角三角形定义).
E
A D
易证△BED≌△ACD.
∴∠BED=∠ACD，BE=AC.
B
C
∵Rt△ABC中，∠ACB=∠ACD+∠ECB =90°. ∴∠BED+∠ECB =90°. ∴△BCE是直角三角形. 从而可证△BEC≌△CAB. ∴EC=AB. 1 1 ∴CD= EC= AB. 2 2
例题精讲
例1 如图，已知CD是△ABC的AB边上的中线， 且 CD 1 AB . 2 求证：△ABC是直角三角形.
∠A=30°，那么直角边BC与斜边AB有什么关系呢?
如图，取线段AB的中点D，连接CD.
∵ CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴CD 1 AB BD. 2 ∵ ∠BCA=90°，且∠A=30°， ∴ ∠B=60°.
在直角三角形中， 如果一个锐角等于 30°，那么它所对的 直角边等于斜边的一 半.
证明：∵CD 1 AB= BD= AD ， 2 ∴∠1=∠A，∠2=∠B (等边对等角) 根据三角形内角和性质，有
∠A+∠B+∠ACB
=180°，
即得∠A+∠B+∠1+∠2=180°， ∴2(∠A+∠B)=180°. 所以 ∠A+∠B =90°.
∴△ABC是直角三角形
（有一个角是直角的三角形的直角三角形）.
B
C
∴ 点D 是斜边上的中点，即 CD 是斜边 AB 的中线.
从而 CD与CD重合，且 CD
1 AB. 2
结论
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
这个定理还可以怎么证明？
已知：如图，Rt△ABC中，CD是斜边的中线.
1 求证：CD= AB. 2
证明：延长CD到E，使DE=CD，连接BE.
结论
有两个角互余的三角形是直角三角形.
02 探究3 如图，画一个Rt△ABC， 并作出斜边AB上的
中线CD，比较线段CD与线段AB之间的数量关系，
你能得出什么结论？
线段CD 比线段AB 短.
1 我测量后发现CD = AB. 2
1 对于任意一个Rt△ABC，是否都有CD = AB 成立呢？ 2
1 如图，Rt△ABC中，如果中线CD = AB，则 2
30 3
60° 东 D B
随堂练习
1.如图，一颗树在一次强风中，从离地面5m处折
∴ △BDC为等边三角形.
∴BC BD= 1 AB. 2
还有其他方法证明这个结论吗？
延长BC到D，使CD=BC，连接AD，构成 等边三角形.（将或△ABC沿AC对折，得到轴
对称图形△ADC，从而也构成等比三角形.）
A
可证得：AB=AD=BD=2BC，
300
600 C
1 即：BC= 2
AB
D
B
探究5 如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，如 果 BC = 1 AB，那么∠A=30°吗？
CD=BD=AD，于是有∠DCA =∠A . 故作DCA=A 时，可证得CD = BD = AD.
Rt△ABC中，过直角顶点C作射线 CD交AB于D，使
DCA=A.
又∵∠A
DCA+ DCB 90 ， +∠B=90° ，
D'
A
∴ B DCB. ∴ CD = BD. 故得 CD = AD = BD = 1 AB. 2
解 轮船在航行过程中，如果与A岛的距离始终大于20
海里，则轮船就不会触暗礁. 在图中，过A点作AD⊥OB，垂足为D. 在Rt△AOD中， AO =30 3 海里，∠AOD=30°. 于是 AD = 1 AO 2 北 = 1 30 3 2 ≈ 25.98( 海里 ) .
>20（海里）
所以轮船不会触礁.
C.120°
D.100°
解 因为BE，CD是ABC的高， 所以∠BDP=90°，∠BEA=90°. 又∠A=50° ， 所以∠ABE=90°-∠A=90°-50°= 40°. 所以∠BPC =∠ABE +∠BDP = 90° + 40°= 130°. 故应选择B.
新知探究
探究4
如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，如果