《变量间的相关关系》课件
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(课件)：高三数学第9章第四节
程将部分观测值所反映的规律进行延伸，是我
们对有线性相关关系的两个变量进行分析和控
制，依据自变量的取值估计和预报因变量值的
基础和依据，有广泛的应用．
例3 某种产品的宣传费支出x与销售额y(单位:
万元)之间有如下对应数据： x y 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70
(1)画出散点图； (2)求线性回归方程； (3)试预测宣传费支出为10万元时，销售额多大?
答案：185.03
2．(2011年扬州调研)已知三点(3,10)，(7,20)，
(11,24)的横坐标x与纵坐标y具有线性关系，则 其线性回归方程是________．
7 23 答案：y＝ x＋ 4 4
3．某单位为了了解用电量y(度)与气温x (℃)
之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当
天气温，并制作了对照表：
【名师点评】 从本题可以看出，求回归直线方程， ^ ^ 关键在于正确求出系数a ，b ，由于计算量较大，所 以计算时要仔细、谨慎，分步进行，避免因计算而 失误．特别注意，只有在散点图大体呈线性相关时， 求出的回归直线方程才有意义．
利用回归方程对总体进行估计
利用回归直线方程可以估计总体，回归直线方
关系是回归分析的前提．
^ 2．注意回归直线方程中一次项系数为b ，常数 ^ 项为a ，这与一次函数的习惯表示不同． 3． 回归分析是处理变量相关关系的一种数学方 法．主要解决：(1)确定特定量之间是否有相关 关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达 式；(2)根据一组观察值，预测变量的取值及判 断变量取值的变化趋势；(3)求出回归直线方程．
2．假设关于某设备的使用年限(年)和所支出 的维修费用(万元)有如下统计资料： x(年) 2 3 4 5 6
们对有线性相关关系的两个变量进行分析和控
制，依据自变量的取值估计和预报因变量值的
基础和依据，有广泛的应用．
例3 某种产品的宣传费支出x与销售额y(单位:
万元)之间有如下对应数据： x y 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70
(1)画出散点图； (2)求线性回归方程； (3)试预测宣传费支出为10万元时，销售额多大?
答案：185.03
2．(2011年扬州调研)已知三点(3,10)，(7,20)，
(11,24)的横坐标x与纵坐标y具有线性关系，则 其线性回归方程是________．
7 23 答案：y＝ x＋ 4 4
3．某单位为了了解用电量y(度)与气温x (℃)
之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当
天气温，并制作了对照表：
【名师点评】 从本题可以看出，求回归直线方程， ^ ^ 关键在于正确求出系数a ，b ，由于计算量较大，所 以计算时要仔细、谨慎，分步进行，避免因计算而 失误．特别注意，只有在散点图大体呈线性相关时， 求出的回归直线方程才有意义．
利用回归方程对总体进行估计
利用回归直线方程可以估计总体，回归直线方
关系是回归分析的前提．
^ 2．注意回归直线方程中一次项系数为b ，常数 ^ 项为a ，这与一次函数的习惯表示不同． 3． 回归分析是处理变量相关关系的一种数学方 法．主要解决：(1)确定特定量之间是否有相关 关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达 式；(2)根据一组观察值，预测变量的取值及判 断变量取值的变化趋势；(3)求出回归直线方程．
2．假设关于某设备的使用年限(年)和所支出 的维修费用(万元)有如下统计资料： x(年) 2 3 4 5 6
变量之间的相关关系(必修优秀课件)
归方程的较为科学的方法:
y
脂
肪 含 量
40
设回归方程为
y bx a
35
30 25
20
15 10
5
0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
x
年龄
人们经过长期的实践与研究,已经找到了计算回
归方程的较为科学的方法:
y
脂
肪 含 量
40
设回归方程为
y bx a
35
30
25
20
A xi , yi
人体内脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？
下面我们以年龄为横轴, 脂肪含量为纵轴建立直角坐标系, 作出各个
点, 称该图为散点图。
y
年 龄
23
27
39
41
45
49
50
53
54
56
57
58
60
61
脂 肪
9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条
直线叫做回归直线， 该直线叫回归方程。
脂肪含量
40
那么，我们该怎样
35
来求出这个回归方程？ 30
请同学们展开讨论，
25
能得出哪些具体的方
20
案？
15
10
5
年龄
0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
.
