广东省华附、省实、广雅、深中2021届高三四校联考数学-试卷-new
广东省华附、省实、广雅、深中2021届高三四校联考数学试题
华附、省实、广雅、深中2021届高三四校联考数学试题第一部分 选择题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}02M x x =∈≤≤R ，{}11N x x =∈-<<R ，则M N =（ ）A ．{}01x x ≤≤B ．{}01x x ≤<∣C ．{}12x x <≤∣D {}12x x -<<2．复数20213i z i=+在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知直线l ，m 和平面α，且l α⊥，则l ⊥m 是//m α的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要4．为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重，经统计，这批学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间．将数据分成5组，并得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从[)55,60，[)60,65，[]65,70这三个区间中随机抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取3人，则这三人中恰有两人体重位于区间[)55,60的概率是（ ）A ．815B ．920C ．35D ．9105．已知a ，b 是两个夹角为3π的单位向量，则kb a -的最小值为（ ）A ．14 B ．12C ．34D 6．雷达是利用电磁波探测目标的电子设备．电磁波在大气中大致沿直线传播．受地球表面曲率的影响，雷达所能发现目标的最大直视距离L ==（如图），其中1h 为雷达天线架设高度，为探测目标高度，2h 为地球半径．考虑到电磁波的弯 曲、折射等因素，R 等效取8490km ，故R 远大于1h ，2h ．假设某探测目标高度为25m ，为保护航母的安全，须在直视距离390kon 外探测到目标，并发出预警，则舰载预警机的巡航高度至少约为（ ）（参考数据：4.12≈）A ．6400mB ．7200mC ．8100mD ．10000m7．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点P 是抛物线C 上位于第一象限内的一点，M 为线段PF 的中点，MQ 垂直y 轴于点Q ，若直线QF 的倾斜角为α，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则直线PF 的倾斜角为（ ）A ．αB ．2αC ．πα-D ．2απ-8．已知点A ，B ，C 是函数,03y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象和函数,06y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭图象的连续三个交点，若ABC 是锐角三角形，则ω的取值范围为（ ）A ．,2π⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．,4π⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭D ．0,4π⎛⎫⎪⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的，全部选对得5分，对而不全得3分，只要有一项选错，即得0分．9．已知定义在R 上的函数()f x 对任意实数x 满足()()2f x f x +=，()()2f x f x -=，且[]0,1x ∈时，()21f x x =+，则下列说法中，正确的是（ ）A ．2是()f x 的周期B ．1x =-不是()f x 图象的对称轴C ．() 20212f =D ．方程1()2f x x =只有4个实根 10．已知实数0a >，0b >，1a b +=，则下列说法中，正确的是（ ） A ．114a b+≤B ．22ab+≥C ．22log log 1a b ⋅≤D ．存在a ，b ，使得直线1ax by +=与圆221x y +=相切11．点C ，D 是平面α内的两个定点，2CD =，点A ，B 在平面α的同一侧，且24AC BC ==．若AC ，BC 与平面x 所成的角分别为512π，4π，则下列关于四面体ABCD 的说法中，正确的是（ ） A ．点A 在空间中的运动轨迹是一个圆 B ．ABC 面积的最小值为2C ．四面体ABCD 体积的最大值为D ．当四面体ABCD 的体积达最大时，其外接球的表面积为20π12．已知函数sin cos ()ee xx f x =-，其中e 是自然对数的底数，下列说法中，正确的是（ ）A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭是增函数B ．4f x π⎛⎫+⎪⎝⎭是奇函数C ．()f x 在(0,)π上有两个极值点D ．设()()2f xg x x =，则满足144n n g g ππ+⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的正整数n 的最小值是2 第二部分 非选择题三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知某种商品的广告费支出x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间有如下对应数据：根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+，根据最小二乘法计算可得ˆ7b =，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为_________万元．14．42212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是_________．15．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为1F ，P 为双曲线上一点，1PF 与双曲线C 的渐近线平行，且1PO FO =，其中O 为坐标愿点，则双曲线C 的离心率e =_________16．已知数列{}n a 的前n 项和2433n n S a n =+-，则数列{}n a 的通项公式为n a =__________，1n n a a +的取值范围为__________．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知正项数列{}n a 满足11a =，11,(2)n n n n a a a a n ---=≥，等比数列{}n b 满足：21a b =，238b b a -=． （1）证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设1211nn n n b b b T a a a -=+++，求n T ． 18．（本小题满分12分）已知函数()sin ,(,0)6f x A x A πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭只能同时满足以下三个条件中的两个． ①函数()f x 的最大值是2；②函数()f x 的图象可由函数22()cos2sin cos sin 2222x x x xf x =+-左右平移得到； ③函数()f x 的对称中心与()f x 的对称轴之间的最短距离是4π．（1）写出这两个条件的序号（不必说明理由）并求出函数()y f x =的单调递增区间；（2）已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足()1f B =，点D 为BC 的中点，且AD b =，求sin sin BACC∠的值．19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，P 、O 分别为AC 、11A C 的中点，PA PC ==，11111A B B C PB ===114A C =．（1）求证：PO ⊥平面ABC ； （2）求二面角B PA C --的余弦值．20．（本小题满分12分）．某工厂的质检部门对拟购买的一批原料进行抽样检验，以判定是接收还是拒收这批原料． 现有如下两种抽样检验方案：方案一：随机抽取一个容量为10 的样本，并全部检验，若样本中不合格品数不超过1个，则认为该批原料合格，予以接收．方案二：先随机抽取一个容量为5的样本，全部检验．若都合格，则予以接收；若样本中不合格品数超过1个，则拒收；若样本中不合格品数为1个，则再抽取一个容量为5的样本，并全部检验，且只有第二批抽样全部合格，才予以接收．假设拟购进的这批原料，合格率为()01p p <<，并用p 作为原料中每件产品是合格品的概率．若每件产品的所需的检验费用为10元，且费用由工厂承担．（1）若23p =，记方案二中所需的检验费用为随机变量X ，求X 的分布列； （2）分别计算两种方案中，这批原料通过检验的概率，如果你是原料供应商，你希望该工厂的质检部门采取哪种抽样检验方案？并说明理由．21．（本小题满分12分）已知离心率为12的椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与抛物线22:2(0)C y px p =>有相同的焦点F ，且抛物线经过点()1,2P ，O 是坐标原点．（1）求椭圆和抛物线的标准方程；（2）已知直线:l x ty m =+与抛物线交于A ，B 两点，与椭圆交于C ，D 两点，若ABP 的内切圆圆心始终在直线PF 上，求OCD 面积的最大值．22．（本小题满分12分）已知函数2()(1)(1)ln ,22x f x a x a x a =--+->．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()()1f m f =且1m ≠，证明：(1,)x m ∀∈，(1)ln 1a x x ->-；（3）记方程243ln 42x x x -+=-的三个实根为1x ，2x ，3x ，若123x x x <<，证明：32x x -<。
【高三】广东省华附省实广雅深中四校届高三上学期期末联考数学理试
