八年级数学上册：三角形中的边角关系命题与证明练习
沪科版八年级上册数学第13章 三角形中的边角关系、命题与证明含答案
沪科版八年级上册数学第13章三角形中的边角关系、命题与证明含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，则∠1＋∠2的度数为( )A.120°B.135°C.150°D.180°2、如图，△ABC的面积为1cm2， AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（）A. B. C. D.3、如图，在矩形ABCD中，点E是AD上任意一点，则有（）A.△ABE的周长＋△CDE的周长＝△BCE的周长B.△ABE的面积＋△CDE 的面积＝△BCE的面积C.△ABE∽△DECD.△ABE∽△EBC4、若等腰三角形的顶角为，则它的一个底角度数为A.20°B.50°C.80°D.100°5、平行四边形的两条对角线长分别为8cm和10cm，则其边长的范围是（）A.2＜x＜6B.3＜x＜9C.1＜x＜9D.2＜x＜86、如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠1＝30°，∠2＝40°，∠D的度数是（）A.110°B.120°C.130°D.140°7、如图，已知△ABC中，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）A.90°B.135°C.270°D.315°8、如图，直线AB∥CD，∠B=50°，∠C=40°，则∠E等于（）A.70°B.80°C.90°D.100°9、如果三角形的两边长分别是4和9，那么第三边长可能是( )A.1B.5C.8D.1410、如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=8cm，AC=6cm，则S△ABD :S△ACD=( )A.3:4B.4:3C.16:9D.9:1611、在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是、、，则下列说法中错误的是（）A.如果∠C-∠B=∠A，那么△ABC是直角三角形，∠C=90°B.如果，则∠B=60°，∠A=30° C.如果，那么△ABC是直角三角= D.如果，那么△ABC是直角三角形12、如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，AD＝5，DH⊥AB于点H，则DH的长为( )A.24B.10C.4.8D.613、如图，AB是圆O的直径，CD是圆O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，∠E=16°，则∠ABC的度数是( )A. B. C. D.14、如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′∥BC，BE、CD交于点F．若∠BAC=35°，则∠BFC的大小是（）A.105°B.110°C.100°D.120°15、下列命题正确的有 ( )个①40°角为内角的两个等腰三角形必相似②若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为750③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（a>b=c），那么a2∶b2∶c2=2∶1∶1⑤若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则此△为等腰直角三角形。
三角形中的边角关系、命题与证明期末复习(含答案)
期末复习三角形中的边角关系、命题与证明类型一三角形的有关概念1.已知AD,AE分别是△ABC的中线和角平分线,则下列结论中错误的是()A.BD=BCB.BC=2CDC.∠BAE=∠BACD.∠BAC=2∠CAD2.如图QM3-1所示:图QM3-1(1)在△ABC中,BC边上的高是;(2)在△AEC中,AE边上的高是.3.如图QM3-2,回答下列问题:(1)图中有几个三角形?试写出这些三角形;(2)∠1是哪个三角形的内角?(3)以CE为一条边的三角形有几个?是哪几个?图QM3-2类型二三角形中三边关系的应用4.小明和小丽是同班同学,小明的家距学校2千米远,小丽的家距学校5千米远,设小明家距小丽家x千米远,则x的值应满足()A.x=3B.x=3或x=7C.3<x<7D.3≤x≤75.已知三角形两边的长分别是4和10,则此三角形第三边的长可能是()A.5B.6C.12D.166.△ABC的边长均为整数,且最大边的长为7,那么这样的三角形共有个.7.已知三角形两边的长为4,8,则第三边的长可以是(写出一个即可).类型三三角形内角和定理及其推论的应用8.[2017·大庆]在△ABC中,∠A,∠B,∠C的度数之比为234,则∠B的度数为()A.120°B.80°C.60°D.40°9.将一副三角尺如图QM3-3放置,已知AE∥BC,则∠AFD的度数是()图QM3-3A.45°B.50°C.60°D.75°10.如图QM3-4,在△ABC中,∠ACB=∠ABC,∠A=40°,P是△ABC内一点,且∠1=∠2,求∠BPC 的度数.图QM3-4类型四命题与证明11.请写出一个原命题是真命题,逆命题是假命题的命题:.12.请举反例说明“对于任意实数x,x2+5x+4的值总是正数”是假命题,你举的反例是x= (写出一个x的值即可).13.对于同一平面内的三条直线a,b,c,给出下列5个论断:①a∥b;②b∥c;③a⊥b;④a∥c;⑤a⊥c.请以其中两个论断为条件,一个论断为结论,组成一个你认为正确的命题.14.如图QM3-5,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,AE平分∠BAD,若AE∥CF,∠BCF=60°.请你求出∠DCF的度数,并说明你的理由.图QM3-5类型一分类讨论思想的应用15.已知等腰三角形两边的长分别为5和6,则这个等腰三角形的周长为.16.△ABC中,AB∶AC=3∶2,BC=AC+1,若△ABC的中线BD把△ABC的周长分成8∶7两部分,求边AB,AC的长.17.现在要设计一种三角形有两种方案:①三角形三边长分别为2x,3x,10,其中x为正整数,且周长不超过30;②有两边长分别是7分米,3分米,第三边长y为奇数(单位:分米).分别讨论满足条件的三角形各有几个.类型二解三角形问题常用辅助线18.如图QM3-6所示,已知a∥b,∠2=95°,∠3=150°,求∠1的度数.图QM3-619.如图QM3-7,若AB∥CD,求证:∠E+∠BAE-∠CDE=180°.图QM3-720.如图QM3-8,AD,BC相交于点E,∠1=∠2,∠3=∠4,∠C=32°,∠D=28°,求∠APB的度数.图QM3-8类型三创新问题展示21.在研究三角形内角和等于180°的证明方法时,小明和小虎分别给出了下列证法.小明:在△ABC中,延长BC到点D,∴∠ACD=∠A+∠B(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).又∵∠ACD+∠ACB=180°(平角的定义),∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等式的性质).小虎:在△ABC中,过点C作CD⊥AB于点D(如图QM3-9),∴∠ADC=∠BDC=90°(直角的定义),则∠A+∠ACD=90°,∠B+∠BCD=90°(直角三角形的两锐角互余),∴∠A+∠ACD+∠B+∠BCD=180°(等式的性质),即∠A+∠B+∠ACB=180°.请你判断上述两名同学的证法是否正确,如果不正确,写出一种你认为较简单的证明三角形内角和定理的方法,并与同伴交流.图QM3-922.已知:如图QM3-10①,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线相交于点O,则∠BOC=90°+∠A=×180°+∠A.请说明理由;如图QM3-10②,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的两条三等分线分别对应交于点O1,O2,则∠BO1C=×180°+∠A,∠BO2C=×180°+∠A.请说明理由;根据以上阅读理解,猜想n等分时[内部有(n-1)个交点],用含n的代数式表示∠BO n-1C= (直接写出结果,不需说明理由).图QM3-10期末复习1.D2.(1)AB(2)CD3.解:(1)图中共有8个三角形,分别是△ABC,△ABE,△ACD,△BCD,△BCE,△BCO,△BDO,△CEO.(2)∠1是△BCD和△BDO的内角.(3)以CE为一条边的三角形有2个,分别是△BCE和△CEO.4.D5.C6.167.答案不唯一,如5,6等8.C9.D10.解:∵∠A=40°,∠ACB=∠ABC,∴∠ACB=∠ABC=70°.又∵∠1=∠2,∴∠BCP=∠ABP.∴∠2+∠BCP=∠2+∠ABP=∠ABC=70°,∴∠BPC=180°-(∠2+∠BCP)=110°.11.答案不唯一,如“对顶角相等”12.-3(答案不唯一)13.解:可能组成的正确命题有如下几种结果(前两个作为条件,后一个作为结论):①②④;②④①;①④②;②⑤③;③⑤②;②③⑤.14.解:∠DCF=60°.理由如下:如图,∵∠B=90°,∠BCF=60°,∴∠1=30°.∵AE∥CF,∴∠2=∠1=30°.∵AE平分∠BAD,∴∠3=∠2=30°.又∵∠D=90°,∴∠4=60°.∵AE∥CF,∴∠DCF=∠4=60°.15.16或1716.解:设AB=3x,AC=2x,则BC=2x+1,由题意得①3x+x=(3x+2x+2x+1)×,解得x=2,则AB=6,AC=4;②3x+x=(3x+2x+2x+1)×,解得x=,则AB=,AC=.答:边AB的长为6,边AC的长为4;或者边AB的长为,边AC的长为.17.解:①2x+3x+10≤30,解得x≤4,即x可取1,2,3,4.当x等于1时,三边长分别为2,3,10,构不成三角形;当x等于2时,三边长分别为4,6,10,构不成三角形;当x等于3时,三边长分别为6,9,10;当x等于4时,三边长分别为8,12,10.故满足条件的三角形共有2个.②三角形的第三边长y满足:7-3<y<3+7,即4<y<10.因为第三边长为奇数,因而第三边长可以为5,7或9.故满足条件的三角形共有3个.18.解:解法一:如图①,∠ABC=180°-∠2=85°.∵a∥b,∴∠CAB=180°-∠3=30°.∵∠1是△ABC的外角,∴∠1=∠CAB+∠ABC=115°;解法二:如图②,过∠2的顶点A作射线AB∥a,那么AB∥b,则∠CAB=180°-150°=30°,∴∠DAB=∠2-∠CAB=95°-30°=65°,∴∠1=180°-∠DAB=115°;解法三:如图③,连接AC,∵a∥b,∴∠DAC+∠ECA=180°.而∠DAC=∠1-∠BAC,∠ECA=∠3-∠ACB,∴(∠1-∠BAC)+(∠3-∠ACB)=180°,即∠1+∠3-(∠BAC+∠ACB)=180°.在△ABC中,∠BAC+∠ACB+∠2=180°,即∠BAC+∠ACB=180°-∠2,∴∠1+∠3-(180°-∠2)=180°,从而∠1=360°-∠2-∠3=360°-95°-150°=115°.19.证明:如图,连接AD.∵AB∥CD,∴∠BAD=∠CDA(两直线平行,内错角相等).又∵∠ADE+∠DAE+∠E=180°(三角形内角和定理),∴∠ADE+∠DAE+∠E+∠BAD=180°+∠CDA,∴∠ADE+∠DAE+∠E+∠BAD=180°+∠ADE+∠CDE,∴∠E+∠BAE=180°+∠CDE,∴∠E+∠BAE-∠CDE=180°.20.解:由三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和,得∠AEB=∠CAE+∠C=∠DBC+∠D,从而2∠AEB=∠1+∠2+∠3+∠4+∠C+∠D,即∠AEB=∠2+∠3+(∠C+∠D).连接PE并延长至点F,易知∠AEF=∠2+∠APF,∠BEF=∠3+∠BPF,∴∠AEB=∠2+∠3+∠APB,∴∠APB=(∠C+∠D)=30°.21.解:两名同学的证法都不对.因为“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”与“直角三角形的两锐角互余”都是由三角形内角和定理推导的.证明:如图,在△ABC中,过点A作EF∥BC,∴∠EAB=∠B,∠FAC=∠C(两直线平行,内错角相等).∵∠EAB+∠BAC+∠FAC=180°(平角的定义),∴∠B+∠BAC+∠C=180°.22.解:在题图①中,∵∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB,∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠A)=90°+∠A=×180°+∠A.在题图②中,∵∠O1BC=∠ABC,∠O1CB=∠ACB,∴∠BO1C=180°-∠O1BC-∠O1CB=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠A)=120°+∠A=×180°+∠A.同理,∵∠O2BC=∠ABC,∠O2CB=∠ACB,∴∠BO2C=180°-∠O2BC-∠O2CB=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠A)=60°+∠A=×180°+∠A.通过前两个结果的证明,从而猜想:∠BO n-1C=×180°+-∠A.。
沪科8年级数学上册第13章2 命题与证明
作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过基本事实
(公理) 是最原始的依据；而命题不一定是真命题，因而不
能直接用来作为判断其他命题真假的依据.