方案1、先画出一条直线，测量出各点与它的距离， 再移动直线，到达一个使距离的和最小时，测出它的斜 率和截距，得回归方程。
高中数学人教A版必修三 2.3变量间的相关关系 课件1 课件(47张)
2.3 变量间的相关关系
2.3.1 变量之间的相关关系 (2.3.2) 两个变量的线性相关
1. 什么叫做两个变量间的相关关系? 2. 什么叫做两个变量间相关关系的确定性和不 确定性? 3. 什么样的关系叫两个变量间的线性相关关系? 4. 什么叫正相关关系? 什么叫负相关关系? 5. 如何画两个变量的散点图?
3. 线性相关关系 两关系的数据散点图在某一条直线附近, (其关 系可以近似地用一次函数表示), 这样的相关关系称 为线性相关. 若散点图分布左低右高, 则称两变量正相关; 反之, 左高右低分布, 则称两变量负相关.
习题 2.3 A 组
3. 一个车间为了规定工时定额, 需要确定加工零件 所花费的时间, 为此进行了10次试验, 收集数据如下:
借助坐标系, 作出这些数据的散点图:
脂肪 40 35 30 25 20 15 10 5
0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
此散点图有两 脂肪
特点:
40 35
(1) 在某一条直
30 25
线附近.
20
15
(2) 从左到右在 10
升高, 左低右高. 5
0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
零件 x (个) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 时间 y (m) 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122
(1) 画出散点图;
时间
125 100
75 50
25 0 0
20 40 60 80 100 零件
20 40 60 80 100
4. 影响消费水平的原因很多, 其中重要的一项是工资收入. 研究这两个变量的关系的一个方法是通过随机抽样的方法, 在 全国范围内收集被调查者的工资收入和他们的消费状况. 下面 的数据来自国家统计局公布的统计年鉴 ( 2000年版 ), 是祖国大 陆 31 个省、自治区、直辖市的职工平均工资与居民消费水平 (单位: 元).
2.3.1 变量之间的相关关系 (2.3.2) 两个变量的线性相关
1. 什么叫做两个变量间的相关关系? 2. 什么叫做两个变量间相关关系的确定性和不 确定性? 3. 什么样的关系叫两个变量间的线性相关关系? 4. 什么叫正相关关系? 什么叫负相关关系? 5. 如何画两个变量的散点图?
3. 线性相关关系 两关系的数据散点图在某一条直线附近, (其关 系可以近似地用一次函数表示), 这样的相关关系称 为线性相关. 若散点图分布左低右高, 则称两变量正相关; 反之, 左高右低分布, 则称两变量负相关.
习题 2.3 A 组
3. 一个车间为了规定工时定额, 需要确定加工零件 所花费的时间, 为此进行了10次试验, 收集数据如下:
借助坐标系, 作出这些数据的散点图:
脂肪 40 35 30 25 20 15 10 5
0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
此散点图有两 脂肪
特点:
40 35
(1) 在某一条直
30 25
线附近.
20
15
(2) 从左到右在 10
升高, 左低右高. 5
0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
零件 x (个) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 时间 y (m) 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122
(1) 画出散点图;
时间
125 100
75 50
25 0 0
20 40 60 80 100 零件
20 40 60 80 100
4. 影响消费水平的原因很多, 其中重要的一项是工资收入. 研究这两个变量的关系的一个方法是通过随机抽样的方法, 在 全国范围内收集被调查者的工资收入和他们的消费状况. 下面 的数据来自国家统计局公布的统计年鉴 ( 2000年版 ), 是祖国大 陆 31 个省、自治区、直辖市的职工平均工资与居民消费水平 (单位: 元).
变量间的相关关系 课件
4．回归直线方程 (1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致 在_一__条__直__线__附近，就称这两个变量之间具有_线__性__相__关__关 系，这条直线叫做回归直线． (2)回归方程：_回__归__直__线__的方程，简称回归方程． (3)回归方程的推导过程： ①假设已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组 数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)． ②设所求回归方程为_^y_＝__^b_x_＋__^a_，其中^a，^b是待定参数．
【解】 （1）画散点图如图. 由图可知y与x具有线性相关关系.
（2）列表、计算：
i1
2
3
4
5
6
7
xi 10
20
30
40
50
60
70
yi 62
68
75
81
89
95
102
xiyi 620 1 360 2 250 3 240 4 450 5 700 7 140
10
10
x ＝55， y ＝91.7， xi2 ＝38 500， xiyi＝55 950
9 90 115 10 350
10 100 122 12 200
◆用公式求回归方程的一般步骤：
（1）列关于xi，yi，xiyi的表格.
