数值分析第一章
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课程名称
数值分析 或计算方法
第一章 数值计算中的误差分析 （绪论）
内容提要 §1.1 计算方法的任务与特点 §1.2 误差知识(误差与误差估计) §1.3 选用算法时应遵循的原则
§1.1计算方法的任务与特点
计算机的用途分类：科学计算、数据处理…
科学与工程计算过程：实际问题→数学模型
→数值问题→算法→程序→调试→结果
e e (e en ) (en e)
* *
二、误差的度量
1) 2) 3) 4)
绝对误差 相对误差 有效数字 度量间的关系
1. 绝对误差
绝对误差定义：准确值 x 减近似值 x*
x x E ( x* )
*
*
在不引起混淆时，简记 E(x )为 E。 • 绝对误差限：
如果存在正数η
定义：设 x 的近似值 x 有如下标准形式 x * 10 m 0.α1α 2 α n ...αp ， 其中 m 为整数， {αi } {0,1,2, ,9} 且 α1 0 . 如果有
*
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
E(x*) x x* 1 10 m n ， 2
则称 x 为 x 的具有 n 位有效数字的近似数， 或称 x 准确到
1 Er ( x*) 10 1n ； 2α1
0
x*至少具有 n 位有效
数字。
定理证明
x1 10
m 1
x ( x1 1) 10
*
m 1
,
1 E ( x ) 10 m n 2
*
1o
E ( x* ) 1 Er ( x*) * 10 m n x* x 2
内容提要： 误差的来源及其分类 误差的度量（误差与有效数字） 数值计算的误差估计
一、误差来源及其分类
1)模型误差（描述误差） 反映实际问题有关量之间的计算公式（ 数学模型）通常是近似的。 2）观测误差 数学模型中包含的某些参数是通过观 测得到的。 m1m2
F G
在计算方法中不研究这两类误差，总是假 定数学模型是正确合理的反映了客观实际问题。
1 1 mn 10 101 n 2 10 m-1 α1 2α1
2o
1 E ( x ) Er ( x*) x 101n 10m-1 (α1 1) 2(α1 1)
* *
1 10 m n 2
证毕
Remark
1、该定理实质上给出了一种求相对误差限的方法。
1 f ( p* ) f ( p* ) * * *) f ( p) f ( p ( x1 x1 ) ( xn xn ) 1! x1 xn
1 2 f ( p* ) f 2 ( p* ) * ( x1 x1* ) 2 ( x1 x1* )( xn xn ) 2! x1x1 x1xn 2 f ( p* ) 2 f ( p* ) * * * ( x2 x2 )( x1 x1* ) ( x2 x2 )( xn xn ) x2x1 x2xn f (p ) f (p ) * * * 2 ( xn xn )( x1 x1 ) ( xn xn ) xn x1 xn xn
算法：指把对数学问题的解法归结为只有 加、减、乘、除等基本运算，并确定运算次序 的完整而准确的描述。
算法分类: 从算法执行所花费的时间角度来讲，若 算术运算占绝大多数时间则称其为数值型算 法，否则为非数值型算法。 本课程介绍数值型串行算法。（其它类 型算法参阅数据结构、并行算法等课程。）
算法的可靠性：算法的可靠性包括算法的收 敛性、稳定性、误差估计等几个方面。这些是
Remark4: 从实验仪器所读的近似数（最后一为 是估计位）不是有效数，估计最后一位是为了确 保对最后一位进行四舍五入得到有效数。 –例 从最小刻度为厘米的标尺读得的数据 123.4cm是为了得到有效数123.cm,读得数据 156.7cm是为了得到有效数157.cm。
4.误差度量间的联系
建立数学模型：
辨析实际问题其中的主要矛盾和次要矛盾 ，并在合理假设的条件下，运用各种数学理 论、工具和方法，建立起问题中不同量之间 的联系 ，即得到数学模型。
提出数值问题
数值问题是指有限个输入数据（问题 的自变量、原始数据）与有限个输出数据 （待求解数据）之间函数关系的一个明确 无歧义的描述。这正是数值分析所研究的 对象。
定义 设 x*是对准确值 x（ 0 ）的一个近似，称
x x* E ( x* ) Er ( x* ) * * x x
Er ( x* ) 为 Er . 为 x 近似 x 的相对误差。不引起混淆时，简记
*
Er (x*) 的上界，记为 δ ( x* ) 。 相对误差限：数值
δ η | x* | 来计算。 相对误差限也可以通过
科学与工程计算过程小结
• • • • • •
提出实际问题 建立数学模型 提出数值问题 设计可靠、高效的算法 程序设计、上机实践计算结果 计算结果的可视化
在具体问题的求解过程中，上述步骤形成一个 循环。 科学计算（数值模拟）已经被公认为与理论分 析、实验分析并列的科学研究三大基本手段之一。
本课程主要内容
对于 x 5 ，有α 1=2.
