湖南四大名校联考数学试题
湖南省名校联考联合体2025届高三上学期第二次联考 数学试题(含解析)
2025届湖南省名校联考联合体高三上学期第二次联考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合{}2,1,4A =-，{}250B x x x =+<，则A B = （）A．{}1,4B．{}5,2--C．{}2-D．{}12．若复数5i2i+在复平面内对应的点的坐标为（）A．()2,2B．()0,2C．()1,2D．()2,2-3．已知向量a ，b满足23a b += ，a b -=r r ，则()2a a b ⋅+= （）A．3B．3-C．1D．1-4．5(21)x -的展开式中3x 的系数为（）A．80-B．40-C．40D．805．函数()sin cos f x x x =在()0,α（0α>）内没有最小值，且存在()00,x α∈，使得()00f x <，则α的取值范围是（）A．π3π,24⎛⎫ ⎪⎝⎭B．5ππ,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C．3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D．π3π,22⎛⎫ ⎪⎝⎭6．若α为锐角，且sin 29cos sin cos 15αααα=++-，则cos α=（）A．45B．35C．725D．35-7．已知()222log 41log 40a a a a +<<，则（）A．104a <<B．1142a <<C．122a <<D．12a <<8．已知函数()3213f x x x ax =-+，若()f x 的图象上存在两点A ，B ，使得()f x 的图象在A ，B 处的切线互相垂直，且过点()0,P a -只能作1条切线与()f x 的图象相切，则a 的取值范围是（）A．()0,1B．()1,0,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭C．()1,0,13⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D．()1,01,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭二、多选题（本大题共3小题）9．下图为2024年中国大学生使用APP 偏好及目的统计图，根据统计图，下列关于2024年中国大学生使用APP 的结论正确的是（）A．超过14的大学生更爱使用购物类APP B．超过半数的大学生使用APP 是为了学习与生活需要C．使用APP 偏好情况中7个占比数字的极差是23%D．APP 使用目的中6个占比数字的40%分位数是34.3%10．已知函数()f x 满足对任意x ∈R ，都有()()()()221f f x f x f x =+-，且()01f =，则（）A．()12f =B．()26f =C．()()22f x f x ⎡⎤=⎣⎦D．()f x 是偶函数11．已知数列{}n a 满足对任意s ，*t ∈N ，都有s t s t a a a +=，且12a =，j ia a -（1i j n ≤<≤）的所有不同的值按照从小到大构成数列{}mb ，则下列结论正确的是（）A．()2112n n n n a a a a ++=+B．510b =C．{}n a 中任意3项不成等差数列D．{}m b 的前15项的和为402三、填空题（本大题共3小题）12．命题“()2,x ∞∀∈+，<.13．某传媒公司针对“社交电商用户是否存在性别差异”进行调查，共调查了()*40n n ∈N 个人，得到如下列联表：是社交电商用户不是社交电商用户合计男性8n12n20n 女性12n8n20n合计20n 20n 40n已知0.05 3.841x =，若根据0.05α=的独立性检验认为“社交电商用户存在性别差异”，则n 的最小值为.14．已知函数()()2e 0xf x ax x x =-≠有3个极值点1x ，2x ，3x （123x x x <<），则a 的取值范围是；若存在{},1,2,3i j ∈，使得3j ix x >，则i x 的取值范围是.四、解答题（本大题共5小题）15．某中学数学兴趣小组，为测量学校附近正在建造中的某建筑物的高度，在学校操场选择了同一条直线上的A ，B ，C 三点，其中40m AC =，点B 为AC 中点，兴趣小组组长小王在A ，B ，C 三点上方5m 处的1A ，1B ，1C 观察已建建筑物最高点E 的仰角分别为α，β，γ，其中tan 1α=，tan 2β=，tan 3γ=，点D 为点E 在地面上的正投影，点1D 为DE 上与1A ，1B ，1C 位于同一高度的点.(1)求建造中的建筑物已经到达的高度DE ；(2)求111111sin sin A D B B D C ∠∠的值.16．已知函数()fx 是定义域为R 的奇函数，且0x ≥时，()f x x =.(1)求0x <时()f x 的解析式；(2)若方程()f x a =有3个不同的实根1x ，2x ，3x ，求a的取值范围及+17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12n n n n b a a S +=-.(1)求证：数列{}1n n b b +-是等差数列；(2)若10a >，23a a ≠，且{}n b 是等差数列，求证：11123341211n n a a a a a a a a a a ++++<- .18．已知*n∈N ，且1n >，()ln f x x =.(1)求()f x 的最小值；(2)求证：()121e1n n nf x n +-++≥.（参考数据231.9e 2<<）19．若数列（1n k ≤≤）满足{}0,1n a ∈，则称数列为k 项01-数列，由所有k 项01-数列组成集合k M .(1)若是100项01-数列，当且仅当32n k =-（*k ∈N ，34k ≤）时，0n a =，求数列(){}2nna -的所有项的和；(2)从集合k M 中任意取出两个数列，，记1ki i i X a b ==-∑.①求X 的分布列，并证明()2k E X >；②若用某软件产生()2k k ≥项01-数列，记事件A =“第一次产生数字1”，B =“第二次产生数字1”，若()()P B A P B A <，比较()P A B 与()P A B 的大小.参考答案1．【答案】C【详解】由250x x +<，得到5x 0-<<，所以{}50B x x =-<<，又{}2,1,4A =-，所以{}2A B =-I ，故选：C.2．【答案】C 【详解】因为5i 5i(2i)12i 2i (2i)(2i)-==+++-，其对应的坐标为()1,2，故选：C.3．【答案】D【详解】因为向量a ，b 满足23a b +=，a b -= 所以229a b += ，212a b -= ，即22449a a b b +⋅+= ，①22212a a b b -⋅+= ，②所以，-①②得：2363a a b +⋅=-，即221a a b +⋅=- ，所以()2221a a b a a b ⋅+=+⋅=-.故选：D 4．【答案】D【详解】5(21)x -展开式中含3x 的项为()()32235C 2180x x -=，所以3x 的系数为80，故选：D 5．【答案】B【详解】当πα=时，此时()1πsin 2,0,221πsin 2,,π22x x f x x x ⎧⎛⎤∈ ⎪⎥⎪⎝⎦=⎨⎛⎫⎪-∈ ⎪⎪⎝⎭⎩(]π0,,20,π2x x ⎛⎤∈∈ ⎥⎝⎦，1()0,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()π,π,2π,2π2x x ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，1()0,2f x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，不满足存在()00,x α∈，使得()00f x <，故排除A,D当5π4α=时，此时()1πsin 2,0,221πsin 2,,π2215πsin 2,π,24x x f x x x x x ⎧⎛⎤∈ ⎪⎥⎝⎦⎪⎪⎛⎤=-∈⎨ ⎥⎝⎦⎪⎪⎛⎫-∈⎪ ⎪⎝⎭⎩，(]π0,,20,π2x x ⎛⎤∈∈ ⎥⎝⎦，1()0,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(]π,π,2π,2π2x x ⎛⎤∈∈ ⎥⎝⎦，1()0,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦5π5ππ,22π,42x x ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1(),02f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，此时不满足题意，故排除C综上所述B 正确故选：B 6．【答案】B 【详解】因为sin 29cos sin cos 15αααα=++-，所以()()()2sin cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos 1αααααααααα+-+++-=+-+-9sin cos 1cos 5ααα=++=+，所以4sin 5α=，因为α为锐角，故3cos 5α=.故选：B 7．【答案】B【详解】因为对数的定义域，得021a <<或21a >，又因为()22414210a a a +-=->,所以2414a a +>,因为()222log 41log 40a a a a +<<，所以可得021a <<,因为22log 40log 1a a a <=，可得41a >,所以1142a <<.故选：B.8．【答案】C【详解】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，因为()3213f x x x ax =-+，所以()22f x x x a =-+'，由题有221122(2)(2)1x x a x x a -+-+=-有解，又222(1)11x x a x a a -+=-+-≥-，所以10a -<，即1a <，。
湖南省名校2025届高三下学期联考数学试题含解析
湖南省名校2025届高三下学期联考数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则a 的最小值是 （ ）A ．0B ．2-C ．52-D ．3-2．设函数()f x 的定义域为R ，满足(2)2()f x f x +=，且当2(]0,x ∈时，()(2)f x x x =--.若对任意(,]x m ∈-∞，都有40()9f x ≤，则m 的取值范围是（ ）. A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．19,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(,7]-∞D ．23,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦3．《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AA =，当阳马11B ACC A -体积的最大值为43时，堑堵111ABC A B C -的外接球的体积为（ ）A ．4π3B 82C ．32π3D 6424．如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A ．12B ．13C ．23D ．565．M 是抛物线24y x =上一点，N 是圆()()22121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆上的一点，则MN 最小值是（ ） A ．1112- B ．31- C ．221-D ．326．设集合{}12M x x =<≤，{}N x x a =<，若M N M ⋂=，则a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞B ．(],1-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞7． “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有80个点落在阴影部分据此可估计阴影部分的面积是（ ）A ．165B ．325C ．10D ．1858．已知实数,x y 满足约束条件30202x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则3z x y =+的最小值为（ ）A ．-5B ．2C ．7D ．119．集合*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭中含有的元素个数为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．1210．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步． 其中正确的个数为（ ） A ．B ．C ．D ．11．已知函数()12x f x e -=，()ln 12xg x =+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（ ） A ．0 B ．4C ．132e -D ．5+ln 6212．复数432iz i +=-的虚部为（ ） A ．2iB ．2i -C ．2D ．2-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
长沙四大名校招生数学试卷
精心整理数学试卷 1一．填空题：（每题 4 分，此题满分 32 分）1．若 ab>0，则ab ab的值等于 ____________.abab2．已知实数 a ，b 知足 a 2+4b 2-a+4b+ 5=0, 那么 -ab 的平方根是43．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分红12cm 和 21cm 两部分 ,则这个等腰三角形的底边长是 _______________.4．计算： 15 (1 1 )235．已知实数 x 、y 知足 x 2＋ 2 y ＝ 3 ，y 2＋ 2 x ＝ 3 ，且 x ≠ y ，则： x ＋ y的值是yx6．小华有若干个苹果向若干只篮子里散发，若每只篮子分 4 个苹果，还剩 20 个未分完；若每只 篮子里分放 8 个苹果，则还有一只篮子没有放够，那么小华本来共有苹果个 7．若 y ＝— 2x － 3＋ 4x 13 ，则 y 的最大值是8．已知对于 的方程：（22 3) 3( 2)4有独一解，则 m 的取值范围x mm x xm为话二．选择题：（每题 4分，此题满分 32分）电 别9．已知 a ＝355,b ＝ 444,c ＝533, 则有 ()姓名 A ．a ＜b ＜cB ．c ＜ b ＜ aC ．c ＜a ＜bD ． a ＜ c ＜ b姓 10. 假如方程 x 2校 px 1 0 p0 的两根之差是 1，那么 p 的值为（）学（Ａ） 2（Ｂ） 4（Ｃ） 3（Ｄ） 511. 假如不等式组9 x a 0的整数解仅为 1， 2， 3，那么合适这个不等式组的整数8x b 0数对（ a 、b ）共有（）（Ａ） 17 个（Ｂ） 64 个（Ｃ） 72 个（Ｄ） 81 个12. 若正整数 x,y 知足 x 2 y 2 64 , 则这样的正整数对 (x,y) A1B2C3D4SAPB2 13. 如图 ,P 是 □ABCD 内的一点 ( 不在线段 BD 上),, 则SABCD51 13 3(A) (B)(C)10(D)510514. 每面标有 1 至 6 点的三颗骰子堆成一串，如右图所示， 此中可见精心整理a 、b 的有序的个数是 ()SCPD()SABCD七个面，而精心整理十一个面是看不到的 ( 反面、底面之间的面 ) ，试问看不见的面其点数总和是 () (A)37(B)38(C)39 (D)4115. 方程 7x 2(k13) xk 2 k20 (k是实数 ) 有两个实根 、，且0＜＜ ， ＜1 1＜2，那么 k 的取值范围是 ()（A ）3＜k ＜4；（B ）－ 2＜k ＜－ 1； （C ）3＜k ＜4 或－ 2＜k ＜－ 1 （ D ）无解。
湖南省名校联考联合体2023-2024学年高三上学期第三次联考数学试题
为 an ，数列bn满足： bn n2an ，则数列bn中的取值最大的项为（ ）
A．第 3 项
B．第 4 项
C．第 5 项
D．第 6 项
二、多选题 9．下列说法正确的是（ ）
A．若a b 0 ，则 a c b c
B．若a b 0 ，则 a c b c
C．若 a
b
0 ，则 b b c2 a a c2
11．已知平面向量
a,
b,
c
满足：
|
b
|
2
|
a
|
4
，且
a
a
b
，
c
b
3 ，则下列结论
正确的是（ ）
A．与向量 a 共线的单位向量为 1 a 4
B．平面向量
a,
b
的夹角为
π
3
rr C． a b 2 3
D．
c
a
的取值范围是
3,3
3
12．已知函数 f x 及其导函数 f x 的定义域为 R ，若 f 2 8 ，函数 f 2x 1 和
. ．
15．国庆节期间，四位游客自驾游来到张家界，入住某民宿，该民宿老板随机将标有数
字1, 2,3, 4,5, 6, 7 的 7 张门卡中的 4 张分给这四位游客，每人发一张，则至多有一位游客
拿到的门卡标有偶数数字的分配方案一共有
种.（用数字作答）
16．已知正实数
a,b
满足： 3a
27b
log 3
b a
附：
2
a
n(ad bc)2
bc da cb
d
，其中
n
a
b
c
d
.
湖南省名校联考联合体2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题含答案
高二数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一，二册占60%，选择性必修第一册第一章至第二章第4节占40%.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,4A =，{}1,4,5B =，则()UB A ⋂=ð（）A.{}3B.{}4C.{}1,4 D.{}1,5【答案】D 【解析】【分析】利用补集与交集的定义可求解.【详解】因为全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,4A =，所以{}U 1,3,5A =ð，又因为{}1,4,5B =，(){}{}{}U 51,3,51,4,51,A B == ð.故选：D.2.已知复数1i z a =+（0a >），且3z =，则a =（）A.1B.2C.D.【答案】D 【解析】【分析】利用复数的模的定义即可求解.【详解】因为1i z a =+，3z =3=，解得a =±，因为0a >，所以a =故选：D,3.已知1sin 3α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πcos 22α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.9B.19-C.79-D.9-【答案】A 【解析】【分析】根据同角三角函数关系得出余弦值，再结合诱导公式化简后应用二倍角正弦公式计算即可.【详解】因为221sin ,sin cos 13ααα=+=,又因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以cos 3α===,所以π12242cos 2sin22sin cos 22339αααα⎛⎫-===⨯⨯ ⎪⎝⎭.故选：A.4.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，且当0x ≤时，()22x af x =+，则()1f =（）A.2B.4C.2- D.4-【答案】A 【解析】【分析】利用题意结合奇函数的定义判断()f x 是奇函数，再利用奇函数的性质求解即可.【详解】因为定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，所以()f x 是奇函数，且()00f =，故0202a+=，解得2a =-，故当0x ≤时，()222x f x =-+，由奇函数性质得()()11f f =--，而()121222f --=-+=-，故()()112f f =--=，故A 正确.故选：A5.在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1B AC B --的正切值为（）A.2B.3C.3D.【答案】D 【解析】【分析】取AC 的中点M ，连接1,MB MB ，可得1B MB ∠是二面角1B AC B --的平面角，求解即可.【详解】取AC 的中点M ，连接1,MB MB ，由正方体1111ABCD A B C D -，可得11,AB B C AB BC ==，所以1,B M AC BM AC ⊥⊥，所以1B MB ∠是二面角1B AC B --的平面角，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，可得AC =，所以BM =在1Rt B B M 中，11tan B B B MB BM =∠==,所以二面角1B AC B --.故答案为：D.6.已知线段AB 的端点B 的坐标是()3,4，端点A 在圆()()22124x y -+-=上运动，则线段AB 的中点P的轨迹方程为（）A.()()22232x y -+-= B.()()22231x y -+-=C.()()22341x y -+-= D.()()22552x y -+-=【答案】B 【解析】【分析】设出动点P 和动点A 的坐标，找到动点P 和动点A 坐标的关系，再利用相关点法求解轨迹方程即可.【详解】设(,)P x y ，11(,)A x y ，由中点坐标公式得1134,22x y x y ++==，所以1123,24x x y y =-=-，故(23,2)A x y --4，因为A 在圆()()22124x y -+-=上运动，所以()()222312424x y --+--=，化简得()()22231x y -+-=，故B 正确.故选：B7.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵111ABC A B C -中，π2ABC ∠=，1AB BC AA ==，,,D E F 分别是所在棱的中点，则下列3个直观图中满足BF DE ⊥的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明逐个判断即可.【详解】在从左往右第一个图中，因为π2ABC ∠=，所以AB BC ⊥，因为侧棱垂直于底面，所以1AA ⊥面ABC ，如图，以B 为原点建立空间直角坐标系，设12AB BC AA ===，因为,,D E F 分别是所在棱的中点，所以(0,0,0),(0,1,0),(1,0,2),(1,1,0)B E D F所以(1,1,0)BF = ，(1,1,2)DE =-- ，故110BF DE ⋅=-+=，即BF DE ⊥得证，在从左往右第二个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，此时(0,0,0),(1,1,0),(1,0,2),(0,1,1)B E D F ，所以(0,1,1)BF = ，(0,1,2)DE =-，故121BF DE ⋅=-=-，所以,BF DE 不垂直，在从左往右第三个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，此时(0,0,0),(1,1,0),(1,0,0),(1,1,2)B E D F ，故(1,1,2)BF = ，(0,1,0)DE = ，即1BF DE ⋅=，所以,BF DE 不垂直，则下列3个直观图中满足BF DE ⊥的有1个，故B 正确.故选：B8.已知过点()1,1P 的直线l 与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，O 为坐标原点，则22OA OB+的最小值为（）A.12B.8C.6D.4【答案】B 【解析】【分析】根据题意可知直线l 的斜率存在设为(0)k k <，分别解出,A B 两点的坐标，表示出22OA OB +的表达式由基本不等式即可求得最小值.【详解】由题意知直线l 的斜率存在．设直线的斜率为(0)k k <，直线l 的方程为1(x 1)y k -=-，则1(1,0),(0,1)A B k k--，所以222222121(1)(1)112OA OB k k kk k k+=-+-=-++-+22212(2)28k k k k =+--++≥++=，当且仅当22212,k k k k-=-=，即1k =-时，取等号.所以22OA OB +的最小值为8.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分．9.已知函数()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的图象关于直线π85x =对称C.()f x 的图象关于点π,18⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称D.()f x 的值域为[]1,1-【答案】ABD 【解析】【分析】求得最小正周期判断A ；求得对称轴判断B ；求得对称中心判断C ；求得值域判断D.