（2）计算
x
，
y
，
n
， n
xi2
xiyi.
i 1
i 1
（3）代入公式计算bˆ ，aˆ的值.
（4）写出回归方程.
【注意】
求回归方程前，需要：
（1）收集样本数据，设为（xi，yi）（i＝1，2，…，n）（数据一般 由题目给出）.
i 1
高三数学大一轮复习11.3变量间的相关关系课件.ppt
答案 C
5．(2010·湖南)某商品销售量 y(件)与销售价格 x(元/
件)负相关，则其回归方程可能是( A )
^
A.y
＝－10x＋200
^
B.y
＝10x＋200
^
C.y
＝－10x－200
^
D.y
＝10x－200
解析 由于销售量 y 与销售价格 x 成负相关，故 排除 B、D. C 中y^ 值恒为负，不符合题意，故选 A.
的值为___2_._6___．
0＋1＋3＋4 解析 x ＝ 4 ＝2，
2.2＋4.3＋4.8＋6.7
y＝
4
＝4.5，
样本中心为(2,4.5)，又样本中心在回归直上．
所以 4.5＝0.95×2＋a，即 a＝2.6.
3．已知 x，y 之间的一组数据如下表：
x
2
3
4
5
6
y
3
4
6
8
9
对于表中数据，现给出如下拟合直线：①y＝x＋1；
i 1
10
xi yi 10x y
bˆ
i 1 10
xi2
2
10x
0.172,
i 1
aˆ y bˆ x 1.83 0.172 6 0.798.
从而得到回归直线方程为 y ˆ0.172x0.798.
(2)某家庭年收入为 9 万元时，其年饮食支
出约为
^
y
＝0.172×9＋0.798＝2.346(万元)．
71，
6
6
∑i＝1x2i ＝79，∑i＝1xiyi＝1 481，
6
^
b
＝∑i＝1i∑＝x61iyxi2i－－66xx 2 y ＝1 48719－－66××33..55×2 71＝－1.82，
5．(2010·湖南)某商品销售量 y(件)与销售价格 x(元/
件)负相关，则其回归方程可能是( A )
^
A.y
＝－10x＋200
^
B.y
＝10x＋200
^
C.y
＝－10x－200
^
D.y
＝10x－200
解析 由于销售量 y 与销售价格 x 成负相关，故 排除 B、D. C 中y^ 值恒为负，不符合题意，故选 A.
的值为___2_._6___．
0＋1＋3＋4 解析 x ＝ 4 ＝2，
2.2＋4.3＋4.8＋6.7
y＝
4
＝4.5，
样本中心为(2,4.5)，又样本中心在回归直上．
所以 4.5＝0.95×2＋a，即 a＝2.6.
3．已知 x，y 之间的一组数据如下表：
x
2
3
4
5
6
y
3
4
6
8
9
对于表中数据，现给出如下拟合直线：①y＝x＋1；
i 1
10
xi yi 10x y
bˆ
i 1 10
xi2
2
10x
0.172,
i 1
aˆ y bˆ x 1.83 0.172 6 0.798.
从而得到回归直线方程为 y ˆ0.172x0.798.
(2)某家庭年收入为 9 万元时，其年饮食支
出约为
^
y
＝0.172×9＋0.798＝2.346(万元)．
71，
6
6
∑i＝1x2i ＝79，∑i＝1xiyi＝1 481，
6
^
b
＝∑i＝1i∑＝x61iyxi2i－－66xx 2 y ＝1 48719－－66××33..55×2 71＝－1.82，
2.3.1变量之间的相关关系课件
在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研 究人员获得了一组样本数据：
年龄
23
27
39
41
45
49
50
脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2
其年中龄各年5龄3 对应5的4 脂肪5数6 据是5这7 个年5龄8 人群6脂0 肪含6量1 的脂样肪本平29均.6数.以30.x2轴表31示.4年龄30，.8y轴3表3.示5 脂3肪5.含2 量3，4.6你 能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗？
的两个变量之间的关系称为相关关系. 例：（1）商品销售收入与广告支出经费之间的关系;
（2）粮食产量与施肥量之间的关系; （3）人体内脂肪含量与年龄之间的关系.
