清华大学计算固体力学第六次课件_求解方法和稳定性
固体物理(中科大PPT)6-2
N va V k N 3 3 b 8 8
V Nva 晶体体积
在简约区中，波矢k的取值总数为
k b N 晶体的原胞数
2. Bloch函数的性质
Bloch函数
ik r
k r eikr uk r
周期性边界条件：
r r N a
而 得 所以
r N a TN r N r r
N 1 ei 2 h
2 h exp i N
h＝整数， ＝1, 2, 3
{ T r r + a r
＝1, 2, 3
其中是平移算符T 的本征值。为了确定平移算符 的本征值，引入周期性边界条件。
设晶体为一平行六面体，其棱边沿三个基矢方向， N1，N2和N3分别是沿a1，a2和a3方向的原胞数，，即 晶体的总原胞数为N＝N1N2N3 。
零级近似方程：
能量本征值： Ek(0)
H 0 k(0) Ek(0) k(0)
2k 2 2k 2 U0 2m 2m
令U0 0
2 d 2 H0 U0 2 2m dx 2 nx H U n exp i a n 0
零级近似 微扰项
分别对电子能量E(k)和波函数(k)展开
E k Ek(0) Ek(1) Ek(2)
k k(0) k(1) k(2)
r + R eikR r ik r 定义一个新函数： uk r e k r
uk r R e
ik r R
固体物理(清华大学)--N01_C02
第二章：化学键与晶体形成在固体物理发展的早期阶段，人们从化学的角度来研究固体，所以化很大的精力去计算各种固体的结合能(binding energy)，并依此对固体进行粗略的分类。
后来在原子物理和量子力学发展以后，人们依据电子在实空间的分布来对固体进行分类，也就是化学键或者是晶体的键合(crystal binding)的理论。
最精确的固体分类是在能带理论发展以后才实现的。
原子物理研究了单个原子中的电子能级.首先,考虑一个电子,单个电子是以一定的几率在原子核周围的空间中分布,几率分布的密度()()2r r ψ=ρ(()r ψ是单个电子的波函数). 根据量子力学,三维空间中单个电子的波函数),()()( φθ=ψlm n Y r R r 是能量E,轨道角动量2L和分量z L 三个算符的共同本征函数,其量子数分别为n, l, m(221n E n -=,n=n ’+l+1),一组量子数确定电子的一个轨道.在考虑一个原子中的多个电子的时候,忽略了电子之间很强的库仑排斥作用(很奇怪和大胆的近似,但误差不大),认为多个电子根据泡利不相容原理(Pauli ’s exclusion principle)以及洪特规则(Hund ’s rule)依次排入单个电子的轨道.这就分别形成了（1s,2s,2p,3s,3p,3d,...）等电子壳层和亚壳层.在原子结合成为固体的过程中，内部满壳层的电子(core electrons)基本保持稳定，价电子(valence electrons)在实空间会随着原子之间的相互作用重新分布。
按化学家的语言说，就是在原子之间形成了化学键(Chemical bond)。
不同的固体拥有不同的化学键。
晶体：原子、离子或分子呈空间周期性排列的固体，以区别于内部不具有周期性的非晶体。
原子间引力：一般来说，晶体比自由原子的空间混乱集合稳定，这意味着原子之间存在等效的相互吸引力(本质是库仑相互作用加上量子效应)，从而构成晶体。
固体物理(清华大学)--N01_C03B
3.4 倒易点阵与布里渊区(Reciprocal Lattice and Brillouin Zone) 在晶格振动理论中原子的振动以机械波的形式在晶体中传播，在能带理论中电子的几率分布用波函数的形式描述,是在整个晶体中分布的几率波。
上述两种波都受制于晶格的周期性。
倒易空间就是定义在晶格上的波()r ψ的波矢k 的空间.从数学上讲,倒易点阵和Bravais 点阵互相是对应的傅里叶空间。
倒易点阵基矢(Reciprocal Basis)与晶格基矢正交归一： a a i j ij *⋅=2πδ。
倒易点阵基矢：()()()()a a a a a a a a a a a a ccc c 123231123312222***,=⨯=⨯=⋅⨯=⨯πππΩΩΩΩ即原胞体积。
倒易格矢量：*3*2*1a l a k a h G hkl ++=，其中h, k, l 为任意整数.构成倒易点阵。
Bravais 点阵的倒易点阵也是Bravais 点阵，在绝大多数情况傅里叶变换并不改变点阵的晶格结构.普遍而言倒易点阵属于点阵同一晶系.(1) 面心立方与体心立方互为正、倒易点阵。
例子：面心---体心互换。
)ˆˆˆ(2),ˆˆˆ(2),ˆˆˆ(2321z y x a a z y x a a z y x a a -+=+-=++-= (2) 体心四方变成面心四方,也就是回到体心四方.)ˆˆˆ(21),ˆˆˆ(21),ˆˆˆ(21321z c y a x a a z c y a x a a z c y a x a a -+=+-=++-= (3) 底心正交还是变成体心正交.z c a y a x a a y b x a a ˆ),ˆˆ(21),ˆˆ(21321=-=+= 倒易点阵在晶体学中的应用：晶面的定量描述。