【详解】因为()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以的最小正周期为2ππ2T ==，故A 正确；由ππ2π,Z 42x k k +=+∈，可得ππ,Z 28k x k =+∈，所以()f x 图象的对称轴为ππ,Z 28k x k =+∈，当1k =时，图象的关于π85x =对称，故B 正确；由Z 2ππ,4k x k =∈+，可得ππ,Z 28k x k =-∈，所以()f x 图象的对称中心为ππ(,0),Z 28k k -∈，当0k =时，图象的关于点()π8,0-对称，故C 不正确；由()πsin 2[1,1]4f x x ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，故()f x 的值域为[]1,1-，故D 正确.故选：ABD.10.若数据1x ，2x ，3x 和数据4x ，5x ，6x 的平均数、方差、极差均相等，则（）A.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的平均数相等B.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的方差相等C.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的极差相等D.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的中位数相等【答案】ABC 【解析】【分析】运用平均数，方差，极差，中位数的计算方法和公式计算，通过已知两组数据的平均数、方差、极差均相等这个条件，来分析这两组数据组合后的相关统计量与原数据的关系.【详解】设数据123,,x x x 的平均数为x ，数据456,,x x x 的平均数也为x .那么数据123456,,,,,x x x x x x 的平均数为123456()()3366x x x x x x x xx ++++++==，所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的平均数相等，A 选项正确.设数据123,,x x x 的方差为2s ，数据456,,x x x 的方差也为2s .对于数据123456,,,,,x x x x x x ，其方差计算为2222221234561[()((()()()]6x x x x x x x x x x x x -+-+-+-+-+-2222221234561[3(()(())3(((())]6x x x x x x x x x x x x =⨯-+-+-+⨯-+-+-2221(33)6s s s =+=,所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的方差相等，B 选项正确.设数据123,,x x x 的极差为R ，数据456,,x x x 的极差也为R .对于数据123456,,,,,x x x x x x ，其极差是这六个数中的最大值减去最小值，由于前面两组数据的极差相等，所以组合后数据的极差依然是R ，所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的极差相等，C 选项正确.设数据123,,x x x 按从小到大排列为123x x x ≤≤，中位数为2x .设数据456,,x x x 按从小到大排列为456x x x ≤≤，中位数为5x .对于数据123456,,,,,x x x x x x 按从小到大排列后，中位数不一定是2x ，所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的中位数不一定相等，D 选项错误.故选：ABC11.已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为6的菱形，1AA ⊥平面ABCD ，13AA =，π3DAB ∠=，点P 满足1AP AB AD t AA λμ=++，其中λ，μ，[]0,1t ∈，则（）A.当P 为底面1111D C B A 的中心时，53t λμ++=B.当1t λμ++=时，AP 长度的最小值为2C.当1t λμ++=时，AP 长度的最大值为6D.当221t λμλμ++==时，1A P为定值【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，利用空间向量进行逐项进行分析求解判断.【详解】对于A ，当P 为底面1111D C B A 的中心时，由1AP AB AD t AA λμ=++ ，则11,,122t λμ===故2t λμ++=，故A 错误；对于B ，当1t λμ++=时，()22222222112·AP AB AD t AA AB AD t AA AB ADλμλμλμ=++=+++()()222223693636936t t λμλμλμλμ=+++=++-22245723636457236362t t t t λμλμ+⎛⎫=-+-≥-+- ⎪⎝⎭223273654273644t t t ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭当且仅当13,84t λμ===，取最小值为2，故B 正确;对于C ，当1t λμ++=时，1AP AB AD t AA λμ=++，则点P 在1A BD 及内部，而AP是以A 为球心，以AP 为半径的球面被平面1A BD 所截图形在四棱柱1111ABCD A B C D -及内的部分，当=1=0t λμ=，时，=6AP ，当=0=10t λμ=，，时，=6AP ，可得1A P最大值为6，故C 正确；对于D ，221t λμλμ++==，()22223693636945AP t λμλμ=+++=+= ，而11=A P A A AP +，所以()22222111111=+2·=+2A P A A AP A A AP A A AP A A AB AD t AA λμ++⋅++ 22211=29452936A A AP t A A +-=+-⨯= ，则16A P = 为定值，故D 正确.故答案选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量()1,2a =- ，(),4b m =-．若()a ab ⊥+ ，则m =________．【答案】3-【解析】【分析】利用非零向量垂直时数量积为0，计算即可.【详解】()1,2a b m +=--．因为()a ab ⊥+ ，所以()1220m ---⨯=，解得3m =-．故答案为：3-.13.已知在正四棱台1111ABCD A B C D -中，()0,4,0AB = ，()13,1,1CB =- ，()112,0,0A D =-，则异面直线1DB 与11A D 所成角的余弦值为__________.【答案】19【解析】【分析】利用向量的线性运算求得1DB，根据向量的夹角公式可求异面直线1DB 与11A D 所成角的余弦值.【详解】111(0,4,0)(3,1,1)(3,3,1)DB DC CB AB CB =+=+=+-=，所以111111111·cos,19·DB A DDB A DDB A D==-，所以异面直线1DB与11A D所成角的余弦值为19.故答案为：1914.已知函数()21xg x=-，若函数()()()()()2121f xg x a g x a=+--+⎡⎤⎣⎦有三个零点，则a的取值范围为__________.【答案】()2,1--【解析】【分析】令()0f x=，可得()2g x=或()1g x a=--，函数有三个零点，则需方程()1g x a=--有两个解，则=与1y a=--的图象有两个交点，数形结合可求解.【详解】令()0f x=，可得()()()()21210g x a g x a⎡⎤+--+=⎣⎦，所以()()()[2][1]0g x g x a-++=，所以()2g x=或()1g x a=--，由()2g x=，又()21xg x=-，可得212x-=，解得21x=-或23x=，方程21x=-无解，方程23x=有一解，故()2g x=有一解，要使函数()()()()()2121f xg x a g x a⎡⎤=+--+⎣⎦有三个零点，则()1g x a=--有两解，即=与1y a=--的图象有两个交点，作出函数=的图象的示图如下：由图象可得011a<--<，解得21a-<<-.所以a的取值范围为(2,1)--.故答案为：(2,1)--.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos c b a B +=．（1）若π2A =，求B ；（2）若a =1b =，求ABC V 的面积.【答案】（1）π4（2）12【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合内角和定理与两角和与差的正弦公式化简等式得sin sin()B A B =-，代入π2A =求解可得；（2）由sin sin()B A B =-根据角的范围得2A B =，由正弦定理结合二倍角公式可得cos 2B =，从而得π4B =，再利用余弦定理求边c ，由面积公式可求结果.【小问1详解】因为2cos c b a B +=，所以由正弦定理得，sin sin 2sin cos C B A B +=，又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+代入上式得，所以()sin sin cos cos sin sin =-=-B A B A B A B ，由π2A =，则B 为锐角，且c sin s os n π2i B B B ⎛⎫-= ⎭=⎪⎝，所以π4B =.【小问2详解】由（1）知，()sin sin B A B =-，因为a =1b =，所以A B >，则0πA B <-<，π02B <<，故B A B =-，或πB A B A +-==（舍去）.所以2A B =，又a =1b =，由正弦定理得sin sin 22cos sin sin A B aB B B b====，则cos 2B =，则π4B =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，则2122c =+-，化简得2210c c -+=，解得1c =，所以111sin 2222ABC S ac B === .故ABC V 的面积为12.16.甲、乙、丙三人打台球，约定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环.设甲、乙、丙三人水平相当，每场比赛双方获胜的概率都为12.（1）求甲连续打四局比赛的概率；（2）求在前四局中甲轮空两局的概率；（3）求第四局甲轮空的概率.【答案】（1）18（2）14（3）38【解析】【分析】（1）由题意知甲前三局都要打胜，计算可得甲连续打四局比赛的概率；（2）甲轮空两局的情况为，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，计算即可；（3）分析可得甲第四轮空有两种情况：第1种情况，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，第2种情况，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空，计算即可.【小问1详解】若甲连续打四局，根据比赛规则可知甲前三局都要打胜，所以甲连续打四局比赛的概率311(28=；【小问2详解】在前四局中甲轮空两局的情况为，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，故在前四局中甲轮空两局的概率111(1(1)224-⨯-=；【小问3详解】甲第四轮空有两种情况：第1种情况，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，第2种情况，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空，第1种情况的概率111(1)(1224-⨯-=；第2种情况的概率1111(12228⨯⨯-=；由互斥事件的概率加法公式可得第四局甲轮空的概率为113488+=.17.如图，在几何体PABCD 中，PA ⊥平面ABC ，//PA DC ，AB AC ⊥，2PA AC AB DC ===，E ，F 分别为棱PB ，BC 的中点.（1）证明：//EF 平面PAC ．（2）证明：AB EF ⊥.（3）求直线EF 与平面PBD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）6【解析】【分析】（1）构造线线平行，证明线面平行.（2）先证AB ⊥平面PACD ，得到AB PC ⊥，结合（1）中的结论，可得AB EF ⊥.（3）问题转化为直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值.设1CD =，表示CP 的长，利用体积法求C 到平面PBD 的距离，则问题可解.【小问1详解】如图，连接CP .在BCP 中，E ，F 分别为棱PB ，BC 的中点，所以//EF CP ,，又EF ⊄平面PAC ，CP ⊂平面PAC .所以//EF 平面PAC .【小问2详解】因为PA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以PA AB ⊥，又AB AC ⊥,,PA AC ⊂平面PAC ，且PA AC A = ，所以AB ⊥平面PAC .因为CP ⊂平面PAC ，所以AB CP ⊥.又因为//EF CP ，所以AB EF ⊥.【小问3详解】因为//EF CP ，所以直线EF 与平面PBD 所成角与直线PC 与平面PBD 所成角相等，设为θ.不妨设1CD =，则=PC 设C 到平面PBD 的距离为h .则13C PBD PBD V S h -=⋅ .又11212333C PBDB PCD PCD V V S AB --==⋅=⨯⨯= .在PBD △中，PB =BD PD ==，所以12PBD S =⨯= .所以33C PBD PBD V h S -=== .所以63sin θ6h PC ===.故直线EF 与平面PBD.18.设A 是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a ，b ，c A Î，使得a b b c -=-，则称A 为“等差集”．（1）若集合{}1,3,5,9A =，B A ⊆，且B 是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B ；（2）若集合{}21,,1A m m =-是“等差集”，求m 的值；（3）已知正整数3n ≥，证明：{}23,,,,nx x x x ⋅⋅⋅不是“等差集”．【答案】（1）答案见解析（2）2m =（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据等差集的定义结合子集的定义求解即可；（2）根据等差集定义应用a b b c -=-，即2a c b +=逐个计算判断即可；（3）应用反证法证明集合不是等差集.【小问1详解】因为集合{}1,3,5,9A =，B A ⊆，存在3个不同的元素a ，b ，c B ∈，使得a b b c -=-，则{}1,3,5,9B =或{}1,3,5B =或{}1,5,9B =.【小问2详解】因为集合{}21,,1A m m =-是“等差集”，所以221m m =+-或2211m m =+-或()2221m m +=-,计算可得1132m -±=或0m =或2m =或1334m =，又因为m 正整数,所以2m =.【小问3详解】假设{}22,,,,nx x x x⋅⋅⋅是“等差集”，则存在{},,1,2,3,,,m n q n m n q ∈<< ,2n m q x x x =+成立，化简可得2m n q n x x --=+,0m n x ->因为*N ,1x q n ∈-≥,所以21q n x x ->≥≥,所以=1与{}22,,,,nx x x x ⋅⋅⋅集合的互异性矛盾，所以{}22,,,,nx x x x⋅⋅⋅不是“等差集”．【点睛】方法点睛：解题方法是定义的理解，应用反证法设集合是等差集，再化简计算得出矛盾即可证明.19.过点()00,A x y 作斜率分别为1k ，2k 的直线1l ，2l ，若()120k k μμ=≠，则称直线1l ，2l 是()A K μ定积直线或()()00,x y K μ定积直线．（1）已知直线a ：()0y kx k =≠，直线b ：13y x k=-，试问是否存在点A ，使得直线a ，b 是()A K μ定积直线？请说明理由．（2）在OPM 中，O 为坐标原点，点P 与点M 均在第一象限，且点()00,M x y 在二次函数23y x =-的图象上．若直线OP 与直线OM 是()()0,01K 定积直线，直线OP 与直线PM 是()2P K -定积直线，直线OM与直线PM 是()00,202x y K x ⎛⎫- ⎪⎝⎭定积直线，求点P 的坐标．（3）已知直线m 与n 是()()2,44K --定积直线，设点()0,0O 到直线m ，n 的距离分别为1d ，2d ，求12d d 的取值范围．【答案】（1）存在，理由见解析（2）()1,2（3）[)0,8【解析】【分析】（1）由定积直线的定义运算可求结论；（2）设直线OM 的斜率为()0λλ≠，则直线OP 的斜率为1λ，利用定积直线的定义可得01x λ=或1-，进而2003x x λ-=，计算即可；（3）设直线():42m y t x -=+，直线()4:42n y x t-=-+，其中0t ≠，计算得12d d =，利用基本不等式可求12d d 的取值范围.【小问1详解】存在点()0,0A ，使得a ，b 是()A K μ定积直线，理由如下：由题意可得1133k k ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，由()013y kx k y x k ⎧=≠⎪⎨=-⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，故存在点()0,0A ，使得a ，b 是()A K μ定积直线，且13μ=-．【小问2详解】设直线OM 的斜率为()0λλ≠，则直线OP 的斜率为1λ，直线PM 的斜率为2λ-．依题意得()2022x λλ⋅-=-，得2201x λ=，即01x λ=或1-．直线OM 的方程为y x λ=，因为点()200,3M x x -在直线OM 上，所以2003x x λ-=．因为点M 在第一象限，所以20031x x λ-==，解得02x =或2-（舍去），12λ=，()2,1M ，所以直线OP 的方程为12y x x λ==，直线PM 的方程为()2213y x x λ=--+=-+，由23y x y x =⎧⎨=-+⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，即点P 的坐标为()1,2．【小问3详解】设直线():42m y t x -=+，直线()4:42n y xt-=-+，其中0t ≠，则12d d ===2216171725t t ++≥=，当且仅当2216t t =，即24t =时，等号成立，所以08≤<，即1208d d ≤<，故12d d 的取值范围为[)0,8．【点睛】思路点睛：理解新定义题型的含义，利用定积直线的定义进行计算求解，考查了运算求解能力，以及基本不等式的应用.。
湖南长沙四大高校初升高数学测试卷
湖南长沙四大高校初升高数学测试卷一、选择题（共10题，每题2分，共20分）1. 若函数 f(x) = x^2 - 3x + 2，则 f(1) 的值为（）。
- A. -2- B. 0- C. 2- D. 42. 已知等差数列 {an} 的通项公式为 an = 2n - 1，求该数列的第10 项的值为（）。
- A. 10- B. 12- C. 18- D. 193. 在等差数列 {bn} 中，已知 b1 = 2，d = 3，若 b5 = 14，则该数列的公差 d 为（）。
- A. 2- B. 3- C. 4- D. 54. 若函数 g(x) = 3x^2 - 4x + 1，则 g(2) 的值为（）。
- A. 8- B. 9- C. 10- D. 115. 若函数 h(x) = |x| + 2，则 h(-3) 的值为（）。
- A. 1- B. 2- C. 3- D. 46. 在等比数列 {cn} 中，已知 c1 = 2，q = 3，若 c4 = 162，则该数列的公比 q 为（）。
- A. 2- B. 3- C. 4- D. 57. 若函数 f(x) = 2x^2 + 3x + 1，则 f(-1) 的值为（）。
- A. -8- B. -3- C. 0- D. 28. 已知函数 g(x) = -x^2 + 4x - 3，则 g(2) 的值为（）。
- A. -5- B. -3- C. 1- D. 59. 若函数 h(x) = x^3 + 2x^2 - x + 1，则 h(0) 的值为（）。
- A. -1- B. 0- C. 1- D. 210. 若函数 f(x) = x^2 + 4x + 4，则 f(-2) 的值为（）。
- A. 0- B. 2- C. 4- D. 8二、填空题（共5题，每题4分，共20分）1. 若 (3x^2 - 5x + 2) ÷ (x - 2) = 3x - 1，则 x = __。
湖南省名校联考联合体2025届高三上学期第一次联考(暨入学检测)数学试题含答案
名校联考联合体2025届高三第一次联考（暨入学检测）数学（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}6,4,3,6,{3}A B x x x =--=-<∣，则A B = （）A.{}3,6 B.{}4,3- C.{}6- D.{}6【答案】A 【解析】【分析】利用不等式的解法化简集合B ，再根据交集的定义求解即可.【详解】因为{}36,4,3,6,{3}2A B xx x x x ⎧⎫=--=-<=>⎨⎩⎭∣，所以{}3,6A B ⋂=.故选：A.2.已知复数z 在复平面内对应的点为()2,1-，则2z =（）A.2B.3C.4D.5【答案】D 【解析】【分析】利用复数的几何意义，复数的乘法运算及模的求法即得.【详解】复数z 在复平面内对应的点为()2,1-，则222i,(2i)34i 5z z =-=-=-=.故选：D.3.已知等差数列中，23a =，前5项和510S =，则数列的公差为（）A.−2B.52-C.1-D.4-【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的性质可求得32a =，进而根据等差数列定义求公差d .【详解】设等差数列的公差为53,510d S a == ，322a a d ∴=+=，又23,1a d =∴=- .故选C.4.马德堡半球实验是17世纪50年代由马德堡市长进行的一项实验，其主要目的是证明大气压的存在.实验使用两个直径为14英寸的半球壳，将两个半球内的空气抽掉，球不容易被分开，以证明大气压的存在.若把直径为14英寸的一个实心球分割为两个半球，则这两个半球的表面积之和为（）A.1176π平方英寸B.294π平方英寸C.245π平方英寸D.196π平方英寸【答案】B 【解析】【分析】两个半球的表面积之和为球的表面积和两个以球半径为半径的圆面积.【详解】由题意可知球的半径7r =，则两个半球的表面积之和为224π2π294πr r +=平方英寸.故选：B.5.已知向量()()1,2,1,1a b ==-，若(),c x y = 满足()c a + ∥b ，则x y +=（）A.-3B.2C.-5D.4【答案】A 【解析】【分析】根据向量运算，即可求得正确答案.【详解】设向量(),c x y = ，则()1,2c a x y +=++，因为()c a +∥b ，所以12x y +=--，故3x y +=-.故选：A .6.已知函数2()32ln (1)3f x x x a x =-+-+在区间(1,2)上有最小值，则实数a 的取值范围是（）A.3a >-B.49103a -<<-C.4933a -<<- D.103a -<<-【答案】D 【解析】【分析】求出函数()f x 的导数()f x '，再求出()f x '在区间(1,2)上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正的a 值范围.【详解】函数2()32ln (1)3f x x x a x =-+-+，求导得226(1)2()61x a x f x x a x x+--'=-+-=，由2()32ln (1)3f x x x a x =-+-+在区间(1,2)上有最小值，得()f x '在区间(1,2)上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，令()()()2612,020h x x a x h =+--=-<，则()h x 在区间(1,2)上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，因此2Δ(1)4620(1)6120(2)642(1)20a h a h a ⎧=-+⨯⨯>⎪=+--<⎨⎪=⨯+-->⎩，解得103a -<<-，所以实数a 的取值范围是103a -<<-.故选：D7.已知1F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左焦点，Q 为双曲线C左支上一点，11π,23OF Q QF ∠==，则双曲线C 的离心率为（）A.3B.2C.D.13+【答案】D 【解析】【分析】根据双曲线的性质及余弦定理计算可得.【详解】设2F 为双曲线的右焦点，由余弦定理可得2222222121121π111132cos42234224QF F F QF F F QF c c c c c =+-⋅=+-⨯⨯⨯=，所以22QF c =，由双曲线的定义可得212QF QF a -=，即1222c c a -=，故双曲线C 的离心率132c e a +===.