传输线理论与电感

目錄第一章傳輸線理論一傳輸線原理二微帶傳輸線三微帶傳輸線之不連續分析第二章被動元件之電感設計與分析一電感原理二電感結構與分析三電感設計與模擬四電感分析與量測第一章 傳輸線理論傳輸線理論與傳統電路學之最大不同，主要在於元件之尺寸與傳導電波之波長的比值。

當元件尺寸遠小於傳輸線之電波波長時，傳統的電路學理論才可以使用，一般以傳輸波長（Guide wavelength ）的二十分之ㄧ（λ/20）為最大尺寸，稱為集總元件（Lumped elements ）；反之，若元件的尺寸接近傳輸波長，由於元件上不同位置之電壓或電流的大小與相位均可能不相同，因而稱為散佈式元件（Distributed elements ）。

由於通訊應用的頻率越來越高，相對的傳輸波長也越來越小，要使電路之設計完全由集總元件所構成變得越來越難以實現，因此，運用散佈式元件設計電路也成為無法避免的選擇。

當然，科技的進步已經使得集總元件的製作變得越來越小，例如運用半導體製程、高介電材質之低溫共燒陶瓷（LTCC ）、微機電（MicroElectroMechanical Systems, MEMS ）等技術製作集總元件，然而，其中電路之分析與設計能不乏運用到散佈式傳輸線的理論，如微帶線（Microstrip Lines ）、夾心帶線（Strip Lines ）等的理論。

因此，本章以討論散佈式傳輸線的理論開始，進而以微帶傳輸線為例介紹其理論與公式，並討論微帶傳輸線之各種不連續之電路，以作為後續章節之被動元1.1(a)。

其中的集總元件電路模型描述，其中(a)(b)i (z, t )v z, t )z圖1.1 傳輸線之等效電路圖R=兩導體中單位長度的串聯電阻，單位Ω/m 。

L=兩導體中單位長度的串聯電感，單位H/m 。

G=兩導體中單位長度的並聯電導，單位S/m 。

R=兩導體中單位長度的並聯電容，單位F/m 。

圖1.1(b)中，由柯希荷夫電壓定律可得0),(),(),(),(=∆+-∂∆-∆-t z z t z i z L t z zi R t z υυ (1.1a)圖1.1(b)()(),,∆-∆+∆-C t z z G t z i υ將(1.1a)與(1.1b)除以Δz ，並取Δz ()Ri z t z -=∂∂,υ()G z t z i -=∂∂,υ(1.3a)(1.3b) (1.4a) (1.4b)(1.5)是一個與頻率有關的複傳播常數。

(1.4a)與(1.4b)的電壓與電流解為 ()z z e V e V z V γγ--++=00(1.6a)()z z e I e I z I γγ--++=00(1.6b)為一組行進波，其中z e γ-項表示往z +方向傳播，z e γ項表示往z -方向傳播。

將(1.6a)代入(1.3a)，可得傳輸線上的電流波()][00z z e V e V Lj R z I γγωγ--+-+=(1.7)比較(1.6b)與(1.7)式，並定義傳輸線之特性阻抗0Z ，可得C j G Lj R L j R I V I V Z ωωγω++=+=-==--++00000 (1.8)將電壓波之相位解表示回時域之數學式為z e z t V t z αφβωυ)cos(),(0-+++-=其中，傳輸線之波長為βπλ2=相位速度為p βων==(一) 有負載之傳輸線L Z 之(1.12)圖1.2 末端接負載之傳輸線化簡(1.12)為反射波電壓振幅-0V 與入射波電壓振幅+0V 的比值，並定義為反射係數Γ000Z Z Z Z V V L L +-==Γ+- (1.13)將(1.6a)與(1.6b)式改寫成以反射係數Γ表示，得到()[]z z e e V z V γγΓ+=-+0(1.14a)()[]z ze e Z V z I γγΓ-=-+0(1.14b) 利用以上之傳輸線接負載的公式，並將反射係數的觀念應用在傳輸線上的任何一點，也就是在圖1.2中l z -=處代入(1.14a)與(1.14b)，即為由l z -=往負Z利用(1.13)（註：l γ=tanh 0=α，0L (1.17)(三) 無損之特殊負載傳輸線的輸入阻抗在許多微波領域的應用中，運用某些特殊負載（如短路或開路等）之傳輸線長可以被用來作為電路設計的一部份，例如阻抗匹配或是取代集總元件之電感電容等使用。