例 4 填写下列证明过程中推理的依据.
知4－练
如图13.2-1，已知AC，BD相交于点O，DF平分
∠CDO与AC相交于点F，BE平分
∠ABO与AC相交于点E，∠A＝∠C.
知识点 5 三角形内角和定理及推论1, 2
知5－讲
1. 定理 三角形的内角和等于180°. 几何语言：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.
2. 三角形内角和定理的证明
知5－讲
证明方法 方法一
图示
证明过程
如图，过点A作l∥BC，则 ∠2＝∠B，∠3＝∠C. 因为 ∠1＋∠2＋∠3＝180°，所 以∠1＋∠B＋∠C＝180°.
知1－练
解：(1)(2)(3)(4)(5)(7)是命题，其中(2)(3)是真命题， (1)(4)(5)(7)是假命题.(6)不是命题.
知1－练
1-1. [期末·宿州桥区]下列命题是真命题的是( C ) A． 如果AB＝BC，那么点C是AB的中点 B． 三条线段的长分别为a，b，c，如果a＋b > c，那 么这三条线段一定能组成三角形 C． 三角形的内角和等于180° D． 如果| a |＝| b |，那么a＝b
续表： 证明方法
方法二
图示
知5－讲
证明过程 如图， 过点C作CD∥AB， 则∠1＝∠A，∠2＝∠B. 因 为∠1＋∠2＋∠ACB＝ 180°，所以∠A＋∠B＋ ∠ACB＝180°.
续表： 证明方法
方法三
图示
知5－讲
证明过程 如图，过点D作DE∥AB， DF∥AC，则∠1＝∠C， ∠2＝∠4，∠3＝∠B，∠A ＝∠4. 所以∠2＝∠A. 因为 ∠1＋∠2＋∠3＝180°，所 以∠A＋∠B＋∠C＝180°.
安徽省八年级上册数学(沪科版)期末考试复习：第13章《三角形中的边角关系、命题与证明》解答题精选
2020-2021学年安徽省八年级上册数学（沪科版）期末考试复习：第13章《三角形中的边角关系、命题与证明》解答题精选一．解答题（共22小题）1．（2019秋•当涂县期末）如图，在△ABC中，∠A＝75°，∠ABC与∠ACB的三等分线分别交于点M、N 两点．（1）求∠BMC的度数；（2）若设∠A＝α，用α的式子表示∠BMC的度数．2．（2019秋•埇桥区期末）（1）如图（a），BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．①当∠A＝60°时，求∠D的度数．②猜想∠A与∠D有什么数量关系？并证明你的结论．（2）如图（b），BD平分外角∠CBP，CD平分外角∠BCQ，（1）中②的猜想还正确吗？如果不正确，请你直接写出正确的结论（不用写出证明过程）．3．（2019秋•临泉县期末）如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件：①AB＝DE；②AC＝DF；③AB∥DE；④BE＝CF．请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明．解：我写的真命题是：已知：；求证：．（注：不能只填序号）证明如下：4．（2019秋•濉溪县期末）在如图所示的平面直角坐标系中，作出下列坐标的A（﹣3，2），B（0，﹣4），C （5，﹣3），D（0，1）．并求出四边形ABCD的面积．5．（2019秋•潜山市期末）如图，∠A＝37°，∠B＝28°，∠ADB＝148°，求∠C的度数．6．（2019秋•庐阳区期末）如图，在△ABC中，AD、CE分别平分∠BAC和∠ACB，AD、CE交于点O，若∠B＝50°，求∠AOC．7．（2019秋•庐阳区期末）在△ABC中，∠A+∠B＝∠C，∠B﹣∠A＝30°．（1）求∠A、∠B、∠C的度数；（2）△ABC按角分类，属于什么三角形？△ABC按边分类，属于什么三角形？8．（2019秋•裕安区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AE，CF是角平分线，它们相交于为O，AD是高，求∠BAD和∠AOC的度数．9．（2019秋•瑶海区期末）如图，已知△ABC．（1）若AB＝4，AC＝5，则BC边的取值范围是；（2）点D为BC延长线上一点，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E，若∠E＝55°，∠ACD＝125°，求∠B的度数．10．（2019秋•全椒县期末）已知，如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，直线EF分别交△ABC的边AB，AC 和CB的延长线于点D，E，F．（1）求证：∠F+∠FEC＝2∠A；（2）过B点作BM∥AC交FD于点M，试探究∠MBC与∠F+∠FEC的数量关系，并证明你的结论．11．（2019秋•涡阳县期末）如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AD⊥BC于D，AD＝5，BE⊥AC于E，求BE的长．12．（2019秋•全椒县期末）如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．13．（2019秋•和县期末）如图，在△ABC中，∠B＝47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，求∠E的度数．14．（2019秋•涡阳县期末）如图，三角形AOB中，A、B两点的坐标分别为（﹣4，﹣6），（﹣6，﹣3），求三角形AOB的面积（提示：三角形AOB的面积可以看作一个梯形的面积减去一些小三角形的面积）．15．（2018秋•望江县期末）在△ABC中，AB＝9，BC＝2，AC＝x．（1）求x的取值范围；（2）若△ABC的周长为偶数，则△ABC的周长为多少？16．（2018秋•长丰县期末）已知：如图，D是AB上的一点，E是AC上一点，BE、CD相交于点F，∠A ＝62°，∠ACD＝35°，∠ABE＝20°．求：（1）∠BDC的度数；（2）∠BFC的度数．17．（2018秋•埇桥区期末）在△ABC中，∠A＝∠B+20°，∠C＝∠A+50°，求△ABC各内角的度数．18．（2018秋•包河区期末）如图，△ABC中，∠ACB＞90°，AE平分∠BAC，AD⊥BC交BC的延长线于点D．（1）若∠B＝30°，∠ACB＝100°，求∠EAD的度数；（2）若∠B＝α，∠ACB＝β，试用含α、β的式子表示∠EAD，则∠EAD＝．（直接写出结论即可）19．（2018秋•桐城市期末）如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AE是∠BAC的平分线，∠B＝30°，∠C ＝70°，分别求：（1）∠BAC的度数；（2）∠AED的度数；（3）∠EAD的度数．20．（2018秋•无为县期末）如图，AC平分∠DCE，且与BE的延长线交于点A．（1）如果∠A＝35°，∠B＝30°，则∠BEC＝．（直接在横线上填写度数）（2）小明经过改变∠A，∠B的度数进行多次探究，得出∠A、∠B、∠BEC三个角之间存在固定的数量关系，请你用一个等式表示出这个关系，并进行证明．解：（2）关系式为：证明：21．（2018秋•阜南县期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，∠B＝42°，∠C＝70°，求：∠DAE的度数．22．（2019春•庐江县期末）已知：三角形ABC和同一平面内的点D．（1）如图1，点D在BC边上，DE∥BA交AC于E，DF∥CA交AB于F．若∠EDF＝85°，则∠A的度数为°．（2）如图2，点D在BC的延长线上，DF∥CA，∠EDF＝∠A，证明：DE∥BA．（3）如图3，点D是三角形ABC外部的一个动点，过D作DE∥BA交直线AC于E，DF∥CA交直线AB于F，直接写出∠EDF与∠A的数量关系（不需证明）．2020-2021学年安徽省八年级上册数学（沪科版）期末考试复习：第13章《三角形中的边角关系、命题与证明》解答题精选参考答案与试题解析一．解答题（共22小题）1．【解答】解：（1）∵∠A ＝75°，∴∠ABC +∠ACB ＝180°﹣75°＝105°，∴∠MBC +∠MCB =23×105°＝70°，∴∠BMC ＝180°﹣70°＝110°．（2）∵∠A ＝α，∴∠ABC +∠ACB ＝180°﹣α∴∠MBC +∠MCB =23×（180°﹣α）＝120°−23α∴∠BMC ＝180°﹣（120°−23α）＝60°+23α2．【解答】解：（1）①∵∠A ＝60°，∴∠ABC +∠ACB ＝180°﹣60°＝120°，∵∠DBC =12∠ABC ，∠DCB =12∠ACB ，∴∠DBC +∠DCB =12×120°＝60°，∴∠D ＝180°﹣60°＝120°．②结论：∠D ＝90°+12∠A ．理由：∵∠DBC =12∠ABC ，∠DCB =12∠ACB ，∴∠DBC +∠DCB =12×（∠ABC +∠ACB ）=12（180°﹣∠A ）＝90°−12∠A∴∠D ＝180°﹣（90°−12∠A ）＝90°+12∠A ．（2）不正确．结论：∠D ＝90°−12∠A ．理由：∵∠DBC =12∠PBC ，∠DCB =12∠ACB ，∴∠DBC +∠DCB =12×（∠PBC +∠QCB ）=12（∠A +∠ACB +∠A +∠ABC ）=12（180°+∠A ）＝90°+12∠A ，∴∠D ＝180°﹣（90°−+12∠A ）＝90°−12∠A ．3．【解答】解：我写的真命题是：已知：①②④；求证：③证明如下：∵BE ＝FC ，∴BE +EC ＝CF +EC ，即BC ＝FE ，在△ABC 和△DEF 中{AA =AA AA =AA AA =AA ，∴△ABC ≌△DEF （SSS ），∴∠B ＝∠DEF ，∴AB ∥DE ．故答案为①②④；③．4．【解答】解：如图所示，S 四边形ABCD =12×5×3+12×5×5=20．5．【解答】解：连接CD 并延长点E ， ∵∠ACD ＝∠ADE ﹣∠A ＝∠ADE ﹣37°，∴∠A ＝37°，∠ADE ＝∠A +∠ACD ，同理可得：∠BCD ＝∠BDE ﹣28°，∵∠ACB ＝∠ACD +∠BCD ，∴∠ADB ＝148°，∠ACB ＝∠ADB ﹣∠A ﹣∠B ，＝148°﹣37°﹣28°＝83°．6．【解答】解：∵∠ABC ＝50°， ∴∠BAC +∠ACB ＝180°﹣50°＝130°，∵AD ，CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ，∴∠OAC =12∠BAC ，∠OCA =12∠ACB ，∴∠OAC +∠OCA =12（∠BAC +∠ACB ）=12×130°＝65°，在△AOC 中，∠AOC ＝180°﹣（∠OAC +∠OCA ）＝180°﹣65°＝115°．7．【解答】解：（1）由题意：{∠A +∠A =∠AAA −AA =30°AA +AA +AA =180°，解得{∠A =30°AA =60°AA =90°．