1 1 1 n 1 n 10 10 依据定理 1 有 E（x *） r 2α1 4
o
1 101 n 0.01 ， 令4 解得 n 2.4 . 取 n=3 位有效数字。
#
三、数值运算的误差估计
概念：近似数参加运算后所得之值一般也是近似 值，含有误差，将这一现象称为误差传播 。 误差传播的表现： –算法本身可能有截断误差； –初始数据在计算机内的浮点表示一般有舍入误 差； –每次运算一般又会产生新的舍入误差，并传播 以前各步已经引入的误差； –误差有正有负，误差积累的过程一般包含有误 差增长和误差相消的过程，并非简单的单调增 长； –运算次数非常之多，不可能人为地跟踪每一步 运算。
η ( x* ) ，使得有绝对误差
E（x * ) x x * η
，
则称η为 x*近似 x 的一个绝对误差限。
x [ x * η , x * η ] ， x x * η
个尽可能小的绝对误差限。
。
Remark: 通常计算中所要求的误差， 是指估计一
2.相对误差
•
Remark: 绝对误差限虽然能够刻划对同一真值 不同近似的好坏，但它不能刻划对不同真值近似 程度的好坏 。
数值问题举例
dy 2 x y dx y (0) y 0 x [0, 1]
是用一阶常微分方程初值问题表示的 数学模型，要求无穷多个输出，因而它不是 数值问题 。但当我们要求出有限个点处函 数值的近似值时，便成为一数值问题。
设计高效可靠的算法
计算方法的任务之一就是提供求得数值问 题近似解的方法—算法。
1 13 x x 0.00057 0.005 10 2 3位有效数字，非有效数
* 1
1 14 x x 0.00040 0.0005 10 2
* 2
4位有效数字，有效数
有效数的绝对误差限、相对误差限
有效数x*=1.234,则
E(x*)=0.0005 若x*= 29×102，则 E(x*)=50 若x*= 2900，则 E(x*)=0.5 若x*= 29×10-2，则 E(x*)=0.005 2900=29.00×102≠ 29×102
* *
10 mn
位，其中数字 α1 , α2 , , αn 分别被称为 x*的第一、二、…、n 个有 效数字。
有效数：当x*
准确到末位，即n=p，则称 x*为有效数。即四舍五入得到的近似数。 举例：x=π=3.1415926…, 近似数 x1*=3.14102, x2*=3.142
1 n Er x *） （ 101并不能保证x*一定具有n 2、仅从 2α1
位有效数字。如 A sin 29 20 0.4900
设其近似值a=0.484，其相对误差为：
0.4900 0.484 1 0.012397 0.0125 101 2 0.484 2 4
r
2
3）截断误差（方法误差） 数值方法精确解与待求解模型的理论分 析解之间的差异。 这是由于我们需要将无穷过程截断为有 限过程，而使得算法必须在有限步内执行结 束而导致的。
例如：
1 1 1 1 1 e 1 , en 1 , e en 1! 2! 1! 2! n!
