无穷级数内容小结讲课讲稿

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第4章无穷级数内容小结

(x

x0
)n

为 f x 在点 x0 处的泰勒级数.
当泰勒公式
5
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x

x0
)
2

f
(n) (x0 n!
)
(
x

x0
)n
Rn (x)
中的余项 Rn (x) 0(n ) 时，泰勒级数收敛于 f (x) ，即
n1
i 1

为级数 un 的部分和. n1

若
lim
n
sn
s 存在，则称级数 un 收敛， s 称为级数 un 的和，记作 un
n1
n1
n1
s，

此时称 rn s sn 为级数 un 的余项. n1

收敛的充分必要条件：
un
n1
收敛
n
（或为），

则当 1时， un 收敛；当 1（或）时， un 发散；当 1时， un 的敛
n1
n1
n1
散性不能肯定.

④根值审敛法（柯西判别法）
设
n1
un
是正项级数，若
lim
n
n
un
（或为），

则当 1时， un 收敛；当 1（或）时， un 发散；当 1时， un 的敛散
原级数有相同的收敛半径 R . 但在收敛区间的端点 x R 处收敛性可能改变.

高等数学第十章无穷级数精选讲义

第十章无穷级数精选讲义【考试要求】1．理解级数收敛、发散的概念．掌握级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质． 2．掌握正项级数的比值审敛法．会用正项级数的比较审敛法． 3．掌握几何级数、调和级数与p 级数的敛散性．4．了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法． 5．了解幂级数的概念，收敛半径，收敛区间．6．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和、差、逐项求导与逐项积分）． 7．掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间的方法．【考试内容】一、常数项级数的相关概念1．常数项级数的定义一般地，如果给定一个数列1u ，2u，，n u，，则由这数列构成的表达式123n u u u u +++++叫做常数项无穷级数，简称常数项级数或级数，记为1nn u∞=∑，即1231nn n uu u u u ∞==+++++∑，其中第n 项n u 叫做级数的一般项．2．常数项级数收敛、发散的概念作常数项级数1nn u∞=∑的前n 项和121nn n ii s u u u u ==+++=∑，n s 称为级数1nn u∞=∑的部分和，当n 依次取1,2,3,时，它们构成一个新的数列11s u =，212s u u =+，3123s u u u =++，，12n n s u u u =+++，．如果级数1nn u∞=∑的部分和数列{}n s 有极限s ，即limn n s s →∞=，则称无穷级数1nn u ∞=∑收敛，这时极限s 叫做这级数的和，并写成123n s u u u u =+++++或者1nn us ∞==∑；如果{}n s 没有极限，则称无穷级数1n n u ∞=∑发散．3．收敛级数的基本性质（1）如果级数1nn u∞=∑收敛于和s ，则级数1nn ku∞=∑也收敛，且其和为ks ．一般地，级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不变．（2）如果级数1n n u ∞=∑、1nn v∞=∑分别收敛于和s 、σ，则级数1()nn n uv ∞=±∑也收敛，且其和为s σ±．（3）在级数1nn u∞=∑中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性．（4）如果级数1nn u∞=∑收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变．（5）如果级数1nn u∞=∑收敛，则它的一般项n u 趋于零，即lim 0nn u →∞=．说明：此条件称为级数收敛的必要条件．由原命题成立逆否命题一定成立可得，如果lim nn u →∞不为零，则级数1nn u∞=∑一定发散．4．几个重要的常数项级数（1）等比级数级数21nnn q q q q ∞==++++∑或21n n n q q q q ∞==+++++∑称为等比级数或几何级数，其中q 叫做级数的公比．其收敛性为：当1q <时，级数收敛；当1q ≥时级数发散．（2）调和级数级数 11111123n nn∞==+++++∑ 称为调和级数，此级数是一个发散级数．（3）p 级数级数 11111123p p p p n nn∞==+++++∑称为p 级数，其中常数0p >．其收敛性为：当1p >时，级数收敛；当1p ≤时级数发散．二、正项级数的审敛法1．比较审敛法设1n n u ∞=∑和1nn v∞=∑都是正项级数，且存在正数N ，使当n N ≥时有n n u v ≤成立．若级数1nn v∞=∑收敛，则级数1nn u∞=∑收敛；如果级数1nn u∞=∑发散，则级数1nn v∞=∑也发散．2．比较审敛法的极限形式设1n n u ∞=∑和1nn v∞=∑都是正项级数．（1）如果lim nn n u l v →∞=，0l ≤<+∞，且级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑收敛；（2）如果lim nn nu l v →∞=，0l <≤+∞，且级数1n n v ∞=∑发散，则级数1n n u ∞=∑发散．说明：极限形式的比较审敛法，在两个正项级数的一般项均趋于零的情况下，其实是比较它们的一般项作为无穷小的阶．上述结论表明，当n→∞时，如果n u 是与n v 同阶或是比nv 高阶的无穷小，而级数1nn v∞=∑收敛，则级数1nn u∞=∑收敛；如果n u 是与n v 同阶或是比n v 低阶的无穷小，而级数1nn v∞=∑发散，则级数1nn u∞=∑发散．3．比值审敛法（达朗贝尔判别法）设1n n u ∞=∑为正项级数，如果1lim n n nu u ρ+→∞=，则当1ρ<时级数收敛；1ρ>（或1lim n n nu u +→∞=+∞）时级数发散；1ρ=时级数可能收敛也可能发散． 4．根值审敛法（柯西判别法）设1nn u∞=∑为正项级数，如果n ρ→∞=，则当1ρ<时级数收敛；1ρ>（或n →∞=+∞）时级数发散；1ρ=时级数可能收敛也可能发散．三、交错级数及其审敛法1．交错级数的概念所谓交错级数是这样的级数，它的各项是正负交错的，从而可以写成下面的形式：112341(1)n n n u u u u u ∞-=-+-+=-∑ ，或12341(1)nn n u u u u u ∞=-+-+-=-∑ ，其中1u ，2u ，都是正数．2．交错级数的审敛法—莱布尼茨定理如果交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑满足条件：（1）1nn u u +≥ （1,2,3,n =）；（2）lim 0nn u →∞=．则级数收敛．四、绝对收敛与条件收敛1．绝对收敛与条件收敛对于一般的级数12n u u u ++++，它的各项为任意实数．如果级数1nn u∞=∑各项的绝对值所构成的正项级数1nn u∞=∑收敛，则称级数1nn u∞=∑绝对收敛；如果级数1nn u∞=∑收敛，而级数1nn u ∞=∑发散，则称级数1n n u ∞=∑条件收敛．例如，级数1211(1)n n n ∞-=-∑是绝对收敛级数，而级数111(1)n n n∞-=-∑是条件收敛级数．对于绝对收敛级数，我们有如下结论：如果级数1nn u∞=∑绝对收敛，则级数1nn u∞=∑必定收敛．这说明，对于一般的级数1nn u∞=∑，如果我们用正项级数的审敛法判定级数1nn u∞=∑收敛，则此级数一定收敛．这就使得一大类级数的收敛性判定问题，转化为正项级数的收敛性判定问题． 2．重要结论一般说来，如果级数1nn u∞=∑发散，我们不能断定级数1nn u∞=∑也发散．但是，如果我们用比值审敛法或根值审敛法根据1lim1n n nu u ρ+→∞=>或1n ρ→∞=>判定级数1nn u∞=∑发散，则我们可以断定级数1nn u∞=∑必定发散（这是因为从1ρ>可推知n →∞时nu 不趋于零，从而n→∞时n u 也不趋于零，因此级数1n n u ∞=∑发散）．五、幂级数（一）函数项级数1．函数项级数的定义如果给定一个定义在区间I 上的函数列1()u x ，2()u x ，，()n u x ，，则由这函数列构成的表达式1231()()()()()n n n u x u x u x u x u x ∞=+++++=∑称为定义在I 上的函数项无穷级数，简称函数项级数． 2．收敛域、发散域、和函数对于每一个确定的值0x I ∈，函数项级数1()n n u x ∞=∑成为常数项级数1020300()()()()n u x u x u x u x +++++．如果该常数项级数收敛，就称点0x 是函数项级数1()nn u x ∞=∑的收敛点；如果该常数项级数发散，就称点0x 是发散点．函数项级数1()n n u x ∞=∑的收敛点的全体称为收敛域，发散点的全体称为发散域．对应于收敛域内的任意一个常数x ，函数项级数成为一收敛的常数项级数，因而有一确定的和s ．这样，在收敛域上，函数项级数的和是x 的函数()s x ，通常称()s x 为函数项级数的和函数，这函数的定义域就是级数的收敛域，并写成123()()()()()n s x u x u x u x u x =+++++．（二）幂级数及其收敛性1．幂级数的定义函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都是幂函数的函数项级数，即所谓幂级数，形式为20120nn n n n a xa a x a x a x ∞==+++++∑，其中常数0a ，1a ，2a ，，n a，叫做幂级数的系数．2．阿贝尔定理如果级数nn n a x∞=∑当0xx =（00x ≠）时收敛，则适合不等式0x x <的一切x 使这幂级数绝对收敛．反之，如果级数0nn n a x ∞=∑当0x x =时发散，则适合不等式0x x >的一切x 使这幂级数发散．由上述定理可以推出，如果幂级数nn n a x∞=∑不是仅在0x =一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数R 存在，使得当x R <时，幂级数绝对收敛；当x R >时，幂级数发散；当x R =或x R =-时，幂级数可能收敛也可能发散．正数R叫做幂级数的收敛半径，开区间(,)R R -叫做幂级数的收敛区间． 3．求收敛半径及收敛区间的方法（1）对于标准形式的幂级数nn n a x∞=∑或1n n n a x ∞=∑，有如下方法：如果1limn n na a ρ+→∞=，其中n a 、1n a +是幂级数0n n n a x ∞=∑的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径1,0,00,R ρρρρ⎧≠⎪⎪⎪=+∞=⎨⎪=+∞⎪⎪⎩．（2）对于非标准形式的幂级数0()n n u x ∞=∑或1()n n u x ∞=∑（如202!n n n x n ∞=∑或0(1)2nn n x n ∞=-∑），方法如下：令1()lim1()n n n u x u x +→∞<，得到x 的范围，然后再求x 的两个边界值所对应的常数项级数的敛散性即可．（三）幂级数的和函数1．幂级数和函数的性质性质1 幂级数0n n n a x ∞=∑的和函数()s x 在其收敛域I 上连续．性质2 幂级数n n n a x ∞=∑的和函数()s x 在其收敛域I 上可积，并有逐项积分公式 10000()1xxx n nn n n n n n n a s x dx a x dx a x dx x n ∞∞∞+===⎡⎤===⎢⎥+⎣⎦∑∑∑⎰⎰⎰ （x I ∈），逐项积分后所得到的幂级数和原来的幂级数有相同的收敛半径．性质3 幂级数0nn n a x ∞=∑的和函数()s x 在其收敛区间(,)R R -内可导，并有逐项求导公式()1001()n n n n n n n n n s x a x a x na x ∞∞∞-==='⎛⎫''=== ⎪⎝⎭∑∑∑ （x R <），逐项求导后所得到的幂级数和原来的幂级数有相同的收敛半径．2．幂级数和函数的求法（“先导后积”或“先积后导”）当幂级数的一般项形如(1)nx n n +时，可用先求导后求积分的方法求其和函数；当幂级数的一般项形如2(21)nn x +、1n nx-等形式，可用先求积分后求导的方法求其和函数．3．常用的幂级数展开式（1）20111n n n x x x x x ∞===+++++-∑，11x -<<；（2）201(1)1(1)1n n n n n x x x x x ∞==-=-+-+-++∑，11x -<<．【典型例题】【例10-1】用比较法或其极限形式判别下列级数的敛散性． 1．1n ∞= ．解：因1lim 2n n n→∞→∞==，而调和级数11n n ∞=∑发散，故原级数发散． 2．1n ∞=．解：因223n n n →∞→∞==，而级数211n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．3．1352nnnn ∞=-∑ ．解：因 33552lim lim 152335nn n n n n n n nn n →∞→∞-=⋅=-⎛⎫⎪⎝⎭，而级数135n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑是收敛的等比级数，故原级数收敛．4．11sin n n ∞=∑ ．解：因 1sinlim 11n n n→∞=，而调和级数11n n∞=∑发散，故原级数发散．5．11(1cos )n n ∞=-∑ ．解：因211cos1lim12n n n→∞-=，而级数211n n ∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．6．32tan n nn π∞=∑ ．解：因 2222tan lim lim 211n n n n n n n n πππ→∞→∞⋅==，而级数211n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．7．312(1)n n n n ∞=++∑ ．解：因 333322(1)limlim 11(1)n n n n n n n n n n →∞→∞+++=⋅=+，而级数311n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛． 8．111nn a∞=+∑ （0a >）．解：当1a=时， 111limlim 0122n n n a →∞→∞==≠+，故原级数发散；当01a <<时，11limlim 10110n n n a →∞→∞==≠++，故原级数发散；当1a >时，因11lim lim 111n n n n n na a a a →∞→∞+==+，而级数11n n a∞=∑是收敛的等比级数，故原级数收敛．【例10-2】利用比值审敛法判别下列级数的敛散性． 1．1(1)!2nn n ∞=+∑ ．解：因11(2)!(2)!222lim lim lim (1)!2(1)!22n n n n n n n n n n n n ++→∞→∞→∞+++=⋅==∞++，故原级数发散．2．213nn n ∞=∑ ．解：因221212(1)(1)313lim lim 1333n n n n n nn n n n ++→∞→∞++=⋅=<，故原级数收敛． 3．1135(21)3!nn n n ∞=⋅⋅⋅⋅-⋅∑ ．解：因1135(21)(21)2123(1)!lim lim 1135(21)3(1)33!n n n n n n n n n n n +→∞→∞⋅⋅⋅⋅-⋅++⋅+==<⋅⋅⋅⋅-+⋅，故原级数收敛．4．110!nn n ∞=∑ ．解：因111010!(1)!lim lim 0110(1)!10!n n n n n n n n n n ++→∞→∞+=⋅=<+，故原级数收敛．5．1212nn n ∞=-∑ ．解：因112121212lim lim 12122122n n n n n nn n n n ++→∞→∞++=⋅=<--，故原级数收敛．6．21sin2nn nπ∞=∑ ．解：因22sin22lim lim 1122n nn n nnn n πππ→∞→∞==⋅，故原级数与级数212n n n ∞=∑敛散性相同．对于级数212n n n ∞=∑，因221212(1)(1)212lim lim 1222n n n n n nn n n n ++→∞→∞++=⋅=<，故级数212n n n ∞=∑收敛，所以原级数也收敛．【例10-3】利用根值审敛法判别下列级数的敛散性．1．12(1)2nn n ∞=+-∑．解：1ln[2(1)]11lim 122n nn n n e+-→∞→∞→∞===<，故原级数收敛． 2．11[ln(1)]n n n ∞=+∑ ．解：1lim 01ln(1)n n n n →∞→∞→∞===<+，故原级数收敛．【例10-4】判定下列级数的敛散性，如果是收敛的，判定是绝对收敛还是条件收敛． 1．11(1)n n ∞-=-∑．解：因级数111(1)n n n ∞∞-==-=∑发散，但由莱布尼茨定理可知，原级数满足1n n u u +=>=，且0n →∞=，所以原级数收敛且为条件收敛．2．1211(1)n n n∞-=-∑ ．解：因级数1221111(1)n n n n n∞∞-==-=∑∑收敛，所以原级数绝对收敛．3．11(1)1n n nn ∞+=-+∑ ．解：因1lim(1)1n n nn +→∞-+不存在，故原级数发散． 4．11sin27n n n π∞=∑ ．解：11sin 272n n n π≤，而级数112n n ∞=∑是收敛的等比级数，故根据比较审敛法可知，级数11sin 27n n n π∞=∑收敛，故原级数绝对收敛．【例10-5】求下列幂级数的收敛半径和收敛域． 1．11(1)nn n x n∞-=-∑ ．解：因111limlim 11n n n na n a nρ+→∞→∞+===，所以收敛半径11R ρ==，故收敛区间为(1,1)-．又当1x =-时，原级数即为11()n n ∞=-∑，发散；当1x =时，原级数即为111(1)n n n∞-=-∑，收敛，故原级数的收敛域为(1,1]-． 2．0!nn x n ∞=∑ ．解：因111(1)!limlim lim 011!n n n n na n a n n ρ+→∞→∞→∞+====+，所以收敛半径R =+∞，故级数的收敛域为(,)-∞+∞．3．0!n n n x ∞=∑ ．解：因1(1)!limlim !n n n n a n a n ρ+→∞→∞+===+∞，所以收敛半径0R =，即级数仅在点0x =处收敛． 4．2121n nn x n ∞=+∑ ．解：因12212222(1)(1)1limlim lim 22(1)11n n n n n n na n n a n n ρ++→∞→∞→∞+++====+++，所以收敛半径112R ρ==，故收敛区间为11(,)22-．又当12x =-时，原级数即为21(1)1n n n ∞=-+∑，收敛；当12x =时，原级数即为2111n n ∞=+∑，收敛，故原级数的收敛域为11[,]22-．【例10-6】求下列幂级数的收敛域．1．1(1)2nnn x n ∞=-⋅∑ ．解：这是非标准形式的幂级数，我们用比值审敛法．令 11(1)1(1)2lim 1(1)22n n n n nx x n x n ++→∞--+⋅=<-⋅，则12x -<，故当13x -<<时级数收敛，当1x <-或3x >时级数发散．当1x =-时，原级数即为1(1)nn n ∞=-∑，收敛；当3x =时，原级数即为11n n∞=∑，发散．因此原级数的收敛域为[1,3)-． 2．211(1)21n nn x n +∞=-+∑ ．解：这是非标准形式的幂级数，我们用比值审敛法．令 231221(1)23lim 1(1)21n n n n nxn x xn +++→∞-+=<-+，则当11x -<<时级数收敛，当1x <-或1x >时级数发散．当1x =-时，原级数即为111(1)21n n n ∞+=-+∑，收敛；当1x =时，原级数即为11(1)21nn n ∞=-+∑，也收敛．因此原级数的收敛域为[1,1]-．【例10-7】求下列幂级数的和函数． 1．11n n nx∞-=∑ ．解：先求幂级数的收敛域．令1(1)lim 1nn n n x x nx-→∞+=<，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为1(1)nn n ∞=-∑，发散；当1x =时，原级数即为1n n ∞=∑，也发散．因此原级数的收敛域为(1,1)-．再求和函数．设和函数11()n n s x nx ∞-==∑，则2111()()()()1(1)nnn n x s x x x x x ∞∞=='''====--∑∑， (1,1)x ∈-．2．2111(1)21n n n x n -∞-=--∑ ．解：先求幂级数的收敛域．令 212211(1)21lim 1(1)21n nn n n x n x xn +-→∞--+=<--，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为11(1)21nn n ∞=--∑，收敛；当1x =时，原级数即为111(1)21n n n ∞-=--∑，也收敛．因此原级数的收敛域为[1,1]-．再求和函数．设和函数2111()(1)21n n n x s x n -∞-==--∑，则12224122211()(1)1(1)1n n n n n s x xx x xx ∞----='=-=-+-+-+=+∑，故[]2001()arctan arctan 1xxs x dx x x x ===+⎰， [1,1]x ∈-．3．111(1)n n x n n ∞+=+∑．解：先求幂级数的收敛域．令 211(1)(2)lim 11(1)n n n x n n x x n n +→∞+++=<+，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为111(1)(1)n n n n ∞+=-+∑，收敛；当1x =时，原级数即为11(1)n n n ∞=+∑，也收敛．因此原级数的收敛域为[1,1]-．再求和函数．设和函数111()(1)n n s x x n n ∞+==+∑，(1,1)x ∈-，则11111111()(1)(1)n n n n n n s x x x x n n n n n∞∞∞++===''⎡⎤⎡⎤'===⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦∑∑∑，1111111()()()1n n n n n n s x x x x n n x ∞∞∞-===''''====-∑∑∑，故[]001()ln(1)ln(1)1x xs x dx x x x'==--=---⎰，[]0()ln(1)(1)ln(1)x s x x dx x x x =--=--+⎰，[1,1)x ∈-．当1x =时，原级数即为11(1)n n n ∞=+∑，令 1111223(1)n s n n =+++⋅⋅+，则11111111112233411n s n n n =-+-+-+-=-++，所以1(1)lim lim(1)11n n n s s n →∞→∞==-=+，故原幂级数的和函数为 1,1()(1)ln(1),11x s x x x x x =⎧=⎨--+-<<⎩ ． 4．1(1)nn n n x∞=+∑ ．解：先求幂级数的收敛域．令 1(1)(2)lim 1(1)n n n n n x x n n x+→∞++=<+，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为1(1)(1)nn n n ∞=-+∑，发散；当1x =时，原级数即为1(1)n n n ∞=+∑，也发散．因此原级数的收敛域为(1,1)-．再求和函数．设和函数1()(1)n n s x n n x ∞==+∑，则1111111()(1)(1)()()()n nn n n n n n s x x n n xx n x x x x x ∞∞∞∞-++===='''''=+=+==∑∑∑∑222322()[]1(1)(1)x x x x x x x x x -'''===---，(1,1)x ∈-．【例10-8】将下列函数展开成相应的幂级数． 1．将函数21()32f x x x =-+展开成关于x 的幂级数．解：11111()()(1)(2)1212(1)2f x x x x x x x ==--=-------，而 011nn x x ∞==-∑（1x <），01()212n n x x ∞==-∑（12x <，即2x <），所以1000111()(1)222nn n n n n n n f x x x x ∞∞∞+====-=-∑∑∑，1x <．2．将函数21()32f x x x =++展开成关于(4)x +的幂级数．解：11111()(1)(2)123(4)2(4)f x x x x x x x ==-=-++++-++-++ 111144321132x x =-⋅+++--．因 011n n x x ∞==-∑（11x -<<），故 011(4)4313nnn x x ∞==++-∑ （4113x +-<< 即 71x -<<-）， 011(4)4212n n n x x ∞==++-∑ （4112x +-<< 即 62x -<<-），从而001111()(4)(4)3322nn n n n n f x x x ∞∞===-+++∑∑11011()(4)23nn n n x ∞++==-+∑， 62x -<<-．【历年真题】一、选择题1．（2010年，1分）lim 0nn u →∞=是级数1n n u ∞=∑收敛的条件（）（A ）必要（B ）充分（C ）充分必要（D ）不确定解：根据收敛级数的性质，lim 0nn u →∞=是级数1n n u ∞=∑收敛的必要条件．选项（A ）正确．2．（2009年，1分）幂级数13(1)3n nnn x ∞=+-∑的收敛半径是（）（A ）6 （B ）32（C ）3 （D ）13解：原幂级数即为1333n n n x x ∞=⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑，由13x ≤及13x-≤可得，3x ≤，故级数的收敛半径为3，选项（C ）正确．3．（2008年，3分）数项级数21sin n an n∞=∑（a 为常数）是（）级数（A ）发散的（B ）条件收敛（C ）绝对收敛（D ）敛散性由a 确定解：因22sin a an n n ≤，而级数 21n a n∞=∑收敛，故原级数绝对收敛．选项（C ）正确．4．（2007年，3分）数项级数1(1)[1cos ]nn a n ∞=--∑（其中a 为常数）是（）（A ）发散的（B ）条件收敛（C ）收敛性根据a 确定（D ）绝对收敛解：级数1(1)[1cos ]nn a n ∞=--∑加绝对值后的级数为1(1cos )n an ∞=-∑，对于此正项级数，由于2222211cos 2limlim 112n n a a a n n n n →∞→∞-⋅==为常数，而级数211n n∞=∑收敛，故级数1(1cos )n an ∞=-∑也收敛，所以原级数绝对收敛．选项（D ）正确． 5．（2005年，3分）幂级数1(1)(1)nnn x n ∞=--∑的收敛区间是（）（A ）(0,2]（B ）(1,1]- （C ）[2,0]- （D ）(,)-∞+∞解：令111(1)(1)()1lim lim 11(1)()(1)n n n n n n n nx u x n x x u x n+++→∞→∞--+==-<-- 可得，02x <<，故级数的收敛区间为(0,2)．又当0x =时，原级数即为11n n∞=∑，发散；当2x =时，原级数即为11(1)nn n∞=-∑，收敛，故原级数的收敛域为(0,2]．选项（A ）正确．二、填空题1．（2010年，2分）幂级数1!nn x n ∞=∑的收敛区间为．解：因111(1)!limlim lim 011!n n n n na n a n n ρ+→∞→∞→∞+====+，故1R ρ==+∞，所以原幂级数的收敛区间为(,)-∞+∞．2．（2006年，2分）函数1()12f x x=+在1x =处展开的泰勒级数是．解：因01(1)1n n n x x ∞==-+∑，故1111()21232(1)31(1)3f x x x x ===⋅++-+- 10012(2)(1)[(1)](1)333n n n n n n n x x ∞∞+==-=--=-∑∑．其中，21(1)13x -<-<，即1522x -<<．3．（2006年，2分）幂级数11(1)(2)12nnnn x ∞=--+∑在0.6x =处的敛散性是．解：令 11111(1)(2)()112lim lim 211()2(1)(2)12n n n n n n n n n nx u x x u x x ++++→∞→∞--+==-<--+，可得04x <<，即收敛区间为(0,4)，故幂级数在0.6x =处是收敛的．说明：此题也可将0.6x =代入原幂级数，判定对应的常数项级数的敛散性．三、计算题1．（2009年，5分）求幂级数231(1)23nn x x x x n--+-+-+的收敛半径和收敛域．解：原级数即为11(1)n n n x n ∞-=-∑．因111(1)1limlim 11(1)nn n n n n a n a n ρ+→∞→∞--+===-，故收敛半径11R ρ==，收敛区间为(1,1)-．又当1x =-时，原级数即为11()n n ∞=-∑，发散；当1x=时，原级数即为111(1)n n n∞-=-∑，收敛．故原级数的收敛域为(1,1]-． 2．（2008年，7分）将函数1()3f x x=-展开成(2)x -的幂级数．解：因011nn x x ∞==-∑，故011()(2)31(2)n n f x x x x ∞====----∑．其中，121x -<-<，即13x <<．3．（2007年，7分）求幂级数1(1)n n n x ∞=-∑的收敛区间与和函数．解：令11()(1)(1)lim lim 11()(1)n n n n n nu x n x x u x n x ++→∞→∞+-==-<-，可得02x <<，故幂级数的收敛区间为(0,2)．21设 1()(1)n n s x n x ∞==-∑，则 111()(1)(1)(1)n n n n s x n x x n x ∞∞-===-=--∑∑ 101(1)(1)(1)(1)(1)n n n n x x x x x x x ∞∞==''-⎡⎤⎛⎫'⎡⎤=--=--=- ⎪⎣⎦⎢⎥-⎝⎭⎣⎦∑∑ 22(1)(1)1(1)x x x x x x---⋅--=-⋅=， 02x <<． 4．（2006年，4分）判定级数21(1)(1)nn n n ∞=-+∑的敛散性．解：此级数为交错级数，其中2(1)n n u n =+．由于3322123221(1)331(2)1(2)44(1)n n n u n n n n n n u n n n n nn +++++++===<++++，即1n n u u +<，且2lim lim 0(1)n n n n u n →∞→∞==+，故此交错级数符合莱布尼茨定理的条件，故该级数收敛．。