相关关系是一种 非确定关系
相关关系与函数关系的异同点：
相同点：均是指两个变量的关系．
不同点：1.函数关系是一种确定的关系,是两个非随 机变量之间的关系;而相关关系是一种非确定关系,是 非随机变量与随机变量之间的关系. 2.两个变量之间产生相关关系的原因是受许多不确定 的随机因素的影响. 3.需要通过样本来判断变量之间是否存在相关关系.
这些点大致分布在一条直线附近.
我们再观察它的图象发现这些点大致分布在一条直 线附近,像这样，如果散点图中点的分布从整体上 看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间 具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线，该直 线所对应的方程叫做回归方程. 那么，我们该怎样求出这个回归方程呢？ 请同学们展开讨论，能得出哪些具体的方案？
在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的数学 成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照 这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着 某种关系，我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量， 那么这两个变量之间的关系是函数关系吗?
高一数学人必修三课件第二章变量间的相关关系
拓展延伸：多元线性回归模型简介
多元线性回归模型定义
研究多个自变量与一个因变量之间的线性关系的统计模型，用于描述 和预测因变量的变化。
回归方程的建立
利用最小二乘法原理，通过求解自变量系数使得因变量的预测值与实 际值之间的误差平方和最小，从而得到回归方程。
模型的检验与评估
采用统计检验方法（如F检验、t检验等）对回归方程进行显著性检验 ，评估模型的拟合优度和预测能力。
最小二乘法 一种数学优化技术，通过最小化 误差的平方和寻找数据的最佳函 数匹配，用于建立变量间的回归 方程。
散点图 用点的密度和变化趋势表示两个 变量之间的相关关系，点的分布 形态可以反映变量间的相关性强 度和方向。
相关系数 衡量两个变量之间线性相关程度 的统计量，取值范围为[-1,1]，绝 对值越接近1表示线性关系越强。
锻炼与身体健康
锻炼可以改善心血管健康、增强免疫系统和降低患多种疾病的风险 。长期坚持适量锻炼，对身体健康有着显著的正面影响。
教育水平与收入
通常情况下，教育水平越高的人，在就业市场上更有竞争力，因此更 容易获得更高的收入。教育水平和收入之间存在着正相关关系。
06
总结回顾与拓展延伸
重点内容总结回顾
变量间的相关关系定义 两个或多个变量之间存在的非确 定性关系，当一个变量发生变化 时，另一个变量也随之发生变化 。
因果推断方法介绍
01
02
03
实验法
通过人为控制某些变量， 来观察结果变量的变化， 从而推断因果关系。
观察法
通过对自然发生的现象进 行观察和分析，寻找变量 之间的因果关系。
统计法
运用统计方法对大量数据 进行分析，揭示变量之间 的因果关系。
实例分析
课件_人教版高中数学必修三变量之间的相关关系课件PPT课件_优秀版
（1）.球的体积与该球的半径;
（2）.粮食的产量与施肥量; （3）.小麦的亩产量与光照; （4）.匀速行驶车辆的行驶距离与时间; （5）.角α与它的正切值
练习2、 下列两个变量之间的关系,哪
个不是函数关系（ D）
A.角度和它的余弦值 B.正方形边长和面积 C.正n边形的边数和内角度数之和 D.人的年龄和身高
第三步，写出回归方程
1、线性相关关系:散点图中点的分布从整体上看
匀速行驶车辆的行驶距离与时间;
在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：
练习1、探究下面变量间的关系是函数关
系还是相关关系。
第三步，写出回归方程
匀速行驶车辆的行驶距离与时间;
第一步，画散点图，判断变量是否线性相关。
在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：
（1）相关关系与函数关系的异同点？
（2）请举出生活中具有相关关系 的两个变量的例子。
相关关系与函数关系的异同点
相同点： 两者均是指两个变量间的关系。
不同点：（1）函数关系是一种确定关系， 相关关系是一种非确定的关系。
（2）函数关系是一种因果关系， 相关关系不一定是因果关系。
练习1、探究下面变量间的关系是函数关 系还是相关关系。
脂肪含量
20.9%
40 35 30 25 20 15 10
5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
例：有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气 温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的 热饮杯数与当天气温的对比表：
摄氏温度 -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36