我们并不能由此断定a有两位有效数字，因为
A a 0.4900 0.484 0.0600 0.005 1 100 2 2
例题
为使 x 5 的近似值
x 的相对误差不超过 1%，问查开方表
*
时至少要取几位有效数字？
解： * 设近似数 x 保留 n 位有效数字可满足题设要求.
数值分析研究的第二个任务。
一个算法在保证可靠的大前提下再评价其 优劣才是有价值的。 算法的优劣评价：可靠算法的优劣，应该考 虑其时间复杂度（计算机运行时间）、空间 复杂度（占据计算机存储空间的多少）以及 逻辑复杂度（影响程序开发的周期以及维护 ）。这是数值分析研究的第三个任务。
计算方法的特点
严密的科学性、操作的实践性、高度抽
初值误差传播：假设每一步都是准确
计算，即不考虑截断误差和由运算进 一步引入的舍入误差，仅介绍初始数 据的误差传播规律。
–研究方法：
泰勒（Taylor）方法
–n元函数
复习泰勒公式
( x1* , x2* , , xn* ) 为 p*, 记点
点 ( x1 , x2 , , xn ) 为 p，n 元泰勒公式：
4）舍入误差 在实现数值方法的过程中，由于计算机表示 浮点数采用的是有限字长，因而仅能够区分有限 个信息，准确表示某些数，不能准确表示所有实 数，这样在计算机中表示的原始输入数据、中间 计算数据、以及最终输出结果必然产生误差，称 此类误差为舍入误差。 如利用计算机计算e的近似值en时，实际上 得不到en的精确值，只能得到en的近似e*；这样 e*作为e的近似包含有舍入误差和截断误差两部 分：
绝对误差与相对误差
E ( x* ) / x* Er ( x* )
绝对误差与有效数字（教材第7页1.2.2式）
E ( x* ) 1 10 mn 2
相对误差与有效数字（教材第8页1.2.3式）
定理： 1 2
0
若 x*具有 n 位有效数字，则相对误差 若相对误差
1 Er ( x*) 101n ，则 2(α1 1)
鉴于实际问题的复杂性，通常将其具体地 分解为一系列子问题进行研究，本课程主要涉 及如下几个方面问题的求解算法： 函数的插值和曲线拟合 数值积分和数值微分 线性方程组求解、非线性方程（组）求解 代数特征值问题 常微分方程数值解法
§1.2 误差知识
（误差与数值计算中的误差估计）
1. 2. 3.
教材第6页中间：
若近似数x*的绝对误差限不超过某一位
的半个单位，则称其精确到这一位，且 从该位到x*的第一位非零数字共有n位， 则称近似数x*具有n位有效数字。（返回 前两页例题）
Remark1: 有效数的误差限是末位数单位的一半 ，可见有效数本身就体现了误差界。 Remark2: 对真值进行四舍五入得到有效数。 Remark3:准确数字有无穷多位有效数字。
Remark1: 当要求计算相对误差，是指估计一个 尽可能小的相对误差限。
Remark2: 相对误差及相对误差限是无量纲的，但绝对 误差以及绝对误差限是有量纲的。
3.有效数字
为了规定一种近似数的表示法，使得用它表示 的近似数自身就直接指示出其误差的大小。为此需 要引出有效数字和有效数的概念。
象性、应用的广泛性、提供算法、算法 分析、兼顾计算机的特点：有效数字（ 精度）、运算量、存储量等。
算法应用状态
计算方法研究对象以及解决问题方法的 广泛适用性，著名流行软件如Maple、Matlab、 Mathematica等已将其绝大多数内容设计成函 数，简单调用之后便可以得到运行结果。 但由于实际问题的具体特征、复杂性， 以及算法自身的适用范围决定了应用中必须 选择、设计适合于自己特定问题的算法，因 而掌握数值方法的思想和内容是至关重要的。
数值分析 或计算方法
第一章 数值计算中的误差分析 （绪论）
内容提要 §1.1 计算方法的任务与特点 §1.2 误差知识(误差与误差估计) §1.3 选用算法时应遵循的原则
§1.1计算方法的任务与特点
计算机的用途分类：科学计算、数据处理…
科学与工程计算过程：实际问题→数学模型
→数值问题→算法→程序→调试→结果
e e (e en ) (en e)
* *
二、误差的度量
1) 2) 3) 4)
绝对误差 相对误差 有效数字 度量间的关系
1. 绝对误差
绝对误差定义：准确值 x 减近似值 x*
x x E ( x* )
*
*