高数无穷级数知识点总结

高数无穷级数知识点总结一、引言无穷级数是数学中一个重要的概念，它在数学和其他学科的研究中有着广泛的应用。

在高等数学中，无穷级数是一个重要的知识点。

本文将从无穷级数的基本概念、收敛性与发散性、常见的收敛判别法和应用等方面，对高数无穷级数进行总结。

二、无穷级数的基本概念无穷级数是指由一个数列的项求和而得到的数值。

具体地说，对于一个实数数列{an}，其无穷级数可以表示为∑an。

其中，an表示数列的第n项，∑表示对数列的所有项进行求和。

三、收敛性与发散性1. 收敛性当无穷级数的部分和Sn在n趋于无穷大时存在有限极限L，即lim (n→∞) Sn = L时，称该无穷级数收敛，L称为该无穷级数的和。

2. 发散性当无穷级数的部分和Sn在n趋于无穷大时不存在有限极限，即lim (n→∞) Sn不存在或为无穷大时，称该无穷级数发散。

四、常见的收敛判别法1. 正项级数判别法对于无穷级数∑an，若该级数的每一项an都是非负数，并且该级数的部分和Sn有上界，则该级数收敛；若Sn没有上界，则该级数发散。

2. 比值判别法对于无穷级数∑an，若lim (n→∞) |an+1/an| = L，其中L为常数，若L<1，则该级数收敛；若L>1，则该级数发散；若L=1，则判别不出。

3. 根值判别法对于无穷级数∑an，若lim (n→∞) |an|^1/n = L，其中L为常数，若L<1，则该级数收敛；若L>1，则该级数发散；若L=1，则判别不出。