1) 負載短路：0=L Z 代入(1.17)式，得到l jZ Z βtan 0in =(1.18)2) 負載開路：∞=L Z 代入(1.17)式，得到l jZ Z βcot 0in -= (1.19)3) 四分之ㄧ波長傳輸線：4λ=l ，2πβ=l 代入(1.17)式，得到LZ Z Z 20in = (1.20)二、微帶傳輸線微帶線（Microstrip Lines ）傳輸線是近二十年來快速發展與廣泛運用於微波與射頻的傳輸線結構，由於其平面式結構易於和其他基頻電路整合，因此使通訊應用變得大量普及。

由於微帶線等傳輸線的理論完整，再加上運用電磁理論的電腦輔助設計軟體（Full wave simulators ）功能日益強大，使得被動元件設計甚至主動電路設計在高頻模擬變得精確且快速。

本節將針對微帶傳輸線的特性與公式做一個大略的介紹，作為後續章節以微帶線為基礎結構所設計之被動元件的參考。

(一) 微帶線結構微帶線的結構如圖1.3所示。

微帶線主要包含上層的導體帶線（寬度W ，厚度t ）與下層的導體平面，其中間夾著一層介電係數r ε的絕緣層（厚度h ）。

圖1.3 微帶傳輸線的結構微帶線的電磁波傳遞包含上層導體附近的空氣部份與以及與下層導體之間的介電層，由於波傳送在空氣中與介質中的速度不一致，因此傳輸模式不屬於完全的TEM 模態，而是屬於TE-TM 的混合波。

由於在空氣與介質的波速不同，傳波常數與特性阻抗分析也就變得複雜。

(二) 準TEM 波的近似分析因為微帶線的型態不屬於TEM 波，因此無法以純TEM 波的方式加以分析。

所幸，在某些前提之下，例如介電層的厚度很小時（大多數的實際應用狀況），電磁力線將很接近靜電場，因此以近似靜電場的方式分析也可以得到很好的相位速度、傳波常數與特性阻抗。

因此，微帶線的波傳遞稱為準TEM 波。

當微帶線介質板的介電係數用re ε數可以表示為 p υβ=其中，c 為光速，ω 氣中的單位長度電容值a Cdre =ε (1.23)(1.24)0Z 與微帶線的幾何結構[2]；而求算的：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛+-++=-25.0104.01212121h W W h r r re εεε(1.25)⎪⎭⎫ ⎝⎛+=h W WhZ re25.08ln 20επη(1.26)其中，πη120=歐姆(Ω)代表真空中的波阻抗。

2) 1≥h W5.01212121-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++=W h r r re εεε(1.27)10444.1ln 677.0393.1-⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=h W h W Z re εη (1.28)re ε與0Z 近似公式二re ε 其中，h W u =+=ln 4911a053.039.0⎪⎪⎭⎫⎛-r ε (1.31)⎥⎥⎦⎤⎪⎭⎫ ⎝⎛++221u (1.32))代表真空中的波阻抗，且 ⎥⎥⎦⎤⎪⎭⎫ ⎝⎛7528.0666.30u(1.33)βαγj +=中的實數部份包含導體損耗c α與介質損耗d α，c c ααα+=。

c α與d α的公式可以近似如下：W Z R s c 0=α Np/m =WZ R s0686.8 dB/m (1.34)其中，σωμ2/0=s R 為導體的單位面積表面電阻。

gre r r re d λδεεεεπαtan 11686.8⎪⎪⎭⎫⎝⎛--= dB/m (1.35)其中，δtan 為介質的損耗正切值，re g ελλ0=為微帶線的傳播波長，0λ為真空中的傳播波長。