【高三】广东省华附、省实、广雅、深中四校届高三上学期期末联考数学理试试卷说明：届高三上学期期末华附、省实、广雅、深中四校联考理科数学命题学校：深圳中学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内.2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1．若集合，，则“”是“”的 A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C.必要不充分条件 D. 充分不必要条件2. 若，，，则A．B． C．D．3．函数的部分图象如图所示，则A． B. C. D. 4．已知圆及以下３个函数：①；②；③其中图像能等分圆面积的函数有A．个 B. 个 C. 个 D. 个 5. 展开式中的常数项为A． B． C． D． 6．执行如图所示的程序框图，输出的值为A． B. C. D. 7. 已知数列满足：对于任意的，则A． B. C. D. 8．点是平面内的定点,点与点不同)的“对偶点”是指：点在射线上且厘米.若平面内点在某不过点的直线上,则它们相应的“对偶点”在 A．一个过点的圆上 B．一个不过点的圆上C．一条过点的直线上 D．一条不过点的直线上110分二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为的样本，则应从高二年级抽取名学生．10. 若向量，且与的夹角为则 . 11. 某几何体的三视图如图所示,其中正（主）视图与侧（左）视图的边界均为直角三角形，俯视图的边界为直角梯形，则该几何体的体积为 . 12. 已知直线过抛物线的焦点，直线与抛物线围成的平面区域的面积为则______ ， . 13. 已知函数，若，且，则的取值范围是 . 选做题（请考生在以下两小题中任选一题做答，若两小题都做，则按第14题记分）.14．（几何证明选做题）如图，过点作的外接圆的切线交的延长线于点.若，，则 . 15．在极坐标系中，点关于直线的对称点的极坐标为 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．(本小题满分12分)在中,三个内角所对的边分别为已知，.求；(2) 设求的值.17.（本小题满分12分）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数其中是虚数单位．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．（1）求事件“在一次试验中，得到的数为虚数”的概率与事件“在四次试验中，至少有两次得到虚数” 的概率；（2）在两次试验中，记两次得到的数分别为，求随机变量的分布列与数学期望18.（本小题满分14分）如图，四边形是正方形，平面，，，，，分别为，，的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的大小.19. （本小题满分14分）已知数列的前项和为记（1）若数列是首项与公差均为的等差数列，求；（2）若且数列均是公比为的等比数列，求证：对任意正整数，20. （本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知点及直线，曲线是满足下列两个条件的动点的轨迹：①其中是到直线的距离；② (1) 求曲线的方程;(2) 若存在直线与曲线、椭圆均相切于同一点，求椭圆离心率的取值范围.21. （本小题满分14分）已知函数，其中是自然对数的底数.（1）求函数的零点；（2）若对任意均有两个极值点，一个在区间内，另一个在区间外，求的取值范围；（3）已知且函数在上是函数，探究函数的单调性.届高三上学期期末华附、省实、广雅、深中四校联考参考答案与评分标准理科数学说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．题号12345678答案 DCBBBCDA1．【解析】2. 【解析】 3．【解析】由图知在时取到最大值，且最小正周期满足故，.所以或由逐个检验知4．【解析】圆关于原点对称. 函数与函数是定义域上的奇函数，其图像关于原点对称, 能等分圆面积；而是上的偶函数，其图像关于轴对称，且当时不能等分圆面积5. 【解析】展开式中的通项为为常数项的充要条件是常数项6．【解析】 7. 【解析】由数学归纳法可证明:当为大于的奇数时, ；当为正偶数时, 故8．【解析】过作与直线垂直的直线以为原点，直线为轴，单位为厘米，建立平面直角平面坐标系. 设直线,是直线上任意一点,它的“对偶点”为,则存在使得,即,又,消去,得.故在过点的圆上.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 9.【解析】根据分层抽样的方法步骤，按照一定比例抽取，样本容量为，那么根据题意得：从高三一共可以抽取人数为：.10. 【解析】由与的夹角为知,11. 【解析】由三视图可知该几何体是一个四棱锥,根据“正侧等高，正俯等长，侧俯等宽”的规则，其体积为12.【解析】抛物线的焦点为,知.13. 【解析】如图,在,上均单调递增, 由及知的取值范围14. 【解析】由知，解得由得，即15. 【解析】如图，在极坐标系中，设关于直线的对称点为则，且从而即三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．(本小题满分12分)在中,三个内角所对的边分别为已知，.求；(2) 设求的值.解：(1) (2)分 (4)分………………………………………………………6分(2)(解法一) ………………………7分................................................ 9分...................................................... 10分, ............12分 (2)(解法二) (7)分 (9)分……………………………………………………… 10分,…………12分 (2)(解法三) , ………………………9分……10分…11分………………………12分17.（本小题满分12分）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数其中是虚数单位．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．（1）求事件“在一次试验中，得到的数为虚数”的概率与事件“在四次试验中，至少有两次得到虚数” 的概率；（2）在两次试验中，记两次得到的数分别为，求随机变量的分布列与数学期望解：（1），……………………………………………………………2分………… 5分（2）的可能取值如下表所示：……………………………………………………………分由表可知：………………9分所以随机变量的分布列为…………………………………… 10分所以………………………………………………12分18.（本小题满分14分）如图，四边形是正方形，平面，，，，，分别为，，的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的大小. (1）证明：,分别为，的中点，.…………………………………1分又平面，平面，…………………………………3分平面. ……………………………………………………………5分（2）平面，，平面平面，. 四边形是正方形，.以为原点,分别以直线为轴, 轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系，设……………………………………7分,，，，，，, ,.，，分别为，，的中点，，，,, …… ………分（解法一)设为平面的一个法向量，则,即，令，得.…… …………………10分设为平面的一个法向量,则,即，令，得.…… …………………12分所以==.……………………………………………13分所以平面与平面所成锐二面角的大小为（或）. …………14分（解法二) ，,是平面一个法向量.…… ……………… …………………10分，,是平面平面一个法向量. …… ……………… …………………12分……… … …………………13分平面与平面所成锐二面角的大小为（或）. … …………14分（解法) 延长到使得连，，四边形是平行四边形，四边形是正方形，分别为，的中点平面，平面，平面.………7分平面平面平面.........分平面与平面所成锐二面角相等. ... ...10分平面平面平面的平面角. (12)分… …………13分平面与平面所成锐二面角的大小为（或）. … …………14分19.（本题满分1广东省华附、省实、广雅、深中四校届高三上学期期末联考数学理试题感谢您的阅读，祝您生活愉快。
广东省华附、省实、广雅、深中2021 届高三四校联考数学答案(定稿)
揭阳市2020—2021学年度高中三年级教学质量测试数学试题参考答案与评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
12345678ABDCABBD1.A本题考查集合的基本运算.解一元二次不等式求出集合}032|{2<--=x x x A ，再与集合}42|{≤≤=x x B 取交集，最后得出答案.因为}31|{}032|{2<<-=<--=x x x x x A ，所以}32|{<≤=x x B A .故选A.2.B本题考查复数的基本运算和复数的基本概念.根据复数的除法运算把复数化成)i(R ,∈+=b a b a z 的形式，再根据虚部定义得出答案.因为i 25i10i 21)(i 21()i 21)(i 24(i 21i 24-=-=-+--=+-=）z ，所以z 的虚部为-2.故选B.3.D本题考查计数原理的应用，完成该事情分两步：先分别确定学生进入校园的方式和教师进入校园的方式；再用分步乘法原理求得答案.因为学生只能从东门或西门进入校园，所以3名学生进入校园的方式共823=种.因为教师只可以从南门或北门进入校园，所以2名教师进入校园的方式共有422=种.所以2名教师和3名学生要进入校园的方式共有3248=⨯种情况.故选D.4.C本题考查等比数列通项公式的应用，根据题目提供的条件列出曲线长度组成的数列{}n a 的前4项，本题所求的结果为4a .依题意得11a =，243a =，3169a =，46427a =.所以当进行三次操作后形成图3的曲线时，曲线的长度46427a =.故选C.5.A本题考查古典概型概率、组合数的应用.根据题目条件求出从八味药中任取四味共有多少种情况，再利用古典概型概率公式求得答案.记取到的四味药刚好组成“四君子汤”或“四物汤”为事件M .依题意得351C 2)(48==M P .故选A.6.B本题考查对数函数的运算和应用.根据函数图象求出1.0≥t 时的函数解析式，即求出a 的值，再解不等式求得答案.把点)1,1.0(代入ta y -=10中，1.0101-=a ，解得1.0=a .所以当1.0≥t 时，2.0101.0<=-ty ，解得8.02lg 1.1≈->t .至少需要经过48608.0=⨯分钟后，学生才能回到教室.故选B.7.B本题考查平面向量的坐标运算和基本不等式的应用.如图，建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，根据向量性质得到y x +的关系式，再利用基本不等式求最小值.如图，建立平面直角坐标系，则)0,0(A ，)0,4(B ，)3,4(C ，)3,0(D ，设)0,(m M ，),0(n N ，因为12=+AN AM ，所以12=+n m ，210<<m ，10<<n .因为AN y AM x AC +=，所以m x 4=，n y 3=，所以()492425188252989832=+≥++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+nm m n n m n m n m y x .当且仅当n m m n 188=，即72=m ，73=n 时取等号.故选B.8.D本题考查函数的综合应用.根据()(2)f x f x =-得到函数()f x 关于直线1x =对称，对任意121x x ≤<均有1212()[()()]0x x f x f x --<成立得函数()f x 在[1,)+∞上单调递减.再利用函数的单调性解不等式求得答案.因为函数()f x 满足()(2)f x f x =-，所以函数()f x 关于直线1x =对称，因为对任意121x x ≤<均有1212()[()()]0x x f x f x --<成立，所以函数()f x 在[1,)+∞上单调递减.由对称性可知()f x 在(,1]-∞上单调递增.因为(21(30))f x f x ---≥，即(21(3))f x f x ≥--，所以|211||31|x x ≤----，即|22||2|x x ≤--，解得403x ≤≤.故选D.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省华附、省实、广雅、深中2021届高三四校联考四校联考化学参考答案