（2）∵∠C ＝90°，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∴按角分类，属于直角三角形．△ABC 按边分类，属于不等边三角形．8．【解答】解：∵AD 是高，∠B ＝50°，∴Rt △ABD 中，∠BAD ＝90°﹣50°＝40°，∵∠BAC ＝90°，∠B ＝50°，∴△ABC 中，∠ACB ＝90°﹣50°＝40°，∵AE ，CF 是角平分线，∴∠CAE =12∠BAC ＝45°，∠ACF =12∠ACB ＝20°，∴△AOC 中，∠AOC ＝180°﹣45°﹣20°＝115°．9．【解答】解：（1）∵AB ＝4，AC ＝5，∴5﹣4＜BC ＜4+5，即1＜BC ＜9，故答案为：1＜BC ＜9；（2）∵∠ACD ＝125°，∴∠ACB ＝180°﹣∠ACD ＝55°，∵DE ∥AC ，∴∠BDE ＝∠ACB ＝55°．∵∠E ＝55°，∴∠B ＝180°﹣∠E ﹣∠BDE ＝180°﹣55°﹣55°＝70°．10．【解答】（1）证明：∵∠FEC ＝∠A +∠ADE ，∠F +∠BDF ＝∠ABC ，∴∠F +∠FEC ＝∠F +∠A +∠ADE ，∵∠ADE ＝∠BDF ，∴∠F +∠FEC ＝∠A +∠ABC ，∵∠A ＝∠ABC ，∴∠F +∠FEC ＝∠A +∠ABC ＝2∠A ．（2）∠MBC ＝∠F +∠FEC ．证明：∵BM ∥AC ，∴∠MBA ＝∠A ，、∵∠A ＝∠ABC ，∴∠MBC ＝∠MBA +∠ABC ＝2∠A ，又∵∠F +∠FEC ＝2∠A ，∴∠MBC ＝∠F +∠FEC ．11．【解答】解：∵S △ABC =12AC •BE ，S △ABC =12BC •AD ，∴AC •BE ＝BC •AD ，∴BE =406=203．12．【解答】解：设BD ＝CD ＝x ，AB ＝y ，则AC ＝2BC ＝4x ，∵BC 边上的中线AD 把△ABC 的周长分成60和40两部分，AC ＞AB ， ∴AC +CD ＝60，AB +BD ＝40，即{4A +A =60A +A =40，解得：{A =12A =28， 当AB ＝28，BC ＝24，AC ＝48时，符合三角形三边关系定理，能组成三角形，所以AC ＝48，AB ＝28．13．【解答】解：∵三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，∴∠EAC =12∠DAC ，∠ECA =12∠ACF ；又∵∠B ＝47°（已知），∠B +∠1+∠2＝180°（三角形内角和定理），∴12∠DAC +12∠ACF =12（∠B +∠B +∠1+∠2）=227°2（外角定理），∴∠E ＝180°﹣（12∠DAC +12∠ACF ）＝66.5°．14．【解答】解：S △AOB ＝S 梯形BCDO ﹣（S △ABC +S △OAD ） =12×（3+6）×6﹣（12×2×3+12×4×6）＝27﹣（3+12） ＝12．15．【解答】解：（1）由题意知，9﹣2＜x ＜9+2，即7＜x ＜11；（2）∵7＜x ＜11，∴x 的值是8或9或10，∴△ABC 的周长为：9+2+8＝19（舍去）．或9+2+9＝20或9+2+10＝21（舍去）即该三角形的周长是20．16．【解答】解：（1）∵∠A ＝62°，∠ACD ＝35°，∴∠BDC ＝∠A +∠ACD ＝62°+35°＝97°；（2）∵∠ABE ＝20°，∠BDC ＝97°，∴∠BFC ＝∠BDC +∠ABE ＝97°+20°＝117°．17．【解答】解：∵∠A ＝∠B +20°，∠C ＝∠A +50°， ∴∠C ＝∠B +20°+50°，∵∠A +∠B +∠C ＝180°，∴∠B +20°+∠B +∠B +20°+50°＝180°，解得：∠B ＝30°，∴∠A ＝30°+20°＝50°，∴∠C ＝50°+50°＝100°，即∠A ＝50°，∠B ＝30°，∠C ＝100°．18．【解答】解：（1）∵AD ⊥BC ，∴∠D ＝90°，∵∠ACB ＝100°，∴∠ACD ＝180°﹣100°＝80°，∴∠CAD ＝90°﹣80°＝10°，∵∠B ＝30°，∴∠BAD ＝90°﹣30°＝60°，∴∠BAC ＝50°，∵AE 平分∠BAC ，∴∠CAE =12∠BAC ＝25°，∴∠EAD ＝∠CAE +∠CAD ＝35°；（2）∵AD ⊥BC ，∴∠D ＝90°，∵∠ACB ＝β，∴∠ACD ＝180°﹣β，∴∠CAD ＝90°﹣∠ACD ＝β﹣90°，∵∠B ＝α，∴∠BAD ＝90°﹣α，∴∠BAC ＝90°﹣α﹣（β﹣90°）＝180°﹣α﹣β， ∵AE 平分∠BAC ，∴∠CAE =12∠BAC ＝90°−12（α+β），∴∠EAD ＝∠CAE +∠CAD ＝90°−12（α+β）+β﹣90°=12β−12α．故答案为：12β−12α．19．【解答】解：（1）∵∠B ＝30°，∠C ＝70°，∴∠BAC ＝180°﹣∠B ﹣∠C ＝80°；（2）∵AE 是∠BAC 的平分线，∴∠BAE =12∠BAC ＝40°，∴∠AED ＝∠BAE +∠B ＝40°+30°＝70°；（3）∵AD ⊥BC ，∴∠ADE ＝90°，∴∠EAD ＝∠ADE ﹣AED ＝90°﹣70°＝20°．20．【解答】解：（1）∵∠A ＝35°，∠B ＝30°，∴∠ACD ＝∠A +∠B ＝65°，又∵AC 平分∠DCE ，∴∠ACE ＝∠ACD ＝65°，∴∠BEC ＝∠A +∠ACE ＝35°+65°＝100°， 故答案为：100°；（2）关系式为∠BEC ＝2∠A +∠B ．理由：∵AC 平分∠DCE ，∴∠ACD ＝∠ACE ，∵∠BEC ＝∠A +∠ACE ＝∠A +∠ACD ，∵∠ACD ＝∠A +∠B ，∴∠BEC ＝∠A +∠A +∠B ＝2∠A +∠B ．21．【解答】解：∵∠B ＝42°，∠C ＝70°，∴∠BAC ＝180°﹣∠B ﹣∠C ＝68°，∵AE 平分∠BAC ，∴∠CAE=12A BAC＝34°，∵AD是BC边上的高，∴∠ADC＝90°，∵∠C＝70°，∴∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝20°，∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝34°﹣20°＝14°．22．【解答】解：（1）∵DE∥BA，DF∥CA，∴∠A＝∠DEC，∠DEC＝∠EDF，∵∠EDF＝85°∴∠A＝∠EDF＝85°；故答案为：85；（2）证明：如图1，延长BA交DF于G．∵DF∥CA，∴∠2＝∠3．又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3．∴DE∥BA．（3）∠EDF＝∠A，∠EDF+∠A＝180°，理由：如图2，∵DE∥BA，DF∥CA，∴∠EDF+∠E＝180°，∠E+∠EAF＝180°，∴∠EDF＝∠EAF＝∠A；如图3，∵DE∥BA，DF∥CA，∴∠EDF+∠F＝180°，∠F＝∠CAB，∴∠EDF+∠BAC＝180°．即∠EDF+∠A＝180°，。
沪科版八年级数学上第13章三角形中的边角关系、命题与证明13
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典例导学 如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ACD＝∠B.求证：△CDB 是直角
三角形．
【思路分析】要证△CDB 是直角三角形，可证∠B＋∠DCB＝90°，在△ABC
中，已知∠ACB＝90°，易证△CDB 是直角三角形．
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A．85° B．90° C．95° D．100°
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9．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，则∠B 为 A．15° B．30° C．50° D．60°
(D)
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10．已知三角形 ABC 的三个内角满足关系∠B＋∠C＝3∠A，则此三角形 (D)
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第 3 课时 三角形内角和定理的证明及 推论
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要点感知 1．三角形内角和定理：三角形的内角和等于 18180°0°. 2．为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫做辅辅助线助线． 3．直角三角形的两锐角互互余 余． 4．有两个角互余的三角形是直直角角三三角形角形．
1 ∴∠EGD＝3×(180°－60°)＝40°， ∴∠1＝40°.
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(2)∠AEF＋∠FGC＝90°. 理由：∵AB∥CD， ∴∠AEG＋∠CGE＝180°， 即∠AEF＋∠FEG＋∠EGF＋∠FGC＝180°， 又∵∠FEG＋∠EGF＝90°， ∴∠AEF＋∠FGC＝90°.
八年级数学上册三角形中的边角关系、命题与证明 . 命题与证明三角形的外角
12.星期天,小明见爸爸愁眉苦脸在看一张图纸,他便悄悄地来到爸爸身边,想看爸爸为什么犯愁.爸爸 见到他,高兴地对他说:“来帮我一个忙,你看这是一个四边形零件的平面图,它要求∠BDC等于 140°才算合格,小明通过测量得∠A=90°,∠B=19°,∠C=40°后就下结论说此零件不合格,于是爸爸 让小明解释(jiěshì)这是为什么,小明很轻松地说出了原因,并用如下的三种方法解出此题.请你分别说 出不合格的理由. ( 1 )如图1,连接AD并延长. ( 2 )如图2,延长CD交AB于点E. ( 3 )如图3,连接BC.
( 2 )∵∠BAC+∠B+∠C=180°,∠BAC=70°,∠B=40°,
∴∠C=70°.
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6.如图所示,∠ACD是△ABC的一个外角,CE平分∠ACD,F为CA延长线上的一 点(yī diǎn),FG∥CE,交AB于点G,下列说法正确的是 ( C )
A.∠2+∠3>∠1 B.∠2+∠3<∠1 C.∠2+∠3=∠1 D.无法(wúfǎ)判断
你的结论.
解:( 1 )延长(yáncháng)BD交AC于点E. ∵∠BDC是△CDE的外角,∴∠BDC=∠ACD+∠CED,
∵∠CED是△ABE的外角,∴∠CED=∠A+∠ABD.