倒格矢G ha ka la hkl =++123***垂直于()hkl 晶面。
面间距d G hkl hkl =2π/。
计算固体力学中的重要研究领域PPT课件
在这一研究趋势下，计算固体力学算法研究的若干重要问题可列举如下:
（a） 计算细观力学. 为深入研究材料的本构和破坏行为，提出了多种细观的离散模型，例如 分子动力学模拟、缺陷和裂纹的损伤演化模拟等。
（b） 解析法与数值法的结合. 采用数值法并不就是这种结合的产物。对于旋转体或多种对称的结构可用群论方法求解。这类 有效算法应当集成到通用有限元程序中。
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结构的主动控制是大型结构抗风、抗震的发展趋势。应当认真研究数据采集，参数识别，控制反 作用（actuate）的全套过程，用算法与程序系统贯通起来。
应用中不可避免地要处理不确定的因素，例如制造误差与环境因素等。随机振动在工程中有广泛 的应用，目前对于平衡或非平稳，多点同相位或异相位激励的快速计算方面都已取得突破性进展。应 当大力提倡这方面的应用研究。
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⑤ 结构优化. 结构优化是应用中的重大课题。近年来已从结构尺寸优化发展到结构形状和拓 扑的优化。与优化相关联的反问题是许多应用课题中的基础，应大力予以研究。在优化与反问题 中，可应用序列线性规划与序列二次规划法。
结构优化分析反过来对于力学基础理论也作出了重要推动。在板的优化研究深入之际，已发 现传统的连续体并不是最优的，真实的优化解应当是由无限密肋组成的板结构形式。这个结构影 响深远，由此启发出微结构材料设计这一尖端领域。一般的结构优化问题中未知量是连续变化的， 而拓扑优化则是离散的，而且改变着区域的拓扑性质，所以拓扑优化的非线性性质更高出一个层 次; 至于设计方案、总体布局等问题，甚至都无法找到恰当的数学模型来进行表达，这一类非线 性只能用人工智能、专家系统的手段来处理。
清华大学计算固体力学全套课件
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全套课件
计算固体力学
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第1章 绪论
计算固体力学课程体系
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全面介绍非线性有限元的前沿性内容，使学习 者能进入这一领域的前沿，应用非线性有限元方法 求解弹塑性材料、几何大变形和接触碰撞这些非线 性力学的主要问题，增强工程结构中非线性计算和 虚拟仿真的能力，提高非线性有限元的教学和科研 水平。
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计算固体力学课程体系
教学内容：
1. 绪论：非线性有限元的基本概念，发展历史，工程应用， 标记方法，网格表述和偏微分方程的分类。（2） 2. 一维L有限元：TL和UL格式的控制方程。E有限元：E公式 的控制方程，弱形式与强形式。（4） 3. 连续介质力学：变形和运动，应力－应变的度量，守恒 方程，框架不变性。（4） 4. L网格：UL有限元离散，编制程序，旋转公式。（4） 5. 材料本构模型：一维弹性，非线性弹性，如次弹性和超 弹性。一维塑性，多轴塑性，超弹－塑性（橡胶和泡沫 模型），粘弹性（蠕变和松弛等），经验本构模型，如 J-C方程等。应变硬化和软化。（4） 6. 求解方法：应力更新算法，平衡解答和隐式时间积分 （N-R求解等），显示时间积分（中心差分等） ，波的 传播问题。（4） TSINGHUA UNIVERSITY
Engineering Science- is the systematic acquisition of knowledge for the purpose of applying it to the solution of problems effecting the needs and well-being of human kind. SBES- engineering science and science that employs the principles and methods of modeling and computer simulation to acquire and apply knowledge for the benefit of human kind.