1 华附、省实、广雅、深中2021届高三四校联考化学参考答案及评分标准一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
1-5：ABCDA 6-10：BCDAB二、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11-16：DBADCC三、非选择题：本题共5小题，共56分。
17．（14分）（1）3MnO 2 + 6KOH + KClO 3 ==== 3K 2MnO 4 + KCl + 3H 2O （2分）；泥三角（1分）（2）中和生成的OH —，使歧化反应充分进行（2分）；KHCO 3（1分）（3）蒸发浓缩，冷却结晶（2分）（4）生成的Mn 2+起催化作用（2分）；滴入最后一滴KMnO 4溶液，溶液恰好由无色变为浅紫红色，且30s 内不褪色（2分）； 1580mV %（2分）18．（14分）（1）粉碎原料或适当增加空气量或搅拌等（1分）4FeWO 4+O 2+8NaOH ====2Fe 2O 3+4Na 2WO 4+4H 2O （2分）（2）强（1分）（3）静置分层，向上层清液中继续滴加盐酸，若无明显现象，则沉淀完全（2分）（4）漏斗、玻璃棒（2分） Fe 2(SO 4)3（2分）（5）MnO 2+H 2C 2O 4+2H +=Mn 2++2CO 2↑+2H 2O （2分）（6）氢氧化锰（或碱式碳酸锰） （2分）19．（14分）（1）2C(s)+2NO 2(g) == N 2(g)+2CO 2(g) ΔH 1=－854 kJ∙mol −1 （2分）（2）100 （2分）；111 （2分）；10a （2分）（3）向密闭容器中加入NO （2分）；< （2分）（4）BD （2分）熔融 焙烧。
广东省华附、省实、广雅、深中2021届高三四校联考
华附、省实、广雅、深中2021届高三四校联考化学命题学校：深圳中学定稿人：深圳中学本试卷分选择题和非选择题两部分，满分100分，考试用时75分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己校名、姓名、考号、座位号等信息填写在答题卡指定区域，并用2B铅笔填涂相关信息。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案；答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 Cl-35.5 K-39 Mn-55 Fe-56Co-59 Cu-64 Ag-108第一部分选择题（共44分）一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
每小题只有一个选项符合题意。
1．化学与生活密切相关，下列有关说法错误的是A．乙醇、过氧化氢、次氯酸钠等消毒液均可以将病毒氧化而达到消毒的目的B．实施“煤改气”、“煤改电”等清洁燃料改造工程，有利于保护环境C．高纯度的二氧化硅广泛用于制作光导纤维，光导纤维遇强碱会“断路”D．“地沟油”经过加工处理后，可以用来制肥皂和生物柴油2．常温下，下列各组离子在溶液中能大量共存的是A．H+、K+、CN-、Cl-B．Ba2+、K+、OH-、NO－3C．NH＋4、Na+、SO2－3、ClO-D．Na+、Al3+、HCO－3、SO2－43．下列有关离子方程式正确的是A．用铜作电极电解KCl溶液：2Cl-+2H2O H2↑+Cl2↑+2OH-B．用稀硝酸洗涤试管内壁的银镜：Ag +NO－3+4H+= Ag++NO↑+2H2OC．少量Mg(OH)2溶于FeCl3溶液中：3Mg(OH)2+2Fe3+=2Fe(OH)3+3Mg2+D．大理石溶于稀醋酸：CaCO3+2H+=Ca2+ +CO2↑+ H2O4．设N A为阿伏加德罗常数的值，下列说法正确的是A．常温下，pH=2的亚硫酸溶液中含有的H+数目为0.01 N AB．标准状况下，2.24 L CHCl3含有的共价键数为0.4 N AC．1 mol N2与4 mol H2反应生成的NH3分子数为2 N AD．14 g乙烯和环丙烷混合气体中的氢原子数为2 N A5．下列有关物质的工业制法中，正确的是A．制钠：以海水为原料制得精盐，再电解熔融的NaClB．炼铜：电解精炼黄铜矿得到纯度为99.9％的铜C．制硅：用一氧化碳还原二氧化硅得硅D．制铝：电解液态氯化铝得铝6．下列实验操作能达到实验目的的是A．用排水法收集铜粉与浓硝酸反应的NO2B．用NaOH溶液滴定未知浓度的CH3COOH溶液，选用酚酞作指示剂C．在空气中蒸干硫酸亚铁溶液可以得到绿矾(FeSO4·7H2O)D．在容量瓶中加一定体积的水，再加入浓硫酸配制准确浓度的稀硫酸7．下列有关实验原理或操作正确的是A．分离酒精和水 B．干燥氨气C．配制0.1000 mol/L的食盐水 D．检查装置气密性8．柠檬烯的结构可表示为，关于柠檬烯下列说法错误的是A．分子中所有碳原子可能在在同一平面上B．可使溴的四氯化碳溶液褪色C．是苯乙烯的同系物D．该物质易溶于水9．NO催化O3生成O2的过程由三步基元反应构成：第一步：NO(g)+O3(g)=O2(g)+NO2(g) △H1 ；第二步：NO2(g)=O(g)+NO(g) △H2 ；第三步：O(g)+O3(g)=2O2(g) △H3 。
广东省2023华附省实广雅深中四校联考数学参考答案
华附、省实、广雅、深中2023届高三四校联考数学参考答案及评分标准1.【答案】B【解析】{1,2,3,4,5}U =，{1,3,4}A =，{4,5}B =，{1,2,3}U B ∴=，则(){1,3}U A B ⋂=，故选：.B2.【答案】C【解析】(1)(2)1 3.i i i −−=−故选：C . 3.【答案】B【解析】由图，因为3ACD ABD S S ∆∆=，故3CD BD =，可得3144AD AB AC =+， 则313115(+)422()444422AB AD AB AB AC ⋅=⋅=⨯+⨯⨯⨯−=,故选：.B4. 【答案】A【解析】直角梯形绕AB 旋转一周所得的圆台的体积为128(1648)33hV h ππππ=++=圆台；1(4+2)32ABCD S h h ==，故记重心G 到AB 的距离为',h 则28=(2')3,3h h h ππ⋅则14'=9h ,故选：A .5. 【答案】C【解析】如右图所示，1F 关于渐近线OM 的对称点P 在双曲线上，则12||||||OP OF OF ==. 所以21PF PF ⊥，OM 是12F F P ∆的中位线，进而1||||F M MO b a a −=−= . 所以离心率c e a =故选：C .6. 【答案】C【解析】由1212n n n a a a ++⋅⋅=−得：12312n n n a a a +++⋅⋅=−，两式相除得：31n na a +=，即3n n a a +=，所以数列{}n a 是以3为周期的周期数列， 由12a =−，214a =得：3121112a a a =−=； 记数列{}n a 的前n 项积为n T ，则312k k T ⎛⎫=− ⎪⎝⎭614T ≤=，3114111=221222k kk T a T +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−−−≤=−⨯−= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，231521111=2224kk kT a a T +⎛⎫⎛⎫=−−−≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()max 1n T =.故选：C . 7. 【答案】D【解析】根据“局部奇函数”定义知：()()f x f x −=−有解，即方程()933933x x x xm m −−−⋅−=−−⋅−有解，则()993360x x x x m −−+−⋅+−= 即()()2333380x x x x m −−+−+−=有解；设33x x t −=+，则2t ≥（当且仅当0x =时取等号），方程等价于280t mt −−=在2t ≥时有解，8m t t∴=−在2t ≥时有解；8y t t=−在[)2,+∞上单调递增，82t t ∴−≥−，2m ∴≥−，即实数m 的取值范围为[)2,−+∞.故选：D . 8. 【答案】C【解析】依题意得1AB =,11B C ⊥平面11AB C ，则111B C AB ⊥,在11AB C △中，11111AB M B MC AB C S S S +=△△△故1sin 1sin 122MN MNC MPA ∠∠+=⋅1sin sin MPA MN MNC ∠+∠=又1sin ,sin MPA MN MNC MN ∠∠≤1sin sin MPA MN MNC MN ∠+∠+即MN +90MPA ∠=，190MNC ∠=时取等号当90MPA ∠=时，M 为1AC 的中点，此时当190MNC ∠=时，N 为11B C 的中点MN +故选：C . 9. 【答案】BD【解析】对于A ，因为0a b >>，()()33033b a b b a a a a −+−=<++，33b b a a +∴<+，故A 错误； 对于B ，因为0a b >>，所以22a b >，所以()()()()()2223223320232323b a a b b a a b a b a a b b a b b a b b−+−++−==<+++，3223a b aa b b +∴<+，故B 正确； 对于C ，因为0a b >>，>>所以故C 错误； 对于D ，因为0a b >>，所以lg lg lg 22a b a b++>=，故D 正确． 故选：BD ．10.【答案】BCD【解析】()cos 2sin()6f x x x x πωωω=+=+，因为()()2f x f x π+=−，所以()()f x f x π+=，故π是()y f x =的一个周期，故2||()k k Z ππω⨯=∈，即||2k ω=，又03ω<<，故2ω=，A 错误； 因为()2sin(2)6f x x π=+，当512x π=时，26x ππ+=，由于(,0)π是2sin y x =的一个对称中心，B 正确;由题有()2sin(22)6g x x s π=+−在[,]66ππ−上单调递减， 故有2262()32222s k k Z s k ππππππ⎧−−≥+⎪⎪∈⎨⎪−≤+⎪⎩，化简得()23k s k k Z ππππ−−≤≤−−∈， 当2k =−时，3523s ππ≤≤，因为*s N ∈，故s 可以取5，C 正确； 因为*s N ∈，故1k ≤−，当1k =−时，223s ππ≤≤，可知min 2s =，D 正确；故选：BCD.11.