∴∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD. ( 2 )∠D+∠A+∠ABD+∠ACD=360°. ( 3 )令BD,AC交于点E, ∵∠AED是△ABE的外角,∴∠AED=∠A+∠ABD, ∵∠AED是△CDE的外角,∴∠AED=∠D+∠ACD,
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知识点2 三角形外角(wài jiǎo)的性质
第十三章 三角形边角关系及命题与证明 (含答案)
第十三章三角形边角关系及命题与证明一、单选题1．已知△ABC的两条高分别为4和12，第三条高也为整数，则第三条高所有可能值为（）A． 3和4 B． 1和2 C． 2和3 D． 4和52．已知非直角三角形ABC中，∠A=45°，高BD与CE所在直线交于点H，则∠BHC的度数是（）A． 45° B． 45°或135° C． 45°或125° D． 135°3．下列说法中正确的是（）A．两条射线组成的图形叫做角B．小于平角的角可分为锐角和钝角两类C．射线就是直线D．两点之间的所有连线中，线段最短4．如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，C、D 两点落到、处已知，且，则的度数为A． B． C． D．5．已知如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠BAC=60°，BO、AO分别平分∠ABC 和∠BAC，求∠BCO的大小（）A． 35° B． 40° C． 55° D． 60°6．下列命题中，属于真命题的是（）A．同位角相等 B．任意三角形的外角一定大于内角C．多边形的内角和等于180° D．同角或等角的余角相等7．如图：在△ABC中，G是它的重心，AG⊥CD ，如果，则△AGC的面积的最大值是（）A． B． 8 C． D． 68．如图，在△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F=（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH=∠ABE+∠C．试卷第1页，总4页其中正确的是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④9．如图，四边形ABCD中，E、F、G、H依次是各边中点，O是四边形ABCD内一点，若四边形AEOH、四边形BFOE、四边形CGOF的面积分别为7、9、10，则四边形DHOG的面积为（）A． 7 B． 8 C． 9 D． 1010．设△ABC的面积为1，如图①将边BC、AC分别2等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；……，依此类推，则S5的值为（）A． B． C． D．二、填空题11．对于命题“如果∠1+∠2=90°,那么∠1=∠2”,能说明它是假命题的反例是_____.12．如图，点C是线段AB上的动点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作等边△ACD、等边△BCE，BD、AE交于点P．若AB=6，则PC的最大值为_____．13．如图，设△ABC的两边AC与BC之和为a，M是AB的中点，MC=MA=5，则a的取值范围是_____．14．如图，中，，、分别平分，，则________，若、分别平分，的外角平分线，则________．15．三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中称为“特征角”，如果一个“特征三角形”的“特征角”为，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为______．三、解答题试卷第2页，总4页16．已知:点D是∠ABC所在平面内一点,连接AD、CD．（1）如图1,若∠A＝28°,∠B＝72°,∠C＝11°,求∠ADC;（2）如图2,若存在一点P，使得PB平分∠ABC,同时PD平分∠ADC,探究∠A,∠P,∠C的关系并证明;.（3）如图3,在 (2) 的条件下,将点D移至∠ABC的外部,其它条件不变,探究∠A,∠P,∠C的关系并证明（1）用直尺和圆规在∠ACB的内部作射线CM，使∠ACM=∠ABC（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若（1）中的射线CM交AB于点D，∠A=600，∠B=400，求∠BDC．18．如图①，在△ABC中，AE平分∠BAC，∠C＞∠B，F是AE上一点，且FD⊥BC于D点．(1)试猜想∠EFD，∠B，∠C的关系，并说明理由；(2)如图②，当点F在AE的延长线上时，其余条件不变，(1)中的结论还成立吗？说明理由．①②19．“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”，试解答下列问题：问题一：在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系；问题二：在图2中，若∠D=40°，∠B=36°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，试求∠P的度数；试卷第3页，总4页问题三：在图3中，已知AP、CP分别平分∠BAM、∠BCD，请问∠P与∠B、∠D之间存在着怎样的数量关系？并说明理由．问题四：在图4中，已知AP的反向延长线平分∠EAB，CP平分∠DCF，请直接写出∠P与∠B、∠D之间的数量关系．20．一副三角板如图1摆放,∠C=∠DFE=90∘,∠B=30∘,∠E=45∘,点F在BC上,点A在DF上,且AF平分∠CAB,现将三角板DFE绕点F顺时针旋转(当点D落在射线FB上时停止旋转).(1)当∠AFD=_ __∘时,DF∥AC;当∠AFD=__ _∘时，DF⊥AB；(2)在旋转过程中，DF与AB的交点记为P，如图2，若AFP有两个内角相等，求∠APD的度数；(3)当边DE与边AB、BC分别交于点M、N时，如图3，若∠AFM=2∠BMN，比较∠FMN与∠FNM的大小，并说明理由。
八年级数学上册试题 第13章《三角形中的边角关系、命题与证明》章节测试卷-沪科版(含解析)
第13章《三角形中的边角关系、命题与证明》章节测试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列实际情景运用了三角形稳定性的是（）A．人能直立在地面上B．校门口的自动伸缩栅栏门C．古建筑中的三角形屋架D．三轮车能在地面上运动而不会倒2．如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为22，AM是边BC上的中线，△ABM的周长比△ACM的周长大2，则AC长的可能值有（）个．A．3B．4C．5D．63．下列命题是假命题的是（ ）A．如果∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3B．对顶角相等C．如果一个数能被6整除，那么它肯定也能被3整除D．内错角相等4．如图所示，∠F＝90°，CE⊥AB，C是BF的中点，D是BE上的一点，下列说法正确的是（ ）A．CD是△ABC的中线B．AF是△ABC的高C．CE是△ABF的中位线D．AC是△ABF的角平分线5．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，若∠B=40°，∠C=60°，则∠ADE的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°6．如图，在△ABC中，G是边BC上任意一点，D、E、F分别是AG、BD、CE的中点，S△ABC 的值为（）=48，则SΔDEFA．2B．4C．6D．87．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为3、4、5、7，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值是（ ）A．7B．8C．9D．108．如图，△ABC中，∠ABC=3∠C，E分别在边BC，AC上，∠EDC=24°，∠ADE=3∠AED，∠ABC的平分线与∠ADE的平分线交于点F，则∠F的度数是（ ）A．54°B．60°C．66°D．72°9．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D．∠ABD的角平分线BF所在直线与射线AE 相交于点G，若∠ABC=3∠C，且∠G=20°，则∠DFB的度数为（）A．50°B．55°C．60°D．65°10.如图，∠ABC=∠ACB，BD、CD、BE分别平分∠ABC，外角∠ACP，外角∠MBC，以下结论：①AD∥BC，②BD⊥BE，③∠BDC+∠ABC=90°，④∠BAC+2∠BEC=180°，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．如图，有一张三角形纸片ABC，∠B＝32°，∠A＝100°，点D是AB边上的固定点(BD<1AB)，2在BC上找一点E，将纸片沿DE折叠（DE为折痕），点B落在点F处，当EF与AC边平行时，∠BDE的度数为．12．如图，AD为△ABC的中线，DE，DF分别为△ABD，△ACD的一条高，若AB=6，DE=4，则AC=．，DF=8313．已知△ABC的边长a，b，c满足(a−2)2+|b−4|=0，则a、b的值分别是，若c为偶数，则△ABC的周长为．14．如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，CD:AD=1:2，连接BD，点E是线段BD上一点，BE:ED=1:3，连接AE，点F是线段AE的中点，连接CF交线段BD于点G，若△ABC的面积是12，则△EFG的面积是．15．如图△AOB和△COD中，∠AOB=∠COD=90°，∠B=40°，∠C=70°，点D在边OA上，将△COD绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中当CD∥AB时，旋转时间秒．16．如果三角形中任意两个内角∠α与∠β满足2α−β=60°，那么我们称这样的三角形为“斜等边三角形”．在锐角三角形ABC中，BD⊥AC于点D，若△ABC、△ABD、△BCD都是“斜等边三角形”，则∠ABC=．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（1）一个多边形的内角和是外角和的3倍，这个多边形是几边形？（2）小明求得一个多边形的内角和为1280°，小强很快发现小明所得的度数有误，后来小明复查时发现他重复加了一个内角，求出这个多边形的边数以及他重复加的那个角的度数．18．（6分）如图所示，D是△ABC的边AC上任意一点（不含端点），连结BD，请判断AB+BC+AC 与2BD的大小关系，并说明理由．19．（8分）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．将△ABC平移，使点C平移至点D，点A、B的对应点分别是点E、F．(1)在图中请画出△ABC平移后得到的△DEF；(2)在图中画出△ABC的AB边上的高CH；(3)若连接CD、AE，则这两条线段之间的关系是 ；(4)△DEF的面积为 ．20．（8分）如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10 cm，∠CAB=90°．(1)求AD的长；(2)求△ACE和△ABE周长的差．21．（8分）在△ABC中，∠B，∠C均为锐角且不相等，线段AD是△ABC中BC边上的高，AE是△ABC的角平分线．(1)如图1，∠B=70°，∠C=30°，求∠DAE的度数；(2)若∠B=x°，∠DAE=10°，则∠C=______；(3)F是射线AE上一动点，C、H分别为线段A B，BC上的点（不与端点重合），将△BGH沿着GH 折叠，使点B落到点F处，如图2所示，请直接写出∠1，∠2与∠B的数量关系．22．（8分）已知，在△ABC中，∠BAC=∠ABC，点D在AB上，过点D的一条直线与直线AC、BC分别交于点E、F．(1)如图1，∠BAC=70°，则∠CFE+∠FEC=______°．(2)如图2，猜想∠BAC、∠FEC、∠CFE之间的数量关系，并加以证明；(3)如图3，直接写出∠BAC、∠FEC、∠CFE之间的数量关系______．23．（8分）将含30°角的三角板ABC（∠B=30°）和含45°角的三角板FDE及一把直尺按图方式摆放在起．使两块三角板的直角顶点A，F重合．点A，F，C，E始终落在直尺的PQ边所在直线上．将含45°角的三角板FDE沿直线PQ向右平移．(1)当点F与点C重合，请在备用图中补全图形，并求平移后DC与CB形成的夹角∠DCB的度数；(2)如图，点F在线段AC上移动，M是边AB上的动点，满足∠DFM被FB平分，∠EFM的平分线FN与边BC交于点N，请证明在移动过程中，∠NFB的大小保持不变；(3)仿照（2）的探究，点F在射线CQ上移动，M是边AB上的动点，满足∠DFM被FB平分，∠EFM的平分线F N'所在直线与直线BC交于点N，请写出一个与平移过程有关的合理猜想．（不用证明）答案一．选择题1．C【分析】根据三角形的稳定性进行判断即可求解．【详解】解：古建筑中的三角形屋架是利用了三角形的稳定性，故选C2．B【分析】依据ΔABC的周长为22，ΔABM的周长比ΔACM的周长大2，可得2<BC<11，再根据ΔABC的三边长均为整数，即可得到BC=4，6，8，10．【详解】解：∵ΔABC的周长为22，ΔABM的周长比ΔACM的周长大2，∴2<BC<22−BC，解得2<BC<11，又∵ΔABC的三边长均为整数，ΔABM的周长比ΔACM的周长大2，∴AC=22−BC−22=10−12BC为整数，∴BC边长为偶数，∴BC=4，6，8，10，即AC的长可能值有4个，故选：B．3．D【分析】利用对顶角的性质、实数的性质、平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、如果∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3，正确，是真命题，故本选项不符合题意；B、对顶角相等，正确，是真命题，故本选项不符合题意；C、如果一个数能被6整除，那么它肯定也能被3整除，正确，是真命题，故本选项不符合题意；D、两直线平行，内错角相等，原命题是假命题，故本选项符合题意．故选：D．4．B【分析】根据三角形中位线的定义，三角形角平分线、中线和高的定义作答．