固体物理(清华大学)--N01_C03A
第三章：晶体结构(Crystal Structures)3.1 晶格的几何描述(Geometrical description of crystals) （略）严格地讲，由于表面、原子振动、杂质(最小浓度为10-12cm-3)等的存在,没有完美的晶体.“完美”晶体的讨论基于表面、振动、杂质等缺陷对要讨论的晶体性质的影响可忽略不计。
晶体的非完美性本身大多是很有意义的课题：例如原子振动之于电阻、杂质之于半导体等.晶格(Crystal lattice)：用位于原子平衡位置的几何点替代每一个原子，结果得到一个与晶体几何特征相同、但无任何物理实质的几何图形（区分不同原子）.处于原子平衡位置的几何点被称为格点(Lattice site).基矢(Basis)：在Bravais点阵中,人为选取的与晶格维数同样多的一组矢量,使得晶格中任意两个格点间的位移矢量(即格矢量,position vectors)可以表达为该组矢量的整数线性组合.基矢的选取不唯一。
在三维布拉伐晶格中, 格矢量R na mb lc=++，其中a b c,,为一组基矢。
二维布拉伐晶格中格矢量R na mb=+，其中a b,为一组基矢。
原胞(Primitive unit cell)：产生完全平移覆盖的晶格最小单元。
不唯一，以方便为准。
同一晶格中的各种原胞选择之间体积大小相同.Bravais点阵的原胞只含一个原子,非Bravais点阵的原胞含多个原子。
Wigner-Seitz原胞由Bravais点阵中以一个格点为中心的最短和次短的格矢量的中垂面围合而成。
原胞与基矢的围合不一定一样(变形虫可以满铺二维空间).例子：三角晶格，计算面积。
单胞(Conventional unit cell)：为更好显示晶格的旋转和镜像反射对称性而选的一倍或几倍于原胞的晶格单位. 注意单胞的定义与非Bravais点阵无关.晶格常数a通常指单胞的边长。
例子：三角晶格。
晶向(Direction)：晶向的概念是以格点组成互相平行的直线，再构成晶体。
固体物理第6课化学键ppt课件
泡利不相容原理：
描述电子的运动状态：(n l ml ms）
❖n：主量子数，n=1，2，3， ❖l：角量子数，l＝0，1，2， n-1 ❖ml：磁量子数，ml＝0，1，2， l ❖ms：自旋磁量子数，1/2
原子核外不存在运动状态完全相同的两个电子
返回
泡利不相容原理
1925年1月，物理学家泡利提出了不相容原理：即 一切由自旋等于半整数的粒子——费米子组成的系统 中，不能有两个或两个以上的粒子处于完全相同的状 态。 这一原理解释了原子的 电子壳层结构和元素周 期律，推动了电子自旋 概念的确立。
原子轨道的角分布Ylm(θ，Φ)的球极坐标图与氢原 子的讨论完全一样。电子云分布|ψ|的角度分布也相似。
2.1 结合能
❖自由粒子系统能量与由此组成的晶体的能量差。 ❖ EN：N个原子处于自由状态时的总能 ❖ E0：N个原子结合为晶体后，晶体的总能量 ❖N个自由原子组成的晶体其结合能为：
❖ Eb＝EN－E0=-W= -U(R0) ❖若取 EN＝0，则Eb＝－E0＝－U(V0)
固体物理第6课化学键ppt课件
卢瑟福原子结构的行星式模型
1911年，著名英国物理学 家卢瑟福提出了关于原子结构的 行星式模型。但是，行星式原子 模型存在两大困难：
1、原子坍塌，电子绕核做椭圆运动，这是一种加速运 动，按经典电动力学理论电子在运动过程中必然辐射 能量，电子能量逐渐减少，轨道半径随之变小，只要 10-8秒，电子就会落到核上，发生坍塌； 2、是在坍塌前原子连续辐射，应得连续的原子光谱。 实际上，原子没有发生坍塌；实验上，原子光谱是分 立的线光谱。
晶体的 势内 能 动 能 能 忽 略 动 内 能能＝
N个原子，相邻原子间互作用势能 u(rij ) 则整个晶体的势能函数为：
清华大学计算固体力学第六次课件 求解方法和稳定性
非线性有限元
第6章 求解方法和稳定性
第6章 求解方法和稳定性
1
2 3
4
5
6
7
引言 显式方法 平衡解答和隐式时间积分 线性化 稳定性和连续方法 数值稳定性 材料稳定性
1 引言
描述非线性有限元的求解过程，瞬态问题的显式和隐式求解方法， 以及平衡问题的解决方法，并且检验它们的编程和性质。展示了计算 结果的稳定性、数值过程的稳定性和材料的稳定性。 显式时间积分的中心差分方法，编程方法，相关技术如质量缩放、 子循环和动态松弛。 以Newmark -方法为模型描述了隐式方法，静态问题的平衡求解。
