微积分基本定理》

在联系,同时它也提供了计算定积分的一种方法.
微积分基本定理是微积分学中最重要的定理,它
使微积分学蓬勃发展起来,成为一门影响深远的
科 学, 可 以 毫 无 夸 张 地 说, 微 积 分 基 本 定 理 是 微 积
分中最重要、最辉煌的成果.
分:
1
2
1
1dx x
;
2
3 2x 1
1 x2
dx.
解
1因为ln x' 1,
x
所以
2 1
1dx x
ln
x
|12
ln 2 ln1 ln 2.
2因为
x2
'
2x,
1
'
x
1 x2
,
3
1
2x
1 x2
dx
3
2xdx
1
3 1
1 x2
dx
x2
|13
1 x
3 1
9
1
1 3
1
22 3
.
3当位于x 轴上方的曲边 y
梯形的面积等于位于x 轴 1
下方的曲边
梯
形面 积 时,
o
1
定积分的值为0(图1.6 5),
y sinx π
图1.6 5
2π
x
且等于位于x 轴上方的曲
边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积.
微 积 分 基 本 定 理 揭 示 了导 数 和 定 积 分 之 间 的 内
1.4.2 微积分基本定理
从前面的学习中可以发现,虽然被积函数 f x x3
非常简单,但直接用定积分的定义计算 1 x3dx的值 0
却比较麻烦.对于有些定积 请你尝试利用定积分
分, 例如
直接用
定12 1x义dx计,几算乎.那不么可,有能没定有义更计加算简12便x1d、x.有
效
的
方法求定积分呢?另外 ,我们已经学习了微积分学
中两个最基本和最重要的概念 导数和定积分,
这两个概念之间有没有内在的联系呢? 我们能否
利用这种联系求定积分呢 ?
我们先来探究一下导数和定积分的联系.
S B
hn ΔSn
s st
S
hi
hi ΔSi
A
h1
h1
ΔS1
探究
o
at0
t1
ti1
ti tn1
btn
t
图1.6 1
如图1.6 1,一个作变速直线运动的物体的
例2 计算下列定积分:
π
2π
2π
0 sinxdx,π sinxdx,0 sinxdx .
解
因为 cos x'
sin x,
π
sin xdx
0
cos x|0π
cosπ cos0 2;
2π π
sin
xdx
cos
x
|2ππ
cos2π cosπ 2;
2π
0
sin
xdx
cos
x
|02π
cos2π cos0 0.
a,b等分成n个小区间:
t0,t1,t1,t2 , ti1,ti , tn1,tn ,
每个小区间的长度均为Δt
当Δt很小时, 在 ti1,ti 上,vt
的t变i 化ti1很小b,可n a以.
认为物
体近 似地以 速度v t i1 作匀 速运动, 物体 所作的 位移
ΔSi
hi
v ti1Δt
s' ti1Δt
一 般 地,如 果f x是 区 间a,b上 的 连 续 函 数,并 且F' x
f
x,
那
么 b a
f
xdx
Fb
Fa.这
个
结
论
叫
做微
积
分基本定理(fundamental theoremof calculus),
又叫做牛顿 莱布尼兹公式( Newton Leibniz
Formula ).
为了方便,我们常常把Fb Fa记成Fx|ba,即
lim
n
n i1
b
av n
ti1
Βιβλιοθήκη Baidu
lim n
n i1
b as' n
ti1
b
v t dt
b s' t dt.
a
a
结合①
有S
b
a
vtdt
b
a
s'
tdt
sb
sa.
上式表明,如果作变速直线运动的物体的运动规
律是s st,那么vt s' t在区间a,b上的定积
分就是物体的位移sb sa.
s' ti1 Δt.
图1.6 2
结合图1.6 1,可得物体总位移
n
n
n
n
S ΔSi hi vti1Δt s' ti1Δt.
i1
i1
i1
i1
显然,n越大,即Δt越小,区间a,b的分划就越细,
n
n
Vti1Δt s' ti1Δt与S的近似程度就越好.
i1
i1
由定积分的定义有S
b
a
微
fxdx Fx|ba Fb Fa.
积 分 基 本 定 理 表 明, 计 算 定
积
分 b a
f
x
dx的
关
键
是找到满足F' x fx的函数Fx.通常,我们可以
运 用 基 本 初 等 函 数 的 求导 公 式 和 导 数 的 四 则 运算
法 则 从 反 方 向 求 出Fx .
例1
计
算
下
列定积
运动规律是s st.由导数的概念可知,它在任意
时刻t的速度vt s' t设这个物体在时间段a,b
内的位移为S,你能分别用st、vt表示S吗?
显然,物体的位移S是函数s st在t b处与t a
处的函数值之差,即S sb sa. ①
另一方面,我们还可以利用定积分,由vt来求位移S.
用分点a t0 t1 ti1 ti tn b将区间
y
1
y sinx
o
π
1
图1.6 3
y
1
2π
x
o
1
y sinx π
2π
x
图1.6 4
可以发现,定积分的值可能取正值也可能取负值 还可能是0 :
1当对应的曲边梯形位于x 轴上方时(图1.6 3),
定积分的值取正值,且等于曲边梯形的面积;
2当对应的曲边梯形位于x 轴下方时(图1.6 4),
定积分的值取负值,且等于曲边梯形的面积的相 反数.
b
a n
s' ti1 .
②
从几何意义上看图1.6 2, s
设曲线s st上与ti1对应的
s st
点为P,PD是P点处的切线,由 sti
D
导数的几何意义知,切线 PD
ΔSi
的斜率等于s' ti1 ,于是
st i1
P Δt
hi C
ΔSi hi tanDPC Δt
o
ti1
ti t