故选：D.8.若5π,,2π,2αβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin 2cos sin cos 2cos cos 02222βγβγβγβγαα+-+--=-=，则()sin αβ-=（）A.12±B.12C.32±D.2-【答案】D 【解析】【分析】观察可知22βγβγβ+-=+，22γβγβγ+-=+，因此运用角的变换及两角和的正弦、余弦公式即可化简题目所给条件，变形后再平方，两式相加即可得到()1cos 2αβ-=，再根据同角三角函数的基本关系求解即可，要注意角的范围.【详解】因为22βγβγβ+-=+，22γβγβγ+-=+所以sin sin sin cos cos sin 222222βγβγβγβγβγβγβ+-+-+-⎛⎫=+=+⎪⎝⎭①，sin sin sin cos cos sin 222222γβγβγβγβγβγβγ+-+-+-⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，即sin sincos cos sin 2222γββγγββγγ+-+-=-②，①-②得2cos sin sin sin 22βγβγβγ+-=-，所以sin 2cos sin sin sin sin 022βγβγααβγ+--=-+=，同理cos cos cos cos sin sin 222222βγβγβγβγβγβγβ+-+-+-⎛⎫=+=-⎪⎝⎭③，cos cos cos cos sin sin 222222γβγβγβγβγβγβγ+-+-+-⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，即cos cos cos cos sin sin 222222γββγγββγγββγγ+-+-+-⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭④，③+④得2coscos cos cos 22γββγβγ+-=+所以cos 2cos cos cos cos cos 022βγβγααβγ+--=--=，所以sin sin sin ,cos cos cos αβγαβγ-=--=，两式平方相加得()22cos 1αβ--=，所以()1cos 2αβ-=，因为sin sin sin 0αβγ-=-<，且sin y x =在5π2π,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以5ππ2π,022αβαβ<<<-<-<，所以()sin 2αβ-=-.故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.中国作为全球最大的产茶国和茶叶消势市场，茶叶行业长期保持平稳问好发展的趋势，下表为2014年—2023年中国茶叶产量（单位：万吨），根据该表，则（）年份2014201520162017201820192020202120222023产量204.9227.7231.3246.0261.0277.7293.2318.0335.0355.0A.2015年中国茶叶产量年增长率大于10%B.2014年—2023年中国茶叶产量的极差是150.1C.2014年—2023年中国茶叶产量的60%分位数是277.7D.2019年—2023年中国茶叶产量的平均数大于310【答案】ABD 【解析】【分析】对于AB ，计算出增长率或极差后可求判断AB 的正误，对于C ，计算出60%分位数后可判断其正误，对于D ，计算出平均数后可判断其正误.【详解】对于A ，2015年中国茶叶产量年增长率为227.7204.922.811.1%10%204.9204.9-=≈>，故A 正确；对于B ，2014年—2023年中国茶叶产量的极差是355.0204.9150.1-=，B 正确；对于C ,1060%6⨯=，所以60%分位数是2019年与2020年茶叶产量的平均数，即277.7293.2285.452+=，C 错误；对于D ，2019年-2023年中国茶叶产量的平均数为：277.7293.2318.0335.0355.0315.783105++++=>，D 正确.故选：ABD.10.已知2m n >，且222log ,log 1,2log 2m x m y n z n ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭，则（）A.若x y =，则12n >B.若x y =，则m n +C.若x y z ==，则422410m m m +-+=D.若x y z ==，则23204n n -+>【答案】ACD 【解析】【分析】选项A ，根据条件得到()22log log 2m n =，利用2log y x =的性质，即可求解；选项B ，根据条件，利用基本不等式，即可求解；选项C ，根据条件，得到2log 02m n ⎛⎫+>⎪⎝⎭，从而有22221log 2log log 222m m m n m ⎛⎫⎛⎫-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得到21122m m m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可求解；选项D ，利用y z =，得22221322424m m n n n n ⎛⎫=+=++<+ ⎪⎝⎭，即可求解.【详解】对于选项A ，由x y =得，()222log log 1log 2m n n =+=，又2m n <，可得21m n ⋅=，所以12n m =，又01m <<，所以12n >，故选项A 正确；对于选项B ，易知，0,0m n >>，所以m n +≥=2m n ==时取等号，所以选项B 错误；对于选项C ，由选项A 知1122n m =>，所以11222m m n m +=+>，得到2log 02m n ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以22221log 2log log 222m m m n m ⎛⎫⎛⎫-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以21122m m m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，整理得422410m m m +-+=，所以选项C 正确；对于选项D ，由y z =得到，22221322424m m n n n n⎛⎫=+=++<+ ⎪⎝⎭，得23204n n -+>，所以选项D 正确.故选：ACD.11.已知首项为1的正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且130n n S S +-=，设数列{}n n S a -的前n 项和为n T ，则（）A.{}n S 为等比数列B.19n n a -=C.1819n n T -+= D.()182n n a S n -= 【答案】ACD 【解析】【分析】利用等差等比数列的性质，即可求得答案.【详解】由题意可得130n n S S +-=，即0===，0==，则1n n S S +=，则10n a +=，这与0n a >矛盾，所以不成立；=，则1119,1n n S S S a +===，所以数列{}n S 是首项为1，公比为9的等比数列，即19n n S -=，故A 正确；由19n n S S +=，可得()192n n S S n -=≥，两式相减得，19n n a a +=，且1n =时，219S S =，即1219a a a +=，得28a =，那么2189a a =≠，故21,1,89,2,n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩故B 错误；当1n =时，110S a -=，当2n ≥时，()()()()()11221212n n n n n T S a S a S a S S S a a a =-+-++-=+++-+++ ()118191991119198n n n --⎡⎤⨯---⎢⎥=-+=--⎢⎥⎣⎦，当1n =时，10T =符合上式，故1918n n T --=，即1819n n T -+=，故C 正确；易得2n ≥时，18n n a S -=，故D 正确.故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.7()x y -的展开式中52x y 的系数为__________.【答案】21【解析】【分析】根据二项式7()x y -的展开式的通项717C (1)r r rr r T x y -+=-，求解问题.【详解】二项式7()x y -的展开式的通项77177C ()C (1),0,1,2,,7rrr rr r r r T xy x y r --+=⋅⋅-=-= ，所以7()x y -的展开式中52x y 项的系数为227C (1)21⨯-=.故答案为：21.13.设抛物线212y x =的焦点为F ，经过点()4,1P 的直线l 与抛物线相交于,A B 两点，且点P 恰为AB 的中点，则AF BF +=__________.【答案】14【解析】【分析】设1,1,2,2，根据抛物线的定义，得123,3AF x BF x =+=+，又根据中点坐标公式，可得128x x +=，代入即可得到()126AF BF x x +=++的值．【详解】由题意可得()3,0F ，设1,1,2,2，抛物线的准线：3x =-，过,A B 分别作准线的垂线，垂足分别为,C D ，根据抛物线的定义，得123,3AF AC x BF BD x ==+==+，故()126AF BF x x +=++，因为AB 的中点为()4,1P ，所以()12142x x +=，可得128x x +=，所以()12614AF BF x x +=++=.故答案为：14.14.在三棱锥P ABC -中，2,AB BC CA PA PB ====，二面角P AB C --的大小为π3，则222PA PB PC ++最小时，三棱锥P ABC -的体积为__________.【答案】12【解析】【分析】本题主要利用余弦定理、二面角以及直角三角形的性质，即可求得一元二次函数的最小值，进而求得三棱锥P ABC -的体积.【详解】如图，取AB 的中点D ，连接,PD CD ，设PD a =，则2221PA PB a ==+，CD =PDC ∠是二面角P AB C --的平面角，所以π3PDC ∠=，在PDC △中，由余弦定理可得223PC a =+-，所以2222231919353644PA PB PC a a ⎛++=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当36a =时取等号，此时三棱锥P ABC -的体积1π1sin 3336212ABC V PD S =⋅⋅=⨯⨯=.故答案为：12.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，()()()::5:7:6a b b c c a +++=.（1）求cos A ；（2）若点D 为AB 的中点，且CD =ABC V 的面积.【答案】（1）78（2）【解析】【分析】（1）根据比例，设出5(0)a b t t +=>，联立解得,,a b c 关于t 的表达式，再利用余弦定理求值即可；（2）结合已知条件与（1）中结论，在ACD 中利用余弦定理可得t 的值以及sin A 的值，进而可知ABC V 中边,b c 的值，再由三角形面积公式求值即可.【小问1详解】因为()()()::5:7:6a b b c c a +++=，设5(0)a b t t +=>，则7b c t +=，6c a t +=，联立解得2a t =，3b t =，4c t =，所以由余弦定理得222222291647cos 2248b c a t t t A bc t +-+-===.【小问2详解】在ACD 中，7cos 8A =，CD =，3AC b t ==，122AD c t ==，由余弦定理得22710942328t t t t =+-⨯⋅⋅，解得2t =（负值舍去），所以36b t ==，48c t ==，因为0πA <<，所以sin 8A ==，所以11sin 68228ABC S bc A ==⨯⨯⨯= 16.某机构为了了解某地区中学生的性别和喜爱游泳是否有关，随机抽取了100名中学生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢游泳不喜欢游泳合计男生25女生35合计已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为35.（1）请将上述列联表补充完整；（2）依据小概率值0.001α=的独立性检验，能否认为喜欢游泳与性别有关联；（3）将样本频率视为总体概率，在该地区的所有中学生中随机抽取3人，计抽取的3人中喜欢游泳的人数为X ，求随机变量X 的分布列和期望．附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.()2P k χ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.841 6.63510.828【答案】（1）列联表见解析（2）认为是否喜欢游泳与性别无关（3）分布列见解析，95【解析】【分析】（1）根据题中信息即可统计数据求解.（2）根据独立性检验计算卡方值即可求解.（3）根据二项分布求概率即可求解分布列和期望.【小问1详解】喜欢游泳不喜欢游泳合计男生252550女生351550合计6040100【小问2详解】零假设0H :假设是否喜欢游泳与性别无关，()2100251525356040505025<10.8286χ⨯-⨯=⨯=⨯⨯，依据小概率值0.001α=的独立性检验，没有充分证据推断0H 不成立，因此可以认为0H 成立，即认为是否喜欢游泳与性别无关.【小问3详解】X 的可能取值为0，1，2，3，3(3,).5X B 3213283236(0),(1)C 512555125P X P X ⎛⎫⎛⎫=====⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23233254327(2)C ,(3)551255125P X P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.X ∴的分布列为X 0123P 812536125541252712539()355E X =⨯=.17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为，且C 的离心率为2.（1）求C 的标准方程；（2）若()30A -,，直线:1(0)l x ty t =+>交椭圆C 于,E F 两点，且AEF △，求t 的值.【答案】（1）22142x y +=（2）t=【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质直接求解；（2）结合韦达定理与题目条件，结合三角形面积公式即可得解.【小问1详解】由题意得：22cc ea===，即2c a==，则2222b a c=-=，所以C的标准方程为：22142x y+=.【小问2详解】由题意设()()1122,,,E x yF x y，联立221142x tyx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x得：()222230t y ty++-=，则()222Δ412216240t t t=++=+>，则12122223,22ty y y yt t+=-=-++，可得1222y yt-=+，设直线l与x轴的交点为()1,0D，且()3,0A-，则()134AD=--=，故1221246222AEFS AD y yt=⋅-=⨯=+t=.18.已知正四棱柱1111ABCD A B C D-底面ABCD为边长为3的正方形，16AA=，点,,E F G分别在线段11111,,A D AAB C上，且1122A F A E==，132C G=，点H在线段1BB上且EF GH∥.（1）求锐二面角1A FH E --的余弦值；（2）求平面EFHG 将四棱柱分割成两个多面体的体积比.【答案】（1）34623（2）111119719D EFAD C GHBCA EFB GHV V --=【解析】【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，利用EF GH ∥可求得点()3,3,3H ，再求出平面11A B HF 与平面EFHG 的法向量，利用向量夹角的坐标表示求出二面角1A FH E --的余弦值；（2）利用1A EF 与1B GH △位似，延长11,,GE B A HF 交于点K ，可求得11A EF B GH V -的体积，再利用正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积可求得剩余部分的体积，作比即可.【小问1详解】如图，以点D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系，依题意可得，()13,0,6A ，()13,3,6B ，()3,0,4F ，()2,0,6E ，3,3,62G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设()3,3,H a ，则()1,0,2EF =- ，3,0,62GH a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，EF GH ∥，∴EF GH ∥，∴36212a -=-，解得3a =，即()3,3,3H ，易知平面11A B HF 的一个法向量()11,0,0n = ，且()0,3,1FH =- ，设平面EFHG 的一个法向量2 =s s ，由2200n FH n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，可得3020b c a c -=⎧⎨-=⎩，令1b =，可得6a =，3c =，则()26,1,3n = ，∴121212cos ,23n n n n n n ⋅== ，故锐二面角1A FH E --的余弦值为34623.【小问2详解】易知1A EF 与1B GH △位似，延长11,,GE B A HF 交于点K ，则()1111111113A EF B GH K B GH K A EF B GH A EF V V V S B K S A K ---=-=⋅-⋅ ，111123A A K K EB B G == ，16A K ∴=，19B K =，∴111131193912632224A EFB GH V -⎛⎫=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，111111111919733644ABCD A BCD A EF B G D EFA H D C GHBC V V V ---=-=⨯⨯-=，体积比111119719D EFAD C GHB A EF B CGH V V --==.19.若函数()f x 的定义域为R ，且存在非零常数T ，使得对任意x ∈R ，都有()()()f x T f x T Tf x -++=，则称()f x 是类周期为T 的“类周期函数”.（1）若函数()f x 是类周期为1的“类周期函数”，证明：()f x 是周期函数；（2）已知()2sin (0)f x x x ωω=->是“类周期函数”，求ω的值及()f x 的类周期；（3）若奇函数()f x 是类周期为(0)T T >的“类周期函数”，且()()31f T f T =，求T 的值，并给出符合条件的一个()f x .【答案】（1）证明见解析（2）()()*π,k k f x ω=∈N的类周期为2（3）T =()2πsin 8=f x x 【解析】【分析】（1）利用“类周期函数”的定义，即可证明；（2）利用已知条件()()2sin 0f x x x ωω=->是“类周期函数”以及奇函数的性质，即可证明；（3）利用已知条件，求出()()3,f T f T 的关系，进而求出T 的值，进行作答.【小问1详解】证明：因为()f x 是类周期为1的“类周期函数”，所以()()()11f x f x f x -++=，①用1x +代换x 得()()()21f x f x f x ++=+，②①+②得()()21f x f x +=--，所以()()3f x f x +=-，所以()()()63f x f x f x +=-+=，所以()f x 是周期为6的周期函数.【小问2详解】因为()f x 是“类周期函数”，所以存在非零常数T ，使得对任意x R ∈，都有()()()f x T f x T Tf x -++=，即()()()()2sin 2sin 2sin x T x T x T x T Tx T x ωωωωω---++-+=-，整理得42sin cos 2sin x x T Tx T x ωωω-=-，所以42,2cos T T Tω=⎧⎨=⎩所以2,cos21T ω==，所以()()*π,k k f x ω=∈N的类周期为2.【小问3详解】因为奇函数()f x 是类周期为T 的“类周期函数”，所以()00f =，且()()()f x T f x T Tf x -++=，取x T =，得()()()02f f T Tf T +=，所以()()2f T Tf T =，取2x T =，得()()()()232f T f T Tf T T f T +==，所以()()()231f T T f T =-，因为()()()31,0f T f T f T =≠，所以211,T T -==，所以((()f x f x x -++=，设()sin f x ax =，则()()sin sin ax ax ax ++=，整理得2sin ax ax =，所以2=，取(),sin 88a f x x ==.【点睛】关键点点睛:此题重点在于把握理解新定义“类周期函数”，并结合周期函数、三角函数的性质解题.。
湖南名校联考联合体2024-2025学年高二上学期第二次联考数学试题(解析版)