【答案】ACD【解析】不妨把两点设为1122(,),(,)A x y B x y ，焦点为(1,0)F ， 对于选项A ，1||11FA x =+≥，显然成立，选项A 正确；对于选项B ，联立直线1x my =+与抛物线24y x =，得2440y my −−=，所以124y y =−，进而221212144y y x x =⋅=，得121230x x y y +=−<，所以cos 0AOB ∠<. 所以90AOB ∠>，选项B 错误；对于选项C ，依题意，122y y =−，结合124y y =−，得2212y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩或2212y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，进而m =，选项C 正确；对于选项D ，依题意0PA PB k k +=，整理得12122(43)()240my y m y y −+++=，代入解得2m =−或34m =（舍去）. 选项D 正确. 故选:ACD .12. 【答案】ABD【解析】对于A ，在()()121f x f x +=−中令0x =，则()()10210f f +=−，所以()10f =，故A 正确；对于B ，当0x >时，()()121f x f x +=−，对()()121f x f x +=−两边求导，则()()()()111122f x f x f x '''=−+=−−−，所以0x >时，()()()()()1111102f x f x f x f x f x '++'−'−'=−+'−−=−<， 所以()10f x '−>，令1x μ−=，1μ∴<，()0f μ'>， 所以()f x 在(],1−∞上单调递增，所以B 对；对于C ，由B 知，()f x 在(],1−∞上单调递增，()1,+∞上单调递减，由()()1212,x x f x f x <<知12,x x 不可能均大于等于1，否则211x x >≥，则()()12f x f x >，这与条件矛盾，舍去.①若121x x <≤，则()()12f x f x <，满足条件，此时，122x x +<；’ ②若121x x <<，则221x −<，而()()2222f x f x =−，则()()()222022f x f x f x −=−−<，所以()()()()221222f x f x f x f x <−⇒<−，而12,21x x −<，所以121222x x x x <−⇒+<，C 错；对于D ，由()f x 在(],1−∞上单调递增，()1,+∞上单调递减，知()()10f x f ≤=，注意到11022g f ⎛⎫⎛⎫=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()1110g f =+>，33022g f ⎛⎫⎛⎫=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以1213,1,1,22x x ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()()12f x f x <，则122x x +<，则()()()111222cos cos cos *cos f x x x x f x x ππππ⎧=⎪⇒<⎨=⎪⎩， 所以()()121212222cos cos 2cos x x x x x x x πππππ<−=>−<⇒⇒−(()12,2,2x x ππππ⎛⎫−∈ ⎪⎝⎭)，这与()*矛盾，舍去.所以()()()()21211f x f x f x f x >⇒>，在0x ≥时，()()121f x f x +=−中，令()()111122x x f x f x =−⇒−=，而由122122x x x x +⇒<−<，所以()()()()212122f x f x f x f x >−⇒>，所以()()212f x f x <，故D 正确. 故选：ABD . 13. 【答案】1（写出一个即可）【解析】依题意，该直线过圆心或垂直于PC ，圆心到直线距离为0d =或d PC =，221r d =+，所以1r =或r .14. 【答案】92π【解析】VA VB VC V ==在平面ABC 的射影为三角形ABC 的外心。
华附、省实、广雅、深中2024届高三四校联考数学试题与答案
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 华附、省实、广雅、深中2024届高三四校联考数学试题铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回。
一.单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知全集U =R ，集合A ，B 满足A ⊆(A⋂B)，则下列关系一定正确的是( )A. A =BB. B ⊆AC. (∁U A)∩B =⌀D. A⋂(∁U B)=⌀2.已知复数z 满足(1)1+=−i z i ，则z 2024=( )A. iB. −1C. 1D. −i3.直线x +2y +3=0关于直线y =−x 对称的直线方程是( )A. x +2y −3=0B. 2x +y −3=0C. x −2y −3=0D. 2x +3y +3=04.已知向量a 在b 方向上的投影向量的模为2，向量b 在a 方向上的投影向量的模为1，且（（+⊥−a b a b )23)，则向量a 与向量b 的夹角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π345.若椭圆Γ1：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为12，则双曲线Γ2：y 2b2−x 2a 2=1的离心率为( )A.213 B.72C. √ 3D. √ 56. 在平直的铁轨上停着一辆高铁列车，列车与铁轨上表面接触的车轮半径为R ，且某个车轮上的点P 刚好与铁轨的上表面接触，若该列车行驶了距离S ，则此时P 到铁轨上表面的距离为（ ） A ．+R S R(1cos )B ．−R S R (1cos )C ．2sin R S RD ．sin R S R7.若（（ac e c b −=−=1)1)ln 1则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ． c ≤a ＜bB ． c ＜a ＜bC ．c ＜b ＜aD ．b ＜a ≤c8.数列a n {}的前n 项和S n ，且a a a n a n n n n =++−−−1882111，n n N ≥∈+(2,)，若a =11，则 A ．S <<2024523 B ．S <<2024252C ．S <<2024322 D ． S <<2024132二.多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9.下列结论正确的是( )A. 若a >b,c >d ，则ac 2>bd 2B. 若ac 2>bc 2，则a >bC. “ab >1”是“a >1,b >1”成立的充分不必要条件D. 若a >b >1，则a a b b +<+1log log (1)10. 已知圆C 1：x y +=221，圆C 2：−++=x y r (3)(4)222r >0（），P 、Q 分别是圆C 1与圆C 2上的点，则（ ）A .若圆C 1与圆C 2无公共点，则0＜r ＜4B .当r ＝5时，两圆公共弦所在直线方程为x y −−=6810C .当r ＝2时，则PQ 斜率的最大值为−724D .当r ＝3时，过P 点作圆C 2两条切线，切点分别为A ，B ，则∠APB 不可能等于 π2 11.已知函数f(x)=x 3−3x 2，满足f (x )=kx +b 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则( ) A. 若k =0，则实数b 的取值范围是−4<b <0B. 过y 轴正半轴上任意一点仅有一条与函数 y =f (x )−1 相切的直线C. x 1x 2+x 2x 3+x 1x 3=kD.若 x 1，x 2，x 3成等差数列，则k +b =−212.已知正四面体O −ABC 的棱长为3，下列说法正确的是( )A. 若点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且x +y +z =1，则|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为6B. 在正四面体O −ABC 的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此四面体体积可能为√ 210C. 若正四面体O −ABC 的四个顶点分别在四个互相平行的平面内，且每相邻平行平面间的距离均相等，则此距离为3√ 1010D.点Q 在△ABC 所在平面内且|QO|=2|QA|,则Q 点轨迹的长度为2√ 303π三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知双曲线x y −=2241，则此双曲线的渐近线方程为 ．14.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ∗)，a 4=4，a 7=10，则S n 的最小值为 ． 15.已知函数f x x =−ωπ2()sin (3)(ω>0)的最小正周期为2π，且f (x )在[0,m]上单调递减，在[2m,5π3]上单调递增，则实数m 的取值范围是 ．16. 在同一平面直角坐标系中，M ，N 分别是函数f x x x =−−+−2()43和函数()ln()=−g x ax axe x 图象上的动点，若对任意a ＞0，有|MN |≥m 恒成立，则实数m 的最大值为______________． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。
广东省华附深中省实广雅四校联考2024届高三上学期期末数学试题
2m,
5π 3
上单调递增，则实数
m
的取值范围是
.
16．在同一平面直角坐标系中， M , N 分别是函数 f x x 2 4x 3 和函数
g x ln ax axex 图象上的动点，若对任意 a 0 ，有 MN m 恒成立，则实数 m 的最
大值为
.
四、解答题
17．已知数列an 的前 n 项和 Sn 满足 S1
S RLeabharlann C． 2Rsin S R7．若 1 c ea 1 c lnb 1，则 a,b, c 的大小关系为（ ）
D． Rsin S R
A． c a b C． c b a
B． c<a<b D． b a c
8．数列
an
的前
n
项和
Sn
，且
1 an
8an1 8 an1 2an1
n ,
n 2, n N*
试卷第 3页，共 4页
(1)若
π 2
，求证：平面
MBF
平面
M
BF
；
(2)是否存在 ，使得直线 M F 平面 MBC ，若存在，求出 的值；若不存在，请说明
理由. 21．在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c, AB 边上的高设为 h ，且 a b c h .