(d n 1 2d n d n 1 ) d a n 2 (t )
n n
是已知的关于函数二阶导数的中心差分公式。
考虑半离散运动方程的时间积分，在第n 时间步给出为
Ma n f n f ext (d n , t n ) f int (d n ,t n )
当质量矩阵M为对角阵时，实现节点速度和位移的更新不用求解 任何方程。这是显式方法的一个突出特征：对离散动量方程的时间积 分不需要求解任何方程，关键在于应用了对角质量矩阵。
2 显式方法
编程
1. 初始条件和初始化 设定v0，0和其它材料状态参数的初始值； d0=0， n=0， t=0；计算质量M， 给出作用力
双曲线型偏微分方程，典型问题是波的传播
utt c (uxx u yy uzz ) 0
2
在双曲线型系统中，信息 以有限的速度传播，波速为c＝ x/t的直线斜率。 一个力在 t ＝0 时刻施加在杆的左端，在 右侧 x处的观察者直到波传播 到理解应用显式动力学算法时应力是如何在模型中传播 的。在这个例子中，考虑应力波沿着一个由三个单元构成的杆件模 型传播的过程，随着时间增量的变化，将研究杆件的各个状态。
清华大学物理课件---------力学.第6章.振动_ppt课件
A cos( t ) 合成仍是同频率简谐振动： x n sin n1 2 Aa , 2 sin 2 17
重要特例： n 个分振动同相： 2 k π ( k 0 , 1 , 2 )
A na
π 2 k ( k ຫໍສະໝຸດ k ) n 个分振动初相依次差： n
9
2. 振动曲线
mm m
o A x x 0< A (伸长量) 00 <= xA
0
x A o -A -
= /2
=0
t >0 T=2
10
3. 旋转矢量法 用旋转矢量法定初相 很方便。
x 0 A2
v0 0
t+
0 A
t
例：已知
3
v0< 0
0 x0 A/2 x
x = A cos( t + )
一. 简谐振动定义 物理量随时间按正弦或余弦变化的过程：
x A cos( t ) — 简谐振动
x 可以是位移、电流、场强、温度…
▲ 简谐振动是最简单、最基本的振动，可用 来研究复杂振动。 ▲ 简谐振动是理想化模型，许多实际的小幅 振动都可以看成简谐振动。
4
二. 简谐振动的判据（针对机械振动） 1. 受力特征
上面1、2、3中任何一条成立即可判定为是
简谐振动。
6
三. 简谐振动的特征量 1. 角频率
k m
只由系统本身决定，也称为固有频率 频率
2
1 2π T
周期
7
2. 振幅
2 v 2 E 2 0 A x 0 2 k
由初始条件和系统本身情况决定 3. 初相（位）
固体力学概论PPT学习教案
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9. 专有名词的翻译
1. 材料力学：strength of materials, mechanics of materials 2. 弹性力学： theory of elasticity, elasticity, (elastic mechanics 错误); 3. 塑性力学：theory of plasticity, plasticity, (plastic mechanics 错误); 4. 介观力学：mesomechanics； 细观力学，可是，在专著
外力
内力
内力
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6. 任务
固体力学的发展主要动力是社会实
践：
任务是研究工程结构在服役条件下的安全性、可靠 性; 就是强度问题(应力值不超过许用值) 、刚度问 题(变形不太大)、稳定性问题、振动问题. 工程结构 包括: 飞机、火箭、船舶、车辆、桥梁、房屋、水 坝、反应堆、坦克等等.
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《 》 Micromechanics of defects in solids , T Mura，
“micromechanics” 可翻译为细观力学,不翻成微观力学。 5. 宏（微）观力学；macromechanics, micromechanics
这里，英语书籍里“micromechanics”包含介观尺度问题。 6. 经典力学：Classic mechanics, （牛顿力学） 7 理论力学：theoretical mechanics.