名校联考联合体2024年秋季高二第二次联考数学时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1. 图中的U 是全集，A ，B 是U 的两个子集，则表示()()UUA B ∩ ）的阴影部分是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据集合运算的定义，结合韦恩图分析即可得解. 【详解】对于A ，图中阴影部分表示A B ∩，故A 错误； 对于B ，图中阴影部分表示()A B A B ，故B 错误； 对于C ，图中阴影部分表示()()U U A B ∩ ，故C 正确； 对于D ，图中阴影部分表示A B ，故D 错误. 故选：C. 2. 若复数z 满足12i1i z+=−，则z =（ ） A. 13i2−+ B.13i2− C.13i2−− D. 13i 2+【答案】C 【解析】【分析】利用复数的四则运算法则求出复数z ，再求其共轭复数即得. 【详解】因为12i1i z+=−，所以()()()()12i 1i 12i 13i1i1i 1i 2z +++−+==−−+， 所以13i2z −−=.故选:C ．3. 某学校的高一、高二及高三年级分别有学生1000人、800人、1200人，用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为30人的样本，抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高为165cm 、168cm 、171cm ，估计该校学生的平均身高是（ ）A. 166.4cmB. 168.2cmC. 169.1cmD. 170.0cm【答案】B 【解析】【分析】由分层抽样的概念求出各个年级抽得的人数，计算平均数即可. 【详解】因为高一、高二及高三年级分别有学生1000人、800人、1200人， 用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为30人的样本， 则高一、高二及高三年级分别抽10人，8人，12人，抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高为165cm 、168cm 、171cm ， 所以该校学生的平均身高为10165816812171168.230×+×+×=()cm .故选：B4. 已知直线1l ：()2220a x y a −+−=，直线2l ：220x y −−=，若12//l l ，则（ ） A. 1或1− B. 2或−2 C. 2 D. −2【答案】C 【解析】【分析】由两条直线的一般式方程平行的条件求解即可.【详解】因为直线1l ：()2220a x y a −+−=，直线2l ：220x y −−=， 若12l l ∥，则()()222042a a −−−×=≠−− ，解得22a a =± ≠− ，所以2a =，故选：C5. 若a ，b ，c是空间一组不共面的向量，则不共面的一组向量为（ ）A. a b − ，b c + ，c a +B. a c −+ ，−− b c ，a b +C. a b + ，b c − ，a c +D. a b + ，a b − ，c【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可得到答案.【详解】A 选项：()a b b c c a −++=+，所以a b − ，b c + ，c a + 是共面向量；B 选项：()()a cbc a b a b −++−−=−−=−+，所以a c −+ ，−− b c ，a b + 是共面向量； C 选项：()a b b c a c +−−=+， 所以a b + ，b c − ，a c + 是共面向量；D 选项：令a b +=()x a b −+ yc ，显然,x y 无解，故不是共面向量. 故选：D6. 已知0m >，0n >464m n+，则n 的最小值为（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C 【解析】【分析】两边同乘m ，得到644nm n+，令t =326440t n t n −+=在(0,)+∞有解，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】因为0,0m n >>464m n +，两边同乘m ，可得644n m n +，令t =，则0t >，可得22644n t t n=+，即326440t n t n −+=， 所以关于t 的二次方程326440t n t n −+=在(0,)+∞有解，令()23644f t t n t n =−+，可知其图象开口向上，对称轴为30128n t =>，原题意等价于6Δ46440n n −××>，解得4n ≥，当4n =时，方程2161640t t −+=，即24(21)0t −=， 解得12t =，此时14m =，满足题意，所以n 的最小值为4.故选：C.7. 圆1C ：()()22121x y +++=与圆2C ：()()22224x y −+−=的内公切线长为（ ）A. 3B. 5C.D. 4【答案】D 【解析】【分析】在平面直角坐标系中作出两个圆，由图可知内公切线一条为y 轴，求公切线的长即可. 【详解】如图：由图可知圆1C 与圆2C 的内公切线有一条为y 轴， 则公切线的长为|AAAA |=4， 方法二：125C C =，4故选：D8. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()()21f x f x +=，若()()01,2f ∈，则()2026f 的取值范围为（ ）A. ()2,1−−B. []1,4C. 1,12D. 11,42【答案】C 【解析】【分析】由已知可得()4()f x f x +=，即()f x 的周期为4，可得()()012026f f =，即可求范围. 【详解】解：()2()1f x f x +=， 1(2)()f x f x ∴+=，即11(4)()1(2)()f x f x f x f x +===+， 即()4()f x f x +=， 所以4上函数()f x 的一个周期，()0(1,2)f ∈ ，()11(2026)2,1(0)2f f f∴==∈.故选：C.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.以下是方程πtan 23x+的解的为（ ） A. 0B.π3C.π2D. π【答案】ACD 【解析】分析】解正切型方程判断即可.【详解】因为πtan 23x +，所以ππ2π33x k +=+，Z k ∈， 所以π2k x =，Z k ∈，所以π0,,π2是方程的解，故选：ACD10. 已知直线l ：()1kx y k −+−，圆C ：()()22121x y ++−=，以下正确的是（ ）A. l 与圆C 不一定存在公共点B. 圆心C 到lC. 当l 与圆C 相交时，304k −<< D. 当1k =−时，圆C 上有三个点到l【答案】ABD 【解析】【分析】对A ，根据直线与圆的位置关系，求圆心C 到直线l 的距离判断；对于B ，由于直线恒过定点()1,1P ，所以当时CP l ⊥，圆心C 到直线l 的距离最大，从而可求出其最大值；对C ，根据直线与圆的位置关系求解判断；对D ，求出圆心到直线的距离，进而判断.【【详解】对于A ，圆心C 到直线l的距离为d当1d r >=1，解得0k >或43k <−，此时直线l 与圆相离，没有公共点，故A 正确；对于B ，因为直线():10l kx y k −+−=，即()11k x y −=−，所以直线l 过定点()1,1P ， 当时CP l ⊥，圆心C 到直线l 的距离最大，最大值为CP =，故B 正确；对于C ，当直线l 1，解得403k −<<，故C 错误；对于D ，当1k =−时，直线:20+−=l x y ，圆心C 到直线l，所以圆上有三个点到直线l的距离为1−，故D 正确. 故选：ABD.11. 当[)10,1,10,nx a a n =×∈∈Z 时，记()n f x =，()lg a g x =，若0x >，0y >，则（ ） A. ()()()f xy f x f y =+B. ()()x f f x f y y=−C. ()()()()(){},1g xy g x g y g x g y ∈++− D. ()()()(){},1x g g x g y g x g y y∈−−+【答案】CD 【解析】【分析】先明确题意，[)10,1,10,nx a a n =×∈∈Z 表示一个数的科学计数法，()n f x =，()lg a g x =，然后找一个数[)10,1,10,my b b m =×∈∈Z ，然后利用科学计数法表示,xxy y，然后分别写出对应的函数值,判断每一个选项即可.【详解】我们先理解题意，[)10,1,10,nx a a n =×∈∈Z 表示了一个数科学计数法；其中()n f x =，()lg a g x =不妨令另一个数为[)10,1,10,my b b m =×∈∈Z ，则()f y m =，()lg b g y = [)10,1,100m n xy ab ab +=×∈的所以当[)1,10ab ∈时，得()()()f xy m n f x f y =+=+，()()()lg lg lg g xy ab a b g x g b ==+=+当[)10,100ab ∈时，得[)110,1,1001010m n ab abxy ++=×∈， 此时()()()11f xy m n f x f y =++=++，()()()lg lg lg 1110abg xy a b g x g b ==+−=+−， 故选项A 错误；选项C 正确；110,,1010n m x a a y b b − =×∈， 所以当1,110a b ∈时，()1101010,1,10n m x a a y b b −−=×∈， 此时()()11x f n m f x f y y =−−=−−，()()10lg lg lg 11x ag a b g x g y y b ==−+=−+ ， 当[)1,10ab ∈时，10n m x a y b −=×，此时()()()f xy n m f x f y =−=−， ()()lg lg lg x ag a b g x g y y b ==−=−，故选项B 错误，选项D 正确； 故选:CD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 直线240x y −−=的截距式方程为________. 【答案】142x y−= 【解析】【分析】直接化简计算即可.【详解】直线240x y −−=的截距式方程为：142x y−=. 故答案为：142x y−= 13. 已知空间中,,A B C 三点的坐标分别为(1,1,1),(0,0,1),(1,1,0)−−，则点C 到直线AB 的距离为________.【解析】【分析】根据题意，求得(1,1,2),(2,0,1)AB AC =−−=−，结合点到直线的向量公式，即可求解.【详解】由点(1,1,1),(0,0,1),(1,1,0)A B C −−，可得(1,1,2),(2,0,1)AB AC =−−=−，所以点C 到直线AB的距离为d ==， 所以点C 到直线AB.14. 从球O 外一点P 作球O 表面的三条不同的切线，切点分别为,,A B C ，令APB α∠=，BPC β∠=，CPA γ∠=.若2PA =，π3αβ==，π2γ=，则球O 的表面积为________. 【答案】16π 【解析】【分析】根据题意，得到222AB BC AC +=，得到ABC 为直角三角形，取AC 的中点E ，由截面圆的性质，可得OE ⊥平面ABC ，再由PE ⊥平面ABC ，得到,,,A P C O 四点共面，结合四边形APCO 为正方形，求得2OA =，得到球O 的半径，结合球的表面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，从球O 外一点P 作球O 表面的三条不同的切线， 且2PA =，π3APB BPC ∠∠==，π2CPA ∠=， 可得2PA PB PC AB BC =====，AC =则222AB BC AC +=，可得AB BC ⊥，所以ABC 为直角三角形， 取AC 的中点E ，连接,OE BE ，由截面圆的性质，可得OE ⊥平面ABC ， 在PAC 中，PA PC =，且AC 的中点E ，可得PE AC ⊥，又由2PE BE PB ===，所以222PE BE PB +=，所以PE BE ⊥，因为AC BE E = ，且,AC BE ⊂平面ABC ，所以PE ⊥平面ABC ， 所以OE 与PE 重合，所以,,,A P C O 四点共面，连接,,,OA OB OC OP ，则,,OA PA OA PB OA PC ⊥⊥⊥，所以四边形APCO 为正方形，所以2OA =，即外接球的半径为2R =， 所以球的表面积为24π16πS R ==. 故答案为：16π.四、解答题：本题共.5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
长沙四大名校招生数学试卷-精选.pdf
（ 2）抛物线的对称轴与 x 轴交于点 C，在（ 1）的条件下试判断是否存在 m 的值，使经过 点 C 及抛物线与 x 轴一个交点的⊙ M与 y 轴正半轴相切于点 D，且⊙ M被 x 轴截得的劣弧
若每只篮子里分放 8 个苹果，则还有一只篮子没有放够，那么小华原来共有苹果
别
姓
个
7．若 y＝— 2x－ 3＋ 4 x 13 ，则 y 的最大值是
8．已知关于 x的方程：（ m2 2m 3) x 3( x 2) m 4 有唯一解， 则 m的取值范围
名
姓
为
二．选择题： （每小题 4分，本题满分 32分）
BC = 5， AB = 1 ，把线段 CD 绕点 D 逆时针旋转 90 °到 DE 位 A
校 学
置，连结 AE ，则 AE=________________..
二、选择题 （本大题共 8 题，每题 4 分，共 32 分）
B
E D
C
9、设 x 为正整数，若 x 1 是完全平方数，则它前面的一个完全平方数是（
的整数解仅为 1，2，3，那么适合这个不等式组的整数
8x b 0
的有序数对（ a、b）共有（
）
（Ａ） 17 个 （Ｂ） 64 个 （Ｃ） 72 个
（Ｄ） 81 个
12. 若正整数 x,y 满足 x2 y 2 64 , 则这样的正整数对 (x,y)
的个数是 ( )
A1 B2
C3
D4
13. 如图 ,P 是 □ABCD内的一点 ( 不在线段 BD上 ),
2024-2025学年湖南省名校联考联合体高三(上)第一次联考数学试卷(含答案)
2024-2025学年湖南省名校联考联合体高三（上）第一次联考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={−6,−4,3,6}，B ={x|3−x <x}，则A ∩B =( )A. {3,6}B. {−4,3}C. {−6}D. {6}2.已知复数z 在复平面内对应的点为(2,−1)，则|z 2|=( )A. 2B. 3C. 4D. 53.已知等差数列{a n }中，a 2=3，前5项和S 5=10，则数列{a n }的公差为( )A. −2B. −52C. −1D. −44.马德堡半球实验是17世纪50年代由马德堡市长进行的一项实验，其主要目的是证明大气压的存在.实验使用两个直径为14英寸的半球壳，将两个半球内的空气抽掉，球不容易被分开，以证明大气压的存在.若把直径为14英寸的一个实心球分割为两个半球，则这两个半球的表面积之和为( )A. 1176π平方英寸B. 294π平方英寸C. 245π平方英寸D. 196π平方英寸5.已知向量a =(1,2),b =(−1,1)，若c =(x,y)满足(c +a )//b ，则x +y =( )A. −3B. 2C. −5D. 46.已知函数f(x)=3x 2−2lnx +(a−1)x +3在区间(1,2)上有最小值，则实数a 的取值范围是( )A. a >−3B. −493<a <−10C. −493<a <−3D. −10<a <−37.已知F 1为双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b >0)的左焦点，Q 为双曲线C 左支上一点，∠OF 1Q =π3,2|QF 1|=a 2+b 2，则双曲线C 的离心率为( )A. 3B. 2C.5D.13+138.若α,β,γ∈(2π,5π2)，且sinα−2cos β+γ2sin β−γ2=cosα−2cos β+γ2cos β−γ2=0，则sin (α−β)=( )A. ±12B. 12C. ±32D. −32二、不定项选择题：本大题共3小题，共18分。
湖南省名校联考联合体2024-2025学年高二上学期第二次联考数学试题
湖南省名校联考联合体2024-2025学年高二上学期第二次联考数学试题一、单选题1．图中的U 是全集，A ，B 是U 的两个子集，则表示()()U U A B ⋂痧）的阴影部分是（ ）A ．B ．C ．D ．2．若复数z 满足12i1i z+=-，则z =（ ） A ．13i2-+ B ．13i2- C ．13i2-- D ．13i2+ 3．某学校的高一、高二及高三年级分别有学生1000人、800人、1200人，用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为30人的样本，抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高为165cm 、168cm 、171cm ，估计该校学生的平均身高是（ ） A ．166.4cmB ．168.2cmC ．169.1cmD ．170.0cm4．已知直线1l ：()2220a x y a -+-=，直线2l ：220x y --=，若12//l l ，则（ ）A ．1或1-B ．2或−2C ．2D ．−2 5．若a r ，b r ，c r是空间一组不共面的向量，则不共面的一组向量为（ ）A ．a b -r r ，b c +r r ，c a +r rB ．a c -+r r，--r r b c ，a b +r rC ．a b +r r ，b c -r r，a c +r rD ．a b +r r ，a b -r r ，c r6．已知0m >，0n >2464m n=+，则n 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．87．圆1C ：()()22121x y +++=与圆2C ：()()22224x y -+-=的内公切线长为（ ）A ．3B ．5CD ．48．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()21f x f x +=，若()()01,2f ∈，则()2026f 的取值范围为（ ） A ．()2,1--B ．[]1,4C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题9．以下是方程πtan 23x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ）A ．0B ．π3C ．π2D ．π10．已知直线l ：()10kx y k -+-=，圆C ：()()22121x y ++-=，以下正确的是（ ）A ．l 与圆C 不一定存在公共点B ．圆心C 到lC ．当l 与圆C 相交时，304k -<<D ．当1k =-时，圆C 上有三个点到l 的距离为2211．当[)10,1,10,nx a a n =⨯∈∈Z 时，记()n f x =，()lg a g x =，若0x >，0y >，则（ ）A ．()()()f xy f x f y =+B ．()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()()()()(){},1g xy g x g y g x g y ∈++-D ．()()()(){},1x g g x g y g x g y y ⎛⎫∈--+ ⎪⎝⎭三、填空题12．直线240x y --=的截距式方程为.13．已知空间中,,A B C 三点的坐标分别为(1,1,1),(0,0,1),(1,1,0)--，则点C 到直线AB 的距离为.14．从球O 外一点P 作球O 表面的三条不同的切线，切点分别为,,A B C ，令APB α∠=，BPC β∠=，CPA γ∠=.若2PA =，π3αβ==，π2γ=，则球O 的表面积为.四、解答题15．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且()()()si n s i n s i n s i n b a B A c C A -+=-.(1)求B ；(2)若π4A =，2a b +=c .（提示：5πsin 12=.） 16．在三棱锥O ABC -中，已知()1,0,1OA =-u u u r，()2,1,0BC =-u u u r ，平面ABC 的法向量为()1,,1n c =-r.(1)求异面直线OA ，BC 所成角的余弦值； (2)求直线OA 与平面ABC 所成角的正弦值.17．在平面直角坐标系xOy 中，已知()2,0A ，()3,0B ，(),P x y ，且PA PB=，点P 的轨迹为C .(1)求C 的方程；(2)求证：当(),0Q q ，(),0R r 是x 正半轴上的两个不同点，且6qr =时，PQ PR为定值.18．在正四棱台1111A B C D ABCD -中，已知AB =11A B =，13BB =，1E B B ∈，2BE =，1F D D ∈，EF BD ∥.(1)证明：BF ⊥平面AEC ；(2)设平面AEC 与平面11ABB A 的夹角为θ，求cos θ的值.19．已知函数()f x ，()g x ，()h x 的定义域均为R 定义：若存在n 个互不相同的实数12,,,n x x x ⋅⋅⋅，使得()()()()()1,2,3,,i i f g x h f x i n ==⋅⋅⋅，则称()g x 与()h x 关于()f x “n 维交换”.(1)判断函数()1g x x =+与()1h x x =-是否关于()2f x x =“n 维交换”，并说明理由；(2)设()22g x k x x =-，()221,00,01,0x x h x x x x ⎧+>⎪==⎨⎪-<⎩，若()g x 与()h x 关于()f x x =“3维交换”，求实数k 的值.。
2024-2025学年湖南省“湖湘名校教育联合体”高一10月大联考数学(含答案)
2024-2025学年湖南省“湖湘名校教育联合体”高一10月大联考数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题p:∀x>0，x2+1>0，则¬p为( )A. ∀x>0，x2+1≤0B. ∀x≤0，x2+1<0C. ∃x≤0，x2+1>( )D. ∃x>0，x2+1≤02.已知2≤x≤3，1≤y≤4，则x+y2的取值范围为( )A. 3≤x+y2≤19B. 1≤x+y2≤19C. 3≤x+y2≤16D. 3≤x+y2≤73.已知全集U={x∈N|1<x≤8}，∁U A={6,7}，则集合A的非空真子集个数为( )A. 32B. 31C. 30D. 294.已知a>b>0>c，d∈R，则下列不等式恒成立的是( )A. a4>b4B. |a+1|>|c+1|C. ad>cdD. bc+1>c2+15.已知命题p:∀x∈R，|x+2025|>0，命题q:∃x<−5，(x+6)2=1，则( )A. p和q都是真命题B. ¬p和q都是真命题C. b和¬q都是真命题D. ¬p和¬q都是真命题6.已知命题p:a2<x<a+2，q:x2−5x+6<0，若p是q的必要条件，则正整数a的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 47.2024年9月1日上午，以“新质动力⋅创绿未来”为主题的2024世界动力电池大会在万里长江第一城、中国动力电池之都----四川宜宾开幕，该大会发布了一系列新技术、新产品，有效凝聚了行业共识，为推动技术迭代、深化开放合作、促进产业集聚、助力绿色发展，以及动力电池及新能源汽车高质量发展作出了积极贡献，为此某高中对高一1班全班男生进行了关于对人工智能、新能源汽车、绿色能源是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人对人工智能感兴趣，17人对新能源汽车感兴趣，10人对绿色能源感兴趣，同时对人工智能和新能源汽车感兴趣的有12人，同时对新能源汽车和绿色能源感兴趣的有6人，同时对人工智能和绿色能源感兴趣的有5人，三种都感兴趣的有2人，则该班男生人数为( )A. 27B. 28C. 29D. 308.已知a>b>0，则b2+a2的最小值为( )ab−b2A. 2B. 1+22C. 4D. 2+22二、多选题：本题共3小题，共18分。
湖南省部分学校2025届新高三联考数学试题含参考答案
2025届新高三联合教学质量检测高三数学满分150分，考试用时120分钟注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合{}1,2,3A =，(){},|40,,B x y x y x y A =+−>∈，则集合B 的真子集个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．82．若0xy ≠，则“20x y +=”是“52x yy x +=−”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．已知()ln 3(e)f x x f x ′=−，求(e)f ′=（ ） A ．14eB ．13e−C ．1e −D ．144．下列说法错误的是（ ）A ．若随机变量ξη、满足21ηξ=−且()3D ξ=，则()12D η= B ．已知随机变量X ～(,)B n p ，若()2,()1E X D X ==，则12p = C ．若事件AB 、相互独立，则()()P A B P A = D ．若AB 、两组成对数据的相关系数分别为0.95A r =、0.98B r =−，则A 组数据的相关性更强 5．某市高二年级期中联考的数学成绩()2~90,X N σ，若()80100P N a <<=，()70110P X b <<=，则()100110P X ≤<=（ ）A ．12a− B ．12b− C ．2a b+ D ．2b a−6．已知ππ1cos cos 23264θθ +−= ，则πcos 23θ +=（ ）A ．12−B ．12C ．D 7．将函数11πcos2,[0,]224y x x x =−+∈的图象绕原点逆时针旋转θ角，得到曲线C .若曲线C 始终为函数图象，则tan θ的最大值为（ ） A ．12B ．ππ2+ C ．23D ．18．阿基米德有句名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球!”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里预购买20g 黄金，售货员先将10g 的砝码放在天平左盘中，取出g x 黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将10g 的砝码放在天平右盘中，取g y 黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的g x 和g y 黄金交给顾客，则顾客购得的黄金重量（ ） A ．大于20gB ．等于20gC ．小于20gD ．无法确定二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知函数()()sin 10f x x x ωωω=+>的最小正周期为π，则下列结论中正确的是（ ）A ．()f x 的图像关于点π,06对称B ．()f x 的图像关于直线5π12x =对称 C ．()f x 在()0,1上单调递增D ．()f x 在区间ππ,122上的值域为[]0,310．若平面向量(,2)a n =，(1,1)b m =− ，其中n ，R m ∈，则下列说法正确的是（ ）A ．若(2,6)a b += ，则//a bB ．若2a b =− ，则与b 同向的单位向量为C ．若1n =，且a 与b的夹角为锐角，则实数m 的取值范围为1,3(3,)2 +∞D ．若a b ⊥，则24n m z =+的最小值为411．已知函数()2ln 11f x x x =−−−，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的单调递增区间是()()0,11,∞+ B ．()f x 的值域为RC ．()()20232024log 2024log 20231f f +=D ．若()e 1e 1b b f a b +=−−，()0,1a ∈，()0,b ∈+∞，则e 1b a =三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知复数212(3i),(2)i,(Z)z a a z a a a =−=−++∈，且12z z +=，则=a . 13．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin c b A =，则ba的最大值是 .14．已知函数()e ln 1ax f x x x ax =−−−，若函数()f x 的最小值恰好为0，则实数a 的最小值是 .四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题13分）已知ABC 中，3AC =，4BC =，π2ACB ∠=，点D 满足13BD DC = ，点E 在线段AB 上移动（包含端点）．(1)若AD xAB y AC =+，求实数y x −的值；(2)求CE DE ⋅的取值范围．16.（本小题15分）在ABC 中，,,a b c 为角,,A B C 对应的边，S 为ABC 的面积.且2sin sin sin 21sin C ab B a A S B −=− . (1)求A ；(2)若2a =，求ABC 内切圆半径的最大值.17.（本小题15分） 已知函数()32112332f x x x x =−−+，()2ln g x x =−． (1)求函数()f x 的极值；(2)曲线()y f x =在0x =处的切线方程为()y h x =，证明：()()>g x h x ．18.（本小题17分）不透明的袋子中装有大小相同的白球和彩球各1个，将“连续两次从袋子中有放回地摸出1个小球”记为一次试验，若两次均摸到彩球，则试验成功并终止试验，否则在袋子中添加一个相同的白球，然后进行下一次试验．(1)若最多只能进行3次试验，设试验终止时进行的次数为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望； (2)若试验可以一直进行下去，第i 次试验成功的概率记为()1,2,3,i P i =⋅⋅⋅，求证：12312n P P P P +++⋅⋅⋅+<．19.（本小题17分） 已知函数()1e xx f x +=. (1)求函数()f x 的单调区间；(2)证明()0,x ∈+∞时，12e e ln x x x x f x x −− −≥⋅； (3)若对于任意的()0,x ∈+∞，关于x 的不等式22e 2ln x mx x x x −≥−−恒成立，求实数m 的取值范围.2025届新高三联合教学质量检测高三数学解析版满分150分，考试用时120分钟注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合{}1,2,3A =，(){},|40,,B x y x y x y A =+−>∈，则集合B 的真子集个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里预购买20g 黄金，售货员先将10g 的砝码放在天平左盘中，取出g x 黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将10g 的砝码放在天平右盘中，取g y 黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的g x 和g y 黄金交给顾客，则顾客购得的黄金重量（ ） A ．大于20g B ．等于20gC ．小于20gD ．无法确定⊥于D. 过C作CD AB。