4. 整项判别法对于无穷级数∑an，若存在另一个级数∑bn，使得|an|≤bn，且∑bn 收敛，则∑an也收敛；若∑bn发散，则∑an也发散。

五、应用无穷级数在数学和其他学科中有广泛的应用，下面举几个例子进行说明。

1. 泰勒级数泰勒级数是一种用无穷级数表示函数的方法。

根据泰勒级数，我们可以将一个函数在某个点的邻域内展开为无穷级数的形式，从而可以近似计算函数的值。

2. 统计学中的无穷级数在统计学中，无穷级数经常用于描述随机变量的分布。

无穷级数总结

无穷级数总结无穷级数是数学中的重要概念，常出现在分析学、代数学、数论等领域。

它的形式为一列数相加的无穷和。

无穷级数的研究对于了解数学的发展历程和数学的基本思想方法具有重要意义。

本文将对无穷级数的定义、性质、收敛与发散的判定方法以及一些典型的无穷级数进行介绍和总结。

无穷级数的定义意味着\[S_n=a_1+a_2+...+a_n\]\[S=a_1+a_2+a_3+...\]其中，$S_n$表示级数的前n项和，S表示整个级数的和，$a_n$表示级数的第n项。

我们称一个无穷级数收敛或发散取决于它的部分和序列。

具体来说，如果存在一个有限的实数 S，使得对于任意给定的正数 $\varepsilon $，当 n 大于一些自然数 N 时，总有\[ ，S-S_n，< \varepsilon \]那么我们说该级数是收敛的，并把这个实数S叫做级数的和，记做\[ S=\sum_{n=1}^{+ \infty } a_n\]如果上述性质不成立，即对于任意给定的正数S，当n大于一些自然数N时，总存在\[ ，S-S_n， \geq \varepsilon \]那么我们说该级数是发散的。

在判断无穷级数是否收敛时，可以运用收敛的充分条件。

其中，比较判别法、比值判别法、根值判别法是最常用的方法之一1.比较判别法：如果存在一个收敛的级数 $\sum b_n$，使得对于所有的正整数 n，有 $，a_n， \leq b_n$，那么级数 $\sum a_n$ 收敛。

反之，如果级数$\sum a_n$ 发散，那么对于所有的正整数 n，必有 $，a_n， \geqb_n$ 对一些发散的正项级数 $\sum b_n$ 成立。

2.比值判别法：对于正项级数 $\sum a_n$，如果存在一个常数 L，使得当 n 大于一些正整数 N 时，总有 $\frac{a_{n+1}}{a_n} \leq L < 1$，那么级数$\sum a_n$ 收敛。

高数无穷级数总结

高数无穷级数总结高等数学中，无穷级数是一个重要的概念和工具。

无穷级数可以理解为由无限多个数相加得到的结果。

在无穷级数的研究中，主要考虑级数的收敛性、发散性以及求和的方法等问题。

在这篇文章中，我将总结无穷级数的定义、收敛性和发散性以及几种常见的求和方法。

首先，我们来回顾一下无穷级数的定义。

一个无穷级数可以表示为：S = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...其中，a1、a2、a3等为数列中的元素，n为数列中的项数。

当n趋向无穷大时，无穷级数的求和结果就是S。

接下来，我们来探讨无穷级数的收敛性和发散性。

一个无穷级数可能是收敛的，也可能是发散的。

如果一个无穷级数的部分和逐渐趋于一个有限的数S，那么我们说这个无穷级数是收敛的，并且收敛于S。

如果一个无穷级数的部分和没有趋于一个有限的数，那么我们说这个无穷级数是发散的。

收敛的无穷级数是非常重要的，因为它们在实际应用中经常出现。

我们可以通过几种方法来判断一个无穷级数的收敛性。

其中，比较判别法、比值判别法和积分判别法是最常用的三种判别法。

比较判别法是通过将无穷级数与一个已知的收敛级数或发散级数进行比较来判断收敛性。

比值判别法是通过计算无穷级数的相邻项比值的极限来判断收敛性。

积分判别法是通过将无穷级数中的项与函数进行比较来判断收敛性。

除了收敛性判别外，我们还有几种常见的方法来求解收敛的无穷级数的和。

其中，部分和法、数学归纳法、特殊级数和特殊函数是常用的求和方法。

部分和法是通过计算无穷级数的前n 项和来逼近无穷级数的和。

数学归纳法是通过递归地将级数的前n项和与第n+1项进行比较来求和。

特殊级数是一类特殊形式的无穷级数，常见的有几何级数、调和级数和幂级数等。

特殊函数是一类与无穷级数有密切关系的函数，例如指数函数、对数函数和三角函数等。

在实际应用中，无穷级数有着广泛的应用。

例如，泰勒级数是一种常见的无穷级数，它可以将一个函数表示为无穷项多项式的形式，从而在计算和研究函数时提供了便利。

无穷极数知识点总结

无穷极数知识点总结1. 无穷级数的定义无穷级数是指由无穷多个项组成的级数，通常表示为a1 + a2 + a3 + ... + an + ...，其中每一项an是一个实数或复数。

无穷级数可以是收敛的，即其和是一个有限的值，也可以是发散的，即其和不存在或为无穷大。

2. 无穷级数的收敛无穷级数收敛的概念是指无穷级数的和在某个范围内趋于一个有限的值。

收敛的无穷级数在数学分析和实际应用中有着广泛的应用，例如在泰勒级数展开、微积分中的积分计算等方面。

无穷级数的收敛有多种判别法，如比较判别法、根值判别法、积分判别法等。

3. 无穷级数的发散无穷级数发散的概念是指无穷级数的和无法趋向于一个有限的值，而是趋向于无穷大或者根本无法定义。

无穷级数的发散也有多种判别法，例如奇偶项判别法、柯西收敛准则等。

4. 绝对收敛与条件收敛无穷级数的收敛有两种情况，一种是绝对收敛，即该级数每一项的绝对值级数收敛；另一种是条件收敛，即该级数每一项的绝对值级数发散，但级数本身却收敛。

绝对收敛级数在某种程度上更容易处理和计算，而条件收敛级数的性质相对更为复杂，也更有意思。

5. 级数收敛的充分条件对于实数级数来说，级数部分和序列的收敛性与级数本身的收敛性之间是十分紧密的，因此研究级数部分和序列的收敛性可以得到级数收敛的充分条件。

比如级数收敛的柯西准则、级数收敛的柯西——施瓦茨准则、莱布尼茨级数收敛准则等。

6. 无穷级数的运算无穷级数也可以进行加减乘除等运算，不过进行这些运算时需要满足一定的条件，比如级数收敛、级数部分和序列的收敛性等。

无穷级数的运算规则也有许多特殊的性质，如级数的收敛性与绝对收敛性的性质、级数的乘法运算性质、级数的幂级数展开等。

7. 级数收敛的应用无穷级数的研究在数学中有着广泛的应用，比如在分析学中的泰勒级数展开、微积分中的求和、微分方程的求解、数论中的级数和等方面都有不同程度的应用。

无穷级数也在物理学、工程学、经济学等应用领域中有着很多重要的应用。

无穷级数重要知识点总结

无穷级数重要知识点总结一、无穷级数的定义1.1 无穷级数的概念无穷级数是一种特殊的数列求和形式。

它由一个无穷数列的项之和构成，通常表示为a1 + a2 + a3 + ... + an + ...，其中a1, a2, a3, ...是数列的项。

无穷级数的和是用极限的概念来定义的，即当n趋向无穷时，无穷级数的前n项和趋于一个确定的数。

1.2 无穷级数的收敛和发散无穷级数有两种基本的收敛性质：收敛和发散。

当无穷级数的和存在时，我们称这个级数是收敛的；当无穷级数的和不存在时，我们称这个级数是发散的。

1.3 无穷级数的通项无穷级数的通项是指级数中每一项的公式表示。

通项的形式多种多样，可以是一个简单的代数式，也可以是一个复杂的函数表达式。

通项的形式对于判断无穷级数的收敛性有着重要的作用。

二、无穷级数的性质2.1 无穷级数的加法性质如果无穷级数a1 + a2 + a3 + ... + an + ...和无穷级数b1 + b2 + b3 + ... + bn + ...都存在，那么它们的和也存在，并且等于这两个级数的和的和。

即∑(ai + bi) = ∑ai + ∑bi。

2.2 无穷级数的乘法性质如果无穷级数a1 + a2 + a3 + ... + an + ...和无穷级数b1 + b2 + b3 + ... + bn + ...都存在，那么它们的乘积也存在，并且等于这两个级数的乘积的和。

即(∑ai) * (∑bi) = ∑(ai * bi)。

2.3 无穷级数的极限性质当n趋向无穷时，无穷级数的前n项和会趋于一个确定的数。

这个极限的存在性和确定性是无穷级数的一个重要性质。

2.4 无穷级数的收敛性质对于一个给定的无穷级数，我们需要研究它的收敛性质，即它是否收敛、以及收敛到哪个数。

无穷级数的收敛性质对于很多数学问题有着深远的影响。

2.5 无穷级数的发散性质发散是无穷级数的另一个重要性质，它表示无穷级数的和不存在。

(完整版)无穷级数总结

n1、概念与性质1. 定义：对数列5,氏丄,U n L ,U n 称为无穷级数，U n 称为一般项；若部分和n1数列｛S n ｝有极限S ，即lim S n S ，称级数收敛，否则称为发散• n2. 性质① 设常数 c 0 ，则 U n 与 cU n 有相同的敛散性；n1n1② 设有两个级数 U n 与v n，若 U n s ，v n，则(U n v n )s ；n1n1n1n1n1若 U n 收敛，v n 发散，则(U n v n ) 发散；n1n1n1若 U n ， v n 均发散，则(U n v n ) 敛散性不确定；n1n1n1③ 添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性；④ 设级数 U n 收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和．n1注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；② 一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定. ⑤ 级数 U n 收敛的必要条件： lim U n 0 ；n1n注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散；③若 U n 发散，则 lim U n 0 未必成立． n1 n 二、常数项级数审敛法 1. 正项级数及其审敛法① 定义：若 U n 0 ，则 U n 称为正项级数 .n1② 审敛法：U n 收敛的充分必要条件是其部分和数列有界无穷级数总结②若 lim U n n0 ，则 U n 未必收敛；n1充要条件：正项级数(ii ) 比较审敛法：设U n①与V n②都是正项级数，且U n %(n 1,2丄),n 1 n 1则若②收敛则①收敛；若①发散则②发散•A.若②收敛，且存在自然数N，使得当n N时有U n kvjk 0)成立，则①收敛；若②发散，且存在自然数N，使得当n N时有U n kv n(k 0)成立，则①发散；B.设U n为正项级数，若有p 1使得u n2(n 1,2,L )，贝U U n收敛；若n 1 n n 11U n (n 1,2,L )，贝U U n 发散•n n 1C.极限形式：设U n①与V n②都是正项级数，若limb |(0 | )，则n 1 n 1 n V nU n与V n有相同的敛散性.n 1 n 1注：常用的比较级数：a 1 1 .①几何级数：ar n 1 1 r r 1•n 1发散r 1②p级数：［收敛P1时.n p发冃攵P1时，n r③调和级数：1111发散.n 1 n2n(iii)比值判别法(达郎贝尔判别法)设a n是正项级数，若n 1①lim r 1，则a n收敛；②lim r 1，则发散.n a n n 1 n a n n 1注：若lim 1，或lim a n1，推不出级数的敛散.例丄与厶，虽然n a n n n 1 n n 1 n lim 1，|im n a n1，但 -发散，而 & 收敛•n a n n■n 1 n n 1 n(iv)根值判别法(柯西判别法)设a n是正项级数，lim、, a n，若1，n 1 n级数收敛，若1则级数发散.(v)极限审敛法：设U n 0，且lim n P U n l，则①lim n p U n l 0且p 1，则级n n数U n发散；②如果p 1，而lim n p U n l(0 l ),则其收n 1 n敛.(书上P317-2- (1))注：凡涉及证明的命题，一般不用比值法与根值法，一般会使用比较判别法•正项级数的比(根)值判别法不能当作收敛与发散的充要条件，是充分非必要条件.2.交错级数及其审敛法①定义：设U n 0(n 1,2丄)，则(1)n 1U n称为交错级数•n 1②审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数(1)n 1U n，若U n U n 1且lim U n0，‘n贝u ( 1)n u收敛•n 1注：比较U n与U n 1的大小的方法有三种：①比值法，即考察也1是否小于1；U n②差值法，即考察U n U n 1是否大于0；③由U n找出一个连续可导函数f(x)，使U n f(n) ,(n 1,2,)考察f (x)是否小于0.3.一般项级数的判别法：①若U n绝对收敛，则U n收敛.n 1 n 1②若用比值法或根值法判定|U n |发散，则U n必发散.n 1 n 1三、幕级数1.定义：a n x n称为幕级数.n 02.收敛性①阿贝尔定理：设幕级数a n X n在X0 0处收敛，则其在满足X I X0的所n 0xx 0有x 处绝对收敛.反之，若幕级数 a n x n 在X 1处发散，则其在满足x X i n 0 的所有X 处发散. ②收敛半径（i ）定义：若幕级数在X X o 点收敛，但不是在整个实轴上收敛，则必存在一个正数R ，使得①当X X o R 时，幕级数收敛；②当x X o R 时，幕级数发散；R称为幕级数的收敛半径•（ii ）求法：设幕级数 a n X n的收敛半径为R ，其系数满足条件limn 0n或n lim 器丙I ，则当0 1 时，R 1 ;当10时，R ，当I 时，R 0 .注：求收敛半径的方法却有很大的差异.前一个可直接用公式，后一个则须分奇、偶项（有时会出现更复杂的情况）分别来求.在分成奇偶项之后，由于通项中出现缺项，由此仍不能用求半径的公式直接求，须用求函数项级数收敛性的方法.（iii ）收敛半径的类型 A. R 0，此时收敛域仅为一点； B. R，此时收敛域为（C.R =某定常数，此时收敛域为一个有限区间. 3. 幕级数的运算（略） 4. 幕级数的性质a n 1a n①若幕级数的收敛半径R则和函数 S(x)a n X n 在收敛区间（R, R ）内连续.②若幕级数的收敛半径R 则和函数 S(x)a n X n 在收敛区间（R, R ）内可导,且可逐项求导，即S （x ）n \a n X )(a n Xna n X n 1，收敛半径不变.n 1③若幕级数的收敛半径R0，则和函数 S(x)na n X在收敛区间（R, R ）内可积,x且可逐项积分，即S （t ）dta n t n dt(x ( R, R))，收敛半径不nx / ，x ( n!出其假设和函数s(x)与其导数s(x)的关系)，从而得到新级数的和函数；注：系数为若干项代数和的幕级数，求和函数时应先将级数写成各个幕级数的代数和，然后分别求出它们的和函数，最后对和函数求代数和，即得所求级数的和函数. ②数项级数求和nU n U k .根据S n 的求法又可分为：直接法、拆项法、递推法.变.5.函数展开成幕级数①若f(x)在含有点X 0的某个区间I 内有任意阶导数, f (X0) 、2(X X o )2!f (n 1)()- --(X X 0)(n 1}(n 1)!(n 1)!I 内能展开成为泰勒级数的充要条件为为 f (x) f (X 0)f (X 0)(X X o )f(n 1)(-)(X X 0)(n 1)，记 R n (x)f (x)在X 。