在不引起混淆时，简记 E(x )为 E。 • 绝对误差限：
如果存在正数η
定义：设 x 的近似值 x 有如下标准形式 x * 10 m 0.α1α 2 α n ...αp ， 其中 m 为整数， {αi } {0,1,2, ,9} 且 α1 0 . 如果有
*
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
E(x*) x x* 1 10 m n ， 2
则称 x 为 x 的具有 n 位有效数字的近似数， 或称 x 准确到
1 Er ( x*) 10 1n ； 2α1
0
x*至少具有 n 位有效
数字。
定理证明
x1 10
m 1
x ( x1 1) 10
*
m 1
,
1 E ( x ) 10 m n 2
*
1o
E ( x* ) 1 Er ( x*) * 10 m n x* x 2
内容提要： 误差的来源及其分类 误差的度量（误差与有效数字） 数值计算的误差估计
一、误差来源及其分类
1)模型误差（描述误差） 反映实际问题有关量之间的计算公式（ 数学模型）通常是近似的。 2）观测误差 数学模型中包含的某些参数是通过观 测得到的。 m1m2
F G
在计算方法中不研究这两类误差，总是假 定数学模型是正确合理的反映了客观实际问题。
1 1 mn 10 101 n 2 10 m-1 α1 2α1
2o
1 E ( x ) Er ( x*) x 101n 10m-1 (α1 1) 2(α1 1)
* *
1 10 m n 2
证毕
Remark
1、该定理实质上给出了一种求相对误差限的方法。
1 f ( p* ) f ( p* ) * * *) f ( p) f ( p ( x1 x1 ) ( xn xn ) 1! x1 xn
1 2 f ( p* ) f 2 ( p* ) * ( x1 x1* ) 2 ( x1 x1* )( xn xn ) 2! x1x1 x1xn 2 f ( p* ) 2 f ( p* ) * * * ( x2 x2 )( x1 x1* ) ( x2 x2 )( xn xn ) x2x1 x2xn f (p ) f (p ) * * * 2 ( xn xn )( x1 x1 ) ( xn xn ) xn x1 xn xn
算法：指把对数学问题的解法归结为只有 加、减、乘、除等基本运算，并确定运算次序 的完整而准确的描述。
算法分类: 从算法执行所花费的时间角度来讲，若 算术运算占绝大多数时间则称其为数值型算 法，否则为非数值型算法。 本课程介绍数值型串行算法。（其它类 型算法参阅数据结构、并行算法等课程。）
算法的可靠性：算法的可靠性包括算法的收 敛性、稳定性、误差估计等几个方面。这些是
Remark4: 从实验仪器所读的近似数（最后一为 是估计位）不是有效数，估计最后一位是为了确 保对最后一位进行四舍五入得到有效数。 –例 从最小刻度为厘米的标尺读得的数据 123.4cm是为了得到有效数123.cm,读得数据 156.7cm是为了得到有效数157.cm。
4.误差度量间的联系
建立数学模型：
辨析实际问题其中的主要矛盾和次要矛盾 ，并在合理假设的条件下，运用各种数学理 论、工具和方法，建立起问题中不同量之间 的联系 ，即得到数学模型。
提出数值问题
数值问题是指有限个输入数据（问题 的自变量、原始数据）与有限个输出数据 （待求解数据）之间函数关系的一个明确 无歧义的描述。这正是数值分析所研究的 对象。
定义 设 x*是对准确值 x（ 0 ）的一个近似，称
x x* E ( x* ) Er ( x* ) * * x x
Er ( x* ) 为 Er . 为 x 近似 x 的相对误差。不引起混淆时，简记
*
Er (x*) 的上界，记为 δ ( x* ) 。 相对误差限：数值
δ η | x* | 来计算。 相对误差限也可以通过
科学与工程计算过程小结
• • • • • •
提出实际问题 建立数学模型 提出数值问题 设计可靠、高效的算法 程序设计、上机实践计算结果 计算结果的可视化
在具体问题的求解过程中，上述步骤形成一个 循环。 科学计算（数值模拟）已经被公认为与理论分 析、实验分析并列的科学研究三大基本手段之一。
本课程主要内容
对于 x 5 ，有α 1=2.