湖南长沙四大名校初升高数学测试卷
测试卷1一、选择题每小题4分,共32分1、已知3344555,4,3===c b a ,则有 A. a<b<c B. c<b<a C. c<a<b D a<c<b2、如果方程()0012>=++p px x 的两根之差为1,那么P 的值为 A 2 B 4 C 3 D 53、如果不等式组{0908≥-<-a x b x 的整数解仅为1,2,3;那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序实数对a,b 共有 个 A 17 B 64 C 72 D 814、若正整数x 、y 满足6422=-y x 则这样的正整数对x,y 的个数是A 1B 2C 3D 45、如图,P 是平行四边形ABCD 内一点不在线段BD 上,52=ABCD APB S S 则=ABCD CPD S S 51⋅A 101⋅B 103⋅C 53⋅D6、每面标有16的三颗骰子堆成一串,如图,其中7面可见,而11面是看不到的背面、底面之间的面,试问看不见的面其点数总和是A 37B 38C 39D 417、方程()0213722=---+-k k x k x k 是实数有两个实根21,x x 且101<<x , 212<<x 那么k 的取值范围是43.<<k A 12-<<-k B 43.<<k C 或 12-<<-k D.无解8、已知一个梯形的四条边长分别是1、2、3、4;则此梯形的面积是A ．4B 6C 328D 3210 二、填空题每小题4分,共32分9.若0>ab 则c c b ba a++的值等于是_______ 10.已知实数a,b 满足0454422=++-+b a b a 那么－ab 的平方根是________- 11.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分,则这个等腰三角形的底边长是_______________12.计算:____________)3121(15=+÷13.已知实数x 、y 满足322=+y x , 322=+x y , 且x ≠y, 则x y y x +=_________ 14.小华有若干个苹果向若干只篮子里分发,若每只篮子分4个苹果,还剩20个没分完;若每只篮子分8个苹果,则还有一只篮子没有放够,那么小华原来共有苹果________个15.若13432-+--=x x y , 则y 的最大值是________________16.已知关于的方程 ()4)2(3322-++=++m x x m m 有唯一解,则m 的取值范围是____________________三、解答题每小题12分,共36分17．某校初三班余班费元,打算为每位同学买1本相册;某批发兼零售文具店规定：购相册50本起可按批发价出售,少于50本则按零售价出售,批发价比零售价每本便宜2元;班长若按零售价为每位同学买1本相册,刚好用完m 元；若多买12本相册送给任课老师,可按批发从价结算,也恰好只有m 元;问该班有多少名同学每本相册的零售价为多少元18.如图所示,在等腰梯形ABCD 中,AB=DC=5, AD=4, BC=10 ,点E 在下底边BC 上,点F 在腰AB 上.1若EF 平分等腰梯形ABCD 的周长,设BE 的长为x,试用含x 的代数式表示△BEF 的面积 2是否存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时平分 若存在,求出此时BE 的长;若不存在,请说明理由.3是否存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时分成1：2的两部分 若存在,求出此时BE 的长;若不存在,请说明理由.19.已知抛物线64)12(2-+--=m x m x y1设抛物线与x 轴的两个交点Ax 1,0和B 0,2x 分别在原点的两侧其中21x x <,且A 、B 两点的距离小于6,求m 的取值范围.2抛物线的对称轴与x 轴交于点C,在1条件上试判断是否存在m 的值,使经过点C 及抛物线与x 轴的另一个交点的⊙M 与y 轴正半轴相切于点D,且⊙M 被x 轴截得的劣弧与弧CD 是等弧 若存在,求出满足条件的m 的值;若不存在,请说明理由.。
湖南省多校2024届高三下学期4月大联考数学试题(含答案与解析)_2117
2024年普通高等学校招生全国统一模拟考试数 学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试题卷上无效.3.本试题卷共7页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负.4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 6(2)x -的展开式中，3x 的系数是（ ）A. 160B. 160-C. 220D. 220-2. 已知集合{}{}27120,14M x x x N x x =-+<=-<，则M N ⋂=（ ） A. (),5-∞ B. []3,4-C. ()6,8D. ()3,43. 若复数z 满足i zz=，则z 可以是（ ） A. 1i +B. 2i +C. 1i -D. 12i +4. 原核生物大肠杆菌存在于人和动物的肠道内，在适宜的环境和温度下会迅速繁殖导致肠道内生态环境失衡从而引发腹泻等症状，已知大肠杆菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要约24分钟，那么在适宜条件下1个大肠杆菌增长到1万个大肠杆菌至少需要约（ ）（参考数据：lg20.3≈） A. 4小时B. 5小时C. 6小时D. 7小时5. 已知直线220x y ++=与抛物线2:C y ax =有唯一交点，则C 的准线方程为（ ） A =1x -B. 1x =C. 12x =-D. 12x =6. 在不断发展的过程中，我国在兼顾创新创造的同时，也在强调已有资源的重复利用，废弃资源的合理使.用，如土地资源的再利用是其中的重要一环.为了积极响应国家号召，某地计划将如图所示的四边形荒地ABCD 改造为绿化公园，并拟计划修建主干路AC 与BD .为更好的规划建设，利用无人机对该地区俯视图进行角度勘探，在勘探简化图中，,,AD AC AB BC AC ⊥⊥平分,BCD BD CD ∠=，则cos ACD ∠=（ ）A.B.C.D.7. 将编号为1,2,3,4的4个小球随机放入编号为1,2,3,4的4个凹槽中，每个凹槽放一个小球，则至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的概率是（ ） A.14B.724C.712D.17248. 使得不等式()()()()()sin sin2cos sin cos cos sin sin sin cos θθθθθ≤⋅-⋅成立的一个充分不必要条件是（ ） A.π0,4θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦B.ππ,42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦C.3π,π4θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦D.5ππ,4θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得3分，有选错得0分9. 已知直线()():2240l m x m y +---=，圆22:4690C x y x y ++-+=，则（ ） A. l 过定点()1,1 B. 圆C 与y 轴相切C. 若l 与圆C 有交点，则m 最大值为0D. 若l 平分圆C ，则25m =-10.的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以,,,A B C D四点为顶点的三棱锥体积最大时的（ ） A. AB CD ⊥B. 直线BD 与平面ABC 所成角的大小为π4C. 平面ABD 与平面BCD 夹角的余弦值为13D. 四面体ABCD的内切球的半径为211. 已知函数()f x 是定义在()1,+∞上的连续函数，且在定义域上处处可导，()f x '是()f x 的导函数，且()()1f x x f x x'>>>，则（ ） A. ()()()42f f f <B. ()()422f f >C. ()2f <D. ()()24e 2>f f三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知公比为2等比数列{}n a 满足2341a a a ++=，则1a =______. 13. 函数()cos (0)f x x ωω=>的图象在x ω=与2x ω=处的切线斜率相同，则ω的最小值为______.14. 若函数()log (0,0x f x a a x =>>，且1)x ≠的图象与直线2ln x y a +=没有交点，则a 的取值范围是______.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15. 已知函数()213ex x f x --=.（1）求()f x 的单调区间； （2）求()f x 的极值.16. 多样性指数是生物群落中种类与个体数的比值.在某个物种数目为S 的群落中，辛普森多样性指数211si i n D N =⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑，其中i n 为第i 种生物的个体数，N 为总个体数.当D 越大时，表明该群落的多样性越高.已知,A B 两个实验水塘的构成如下：的绿藻 衣藻 水绵 蓝藻 硅藻 A6 6 6 6 6 B124365（1）若从,A B 中分别抽取一个生物个体，求两个生物个体为同一物种的概率； （2）（i ）比较,A B 的多样性大小；（ii ）根据（i ）计算结果，分析可能影响群落多样性的因素.17. 如图所示，正四棱锥P ABCD -中，,AB PA M N ==分别为,PA PC 中点，2=PE BE ，平面EMN 与PD 交于G .（1）证明：PD ⊥平面EMGN ； （2）求二面角P ME N --的余弦值.18. 已知椭圆221:12x C y +=，焦点在x 轴上的双曲线2C ，且过点)，点()00,P x y 在2C 上，且002x y >>，2C 在点P 处的切线交1C 于,A B 两点. （1）求直线AB 的方程（用含00,x y 的式子表示）； （2）若点()0,3Q ，求QAB 面积的最大值.19. 若数列{}n a 在某项之后的所有项均为一常数，则称{}n a 是“最终常数列”.已知对任意()*,n m m n ≥∈N ，函数()f x 和数列{}n a 满足{}()11min n i i na f a +≤≤=.（1）当()f x x >时，证明：{}n a 是“最终常数列”；（2）设数列{}n b 满足11m b a +=，对任意正整数()1,n n n b f b +=.若方程()0fx x-=无实根，证明：的的{}n a 不是“最终常数列”的充要条件是：对任意正整数i ，i m i b a +=；（3）若(){}21,(2),n m f x x a ==-不是“最终常数列”，求1a 的取值范围.参考答案一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 6(2)x -的展开式中，3x 的系数是（ ）A. 160B. 160-C. 220D. 220-【答案】B 【解析】【分析】利用二项式定理直接列式求出3x 的系数.【详解】二项式6(2)x -的展开式中，3x 系数为333366C 2(1)C 8160⨯⨯-=-⨯=-. 故选：B2. 已知集合{}{}27120,14M x x x N x x =-+<=-<，则M N ⋂=（ ） A. (),5-∞ B. []3,4-C. ()6,8D. ()3,4【答案】D 【解析】【分析】解集合中的不等式，得到这两个集合，再由交集的定义求解. 【详解】不等式27120x x -+<解得34x <<， 不等式14x -<，即414x -<-<，解得35x -<<， 可得()()()3,4,3,5,3,4M N M N ==-⋂=. 故选：D. 3. 若复数z 满足i zz=，则z 可以是（ ） A. 1i + B. 2i +C. 1i -D. 12i +【答案】A 【解析】【分析】设i z a b =+，由此写出z ，根据z 与z 的关系得到a 与b 的关系，从而选出正确选项.【详解】设i,,R z a b a b =+∈，则i,i zz a b z=-=， 即()i i i ,i i a b a b a b a b +=-+=+，即a b =， 故选：A.4. 原核生物大肠杆菌存在于人和动物肠道内，在适宜的环境和温度下会迅速繁殖导致肠道内生态环境失衡从而引发腹泻等症状，已知大肠杆菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要约24分钟，那么在适宜条件下1个大肠杆菌增长到1万个大肠杆菌至少需要约（ ）（参考数据：lg20.3≈） A. 4小时 B. 5小时C. 6小时D. 7小时【答案】C 【解析】【分析】依据题意列出方程，利用对数的运算性质结合给定的特殊对数值处理即可. 【详解】设适宜条件下1个大肠杆菌增长到1万个大肠杆菌大约需要x 分钟，则241210000x⋅=，两边取对数得lg2lg10000424x⋅==， 解得42496320lg20.3x ⨯=≈≈，所以大约需要320165.3603=≈小时， 故在适宜条件下1个大肠杆菌增长到1万个大肠杆菌至少需要6小时. 故选：C.5. 已知直线220x y ++=与抛物线2:C y ax =有唯一交点，则C 的准线方程为（ ） A. =1x - B. 1x =C. 12x =-D. 12x =【答案】C 【解析】【分析】直线与抛物线联立方程组消去x ，由Δ0=求出a 的值，由抛物线方程求其准线方程. 【详解】依题意，联立2220x y y ax++=⎧⎨=⎩，消去x 得2220y ay a ++=， 则2Δ480a a =-=，由0a ≠得2a =，故抛物线C 的方程为22y x =，其准线方程为12x =-. 故选：C.的6. 在不断发展的过程中，我国在兼顾创新创造的同时，也在强调已有资源的重复利用，废弃资源的合理使用，如土地资源的再利用是其中的重要一环.为了积极响应国家号召，某地计划将如图所示的四边形荒地ABCD 改造为绿化公园，并拟计划修建主干路AC 与BD .为更好的规划建设，利用无人机对该地区俯视图进行角度勘探，在勘探简化图中，,,AD AC AB BC AC ⊥⊥平分,BCD BD CD ∠=，则cos ACD ∠=（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】设ACD θ∠=，则2BCD θ∠=，根据余弦定理及二倍角公式求得22cos 3θ=，根据θ的范围即可得解.【详解】设ACD θ∠=，则2BCD θ∠=，设CD BD a ==，则2cos ,cos AC a BC a θθ==.故在BCD △中，由余弦定理可得224222cos 1cos2cos 2cos 2a a a a a θθθθ+-==⋅， 而2cos22cos 1θθ=-，故2212cos1cos 2θθ-=，解得221cos ,cos233θθ==，在直角三角形ACD 中，θ为锐角，故cos 0θ>，故cos θ= 故选：A.7. 将编号为1,2,3,4的4个小球随机放入编号为1,2,3,4的4个凹槽中，每个凹槽放一个小球，则至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的概率是（ ） A.14B.724C.712D.1724【答案】B 【解析】【分析】利用排列组合，先求出将编号为1,2,3,44个小球随机放入编号为1,2,3,4的4个凹槽中的放法的数，再求出至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的放法数，再利用古典概率公式，即可求出结果. 【详解】将编号为1,2,3,4的4个小球随机放入编号为1,2,3,4的4个凹槽中，共有44A 24=种放法， 恰有2个凹槽与其放入小球编号相同的有24C 6=种放法，4个凹槽与其放入小球编号相同的有1种放法，所以至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的概率是2444C 17A 24P +==， 故选：B.8. 使得不等式()()()()()sin sin2cos sin cos cos sin sin sin cos θθθθθ≤⋅-⋅成立的一个充分不必要条件是（ ） A.π0,4θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦B.ππ,42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦C.3π,π4θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦D.5ππ,4θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】换元sin cos t θθ=+，利用二倍角公式和两角和的余弦公式的逆用将题干不等式转化为关于t 的不等式，解出t 满足的关系进而排除得到正确选项.【详解】令πsin cos 4t θθθ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭， 则()()2222sin 22sin cos sin cos sincos 1t θθθθθθθ==+-+=-，()()()()()cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos t θθθθθθ⋅-⋅=+=所以已知不等式化为()2πsin 1cos sin 2t t t ⎛⎫-≤=+⎪⎝⎭. []2πππ11,1,222t t ⎡-∈-+∈+⎢⎣，故原不等式的解分两段：①πππ122t ≤+≤-得π12t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，原不等式化为2π12t t -≤+，即2π102t t ---≤.②πππ122t -≤+≤+得π2t ⎡∈-⎢⎣，原不等式化为2π1π2t t ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭，即2π102t t +--≤.四个选项对应的t取值范围分别为[[][,,1,0,1⎡⎤--⎣⎦，当t =时，由②2ππ11022+--=->t t 不符合题意，排除A 、B ；当t =2ππ11022--=+->-t t 不符合题意，排除D ；[]1,0t ∈-时易验证满足①， 故选：C.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得3分，有选错得0分9. 已知直线()():2240l m x m y +---=，圆22:4690C x y x y ++-+=，则（ ） A. l 过定点()1,1 B. 圆C 与y 轴相切C. 若l 与圆C 有交点，则m 的最大值为0D. 若l 平分圆C ，则25m =- 【答案】ABD 【解析】【分析】利用直线方程与m 的取值无关，求解定点判A ，利用直线与圆的位置关系判断B ，C ,先发现直线必过圆心，后将圆心代入直线，求解参数，判断D 即可.【详解】对A ，整理直线l 的方程，得()()240m x y x y -++-=，令0x y -=，解得x y =， 当x y =时，直线方程与m 的取值无关，又2x y +=，解得1x y ==， 即l 必过定点()1,1，故A 正确；对B ，整理圆C 的方程，得22(2)(3)4x y ++-=，易知圆心到y 轴的距离为2， 又2r =，故得圆C 与y 轴相切，故B 正确；对C ，若l 与圆C 有交点，设圆心C 到直线l 的距离为d ，可得2d =≤，解得142,,17m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故C 错误；对D ，若l 平分圆C ，则l 一定是圆C 的直径，且必过圆心，易知圆心为()2,3-，将()2,3-代入直线l 的方程，得5240m -+-=，解得25m =-，故D 正确. 故选：ABD.10.的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以,,,A B C D 四点为顶点的三棱锥体积最大时（ ） A. AB CD ⊥B. 直线BD 与平面ABC 所成角的大小为π4C. 平面ABD 与平面BCD 夹角的余弦值为13D. 四面体ABCD的内切球的半径为2 【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意画出图形，再由几何法求解异面直线垂直、线面成角、面面成角和内切球半径即可. 【详解】如图所示，当平面BAC ⊥平面DAC 时，三棱锥体积最大，记E 为AC 中点，此时DE ⊥平面BAC ，因为AB ⊂平面BAC ，所以AB DE ⊥，因为CD DE D = ，所以AB 与CD 不垂直，A 错误.对于B ：直线BD 和平面ABC 所成角即为EBD ∠，因为tan 1ED EBD BE ∠==，故π4EBD ∠=，B 正确. 对于C ：由于BC CD BA AD ===，取BD 中点G ，则有,CG BD AG BD ⊥⊥， 故CGA ∠为平面ABD 与平面BCD 所成角的平面角.则1cos 3CGA ∠，C 正确.对于D ：设内切球球心为I ，内切球半径为r ，由等体积法知，13ABCD I ABC I BCD I ACD I ABD ABCD V V V V V rS ----=+++=其中，1133ABCD ACD V BE S =⨯= ，1122222ABCD S ⎡⎤⎛⎫⎛=⨯⨯+= ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎣⎦，故32ABCD ABCD V r S ===D 正确. 故选：BCD.11. 已知函数()f x 是定义在()1,+∞上的连续函数，且在定义域上处处可导，()f x '是()f x 的导函数，且()()1f x x f x x'>>>，则（ ） A. ()()()42f f f <B. ()()422f f >C. ()2f <D. ()()24e 2>f f【答案】BC 【解析】【分析】根据()10f x '>>可判断()f x 在()1,+∞单调递增，即可判断A ，构造()()f xg x x=，利用导数求解()g x 在()1,+∞单调递增，即可判断BC,构造()()exf x h x =，求导求解()h x 在()1,+∞单调递减，即可判断D.