【详解】解：A、AC是△ABC的中线，故本选项不符合题意．B 、由∠F ＝90°知，AF 是△ABC 的高，故本选项符合题意．C 、CE 是△ABC 的高，故本选项不符合题意．D 、AC 是△ABF 的中线，故本选项不符合题意．故选：B ．5．C【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC ，再根据角平分线的定义可得∠BAD=∠DAC =40°，最后利用垂线的定义可得∠AED=90°，进而解答即可．【详解】解：∵∠B =40°，∠C =60°，∴∠BAC=180°−40°−60°=80°．∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD=∠DAC =40°．∵DE ⊥AC ，∴∠AED =90°，∴∠ADE =90°−∠DAE =50°．故选C ．6．C【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．【详解】解：连接CD ，如图所示：∵点D 是AG 的中点，∴S △ABD =12S △ABG ，S △ACD =12S △AGC ，∴S △ABD +S △ACD =12S △ABC =24，∴S △BCD =12S △ABC =24，∵点E 是BD 的中点，∴S△CDE =12S△BCD=12，∵点F是CE的中点，∴S△DEF =12S△CDE=6．故选：C．7．C【分析】若两螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，根据三角形任意两边之和大于第三边，进行求解即可．【详解】解：①当3、4在一条直线上时，三边长为：5、7、7，此时最大距离为7；②∵4+5<3+7，∴3、7不可能在一条直线上；③当4、5在一条直线上时，三边长为：3、7、9，此时最大距离为9；④∵4+3<5+7，∴5、7不可能在一条直线上；综上所述：最大距离为9．故选：C．8．B【分析】根据题意可知∠FBC=32∠C，设∠C=x，表示出∠ADE，根据角平分线的定义，可得∠EDF的度数，根据∠FDC=∠F+∠FBC列方程，即可求出∠F的度数．【详解】解：∵BF平分∠ABC，∴∠FBC=12∠ABC，∵∠ABC=3∠C，∴∠FBC=32∠C，设∠C=x，则∠FBC=32x，∵∠EDC=24°，∴∠AED=x+24°，∵∠ADE=3∠AED，∴∠ADE=3x+72°，∵DF平分∠ADE，∴∠EDF=32x+36°，∵∠FDC=∠F+∠FBC，∴32x+36°+24°=∠F+32x，∴∠F=60°．故选：B．9．C【分析】由角平分线的定义可以得到∠CAE=∠BAE，∠ABF=∠DBF，设∠CAE=∠BAE=x，假设∠C=y，∠ABC=3y，通过角的等量代换可得到∠DFB=3∠G，代入∠G的值即可．【详解】∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABD∴∠CAE=∠BAE，∠ABF=∠DBF设∠CAE=∠BAE=x∵∠ABC=3∠C∴可以假设∠C=y，∠ABC=3y∴∠ABF=∠DBF=∠CBG=12(180°−3y)=90°−32y∵AD⊥CD∴∠D=90°∴∠DFB=90°−∠DBF=32y设∠ABF=∠DBF=∠CBG=z，则{z=x+∠Gz+∠G=x+y∴∠G=12y∴∠DFB=3∠G∵∠G=20°∴∠DFB=60°故答案选：C10．D【分析】根据角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、平行线的判定一一判定即可．【详解】解：①设点A、B在直线MF上，∵BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACP，∴AD平分△ABC的外角∠FAC，∴∠FAD=∠DAC，∵∠FAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，∴∠FAD=∠ABC，∴AD∥BC，故①正确．②∵BD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠MBC，∴∠DBE=∠DBC+∠EBC=12∠ABC+12∠MBC=12×180°=90°，∴EB⊥BD，故②正确．③∵∠DCP=∠BDC+∠CBD，2∠DCP=∠BAC+2∠DBC，∴2(∠BDC+∠CBD)=∠BAC+2∠DBC，∴∠BDC=12∠BAC，∵∠BAC+2∠ACB=180°，∴12∠BAC+∠ACB=90°，∴∠BDC+∠ACB=90°，故③正确．④∵∠BEC=180°−12(∠MBC+∠NCB)=180°−12(∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC)=180°−12(180°+∠BAC)∴∠BEC=90°−12∠BAC，∴∠BAC+2∠BEC=180°，故④正确．故选：D．二．填空题11．124°【分析】根据已知、折叠和平行线，得∠BEF=∠C，再计算∠BED的度数，最后根据三角形内角和为180°计算∠BDE的度数即可．【详解】∵EF∥AC，∠B=32°，∠A=100°，∴∠BEF=∠C=180°−∠A−∠B=180°−100°−32°=48°（两直线平行，同位角相等），∵纸片沿DE折叠（DE为折痕），点B落在点F处，∴∠BED=12∠BEF=12×48°=24°，∴∠BDE=180°−∠B−∠BED=180°−32°−24°=124°（三角形内角和为180°），故答案为：124°．12．9【分析】由AD为△ABC的中线得S△ABD =S△ACD，从而得到12⋅AB⋅DE=12⋅AC⋅DF，代入进行计算即可得到答案．【详解】解：∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∴S△ABD =S△ACD，∵DE，DF分别为△ABD，△ACD的一条高，∴12⋅AB⋅DE=12⋅AC⋅DF，∵AB=6，DE=4，DF=83，∴AC=9，故答案为：9．13． 2、4 10【分析】由(a −2)2+|b −4|=0，可得a −2=0，b −4=0，解得a =2，b =4，由三角形三边关系可得，b −a <c <a +b ，即2<c <6，由c 为偶数，可得c =4，然后求周长即可．【详解】解：∵(a −2)2+|b −4|=0，∴a −2=0，b −4=0，解得a =2，b =4，由三角形三边关系可得，b −a <c <a +b ，即2<c <6，∵c 为偶数，∴c =4，∴△ABC 的周长为2+4+4=10，故答案为：2、4，10．14．94【分析】连接DF ，CE ．由题意中的线段的比和S △ABC =12，可推出S △ABD =23S △ABC =8，S △CBD=13S △ABC =4，从而可求出S △ABE =14S △ABD =2，S △ADE =34S △ABD =6．结合中点的性质即得出S △ADF =S △EDF =12S △ADE =3，从而可求出S △CDF =12S △ADF =32，进而得出S △ECF =S △ACF=S △ADF +S △CDF =92，最后即得出DGEG =S △CDF S △ECF=13，最后即可求出S △EFG =34S △EDF =94．【详解】解：如图，连接DF ，CE ．∵CD:AD=1:2，S △ABC =12，∴S △ABD =23S △ABC =8，S △CBD =13S △ABC =4．又∵BE:ED =1:3，∴S△ABE =14S△ABD=2，S△ADE=34S△ABD=6．∵点F是线段AE的中点，∴S△ADF =S△EDF=12S△ADE=3．∵CD:AD=1:2，∴S△CDF =12S△ADF=32，∴S△ACF =S△ADF+S△CDF=92，∴S△ECF =S△ACF=92，∴S△CDFS△ECF =3292=13，即S△DEF+S△DGCS△EFG+S△EGC=13,∴DGEG =13，∴S△EFG =34S△EDF=94．故答案为：94．15．11或29【分析】根据题意，画出图形，进行分类讨论，①当点C在△AOB内时，根据三角形的内角和定理可得∠D=20°，根据平行线的性质得出∠1=∠B=40°，再根据三角形的外角定理求出∠2，进而得出∠AOD=∠AOB+∠2，即可求解；②当点C在△AOB外时，延长BO交CD 于一点，根据平行线的性质得出∠3=∠B=40°，再根据三角形的外角定理求出∠4=20°，即可得出∠AOD，即可求解．【详解】解：①当点C在△AOB内时，如图，在Rt△OCD中，∠C=70°，∴∠D=180°−90°−70°=20°，∵CD∥AB，∠B=40°，∴∠1=∠B=40°，∵∠D+∠2=∠1，∴∠2=40°−20°=20°，∴∠AOD=∠AOB+∠2=90°+20°=110°，∴旋转时间=110÷10=11（秒），②当点C在△AOB外时，延长BO交CD于一点，如图，∵CD∥AB，∠B=40°，∴∠3=∠B=40°，由①可得，∠D=20°，∴∠4=∠3−∠D=40°−20°=20°，∴∠AOD=90°−∠4=70°，∴△COD绕点O沿顺时针方向旋转了360°−70°=290°，∴旋转时间=290÷10=29（秒），故答案为：11或29．16．55°【分析】根据新定义的“斜等边三角形”的特点分情况分析，然后利用三角形内角和定理求解即可．【详解】解：△ABD是“斜等边三角形”，BD⊥AC，∴∠ADB=90°（1）2∠A−∠ABD=60°，∵∠A+∠ABD=90°，∴解得：∠A=50°，∠ABD=40°；（2）2∠A−∠ADB=60°，∴解得：∠A=75°，∠ABD=15°；（3）2∠ABD−∠A=60°，∵∠A+∠ABD=90°，∴解得：∠A=40°，∠ABD=50°；（4）2∠ABD−∠ADB=60°，∴解得：∠ABD=75°，∠A=15°；△BCD是“斜等边三角形”，①2∠C−∠CBD=60°，∵∠C+∠CBD=90°，∴解得：∠C=50°，∠CBD=40°；②2∠C−∠CDB=60°，∴解得：∠C=75°，∠CBD=15°；③2∠CBD−∠C=60°，∵∠C+∠CBD=90°，∴解得：∠C=40°，∠CBD=50°；④2∠CBD−∠CDB=60°，∴解得：∠CBD=75°，∠C=15°；当（1）①成立时，∠A=50°，∠ABD=40°，∠C=50°，∠CBD=40°，∴∠CBA=40°+40°=80°，∴三个角中不满足“斜等边三角形”的定义，不符合题意；当（1）②成立时，∠A=50°，∠ABD=40°，∠C=75°，∠CBD=15°，∴∠CBA=40°+15°=55°，∵2∠CBA−∠A=60°，∴△ABC是“斜等边三角形”，符合题意；同理得：符合题意的只有∠ABC=55°，故答案为：55°三．解答题17．解：（1）设这个多边形的边数是n，由题意得：(n−2)×180=360×3，∴n=8，∴这个多边形是八边形；（2）设这个多边形的边数是m，由题意得：(m−2)×180<1280<(m−2)×180+180，解得：819<m<919，∵m为整数∴m=9，∴重复加的那个角的度数是：1280°−(9−2)×180°=20°答：这个多边形的边数是9，重复加的那个角的度数是20°．18．解：AB+BC+AC＞2BD．理由如下：在△ABD中，AB+AD＞BD，在△BCD中，BC+CD＞BD，∴AB+AD+BC+CD＞2BD，即AB+BC+AC＞2BD．19．（1）如图所示，△DEF即为所求；（2）如图所示，CH即为所求；（3）如图所示，∵△ABC平移后得到的△DEF∴若连接CD、AE，CD∥AE，CD=AE∴这两条线段之间的关系是平行且相等；（4）如图所示，△DEF的面积=4×6−12×4×3−12×1×3−12×3×6=152．20．（1）解：∵∠BAC=90°，AD是边BC上的高，∴12AB⋅AC=12BC⋅AD，∴AD=AB⋅ACBC =6×810= 4.8(cm)，即AD的长度为4.8cm；（2）∵AE为BC边上的中线，∴BE=CE，∴△ACE的周长−△ABE的周长=(AC+AE+CE)−(AB+BE+AE)=AC−AB=8−6=2(cm)，即△ACE和△ABE的周长的差是2cm．21．（1）解：在△ABC中，∠B=70°，∠C=30°，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−70°−30°=80°，∵AE是△ABC的角平分线．∴∠BAE=12∠BAC=12×80°=40°，∵线段AD是△ABC中BC边上的高，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=180°−∠B−∠ADB=180°−70°−90°=20°，∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=40°−20°=20°，（2）解：∵∠B=x°，线段AD是△ABC中BC边上的高，∴∠BAD=90°−∠B=90°−x°，∵∠DAE=10°，∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°−x°+10°=100°−x°，∵AE是△ABC的角平分线，∴∠BAC=2∠BAE=200°−2x°，∴∠C=180°−∠B−∠BAC=180°−x°−(200°−2x°)=(x−20°)，故答案为：(x−20)°；（3）解：连接BF，∵∠1=∠GBF+∠GFB，∠2=∠HBF+∠HFB，∴∠1+∠2=∠GBF+∠GFB+∠HBF+∠HFB=∠B+∠GFH，∵△GFH由△GBH折叠所得，∴∠B=∠GFH，∴∠1+∠2=2∠B．22．（1）解：∵∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°，∠BAC=∠ABC，∴∠ACB=180°−2∠BAC，∵∠CFE+∠FEC=180°−∠ACB，∴∠CFE+∠FEC=180°−(180°−2∠BAC)=2∠BAC，∵∠BAC=70°，∴∠CFE+∠FEC=140°；（2）∠FEC+∠CFE=2∠BAC，证明：在△CEF中∵∠C+∠CEF+∠CFE=180°，∴∠CEF+∠CFE=180°−∠C，在△ABC中，∵∠C+∠BAC+∠ABC=180°，∴∠BAC+∠ABC=180°−∠C，∴∠CEF+∠CFE=∠BAC+∠ABC，∵∠BAC=∠ABC，∴∠CEF+∠CFE=2∠BAC；（3）解：∵∠ACB=∠FEC+∠CFE，∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°，∠BAC=∠ABC，∴180°−2∠BAC=∠FEC+∠CFE，∴∠FEC+∠CFE=180°−2∠BAC．23．（1）解：如图所示，∵DC∥AB∴∠DCB=∠B=30°，（2）证明：∵AB∥FD∴∠DFB=∠MBF，设∠DFB=∠MBF=α∵∠DFM被FB平分∴∠DFB=∠MFB，则∠DFB=∠MFB=α，∴∠AMF=∠MBF+∠MFB=2α，∵∠BAC=90°∴∠MFA=90°−2α，∵FN平分∠EFM∴∠EFN=∠MFN=12(180°−∠MFA)=12(180°−90°+2α)=45°+α∴∠NFB=∠NFM−∠BFM=45°+α−α=45°，即∠NFB的大小保持不变；（3）解：在移动过程中，∠NFB的大小保持不变；如图所示，证明：∵AB∥FD∴∠DFB=∠MBF，设∠DFB=∠MBF=α∵∠DFM被FB平分∴∠DFB=∠MFB，则∠DFB=∠MFB=α，∴∠AMF=∠MBF+∠MFB=2α，∵∠BAC=90°∴∠MFA=90°−2α，∵F N'平分∠EFM∴∠EF N'=∠MF N'=12(180°−∠MFA)=12(180°−90°+2α)=45°+α∴∠N'FB=∠N'FM−∠BFM=45°+α−α=45°，∴∠NFB=135°，即∠NFB的大小保持不变；。