i1 n
（2）.粮食的产量与施肥量; （3）.小麦的亩产量与光照; （4）.匀速行驶车辆的行驶距离与时间; （5）.角α与它的正切值
练习2、 下列两个变量之间的关系,哪
个不是函数关系（ D）
A.角度和它的余弦值 B.正方形边长和面积 C.正n边形的边数和内角度数之和 D.人的年龄和身高
第三步，写出回归方程
1、线性相关关系:散点图中点的分布从整体上看
匀速行驶车辆的行驶距离与时间;
在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：
练习1、探究下面变量间的关系是函数关
系还是相关关系。
第三步，写出回归方程
匀速行驶车辆的行驶距离与时间;
第一步，画散点图，判断变量是否线性相关。
在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：
（1）相关关系与函数关系的异同点？
（2）请举出生活中具有相关关系 的两个变量的例子。
相关关系与函数关系的异同点
相同点： 两者均是指两个变量间的关系。
不同点：（1）函数关系是一种确定关系， 相关关系是一种非确定的关系。
（2）函数关系是一种因果关系， 相关关系不一定是因果关系。
练习1、探究下面变量间的关系是函数关 系还是相关关系。
脂肪含量
20.9%
40 35 30 25 20 15 10
5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
例：有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气 温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的 热饮杯数与当天气温的对比表：
摄氏温度 -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36
i1 n
2.3 变量间的相关关系 课件(38张)优秀经典公开课比赛课件
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解：(1)画散点图如下:
由上图可知y与x具有线性相关关系.
探究一
探究二
A.变量x与y正相关,u与v正相关B.变量x与y正相关,u与v负相关 C.变量x与y负相关,u与v正相关D.变量x与y负相关,u与v负相关
Hale Waihona Puke 究一探究二探究三思维辨析
解析：图(1)中,y随着x的增大而减小,因此变量x与变量y负相关; 图(2)中,随着u的增大,v也增大,因此u与v正相关. 答案：C
探究一
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解：(1)画出散点图如图所示:
(2)具有相关关系.根据散点图,从左下角到右上角的区域,变量x的 值由小变大时,另一个变量y的值也由小变大,所以它们具有正相关 关系.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1 对变量x,y有观测数据(xi,yi)(i=1,2,…,10),得散点图 (1);对变量u,v有观测数据(ui,vi)(i=1,2,…,10),得散点图(2).由这两个 散点图可以判断( )
2.线性相关关系
做一做2 下列图形中,两个变量具有线性相关关系的是(
)
答案：B
3.回归直线方程
若两个具有线性相关关系的变量的一组数据 为:(x1,y 1),(x2,y 2),…,(xn,yn),则所求的回归方程为 ������ = b x+������ ,其中 ������ , ������
^ ^
探究二
探究三
思维辨析
探究二求回归直线方程 【例2】 一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费 的时间,为此进行了10次试验,收集数据如下:
2.3变量间的相关关系11ppt课件
► 显然根据不同标准可以画出不同直线来近似表示这种 线性关系。那么在这众多的直线中哪个（或哪些）最 能表示这种线性关系？阅读课本87页的几种想法
► 考虑两点：合理性和操作性
► 各点与直线的整体偏差最小，实际值与理论上值得偏 差最小
精品课件
8
符号说明及思想
1.设回归直线 yˆa方 b程 x,这为 里 yˆ是为了区 y的别 实于 际y.取 即 当 x的 取 值 xi(i为 1,2,,n)时,y相 应 的 观yi察 ,而值 直为 线 对 于 xi的 纵 坐yˆi 标 a是 bxi. 2.a,b叫做回归 ,求系 回数 归直,关 线键 方是 程求回 a,b.归系
精品课件
5
线性相关——最简单的相关关系
► 在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究，获得了 一组样本数据：
年龄 23 27 39 41 45 49 50 脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2
年龄 53 54 56 57 58 60 61 脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
高考不允许使用