(1)若 c 3h ，求 tanC 的值；
C．当
r
2
时，则
PQ
斜率的最大值为
7 24
D．当
r
3 时，过
P
点作圆
C2
两条切线，切点分别为
A,
B
，则
APB
不可能等于
π 2
11．已知函数 f x x3 3x2 ，满足 f x kx b 有三个不同的实数根 x1, x2 , x3 ，则（ ）
2020-2021学年广东省广州市、深圳市四校(广雅、华附、省实、深中)联考高二(下)期末数学试卷
2020-2021学年广东省广州市、深圳市四校（广雅、华附、省实、深中）联考高二（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．分钟1．（5分）已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|log2x＞1}，则A∩B＝（）A．{2，3，4}B．{2，3}C．{2，4}D．{3，4}2．（5分）已知z∈C，则“z2＝﹣|z|2”是“z为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件3．（5分）多项选择题是新高考数学试卷中增加的新题型，四个选项A，B，C，D中至少有两个选项正确，并规定：如果选择了错误选项就不得分．若某题的正确答案是ABC，某考生随机选了两项，则其能得分的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）若（x﹣a）（1+2x）5的展开式中x3的系数为20，则a＝（）A．﹣B．C．D．5．（5分）已知四边形ABCD满足，点M满足，若，则x+y ＝（）A．3B．C．2D．6．（5分）已知α为第四象限角，且，则cosα＝（）A．B．C．D．7．（5分）蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点A、B、C、D，满足AB＝CD＝5，BD＝AC＝6，AD＝BC＝7，则该鞠的表面积为（）A．68πB．63πC．60πD．55π8．（5分）已知函数，且a＝f（log3e），b＝f（log30.5），c＝f（ln3），则a，b，c的大小为（）A．c＞a＞b B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分.9．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）的最大值为2C．f（x）在区间上单调递增D．为偶函数10．（5分）已知由样本数据点集合{（x i，y i）|i＝1，2，…，20}（其中＝＝3）求得的回归直线方程l1：＝1.5x+0.5，记此模型对应的相关指数为R12．观察残差图发现：除了数据点（1.2，2.2）和（4.8，7.8）明显偏离横轴，其余各点均密集均匀分布，剔除这两个数据点后重新求得的回归直线方程l2：，记此模型对应的相关指数为R22，则下列结论中正确的是（）A．变量x与y正相关B．记＝y i，则＝5C．R12＞R22D．11．（5分）设F是抛物线C：y2＝4x的焦点，直线l：x＝ty+1与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（）A．|AB|≥4B．可能大于0C．若P（2，2），则|P A|+|AF|≥3D．若在抛物线上存在唯一一点Q（异于A，B），使得QA⊥QB，则t＝±12．（5分）已知函数f（x）＝axlnx+（lnx）2，下列关于f（x）的说法中正确的是（）A．当且仅当a＝0时，f（x）有唯一的零点B．f（x）最多有两个极值点C．若a≥0，则f（x）仅有一个极值点D．若f（x）无极值点，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：（1）m⊥n；（2）α⊥β（3）n⊥β（4）m⊥α．以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：．14．（5分）若直线l：ax+by﹣5＝0（ab＞0）始终平分圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝25的周长，则的最小值为．15．（5分）已知公差不为0的等差数列{a n}满足a52+a62＝a72+a82，则S12＝．16．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，侧面P AB，侧面P AC，侧面PBC与底面所成的角均为，若AB＝2，CA+CB＝4，且△ABC是锐角三角形，则三棱锥P﹣ABC体积的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在①S n+1＝2S n+2；②；③S n＝a n+1﹣2这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，且满足_____．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，求数列{b n}的前n项和为T n．18．（12分）智能体温计由于测温方便、快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温检测．调查发现，使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用智能体温计测量体温可能会产生误差．对同一人而言，如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同，我们认为智能体温计“测温准确”；否则，我们认为智能体温计“测温失误”．现在某社区随机抽取了20人用两种体温计进行体温检测，数据如表．用频率估计概率，解答下列问题：序号12345678910智能体温计36.636.636.536.536.536.436.236.336.536.3测温36.636.536.736.536.436.436.236.436.536.4水银体温计测温序号1112131415161718192036.336.736.235.435.235.637.236.836.636.7智能体温计测温36.236.736.235.435.335.63736.836.636.7水银体温计测温（1）从该社区中任意抽查3人用智能体温计测量体温，设随机变量X为使用智能体温计测温“测温准确”的人数，求X的分布列与数学期望值；（2）医学上通常认为，人的体温不低于37.3℃且不高于38℃时处于“低热”状态．该社区某一天用智能体温计测温的结果显示，有3人的体温都是37.3℃，能否由上表中的数据来认定这3个人中至少有1人处于“低热”状态？说明理由．19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且若a2+c2+ac＝b2.D 为BC的中点，AD ＝，记∠BAD＝θ．（1）若θ＝，求AB的值；（2）求a+2c的取值范围．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，P A＝AD ＝CD＝2，BC＝3，E为PD中点，点F在线段PC上，且DF∥平面P AB．（1）求证：AE⊥平面PCD；（2）求二面角F﹣AE﹣P的正弦值．21．（12分）（1）（ⅰ）证明：∀x∈R，e x≥x+1；（ⅱ）证明：x＜0时，x2+e x﹣＞0；（2）若关于x的不等式alnx+x≤e x﹣1恒成立，求实数a的值．22．（12分）已知双曲线C：的左、右顶点分别是A1、A2，且经过点，双曲线的右焦点F2到渐近线的距离是．不与坐标轴平行的直线l 与双曲线交于P、Q两点（异于A1、A2），P关于原点O的对称点为S．（1）求双曲线C的标准方程；（2）若直线A1S与直线A2Q相交于点T，直线OT与直线PO相交于点R，证明：在双曲线上存在定点E，使得△RME的面积为定值，并求出该定值．2020-2021学年广东省广州市、深圳市四校（广雅、华附、省实、深中）联考高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．分钟1．（5分）已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|log2x＞1}，则A∩B＝（）A．{2，3，4}B．{2，3}C．{2，4}D．{3，4}【解答】解：∵A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x＞2}，∴A∩B＝{3，4}．故选：D．2．（5分）已知z∈C，则“z2＝﹣|z|2”是“z为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：①对于复数z，若z2＝﹣|z|2，z不一定为纯虚数，可以为0，∴充分性不成立，②若z为纯虚数，设z＝bi（b∈R，且b≠0），∵z2＝﹣b2，﹣|z|2＝﹣b2，∴z2＝﹣|z|2，∴必要性成立，∴z2＝﹣|z|2是z为纯虚数的必要非充分条件．故选：B．3．（5分）多项选择题是新高考数学试卷中增加的新题型，四个选项A，B，C，D中至少有两个选项正确，并规定：如果选择了错误选项就不得分．若某题的正确答案是ABC，某考生随机选了两项，则其能得分的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：四个选项A，B，C，D中至少有两个选项正确，并规定：如果选择了错误选项就不得分．某题的正确答案是ABC，某考生随机选了两项，基本事件总数n＝＝6，其中其能得分包含的基本事件个数m＝＝3，∴其能得分的概率为P＝＝＝．故选：C．4．（5分）若（x﹣a）（1+2x）5的展开式中x3的系数为20，则a＝（）A．﹣B．C．D．【解答】解：由于（x﹣a）（1+2x）5的展开式中x3的系数为•22﹣a•23＝20，则a ＝，故选：B．5．（5分）已知四边形ABCD满足，点M满足，若，则x+y ＝（）A．3B．C．2D．【解答】解：∵四边形ABCD满足，点M满足，∴＝4，故点M为线段DC的中点，∴＝＝＝﹣+．又∵，∴x＝﹣，y＝，故x+y＝2，故选：C．6．（5分）已知α为第四象限角，且，则cosα＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵α为第四象限角，且，∴＝，∴＝＝．故选：A．7．（5分）蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点A、B、C、D，满足AB＝CD＝5，BD＝AC＝6，AD＝BC＝7，则该鞠的表面积为（）A．68πB．63πC．60πD．55π【解答】解：因为AB＝CD，BD＝AC，AD＝BC，所以可以把A，B，C，D四点放到长方体的四个顶点上，则该长方体的体对角线就是“鞠”的直径．设该长方体的长、宽、高分别为x，y，z，“鞠”的半径为R，则（2R）2＝x2+y2+z2．