高数-第七章-无穷级数-知识点讲课讲稿

高数-第七章-无穷级数-知识点第七章无穷级数一、敛散性判断（单调有界，必有极限；从上往下，具有优先顺序性）：1、形如∑∞=-11n n aq 的几何级数（等比级数）：当1<q 时收敛，当1≥q 时发散。

2、形如∑∞=11n pn的P 级数：当1>p 时收敛，当1≤p 时发散。

3、⇒≠∞→0lim n n U 级数发散；级数收敛lim =⇒∞→n n U4、比值判别法（适用于多个因式相乘除）：若正项级数∑∞=1n nU，满足条件lU U n n n =+∞→1lim：✍当1<l 时，级数收敛；✍当1>l 时，级数发散（或+∞=l ）； ✍当1=l 时，无法判断。

5、根值判别法（适用于含有因式的n 次幂）：若正项级数∑∞=1n nU，满足条件λ=∞→n n n U lim ：✍当1<λ时，级数收敛；✍当1>λ时，级数发散（或+∞=λ）； ✍当1=λ时，无法判断。

注：当1,1==λl 时，方法失灵。

6、比较判别法：大的收敛，小的收敛；小的发散，大的发散。

（通过不等式的放缩）推论：若∑∞=1n nU与∑∞=1n nV均为正项级数，且lV U nnn =∞→lim（n V 是已知敛散性的级数)✍若+∞<<l 0，则级数∑∞=1n nU与∑∞=1n nV有相同的敛散性；✍若0=l 且级数∑∞=1n nV收敛，则级数∑∞=1n nU收敛；✍若+∞=l 且级数∑∞=1n nV发散，则级数∑∞=1n nU发散。

7、定义判断：若⇒=∞→C S n n lim 收敛，若nn S ∞→lim 无极限⇒发散。

8、判断交错级数的敛散性（莱布尼茨定理）：满足1+≥n n U U ，⇒=∞→0lim n n U 收敛，其和1u S ≤。

9、绝对收敛：级数加上绝对值后才收敛。

条件收敛：级数本身收敛，加上绝对值后发散。

二、无穷级数的基本性质：1、两个都收敛的无穷级数，其和可加减。

无穷级数内容小结

1.数项级数：∑∞=1n nu，称∑==ni kn us 1为前n 项部分和。

若存在常数 s,使n n s s ∞→=lim ，则称级数收敛，s 为该级数的和；否则级数发散。

2.数项级数性质：1)∑∞=1n nCu=C∑∞=1n nu；2)若级数∑∞=1n nu，∑∞=1n nv收敛于σ,s ，则级数∑∞=±1n n nv u收敛于σ±s ；3）级数中去掉，增加或改变有限项，敛散性不变；4）收敛级数任意加括号所得的级数仍收敛，且其和不变。

5）若级数∑∞=1n nu收敛，必有0lim =∞→n n u3．两个重要级数：1）几何级数：∑∞=-11n n aq= +++++-12n aqaq aq a (0≠a )若,1<q 级数收敛，其和为qa-1，若,1≥q 级数发散。

2）p 级数：∑∞=11n p n = +++++pp p n 131211（p>0）若p>1,级数收敛；若1≤p ，级数发散；当p=1时，调和级数∑∞=11n n发散。

4．正项级数审敛法：对一切自然数n,都有0≥n u ，称级数∑∞=1n nu为正项级数方法：1）比较审敛法：设∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都是正项级数，且n n v u ≤（n=1,2,…）若级数∑∞=1n nv收敛，则级数∑∞=1n nu收敛；若级数∑∞=1n n u 发散，则∑∞=1n n v 发散。

2）比较审敛法的极限形式：若l v u nnn =∞→lim )0(+∞<<l ，则∑∞=1n n u 和∑∞=1n nv 同时收敛或同时发散。

3）比值审敛法：若ρ=+∞→n n n u u 1lim ，则若p<1,级数收敛；若1>p )lim (1∞=+∞→nn n u u包括，级数发散；当p=1时，级数可能收敛，也可能发散。

4根值审敛法：若ρ=∞→n n n u lim ，则若p<1,级数收敛；若1>p )lim (∞=∞→n n n u 包括，级数发散；当p=1时，级数可能收敛，也可能发散。

《高等数学》第十章无穷级数(电子讲稿)