计算器，为了减
n
n
► 第二步，求和 x i y i x i 2
i1
i1
少计算错误，建 议采用列表的方
► 第三步，计算
n
(xi x)(yi y)
n
xiyi nxy
式分步计算
bi1 n
i1 n
,aybx
(xi x)2
xi2nx2
► 第四步，写出回归方i1程
i1
yˆ abx
i 1 2 …… n
变量间的相关关系
精品课件
1
变量之间的相关关系
► 考虑两点：合理性和操作性
► 各点与直线的整体偏差最小，实际值与理论上值得偏 差最小
精品课件
8
符号说明及思想
1.设回归直线 yˆa方 b程 x,这为 里 yˆ是为了区 y的别 实于 际y.取 即 当 x的 取 值 xi(i为 1,2,,n)时,y相 应 的 观yi察 ,而值 直为 线 对 于 xi的 纵 坐yˆi 标 a是 bxi. 2.a,b叫做回归 ,求系 回数 归直,关 线键 方是 程求回 a,b.归系
精品课件
5
线性相关——最简单的相关关系
► 在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究，获得了 一组样本数据：
年龄 23 27 39 41 45 49 50 脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2
年龄 53 54 56 57 58 60 61 脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
高考不允许使用
计算器，为了减
n
n
► 第二步，求和 x i y i x i 2
i1
i1
少计算错误，建 议采用列表的方
► 第三步，计算
n
(xi x)(yi y)
n
xiyi nxy
式分步计算
bi1 n
i1 n
,aybx
(xi x)2
xi2nx2
► 第四步，写出回归方i1程
i1
yˆ abx
i 1 2 …… n
变量间的相关关系
精品课件
1
变量之间的相关关系
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35 30
25 20 15 10
5
年龄
0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
方案3、如果多取几对点，确定多条直线，再求出 这些直线的斜率和截距的平均值作为回归 直线的斜率和截距。而得回归方程。 如图
• 我们还可以找到
更多的方法，但 40 这些方法都可行 35
吗?科学吗？
30
(1)试用最小二乘法求出线性回归方程； (2)如果某天的气温是-3℃，请预测这天可能会卖出热茶多少杯 解 (1)作散点图如图所示
由散点图知两个变量是线 性相关的，计算各种数据 如下表
于是： 则：
分步计算 减少出错
于是，线性回归方程为 y=57.557-1.648x
2)由回归方程知，当某天的气温是-3℃ 时，卖出的热茶杯数为
方案1、先画出一条直线，测量出各点与它的 距离，再移动直线，到达一个使距离的
和最小时，测出它的斜率和截距，得回归
方程。
脂肪含量
40
35
如图 ：
30
25
20
15
10
5
年龄
0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
方案2、在图中选两点作直线，使直线两侧 的点的个数基本相同。
脂肪含量 40
2.3.1-2
前面我们学习了怎样对收集来的数据进行分析:
频率分布图
集中趋势 离散程度
下面我们来介绍一中更为常见的分析方法:
小学明也不,你物是好数理学数学怎不学成么好,物绩样的理不? 太好, 也?不??太?好?.啊.. .
你认为老师的说法对吗?
事实上,我们在考察数学成绩对物理成绩影响的 同时,还必须考虑到其他的因素:爱好,努力程度。
数学 成绩
物理成绩
学习 兴趣
花费 时间
其他 因素
如果单纯从数学对物理的影响来考虑,就是考虑 这两者之间的相关关系
我们在生活中,碰到很多相关关系的问题:
商品销售收入 粮食产量
? 广告支出经费
? 施肥量
?
付出
收入
人体脂肪含量
? 年龄
以上几种问题中的两个变量之间的相关关 系,我们都可以根据自己的生活,学习经验作出 相应的判断,“规律是经验的总结”,不管你多 有经验,只凭经验办事,还是很容易出错的,在寻 找变量间的相关关系时,我们需要一些更为科学 的方法来说明问题.
以上公式的推导较复杂，故不作推导，但它的原 理较为简单：即各点到该直线的距离的平方和最 小，这一方法叫最小二乘法。
人体的脂肪含量与年龄的相关关系 的线性回归方程是：
（1）预测:一个人37岁时，他的体内脂肪 含量可能是多少？
（2）比较前面表格中给出的数值，你有 什么体会？
例.下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数(y)与当天气温(x)的对比表：
说明:各个年龄阶段的脂肪数据是这个年龄样本的平均数
根据上述数据,人体的脂肪含量与年龄之间有 什么样的关系?
从上表发现，对某个人不一定有此规律，但对很多
个体放在一起，就体现出“人体脂肪随年龄增长而增加” 这一规律.而表中各年龄对应的脂肪数是这个年龄人群的 样本平均数.我们也可以对它们作统计图、表，对这两个 变量有一个直观上的印象和判断.