因为x2+y2＝25，x2+z2＝36，y2+z2＝49，所以＝，所以S＝4πR2＝55π．故选：D．8．（5分）已知函数，且a＝f（log3e），b＝f（log30.5），c＝f（ln3），则a，b，c的大小为（）A．c＞a＞b B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a【解答】解：，定义域是R，而f（﹣x）＝﹣xe﹣x+xe x＝f（x），故f（x）是偶函数，图像关于y轴对称，x≥0时，f′（x）＝，令g（x）＝（x+1）e x+（x﹣1），（x≥0），则g′（x）＝（x+2）e x+1＞0，g（x）在[0，+∞）递增，而g（0）＝3＞0，故g（x）＞0在[0，+∞）恒成立，故f′（x）＞0在[0，+∞）恒成立，故f（x）在[0，+∞）递增，在（﹣∞，0）递减，而ln3＞log3e＞log32＝|log30.5|，故f（ln3）＞f（log3e）＞f（log32）＝f（log30.5），故c＞a＞b，故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分.9．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）的最大值为2C．f（x）在区间上单调递增D．为偶函数【解答】解：由图象可知，函数f（x）的周期为，故选项A错误；所以,由“五点法”可得，，解得φ＝，又0＜φ＜π，所以φ＝，所以f（x）＝A sin（2x+），又f（x）的图象经过点（0,1），则有f（0）＝A sin＝1，解得A＝2,所以f（x）＝2sin（2x+），所以f（x）的最大值为2，故选项B正确；令，解得，故函数f（x）的单调递增区间为，当k＝0时，f（x）的单调递增区间为，故选项C错误；因为f（x+）＝，所以f（x+）为偶函数，故选项D正确．故选：BD．10．（5分）已知由样本数据点集合{（x i，y i）|i＝1，2，…，20}（其中＝＝3）求得的回归直线方程l1：＝1.5x+0.5，记此模型对应的相关指数为R12．观察残差图发现：除了数据点（1.2，2.2）和（4.8，7.8）明显偏离横轴，其余各点均密集均匀分布，剔除这两个数据点后重新求得的回归直线方程l2：，记此模型对应的相关指数为R22，则下列结论中正确的是（）A．变量x与y正相关B．记＝y i，则＝5C．R12＞R22D．【解答】解：由回归直线方程l1：＝1.5x+0.5，且1.5＞0可得变量x与y正相关，故A 正确；∵，且样本点的中心在回归直线上，∴，故B正确；当剔除两个数据点后其余各点均密集均匀分布，说明用回归直线方程拟合效果更好，则残差平方和变小，相关指数变大，有R12＜R22，故C错误；∵剔除两个数据点后的样本点的中心坐标没变，∴，故D正确．故选：ABD．11．（5分）设F是抛物线C：y2＝4x的焦点，直线l：x＝ty+1与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（）A．|AB|≥4B．可能大于0C．若P（2，2），则|P A|+|AF|≥3D．若在抛物线上存在唯一一点Q（异于A，B），使得QA⊥QB，则t＝±【解答】解：A选项，F（1，0），所以直线l过焦点F，所以|AB|≥2p＝4，A选项说法正确．设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得y2﹣4ty﹣4＝0，所以y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4，所以，B选项，＝1+（﹣4）＝﹣3＜0，B选项说法错误．C选项，抛物线的准线方程为x＝﹣1，则P点到准线的距离为d＝2+1＝3，从而|P A|+|AF|≥d＝3，C选项说法正确．D选项，设Q，由QA⊥QB，有，即，代入韦达定理，整理得（m2+4tm+12）（m2﹣4tm﹣4）＝0，因为Q点唯一，且异于A、B两点，所以关于m的方程m2+4tm+12＝0有两个相同的实数根．由△＝0，解得，故D选项说法正确．故选：ACD．12．（5分）已知函数f（x）＝axlnx+（lnx）2，下列关于f（x）的说法中正确的是（）A．当且仅当a＝0时，f（x）有唯一的零点B．f（x）最多有两个极值点C．若a≥0，则f（x）仅有一个极值点D．若f（x）无极值点，则【解答】解：f（x）＝axlnx+（lnx）2＝lnx（ax+lnx），对于A，当a＝0时，f（x）＝（lnx）2，令f（x）＝0，得x＝1，所以当a＝0时，f（x）有唯一零点，若f（x）有唯一零点，则ax+lnx≠0或ax+lnx＝0的根为1，所以a≠或a＝0，令g（x）＝（x＞0），g′（x）＝＝，所以在（e，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，在（0，e）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以g（x）min＝g（e）＝﹣，所以a＜﹣，所以若f（x）有唯一零点，则a＜﹣或a＝0，故A错误；对于B，（x＞0），f（）≠0，令f′（x）＝0，可得a＝g（x）＝（x＞0且x），g′（x）＝2，令g′（x）＝0，可得lnx1＝，lnx2＝，所以g（x）在（0，x1）递增，在（x1，）递减，在（，x2）递减，在（x2，+∞）递增，又g（1）＝0，g（x1）＜0，所以g（x）＝a最多有2个解，即f（x）最多有两个极值点，故B正确；对于C，当a≥0时，g（x）＝a只有一个解，即f（x）仅有一个极值点，故C正确；对于D，当a→﹣∞时，g（x）＝a有2个解，此时f（x）有2个极值点，故D错误．故选：BC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：（1）m⊥n；（2）α⊥β（3）n⊥β（4）m⊥α．以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：m⊥α，n⊥β，α⊥β⇒m⊥n或m ⊥n，m⊥α，n⊥β⇒α⊥β．【解答】解：m⊥α，n⊥β，α⊥β⇒m⊥n，由面面垂直的性质定理得m⊥n正确；m⊥n，m⊥α，n⊥β⇒α⊥β，由面面垂直的判定定理得α⊥β正确；α⊥β，n⊥β，m⊥n⇒m⊥α，这里m与α相交、平行或m⊂α，故m⊥α不正确；m⊥n，α⊥β，m⊥α⇒n⊥β，这里n与β相交、平行或n⊂β，故n⊥β不正确．故答案为：m⊥α，n⊥β，α⊥β⇒m⊥n或m⊥n，m⊥α，n⊥β⇒α⊥β．14．（5分）若直线l：ax+by﹣5＝0（ab＞0）始终平分圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝25的周长，则的最小值为5．【解答】解：∵直线l：ax+by﹣5＝0（ab＞0）始终平分圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝25的周长，∴圆C的圆心在直线l上，可得3a+2b＝5，又ab＞0，∴a＞0，b＞0，则＝＝，当且仅当a＝b＝1时等号成立．∴的最小值为5．故答案为：5．15．（5分）已知公差不为0的等差数列{a n}满足a52+a62＝a72+a82，则S12＝0．【解答】解：根据题意，设等差数列{a n}的公差为d，又由a52+a62＝a72+a82，则有a82﹣a52+a72﹣a62＝0，变形可得（a8﹣a5）（a8+a5）+（a7﹣a6）（a7+a6）＝0，即3d（a8+a5）+d（a7+a6）＝4d（a7+a6）＝0，因为d≠0，则a7+a6＝0，由等差数列的性质得4（a1+a12）＝0，即a1+a12＝0，所以S12＝0；故答案为：0．16．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，侧面P AB，侧面P AC，侧面PBC与底面所成的角均为，若AB＝2，CA+CB＝4，且△ABC是锐角三角形，则三棱锥P﹣ABC体积的取值范围为（，]．【解答】解：作PO⊥平面ABC于O，则PO⊥BC，作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，连接PD，PE，PF，∵OD∩PO＝O，OD、PO⊂平面POD，∴BC⊥平面POD，∴BC⊥PD，∴∠PDO为二面角P﹣BC﹣A的平面角，同理可得，∠PEO，∠PFO分别为二面角P﹣AC﹣B和二面角P﹣AB﹣C的平面角，∴∠PDO＝∠PEO＝∠PFO＝，∴OE＝OD＝OF＝PO，∴O为△ABC的内心，连接AO，BO，CO，设S△ABC＝t，则t＝S△AOB+S△AOC+S△BOC＝OF•AB+OE•AC+OD •BC＝OD•（AB+AC+BC）＝3OD，∴OD＝，PO＝OD＝t，∴V P﹣ABC＝PO•S△ABC＝•t•t＝，∵AC+BC＝4＞AB＝2，∴点C在以A，B为焦点的椭圆上，以AB所在直线为x轴，以AB的中垂线所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A （﹣1，0），B（1，0），∴椭圆中的c＝1，a＝2，b＝，∴椭圆的标准方程为＝1，设C（x，y），要使∠CAB，∠CBA均为锐角，则﹣1＜x＜1，∴|y|＞，∵∠ACB＜90°，∴•＝（x+1，y）•（x﹣1，y）＝x2+y2﹣1＞0，即4（1﹣）+y2﹣1＞0，解得|y|＜3，∵点C在椭圆上，∴|y|≤，∴|y|∈（，]，∴S△ABC＝|AB|•|y|＝|y|∈（，]，即t∈（，]，∴V P﹣ABC＝∈（，]．故答案为：（，]．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在①S n+1＝2S n+2；②；③S n＝a n+1﹣2这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，且满足_____．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，求数列{b n}的前n项和为T n．【解答】解：若选择条件①：由S n+1＝2S n+2，得S n＝2S n﹣1+2（n≥2），两式相减得a n+1＝2a n，又当n＝1时，有S2＝a1+a2＝2a1+2，a1＝2，得a2＝4，满足a2＝2a1，所以数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以a n＝2×2n﹣1＝2n；若选择条件②：由，得a n﹣a n﹣1＝2n﹣1，所以a n＝a n﹣a n﹣1+a n﹣1+a n﹣2+…+a2﹣a1+a1＝2+21+22+23+…+2n﹣1＝2+＝2n；若选择条件③：由S n＝a n+1﹣2，得S n﹣1＝a n﹣2（n≥2），两式相减得a n＝a n+1﹣a n，即a n+1＝2a n，所以数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以a n＝2×2n﹣1＝2n．