380 第十章无穷级数在许多科学技术领域中，常常要求我们将无穷多个数或者函数相加，我们把这种和式叫做无穷级数．无穷级数是表示函数、研究函数性态以及进行数值计算的一种有效工具．无穷级数分为常数项级数和函数项级数，本章将先介绍常数项级数的概念及其敛散性的审敛法，然后讨论函数项级数，最后将着重讨论如何将函数展开成幂级数和三角级数的问题．第一节常数项级数的概念与性质一、常数项级数的基本概念设给定一个数列1u ，2u ，n u ，，用加号把这些项连结起来所构成的和的表达式 1u +2u +n u +（1）称为（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，记作1n n u ∞=∑1u =+2u +n u ++，级数的第n 项u n 通常称为级数的一般项或通项．例如 111111!2!3!!n n n ∞==+++++∑,1(1)1111(1)nn n ∞=-=-+-+-+-+∑,1123n n n ∞==+++++∑ 都是常数项级数．上述级数的定义仅仅是一种形式上的定义，这种加法是否具有“和数”，这个“和数”的意义是什么？为了解决这个问题，我们先作（常数项）级数（1）的前n 项和n s =12n u u u +++1ni i u ==∑，（2）n s 称为级数（1）的部分和．当n 依次取1，2，3，…时，部分和又构成一个新的数列11s u =， 122s u u =+，3123,s u u u =++， n s =12n u u u +++，，即数列12,,,,n s s s ．把这个数列{n s }称为级数1n n u ∞=∑的部分和数列（简称为部分和）．当n 趋于无穷大时，如果级数1n n u ∞=∑的部分和数列{n s }有极限s ，即lim n n s s →∞=,则称无穷级数1n n u ∞=∑收敛，并称极限s 为级数的和，写成12n s u u u =+++．如果部分和数列{n s }没有极限，则称无穷级数1n n u ∞=∑发散．当级数1n n u ∞=∑收敛时，其部分和n s 是级数的和s 的近似值，它们之间的差值12n n n n r s s u u ++=-=++称为级数的余项．用近似值n s 代替和s 所产生的误差是这个余项的绝对值，即误差是n r ．381●●例1 判别无穷级数1123n n n ∞==+++++∑的敛散性．解由于 (1)122n n n s n +=+++=, 则 (1)lim lim 2n n n n n s →∞→∞+==∞,所以该级数发散．●●例2 讨论级数11111(1)n --+-++-+的敛散性．解部分和数列11s =，2110s =-=，31111s =-+=，，11111(1)n n s -=-+-++-．易知，当n 为奇数时，1n s =；当n 为偶数时，0n s =．所以没有极限，故原级数发散． ●●例3 无穷级数20nn n aqa aq aq aq ∞==+++++∑．（3）叫做等比级数（又称为几何级数），其中0a ≠，q 叫做级数的公比，试讨论级数（3）的敛散性．解如果||1q ≠，级数的部分和1n n s a aq aq-=+++1n a aq q -==-11na aq q q---．当||1q <时, lim n n s →∞=lim 111n n a aq a q q q →∞⎡⎤-=⎢⎥---⎣⎦, 此时级数（3）收敛，且其和为 1aq -；当||1q >时，lim n n s →∞=∞，此时级数（3）发散．如果||1q =，则当1q =时，n s na =→∞，因此级数（3）发散；当1q =-时，级数(3)变为n s =a a a a -+-+1(1)n a -+-．显然，n s 随着n 为奇数或为偶数而等于a 或为零，因此n s 的极限不存在，此时级数（3）也发散．综上讨论可知，等比级数11n n aq ∞-=∑当||1q <时收敛，其和为1aq-，当||1q ≥时发散．例如级数23422223333⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其公比213q =<，则该级数是收敛的．又例如级数23433332222⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其公比312q =>，故该级数是发散的．二、收敛级数的基本性质由上面的讨论可知，级数的收敛问题，实际上也就是研究它的部分和数列的收敛问题，因此，我们可以应用数列极限的有关知识来研究无穷级数的收敛与发散．从而可以得到收敛级数的一些基本性质．性质1 如果级数123n u u u u ++++收敛于和s ，则它的各项同乘以一个常数a 所得的级数123n au au au au ++++也收敛，且其和为as ．证设级数1n n u ∞=∑与级数1n n au ∞=∑的部分和分别为n s 和n σ，则n s =12n u u u +++，n σ12n au au au =+++n as =．382 由数列极限的性质知lim lim n n n n as as σ→∞→∞==．即级数1nn au∞=∑收敛于as ．性质2 如果级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都收敛，且其和分别为s 与σ，则级数1()nn n uv ∞=±∑1122()()()n n u v u v u v =±+±++±+．也收敛，并且有111()nn n n n n n uv u v ∞∞∞===±=±∑∑∑s σ=±．证令1nn i i s v ==∑，1nn i i u σ==∑，1()nn i i i T u v ==±∑，则1()nn i i i T u v ==±=∑11n ni in n i i u vs σ==±=±∑∑,所以有lim lim()lim lim n n n n n n n n n T s s s σσσ→∞→∞→∞→∞=±=±=±．也就是说，1()n n n u v ∞=±∑收敛于s σ±．●●例4 判别级数212211131313(11)242424n n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的敛散性．若收敛时求出它的和．解由于级数211111222n -+++++与 21213331444n n --+++++都是公比小于1的等比级数，所以它们都收敛，且其和分别为2和4，由性质2知所给级数收敛，其和为212211131313(11)242424n n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭211111222n -⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭21213331444n n --⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭246=+=．性质3 在级数的前面部分去掉或加上有限项，不改变级数的敛散性.证设将级数121k k k n u u u u u +++++++++的前k 项去掉，则得级数12k k k n u u u +++++++．令新级数的部分和n T =12k k k n u u u ++++++．则12n k k k n T u u u +++=+++k n k s s +=-，其中k n s +为原级数的前k n +项的和，而k s 12k u u u =+++是常数，所以当n →∞时，n T 和n k s +或者同时具有极限，或者同时没有极限，当有极限时，k T s s =-．其中lim n n T T →∞=，lim k n n s s +→∞=．类似地，可以证明在级数的前面加上有限项，也不改变级数的敛散性．性质4 收敛级数对其项任意加括弧后所成级数仍为收敛的级数，且其和不变．应该注意，加括号后的级数收敛时，原来未加括弧的级数未必收敛，例如下面的级数(11)(11)(11)-+-+-+ 收敛于零，但级数111111-+-+-+却是发散的．由性质4可得: 如果加括弧后所成的级数发散，则原来级数也发散．383性质5 （级数收敛的必要条件）如果级数1n n u ∞=∑收敛，则当n 无限增大时，它的一般项n u 趋于零，即lim 0n n u →∞=．证设级数1n n u ∞=∑的部分和数列为{}n s ，且lim n n s s →∞=．因为1n n n u s s -=-，所以1lim lim()n n n n n u s s -→∞→∞=-0s s =-=．性质5表明，若lim 0n n u →∞≠，则1n n u ∞=∑一定发散，但要注意，若lim 0n n u →∞=时，级数1n n u ∞=∑可能收敛，也可能发散． ●●例5 无穷级数111123n+++++ （4）称为调和级数．证明调和级数是发散的．证法1 顺序把级数（4）的两项、两项、四项、八项、2m 项、加括号得级数111111112345678⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111121222m mm +⎛⎫+++++ ⎪++⎝⎭ 因为 11122+>，1111134442+>+=，111111111,567888882+++>+++=11111111111212222222m m m m m m +++++++>+++=++, 所以这个加括号的级数的前1m +项的和大于12m +，从而可知加括号后的级数发散．由性质4所得的结论可知，调和级数（4）发散．证法2 由0x >时，ln(1)x x >+知，11ln 1n n ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，所以1111ln 1nn n i i s i i ==⎛⎫=>+ ⎪⎝⎭∑∑341ln 2ln ln ln 23n n +=++++341ln 223n n +⎛⎫=⋅⋅⋅⎪⎝⎭ln(1)n =+．由于lim limln(1)nn n s n →∞→∞≥+=∞，故调和级数发散．●●例6 -+-+11n n +-+-+的敛散性．解对级数每两项加括号后所成的级数为2n ∞=∑221n n ∞==-∑2121n n ∞==-∑，而211n n ∞=-∑为调和级数，它是发散的，故知原级数发散．习题 10-11．写出下列级数的前5项:384 （1）21(2)n nn ∞=+∑；（2）113(21)24(2)n n n ∞=⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅∑；（3）11(1)10n n n -∞=-∑；（4）1!(1)nn n n ∞=+∑． 2．写出下列级数的一般项:（1）111246+++；（2）231153759711a a a ++++⋅⋅⋅⋅；（3）35791113149162536-+-+-+-；（42242468x x +⋅⋅⋅⋅ (0x >)．3．判定下列级数的敛散性: （1）1n ∞=∑；（2）11(21)(21)n n n ∞=-+∑；（3）1111223(1)n n ++++⋅⋅+；（4）π2ππsin sin sin 666n ++++；（5）1n ∞=∑；（6）13++；（7）22111111323232n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（8）135721357921n n -+++++++；（9）221(n ∞=∑ （0a >）；（10）23111111111111123nn +++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 4．证明下列级数收敛，并求其和：11111447710(32)(31)n n +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+．5．若级数1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑都发散时，级数1()n n n u v ∞=±∑的敛散性如何？若其中一个收敛，一个发散，那么，级数1()n n n u v ∞=±∑散敛性又如何？第二节常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法在第一节中，我们介绍了判别一般常数项级数（即级数的各项可以是正数、负数或者零）是否收敛的方法.如果级数1n n u ∞=∑的每一项都是非负的，即0n u ≥（1n =，2，），则称级数1nn u∞=∑为正项级数．在这一节，我们将对正项级数给出一些常用的审敛判别法．385设正项级数12n u u u ++++ （1）的部分和为n s ，显然部分和数列{n s }是单调增加数列，也就是说12n s s s ≤≤≤≤根据单调有界数列必有极限的准则可得，如果部分和数列n s 有界，也就是说存在一正数M ，使得n s M ≤对所有的n 都成立，则级数（1）一定收敛；反之，如果正项级数收敛于s ，则数列{n s }一定有界．由此可得下面的正项级数收敛的基本定理．正项级数1n n u ∞=∑收敛的充分必要条件是它的部分和数列{n s }有界．根据这一定理，我们可以得到正项级数收敛或发散的一些基本判别法则．(比较审敛法）设级数1n n u ∞=∑，1n n v ∞=∑为两个正项级数，且满足不等式n nu v ≤（1n =，2，）则下面的结论成立：（1）如果级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑也收敛；（2）如果级数1n n u ∞=∑发散，则级数1n n v ∞=∑也发散．证（1）设1n n v ∞==∑σ，1n n k k s u ==∑，1nn k k v σ==∑，则由条件知n s =12n u u u +++12n v v v ≤+++n σ=≤1nn vσ∞==∑，即部分和数列{n s }有界，由定理1知级数1n n u ∞=∑收敛．（2）反证法，若正项级数1n n v ∞=∑收敛，则根据（1）知级数1n n u ∞=∑收敛，与1n n u ∞=∑发散矛盾，故级数1n n v ∞=∑发散．由第一节的性质1和性质3可知，级数的每一项同乘以不为零的常数k ，以及去掉级数前面部分的有限项不会影响级数的收敛性，于是可得如下推论：推论设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑是两个正项级数．如果从某项开始（比如从第N 项开始），满足不等式n n u kv ≤（n N ≥，0k >），则（1）若级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑收敛；（2）若级数1n n u ∞=∑发散，则级数1n n v ∞=∑发散．为了便于应用，我们下面接着给出比较审敛法的极限形式．(比较审敛法的极限形式）设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑为给定的两个正项级数，(1) 如果lim nn nu l v →∞=（0l ≤<+∞），且级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑收敛；386 (2) 如果lim 0n n n u l v →∞=>或lim nn nu v →∞=+∞，且级数1n n v ∞=∑发散，则级数1n n u ∞=∑发散．证 (1) 根据极限的定义，对1ε=，存在自然数N ，使得当n N >时，有不等式1nnu l v <+, 即 (1)n n u l v <+ 而级数1n n v ∞=∑收敛，再由比较审敛法的推论，便可知1n n u ∞=∑收敛.(2) 反证法，如果级数1n n u ∞=∑收敛，则由结论(1)得级数1n n v ∞=∑收敛，但已知级数1n n v ∞=∑发散，矛盾．因此，级数1n n u ∞=∑发散．●●例1 证明级数1131nn ∞=+∑是收敛的．证因为11313n n ≤+，而且几何级数113n n ∞=∑收敛，故由比较判别法知，1131nn ∞=+∑是收敛的． ●●例2 判别级数11(0)1nn a a ∞=>+∑的收敛性．解（1）当01a <<时，11lim 10110n n a →∞==≠++，所以级数111n n a ∞=+∑发散．（2）当1a =时，11lim 012n n a →∞=≠+，所以级数111n n a ∞=+∑发散．（3）当1a >时，111nn a a ⎛⎫< ⎪+⎝⎭．由于级数11nn a ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛，所以级数111nn a ∞=+∑收敛．综上所述，当01a <≤时，原级数发散，当1a >时，原级数收敛． ●●例3 级数11111123pp p p n nn ∞==++++∑．（2）称为p -级数，其中0p >是常数，试讨论p -级数的敛散性．解（1）当1p ≤时，有 11p n n ≤，由于11n n ∞=∑发散，故由比较审敛法知，级数（2）发散．（2）当1p >时，由1k x k -≤≤知 11p p k x≤，所以111k p pk x k k -=≤⎰d 11k p k x x -⎰d ，（2,3,n =）从而级数（2）的部分和1n s =+21n p k k =≤∑1+12n k p k k x x -=∑⎰d 11n p x x =+=⎰　d 111111p p n -⎛⎫+- ⎪-⎝⎭111p <+-（2,3,n =），故数列{}n s 有界，所以级数（2）收敛．综上所述可得p -级数11pn n∞=∑当1p >时收敛，当1p ≤时发散． ●●例4 判别下列级数的敛散性：387（1）3132n n n n ∞=+-∑；（2）1111n nn∞+=∑；（3）11n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（4）21e n n n ∞-=∑．解（1）因为 323323312lim lim 122n n n n n n n n n n →∞→∞++-==-，而211n n ∞=∑收敛，所以级数3132n n n n ∞=+-∑收敛．（2）因为111lim 11nn n nn+→∞==，又级数11n n ∞=∑发散，所以级数1111n nn∞+=∑发散．（3）因为321ln 1lim 11n n n nn →∞→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭==，而级数3121n n∞=∑收敛，所以级数11n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭收敛．（4）因为 242e lim lim 01e n n n n n n n -→∞→∞==，而级数211n n ∞=∑收敛，所以级数21e n n n ∞-=∑收敛． ●●例5 判别级数11ln 1p n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的敛散性．（0p >，且为常数）解因为1ln 1lim 1p n pn n→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭1lim ln 1p n p n n →∞⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1ln lim 11p n p n n →∞⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+= ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 而p -级数11p n n ∞=∑当1p >时收敛，所以当1p >时原级数收敛；当1p ≤时11p n n∞=∑发散，故当1p ≤原级数发散．判别级数的敛散性，如果已知一些收敛级数和发散级数，则可以以它们为标准进行比较．常用于比较的级数有p -级数、等比级数与调和级数，因此必须记住它们．由比较审敛法的定理我们知道，它是通过与某个敛散性已知的级数的比较来判断给定级数的敛散性，但有时作为比较对象的级数不容易找到，那么能不能从给定的级数自身直接判别级数的敛散性？为此，下面我们将给出使用上很方便的比值审敛法和根值审敛法．(比值审敛法）设级数1n n u ∞=∑是正项级数，且1lim n n nuu ρ+→∞=．则（1）当1ρ<时，级数1n n u ∞=∑收敛；（2）当1ρ>（或1lim n n nu u +→∞=∞）时，级数1n n u ∞=∑发散；（3）当1ρ=时，级数1n n u ∞=∑可能收敛，也可能发散．388 正项级数敛散性的这一判别法称为比值审敛法或达朗贝尔（D alembert '）审敛法．证（1）当1ρ<时，取一个适当小的正数ε，使得1r ρε+=<，由1lim n n nuu ρ+→∞=知，存在正整数N ，使得当n N >时，有不等式1n nur u ρε+<+=成立，即有1N N u ru +<， 221N N N u ru r u ++<<， 332N N N u ru r u ++<<，…而等比级数23N N N ru r u r u +++收敛（公比1r <），由比较审敛法可知123N N N u u u ++++++收敛．由于级数1n n u ∞=∑只是比级数1nn N u∞=+∑多了前N 项，所以级数1n n u ∞=∑收敛．（2）当1ρ>时，取一个适当小的正数ε ，使得1ρε->，由极限的定义知，存在正整数N ，使得当n N >时，有不等式11n n uu ρε+>->成立，也就是1n n u u +>．所以，当n N >时，级数的一般项逐渐增大，因此lim 0n n u →∞≠，由级数收敛的必要条件可知，级数1n n u ∞=∑发散．类似地，可以证明，当1lim n n nu u +→∞=∞时，级数1n n u ∞=∑发散．（3）当1ρ=时，级数1n n u ∞=∑可能收敛，也可能发散．例如p -级数11p n n ∞=∑，不论0p >为何值，总有1lim n n nu u +→∞=1(1)lim11pn pn n →∞+=．但我们已经知道当1p >时p -级数收敛，而当1p ≤时p -级数发散．所以，仅根据ρ=1是不能判别级数的敛散性的．●●例6 判别级数2222231232222n n +++++的敛散性．解因为22n n n u =，22112(1)112lim lim lim 22n n n n n nnn u n n u n ++→∞→∞→∞++⎛⎫== ⎪⎝⎭112=<，根据比值审敛法，所以原级数是收敛的．●●例7 判别级数2132nn n n ∞=∑的敛散性．解因为232nn n u n =，所以1limn n nu u +→∞=122212323lim lim (1)232(1)n n n nn n n nn n ++→∞→∞⋅=++2313lim 11221n n →∞⎛⎫⎪==> ⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭，所以级数2132nn n n ∞=∑发散．●●例8 判别级数1111123456(21)2n n+++++⋅⋅⋅-⋅的敛散性．389解由于1(21)2n u n n =-⋅，所以1lim n n nu u +→∞=(21)2lim 1(21)(22)n n nn n →∞-⋅=++，比值审敛法此时失效．但注意到211(21)2n n n <-⋅，而级数211n n ∞=∑收敛，所以级数11(21)2n n n ∞=-⋅∑收敛． (根值审敛法）设级数1n n u ∞=∑是正项级数，且n ρ=,则（1）当1ρ<时，级数1n n u ∞=∑收敛；（2）当1ρ>（或n =+∞）时，级数1n n u ∞=∑发散；（3）当1ρ=时，级数1n n u ∞=∑可能收敛，也可能发散．正项级数敛散性的这一判别法称为根值审敛法或柯西审敛法．证（1）当1ρ<时，由极限的定义，取一个适当小的0ε>，存在自然数N ，使得当n N >1r ρε<+=<成立，即nn u r <．由于等比级数1n n r ∞=∑（公比1r <）收敛，所以级数1n n u ∞=∑收敛．（2）当1ρ>时，根据极限的定义，取一个适当小的0ε>，存在正整数N ，使n N >时，1ρε>->成立，即1n u >．由于lim 0n x u →∞≠，所以级数1n n u ∞=∑发散．（3）当1ρ=时，根值审敛法失效．仍以p -级数11pn n∞=∑为例，由根值审敛法=1p=→（n →∞）．即1ρ=，但p -级数当1p >时收敛；当1p ≤时发散．因此在1ρ=时级数的敛散性不能由根值审敛法判定． ●●例9 判别级数211115n n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的敛散性．解因为11e lim 1<155nn n n n →∞⎛⎫=+= ⎪⎝⎭所以由根值审敛法可知级数211115n n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛． ●●例10 判别级数ln 123nn n ∞=∑的敛散性．解因为=ln 23n n=，而当n →∞时，ln nn的极限为0，所以n ln 2lim 3n n n→∞=21=>，因此所给级数发散．390 二、交错级数及其审敛法如果级数的各项是正负交替出现的，也就是形如 1234u u u u -+-+1(1)n n u -+-+ （3）或 1234u u u u -+-++(1)n n u +-+(3')（0n u >，1,2,n =）的级数称为交错级数．下面的定理说明了如何对于交错级数的敛散性进行判别．(莱布尼兹(Leibniz )审敛法）如果交错级数11(1)n n n u ∞+=-∑（0,1,2,n u n >=）满足下面的条件：（1）1n n u u +≥（1,2,3,n =）；（2）lim 0n n u →∞=则级数11(1)n n n u ∞+=-∑收敛，且其和1S u ≤，其误差1n n r u +≤．证先证交错级数（3）的前2n 项和2n s 的极限存在，其和1s u ≤．