“Theory of Elastic Stability” 、“Theory of Plates and Shells”与符拉索夫 (薄壁杆件).
中国东汉(127~200)郑玄提出线性弹性关系; 宋代李诫《营造法式》；隋代
固体力学7-6_801102601
固体力学1.课程概述22.张量分析基础3.运动与变形4.应力与平衡55.固体材料的本构关系6.弹性力学的基本理论7.弹塑性力学问题88.固体力学专题7.弹塑性力学问题7.1 引言7.2 经典弹塑性本构关系727.3 Mises流动理论（J2流动理论）7.4 Mises形变理论（J2形变理论）7.5 Tresca流动理论（混合硬化）75Tresca7.6 塑性力学基本假设7.7 弹塑性力学问题的求解方法简介7.8 弹塑性力学问题的简单实例782Mises形变理论(deformation theory of plasticity) Mises流动理论属于增量型理论，它所建立的是应力增Mi流动理论属于增量型理论它所建立的是应力增量（应力率）与变形增量（变形率）之间的关系。
本节的Mises形变理论则属于全量理论，它所建立的是直Mi形变理论则属于全量理论它所建立的是直接应力与变形本身之间的关系。
限于各向同性硬化情况讨论讨论。
关于比例加载的考虑…Hencky(1924)，不考虑弹性变形与强化；Nadai(1938)不考虑弹性变形但考虑强化Nadai(1938),不考虑弹性变形但考虑强化；Ilyushin(1943),考虑弹性变形与强化。
222 Mises形变理论屈服条件与加载准则条件与加载准则以单向拉伸的为例：2 Mises 形变理论形变论Mises 形变理论若材料处于卸载状态，它一定是若材料处于卸载状态，它定是由Mises 等效应力σeq 为历史上最大值的应力状态卸载而得到的。
所以相应的弹性本构关系为：(σ*，ε*) —Mises 等效应力σeq 为历史上最大值时所对应的():−=−ε*εT σ*σq 应力张量与应变张量（出发点）。
)—(σ，ε) 则当前的应力张量与应变张量。
2 Mises 形变理论Mi Mises 形变理论若材料处于加载状态：e pε=ε+εe ?p ε=ε=T :σ问题的关键是如何得到εPMises 若材料处于加载状态则形变理论假定：（1）若材料处于加载状态，则应力σ与应变ε之间存在函数关系；（2）塑性应变εP ′平行即′的方向与应力偏量σ′平行，即εP ⁄⁄σ′。
计算固体ppt课件
在本构关系中，凡是放弃材料线性关系 的理论，均属于非线性范畴．在这个范畴内， 又根据不同的材料性态，区分不同的力学范 围，提出不同的本构理论，建立不同本构方 程．
研究材料非线性问题，在建立本构方程 时，仅考虑应力、应变两个物理参数，但两 者成非线性关系，其中若结构恢复无外载状 态后，无残余应变存在称为非线性弹性，若 存在残余应变，则称为弹塑性．
(
z
x )2
6(
2 xy
2 yz
2 zx
)]1/
2
/
2
18
与等效应力对应的等效应变 定义为
伸情况下，
J 1/2 2
/
3
k s / 3
因而：
k s s / 3
17
通常引入等效应力 和等效应变 , 等
效应力把一个多维应力状态用单轴应力等效
起来，以便判断其屈服情况．等效应力的定 义为
(3Sij Sij / 2)1/ 2 [( x y )2 ( y z )2
由此可知，屈雷斯卡准则预测材料的剪切屈 服应力为拉伸屈服应力的一半，即
s 0.5 s 13
一般情况下，屈雷斯卡准则可以叙述为
1 2 , 2 3 或 3 1 中任一对主应
力之差的绝对值等于 2 s 时，材料发生屈服，
其屈服条件为
f
[(
1
2
)2
4
2 s
料非线性有限元分析的有关内容．
1
在线性分析中，假设材料的本构关系是 线性的，即应力与应变呈线性关系，在很多 情况下，这个假设能给分析带来既简单又相 当精确的结果．但是在有些情况下，如固体 结构处于高应力水平，结构内的应力集中区， 材料不再呈线性性态，此时应力与应变关系 为非线性性态，这些区域虽为结构的局部区 域，但结构的损伤与破坏却由这些区域开始， 以至导致结构的失效．因此，研究材料的非 线性问题是一个相当重要的课题．
第六届全国加权残值法及其工程应用会议文集
后，可由式(21)解出
a1
。
最小二乘配点法的未知数与直接配点法的未知数相等。在直接配点法中，平衡方程在域内
(n-b)个点上精确满足，但在其它 m 个点上不满足。而在最小二乘配点法中，平衡方程在域
内(n+m-b)个点上在最小二乘的意义下满足，精度好于直接配点法。同时，最小二乘配点法
"
#
pm ( x2 )w2 (x − x2 ) !