（2）根据题意，T n＝b1+b2+…+b n ＝++…+；则T n ＝++…+，两式相减得T n＝1+++…+﹣，所以T n＝2++++…+﹣＝2+﹣＝3﹣．18．（12分）智能体温计由于测温方便、快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温检测．调查发现，使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用智能体温计测量体温可能会产生误差．对同一人而言，如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同，我们认为智能体温计“测温准确”；否则，我们认为智能体温计“测温失误”．现在某社区随机抽取了20人用两种体温计进行体温检测，数据如表．用频率估计概率，解答下列问题：序号1234567891036.636.636.536.536.536.436.236.336.536.3智能体温计测温36.636.536.736.536.436.436.236.436.536.4水银体温计测温序号1112131415161718192036.336.736.235.435.235.637.236.836.636.7智能体温计测温水银体温计36.236.736.235.435.335.63736.836.636.7测温（1）从该社区中任意抽查3人用智能体温计测量体温，设随机变量X为使用智能体温计测温“测温准确”的人数，求X的分布列与数学期望值；（2）医学上通常认为，人的体温不低于37.3℃且不高于38℃时处于“低热”状态．该社区某一天用智能体温计测温的结果显示，有3人的体温都是37.3℃，能否由上表中的数据来认定这3个人中至少有1人处于“低热”状态？说明理由．【解答】解：（1）表中20人的体温数据中，用智能体温计与水银体温计测温结果相同的序号是，01，04，06，07，09，12，13，14，16，18，19，20共有12种情况，∴估计所求的概率为，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率为，∴，P（X＝1）＝，，P（X＝3）＝，故X的分布列为：X0124PE（X）＝．（2）设这三人中至少有1人处于“低热”状态为事件N，表中20人的体温数据中，用智能体温计的测温结果，高于其真实体温的序号为02，05，11，17，共计4种情况，由此估计从社区任意抽取1人，用智能体温计的测温结果高于其真实体温的概率为，由此估计，这3人中至少有1人处于“低热”状态的概率为P（N）＝1﹣（）＝，结论1：，接近于1，由此认定这三人中至少有人处于“低热”状态，结论2：P（N）＝，由可能这三人都不处于“低热”状态．19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且若a2+c2+ac＝b2.D 为BC的中点，AD＝，记∠BAD＝θ．（1）若θ＝，求AB的值；（2）求a+2c的取值范围．【解答】解：（1）∵，而0＜B＜π，∴．∵，∴．在△ABD中，，即，故AB＝1．（2）△ABD中，由可知，由正弦定理及AD＝，可得，所以，∴＝，由，可知，∴，∴．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，P A＝AD ＝CD＝2，BC＝3，E为PD中点，点F在线段PC上，且DF∥平面P AB．（1）求证：AE⊥平面PCD；（2）求二面角F﹣AE﹣P的正弦值．【解答】解：（1）证明：∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥CD，∵AD⊥CD，P A∩AD＝A，∴CD⊥平面P AD，∵AE⊂平面P AD，∴CD⊥AE，∵P A＝AD＝2，E为PD中点，∴AE⊥PD，∵PD∩CD＝D，∴AE⊥平面PCD．（2）过点D作DG∥AB交BC于点G，连接FG，易证DG∥平面P AB，∵DF∥平面P AB，DF∩DG＝D，∴平面DFG∥平面P AB，∵平面DFC∩平面PBC＝FG，平面P AB∩平面PBC＝PB，∴FG∥AB，∴，如下图，以D为原点分别以，，平行于P A向上为x轴，y轴，z轴为正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），E（1，0，1），∵，可得F（），∴，，设＝（x，y，z），为平面AEF的一个法向量，则，可得，设二面角F﹣AE﹣P的大小为θ，则，∴sinθ＝，则二面角F﹣AE﹣P的正弦值为．21．（12分）（1）（ⅰ）证明：∀x∈R，e x≥x+1；（ⅱ）证明：x＜0时，x2+e x﹣＞0；（2）若关于x的不等式alnx+x≤e x﹣1恒成立，求实数a的值．【解答】解：（1）（i）令f（x）＝e x﹣x﹣1，则f'（x）＝e x﹣1，令f'（x）＞0可得x＞0，令f'（x）＜0可得x＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，∴f（x）≥f（0）＝0，即e x≥x+1；（ii）令，x＜0，则，由（i）可知，故g'（x）≤2x﹣e x﹣（e x+x）＝x＜0，所以g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，故g（x）＞g（0）＝0，即当x＜0时，；（2）令h（x）＝alnx+x﹣e x﹣1，当a＝0时，h（x）＝x﹣e x﹣1，由（1）知e x﹣1≥（x﹣1）+1＝x，则h（x）≤0恒成立，符合题意；当a＜0时，由（1）可知，与题意不符；当a＞0时，，，∴h'（x）在（0，+∞）单调递减，∵，∴∃x0∈（1，+∞），使得h'（x0）＝0，且x∈（1，x0）时，h'（x）＞0，故h（x）在（1，x0）单调递增，此时h（x）＞h（1）＝0，与题意不符．综上，a＝0．22．（12分）已知双曲线C：的左、右顶点分别是A1、A2，且经过点，双曲线的右焦点F2到渐近线的距离是．不与坐标轴平行的直线l 与双曲线交于P、Q两点（异于A1、A2），P关于原点O的对称点为S．（1）求双曲线C的标准方程；（2）若直线A1S与直线A2Q相交于点T，直线OT与直线PO相交于点R，证明：在双曲线上存在定点E，使得△RME的面积为定值，并求出该定值．【解答】解：（1）设双曲线的右焦点F（c，0），一条渐近线为ay+bx＝0，联立，解得a＝2，b＝，所以双曲线C的标准方程为﹣＝1．（2）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），S（﹣x1，﹣y1），T（x0，y0），设直线l的方程为y＝kx+m（k≠0），联立，得（1﹣2k2）x2﹣4kmx﹣（2m2+4）＝0，k≠±，因为△＞0，所以m2＞4k2﹣2，所以m≠0，所以x1+x2＝，x1x2＝，y1+y2＝，y1y2＝，所以x1y2+x2y1＝，由题知A1（﹣2，0），A2（2，0），由T，S，A1三点共线可得＝，即＝，由T，Q，A2三点共线可得＝，即＝，相交可得＝+＝，所以＝＝，所以直线OT的方程为y＝x＝x，联立，解得x＝﹣2，所以点T在定直线x＝﹣2上，则使得△RME的面积为定值的点E一定为过点M且与直线x＝﹣2平行的直线与双曲线的交点，此时E（4，﹣），且S△RME＝×2×6＝6．。
【全国百强校】广东省华南师范大学从属中学尝试中学广雅中学深圳高级中学四校期末联考数学（文）试题
绝密★启用前试卷类型：A广东省2021 届高三年级四校联考文科数学本试卷共6页，22 小题，满分150 分. 考试历时120 分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上. 用2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案. 答案不能答在试卷上.3．非选择题必需用黑色笔迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准利用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必需维持答题卡的整洁.第Ⅰ卷(选择题共60 分)一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，满分60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1．i 为虚数单位，则复数z =2 - i在复平面上对应的点位于iA．第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2．若全集U ={1, 2,3,4,5,6}，M =⎧x6∈N*, x ∈U⎫，则M =⎨x⎬ U⎩ ⎭A．{1,2,3,4,5,6} B．{1, 2, 3, 6} C．{4, 5} D．∅⎨⎩3. 下列函数中，既是 R 上的偶函数，又在区间 (0, 3) 内单调递减的是A. y = x 3B. y = ln xC. y = 2x + 2- xD. y = cos x 4. 给定空间中的点 P ，直线 l ，平面α 与平面 β ，若 P ∈ l ， P ∈α ，α ⊥ β ， 则“ l ⊂ α ”是“ l ⊥ β ”的 A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件⎧ x + y < 6, 5．若实数 x , y 知足条件 ⎪x - 3 y < -2, ，设 z =2x + 3y 的取值集合为 M ，则 ⎪ x > 1.A.17 ∈ M B. 14 ∈ M C. 5 ∈ M D. 3∈ M6. 已知曲线 y = sin(ω x + π) （ω > 0 ）关于直线 x = π 对称，则ω 的最小值为 32 1 A ．B ．321 1 C ．D ．367.在平面直角坐标系中，随机从O (0，0)，A (2，0)，B (1，1)，C (0，2)，D (2，2) 这五个点中选取三个，则以这三点为极点能组成三角形的概率是4 7 3 1 A.B.C.D.510528.某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为 2 ，四条 用虚线表示的线段的长度均相等，则该几何体的表面积为2π正视图侧视图A. 8 -B. 24 - π 3C. 24 + 1)πD. 24 +1)π4 9 2 35 78 1 6⎧ a < -1或a =1 或a > 9 ⎫ ⎧ a < -1或 1 ≤ a ≤ 1 ⎫⎬⎩ e 28 ⎬ ⎩ ⎭ ⎧ a > -1或 1 < a < 9 ⎫ ⎧ a > -1或> 9 ⎫ ⎩ 8 ⎬ ⎩ 8 ⎬+ ⎨ 29.设 a 是列位数字不全相同的三位数，调整 a 各数位上数字 开始 输入 a的顺序，取得的最大数为 M , 最小数为 m , 例如若 a = 693 ，n=1则 M = 963, m = 369 .