因为2n s 可表示为2n s =1234212()()()n n u u u u u u --+-++-，及 2n s =1234522212()()()n n n u u u u u u u u ----------所以由条件（1）知，括弧中的所有项都是非负的，因此由2n s 的第一种表达形式可知，2n s 单调增加，由2n s 的第二个表达式可知，21n s u <．于是，由单调有界数列必有极限的准则可知，当n 无限增大时，2n s 趋于一个极限s ，且s 不大于1u ，即21lim n n s s u →∞=≤．再证交错级数（3）的前21n +项的和21n s +的极限为s ，且1s u ≤．因为 21221n n n s s u ++=+，所以由条件（2）知21lim 0n n u +→∞=，所以21221lim lim lim n n n n n n s s u s ++→∞→∞→∞=+=．由于级数的前2n 项的和与前21n +的和趋于同一极限s ，故级数11(1)n n n u ∞+=-∑的部分和n s 当n →∞时具有极限s ，这就证明了交错级数11(1)n n n u ∞+=-∑收敛于和s ，并且1s u ≤．对于级数（3）的余项n r ，可写成如下的形式：12()n n n r u u ++=±-+．它的绝对值12||n n n r u u ++=-+．也是一个交错级数，也满足交错级数收敛的两个条件，因此其和不超过级数的第一项1n u +，也就是说 1|| n n r u +． ●●例11 判别级数111111(1)234n n+-+-++-+的敛散性，并求其和s 的近似值（精确到0.1）．解令1n u n =, 显然有（1） 1111n n u u n n +=>=+，（1,2,n =），（2）1lim lim0n n n u n→∞→∞==．由定理6知，原级数收敛．且11111(1)23n n s s n +≈=-+++-．其中11n rn ≤+．因为取9n =时，9110r ≤0.1=，所以111110.74562349s ≈-+-++≈．391●●例12判别级数1(1))πn n n ∞=-∑的敛散性．解因为(1))πn n -(1)n =-．又s in n u =是单调减少数列，且lim 0n n n u →∞→∞==．由莱布尼兹审敛法可知，原级数收敛．三、绝对收敛与条件收敛上面我们讨论了正项级数和交错级数敛散性的判别法，如果级数1n n u ∞=∑中的项n u(1,2,)n =是任意实数，则把这种级数称为任意项级数．下面我们来讨论任意项级数的敛散性．如果对于任意项级数1n n u ∞=∑中的各项取绝对值所得的正项级数1||n n u ∞=∑收敛，则称级数1nn u∞=∑绝对收敛；如果级数1||n n u ∞=∑发散，而级数1n n u ∞=∑收敛，则称级数1n n u ∞=∑条件收敛．由上述定义，容易得到结论：收敛的正项级数是绝对收敛的．绝对收敛级数和收敛级数之间有如下重要关系．如果级数1||n n u ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑收敛．证令1(||)2n n n v u u =+ （1,2,3,n =）．则当0n u ≥时，n n v u =；当0n u <时，0n v =，所以0n v ≥，且||n n v v =11||||(||||)22n n n n u u u u =+≤+||n u =．因为级数1||n n u ∞=∑收敛，由比较审敛法知1n n v ∞=∑收敛，从而12n n v ∞=∑也收敛．又因为2||n n n u v u =-，所以级数1n n u ∞=∑是由两个收敛级数逐项相减而形成的, 即11(2||)nnnn n u v u∞∞===-∑∑．由级数的性质2可知，级数1n n u ∞=∑收敛．该定理表明，对于任意项级数1n n u ∞=∑，如果由正项级数审敛法判定级数1||n n u ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑收敛．进而可知，一些任意项级数的敛散性可借助于正项级数的审敛法而得到判定．一般来说，如果1||n n u ∞=∑发散,我们不能断定1n n u ∞=∑发散,但是,如果我们用比值法或根值法，根据1ρ>判定1||n n u ∞=∑发散,则可断定1n n u ∞=∑发散．这是因为从1ρ>可推知lim 0n n u →∞≠，从而可392 知lim 0n n u →∞≠，因此级数1n n u ∞=∑发散．●●例13 证明级数11sin rn n n α∞+=∑（其中0r >）绝对收敛．证因为11sin 1r r n nn α++≤，而级数111r n n ∞+=∑收敛，所以由比较审敛法知，11sin r n n n α+∞+=∑收敛，因此所给级数绝对收敛．●●例14 判别级数2111(1)13n n nn n ∞=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∑的敛散性．解 1113nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，而11lim 13nn n n →∞⎛⎫=+ ⎪⎝⎭e13=<．故由根值审敛法知所给级数收敛．由定理7，我们注意到每个绝对收敛的级数都是收敛的，但反过来不一定成立．也就是说，并不是每个收敛级数都是绝对收敛的．例如，级数111111(1)234n n+-+-++-+是收敛级数，但对各项取绝对值后得到的级数为11111234n++++++是调和级数，它是发散的．●●例15 判别级数1np n x n∞=∑的敛散性，若收敛，讨论其是绝对收敛还是条件收敛解对级数11||n np p n n x x n n ∞∞===∑∑应用根值审敛法，因为||n x =，由此可知：当||1x <时，p 为任意实数，级数收敛（绝对收敛）；当||1x >时，p 为任意实数，级数发散；当1x =时，(1)1p >时，级数收敛（绝对收敛）；(2)1p ≤时，级数发散；当1x =-时，(1)1p >时，级数收敛（绝对收敛）；(2)01p <≤时，级数收敛（条件收敛）；(3)0p ≤时，级数发散．绝对收敛级数有一些很好的运算性质，我们不加证明地给出如下：绝对收敛级数不因改变项的位置而改变它的和．1n u 及1n n v ∞=∑都绝对收敛，其和分别为s 和σ，则它们的柯西乘积111221()u v u v u v ++++1211()n n n u v u v u v -+++也是绝对收敛的，且其和为s σ．习题 10-21．用比较审敛法或其极限形式判定下列各级数的敛散性：（1）1111253647(1)(4)n n ++++⋅⋅⋅+⋅+;（2）1+111357+++;（3）2221111135(21)n +++++-;（4）2222(sin 2)(sin 4)(sin 2)666nn ++++;393（5）ππππsinsin sin sin 2482n +++++． 2．用比值审敛法判别下列级数的敛散性：（1）234521333n n ++++++; （2）232332!33!3!323n n n n ⋅⋅⋅+++++;（3）231111sin 2sin 3sin sin 2222n n +⋅+⋅+++;（4）21(!)(3)!n n n ∞=∑; （5）n ∞=; （6）1!n n n n ∞=∑; （7）213n n n ∞=∑． 3．用根值审敛法判定下列各级数的敛散性：（1）152n n n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑; （2）2111n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑; （3）2122n n n n n ∞=+⎛⎫ ⎪⎝⎭∑ ; （4）131ennn ∞=+∑; （5）1nn n b a ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑，其中(),,,n n a a n a b a →→∞均为正数；（6）1(0,lim ,0)nn n n n n x x a a a a ∞→∞=⎛⎫>=> ⎪⎝⎭∑．4．判别下列级数的敛散性：（1）23433332344444⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭; （2）()11sin 2n n n n ∞=π+∑;（3）1111(1sin1)sin sin 22nn ⎛⎫⎛⎫-+-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;（4）222222ln 1ln 1ln 1123⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;（5）222sin 2sin 2sin 333n n πππ⋅+⋅++⋅+;（6）21cos 32nn n n ∞=π∑；（7）111(e e 2)nn n ∞-=+-∑． 5．判别下列级数是否收敛？若收敛的话，是绝对收敛还是条件收敛？（1）1(1)n n ∞-=-∑ （2）111(1)8n n n n ∞-=-∑; （3）1311(1)sin n n n ∞-=-∑; （4）111(1)ln n n n n ∞-=+-∑;（5）11111234a a a a -+-+-++++（a 不为负整数）;（6）1111ln 2ln3ln 4ln5-+-+;（7）234111sin sin sin 234πππ-+-πππ;394 （8）22221111sinsin sin sin 1234-+-+．第三节幂级数一、函数项级数的概念在前两节内容中，我们讨论了常数项级数，这一节我们将研究应用更为广泛的函数项级数．如果1()u x ，2()u x ，, ()n u x ，，是定义在区间I 上的函数列，则由该函数列构成的和式12()()()n u x u x u x ++++（1）称为定义在区间I 上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数, ()n u x 称为一般项或通项．当x 在区间I 中取某个确定的值0x 时，函数项级数1()n n u x ∞=∑成为常数项级数10200()()()n u x u x u x ++++,该级数可能收敛，也可能发散．如果常数项级数01()n n u x ∞=∑收敛，则称点0x 是函数项级数1()nn u x ∞=∑的收敛点；如果级数01()nn u x ∞=∑发散，则称点0x是函数项级数1()n n u x ∞=∑的发散点．函数项级数1()n n u x ∞=∑的所有收敛点组成的集合称为它的收敛域，所有发散点组成的集合称为它的发散域．对应于收敛域内的任意一个数x ，函数项级数1()n n u x ∞=∑成为一收敛的常数项级数，因而有一确定的和s ．因此，在收敛域上，函数项级数的和是x 的函数()s x ，我们把()s x 称为函数项级数的和函数，和函数的定义域就是级数的收敛域，并记为()s x =12()()()n u x u x u x ++++．类似于常数项级数，把函数项级数1()n n u x ∞=∑的前n 项的部分和记为()n s x ，则在收敛域内有lim ()()n n s x s x →∞=．把()()()n n r x s x s x =-仍然称为函数项级数的余项．当然，只有在收敛域上()n r x 才有意义．于是当1()n n u x ∞=∑收敛时，有lim ()0n n r x →∞=．●●例1 级数12111n n n x x x x ∞--==+++++∑是定义在(,)-∞+∞上的函数项级数．它的前n 项和为()n s x =21111n n x x x xx --++++=-当||1x <时，该级数收敛，其和函数为11x-，且有21111n x x x x-=+++++- （2）而当||1x ≥时该级数发散．该级数的收敛域为(1,1)-，而其发散域为(,1][1,)-∞-+∞．395二、幂级数及其收敛性在函数项级数中，简单且常见的一类级数就是幂级数．它的表达形式是2012n n a a x a x a x +++++，（3）或2010200()()()n n a a x x a x x a x x +-+-++-+（4）其中，012,,,,,n a a a a 叫做幂级数的系数．由于在函数项级数00()n n n a x x ∞=-∑中，如果作变换0y x x =-，则级数（4）就变成级数0n n n a y ∞=∑，因此由级数（3）的性质可以推得级数（4）的性质，所以这里我们主要讨论幂级数（3）．由例1 知道，幂级数0n n x ∞=∑的收敛域为（1, 1-），发散域为(,1][1,)-∞-+∞．对于一般的幂级数（3），显然至少有一个收敛点0x =，除此之外，它还有哪些收敛点，怎样得到像例1那样的收敛域呢？对此，下面的阿贝尔（Abel ）定理给出了明确的回答．(阿贝尔定理）如果幂级数0n n n a x ∞=∑在0x x =（00x ≠）处收敛，则对于满足0||||x x <的一切x ，幂级数0nn n a x ∞=∑绝对收敛；反之，如果幂级数0n n n a x ∞=∑在0x x =0(0)x ≠处发散，则对于满足0||||x x >的一切x ，幂级数0n n n a x ∞=∑发散．证设0x 是幂级数（3）的收敛点，即级数2010200nn a a x a x a x +++++收敛．根据级数收敛的必要条件，有0lim 0nn n a x →∞=．于是，存在一个正数M ，使得nn a x ≤M （0,1,2,3,n =）．从而有0000nnn n nn n n n x x a x a x a x x x =⋅=≤0nx M x ．因为当0x x <时，等比级数00nn xM x ∞=∑收敛（公比01x x <），所以级数0n n n a x ∞=∑收敛，故级数0nn n a x∞=∑绝对收敛．定理的第二部分可以用反证法证明．如果幂级数0n n n a x ∞=∑当0x x =（00x ≠）时发散，如果有一点1x 适合10||||x x >，10nn n a x ∞=∑收敛，则根据该定理的第一部分的证明可知，级数0nn n a x ∞=∑收敛，这与假设矛盾，定理得证．定理1说明，如果幂级数（3）在0x x =处收敛，则对于开区间00(||,||)x x -内的任何x ，幂级数（3）都收敛；如果幂级数（3）在0x x =处发散，则对于闭区间00[||,||]x x -以外的任何x ,幂级数都发散．由此可知，如果幂级数（3）既有非零的收敛点，又有发散点，则收敛396 点和发散点不可能交错地落在同一区间内，也就是一定存在收敛区间和发散区间的分界点x R =与x R =-（0R >）使得当||x R <时，幂级数（3）绝对收敛；当||x R >时，幂级数（3）发散；当x R =与x R =-时，幂级数（3）可能收敛也可能发散．通常称正数R 为幂级数（3）的收敛半径；开区间(,)R R -称为幂级数（3）的收敛区间．由幂级数（3）在x R =±处的收敛性可以决定它的收敛域，其收敛域是(,)R R -，[,)R R -(,]R R -，或[,]R R -中之一．如果幂级数（3）只在0x =处收敛，则规定其收敛半径为0R =；如果幂级数（3）对一切x 都收敛，则规定其收敛半径为R =+∞，此时的收敛域为（,-∞+∞）．收敛半径的求法由下面的定理给出．设n a 与1n a +是幂级数0n n n a x ∞=∑的相邻两项的系数，且1limn n na a ρ+→∞=．如果（1）0ρ≠，则1R ρ=；（2）0ρ=，则R =+∞；（3）ρ=+∞，则0R =．证记nn n u a x =，则1lim n n n u u +→∞=111lim lim ||n n n n n n n na x a x a a x +++→∞→∞=||x ρ=．由比值审敛法知：（1）当||1x ρ<，即1||x ρ<时，级数0n n n a x ∞=∑收敛，从而级数（3）绝对收敛；当||1x ρ>即1||x ρ>时，级数0n n n a x ∞=∑发散，因此收敛半径1R ρ=．（2）如果0ρ=，则对任何0x ≠，有||01x ρ=<，所以级数0n n n a x ∞=∑收敛，从而级数（3）绝对收敛，于是收敛半径R =+∞．（3）如果ρ=+∞，则对于除0x =以外的任何x ，有||1x ρ>，所以对任何0x ≠，幂级数（3）发散，即收敛半径0R =．●●例2 求幂级数231(1)23nn x x x x n +-+++-+的收敛半径、收敛区间和收敛域．解根据定理2有1lim n n na a ρ+→∞==11lim 11n n n→∞+=，所以收敛半径11R ρ==．所给级数的收敛区间为(1,1)-．对于端点1x =，所给幂级数成为交错级数11111(1)23n n +-+-+-+，该级数收敛．对于端点1x =-，所给幂级数成为111123n------，该级数发散．故所给级数的收敛域为(1,1]-．●●例3求幂级数212nn n x ∞=∑的收敛域．解本题为缺项幂级数，由于幂级数相邻两项的系数有零，不能直接求收敛半径．可以397利用比值审敛法来处理，考虑幂级数211||2n n n x ∞=∑，因为2212221||112lim lim 122||2n n n n n n x x x x ++→∞→∞==，当2112x <，即||x <时，级数211||2n n n x ∞=∑收敛；当2112x >,即||x >,级数211||2n n n x ∞=∑发散；收敛半径R =,收敛区间为(；当x =2111(12nn n n ∞∞===∑∑发散，所以幂级数212n n n x ∞=∑的收敛域为(．●●例4 求幂级数12112n n n x ∞--=∑的收敛半径．解与标准幂级数（3）比较，级数缺少偶次幂项．因此定理2不能直接应用，但可用比值审敛法来求收敛半径．因1lim n n n u u +→∞=2121212lim 22n n n n n x x x +--→∞=．当221x <，即||x <时，级数收敛；当221x >，即||x >R =●●例5求幂级数n n ∞=的收敛域．解令1t x =-，则1)n nn n x ∞∞==-=．因为1lim ||1n n n n a a +→∞==,所以收敛半径11R ρ==，收敛区间为(1,1)-．当1t =-时，1)nnn n ∞∞===-收敛；当1t =时，nn n ∞∞===所以n n ∞=的收敛域为[1,1)-，即11t -≤<，把1t x =-代入，得02x ≤<,故幂级数nn ∞=[0,2)．三、幂级数的运算如果幂级数2012n n a a x a x a x +++++()s x = 的收敛半径为1R ，而幂级数2012n n b b x b x b x +++++()x σ=的收敛半径为2R ，则（1）幂级数的加法和减法：()nnn nnnn n n n a x b x ab x ∞∞∞===+=+∑∑∑()()s x x σ=+；398 0()nnn nnnn n n n a x b x ab x ∞∞∞===-=-∑∑∑()()s x x σ=-．收敛半径为12min{,}R R R =．（2）幂级数乘法：n nnnn n a x b x∞∞==⋅∑∑000110()a b a b a b x =++2021120()a b a b a b x ++++0110()n n n n a b a b a b x -+++++()()s x x σ=⋅．收敛半径为12min{,}R R R =．（3）幂级数除法：220120122012n n n n n n a a x a x a x c c x c x c x b b x b x b x +++++=++++++++++．这里假设00b ≠, 将0nn n b x ∞=∑与0nn n c x ∞=∑相乘，所得多项式的系数分别等于0n n n a x ∞=∑中同次幂的系数，从而可求出012,,,,,n c c c c ．相除后所得幂级数0n n n c x ∞=∑的收敛区间可能比原来的两级数0nn n a x ∞=∑与0n n n b x ∞=∑的收敛区间小得多．关于幂级数的和函数，有下面的重要性质：如果幂级数0nn n a x ∞=∑收敛半径为R （0R >），和函数为()s x ，即()s x 0n n n a x ∞==∑，则有（1）()s x 在收敛区间(,)R R -内连续，且如果级数0n n n a x ∞=∑在收敛区间的端点x R =（或x R =-）也收敛，则和函数()s x 在x R =处左连续（或在x R =-处右连续）．（2）()s x 在收敛区间（,R R -）内可导，并且有逐项求导公式()()n n n s x a x ∞=''=∑0()n n n a x ∞='=∑11n n n na x ∞-==∑．逐项求导后所得到的新级数收敛半径仍为R ．（3）()s x 在收敛区间（,R R -）内可积，并且有逐项积分公式1()d ()d d 1xxxnnn n n n n n n a s t t a t t a t t x n ∞∞∞+======+∑∑∑⎰⎰⎰．逐项积分后所得到的新级数收敛半径仍为R ．●●例6 求幂级数011nn x n ∞=+∑的收敛域及其和函数．解因为1limn n n a a ρ+→∞==1lim 12n n n →∞+=+，故所给级数的收敛半径11R ρ==，收敛区间为(1, 1)-．当1x =时，原级数成为011n n ∞=+∑，发散；当1x =-时，原级数成为0(1)1nn n ∞=-+∑，是交错级399数，收敛；因此原级数的收敛域为[1,1)-．设所求级数的和函数为()s x ,即() [1,1)1nn x s x x n ∞==∈-+∑，给上面的等式两端乘以x ，得1()1n n x xs x n +∞==+∑．等式两边求导，得11000[()]()()11n n n n n n x x xs x x n n ++∞∞∞==='''===++∑∑∑1 (||).<11x x =-对上式两端从0到x 积分，得0d ()ln(1)1x txs x x t ==---⎰ (||1)x <．故当0x ≠且[1,1)x ∈-时，1()ln(1)s x x x =--，当0x =时，由2() 1123n n x x x s x n ∞===++++∑，得(0)1s =．因此[)1ln(1), 1,0(0,1),()1, =0.x x s x x x ⎧--∈-⎪=⎨⎪⎩●●例7 求幂级数210(1)21n n n x n +∞=-+∑的和函数，并求01(1)21n n n ∞=-+∑的和．解级数的收敛半径为1，收敛域为[1,1]-．设级数的和函数为()s x ，即()s x 21(1)21n nn x n +∞==-+∑，逐项求导，得()s x '210(1)()21n nn x n +∞='=-+∑20(1)n nn x ∞==-∑20()n n x ∞==-=∑211x +．对上式从0到x 积分，得2001()d d arctan .1xxs t t t x t '==+⎰⎰即所求和函数为()(0)arctan ,s x s x -=又因为(0)0,s =所以()arctan ,[1,1].s x x x =∈-在原级数中，令1x =，得0(1)21n n n ∞=-+∑arctan1=4π=．习题 10-31．求下列幂级数的收敛域：（1）2323x x x +++; （2）2342221234x x x x -+-+-;（3）23224246x x x +++⋅⋅⋅; （4）2323222222112131x x x ++++++;（5）23423421!22!23!24!x x x x ++++⋅⋅⋅⋅; （6）23423413233343x x x x ++++⋅⋅⋅⋅;400 （7）2111(1)(21)!n n n x n -∞+=--∑; （8）11(1)(1)n n n x n ∞-=--∑; （9）221212n n n n x ∞-=-∑; （10）nn ∞=．2．利用逐项求导或逐项积分，求下列级数在收敛区间内的和函数：（1）231234x x x ++++; （2）111(1)n n n nx ∞--=-∑;（3）41141n n x n +∞=+∑;（4）3535x x x +++，并求11(21)2nn n ∞=-∑的和．第四节函数展开成幂级数一、泰勒级数第三节讨论了幂级数的收敛域及其和函数的性质，由此可知，一个幂级数()nnn a x x ∞=-∑在它的收敛域内收敛于和函数()s x ，即()s x 00()n n n a x x ∞==-∑．但是，在许多应用中，我们需要解决的是与此相反的问题，也就是对于给定的函数()f x ，它是否可以在某个区间上展开成为幂级数？即是否可以找到一个幂级数，它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数()f x ，如果可以的话，如何来确定这个幂级数．下面我们就来讨论这个问题．由第三章第二节的泰勒公式可知，如果函数()f x 在点0x 的某个邻域内具有直到(1)n +阶连续导数，则在该邻域内()f x 的n 阶泰勒公式为()f x =200000()()()()()2!f x f x f x x x x x '''+-+-+()00()()()!n n n f x x x R x n +-+ （1）其中()n R x =(1)10()()(1)!n n f x x n ξ++-+ （ξ介于0x 与x 之间）为拉格朗日型余项．这时在该邻域内()f x 可用n 次多项式()n P x =200000()()()()()2!f x f x f x x x x x '''+-+- ()00()()!n n f x x x n ++- （2）来近似地表示，其误差等于余项的绝对值()n R x ．如果()n R x 随着n 的增大而减小，那么我们就可以用增加多项式的项数的办法来提高精确度．如果()f x 在点0x 的某邻域内具有任意阶导数()f x ',()f x '',(),(),n f x ，则可以设想多项式（2）的项数趋向无穷而成为幂级数200000()()()()()2!f x f x f x x x x x '''+-+-++()00()()!n n f x x x n -+⋅⋅⋅ （3）幂级数（3）称为函数()f x 在0x 处的泰勒级数．显然，当0x x =时，该级数收敛于0()f x ，但除了0x x =外，该级数是否还收敛？如果收敛的话，是否收敛于()f x ？关于这些问题，下。