p1( xN )wN ( x − xN )
p2
(
xN
)
wN
(
x
−
xN
)
"
pm (xN )wN ( x − xN )
p1( x1)
A
=
B
p1( x2 "
)
p1
(
xN
)
p2 (x1) ! p2 (x2 ) !
"#
p2 (xN ) !
pm ( x1)
如果直接用最小二乘求解式(17)时，边界条件不能严格满足，将极大地降低解的精度。
为了解一组对应于平衡方
程。令边界条件严格满足，而使平衡方程在最小二乘意义下满足。根据这种思想，将式(17)
中与 b 个边界点对应的方程集中起来，排列在方程组的 1 ~ b 行。因此得：
Key words Weighted Residual Method, Meshless method, Moving Least-Square Method, Collocated Method, Least-Square Collocated Method
1 引言
有限单元法经过近三十年的高速发展，已经成为解决工程问题应用最为广泛的数值方 法。然而，随着应用范围的拓展，有限元方法的固有缺陷也日益显露出来。例如挤压与铸 造、高速冲击、流固耦合、动态裂纹扩展问题等。针对有限元方法暴露出来的问题，许多 国际上著名的计算力学学者，包括 T. Belytschko, O. C. Zienkiewicz, S. N. Atluri, J. T. Oden， 都对无网格方法表现出了很大兴趣，并进行了大量研究[1]。
固体力学6-3_741501863
固体力学1.课程概述2.张量分析基础3.运动与变形4.应力与平衡5.固体材料的本构关系弹性力学的基本6.弹性力学的基本理论7.弹塑性力学问题88.固体力学专题6.弹性力学的基本理论6.1 线性弹性理论的基本方程6.2 线性弹性理论的基本原理线性弹性的基本解法6.3 线性弹性理论的基本解法6.4 线性弹性理论位移方程的一般解6.5 线性弹性理论的若干经典解析解线性弹性的变分原及应用6.6 线性弹性理论的变分原理及应用最小势能原理强制边界条件、欧拉方程和自然边界条件的概念。
强制边界条件欧拉方程和自然边界条件的概念对于势能泛函的自变函数只需具有的一阶偏导数且平方可积，还要满足给定位移边界上的边界条件即可。
如果要能导出相应的欧拉方程，则还需进一步要求存在连续的二阶偏导数，即为C2 类函数。
弱解与强解的概念。
变分原理给弹性力学问题的求解带来了一种全新的求解策略：代替找为挑。
解策略：代替“找”为“挑”。
虚力原理最小余能原理()回顾虚位移原理的建立：何能场满足何关系和位移边界条件δ场函数分家：几何场＋静力场,iiju ε()ijσ几何可能场：满足几何关系和位移边界条件的位移、应变场()i ij u δδε静力可能场：满足平衡方程和力边界条件的应力场ij δσ引入虚位移的目的考察平衡的真实性引入虚位移的目的：考察平衡的真实性…有针对的、有分寸的、含蓄的虚…最小余能原理虚力原理引入虚力的目的：考察位移和应变的的真实性…有针对的、有分寸的、含蓄的虚…虚力：是虚设的、在待求状态平衡力系邻近的、平衡条件许可的、任意的、微小的改变。
虚力原理：虚力在真实位移上所作的功，即虚余功必等虚力原理虚力在真实位移上所作的功即虚余功于零。
若虚力在任意一组位移上所作的虚余功为零，则这组位移在几何上是协调的。
这组位移在几何上是协调的广义变分原理在经典变分原理中要求自变函数满足强制方程和强制边界条件，如：最小势能原理中位移必须是变形可能的，最小余能原理中应力必须是静力可能的最小余能原理中应力必须是静力可能的。
固体力学6-2_383006542
固体力学1.课程概述2.张量分析基础3.运动与变形4.应力与平衡5.固体材料的本构关系弹性力学的基本6.弹性力学的基本理论7.弹塑性力学问题88.固体力学专题6.弹性力学的基本理论6.1 线性弹性理论的基本方程6.2 线性弹性理论的基本原理线性弹性论的基本原6.3 线性弹性理论的基本解法6.4 线性弹性理论位移方程的一般解6.5 线性弹性理论的若干经典解析解线性弹性论的若经典解析解6.6 线性弹性理论的变分原理及应用定理对于个无旋的矢量场即满足 标量势与矢量势定理：对于一个无旋的矢量场A ，即满足则该矢量场可以表示为一个标量场的梯度，即∇×=A 0A =∇φ∇—φ称为该矢量场A 的标量势。