1 1 1 n 1 n 10 10 依据定理 1 有 E（x *） r 2α1 4
o
1 101 n 0.01 ， 令4 解得 n 2.4 . 取 n=3 位有效数字。
#
三、数值运算的误差估计
概念：近似数参加运算后所得之值一般也是近似 值，含有误差，将这一现象称为误差传播 。 误差传播的表现： –算法本身可能有截断误差； –初始数据在计算机内的浮点表示一般有舍入误 差； –每次运算一般又会产生新的舍入误差，并传播 以前各步已经引入的误差； –误差有正有负，误差积累的过程一般包含有误 差增长和误差相消的过程，并非简单的单调增 长； –运算次数非常之多，不可能人为地跟踪每一步 运算。
η ( x* ) ，使得有绝对误差
E（x * ) x x * η
，
则称η为 x*近似 x 的一个绝对误差限。
x [ x * η , x * η ] ， x x * η
个尽可能小的绝对误差限。
。
Remark: 通常计算中所要求的误差， 是指估计一
2.相对误差
•
Remark: 绝对误差限虽然能够刻划对同一真值 不同近似的好坏，但它不能刻划对不同真值近似 程度的好坏 。
数值问题举例
dy 2 x y dx y (0) y 0 x [0, 1]
是用一阶常微分方程初值问题表示的 数学模型，要求无穷多个输出，因而它不是 数值问题 。但当我们要求出有限个点处函 数值的近似值时，便成为一数值问题。
设计高效可靠的算法
计算方法的任务之一就是提供求得数值问 题近似解的方法—算法。
1 13 x x 0.00057 0.005 10 2 3位有效数字，非有效数
* 1
1 14 x x 0.00040 0.0005 10 2
* 2
4位有效数字，有效数
有效数的绝对误差限、相对误差限
有效数x*=1.234,则
E(x*)=0.0005 若x*= 29×102，则 E(x*)=50 若x*= 2900，则 E(x*)=0.5 若x*= 29×10-2，则 E(x*)=0.005 2900=29.00×102≠ 29×102
* *
10 mn
位，其中数字 α1 , α2 , , αn 分别被称为 x*的第一、二、…、n 个有 效数字。
有效数：当x*
准确到末位，即n=p，则称 x*为有效数。即四舍五入得到的近似数。 举例：x=π=3.1415926…, 近似数 x1*=3.14102, x2*=3.142
1 n Er x *） （ 101并不能保证x*一定具有n 2、仅从 2α1
位有效数字。如 A sin 29 20 0.4900
设其近似值a=0.484，其相对误差为：
0.4900 0.484 1 0.012397 0.0125 101 2 0.484 2 4
r
2
3）截断误差（方法误差） 数值方法精确解与待求解模型的理论分 析解之间的差异。 这是由于我们需要将无穷过程截断为有 限过程，而使得算法必须在有限步内执行结 束而导致的。
例如：
1 1 1 1 1 e 1 , en 1 , e en 1! 2! 1! 2! n!