小结无穷级数

而1－1+1－1+1－1+......发散.
性质5.(级数收敛必要条件)
若级数收敛,则
注意:(1). 若 ,则级数发散
(2). 时,级数不一定收敛
判断级数发散的第一步骤
证
单调
有界
则
同理
交错级数
例如
收敛且S<1
如果
则
2. 绝对收敛与条件收敛
对于一般的任意项级数
考虑
正项级数
收敛,则
绝对收敛
收敛,而发散,则
条件收敛
例如
绝对收敛
条件收敛
定理7. 如果绝对收敛,则必收敛
证
设
则
由
收敛知
收敛
为幂级数的系数 .
即是此种情形.
的情形, 即
称
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发散
发散
收敛
收敛
发散
定理 1. ( Abel定理 )
若幂级数
则对满足不等式
的一切 x 幂级数都绝对收敛.
反之, 若当
的一切 x , 该幂级数也发散 .
四、求幂级数收敛域的方法
• 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R ,
再讨论
• 非标准形式幂级数
通过换元转化为标准形式
直接用比值法或根值法
处的敛散性 .
求下列级数的敛散区间:
例13:
机动目录上页下页返回结束
解:
当
因此级数在端点发散 ,
时,
时原级数收敛 .
故收敛区间为
例如:调和级数
但级数发散
(2)
不存在
级数发散
例3. 判断级数敛散性:

（完整版）无穷级数总结

（完整版）⽆穷级数总结⽆穷级数总结⼀、概念与性质1. 定义：对数列12,,,n u u u L L ，1n n u ∞=∑称为⽆穷级数，n u 称为⼀般项；若部分和数列{}n S 有极限S ，即lim n n S S →∞=，称级数收敛，否则称为发散.2. 性质①设常数0≠c ，则∑∞=1n n u 与∑∞=1n n cu 有相同的敛散性；②设有两个级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v ，若∑∞==1n n s u ，σ=∑∞=1n n v ，则∑∞=±=±1)(n n n s v u σ；若∑∞=1n n u 收敛，∑∞=1n n v 发散，则∑∞=±1)(n n n v u 发散；若∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 均发散，则∑∞=±1)(n n n v u 敛散性不确定；③添加或去掉有限项不影响⼀个级数的敛散性；④设级数∑∞=1n n u 收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和．注：①⼀个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；②⼀个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定．⑤级数∑∞=1n n u 收敛的必要条件：0lim =∞→n n u ；注：①级数收敛的必要条件，常⽤判别级数发散；②若0lim =∞→n n u ，则∑∞=1n n u 未必收敛；③若∑∞=1n n u 发散，则0lim =∞→n n u 未必成⽴．⼆、常数项级数审敛法 1. 正项级数及其审敛法①定义：若0n u ≥，则∑∞=1n n u 称为正项级数.②审敛法：（i ）充要条件：正项级数∑∞=1n n u 收敛的充分必要条件是其部分和数列有界.（ii ）⽐较审敛法：设∑∞=1n n u ①与∑∞=1n n v ②都是正项级数，且(1,2,)n n u v n ≤=L ，则若②收敛则①收敛；若①发散则②发散.A. 若②收敛，且存在⾃然数N ，使得当n N ≥时有(0)n n u kv k ≤>成⽴，则①收敛；若②发散，且存在⾃然数N ，使得当n N ≥时有(0)n n u kv k ≥>成⽴，则①发散；B. 设∑∞=1n n u 为正项级数，若有1p >使得1(1,2,)n p u n n ≤=L ，则∑∞=1n n u 收敛；若1(1,2,)n u n n ≥=L ，则∑∞=1n n u 发散.C. 极限形式：设∑∞=1n n u ①与∑∞n n v ②都是正项级数，若lim(0)nn nu l l v →∞=<<+∞，则 ∑∞=1n nu与∑∞=1n n v 有相同的敛散性.注：常⽤的⽐较级数：①⼏何级数：∑∞=-??≥<-=11111n n r r r aar 发散；②-p 级数：∑∞=≤>1111n p p p n 时发散时收敛；③调和级数：∑∞=++++=112111n nn ΛΛ发散．（iii ）⽐值判别法（达郎贝尔判别法）设∑+∞=1n n a 是正项级数，若①1lim1<=++∞→r a a n n n ，则∑+∞=1n n a 收敛；②1lim 1>=++∞→r a a n n n ，则∑+∞n n a 发散．注：若1lim1=++∞→nn n a a，或lim 1n =，推不出级数的敛散.例∑+∞=11n n与∑+∞=121n n，虽然1lim 1=++∞→nn n a a，lim 1n =，但∑+∞=11n n 发散，⽽∑+∞=121n n 收敛. （iv ）根值判别法（柯西判别法）设∑+∞=1n n a是正项级数，lim n ρ=，若1<ρ，级数收敛，若1>ρ则级数发散．（v ）极限审敛法：设0n u ≥，且lim p n n n u l →∞=，则①0lim >=∞→l u n n p n 且1≤p ，则级数∑+∞=1n n u 发散；②如果1>p ，⽽)0(lim +∞<<=∞→l l u n n p n ,则其收敛．（书上P317-2-（1））注：凡涉及证明的命题，⼀般不⽤⽐值法与根值法，⼀般会使⽤⽐较判别法．正项级数的⽐（根）值判别法不能当作收敛与发散的充要条件，是充分⾮必要条件．2.交错级数及其审敛法①定义：设0(1,2,)n u n ≥=L ，则11(1)n n n u ∞-=-∑称为交错级数.②审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑，若1+≥n n u u 且0lim =∞→n n u ，则11(1)n n n u ∞-=-∑收敛.注：⽐较n u 与1+n u 的⼤⼩的⽅法有三种：①⽐值法，即考察nn u u 1+是否⼩于1；②差值法，即考察1+-n n u u 是否⼤于0；③由n u 找出⼀个连续可导函数)(x f ，使),2,1(),(Λ==n n f u n 考察)(x f '是否⼩于0． 3.⼀般项级数的判别法：①若∑∞=1n n u 绝对收敛，则∑∞=1n n u 收敛.②若⽤⽐值法或根值法判定||1∑∞=n n u 发散，则∑∞=1n n u 必发散.三、幂级数1. 定义：n n n x a ∑∞=0称为幂级数.2. 收敛性①阿贝尔定理：设幂级数∑+∞=0n n n x a 在00≠x 处收敛，则其在满⾜0x x <的所有x 处绝对收敛．反之，若幂级数∑+∞=0n n n x a 在1x 处发散，则其在满⾜1x x >的所有x 处发散．②收敛半径（i ）定义：若幂级数在0x x =点收敛，但不是在整个实轴上收敛，则必存在⼀个正数R ，使得①当R x x <-0时，幂级数收敛；②当R x x >-0时，幂级数发散；R 称为幂级数的收敛半径.（ii ）求法：设幂级数∑+∞=0n n n x a 的收敛半径为R ，其系数满⾜条件l a a nn n =++∞→1lim，或l a nn n =+∞→lim，则当+∞<R 1=；当0=l 时，+∞=R ，当+∞=l 时，0=R ．注：求收敛半径的⽅法却有很⼤的差异．前⼀个可直接⽤公式，后⼀个则须分奇、偶项（有时会出现更复杂的情况）分别来求．在分成奇偶项之后，由于通项中出现缺项，由此仍不能⽤求半径的公式直接求，须⽤求函数项级数收敛性的⽅法．（iii ）收敛半径的类型 A.0=R ，此时收敛域仅为⼀点； B.+∞=R ，此时收敛域为),(∞+-∞；C.R =某定常数，此时收敛域为⼀个有限区间． 3.幂级数的运算（略） 4.幂级数的性质①若幂级数的收敛半径0>R ，则和函数∑+∞==0)(n n n x a x S 在收敛区间),(R R -内连续．②若幂级数的收敛半径0>R ，则和函数∑+∞==0)(n n n x a x S 在收敛区间),(R R -内可导，且可逐项求导，即∑∑∑+∞=+∞=-+∞=='='='0110)()()(n n n n nn n nn x na x a x a x S ，收敛半径不变．③若幂级数的收敛半径0>R ，则和函数∑+∞==0)(n n n x a x S 在收敛区间),(R R -内可积，且可逐项积分，即??∑+∞===x xn dt t a dt t S 0)()(∑?+∞=-∈0)),((n xn n R R x dt t a ，收敛半径不变．5.函数展开成幂级数①若)(x f 在含有点0x 的某个区间I 内有任意阶导数，)(x f 在0x 点的n 阶泰勒公式为+-++-''+-'+=)(!)()(!2)())(()()(00)(200000x x n x f x x x f x x x f x f x f n Λ)1(0)1()()!1()(++-+n n x x n f ξ，记)1(0)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ，ξ介于0,x x 之间，则)(x f 在I 内能展开成为泰勒级数的充要条件为I x x R n n ∈?=+∞→,0)(lim .②初等函数的泰勒级数)0(0=x （i ）∑+∞=∞+-∞∈=0),(,!n nxx n x e ；（ii ）∑+∞=--∞+-∞∈--=1121),(,)!12()1(sin n n n x n x x ；（iii ）∑+∞=∞+-∞∈-=2),(,)!2()1(cos n nn x n x x ；（iv ）∑+∞=+-∈+-=+01]1,1(,1)1()1ln(n n n x n x x ；（v ）∑=∈-∈+--+=+1)(),1,1(,!)1()1(1)1(n n R x x n n x αααααΛ；（vi ）∑+∞=<=-01,11n nx x x ；∑+∞=<-=+01,)1(11n n n x x x . 6. 级数求和①幂级数求和函数解题程序（i ）求出给定级数的收敛域；（ii ）通过逐项积分或微分将给定的幂级数化为常见函数展开式的形式（或易看出其假设和函数)(x s 与其导数)(x s '的关系），从⽽得到新级数的和函数；注：系数为若⼲项代数和的幂级数，求和函数时应先将级数写成各个幂级数的代数和，然后分别求出它们的和函数，最后对和函数求代数和，即得所求级数的和函数．②数项级数求和（i ）利⽤级数和的定义求和，即s S n n =∞→lim ，则∑∞==1n n s u ，其中∑==+++=nk kn n uu u u s 121Λ．根据n s 的求法⼜可分为：直接法、拆项法、递推法．A.直接法：适⽤于∑∞=1k ku为等差或等⽐数列或通过简单变换易化为这两种数列；B.拆项法：把通项拆成两项差的形式，在求n 项和时，除⾸尾两项外其余各项对消掉．（ii ）阿贝尔法（构造幂级数法）∑∑∞=-→∞==010lim n nn x n n x a a ，其中幂级数∑∞=0n n n x a ，可通过逐项微分或积分求得和函数)(x S ．因此)(lim 10x s a x n n -→∞==∑．四、傅⾥叶级数 1. 定义①定义1：设)(x f 是以π2为周期的函数，且在],[ππ-或]2,0[π上可积，则)2,1,0(,cos )(1cos )(120Λ===-n nxdx x f nxdx x f a n πππππ， ),2,1(,sin )(1sin )(120Λ===-n nxdx x f nxdx x f b n πππππ，称为函数)(x f 的傅⽴叶系数．②定义2：以)(x f 的傅⽴叶系数为系数的三⾓级数∑∞=++10)sin cos (21n n nnx b nx aa ．称为函数)(x f 的傅⽴叶级数，表⽰为∑∞=++10)sin cos (21)(n n nnx b nx aa ～x f ．③定义3：设)(x f 是以l 2为周期的函数，且在],[l l -上可积，则以 ? -==ll n n xdx ln x f la )2,1,0(,cos )(1Λπ， ?-==lln n xdx ln x f l b )2,1(,sin )(1Λπ为系数的三⾓级数 ∑∞=++10)sin cos(21n n n x l n b x l n a a ππ称为)(x f 的傅⽴叶级数，表⽰为 ∑∞=++10)sin cos(21)(n n n x ln b x l n a a ～x f ππ． 2.收敛定理（狄⾥赫莱的充分条件）设函数)(x f 在区间],[ππ-上满⾜条件①除有限个第⼀类间断点外都是连续的；②只有有限个极值点，则)(x f 的傅⽴叶级数在],[ππ-上收敛，且有∑∞=++10)sin cos (2n n n nx b nx a a±=-++-++-=πππx f f ；x f x x f x f ；x f x x f )],0()0([21)()],0()0([21)(),(000的第⼀类间断点是的连续点是. 3.函数展开成傅⽒级数①周期函数（i ）以π2为周期的函数)(x f ：∑∞=++10sin cos 2)(n n nnx b nx aa～x f-=πππ)(1x f a n ),2,1,0(cos Λ=n nxdx ，1=),2,1(sin Λ=n nxdx ；注：①若)(x f 为奇函数，则∑∞=1sin )(n n nx b ～x f (正弦级数)，0=n a ),2,1,0(Λ=n 2()sin n b f x nxdx ππ=),2,1(Λ=n ；②若)(x f 为偶函数，则∑∞=+10cos 2)(n nnx aa～x f (余弦级数)，2()cos n a f x nxdx ππ=),2,1,0(Λ=n ，0=n b ),2,1(Λ=n .（ii ）以l 2为周期的函数)(x f ：∑∞=+10cos2)(n n x l n a a～x f π+)sin x ll n x f la )(1),2,1,0(cos Λ=n xdx l n π，?-=l l n x f l b )(1),2,1(sin Λ=n xdx ln π；注：①若)(x f 为奇函数，则∑∞=1sin )(n n x l n b ～x f π(正弦级数)，0=n a ),2,1,0(Λ=n 02()sin l n n b f x xdx l l π=),2,1(Λ=n ；②若)(x f 为偶函数，则∑∞=+10cos2)(n n x ln a a～x f π，(余弦级数) 02()cos l n n a f x xdx l lπ=),2,1,0(Λ=n ，0=n b ),2,1(Λ=n . ②⾮周期函数（i ）奇延拓：A.)(x f 为],0[π上的⾮周期函数，令?<≤---≤≤=0),(0),()(x x f x x f x F ππ，则)(x F 除0=x 外在],[ππ-上为奇函数，∑∞=1()sin n b f x nxdx ππ=),2,1(Λ=n ；B. )(x f 为],0[l 上的⾮周期函数，则令?<≤---≤≤=0),(0),()(x l x f lx x f x F ，则)(x F 除0=x 外在],[ππ-上为奇函数，∑∞=1sin)(n n x l n b ～x f π(正弦级数)，02()sinl n n b f x xdx llπ=?),2,1(Λ=n .（ii ）偶延拓：A.)(x f 为],0[π上的⾮周期函数，令?<≤--≤≤=0),(0),()(x x f x x f x F ππ，则)(x F 除0=x 外在],[ππ-上为偶函数，∑∞=+10cos 2)(n nnx aa～x f (余弦级数)，0()cos n a f x nxdx ππ=),2,1,0(Λ=n .B.)(x f 为],0[l 上的⾮周期函数，令?<≤--≤≤=0),(0),()(x l x f lx x f x F ，则∑∞=+10cos2)(n n x l n a a～x f π(余弦级数)，02()cosl n n a f x xdx llπ=?),2,1,0(Λ=n . 注：解题步骤：①画出图形、验证狄⽒条件．画图易于验证狄⽒条件，易看出奇偶性；②求出傅⽒系数；③写出傅⽒级数，并注明它在何处收敛于)(x f ．。