《三角形中的边角关系、命题与证明》填空题精选 2020年沪科版八年级上册期末复习(含答案)
2020-2021学年安徽省八年级上册数学（沪科版）期末考试复习第13章《三角形中的边角关系、命题与证明》填空题精选一．填空题（共30小题）1．（2020春•铜陵期末）在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3），B（0，4），C（0，﹣2），则三角形ABC的面积为．2．（2020春•蜀山区期末）将一副直角三角板如图放置，点E在AC边上，且ED∥BC，∠C＝30°，∠F ＝∠DEF＝45°，则∠AEF＝度．3．（2020春•芜湖期末）已知点A（﹣4，0），B（2，0），点C在y轴上，且△ABC的面积等于12，则点C 的坐标为．4．（2019秋•东至县期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC平分线．若∠B＝38°，∠C＝70°，则∠DAE＝．5．（2019秋•当涂县期末）设三角形三边之长分别为2，9，5+a，则a的取值范围为．6．（2019秋•蜀山区期末）写出命题“如果mn＝1，那么m、n互为倒数”的逆命题：．7．（2019秋•蜀山区期末）如图，一个直角三角形纸片ABC，∠BAC＝90°，D是边BC上一点，沿线段AD 折叠，使点B落在点E处（E、B在直线AC的两侧），当∠EAC＝50°时，则∠CAD＝°．8．（2019秋•肥东县期末）如图，在△ABC中，BD，BE将∠ABC分成三个相等的角，CD，CE将∠ACB 分成三个相等的角．若∠A＝105°，则∠D等于度．9．（2019秋•潜山市期末）△ABC的两边长分别是2和5，且第三边为奇数，则第三边长为．10．（2019秋•当涂县期末）如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1、S2，则S1与S2的数量关系为．11．（2019秋•裕安区期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0，3）和点B（2，0）是坐标轴上两点，点C（m，n）（m≠n）为坐标轴上一点，若三角形ABC的面积为3，则C点坐标为．12．（2019秋•裕安区期末）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E为AD上一点，且EF⊥BC于点F，若∠C＝35°，∠DEF＝15°，则∠B的度数为．13．（2019秋•包河区期末）命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是命题．（填“真”或“假”）14．（2019秋•裕安区期末）若△ABC的三边的长AB＝5，BC＝2a+1，AC＝3a﹣1，则a的取值范围为．15．（2018秋•濉溪县期末）命题“如果∠A＝∠B，那么∠A的余角与∠B的余角相等”的条件是，结论是．16．（2018秋•义安区期末）△ABC的两条角平分线BP、CP相交于点P，若∠A＝80°，则∠BPC＝．17．（2018秋•砀山县期末）下列命题中，真命题为．①如果一个三角形的三边长分别为√5，3，√14，那么这个三角形是直角三角形②如果两个一次函数的图象平行，那么它们表达式中的k相同③三角形的一个外角等于两个内角的和18．（2018秋•长丰县期末）命题“如果|a|＝|b|，那么a2＝b2”的逆命题是，此命题是（选填“真“或“假”）命题．19．（2018秋•安庆期末）设三角形三边之长分别为3，7，1+a，则a的取值范围为．20．（2018秋•瑶海区期末）已知点A（4，0）、B（0，5），点C在x轴上，且△BOC的面积是△ABC的面积的3倍，那么点C的坐标为．21．（2017秋•蚌埠期末）如图，D是线段AC上一点，连BD，用不等号“＜”表示∠A，∠1的大小关系为．22．（2017秋•蜀山区期末）如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，若∠A＝70°，则∠BOC ＝．23．（2017秋•埇桥区期末）一个三角形的最大角不会小于度．24．（2017秋•颍上县期末）“对顶角相等”这个命题的逆命题是，它是一个命题（填“真”或“假”）．25．（2017秋•怀远县期末）请给假命题“两个锐角的和是钝角”举一个反例．26．（2017秋•瑶海区期末）命题“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”的逆命题，是命题．（填“真”或“假”）27．（2017秋•望江县期末）三角形三边长分别为3，1﹣2a，8，则a的取值范围是．28．（2017秋•埇桥区期末）把命题“任意两个直角都相等”改写成“如果…，那么…”的形式是．29．（2017秋•固镇县期末）命题“有两边相等的三角形是等腰三角形”它的题设是，结论是，它的逆命题是．30．（2017秋•临泉县期末）如图所示，△ABC中，BD，CD分别平分∠ABC和外角∠ACE，若∠D＝24°，则∠A＝度．2020-2021学年安徽省八年级上册数学（沪科版）期末考试复习：第13章《三角形中的边角关系、命题与证明》填空题精选参考答案与试题解析一．填空题（共30小题）1．【解答】解：如图，BC＝4+2＝6．所以S△ABC=12BC•x A=12×6×2=6．故答案是：2．2．【解答】解：∵ED∥BC，∠C＝30°∴∠DEC＝∠C＝30°，∵∠DEF＝45°，∴∠CEF＝∠DEF﹣∠DEC＝45°﹣30°＝15°．∴∠AEF＝180°﹣∠CEF＝165°，故答案为：165．3．【解答】解：如右图所示，设C点的坐标是（0，x），∵S△ABC＝12，∴12×AB×OC=12×6•|x|＝12，∴|x|＝4，故点C的坐标是（0，4）或（0，﹣4）．故答案为（0，4）或（0，﹣4）．4．【解答】解：∵∠B＝38°，∠C＝70°，∴∠BAC＝72°，∵AE是∠BAC平分线，∴∠BAE＝36°，∵AD是BC边上的高，∠B＝38°，∴∠BAD＝52°，∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝16°，故答案为16°．5．【解答】解：由题意得9﹣2＜5+a＜9+2，解得2＜a＜6．故答案为：2＜a ＜6．6．【解答】解：命题“如果mn ＝1，那么m 、n 互为倒数”的逆命题是如果m 、n 互为倒数，那么mn ＝1， 故答案为：如果m 、n 互为倒数，那么mn ＝1．7．【解答】解：设∠CAD ＝x ．∵∠DAE ＝∠DAB ，∴50°+x ＝90°﹣x ，解得x ＝20°，∴∠CAD ＝20°，故答案为20．8．【解答】解：∵∠A ＝105°，∴∠ABC +∠ACB ＝180°﹣105°＝75°，∵BD ，BE 将∠ABC 分成三个相等的角，CD ，CE 将∠ACB 分成三个相等的角，∴∠DBC +∠DCB =23×75°＝50°， ∴∠D ＝180°﹣（∠DBC +∠DCB ）＝130°，故答案为130．9．【解答】解：∵5﹣2＝3，5+2＝7，∴3＜第三边＜7，∵第三边为奇数，∴第三边长为5．故选：5．10．【解答】解：过A 点作AG ⊥BC 于G ，过D 点作DH ⊥EF 于H ．在Rt △ABG 中，AG ＝AB •sin40°＝5sin40°，∠DEH ＝180°﹣140°＝40°，在Rt △DHE 中，DH ＝DE •sin40°＝8sin40°，S 1＝8×5sin40°÷2＝20sin40°，S 2＝5×8sin40°÷2＝20sin40°．则S 1＝S 2．故答案为：S 1＝S 2．11．【解答】解：∵点C （m ，n ）（m ≠n ）为坐标轴上一点，∴S △ABC =12×3×|m ﹣2|＝3或S △ABC =12×2×|n ﹣3|＝3，解得：m ＝4或0，n ＝6或0，∴C 点坐标为（4，0）或（0，6），故答案为：（4，0）或（0，6）．12．【解答】解：∵EF ⊥BC ，∠DEF ＝15°，∴∠ADB ＝90°﹣15°＝75°．∵∠C ＝35°，∴∠CAD ＝75°﹣35°＝40°．∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAC ＝2∠CAD ＝80°，∴∠B ＝180°﹣∠BAC ﹣∠C ＝180°﹣80°﹣35°＝65°．故答案为：65°．13．【解答】解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等．∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，故答案为：真．14．【解答】解：∵△ABC 的三边的长AB ＝5，BC ＝2a +1，AC ＝3a ﹣1，∴①{(3a −1)+(2a +1)＞5(3a −1)−(2a +1)＜5， 解得1＜a ＜7；②{(3a −1)+(2a +1)＞5(2a +1)−(3a −1)＜5， 解得a ＞1，则2a +1＜3a ﹣1．∴1＜a ＜7．故答案为：1＜a ＜7．15．【解答】解：命题“如果∠A ＝∠B ，那么∠A 的余角与∠B 的余角相等”的条件是∠A ＝∠B ，结论是∠A 的余角与∠B 的余角相等，故答案为：∠A ＝∠B ；∠A 的余角与∠B 的余角相等．16．【解答】解：如图，∵BP 、CP 分别是△ABC 的角平分线∴∠ABP ＝∠CBP ，∠ACP ＝∠PCB ；∵∠A +∠ABC +∠ACB ＝180°，∴∠A +2∠CBP +2∠PCB ＝180°；∵∠A ＝80°，∴∠CBP +∠PCB ＝50°；在△BPC 中，又∵∠BPC +∠CBP +∠PCB ＝180°，∴∠BPC ＝130°．17．【解答】解：①如果一个三角形的三边长分别为√5，3，√14，∵（√5）2+32＝（√14）2，∴这个三角形是直角三角形，是真命题，符合题意；②如果两个一次函数的图象平行，那么它们表达式中的k 相同，是真命题；③三角形的一个外角等于两个不相邻内角的和，故原说法错误．故答案为：①②．18．【解答】解：根据题意得：命题“如果|a |＝|b |，那么a 2＝b 2”的条件是如果|a |＝|b |，结论是a 2＝b 2”，故逆命题是如果a 2＝b 2，那么|a |＝|b |，该命题是真命题．故答案为：如果a 2＝b 2，那么|a |＝|b |；真．19．【解答】解：由题意，得{a +1＞7−3a +1＜7+3， 解得：3＜a ＜9，故答案为：3＜a ＜9．20．【解答】解：∵点A（4，0）、B（0，5），∴OA＝4，OB＝5，设OC＝a（a≥0），有三种情况：①当C在x轴的负半轴上时，∵△BOC的面积是△ABC的面积的3倍，∴12×a×5=3×12×（4+a）×5，解得：a＝﹣6，不符合a≥0，舍去；②当C在x轴的正半轴上，且在点A的右边时，∵△BOC的面积是△ABC的面积的3倍，∴12×a×5=3×12×（a﹣4）×5，解得：a＝6，此时点C的坐标是（6，0），③当C点在O、A之间时，∵△BOC的面积是△ABC的面积的3倍，∴12×a×5=3×12×（4﹣a）×5，解得：a＝3，此时点C的坐标是（3，0），所以点C的坐标为（3，0）或（6，0），故答案为：（3，0）或（6，0）．21．【解答】解：∵∠1是△ABD的一个外角，∴∠A＜∠1，故答案为：∠A＜∠1．22．【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABO＝∠CBO，∠BCO＝∠ACO，∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°﹣∠A）=12（180°﹣70°）＝55°，∴在△BOC中，∠BOC＝180°﹣55°＝125°．故答案为：125°．23．【解答】解：由分析可知：如果三角形的最大角小于60°，那么此三角形的内角和小于180度，与三角形的内角和是180度矛盾．所以三角形的最大角不小于60度；故答案为：60．24．【解答】解：“对顶角相等”的条件是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等，∴逆命题是：相等的角是对顶角，它是假命题，故答案为：相等的角是对顶角，假25．【解答】解：例如α＝30°，β＝40°，α+β＜90°，故答案为：α＝30°，β＝40°，α+β＝70°＜90°，26．【解答】解：命题“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”的逆命题是平行四边形的两组对边分别平行；该命题是真命题．故答案为：平行四边形的两组对边分别平行，真．27．【解答】解：∵三角形三边长分别为3，1﹣2a，8，∴8﹣3＜1﹣2a＜8+3，解得﹣5＜a＜﹣2．故答案为：﹣5＜a＜﹣2．28．【解答】解：把命题“任意两个直角都相等”改写成“如果…，那么…”的形式是：如果两个角都是直角，那么这两个角相等，故答案为：如果两个角都是直角，那么这两个角相等．29．【解答】解：命题“有两边相等的三角形是等腰三角形”它的条件是“有两边相等的三角形”，结论是“这个三角形是等腰三角形”，故题设是有两边相等的三角形，结论是“这个三角形是等腰三角形”，它的逆命题是“等腰三角形的两腰相等”．30．【解答】解：∵∠A＝∠ACE﹣∠ABC＝2∠DCE﹣2∠DBC＝2（∠DCE﹣∠DBC），∠D＝∠DCE﹣∠DBC，∴∠A＝2∠D＝48°．。
沪科版八数上第13章三角形中的边角关系、命题与证明知能素养专题四与角平分线有关的模型归纳(习题课件)
八年级 数学 上册 沪科版
∴∠EAD＝∠CAE－∠CAD 1
＝2(180°－x－y)－(90°－y) 11
＝2y－2x， ∵AD⊥BC，FM⊥BC，∴AD∥FM，∴∠EFM＝∠EAD，∴∠EFM＝12y－12x.