三、微帶傳輸線之不連續分析在高頻的微帶線應用中，由於電波波長與元件尺寸相當接近，若微帶線的幾何結構發生變化，例如開路、短路、步階（steps ）、間隙（gaps ）或曲彎（bend ）等，將使得特性阻抗改變而產生波傳遞的不連續現象，將造成波傳遞過程中發生不匹配（unmatched ）的效應。

如何將此類不連續現象加以分析使元件或電路的設計更加精確，一直是很多人研究的重點。

基本上，所有的不連續微帶線均可以近似分析為理想的電感與電容的等效電路。

以下將針對微帶線常見的各種不連續現象列出其等效電路與對應的理想元件值。

(一) 平行耦合線耦合線在微波被動元件與主動電路的運用上相當廣泛且實際，其基本結構如圖1.4所示，為兩條寬度W ，間距s 的平行線。

圖1.4 微帶耦合線的縱向剖面圖這類的耦合線結構會同時激發兩組準TEM 模態的電磁波，也就是偶模（even mode ）與奇模（odd mode ）。

在偶模的激發模態下，兩條微帶線具有相同的電位或帶有同樣的電荷，例如像圖1.5(a)均帶正電，因而會在對稱面上形成如圖的磁牆（magnetic wall ）；若是在奇模的激發模態下，兩條微帶線會具有相反的電位或帶有相反的電荷，例如像圖1.5(b)，因而在對稱面上會形成如圖的電牆（electric wall ）。

一般而言，由於微帶耦合線並非純TEM 波，基模與偶模的傳輸相速會不相同，表示其有效介電係數與特性阻抗也不相同。

以下將針對偶模與奇模的特性阻抗與有效介電係數的公式加以說明。

偶模與奇模電容如式(1.23)，(1.24)，微帶線的有效介電係數與特性阻抗可由微帶線上的等效電容（空氣中的單位長度電容值aC 與介電層的單位長度電容值d C ）所求得。

在此討論的微帶耦合線如圖1.5，以e C 表示偶模的介電層電容，以及以o C 表示奇模的介電層電容可以表示如下： 'f f p e C C C C ++=(1.36)ga gd f p o C C C C C +++=(1.37)(a) (b) 圖1.5 微帶耦合線的模態，(a)偶模 (b)奇模其中，p C 代表微帶線與接地面的電容值，可由下式表示h W C r o p εε=(1.38)f C 代表邊緣電容，相當於單一微帶線總電容扣除微帶線與接地面的電容值()p c re f C cZ C -=ε2(1.39)'f C 代表單一微帶線因另一條耦合微帶線而感應的邊緣電容，依據經驗公式 ()()s h A C C ff tanh /1'+=(1.40)其中， ()[]h A 33.2ex p 1.0ex p -=(1.41)奇模的激發模態中，ga C 與gd C 分別代表空氣中與介質中，兩條耦合微帶線間距的邊緣電容，依據近似的經驗公式⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=211/02.065.04coth ln r r f r o gdh s C h s C εεππεε (1.42))()('k K k K C o gaε=(1.43)其中，)()('k K k K 為兩個橢圓函數的比值，其變數k 與'k 表示如下： hW h s hs k /2//+=(1.44)2'1k k -=(1.45)當2k 的值在不同的範圍，橢圓函數的比值如下：=)()('k K k K下公式求得： 1-(1.48)1=r ε）所 (1.49) (1.50)(二) 步階微帶線步階式阻抗（steps in width ）微帶線，以及其他如開路微帶線、端點耦合微帶線、彎角微帶線等，常被運用在很多實際的高頻電路中，近年來這一類的不連續傳輸線電路雖然已經可以透過全波電磁模擬（full-wave EM simulator ）軟體加以分析，然而，這些不連續微帶線仍然有其近似分析法，適當的加以運用對於被動元件的等效電路模型建立有相當的幫助。