对于一个无散的矢量场即满足∇⋅=A 0对于个无散的矢量场A ，即满足则该矢量场可以表示为一个矢量场的旋度，即A =∇×ψ—ψ称为该矢量场A 的矢量势。
将位移场表示为将位移场表示为：φ=∇+∇×u ψ无限弹性体内一点受集中力作用的Kelvin解Kelvin问题：K l i问题设集中力P 沿OZ方向作用在坐标原点O。
边界条件：在无穷远处所有应力分量均趋于零。
z )2r ν⎤)53rz R ⎥+⎥⎦（2）建立三维问题的边界积分方程。
半无限弹性体边界上一点作用切向力的Cerruti解Cerruti问题：假设切向力P作用在半无限体边界上的坐标原点，并且沿着Ox轴的方向。
自由面边界条件….轴的方向自由面边界条件常数可以由自由表面处的边界条件，以及在距表面深方向的合力与作用相平衡的条件来确定。
定出的常数为定出的常数为⎤⎞⎟⎥⎟⎥⎟⎟⎠⎥⎦半无限弹性体边界上一点作用垂直力的Boussinesq解Boussinesq问题：设集中力P 沿OZ方向作用在坐标原点O。
自由面边界条件….可以根据自由面上的条件和水平面力和作用的集中力平衡的条件来确定截面上的垂直面力和作用的集中力平衡的条件来确定。
)νP z R −−⎡⎤2πR R R z +⎣⎢⎦⎥220z θσ==解在土木工程中的应用….以上介绍的这些一般解，都是上个世纪的研究成果，利用这些一般解可以得到了一系列典型弹性果利用这些般解可以得到了系列典型弹性力学问题的解答。
计算固体01-1
微分算子 [
/ x 0
0
0
/ y
0
0
/
y
0 / x
/ z
0
0 / z
/ z 0
/ y
/ x
(2) 平衡方程
ij , j fi 0
, f ij i 应力张量分量和体力向量分量．
矩阵形式表示
T f 0
应力列阵, 体力列阵
{} [ x
y
z
] xy yz
其中
W ( ij ) ij ij / 2 Dijkl ij kl / 2
虚位移后的总势能可以写为
p V WdV V fi (ui ui )dV S pi (ui ui )dS V W dV V fiuidV S piuidS V W dV V fiuidV S piuidS V W ( ij )dV
W Cijkl ij kl / 2
虚位移原理和最小势能原理
凡是物体几何约束(例如, 支承条件) 所允许的位移就称为可能位移, 取其 任意微小的变化量就是虚位移, 也就 是几何上可能位移的变分．根据能 量守恒定律，外力在虚位移上所做 的功（虚功）必等于物体内部应力 在虚应变上所做的功，这就是虚功 原理或虚位移原理：
(二) 弹性假设
弹性体的变形与载荷在整个加卸载过程 中存在一一对应的单值函数关系，且当 载荷卸去后变形完全消失，弹性体恢复 其初始的形状和尺寸．这里的单值函数 关系可以是线性的或非线性的，取决于 材料性质与变形大小．
为了简化，进一步引进如下辅助假设：
(三) 均匀性假设
物体在不同点处的弹性性质处处相 同．实际上，金属材料都可看作均匀 的．对于混凝土、玻璃钢等非均质材料， 如果不细究其不同组份交界面处的局部 应力，可以采用在足够大的材料试件上 测得的弹性常数来简化成均匀材料．但 是有些新型材料例功能梯度材料是不能 采用这个假设的．
清华大学固体物理：第六章 晶格动力学
清华大学固体物理：第六章晶格动力学6.1固体物理性质的变化依赖于他们的晶格动力学行为：红外、拉曼和中子散射谱；比热，热膨胀和热导；和电声子相互作用相关的现象如金属电阻，超导电性和光谱的温度依赖关系是其中的一部分。
事实上，借助于声子对这些问题的了解最令人信服地说明了目前固体的量子力学图像是正确的。
晶格动力学的基础理论建立于30年代，玻恩和黄昆1954年的专题论文至今仍然是这个领域的参考教科书。