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类型二：两内角平分线的夹角 【模型展示】 如图，BO，CO 分别是∠ABC，∠ACB 的 n 等分线(∠OBC ＝1n∠ABC，∠OCB＝1n∠ACB)⇒∠O＝180°－1n(180°－ ∠A)，特别需要注意：当 n＝2 时(角平分线)，∠O＝90°
1 ＋2∠A，此结论可用来快速解小题．
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八年级 数学 上册 沪科版
4．(赵县期中)如图，在△ABC 中，∠ABC，∠ACB 的平分线交于点 O， (1)若∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，则∠BOC＝131030° °； (2)若∠ABC＋∠ACB＝110°，则∠BOC＝12125°5°； (3)若∠A＝84°，则∠BOC＝131232° °； (4)若∠BOC＝120°，则∠A＝6060° °； (5)若∠A＝n°，则∠BOC＝909°0°＋＋1 数学 上册 沪科版
7．如图，在△ABC 中，∠B＝47°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分 线交于点 E，求∠E 的度数．
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解：∵三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点 E， ∴∠EAC＝12∠DAC，∠ECA＝12∠ACF. 又∵∠B＝47°，∠B＋∠1＋∠2＝180°， ∴∠1＋∠2＝180°－47°＝133°， ∴∠DAC＋∠ACF＝360°－(∠1＋∠2)＝227°， ∴∠EAC＋∠ECA＝12∠DAC＋12∠ACF＝12(∠DAC＋∠ACF)＝113.5°， ∴∠E＝180°－113.5°＝66.5°.
沪科版数学八年级上册 第十三章-三角形中的边角关系、命题和证明 巩固练习(解析版)
沪科版数学八年级上册-第十三章-三角形中的边角关系，命题与证明-巩固练习一、单选题1.三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数是（）A.90°B.120°C.135°D.180°2.如图，∠1=100°，∠C=70°，则∠A的大小是（）A.10°B.20°C.30°D.80°3.有一种几何体是用相同正方体组合而成的，有人说：这样的几何体如果只给出主视图和左视图是不能唯一确定的，我们可以找出一个反例来说明这个命题是假命题，这个反例可以是（）A. B.C. D.4.若一个三角形的一边长为3 cm，则它的周长可能为（）A.4 cmB.5 cmC.6 cmD.8 cm5.下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（）A. B. C. D.6.对于实数a、b，定义一种运算“⊗”为：a⊗b=a2+ab﹣2，有下列命题：①1⊗3=2；②方程x⊗1=0的根为：x1=﹣2，x2﹣1；③不等式组的解集为：﹣1＜x＜4；④点（1，﹣2）在函数y=x⊗（﹣1）的图象上．其中正确的是（）A.①②③④B.①③④C.①②④D.①②③7.若线段2a+1，a，a+3能构成一个三角形，则a的范围是（）A.a>0B.a>1C.a>2D.1<a<38.到三角形各顶点的距离相等的点是三角形（）A.三条角平分线的交点B.三条高的交点C.三边的垂直平分线的交点D.三条中线的交点二、填空题9.如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪。
量角器的O刻度线AB 对准楼顶时，铅垂线对应的读数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是________．10.如果三角形的一个外角等于和它相邻的内角的4倍，等于与它不相邻的一个内角的2倍，则此三角形各内角的度数是________．11.命题“同位角相等”的逆命题是________12.一个三角形的两边长分别是3和8，周长是偶数，那么第三边边长是________.13.“若实数a，b，c满足a<b<c，则a+b<c”，能够说明该命题是假命题的一组a，b，c的值依次为________．14.如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC=110°，则∠A=________．15.如图,已知△中, ,剪去后变成四边形,则=________.16.如图，Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB=∠COD=90°，∠B=50°，∠C=60°，点D在边OA上，将图中的△AOB绕点O按每秒20°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第t 秒时，边CD所在直线恰好与边AB所在直线垂直，则t的值为________．三、解答题17.有一块三角形优良品种试验基地，如图，由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制订出两种以上的划分方案以供选择（画图说明）.18.如图，按规定，一块横板中AB、CD的延长线相交成85°角，因交点不在板上，不便测量，工人师傅连接AC，测得∠BAC=32°，∠DCA=65°，此时AB、CD的延长线相交所成的角是不是符合规定？为什么？四、综合题19.已知，如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE、DF分别是△ADC的高和角平分线（∠C >∠DAC）.（1）若∠B=80°，∠C=40°，求∠DAE的度数；（2）试猜想∠EDF、∠C与∠DAC有何种关系？并说明理由.20.实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．（1）如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射．若被b 反射出的光线n与光线m平行，且∠1=50°，则∠2=________，∠3=________；（2）在(1)中，若∠1=55°，则∠3=________；若∠1=40°，则∠3=________；（3）由(1)、(2)请你猜想：当两平面镜a，b的夹角∠3等于多少度时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a，b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，请说明理由．21.如图：△ABC的边BC的高为AF，AC边上的高为BG，中线为AD，AF=6，BC=12，BG=5，（1）求△ABD的面积．（2）求AC的长．（3）△ABD和△ACD的面积有何关系．答案一、单选题1.【答案】D【解析】【解答】解：如图所示：由图形可得：∠1+∠4+∠5+∠8+∠6+∠2+∠3+∠9+∠7=540°，∵三个全等三角形，∴∠4+∠9+∠6=180°，又∵∠5+∠7+∠8=180°，∴∠1+∠2+∠3+180°+180°=540°，∴∠1+∠2+∠3的度数是180°．故答案为：D【分析】在题目中，根据相邻三个角的角度和为180°，即可求得9个角的角度和，根据三个三角形为全等三角形，即可求得三个角的角度和。
2020秋八年级数学上册第13章三角形中的边角关系、命题与证明同步练习沪科版
2020秋⼋年级数学上册第13章三⾓形中的边⾓关系、命题与证明同步练习沪科版1.三⾓形中边的关系知识点：1、三⾓形：不在同⼀条直线上的线段⾸位顺次相接组成的封闭图形2、三⾓形分类3、三⾓形的三边关系：两边之和⼤于第三边，两边之差⼩于第三边测试题1.由______________的三条线段______相接所组成得图形叫做三⾓形。
2.如图，三⾓形的三边分别是________或______，三⾓形的内⾓分别是__________，三⾓形的顶点分别是_______ ，这个三⾓形记作______，读作____________.3.三⾓形按边的关系可分为和，⽽等腰三⾓形⼜分为和。
三⾓形按内⾓⼤⼩可分为、和。
4.三⾓形两边的和第三边，三⾓形两边的差第三边。
5.三⾓形的三边分别为2、x、5，则整数x = 。
6.等腰三⾓形的周长为16，其⼀边长为6，则另两边长为。
7.已知三⾓形的两边长是3cm和8cm ，则此三⾓形的第三边长可能是（）A.4 cmB.5 cmC.6 cmD.13cm8.⼀个三⾓形的三边长是 m 、3 、5，那么m的取值范围是（）A.3B.0C.2D.09.下列选项中，给出的三条线段不能组成三⾓形的是（）A.a+1,a+2,a+3B.三边之⽐为2:3:4C.30cm，8cm ，10cmD.3k ，4k ，5k10.下列说法中正确的是（）A.等腰三⾓形⼀腰的长⾄少要⼤于底边长的⼀半B.三⾓形按边的关系分为不等边三⾓形、等边三⾓形C.长度为5、6、10的三条线段不能组成三⾓形 D.等腰三⾓形的两边长是1和2，则其周长为4或511、现有两根⽊棒，它们的长分别为40cm和50cm，若要钉成⼀个三⾓形⽊架（?不计接头），则在下列四根⽊棒中应选取（）A．10cm长的⽊棒 B．40cm长的⽊棒 C．90cm长的⽊棒 D．100cm长的⽊棒拓展训练：1.已知⼀个三⾓形的两边长分别是3cm和4cm，则第三边长x的取值范围是．?若x是奇数，则x的值是______；则它的周长为______；?若x?是偶数，?则x?的值是______ 。
沪科版八年级数学角形的边角关系、命题与证明单元测试卷(B卷提升篇)
第13章三角形的边角关系、命题与证明单元测试（B卷提升篇）【沪科版】考试时间：100分钟；满分：100分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）评卷人得分一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2019春•诸城市期末）将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（）A．都是直角三角形B．都是钝角三角形C．都是锐角三角形D．是一个直角三角形和一个钝角三角形2．（3分）（2019春•常州期末）三角形的3边长分别是xcm、（x+1）cm、（x+2）cm，它的周长不超过33cm．则x的取值范围是（）A．x≤10B．x≤11C．1＜x≤10D．2＜x≤113．（3分）（2019春•金牛区校级期中）如图，△ABC中，∠1＝∠2，G为AD中点，延长BG交AC于E，F为AB上一点，且CF⊥AD于H，下列判断，其中正确的个数是（）①BG是△ABD中边AD上的中线；②AD既是△ABC中∠BAC的角平分线，也是△ABE中∠BAE的角平分线；③CH既是△ACD中AD边上的高线，也是△ACH中AH边上的高线．A．0B．1C．2D．34．（3分）（2019春•侯马市期末）一次数学活动课上，小聪将一副含30°角的三角板的一条直角边和45°角的三角板的一条直角边重叠，则∠1的度数为（）A．45°B．60°C．75°D．85°5．（3分）（2019秋•雨花区校级月考）在下列条件中，不能确定△ABC是直角三角形的条件是（）A．∠A＝∠B＝∠C B．∠A＝2∠B﹣3∠CC．∠A＝∠B＝∠C D．∠A＝2∠B＝2∠C6．（3分）（2019春•锦江区期末）如图，在△ABC中，D是边BC上任意一点，连接AD并取AD的中点E，连接B，取BE的中点F，连接CF并取中点G，连接EG，若S△EFG＝2，则S△ABC的值为（）A．12B．14C．16D．187．（3分）（2019秋•盐都区期中）如图，将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°），沿线段CD折叠，使点B落在B′处，若∠ACB′＝72°，则∠ACD的度数为（）A．9°B．10°C．12°D．18°8．（3分）（2019春•西湖区校级月考）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应该假设（）A．三角形中每个内角都大于60°B．三角形中至少有一个内角大于60°C．三角形中每个内角都大于或等于60°D．三角形中每一个内角都小于成等于60°9．（3分）（2019秋•福田区校级月考）如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝50°，∠D＝10°，则∠P的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．25°10．（3分）（2019春•南岗区校级期中）如图，在锐角△ABC中，∠BAC＞∠C，BD、BE分别是△ABC的高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于点G，交BC于点H，下列结论：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF+∠C；③∠F＝（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH＝∠ABD+∠EBH．其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④第Ⅱ卷（非选择题）评卷人得分二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）11．（3分）（2018秋•建邺区校级期末）如图，平面内有五个点，以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画个三角形．12．（3分）（2019秋•江宁区校级月考）改写命题“平行于同一直线的两直线平行”：如果，那么．13．（3分）（2018•长沙模拟）如图，BD是△ABC的中线，AB＝8，BC＝6，△ABD和△BCD的周长的差是．14．（3分）（2019秋•九龙坡区校级月考）如图，AD，BE分别是△ABC中BC，AC边上的高，BC＝6cm，AC＝5cm，若AD＝4cm，则BE的长为cm．15．（3分）（2019春•崇川区校级月考）若△ABC的周长为18，其中一条边长为4，则△ABC中的最长边x 的取值范围为．16．