【详解】由已知得()f x x x >，故()()22,422f f >>， 又因为()10f x '>>，所以()f x 在()1,+∞单调递增，所以()()()42,f f f >A 错误；构造函数()()f xg x x=，则()()()10f x g x f x x x '⎛⎫=⋅-⎝'> ⎪⎭，所以()g x 在()1,+∞单调递增，因此()()42g g >，即()()()()42,42242f f f f >>，B 正确； 由于()()1,1f x f x x x>>>，故()()()()()()()()()()2,,()f f x f x g f x g x f x xf f x f x x >><，因此()2f <C 正确；构造函数()()e x f x h x =，则()()()exf x f x h x '-'=，而()()f x x f x >>'，故()()0,h x h x '<在()1,+∞单调递减，因此()()()()()()2424242,,4e 2e ef f h h f f <<<，D 错误. 故选:BC.【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数()h x ；(3)利用导数研究()h x 的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知公比为2的等比数列{}n a 满足2341a a a ++=，则1a =______. 【答案】114【解析】【分析】利用等比数列的通项公式可得答案. 【详解】由题意可得()2323411141a a a a q q q a++=++==，解得1114a =， 故答案为：114. 13. 函数()cos (0)f x x ωω=>的图象在x ω=与2x ω=处的切线斜率相同，则ω的最小值为______.【解析】【分析】对()f x 求导，可得()2f f ωω⎛⎫=⎪⎝'⎭'，则2sin sin2ω=，即可得出ω的最小值. 【详解】因为()cos (0)f x x ωω=>，所以()sin f x x ωω=-'， 因为函数()cos (0)f x x ωω=>的图象在x ω=与2x ω=处的切线斜率相同，所以()2sin f ωωω'=-，2sin2f ωω⎛⎫=-⎪⎝⎭'， 故有2sin sin2ωωω-=-，即2sin sin2ω=，则()222πk k ω=+∈Z 或()22π2πk k ω+=+∈Z ，解得)k ω=∈Z或)k ω=∈Z ，当0k =，<，故ω..14. 若函数()log (0,0x f x a a x =>>，且1)x ≠的图象与直线2ln x y a +=没有交点，则a 的取值范围是______.【答案】{}e 1⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由题意可得方程log 2ln x a x a =-+在()()0,11,x ∈+∞ 无解，即函数()ln 2ln ln ln g x x x a x a =-⋅+在()()0,11,x ∈+∞ 无零点，当1a =时直接判断，当1a ≠时求出函数的导函数，再分1a >、01a <<两种情况讨论，当1a >时利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，依题意只需()()0min 0g x g x =>，从而求出0x 的取值范围，再结合()0011ln ln 2x x a +=求出a 的范围.【详解】由题意可得方程log 2ln x a x a =-+()()0,11,x ∈+∞ 无解， 将方程变形得ln 2ln ln ln 0x x a x a -⋅+=，即函数()ln 2ln ln ln g x x x a x a =-⋅+在()()0,11,x ∈+∞ 无零点， 易得()g x 的定义域为()0,∞+，仅在讨论零点时舍去1x =的情况；若1a =时，则()ln g x x x =，当01x <<时()0g x <，当1x >时()0g x >， 故在()()0,11,+∞ 无零点，因此1a =符合题意； 当1a ≠时，则()2ln 1ln a g x x x =+-'，设()2ln 1ln a x x x ϕ=+-，则()22ln x ax x ϕ+='， 当1a >时()0x ϕ'>，则()x ϕ在()0,∞+单调递增，即()g x '在()0,∞+单调递增，由于0x →时()g x '→-∞，x →+∞时()g x '→+∞，由零点存在性定理可知()g x 在()0,∞+必有、且在只有一个零点，设为0x ，则当()00,x x ∈时()0g x '<，当()0,x x ∈+∞时()0g x '>，所以()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 其中()0011ln ln 2x x a +=，故只需令()00g x >， 当01x =时()0ln 0g x a =>符合题意， 因此()()()000000001ln ln 1ln 1ln 2g x x x x x x x x =-+++ ()200012ln ln 102x x x ⎡⎤=--->⎣⎦，即()2002ln ln 10x x --<，解得01ln 12x -<<0e x <<，设()()11ln 2h x x x =+，e x ⎫<<⎪⎭，则()()12ln 02h x x =+>'，所以()h x 在⎫⎪⎭上单调递增，又h =，()e e h =，ln e a <<e e a <<；当01a <<时，()1ln 0g a =<，0g=>，故()g x 在区间⎛ ⎝必有零点，与所求不符.综上，a 的取值范围为{}e 1⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：{}e 1⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15. 已知函数()213ex x f x --=.（1）求()f x 的单调区间； （2）求()f x 的极值.【答案】（1）单调递减区间为()(),1,3,∞∞--+，单调递增区间为()1,3-（2）极大值为26e，极小值为22e - 【解析】【分析】（1）根据函数求出导函数，再由导函数解出原函数的单调区间即可； （2）根据第1问的单调性求出极值即可. 【小问1详解】因为()213e x x f x --=，所以()()()2113123e ex x x x x x f x --'--+-+==， 令()0f x '=，解得3x =或=1x -，令()0f x '<得3x >或1x <-，令()0f x '>得13x -<<，列表如下：x(),1∞---1()1,3-3()3,∞+()f x ' -0 +-()f x极小值极大值故()f x 的单调递减区间为()(),1,3,∞∞--+，单调递增区间为()1,3-. 【小问2详解】由（1）可得()f x 的极大值为()263ef =，极小值为()212e f -=-. 16. 多样性指数是生物群落中种类与个体数的比值.在某个物种数目为S 的群落中，辛普森多样性指数211si i n D N =⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑，其中i n 为第i 种生物的个体数，N 为总个体数.当D 越大时，表明该群落的多样性越高.已知,A B 两个实验水塘的构成如下：绿藻 衣藻 水绵 蓝藻 硅藻 A6 6 6 6 6 B124365（1）若从,A B 中分别抽取一个生物个体，求两个生物个体为同一物种的概率； （2）（i ）比较,A B 的多样性大小；（ii ）根据（i ）的计算结果，分析可能影响群落多样性的因素. 【答案】（1）15（2）（i ）A 的多样性大于B （ii ）答案见解析 【解析】【分析】（1）利用古典概型的求法可得答案；（2）根据给出211si i n D N =⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑求出，然后比较即可.【小问1详解】记事件C 为“两个生物个体为同一物种”， 则C 发生的概率为()11155P C =⨯=. 【小问2详解】（i ）由表可知30,5,A B AB N N S S ==⎧⎨==⎩ 所以2214156305A D =-⨯⨯=，()22222216711243653090B D =-⨯++++=； 即A B D D >，故A 的多样性大于B ；（ii ）在（i ）中两群落物种数目相同，各物种数量不同，而A 中各物种数量均相同， 即物种均匀度更大，分析可得物种均匀度也会影响群落多样性.17. 如图所示，正四棱锥P ABCD -中，,AB PA M N ==分别为,PA PC 的中点，2=PE BE ，平面EMN 与PD 交于G .（1）证明：PD ⊥平面EMGN ； （2）求二面角P ME N --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）先通过PHE PGS ∽，证PD GE ⊥，再通过MN ⊥平面PBD ，证MN PD ⊥，最后通过线面垂直判定定理即可证PD ⊥平面EMGN ；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求二面角P ME N --的余弦值即可. 【小问1详解】连接,AC BD ，设AC BD O = ，连接PO ，有PO ⊥平面ABCD ，由题意得,ME NE MG NG ==，连接MN ，EG ，设EG MN S ⋂=，则MS NS =，故S 在PO 上， 过E 作,EH PO H ⊥为垂足，在POB 中，23PE EH PB OB ==， 故2EH =，因为MN AC ，所以13,12PS PO SH PH PS ===-=， 故1tan tan 2SEH DPO ∠∠==，所以PHE PGS ∽， 所以90,PGE PHE PD GE ∠∠==⊥ ，又,,MN OP MN BD ^^OP ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，BD OP O = ，故MN ⊥平面PBD ，因为PD ⊂平面，所以PBD MN PD ⊥.又,MN GE S GE ⋂=⊂平面,EMGN MN ⊂平面EMGN ，故PD ⊥平面EMGN . 【小问2详解】以,,OA OB OP 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系可得()()()()3,0,0,0,3,0,0,0,6,0,3,0A B P D -，由（1）得PD ⊥平面EMGN ，故平面EMGN 的一个法向量为()0,3,6DP =其中()()3,0,6,3,3,0AP AB =-=-设平面PAB 的一个法向量为(),,n x y z =，则03603300n AP x z x y n AB ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩， 令1z =可得()2,2,1n =设θ为二面角P ME N --的平面角，则cos cos ,n DP θ==，由图可知所求二面角为锐角，故二面角P ME N --18. 已知椭圆221:12x C y +=，焦点在x 轴上的双曲线2C，且过点)，点()00,P x y 在2C 上，且002x y >>，2C 在点P 处的切线交1C 于,A B 两点. （1）求直线AB 的方程（用含00,x y 的式子表示）；（2）若点()0,3Q ，求QAB 面积的最大值. 【答案】（1）0002x y x y y =- （2【解析】【分析】（1）由离心率和所过点求出双曲线的方程为222:2C x y -=，由点P 在第一象限，将双曲线2C变形为y =，利用导数求切点处的切线方程.（2）直线与双曲线联立方程组，利用弦长公式和点到直线距离表示出QAB 面积，消元后由基本不等式求最大值. 【小问1详解】焦点在x 轴上的双曲线2C，则双曲线为等轴双曲线， 设双曲线方程222x y a -=，由双曲线过点)，代入方程，解得双曲线222:2C x y -=，点()00,P x y 在2C 上，有22002x y -=，因为点P 在第一象限，所以可以将双曲线2C变形为y =.求导有y '=当0x x =时，000x x x y y =='=，所以AB 的方程为：()000x y y x x y -=-， 化简有0002x y x y y =-. 【小问2详解】 设()()01122002,,,,,x k m A x y B x y y y ==-，有2222k m -=， 的为联立2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()222124220k x kmx m +++-=，有12221224212221km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，()22Δ821240k m =+-=>，2AB x =-==， 点Q 到直线AB的距离d则12QAB S AB d == 0002,x k m y y ==-代入， 有QAB S =△()()()0002200222411343212216y y y y y ⎡⎤⎫--=+=+⎢⎥⎪⎪+-+-+⎢⎥⎝⎭⎣⎦()002111632122y y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+≤=⎢⎥-++⎢⎢⎥-⎣⎦⎢⎣当且仅当02y =QAB+【点睛】方法点睛：把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．19. 若数列{}n a 在某项之后的所有项均为一常数，则称{}n a 是“最终常数列”.已知对任意()*,n m m n ≥∈N ，函数()f x 和数列{}n a 满足{}()11min n i i n a f a +≤≤=. （1）当()f x x >时，证明：{}n a 是“最终常数列”；（2）设数列{}n b 满足11m b a +=，对任意正整数()1,n n n b f b +=.若方程()0f x x -=无实根，证明：{}n a 不是“最终常数列”的充要条件是：对任意正整数i ，i m i b a +=；（3）若(){}21,(2),n m f x x a ==-不是“最终常数列”，求1a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）()1,4【解析】 【分析】（1）利用“最终常数列”定义即可证明；（2）利用反证法结合“最终常数列”新定义证明必要性，利用“最终常数列”定义证明必要性； （3）利用第二问的证明结论即可求出1a 的取值范围.【小问1详解】因为()f x x >，所以对任意{}(){}111,min min n i i i n i n n m a f a a +≤≤≤≤≥=>，故数列最小值不变. 即对于任意{}{}{}(){}()11111,min min ,min min i i n i i i n i m i n i m n m a a a f a f a +≤≤≤≤≤≤≤≤≥===恒成立. 故对于任意1n m ≥+，有{}()1min n i i m a f a ≤≤=，故{}n a 是“最终常数列”. 【小问2详解】必要性，若{}n a 不为“最终常数列”，假设存在一个n m ≥使得{}11min n i i na a +≤≤≥，则由（1）同理可知其最小值不变，故{}n a 为“最终常数列”，矛盾.所以对任意{}11,min n i i nn m a a +≤≤≥<. 故对任意1n m ≥+，均有{}1min n i i na a ≤≤=成立，故()1n n a f a +=对任意1n m ≥+成立， 又由{}nb 定义递推，知对任意正整数,i m i i b a +=.充分性：若任意正整数,i m i i b a +=，则()1n n a f a +=对任意1n m ≥+成立，又由{}n a 定义知任意1n m ≥+，均有{}1min n i i na a ≤≤=成立. 由此知{}{}1111min min n i i n i n i na a a a +≤≤+≤≤=≤=. 又由()0f x x -=知1+≠n n a a ，故1n n a a +<，即{}n a 在第1m +项后严格递减，故不是“最终常数列”. 综上，原命题得证.【小问3详解】由（2）知：要求(){}12111min i i f a a a a ≤≤=<=，解得()11,4a ∈. 下面证明：()11,4a ∈即为所求. 由()11,4a ∈时，()()()221121,4a f a a ==-∈， 由递推可知，对任意*n ∈N 均有()1,4n a ∈. 进而()1n n a f a +=对任意*n ∈N 均成立，结合（2）结论知{}n a 不是“最终常数列”.故1a 的取值范围是()1,4.【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是：一要准确理解给定的新定义；二要利用反证法得出矛盾.。
湖南省名校联考联合体2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题含解析
名校联考联合体2023年秋季高一年级期来考试数学（答案在最后）时量：120分钟满分：150分得分：__________一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1.已知{11},{2}M x x S x x =-=∈<N ∣∣ ，那么M S ⋂=（）A.{}02xx ∣ B.{}0,1,2 C.{02}xx <∣ D.{}0,12.命题“0,210x x x ∃+-< ”的否定是（）A.0,210x x x ∀+-B.0000,210xx x ∃+- C.0,210x x x ∀<+- D.0000,210xx x ∃<+-<3.将函数π2sin 36y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象对应的函数为（）A.2sin3y x= B.π2sin 33y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭C.π2sin 33y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭D.2π2sin 33y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭4.三个数ππ5log 0.1,0.1,tan π12的大小关系是（）A.ππ5log 0.1tan π0.112<< B.ππ5log 0.10.1tan π12<<C.ππ5tanπlog 0.10.112<< D.ππ5tanπ0.1log 0.112<<5.函数()24exx xf x -=的图象大致是（）A. B.C. D.6.已知角α的终边在直线3y x =上，则sin α=（）A.10±B.3± C.10D.37.用二分法求函数()e 2xf x x =--的一个正零点的近似值（精确度为0.1)时，依次计算得到如下数据；()()()()10.28, 1.50.98, 1.250.24, 1.1250.04f f f f ≈-≈≈≈-，关于下一步的说法正确的是（）A.已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值B.已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值C.没有达到精确度的要求，应该接着计算()1.1875fD.没有达到精确度的要求，应该接着计算()1.0625f8.已知函数()π4f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中0ω>.若()f x 在区间π3π,34⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是（）A.10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B.35,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D.(]0,1二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题正确的是（）A.如果,a b c d ><，那么a c b d ->-B.如果0a b >>，那么2211a b >C.若15,23a b -<<<<，则32a b -<-<D.如果0,0,0a b c d m >><<<，那么m ma cb d>--10.下列各项不正确的是（）14y = B.()222log 32log 3=a= D.42599log 27log 8log 58⋅⋅=11.已知0,0,2a b a b >>+=，则（）A.1abB.024a b -<<C.224a b + D.112a b+12.已知函数()()()()()1122πcos 0,0,π2π,sin 06f x A x A g x A x ωϕωϕωω⎛⎫=+>><<=+> ⎪⎝⎭，且函数()f x 的图像如图所示，则（）A.15π2,1,3A ωϕ===B.若21ωω=，则()()0f xg x +=C.已知22ω=，若()g x a -为偶函数，则()ππ62k a k =-+∈Z D.若()g x 在()0,π上有两个零点，则2ω的取值范围为1117,66⎛⎤⎥⎝⎦三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.化简：()()()()πsin πcos 3πcos 25cos 6πsin πsin π2αααααα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=⎛⎫+--- ⎪⎝⎭__________.14.《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧 AB 和弦AB 所围成的图中阴影部分.若弧田所在扇形的圆心角为π2，扇形的面积为3π，则此弧田的面积为__________.15.函数8log cos y x x =-的零点个数为__________.16.已知函数()2ln e x f x ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭，若()()13120f a f a ++++>，则实数a 的取值范围为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知集合{}{}122,1264xA xm x m B x =-+=∣∣ .（1）若{}04A B xx ⋂=∣ ，求实数m 的值；（2）“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.18.（本小题满分12分）已知()()223f x ax ax a =--∈R .（1）若不等式2230ax ax --<的解集是{13}xx -<<∣，求实数a 的值；（2）若不等式()1f x x <-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围.19.（本小题满分12分）已知()2cos sin 2,cos sin cos 5αααβαα-=+=--，且,αβ均为锐角.（1）求tan α的值；（2）求sin2α的值；（3）求tan β的值.20.（本小题满分12分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵､研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v （单位：m /s ）满足方程301log lg 2100x v x =-，其中x 表示鲑鱼耗氧量的单位数，0x 表示测量过程中鲑鱼的耗氧量偏差.（1）当一条鲑鱼的耗氧量为2700个单位时，它的游速为1.3m /s ，求此时0x 的值；（2）当甲､乙两条鲑鱼游速相同时，甲鲑鱼耗氧量偏差是乙鲑鱼耗氧量偏差的10倍，试问甲鲑鱼的耗氧量是乙鲑鱼耗氧量的多少倍？21.（本小题满分12分）已知函数()ππ2sin sin 1cos 22f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值；（3）荐()()65g x f x =-在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点()1212,x x x x <，求()12sin x x -的值.22.（本小题满分12分）已知()()()1e ,2e 2e 1xxaxm xx f x g x m -==⋅--，且()g x 为偶函数.（1）求实数a 的值；（2）若方程()()f x g x =有且只有一个实数解，求实数m 的取值范围.