我们并不能由此断定a有两位有效数字，因为
A a 0.4900 0.484 0.0600 0.005 1 100 2 2
例题
为使 x 5 的近似值
x 的相对误差不超过 1%，问查开方表
*
时至少要取几位有效数字？
解： * 设近似数 x 保留 n 位有效数字可满足题设要求.
数值分析研究的第二个任务。
一个算法在保证可靠的大前提下再评价其 优劣才是有价值的。 算法的优劣评价：可靠算法的优劣，应该考 虑其时间复杂度（计算机运行时间）、空间 复杂度（占据计算机存储空间的多少）以及 逻辑复杂度（影响程序开发的周期以及维护 ）。这是数值分析研究的第三个任务。
计算方法的特点
严密的科学性、操作的实践性、高度抽
初值误差传播：假设每一步都是准确
计算，即不考虑截断误差和由运算进 一步引入的舍入误差，仅介绍初始数 据的误差传播规律。
–研究方法：
泰勒（Taylor）方法
–n元函数
复习泰勒公式
( x1* , x2* , , xn* ) 为 p*, 记点
点 ( x1 , x2 , , xn ) 为 p，n 元泰勒公式：
4）舍入误差 在实现数值方法的过程中，由于计算机表示 浮点数采用的是有限字长，因而仅能够区分有限 个信息，准确表示某些数，不能准确表示所有实 数，这样在计算机中表示的原始输入数据、中间 计算数据、以及最终输出结果必然产生误差，称 此类误差为舍入误差。 如利用计算机计算e的近似值en时，实际上 得不到en的精确值，只能得到en的近似e*；这样 e*作为e的近似包含有舍入误差和截断误差两部 分：
绝对误差与相对误差
E ( x* ) / x* Er ( x* )
绝对误差与有效数字（教材第7页1.2.2式）
E ( x* ) 1 10 mn 2
相对误差与有效数字（教材第8页1.2.3式）
定理： 1 2
0
若 x*具有 n 位有效数字，则相对误差 若相对误差
1 Er ( x*) 101n ，则 2(α1 1)
鉴于实际问题的复杂性，通常将其具体地 分解为一系列子问题进行研究，本课程主要涉 及如下几个方面问题的求解算法： 函数的插值和曲线拟合 数值积分和数值微分 线性方程组求解、非线性方程（组）求解 代数特征值问题 常微分方程数值解法
§1.2 误差知识
（误差与数值计算中的误差估计）
1. 2. 3.
教材第6页中间：
若近似数x*的绝对误差限不超过某一位
的半个单位，则称其精确到这一位，且 从该位到x*的第一位非零数字共有n位， 则称近似数x*具有n位有效数字。（返回 前两页例题）
Remark1: 有效数的误差限是末位数单位的一半 ，可见有效数本身就体现了误差界。 Remark2: 对真值进行四舍五入得到有效数。 Remark3:准确数字有无穷多位有效数字。
Remark1: 当要求计算相对误差，是指估计一个 尽可能小的相对误差限。
Remark2: 相对误差及相对误差限是无量纲的，但绝对 误差以及绝对误差限是有量纲的。
3.有效数字
为了规定一种近似数的表示法，使得用它表示 的近似数自身就直接指示出其误差的大小。为此需 要引出有效数字和有效数的概念。
象性、应用的广泛性、提供算法、算法 分析、兼顾计算机的特点：有效数字（ 精度）、运算量、存储量等。
算法应用状态
计算方法研究对象以及解决问题方法的 广泛适用性，著名流行软件如Maple、Matlab、 Mathematica等已将其绝大多数内容设计成函 数，简单调用之后便可以得到运行结果。 但由于实际问题的具体特征、复杂性， 以及算法自身的适用范围决定了应用中必须 选择、设计适合于自己特定问题的算法，因 而掌握数值方法的思想和内容是至关重要的。