这些早期的系统而确切地陈述主要建立了动力学矩阵的一般性质，他们的对称和解析性质，没有考虑到和电子性质的联系，而实际上正是电子性质决定了他们。
直到1970年才系统地研究了这些联系。
一个系统电子的性质和晶格动力学之间的联系的重要性不仅在原理方面，主要在于通过使用这些关系，才有可能计算特殊系统的晶格动力学性质。
现在用ab initio 量子力学技术，只要输入材料化学成分的信息，理论凝聚态物理和计算材料科学就可以计算特殊材料的特殊性质。
在晶格动力学性质的特殊情况下，基于晶格振动的线性响应理论，大量的ab initio 计算在过去十年中通过发展密度泛函理论已经成为可能。
密度泛函微扰理论是在密度泛函理论的理论框架之内研究晶格振动线性响应。
感谢这些理论和算法的进步，现在已经可以在整个布里渊区的精细格子上精确计算出声子色散关系，直接可以和中子衍射数据相比。
由此系统的一些物理性质（如比热、熱膨胀系数、能带隙的温度依赖关系等等）可以计算。
1从固体电子自由度分离出振动的基本近似是Born-Oppenhermer (1927) 的绝热近似。
在这个近似中，系统的晶格动力学性质由以下薛定谔方程的本征值,R和本征函数决定。
,22ERRR,,, (6.1.1) 22MRIII这里RRER是第I个原子核的坐标，是相应原子核的质量，是所有原子核坐标的集合，是RMIII系统的系统的限位离子能量，常常称为Born-Oppenhermer能量表面。
固体力学6-1_574509406
固体力学1.课程概述2.张量分析基础3.运动与变形4.应力与平衡5.固体材料的本构关系弹性力学的基本6.弹性力学的基本理论7.弹塑性力学问题88.固体力学专题6.弹性力学的基本理论6.1 线性弹性理论的基本方程6.2 线性弹性理论的基本原理626.3 线性弹性理论的基本解法6.4 线性弹性理论位移方程的一般解66.5 线性弹性理论的若干经典解析解6.6 线性弹性理论的变分原理及应用6.1 线性弹性理论的基本方程另外除去给定位移或面力边界条件外还有另一 线弹性理论的边界条件另外，除去给定位移或面力边界条件外，还有另种线性边界条件—弹性约束条件。
用这个条件可以取代给定位移或给定面力的条件其形式如下取代给定位移或给定面力的条件。
其形式如下utiS∈∀x t K u c i ij i+=—为约束弹性常数；ij K j j i c —为与初始位移有关的参数。
另外对于包含两种不同材料交界面的弹性问题在 线弹性理论的边界条件另外，对于包含两种不同材料交界面的弹性问题，在交界面上还要提出连续条件，包括位移连续条件和面(1)(2)(1)(1)(1)(2)(2)(2)iii ijjji iju u, n ttn σσ===−=−力连续条件*x S∈∀数目问题……..对于动力问题，方程要作简单修改：在平衡方程中加入惯性项；并且加上适当的初始条件。
考虑同一弹性体的两组载荷情况 叠加原理考虑同弹性体的两组载荷情况f tu i i i ij ij ()()()()(),,,11111 ⇒εσf tu i iiijij()()()()(),,,22222 ⇒εσ若两组载荷同时作用⇒+=+=)()()()(2121ttt u σε,iii iii f f f u u u=+=+=+()()()()()()121212 εεεσσσijij i ,,i iiij ijijij ijij则叠加原理证明：以平衡方程为例。
σσij jiij jif f V()()()(),,112200+=+=∀∈ x σσj ijij ijin tn tS()()()()1122==∀∈x ()σσijijjii f f V ()()()()((((,12120+++=∀∈ x 另外几何方程物理方程位移边界条件等也同样()σσjijijiin ttS))))1212+=+∀∈ x 另外，几何方程、物理方程、位移边界条件等也同样可以得到证明，所以叠加原理成立叠加原理是线性问题所特有的性质对于任何非线性 叠加原理叠加原理是线性问题所特有的性质，对于任何非线性问题叠加原理就不再成立（非线性模态的趣话）。