名校联考联合体2023年秋季高一年级期未考试数学参考答案一､二､选择题：1~8题为单项选择题，每小题5分，共40分；9~12题为多项选择题，每小题5分，共20分，每题有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得1.D 【解析】{}{}{}02,0,1.0,1M xx S M S ==∴⋂=∣ .2.D【解析】由题意得()f x 6π 向右平移个单位长度22sin 32sin 36663y f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4.B 【解析】由题意得，ππ5πlog 0.10,00.11,tanπtan 1124><<=<.5.A 【解析】由题意得()()244e ex xx x x x f x --==，当0x <时，()0f x >，排除D ；当4x >时，()0f x >，排除C ；取特殊值()106010e f =，排除B ，故选A .6.A【解析】直线3y x =在第一象限和第三象限，由三角函数的定义，分别取点()()1,3,1,3--可得sin 10α=±.7.C 【解析】由二分法的定义，可得正零点所在区间不断缩小，()()()1,1.51,1.25 1.125,1.25→→时的区间长度为1.125 1.250.1250.1-=>，故没有达到精确的要求，应该接着计算()1.125 1.25 1.18752f f +⎛⎫= ⎪⎝⎭的值.8.A【解析】由题意得，函数()f x 的增区间为()ππ2π2π4k x k k ω-+-∈Z ，解得()3ππ2π2π44k k x k ωω-++∈Z .显然()3ππ2π2ππ3π44,,34k k k ωω⎛⎫-++ ⎪⎛⎫⊆∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭Z .于是3π2ππ4,3π2π3π4,4k k ωω⎧-+⎪⎪⎪⎨⎪+⎪⎪⎩ 解得()9186433k k k ω-++∈Z .又0ω>，于是103ω< .9.AD 【解析】显然如果0a b >>，那么2211a b<，选项B 错误；若15,23a b -<<<<，则32b -<-<-，于是43a b -<-<，选项C 错误.11.ABC 【解析】由基本不等式得，212a b ab +⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，当且仅当a b =时等号成立.故选项A 正确；2,2a b b a +=∴=- ，且02a <<，则()22122,40,44a b a --⎛⎫=∈⊆ ⎪⎝⎭，故选项B正确；224a b +== ，当且仅当a b =时等号成立，故选项C 正确；()1111111222222b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝ ，当且仅当a b =时等号成立，故选项D 错误.12.ACD【解析】由题意得，14ππ2π1332TT ω-=⇒=⇒=，又由π3f A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得()ππ2π2π33k k k ϕϕ+=⇒=-+∈Z ，又π2πϕ<<，所以()5π5π,01cos 1233f A A ϕ⎛⎫==⇒=⇒= ⎪⎝⎭，故选项A 正确；若12ωω=，则()()π5π3π5π2sin 2sin 2cos 6323g x x x x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选项B 错误；若()()2ππ2,2sin 2,2sin 2266g x x g x a x a ω⎛⎫⎛⎫==+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数，则()ππ2π62a k k -=-∈Z ，即()ππ62k a k =-+∈Z ，故选项C 正确；令2π6t x ω=+，则2ππ,π66t ω⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，即sin y t =在2ππ,π66ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有两个零点，22π11172ππ3π,666ωω⎛⎤<+⇒∈ ⎥⎝⎦，故选项D 正确.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.tan α-【解析】原式tan α=-.14.3π6-【解析】由图得，OAB 为等腰直角三角形，21π3π22S r =⨯⨯=扇形，得13π3π62OAB r S S ==-=-⨯- 弧田扇形.15.4【解析】函数8log cos y x x =-的零点个数转化为8log y x =与cos y x =两个函数图象的交点个数，利用数形结合可得，两个函数图象有四个交点，所以函数8log cos y x x =-有4个零点.16.1,2∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【解析】())142ln ln 21e x f x x ⎛⎫==-⎪ ⎪⎝⎭，令())ln2g x x =，显然可得()g x 为奇函数，且在R 上单调递增.()()()()()()()1312013103111f a f a g a g a g a g a g a ++++>⇔+++>⇔+>-+=--，于是13112a a a +>--⇒>-.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.【解析】由1264x 可得06x ，（1）若{}04A B xx ⋂=∣ ，则224m +=，且10m - ，解得1m =.（2）因为“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，所以B ⫋A .所以有①10,226,m m -<⎧⎨+>⎩解得2;m >②当10m -=时，即1m =时，224m +=，不符合题意；③当226m +=时，即2m =时，11m -=-，符合题意.综上可知2m .18.【解析】（1）由题意可知，-1和3是方程2230ax ax --=的两根，所以()2(1)2130a a ⋅--⋅--=，解得1a =.（2）由题可得2231ax ax x --<-，即()22120ax a x -+-<对一切实数x 恒成立，当0a =时，不等式化为20x --<，不符合题意；当0a ≠时，有20,Δ(21)80,a a a <⎧⎨=++<⎩解得32232222a ---+<<，综上可知，实数a的取值范围为3322a ---+<<.19.【解析】（1）由2cos sin 2sin cos αααα-=-，可得2tan 2tan 1αα-=-，解得4tan 3α=.（2）法一：2222422sin cos 2tan 243sin22sin cos sin cos tan 125413ααααααααα⨯=====++⎛⎫+ ⎪⎝⎭.法二：由22sin 4,cos 3sin cos 1,αααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩且sin 0,cos 0αα>>，解得4sin ,53cos ,5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以24sin22sin cos 25ααα==.（3）()()()tan tan tan tan 1tan tan αβαβαβααβα+-⎡⎤=+-=⎣⎦++⋅，因为()cos 5αβ+=-，所以()sin 5αβ+==±，又因为,αβ均为锐角，所以0παβ<+<，而()cos 05αβ+=-<，所以ππ2αβ<+<，故()sin 5αβ+=，所以()tan 2αβ+=-，所以()()()()42tan tan 3tan tan 241tan tan 123αβαβαβααβα--+-⎡⎤=+-===⎣⎦++⋅+-⨯.20.【解析】（1）由30127001.3log lg 2100x =-解得，0lg 0.2x =，所以15010x =.（2）设乙鲑鱼耗氧量偏差为0x ，乙鲑鱼的耗氧量为2x ，则甲鲑鱼耗氧量偏差为010x ，甲鲑鱼的耗氧量为1x ，因为甲､乙两条鲑鱼游速相同，所以有12303011log lg10log lg 21002100x x x x -=-，化简得，12303011log lg10lg log lg ,21002100x x x x --=-即123311log log 1,21002100x x -=即132log 2x x =，所以129xx =.所以甲鲑鱼的耗氧量是乙鲑鱼耗氧量的9倍.21.【解析】()ππ2sin sin 1cos 22f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22cos 1cos x x x =-+cos2x x =+12cos2sin222x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭ππ2sin cos2cos sin266x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2sin 26x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）由ππ32π2π2π,262k x k k +++∈Z ，可得π2πππ,63k x k k ++∈Z ，即()f x 的单调递减区间为π2π,ππ,63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）因为π02x，所以ππ72π666x + ，所以1πsin 2126x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ，所以π12sin 226x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ，当ππ262x +=时，即π6x =时，()max []2f x =，当π7π266x +=时，即π2x =时，()min []1f x =-.（3）由题意可得，()()1265f x f x ==.即12ππ62sin 22sin 2665x x ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12ππ3sin 2sin 2665x x ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12ππ22π66x x +++=，即可得12π3x x +=，所以()12111ππsin sin sin 233x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为1π3sin 265x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可设1π26x t +=，则13πsin ,256t x t ==-，所以()121ππππsin sin 2sin sin cos 3632x x x t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为3sin 5t =，且1ππ20,62x t ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，所以4cos 5t =，所以()124sin cos 5x x t -=-=-.22.【解析】（1）由()e e 1xax x g x =-，可知0a ≠，又()g x 为偶函数，所以有()()11g g =-，即1e e e 1e 1a a ---=--，化简得1e e e 11e a a --=--，即1e e ,e 1e 1a a a -=--所以1e e a -=，得2a =.经检验，当2a =时，()()g x g x =-对任意0x ≠成立，即满足()g x 为偶函数.故所求a 的值为2.（2）由（1）可知()2e e 1x x x g x =-，即方程()21e 2e 2e 1xx x m x x m -=⋅--有且只有一个实数解，显然0x ≠，所以上述方程可化为21e 2e 2e 1xx x m m -=⋅--，即方程()21e 2e 10x x m m +-+-=有且只有一个实数解，令e (0x t t =>且1)t ≠，则关于t 的方程()21210m t t m +-+-=有且只有一个不为1和1m的正根，()()2Δ441184m m m =-+-=-，①当Δ0=时，m =.（i）若m =，则方程化为)21210t t +-+-=，此时方程的解为t =，符合题意.（ii）若m =，则方程化为()21210t t +--=，此时方程的解为t =.②当Δ0>时，需满足12Δ0,0,t t >⎧⎨<⎩即2840,10,1m m m ⎧->⎪⎨-<⎪+⎩解得1111m m m ⎧<<⎪⇒-<<⎨-<<⎪⎩.当1t =时，即1为方程()21210m t t m +-+-=的解时，1m =.当1t m=时()2,(1)10,1m m m -+==±.所以当方程有两根，有且只有一个不为1和1m 的正根时，11m -<<.。
2024年湖湘名校教育联合体高二下学期10月大联考数学试题及答案
湖湘名校教育联合体·2024年下学期高二10月大联考数学本试卷全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知(1,1,0),(1,1,2)a b ==- ，则a b ⋅= （ ）A 1- B. 0 C. 1 D. 22. 将直线1:10l x y -+=绕点()0,1逆时针旋转90°得到直线2l ，则2l 的方程是（ ）A. 20x y +-= B. 10x y +-= C. 220x y -+= D. 210x y -+=3. 圆221:4C x y +=与圆222:(2)(3)9C x y -+-=的位置关系是（ ）A. 内含B. 内切C. 外离D. 相交4. 若椭圆2215x y λ+=的右焦点坐标为()2,0，则λ的值为（ ）A. 1 B. 1或3 C. 9 D. 1或95. 已知O 空间任意一点，,,,A B C D 四点共面，且任意三点不共线，若12OD OA xOB yOC =++ ，则2xy 最大值为（ ）A. 12 B. 14 C. 18 D. 1166. 如图，正四棱锥P ABCD -的棱长均为2，,M N 分别为AB ，BC 的中点，则点M 到直线PN 的距离为（ ）.的A.B. C. 52D. 7.已知函数0()0x f x x ⎧≥⎪=<，若对任意2[0,3],()()a f a x x ∈-≥恒成立，则x 的取值范围为（ ）A. [3,1]- B. (,3][1,)-∞-⋃+∞C. [0,2] D. (,0][2,)-∞⋃+∞8. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.如图所示，某同学利用两个完全一样的半圆柱，得到了一个三棱锥A BCD -，该三棱锥为鳖臑，1O ，2O 为半圆柱的圆心，半径为2，4BD =，260AO C ∠= ，动点Q 在ACD 内运动（含边界），且满足BQ =Q 的轨迹长度为（ ）A.B.C.D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9. 函数π()cos()(0,0,2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A. 2ω= B. π3ϕ=C. π6x =-是曲线()y f x =的一条对称轴 D. ()f x 在区间ππ,26⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增10. 如图，正方体1111ABCD A B C D -体积为8，E ，F ，G ，M 分别为1AA ，AD ，1CC ，11A B 的中点，则下列说法正确的是（ ）A. 直线EF 与MB 为异面直线B. 向量EM 在向量F G 上的投影向量为12FGC. 若Q 为1CA 上靠近点1A 的四等分点，则413AQ AB AD AA =++ D. 线段CD 上存在点P ，使得EF //平面PGM11. 设圆22:(1)(1)2C x y -+-=，直线:10,l x y P ++=为l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，则下列说法正确的是（ ）A. 若圆心C 到直线AB，则AB =B. 直线AB 恒过定点11(,)33C. 若线段AB 的中点为M ，则PM的最小值为D. 若1122(,),(,)A x y B x y ，则121212122x x y y x x y y ++<+++三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知事件A 与事件B 相互独立，且()0.4,()0.5P A P B ==，则()P A B = __________．13. 已知点(1,2),(0,2),M N P --是直线:220+-=l x y 上一点，则PM PN +的最小值为__________．14. 已知椭圆22223:1(0)2x y b C b a a b +=<<≤的左，右焦点分别为12,F F ，过原点的直线与C 相交于M ，的N 两点，若110MF NF ⋅= 且112MF NF ≥ ，则椭圆C 的离心率为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且(1cos )sin b A B -=．（1）求角A 的大小；（2）若a =2b =，角A 的平分线交BC 于点D ，求线段AD 的长．16. 已知圆C 的圆心在y 轴上，且经过点(2,0)A ，(1,3)B ．（1）求圆C 的标准方程；（2）若圆C 上存在一点P 满足ABP 面积为5，求直线BP 的方程．17. 图1是棱长为2正方体1111ABCD A B C D -，E ，F ，1E ，1F 分别是CD ，AD ，11C D ，11A D 的中点，截去三棱柱111EDF E D F -和三棱柱111BCE B C E -得到如图2的四棱柱1111ABEF A B E F -，G ，H 分别是1E E ，1A A 的中点，过点B ，G ，H 的平面α交1F F 于点M ．（1）求线段FM 的长；（2）求平面11A B G 与平面α夹角的余弦值．18. 在直角坐标系xOy中，点12(0),0)E E ，动点(,)T x y 满足直线1TE 与2TE 的斜率之积为12-．记T 的轨迹为曲线Γ．（1）求Γ的方程，并说明Γ是什么曲线；（2）过左焦点1F 且与坐标轴不垂直的直线l ，与曲线Γ相交于A ，B 两点，AB 的中点为M ，直线OM 与曲线Γ相交于C ，D 两点．求四边形ACBD 面积的取值范围．19. 已知集合{}1,2,3,,S n = ，n 为正整数且5,n M ≥为集合S 的子集，记card()M 表示集合M 中元素的个数．的的（1）当5n =时，card()4M =，请写出满足条件的集合M ；（2）当15n =时，对任意的,,(,,x y z M x y z ∈可以相同），都有x y z M ++∉，求card()M 的最大值；（3）若121,,,,n n M M M M + 均为S 的子集，且card()3(11)i M i n =≤≤+，求证：一定存在两个不同的子集,(11)i j M M i j n ≤<≤+，使得card()1i j M M = ．湖湘名校教育联合体·2024年下学期高二10月大联考数学本试卷全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】A二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【10题答案】【答案】ABC【11题答案】【答案】ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】0.7【13题答案】【答案】5【14题答案】四、解答题：本题共5小题，共77分．答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）2π3A =（2）43．【16题答案】【答案】（1）22(1)5x y +-=（2）380x y -+=或210x y -+=【17题答案】【答案】（1）54（2【18题答案】【答案】（1）曲线Γ是以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，不包括左右两顶点的椭圆，(2212x y x +=≠；（2）(2,．【答案】（1）{}{}{}{}1,2,3,4,1,2,3,5,1,2,4,5,1,3,4,5，{}2,3,4,5． （2）10； （3）证明见解析。
湖南省长沙市四校联考2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题(解析版)
湖南省长沙市四校联考2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分。
每小题只有一个选项符合题意） 1．已知复数(3)z i i =-⋅-，其中i 是虚数单位，则复数||z 等于( )A ．3B ．C ．10D〖解 析〗(3)13z i i i =-⋅-=--，∴||z =〖答 案〗D2．已知(,0)A m ，(0,1)B ，(3,1)C -，且A ，B ，C 三点共线，则(m = ) A ．32B ．23C ．32-D ．23-〖解 析〗由(,0)A m ，(0,1)B ，(3,1)C -， 可得(,1),(3,2)AB m BC =-=-，因为A ，B ，C 三点共线，所以//AB BC ，即()(2)130m -⨯--⨯=， 解得32m =． 〖答 案〗A3．在ABC ∆中，若3AB =，BC =45B ∠=︒，则ABC ∆的面积为( )A ．B ．4C ．72D ．92〖解 析〗在ABC ∆中，若3AB =，BC =，45B ∠=︒，119sin 32222ABC S AB BC B ∆=⋅⋅∠=⨯⨯=． 〖答 案〗D4．某校有高一年级学生990人，高二年级学生920人，高三年级学生847人，教职工243人，学校根据疫情形势和所在地疫情防控政策要求，全校师生按比例分层抽样的方法抽取容量为300的样本进行核酸抽测，则应抽取高一年级学生的人数为( ) A ．99B ．100C ．90D ．80〖解 析〗全校师生的总人数为9909208472433000+++=人， 设应抽取高一年级学生的人数为n ，则由分层抽样的定义可知，3003000990n=，解得99n =． 故应抽取高一年级学生的人数为99人． 〖答 案〗A5．设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，则下列命题中正确的是( ) A ．若αβ⊥，l α⊂，m β⊂，则l m ⊥ B ．若l α⊥，l β⊥，//αβC ．若m β⊥，αβ⊥，则//m αD ．若//αβ，且l 与α所成的角和m 与β所成的角相等，则//l m〖解 析〗A 选项，若αβ⊥，l α⊂，m β⊂，l 与m 可能相交、平行、异面， 所以A 错误；B 选项，垂直于同一条直线的两个平面平行，所以B 正确；C 选项，若m β⊥，αβ⊥，则m α⊂或//m α，所以C 错误；D 选项，若//αβ，且l 与α所成的角和m 与β所成的角相等，l 与m 可能相交、异面、平行，所以D 错误． 〖答 案〗B6的扇形，则该圆锥的体积为( ) A ．23πB ．43πC ．2πD ．83π〖解 析〗某圆锥的侧面积为的扇形， 设该圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r ，由212，得l =2r π=，所以1r =，所以该圆锥的体积为1233ππ⨯=．〖答 案〗A7．如图，在正方体ABCD A B C D ''''-中，E 、F 分别为棱CC '、AB 的中点，则异面直线A D ''与EF 所成角的余弦值是( )A B C D ．12〖解 析〗取CD 的中点M ，连结ME ，FM ， 因为F ，M 分别为AB ，DC 的中点，所以//FM AD ， 又//A D AD ''，所以//A D FM ''，则EFM ∠即为异面直线A D ''与EF 所成角，不妨设正方体的棱长为2，则2FM =，EM ==，所以EF =在Rt EFM ∆中，cosFM EFM EF ∠===所以异面直线A D ''与EF ．〖答 案〗A8．对于函数()f x 和()g x ，设{|()0}x f x α∈=，{|()0}x g x β∈=，若存在α，β，使得||1αβ-，则称()f x 和()g x 互为“零点相邻函数”，若函数()(1)2f x ln x x =-+-与2()8g x x ax a =--+互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是( ) A ．179[,]42B ．9[4,]2C ．7[,3]3D ．[2，4]〖解 析〗()f x 的定义域为(1,)+∞，1()1011x f x x x '=+=>--， ()f x ∴在(1,)+∞上单调递增，又f （2）0=，()f x ∴只有一个零点2x =．若()f x 和()g x 互为“零点相邻函数”，则()g x 在[1，3]上存在零点．∴Δ24(8)0a a =--，解得4a 或8a -．（1）若Δ0=，即4a =或8a =-时，()g x 只有一个零点2a x =， 显然当4a =时，2[12a=∈，3]，当8a =-时，[12a ∉，3]，不符合题意；（2）若Δ0>，即4a >或8a <-，①若()g x 在[1，3]上存在1个零点，则g （1）g （3）0， 即(92)(174)0a a --，解得17942a ，∴17942a． ②若()g x 在[1，3]上存在2个零点，则(1)0(3)0132g g a⎧⎪⎪⎨⎪⎪<<⎩，17444∴<．综上，a 的取值范围是：17{4}[4，9](42⋃，17][44=，9]2． 〖答 案〗B二、多项选择题（每题有两个或者两个以上正确〖答 案〗，每题5分，少选得3分，共20分）9．在锐角ABC ∆中，A ，B ，C 为三个内角a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的三边，则下列结论成立的是( ) A ．