如高原含氧量与海拔高度 的相关关系，海平面以上， 海拔高度越高，含氧量越 少。
作出散点图发现，它们散 布在从左上角到右下角的区 域内。又如汽车的载重和汽 车每消耗1升汽油所行使的 平均路程，称它们成负相关. O
如果可以求出这条直线的方程(回归方程), 那么我们就可以比较清楚的了解年龄与体内脂 肪含量的相关性.这条直线就可以作为两个变量 具有线性相关关系的代表
实际上,求回归直线的关键是如何用数学的方 法来刻画”从整体上看,各点到此直线的距离最 小”.
于是得计算回归方程的斜率和截距的一般公式.
n
n
y (xi x)(yi y)
xi
nx y
i
b i1 n
(xi x)2
i1 n
xi2 nx2
,
i1
i1
a ybx
40
35
递增我们叫它
30
们正相关
25
20
递减我们叫它
15
们负相关
10
5
年龄
O
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
从散点图可以看出：所有的点大致在一条直线附近
波动，我们称这两个变量间存在线性相关关系，这
条直线叫做回归直线(regression line)
从刚才的散点图发现：年龄越大，体内脂肪含量越高，点的 位置散布在从左下角到右上角的区域。称它们成正相关。 但有的两个变量的相关，如下图所示：
下面我们以年龄为横轴， 脂肪含量为纵轴建立直 40 角坐标系，作出各个点， 35 称该图为散点图。
30
25
脂肪含量
如图：
20
15
10
5
年龄
O
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
通过分析、观察可以看到：随着年龄的增长，人体脂肪 含量越高，这表明两个变量之间的确存在一定的关系。
脂肪含量
25
准确吗？怎样的 20
方法是最好的？ 15 10
5
我们把由一个变量的变化 0 去推测另一个变量的方法 称为回归方法。
脂肪含量 20 25 30 35 40
年龄 45 50 55 60 65
（二）回归直线
我们上面给出的几种方案可靠性都不是很强，人 们经过长期的实践与研究，已经找到了计算回归方程 的斜率与截距的方法:
57.557-1.648×(-3)≈63(杯）
练习:根据下表,求回归方程.
1、列表
2、代入公式计算 3、
1.利用最小二乘估计时，首先要作出数据的散点图，利 用散点图观察数据是否具有线性关系
2.散点图呈现线性关系时，利用最小二乘公式求出方程
练习P92、第1，2题 作业P94、第2, 3题
在寻找变量间的相关关系时,统计同样发 挥了非常重要的作用,我们是通过收集大量的 数据,对数据进行统计分析的基础上,发现其中 的规律,才能对它们之间的关系作出判断.下面 我们通过具体的例子来分析
在一次对人体脂肪含量和年龄的关系研究中, 研究人员获得了一份样本数据:
年龄 23 27 39 41 45 49 53 54 56 57 58 脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 年龄 60 61 脂肪 35.2 34.6
25 20 15 10
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年龄
0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
方案3、如果多取几对点，确定多条直线，再求出 这些直线的斜率和截距的平均值作为回归 直线的斜率和截距。而得回归方程。 如图
• 我们还可以找到
更多的方法，但 40 这些方法都可行 35
吗?科学吗？
30
(1)试用最小二乘法求出线性回归方程； (2)如果某天的气温是-3℃，请预测这天可能会卖出热茶多少杯 解 (1)作散点图如图所示
由散点图知两个变量是线 性相关的，计算各种数据 如下表
于是： 则：
分步计算 减少出错
于是，线性回归方程为 y=57.557-1.648x
2)由回归方程知，当某天的气温是-3℃ 时，卖出的热茶杯数为
方案1、先画出一条直线，测量出各点与它的 距离，再移动直线，到达一个使距离的
和最小时，测出它的斜率和截距，得回归
方程。
脂肪含量
40
35
如图 ：
30
25
20
15
10
5
年龄
0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
方案2、在图中选两点作直线，使直线两侧 的点的个数基本相同。
脂肪含量 40
2.3.1-2
前面我们学习了怎样对收集来的数据进行分析:
频率分布图
集中趋势 离散程度
下面我们来介绍一中更为常见的分析方法:
小学明也不,你物是好数理学数学怎不学成么好,物绩样的理不? 太好, 也?不??太?好?.啊.. .
你认为老师的说法对吗?