如图，若输入的 a = 693 ，则输出的 n 为 A ．2 B ．3 C ．4D ．5a=M-m a=495? 是 输出 nn=n +1否10.设 a > 1 ，则曲线xa 2 y 2结束- = 1的离心率的取值范围是 (a + 1)2A ． ( 2，2) B ． ( 2，5)C ． (2，5)D ． (2，5)11.幻方，是中国古代一种填数游戏. n (n ∈ N *,n ≥ 3) 阶幻方是指将持续 n 2个正整数排成的正方形数阵，使之同一行、同一列和同一对角线上的 n 个数的和都相等.中国古籍《周易本义》中的《洛书》记载了一个三阶幻方（如图 1），即此刻的图1 图2图 2. 若某3 阶幻方正中间的数是 2021 ，则该幻方中的最小数为 A. 2021 B. 2021 C. 2021 D. 202112. ⎧ x e = 2.718⋅⋅⋅ 为自然对数的底数，已知函数 f ( x ) = ⎪ 81, x < 1, ，若关于 x 的方程⎪⎩ln x -1, x ≥ 1.f (x ) = ax 有唯一实数根，则实数 a 的取值范围是A ． ⎨a C ． ⎨a B ． ⎨a ⎭ D ． ⎨a⎭ ⎭* 2 第 II 卷（非选择题 共 90 分）二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.y4.43.2 1.90.9O 13 4 x14. 已知两个单位向量 a , b 的夹角为120︒ ，则 2a - b 的值为.15．已知动圆 M 与圆 C : ( x +1)2 + y 2= 1，圆 C ：(x -1)2 + y 2 = 25 均内切，则动圆圆心 1 2M 的轨迹方程是 .16. 已知数列{a n } 知足：a 1 = 2 ，a n +1 + a n = log 2 (n+ 3n + 2)(n ∈ N ) .若 a m > 7 ，则 m 的最小值为 .三、解答题：共 70 分.解承诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.第 17~21 题为必考题， 每一个试题考生都必需作答.第 22、23 题为选考题，考生按照要求作答. （一）必考题：60 分. 17．（本小题满分 12 分）已知 ∆ABC 中，角 A , B , C 所对的边别离为 a , b , c ，且cos(B - C ) - 2 s in B sin C = 1.2（1）求 A ； （2）若 a =3, c = 2 c os C ，求∆ABC 面积．18．（本小题满分 12 分）如图，DC ⊥ 平面 ABC ，EB DC ，AAC = CB = BE = 2DC = 2 ，P 为 AE 的中点， BP ⊥ AD ．（1）证明： PD 平面ACB ； （2）证明： ∆ABC 为等边三角形； C (3) 求四棱锥 A - BCDE 的体积．DPBE219．（本小题满分 12 分）依据某地某条河流 8 月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的 频率散布直方图如图（甲）所示；依据本地的地质构造，取得水位与灾害品级的频率分布 条形图如图（乙）所示.频率1级级40 米的情况下发生 1 级灾害的频率为 g ，则该河流 1 级灾害 的频率为 f ⨯ g ，其它情况类似. 据此，试别离估量该河流在 8 月份发生 一、2 级灾害及 不发生灾害的概率 p 1 , p 2 , p 3 ；（3）该河流域某企业，在 8 月份，若没受 一、2 级灾害影响，利润为 500 万元；若受 1级灾害影响，则亏损 100 万元；若受 2 级灾害影响则亏损 1000 万元.现此企业有如试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪一种方案？说明理由.20. （本小题满分 12 分）已知圆 M : x 2 + ( y + 1)2= 4 p 9通过抛物线C : x 2 = 2 py 的核心.（1）求 p 的值；（2）当 p > 0 时，直线 l 与抛物线 C 、圆 M 均只有一个公共点，求直线l 的方程.21．（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x ) = ( x -1 - a)e x + 1 ，其中 e = 2.718⋅⋅⋅ 为自然对e数的底数，常数 a > 0 ．（1）求函数 f (x ) 在区间[0, +∞) 的零点个数； （2）设函数 g ( x ) 的导数 g '(x ) = (e x - a ) f (x ) ， a ∈ (1, e) ，判断 ln a 是函数g ( x ) 的极 大值点仍是极小值点并说明理由．（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，若是多做，则按所做的第一题计分.22．[选修 4―4：坐标系与参数方程]（10 分） ⎧ x = 2 + 2 cos ϕ,在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线C 1 : x + y = 1与曲线 C 2 : ⎨ ⎩ y = 2 s in ϕ.( ϕ 为参数，ϕ ∈[0, 2π) )．以坐标原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴成立极坐标系． （1）写出曲线 C 1 , C 2 的极坐标方程； （2）在极坐标系中，已知点 A 是射线 l :θ = α ( ρ ≥ 0) 与 C 1 的公共点， 点 B 是l 与C 2 的 公共点，当α 在区间[0, π] 上转变时，求 OB 的最大值．2OA23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）已知函数 f ( x ) =x -1 + x + a 2 ，其中 a ∈ R ．（1）当 a =f ( x ) ≥ 6 的解集；（2）若存在 x 0 ∈ R ，使得 f ( x 0 ) < 4a ，求实数 a 的取值范围．。
2025届广东省华附、省实、深中、广雅四校高三下学期联合考试数学试题含解析
2025届广东省华附、省实、深中、广雅四校高三下学期联合考试数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，都是偶函数，且在上单调递增，设函数，若，则（ ）A ．且B ．且C ．且D ．且2．函数ln ||()xx x f x e=的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．3．设集合{|0}A x x =>，{}2|log (31)2B x x =-<，则（ ）． A ．50,3AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭ B ．10,3AB ⎛⎤= ⎥⎝⎦C ．1,3A B ⎛⎫⋃=+∞ ⎪⎝⎭D ．(0,)A B =+∞4．若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()x e xf x x+=B ．()21x f x x -=C ．()x e xf x x-=D ．()21x f x x +=5．设复数z 满足i(i i2i z z -=-为虚数单位)，则z =（ ） A ．13i 22- B ．13i 22+ C ．13i 22--D ．13i 22-+ 6．某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）A ．56B ．60C ．140D ．1207．复数5i12i+的虚部是 ( ) A ．iB ．i -C ．1D ．1-8．若函数32()2()f x x mx x m R =-+∈在1x =处有极值，则()f x 在区间[0,2]上的最大值为（ ）A ．1427B ．2C ．1D ．39．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．33y x =±B ．3y x =C ．12y x =±D ．2y x =±10．已知集合{}1,0,1,2A =-，()(){}120B x x x =+-<，则集合A B 的真子集的个数是（ ）A ．8B ．7C ．4D ．311．复数2iz i=-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．若21i iz =-+，则z 的虚部是A ．3B ．3-C ．3iD ．3i -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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1 华附、省实、广雅、深中2021届高三四校联考 数 学 2021.02
命题学校：深圳中学 命题： 审题：
本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，22小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相
关信息填写在答题卡指定区域内，并用2B 铅笔填涂相关信息。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内
的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
第一部分 选择题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合{}02M x x =∈≤≤R ，{}11N x x =∈-<<R ，则M N =（**） A ．{}01x x ≤≤ B ．{}01x x ≤< C ．{}12x x <≤ D ．{}
12x x -<≤ 2．复数2021
i 3i
z =+在复平面内对应的点位于（**） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3．已知直线l ，m 和平面α，且l α⊥，则l m ⊥是m α的（**）条件
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充分必要
D ．既不充分也不必要 4．为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量
体重．经统计，这批学生的体重数据(单位：千克)全部介于
45至70之间．将数据分成5组，并得到如图所示的频率分
布直方图．现采用分层抽样的方法，从[)55,60，
[)60,65， []65,70这三个区间中随机抽取6名学生，
再从这6名学生中随机抽取3人，则这三人中恰有两人体重位于区间
[)55,60的概率是（**）
A ．815
B ．920
C ．35
D ．910
第4题图。