第12章无穷级数知识点总结

第十二章无穷级数一、常数项级数1．常数项级数的基本性质①1nn u∞=∑收敛⇔部分和数列{}n s 收敛，其中12n n s u u u =+++．② 若1nn u∞=∑收敛，则lim 0n n u →∞=；反之，则不一定成立．③ 若1nn uU ∞==∑，1n n v V ∞==∑，则()1n n n au bv aU bV ∞=+=+∑（a 、b 为任意常数）．④ 收敛级数满足结合律注意：发散级数加括号后有可能得到收敛级数，因此不能由加括号后的级数的收敛性判断加括号前的级数的收敛性．⑤ 增加、删除或改变级数的有限项不会改变级数的收敛性．2．常数项级数的收敛性判定 (1) 一般方法① 级数的收敛性定义 ② 级数的基本性质③ 绝对收敛、条件收敛（P.263）(2) 正项级数审敛法理论基础：正项级数1nn u∞=∑收敛⇔部分和数列{}n s 有界（P.256定理1）① 比较审敛法（通常选择等比级数、调和级数、p-级数作为比较对象） ② 比值审敛法（适用范围：结合课件） ③ 根值审敛法（适用范围：结合课件） ④ 积分审敛法（适用范围：结合课件）无穷级数常数项级数1n n u ∞=∑函数项级数1()n n u x ∞=∑正项级数一般常数项级数（交错级数等）幂级数傅里叶级数其它(3) 交错级数审敛法——莱布尼茨定理（P.262定理7，充分非必要条件）3．几个重要结论等比级数 P.250例1 调和级数 P.253、P.263（交错级数）p-级数P.257例1、交错级数111(1)n p n n∞-=-∑（结合课件）级数收敛的“夹逼准则”，即由n n n a c b ≤≤，1nn a∞=∑、1nn b∞=∑收敛推出1nn c∞=∑收敛（结合课件）二、幂级数1．幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域（P.271定理1的推论、P.272定理2）关键：注意收敛区间与收敛域的区别（P.272）求幂级数收敛域的基本步骤（P.273~274例1、2、3、4）2．幂级数的运算性质（P.274~275四则运算，P.276性质1、2、3连续、逐项可积、逐项可导）=<<+∞时，当0=时，1n v∞=∑当=+∞时，==01<<时，n ∞∑当1>时，1n u∞=∑当1=时，无法判定积分审敛法1n n u ∞=∑收敛⇔1()f x dx +∞⎰收敛，其中()f x 在[1,)+∞上连续、单调减少且()n f n u =3．常用函数的麦克劳林展开式（五条公式P.281）关键：牢记级数的一般项，n从零开始，注意收敛域．4．求幂级数的和函数、函数展开成幂级数的间接法通过线性运算法则、变量变换、恒等变形、逐项求导、逐项积分等方法将所给幂级数化为常用函数的幂级数展开式，利用已知的和函数求解．三、傅里叶级数1．三角函数系的正交性（P.304）2．傅里叶系数、傅里叶级数、狄利克雷充分性条件（P.305，P.306的定理）3．正弦级数、余弦级数（P.310）4．奇延拓、偶延拓（P.312）5．一般周期函数的傅里叶级数（P.316的定理）。

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无穷级数内容小结
1.数项级数：∑∞=1n n u ，称∑==n
i k n u s 1为前n 项部分和。

若存在常数 s,使n n s s ∞
→=lim ，则称级数收敛，s 为该级数的和；否则级数发散。

2.数项级数性质：1)∑∞
=1n n Cu =C ∑∞=1n n u ；2)若级数∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 收敛于σ,s ，则级数∑∞
=±1n n n v u 收敛于
σ±s ；3）级数中去掉，增加或改变有限项，敛散性不变；4）收敛级数任意加括号所得的级数仍收敛，且其和不变。

5）若级数∑∞=1n n u 收敛，必有0lim =∞
→n n u
3．两个重要级数：1）几何级数：∑∞
=-11n n aq = +++++-12n aq aq aq a (0≠a ) 若,1<q 级数收敛，其和为
q
a -1，若,1≥q 级数发散。

2）p 级数：∑∞=11n p n = +++++p p p n 131211（p>0）若p>1,级数收敛；若1≤p ，级数发散；当p=1时，调和级数∑
∞=11n n 发散。

4．正项级数审敛法：对一切自然数n,都有0≥n u ，称级数∑∞
=1
n n u 为正项级数
方法：1）比较审敛法：设∑∞=1
n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数，且n n v u ≤（n=1,2,…）若级数∑∞
=1n n v 收敛，
则级数∑∞=1n n u 收敛；若级数∑∞=1n n u 发散，则∑∞
=1
n n v 发散。

2）比较审敛法的极限形式：若
l v u n n n =∞→lim )0(+∞<<l ，则∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 同时收敛或同时发散。

3）比值审敛法：若ρ=+∞→n n n u u 1lim ，则若p<1,级数收敛；若1>p )lim (1∞=+∞→n
n n u u 包括，级数发散；当p=1时，级数可能收敛，也可能发散。

4根值审敛法：若ρ=∞
→n n n u lim ，则若p<1,级数收敛；若1>p )lim (∞=∞
→n n n u 包括，级数发散；当p=1时，级数可能收敛，也可能发散。

5.交错级数的莱布尼茨审敛法：设∑∞
=--11)1(n n n u 为交错级数，若1)对一切N 有n n u u ≤+1；2）
0lim =∞→n n u ，则级数∑∞
=--11)1(n n n u 收敛，且其和1u s ≤. 6.级数的绝对收敛和条件收敛：若∑∞=1n n u 收敛，则级数∑∞=1n n u 绝对收敛；若∑∞=1n n u 收敛，而∑∞=1
n n u 发
散，则级数∑∞
=1n n u 条件收敛。

7．幂级数n
n n x a ∑∞=0的收敛半径收敛区间：对任意一个幂级数n n n x a ∑∞
=0，都存在一个R,,0+∞≤≤R 使对一切R x <都有级数n n n x a ∑∞
=0绝对收敛，而当R x >时级数发散。

称R 为该幂级数
的收敛半径，（-R,R ）为收敛区间。

当幂级数只在x=0一点收敛时，R=0;当对一切x 幂级数都收敛时+∞=R
8.收敛半径、区间的求法：对幂级数n n n x a ∑∞
=0，若ρ=+∞→n n n a a 1lim
，则当ρ为非零正数时，ρ1=R ;当
0=ρ时，+∞=R ；当+∞=ρ时，R=0
9.幂级数的性质：1）（和函数连续性）设幂级数的收敛半径为R(+∞≤<R 0),其和函数s(x)在(-R,R)
内连续。

若它在x=R(或-R)处收敛，则s(x)在][)),,(R R R
R --（或上连续。

2）（逐项积分）⎰=x
dt t s 0)(dt t a n x n n )(00⎰∑∞==dt t a n
n x n ∑⎰∞=00=101
+∞
=∑+n n n x n a ，且前后收敛半径相同 3）逐项可导：)(x s '=)(0'∑∞=n n n x a =)(0'∑∞
=n
n n x a =10-∞=∑n n n x na ，且前后收敛半径相同 10.函数的幂级数展开式：f(x)在点0x x =附近有任意阶导数，称幂级数
)(0x f +))((00x x x f -'+200)(!
2)(x x x f -''++ n n x x n x f )(!)(00)(- + 为0)(x x f 在点处的泰勒级数，并称!
)(0)(n x f a n n =（ ,2,1,0=n ）为0)(x x f 在点处的泰勒系数，特别地，当00=x 时，称幂级数
)0(f +x f )0('+2!
2)0(x f ''++ n n x n f !)0()( + 为)(x f 的马克劳林级数，并称!
)0()(n f a n n =为)(x f 的马克劳林系数。

11.常用函数幂级数展开式：
x
e =∑∞
=0!n n n x =1+ ++2!
21x x ， ),(+∞-∞∈x ； x sin =120)!
12()1(+∞=∑+-n n n
x n = +-3!31x x ， ),(+∞-∞∈x x cos =∑∞=-02)!2()1(n n n
n x = +-2!211x ， ),(+∞-∞∈x )1ln(x +=∑∞
=--11)1(n n n n x = -+-323
2x x x ， 11≤<-x ； x -11=∑∞=0
n n x = +++21x x ，11<<-x x +11=∑∞=-0
)1(n n n x = -+-21x x ，11<<-x α
)1(x +=n n x n n ∑∞=+--0!)1()1(ααα =1+ +-+2!2)
1(x x ααα，11<<-x
12.求函数幂级数展开式的方法：
1）直接展开法求各阶导数，代入泰勒级数并检查泰勒余项)(0)(∞→→n x R n 的区间。

2）间接展开法利用函数与已知幂级数展开式的函数之间关系及其在收敛区间的性质求得。

13.傅里叶级数：设)(x f 是以π2为周期的周期函数，由公式
⎰-=πππnxdx x f a n cos )(1
（),2,1,0 =n ⎰-=π
ππnxdx x f b n sin )(1
（),2,1 =n 所确定的系数称为)(x f 的傅里叶系数，称由上述傅里叶系数确定的级数
)sin cos (21
0nx b nx a a n n n ++∑∞=为)(x f 的傅里叶级数。

14.傅里叶级数的收敛定理：设)(x f 是以π2为周期的周期函数，若满足
1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；2）在一个周期内至多有有限个极值点，则)(x f 的傅里叶级数在),(+∞-∞收敛，且当)(x f x 是得连续点时，级数收敛于)(x f ；当)(x f x 是得间断点时，级数收敛于[])0()0(2
1++-x f x f 。

15.正弦级数：nx b n n sin 1∑∞= ，其中⎰=
π
π0sin )(1nxdx x f b n （),2,1 =n
余弦级数：nx a a n n cos 210∑∞=+，其中⎰=π
π0cos )(2nxdx x f a n （),2,1,0 =n。