事实上,我们在考察数学成绩对物理成绩影响的 同时,还必须考虑到其他的因素:爱好,努力程度。
数学 成绩
物理成绩
学习 兴趣
花费 时间
其他 因素
如果单纯从数学对物理的影响来考虑,就是考虑 这两者之间的相关关系
我们在生活中,碰到很多相关关系的问题:
商品销售收入 粮食产量
? 广告支出经费
? 施肥量
?
付出
收入
人体脂肪含量
? 年龄
以上几种问题中的两个变量之间的相关关 系,我们都可以根据自己的生活,学习经验作出 相应的判断,“规律是经验的总结”,不管你多 有经验,只凭经验办事,还是很容易出错的,在寻 找变量间的相关关系时,我们需要一些更为科学 的方法来说明问题.
以上公式的推导较复杂，故不作推导，但它的原 理较为简单：即各点到该直线的距离的平方和最 小，这一方法叫最小二乘法。
人体的脂肪含量与年龄的相关关系 的线性回归方程是：
（1）预测:一个人37岁时，他的体内脂肪 含量可能是多少？
（2）比较前面表格中给出的数值，你有 什么体会？
例.下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数(y)与当天气温(x)的对比表：
说明:各个年龄阶段的脂肪数据是这个年龄样本的平均数
根据上述数据,人体的脂肪含量与年龄之间有 什么样的关系?
从上表发现，对某个人不一定有此规律，但对很多
个体放在一起，就体现出“人体脂肪随年龄增长而增加” 这一规律.而表中各年龄对应的脂肪数是这个年龄人群的 样本平均数.我们也可以对它们作统计图、表，对这两个 变量有一个直观上的印象和判断.
如高原含氧量与海拔高度 的相关关系，海平面以上， 海拔高度越高，含氧量越 少。
作出散点图发现，它们散 布在从左上角到右下角的区 域内。又如汽车的载重和汽 车每消耗1升汽油所行使的 平均路程，称它们成负相关. O
如果可以求出这条直线的方程(回归方程), 那么我们就可以比较清楚的了解年龄与体内脂 肪含量的相关性.这条直线就可以作为两个变量 具有线性相关关系的代表
实际上,求回归直线的关键是如何用数学的方 法来刻画”从整体上看,各点到此直线的距离最 小”.
于是得计算回归方程的斜率和截距的一般公式.
n
n
y (xi x)(yi y)
xi
nx y
i
b i1 n
(xi x)2
i1 n
xi2 nx2
,
i1
i1
a ybx
40
35
递增我们叫它
30
们正相关
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递减我们叫它
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年龄
O
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
从散点图可以看出：所有的点大致在一条直线附近
波动，我们称这两个变量间存在线性相关关系，这
条直线叫做回归直线(regression line)
从刚才的散点图发现：年龄越大，体内脂肪含量越高，点的 位置散布在从左下角到右上角的区域。称它们成正相关。 但有的两个变量的相关，如下图所示：
下面我们以年龄为横轴， 脂肪含量为纵轴建立直 40 角坐标系，作出各个点， 35 称该图为散点图。
30
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脂肪含量
如图：
20
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年龄
O
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
通过分析、观察可以看到：随着年龄的增长，人体脂肪 含量越高，这表明两个变量之间的确存在一定的关系。
脂肪含量
25
准确吗？怎样的 20
方法是最好的？ 15 10
5
我们把由一个变量的变化 0 去推测另一个变量的方法 称为回归方法。
脂肪含量 20 25 30 35 40
年龄 45 50 55 60 65
（二）回归直线
我们上面给出的几种方案可靠性都不是很强，人 们经过长期的实践与研究，已经找到了计算回归方程 的斜率与截距的方法:
57.557-1.648×(-3)≈63(杯）
练习:根据下表,求回归方程.
1、列表
2、代入公式计算 3、
1.利用最小二乘估计时，首先要作出数据的散点图，利 用散点图观察数据是否具有线性关系
2.散点图呈现线性关系时，利用最小二乘公式求出方程
练习P92、第1，2题 作业P94、第2, 3题
在寻找变量间的相关关系时,统计同样发 挥了非常重要的作用,我们是通过收集大量的 数据,对数据进行统计分析的基础上,发现其中 的规律,才能对它们之间的关系作出判断.下面 我们通过具体的例子来分析
在一次对人体脂肪含量和年龄的关系研究中, 研究人员获得了一份样本数据:
年龄 23 27 39 41 45 49 53 54 56 57 58 脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 年龄 60 61 脂肪 35.2 34.6