若A B >，则sin sin A B >B ．若3A π=，则B 的取值范围是(0,)2πC ．sin sin cos cos A B A B +>+D ．tan tan 1B C > 〖解 析〗因锐角ABC ∆， 若A B >，即02A B π>>>，正弦函数sin y x =在(0,)2π上单调递增，sin sin A B ∴>，故选项A 正确；若3A π=，23B C π+=，而B ，C 均为锐角，故62B ππ<<，故选项B 错误； 由2A B ππ<+<，022A B ππ∴<-<<，sin sin()cos 2B A A π∴>-=，同理sin cos A B >，sin cos cos siinA B A B ∴+>+．故项C 正确；2B C ππ<+<，cos()0B C ∴+<，即cos cos sin sin B C B C <，cos cos 0B C >，tan tan 1B C ∴>，故选项D 正确．〖答 案〗ACD10．一个袋子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中有3个红球，2个白球，每次从中随机摸出1个球，则下列结论中正确的是( )A ．若不放回的摸球3次，则恰有2次摸到红球的概率为35B ．若不放回的摸球2次，则第一次摸到红球的概率为310C ．若不放回的摸球2次，则在第一次摸到红球的条件下第二次摸到红球的概率为12D ．若有放回的摸球3次，仅有前2次摸到红球的概率为18125〖解 析〗对于A ，若不放回的摸球3次，则恰有2次摸到红球的概率为21323535C C C =，故A 正确；对于B ，若不放回的摸球2次，则第一次摸到红球的概率为35，故B 错误；对于C ，若不放回的摸球2次，则在第一次摸到红球的条件下第二次摸到红球的概率为2142=，故C 正确；对于D ，若有放回的摸球3次，仅有前2次摸到红球的概率为33218555125⨯⨯=，故D 正确．〖答 案〗ACD11．在正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为1，点P 为线段1A C 上的动点（包含线段端点），则下列结论正确的是( )A ．当113A C A P =时，1//D P 平面1BDCB ．当P 为1AC 中点时，四棱锥11P AAD D -的外接球表面为92πC ．1AP PD +D．当1A P =P 是△11AB D 的重心 〖解 析〗对于A ，连接1AB ，11B D ， 则1111111326A AB D V -=⨯⨯=，111sin 602AB D S=︒=，1AC =设点1A 到平面11AB D 的距离为h，则1136h =，解得h ，所以113h AC =， 则当113A C A P =时，P 为1A C 与平面11AB D 的交点，又11//AD BC ，1AD ⊂/平面1BDC ，1BC ⊂平面1BDC ，所以1//AD 平面1BDC ， 同理可证1//AB 平面1BDC ，11AD AB A =，1AD ，1AB ⊂平面11AB D ，所以平面11//AB D 平面1BDC ，1D P ⊂平面11AB D ，所以1//D P 平面1BDC ， 对于B ，当点P 为1A C 的中点时，四棱锥11P AA D D -为正四棱锥， 设平面11AA D D 的中心为O ，四棱锥11P AA D D -的外接球半径为R ，则2221()2R R -+=，解得34R =，所以四棱锥11P AA D D -的外接球表面积为94π， 对于C ，连接AC ，1D C ，则Rt △1A AC Rt ≅△11A D C ，所以1AP D P =， 由等面积法可得，AP的最小值为11AA AC A C ⋅=1AP PD +， 对于D，由以上分析可得，当1A P =1A P 即三棱锥111A D AB -的高， 所以1A P ⊥平面11D AB ，又三棱锥111A D AB -为正三棱锥，所以点P 是△11AB D 的重心．〖答 案〗ACD12．钻石是金刚石精加工而成的产品，是世界上最坚硬的、成分最简单的宝石，它是由碳元素组成的、具有立方结构的天然晶体．如图，已知某钻石形状的几何体由上、下两部分组成，上面为一个正六棱台111111ABCDEF A B C D E F -（上、下底面均为正六边形，侧面为等腰梯形），下面为一个正六棱锥P ABCDEF -，其中正六棱台的上底面边长为a ，下底面边长为2a ，且P 到平面111A B C 的距离为3a ，则下列说法正确的是( )（台体的体积计算公式：121(3V S S h =++，其中1S ，2S 分别为台体的上、下底面面积，h 为台体的高）A ．若平面PAF ⊥平面11AFF A ，则正六棱锥P ABCDEF -B ．若PA =2C ．该几何体存在外接球，且外接球的体积为350081a πD ．若该几何体的上、下两部分体积之比为7:83〖解 析〗设M ，N 分别为正六棱台上、下底面的中心，对于选项A ，如图1，分别取AF ，11A F ，11C D ，CD 的中点Q ，R ，S ，T ，连接RS ，RQ ，TS ，TQ ，则RS =，QT =， 可得Q ，R ，S ，T 四点共面，且点P ，M ，N 均在该平面上，连接PM ，则N 在PM 上，得如图2所示的截面PQRST ，四边形QRST 为等腰梯形， 且PQR ∠为二面角1P AF A --的平面角，即90PQR ∠=︒， 过点R 作RL QT ⊥交QT 于点L ，则RQL QPN ∠=∠，可得RL QNLQ NP=，即232NP RL LQ QN a ⋅=⋅==，而3NP RL MP a +==，故23(3)2NP a NP a -=，解得NP ，故A 正确；对于选项B ，如图3为截面11PAA D D ，依题意得112A D a =，4AD a =，连接PM ，则3PM a =，又PA =，所以2PN a =，32MN a a a =-=，如图4为截面PORST，从而RQ =，PQ ，故该几何体的表面积221166(2)6222S a a a =+⨯⋅++⨯⋅=，故B 正确；对于选项C ，如图5所示的截面11PAA D D ，连接PM ，依题意可知112A D a =，4AD a =，3PM a =， 若该几何体存在外接球，则外接球球心．在PM 上，设外接球半径为R ，连接OA ，1OA ，OD ，1OD ，得1OA OA OP R ===，3a R MO -=53R a =，又24OA OD R a OA +=<=，矛盾，故该几何体不存在外接球，C 错误；对于选项D ，设该几何体上、下两部分的体积分别为1V ，2V ，1MN h =，2PN h =，则22211113V h a =⨯+=，2222213V h a =⨯⨯=， 由1278V V =，可得212h h =， 结合123h h a +=，可知1h a =，22h a =，因此该几何体的体积33312V V V =++=，故D 正确． 〖答 案〗ABD三、填空题（共4题，每题5分，共20分）13．若正数x ，y 满足8x y xy ++=，则xy 的最大值为 ． 〖解 析〗正数x ，y 满足8x y xy ++=，82xy x y xy ∴-=+，280∴+，解得42xy -，故4xy ，当且仅当2x y ==时取等号． xy ∴的最大值为4．〖答 案〗414．已知向量(2,1)a =-，(,1)b q =，且a 在b 上的数量投影等于1-，则q = ． 〖解 析〗因为向量(2,1),(,1)a b q =-=，且a 在b 上的投影等于1-， 所以221a b q b q ⋅-+==-+，故210q -+<，即12q >， 所以0q =（舍去）或者43q =． 〖答 案〗4315．已知菱形ABCD 的边长为2，60DAB ∠=︒．将ABD ∆沿BD 折起，使得点A 至点P 的位置，得到四面体P BCD -．当二面角P BD C --的大小为120︒时，四面体P BCD -的体积为；当四面体P BCD -的体积为1时，以P 为球心，PB 的长为半径的球面被平面BCD 所截得的曲线在BCD ∆内部的长为 ．〖解 析〗如图1，过点P 作PF CO ⊥交CO 的延长线于点F ，则60POF ∠=︒，因为菱形ABCD 的边长为2，60DAB ∠=︒，所以PO 3sin 602PF PO =︒=，故四面体P BCD -的体积为111323322DBC S PF ∆⋅=⨯⨯；当四面体P BCD -的体积为1时，此时11121332DBC S PF PF ∆⋅=⨯⨯=，解得：PF 0OF ==，即O ，F 两点重合，即PO ⊥底面BCD ，如图2，以P 为球心，2PB =的长为半径的球面被平面BCD 所截得的曲线为以O 为圆心，半径为1的圆，落在BCD ∆内部的长为圆周长的一半，所以长度为1212ππ⨯⨯=．〖答 ，π 16．三棱锥P ABC -中，顶点P 在底面ABC 的射影恰好是ABC ∆内切圆的圆心，若三个侧面的面积分别为12，16，20，底面ABC 的最长边长为10，则点A 到平面PBC 的距离为 ；三棱锥P ABC -外接球的直径是 ．〖解 析〗不妨设12PBC S ∆=，16PAC S ∆=，20PAB S ∆=，设P 在底面ABC 的射影为H ，分别作HD BC ⊥于点D ，HE AB ⊥于点E ，HF AC ⊥于点F ，则PD BC ⊥，PE AB ⊥，PF AC ⊥．依题意，H 为ABC ∆的内心，则Rt PDH Rt PFH Rt PEH ∆≅∆≅∆，故PD PF PE ==， 又12PBC S BC PD ∆=⋅，12PAC S AC PF ∆=⋅，12PAB S AB PE ∆=⋅， 所以::::12:16:203:4:5PBC PAC PAB S S S BC AC AB ∆∆∆===，所以90ACB ∠=︒， 令3BC x =，4AC x =，5AB x =．底面ABC 的最长边长为10，可得510AB x ==， 解得2x =，所以6BC =，8AC =，10AB =．设ABC ∆内切圆半径为r ，则1()2ABC BC AC AB r S ∆++=，因为1242ABC S AC BC ∆=⋅=，即1(6810)242r ⨯++=，解得2r =，故2HD =，由1122PBC S BC PD ∆=⋅=，6BC =，得4PD =，所以PH =所以112433P ABC ABC V S PH -∆=⋅=⨯⨯设点A 到平面PBC 的距离为d ，由P ABC A PBC V V --=，12PBC S ∆=，所以13A PBC PBC V S d -∆=⋅=d =90ACB ∠=︒，∴点C 在以AB 为直径的圆上，取AB 中点为G ，则以AB 为直径的圆的圆心为点G ，设三棱锥P ABC -的外接球球心为点O ，连接OG ，易知OG ⊥平面ABC ， 又PH ⊥平面ABC ，则//OG PH ， 过点O 作//ON GH 交PH 于点N ，PH ⊥平面ABC ，GH ⊂平面ABC ，PH GH ∴⊥，即2GHP π∠=，∴四边形GHNO 为矩形，则OG NH =，GH ON =，在平面ABC 上建立如图所示直角坐标系，则(6,0)B ，(0,8)A ，(2,2)H ，(3,4)G ，ON GH ==设GO x =，若点N 在线段PH 上，则PN x =-，OA OB OP ====，在直角ONP ∆中，222ON NP OP +=即222)25x x +=+，解得0x =<，故点N 在线段PH 的延长线上，则PN x =，同理可得222)25x x +=+，解得x所以三棱锥P ABC -的外接球半径为OA OB OP ===，三棱锥P ABC -．〖答 案〗 四、解答题（共70分）17．（10分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若_______．（请从①222sin sin sin sin sin A B C A B +-=；②2sin cos a A a C =+；③(2sin sin )2sin (sin 2sin )A B a c C A B b -=+-这三个条件中任选一个填入上空）（1）求角C ；（2）若6c =时，求ABC ∆周长的最大值．解：（1）若选①，因为222sin sin sin sin sin A B C A B +-=，所以222a b c ab +-=，2221cos 22a b c C ab +-==，因为0C π<<，所以3C π=．若选②，因为2sin cos a A a C +，所以2sin sin sin cos A C A A C +，因为sin 0A >cos 2sin()26C C C π+=+=，即sin()16C π+=．因为7666C πππ<+<，所以62C ππ+=，即3C π=．若选③，因为(2sin sin )2sin (sin 2sin )A B a c C A B b -=+-，所以222222a ab c ab b -=+-，即222a b c ab +-=，所以2221cos 22a b c C ab +-==，0C π<<，所以3C π=．（2）由①②③可得3C π=，由余弦定理：22362cos 3a b ab π=+-，即2()336a b ab +-=，所以223()()364a b a b ++-，解得12a b +，当且仅当6a b ==时取等号．所以ABC ∆周长的最大值是18．18．（12分）某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[90，100)，[100，110)，⋯，[140，150)后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[120，130)内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计本次考试的第50百分位数；（3）用分层抽样的方法在分数段为[110，130)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1人在分数段[120，130)内的概率．解：（1）由频率分布直方图，得：分数在[120，130)内的频率为：1(0.0100.0150.0150.0250.005)100.3-++++⨯=，0.30.0310=，补全后的直方图如图所示：（2）[90，120)的频率为(0.0100.0150.015)100.4++⨯=，[120，130)的频率为：0.030100.3⨯=，∴第50百分位数为：0.50.4370 120100.33-+⨯=；（3）用分层抽样的方法在分数段为[110，130)的学生中抽取一个容量为6的样本，则分数段为[110，120)中抽取的学生数为：0.015620.0150.030⨯=+人，设为A，B，分数段为[120，130)中抽取的学生数为：0.030640.0150.030⨯=+人，设为a，b，c，d，从中任取2个，有AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd共15种，其中符合题意得有AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ad ，Ba ，Bb ，Bc ，Bd 共9种， 所以至多有1人在分数段[120，130)内的概率为93155=． 19．（12分）如图所示，已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，侧棱3PA PC ==，PB PD =，过点A 的平面与侧棱PB ，PD ，PC 相交于点E ，F ，M ，且满足：PE PF =，1PM =．（1）求证：直线//BC 平面PAD ； （2）求证：直线PC ⊥平面AEMF ；（3）求平面MDB 与平面AEMF 所成二面角的正弦值． （1）证明：因为底面ABCD 是菱形，所以//BC AD ，AD ⊂平面PAD ，BC ⊂/平面PAD ， 所以直线//BC 平面PAD ； （2）证明：联结AM ，AC ，ACDB O =，因为PB PD =，所以PO BD ⊥，又因为ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥， 所以BD ⊥平面PAC ，所以BD PC ⊥， 又PE PF =，所以//EF BD ，所以EF PC ⊥，由已知条件得，2BD =，AC =由余弦定理得2221cos 23PA PC AC APC PA PC +-∠===⋅，22212cos 9123183AM PA PM PA PM APC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，所以222PA PM AM =+，所以PC AM ⊥，因为直线AM ，EF 相交，且AM ，EF 都在平面AEMF 内， 所以直线PC ⊥平面AEMF ．（3）解：取N 为MC 的中点，联结ON ，BN ，DN ，则//ON AM ， 又//EF BD ，所以平面//AEMF 平面BND ， 因为直线BD ⊥平面PAC ，联结MO ， 所以MO BD ⊥，NO BD ⊥，所以MON ∠等于平面MDB 与平面AEMF 所成二面角的平面角，由已知可得，ON ==OM =所以sinMON ∠==所以平面MDB 与AEMF ． 20．（12分）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，该摩天轮轮盘直径为120米，设置有36个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面140米，匀速转动一周大约需要30分钟．当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．（1）经过t 分钟后游客甲距离地面的高度为H 米，已知H 关于t 的函数关系式满足()sin()H t A t B ωϕ=++（其中0,0,||)2A πωϕ>>求摩天轮转动一周的〖解 析〗式()H t ；（2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到50米？（3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h 米，求h 的最大值．解：（1）因为H 关于t 的函数关系式为()sin()H t A t B ωϕ=++，且摩天轮的最高点距离地面为140米，最低点距离地面为14012020-=米， 所以14020A B A B +=⎧⎨-+=⎩，解得60A =，80B =，又因为函数周期为30分钟，所以23015ππω==，()60sin()8015H t t πϕ=++， 又因为(0)60sin(0)802015H πϕ=⨯++=，所以sin 1ϕ=-，因为||2πϕ，所以2πϕ=-．所以()60sin()80,030152H t t t ππ=-+．（2）因为()60sin()8060cos 8015215H t t t πππ=-+=-+，所以60cos805015t π-+=，解得1cos152t π=， 又因为030t ，所以153t ππ=，解得5t =，所以第一次达到50米用时5分钟．（3）经过t 分钟后甲距离地面的高度为160cos 8015H t π=-+，乙与甲间隔的时间为306536⨯=分钟， 所以乙距离地面的高度为260cos (5)80,53015H t t π=--+，所以两人离地面的高度差121|||60cos 60cos(5)|60cos |151515215h H H t t t t ππππ=-=-+-=- 60|sin()|156t ππ=-，530t ，因为1161566t ππππ-，所以当1562t πππ-=或32π时，得10t =或25分钟时，h 取最大值为60米．21．（12分）平行四边形ABCD 中，22AB AD ==，DB =DE AB ⊥于点E ，将ADE ∆沿着DE 翻折，使点A 与点P 重合，如图乙所示．（1）设平面PEB 与平面PDC 的交线为l ，判断l 与CD 的位置关系，并证明； （2）当四棱锥P BCDE -的体积最大时，求二面角P BC D --的正切值；（3）在（2）的条件下，G 、H 分别为棱DE ，CD 上的点，求空间四边形PGHB 周长的最小值．解：（1）//l CD ．理由：因为//EB CD ，CD ⊂/平面PBE ，EB ⊂平面PBE ，所以//CD 平面PBE 因为CD ⊂平面PCD ，平面PBE ⋂平面PCD l =，所以//l CD ．（2）当平面PDE ⊥平面BCDE 时，四棱锥P BCDE -的体积最大． 平面PDE ⋂平面BCDE DE =，PE ⊂平面PDE ，PE DE ⊥， 可得PE ⊥平面BCDE ，BC ⊂平面BCDE ，可得PE BC ⊥， 作EO BC ⊥交BC 于点O ，连接PO ，EOPE E =，可得BC ⊥平面POE ，而PO 在平面PEO 中，故BC PO ⊥，POE ∠即为二面角P BC D --的平面角，在Rt POE ∆中，12PE =，3sin 602EO =⨯︒1tan POE ∠==，所以二面角P BC D --（3）由展开图可知，B 关于CD 的对称点为B '，DE =BB '，由勾股定理可得AB '=PB =，当A 、G 、H 、B '共线时，周长最短，此时()min PG GH HB PB AB PB '+++=+=． 22．（12分）已知区间D ，若两个函数()y f x =和()y g x =对任意x D ∈都有()()f x kg x >（其中0k >，()0)g x ≠，则称函数()y f x =是()y g x =在区间D 上的超k 倍函数．（1）已知命题“区间(1D =，5]，函数2()243f x x x =-+是()1g x x =-在区间D 上的超2倍函数”，试判断该命题的真假．若该命题为真命题，请予以证明；若为假命题，请举反例； （2）若函数22()x x f x e e -=+是()x x g x e e -=+在R 上的超k 倍函数，求实数k 的取值范围；（3）已知区间[1D =，2]，常数1c >，若函数22()x x F x c c -=-是()x x G x c c -=-在区间D 上的超4倍函数，求实数c 的取值范围． 解：（1）命题为真命题．证明如下：由题意，可得1(0x -∈，5]，则2()24312(1)222()11f x x x xg x x x -+==-+>--，所以命题“区间(1D =，5]，函数2()243f x x x =-+是()1g x x =-在区间D 上的超2倍函数”为真命题；（2）令()2x x t g x e e -==+，则222()22()x x x x f x e e t t k g x e e t t--+-===->+恒成立， 又2y t t=-在区间[2，)+∞上单调递增，所以当2t =时，1min y =，所以01k <<， 故实数k 的取值范围为(0,1)； （3）根据题意可得，()4()F xG x >在[1，2]上恒成立， 即4x x c c -+>在[1，2]上恒成立， 令()x xH x c c -=+，取1212x x <，则11221112121()()()(1)x x x x x x x x H x H x c c c c c c c c ---=+--=--⋅， 因为1c >，1212x x <，所以120x x c c -<，121x x c c ⋅>， 所以12110x x c c ->⋅，则12()()H x H x <，所以函数()H x 在[1，2]上单调递增， 则当1x =时，函数()H x 取得最小值，所以1(1)4H c c=+>，解得2c <或2c >1c >，故实数c 的取值范围为(2)+∞．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
湖南省耀祥中学高一下学期期中考试数学试题
一、选择题：（本大题8小题，每小题4分，共32分）
1、为了得到函数的图象，可将函数的图象（）
A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位
2、若，则的值为（）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
3、函数的最小正周期是（）
A. B. C. D.
4、已知向量=(x ,y), =( -1,2 )，且+=（1，3），则等于（）
A 2
B 3
C 5
D 10
5、已知向量等于（）
A． B．1 C． D．2
6、如果函数的图象关于点中心对称，那么的最小值为
（）
A．B． C． D．
7、如图所示，已知则下列等式中成立的是
（A）（B）（C）（D）
8、定义在R上的偶函数满足且在上是减函数，又
是锐角三角形的两个内角，则（）
A、 B、C、 D、
二、填空题：本大题7小题，每小题4分，共28分．
9.求值:sin630°= ．
10、如图所示，在平面直角坐标系，角α的终边与单位圆交于点A，已
知点A的纵坐标为，则= 。
11、已知=(－2，5)，||=||，且与互相垂直，则的坐标是___________。
12、已知,这的值为
13、若向量e1与e2满足：|e1|=2|e2|=2，（e1+2e2)2=4，则e1与e2所夹的角为．
14、右图是的图象，
则其解析式是；
15、已知上有两个不同的零点，则m的取值范围为___________
三、解答题：本大题6小题，每小题10分,共60分，解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤．
16. 已知 ,.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.
17. 一个扇形的周长为，试问：当扇形的半径和圆心角各取何值时，此扇形的面积最大？
18.已知，求的值。
19、设，对于任意都有, 求的范围。
20. 设、是两个不共线的非零向量（）
（1）记那么当实数t为何值时，
A、B、C三点共线？
（2）若，那么实数x为何值时的值最小？
21. 已知向量，且，
求：（1）和的取值范围；
（2）函数的最小值。