（3分）（2019秋•南岗区校级月考）如图在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分△ABC的外角∠ACM，连接AP，若∠BPC＝40°，则∠NAP的角度为度．17．（3分）（2019春•金牛区校级期中）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么α，β，γ三个角的关系是．18．（3分）（2019春•新华区校级期中）已知将一块直角三角板DEF放置在△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B、C．过点A作直线MN∥DE，若∠ACD＝20°，则∠CAM＝．评卷人得分三．解答题（共5小题，满分46分）19．（8分）（2018秋•北碚区校级月考）如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．20．（8分）（2019秋•江汉区期中）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD交BD的延长线于点E，∠ABC ＝72°，∠C：∠ADB＝2：3，求∠BAC和∠DAE的度数．21．（8分）（2019春•侯马市期末）“五一”黄金周，小梦一家计划从家B出发，到景点C旅游，由于BC 之间是条湖，无法通过，如图所示只有B﹣A﹣C和B﹣P﹣C两条路线，哪一条比较近？为什么？（提示：延长BP交AC于点D）22．（10分）（2019春•邳州市期中）如图1，将△ABC中纸片沿DE折叠，使点A落在四边形DBCE内点A′的位置，探索∠A与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由（1）如图2，将△ABC中纸片沿DE折叠，使点A落在四边形DBCE的外部点A′的位置，探索∠A与∠1、∠2之间的数量关系，并说明理由；（2）如图3，将四边形ABCD沿EF折叠，使点A、D落在四边形BCFE内部点A′D′的位置，请直接写出∠A、∠D、∠1与∠2之间的数量关系．23．（12分）（2019秋•开福区校级月考）概念学习．已知△ABC，点P为其内部一点，连接P A、PB、PC，在△P AB、△PBC、△P AC中，如果存在一个三角形，其内角与△ABC的三个内角分别相等，那么就称点P为△ABC的等角点．理解应用（1）判断以下两个命题是否为真今题，若为真令题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”．①内角分别为30°、60°、90°的三角形存在等角点；；②任意的三角形都存在等角点；；（2）如图①，点P是锐角△ABC的等角点，若∠BAC＝∠PBC，探究图①中，∠BPC、∠ABC、∠ACP 之间的数量关系，并说明理由．解决问题如图②，在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，若△ABC的三个内角的角平分线的交点P是该三角形的等角点，求△ABC三角形三个内角的度数．第13章三角形的边角关系、命题与证明单元测试（B卷提升篇）【沪科版】参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2019春•诸城市期末）将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（）A．都是直角三角形B．都是钝角三角形C．都是锐角三角形D．是一个直角三角形和一个钝角三角形【分析】分三种情况讨论，即可得到这两个三角形不可能都是锐角三角形．【答案】解：如图，沿三角形一边上的高剪开即可得到两个直角三角形．如图，钝角三角形沿虚线剪开即可得到两个钝角三角形．如图，直角三角形沿虚线剪开即可得到一个直角三角形和一个钝角三角形．因为剪开的边上的两个角互补，故这两个三角形不可能都是锐角三角形．故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形的分类，理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．2．（3分）（2019春•常州期末）三角形的3边长分别是xcm、（x+1）cm、（x+2）cm，它的周长不超过33cm．则x的取值范围是（）A．x≤10B．x≤11C．1＜x≤10D．2＜x≤11【分析】根据三角形的三边关系以及周长列出不等式组，求出x的取值范围即可．【答案】解：∵一个三角形的3边长分别是xcm，（x+1）cm，（x+2）cm，它的周长不超过33cm，∴，解得1＜x≤10．故选：C．【点睛】本题考查的是三角形三边关系、解一元一次不等式组，在解答此题时要注意三角形的三边关系．3．（3分）（2019春•金牛区校级期中）如图，△ABC中，∠1＝∠2，G为AD中点，延长BG交AC于E，F为AB上一点，且CF⊥AD于H，下列判断，其中正确的个数是（）①BG是△ABD中边AD上的中线；②AD既是△ABC中∠BAC的角平分线，也是△ABE中∠BAE的角平分线；③CH既是△ACD中AD边上的高线，也是△ACH中AH边上的高线．A．0B．1C．2D．3【分析】根据三角形的高，中线，角平分线的定义可知．【答案】解：①G为AD中点，所以BG是△ABD边AD上的中线，故正确；②因为∠1＝∠2，所以AD是△ABC中∠BAC的角平分线，AG是△ABE中∠BAE的角平分线，故错误；③因为CF⊥AD于H，所以CH既是△ACD中AD边上的高线，也是△ACH中AH边上的高线，故正确．故选：C．【点睛】熟记三角形的高，中线，角平分线是解决此类问题的关键．4．（3分）（2019春•侯马市期末）一次数学活动课上，小聪将一副含30°角的三角板的一条直角边和45°角的三角板的一条直角边重叠，则∠1的度数为（）A．45°B．60°C．75°D．85°【分析】根据平行线的判定求出AB∥EF，根据平行线的性质求出∠AOF，根据三角形的外角性质求出∠1即可．【答案】解：如图所示，∵∠ABC＝∠DEF＝90°，∴∠ABC+∠DEF＝180°，∴AB∥EF，∴∠AOF＝∠F＝45°，∵∠A＝30°，∴∠1＝∠A+∠AOF＝30°+45°＝75°，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，三角形的外角性质等知识点，能根据定理求出∠AOF的度数是解此题的关键．5．（3分）（2019秋•雨花区校级月考）在下列条件中，不能确定△ABC是直角三角形的条件是（）A．∠A＝∠B＝∠C B．∠A＝2∠B﹣3∠CC．∠A＝∠B＝∠C D．∠A＝2∠B＝2∠C【分析】根据三角形内角和定理，求出三角形的内角即可判断．【答案】解：A、由∠A＝∠B＝∠C，可以推出∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，所以本选项不符合题意．C、由∠A＝∠B＝∠C，可以推出∠C＝90°，∠A＝∠B＝45°，所以本选项不符合题意．D、由∠A＝2∠B＝2∠C，可以推出∠A＝90°，∠B＝∠C＝45°，∠A＝2∠B＝2∠C，所以本选项不符合题意，故选：B．【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6．（3分）（2019春•锦江区期末）如图，在△ABC中，D是边BC上任意一点，连接AD并取AD的中点E，连接B，取BE的中点F，连接CF并取中点G，连接EG，若S△EFG＝2，则S△ABC的值为（）A．12B．14C．16D．18【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等两个三角形求得即可．【答案】解：∵EG是△EFC的中线，∴S△EFC＝2S△EFG＝2×2＝4，∵FC是△BCE的中线，∴S△BCE＝2S△EFC＝8，∵BE是△ABD的中线，CE是△ACD的中线，∴S△ABD+S△ACD＝2S△BED+2S△CDE＝2S△BCE＝16，∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝16，故选：C．【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的中线把三角形分成面积相等两个三角形是解题的关键．7．（3分）（2019秋•盐都区期中）如图，将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°），沿线段CD折叠，使点B落在B′处，若∠ACB′＝72°，则∠ACD的度数为（）A．9°B．10°C．12°D．18°【分析】根据∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB，求出∠DCB即可解决问题．【答案】解：∵∠ACB′＝72°，∠ACB＝90°，∴∠BCB′＝162°，由翻折的性质可知：∠DCB＝∠BCB′＝81°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝90°﹣81°＝9°，故选：A．【点睛】本题考查翻折变换，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．（3分）（2019春•西湖区校级月考）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应该假设（）A．三角形中每个内角都大于60°B．三角形中至少有一个内角大于60°C．三角形中每个内角都大于或等于60°D．三角形中每一个内角都小于成等于60°【分析】熟记反证法的步骤，然后进行判断即可．【答案】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即每一个内角都大于60°．故选：A．【点睛】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．9．（3分）（2019秋•福田区校级月考）如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝50°，∠D＝10°，则∠P的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．25°【分析】延长DC，与AB交于点E．设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，可得∠P+∠ACD＝∠A+∠ABD，代入计算即可．【答案】解：延长DC，与AB交于点E．∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝50°，∴∠ACD＝∠A+∠AEC＝50°+∠AEC．∵∠AEC是△BDE的外角，∴∠AEC＝∠ABD+∠D＝∠ABD+10°，∴∠ACD＝50°+∠AEC＝50°+∠ABD+10°，整理得∠ACD﹣∠ABD＝60°．设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，∴∠P+∠ACD＝∠A+∠ABD，即∠P＝50°﹣（∠ACD﹣∠ABD）＝20°．故选：C．【点睛】本题考查平分线的性质、三角形外角的性质、三角形内角和等知识，解题的关键学会添加常用辅助线，利用“8字型”基本图形解决问题．10．（3分）（2019春•南岗区校级期中）如图，在锐角△ABC中，∠BAC＞∠C，BD、BE分别是△ABC的高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于点G，交BC于点H，下列结论：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF+∠C；③∠F＝（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH＝∠ABD+∠EBH．其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④【分析】①根据BD⊥FD，FH⊥BE和∠FGD＝∠BGH，证明结论正确；②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；③证明∠DBE＝∠BAC﹣∠C，根据①的结论，证明结论正确；④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论错误．【答案】解：∵BD⊥FD，∴∠FGD+∠F＝90°，∵FH⊥BE，∴∠BGH+∠DBE＝90°，∵∠FGD＝∠BGH，∴∠DBE＝∠F，故①正确；∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∠BEF＝∠CBE+∠C，∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C，∠BAF＝∠ABC+∠C，∴2∠BEF＝∠BAF+∠C，故②正确；③∠ABD＝90°﹣∠BAC∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，∵∠CBD＝90°﹣∠C，∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，由①得，∠DBE＝∠F，∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，∴2∠F＝∠BAC﹣∠C，∴∠F＝（∠BAC﹣∠C），故③正确；∵∠BGH＝∠ABD+∠BTG，∵∠CBE＝∠ABE，BE⊥TH，∴∠BTG+∠ABE＝∠BHG+∠CBE＝90°，∴∠BTG＝∠BHT，显然∠CBE与∠BHT，＝不一定相等，故④错误，故选：A．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键．二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）11．（3分）（2018秋•建邺区校级期末）如图，平面内有五个点，以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画10个三角形．【分析】根据题意画出图形即可得到结论．【答案】解：如图所示，以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画10个三角形，故答案为：10．【点睛】本题考查了三角形，正确的画出图形是解题的关键．12．（3分）（2019秋•江宁区校级月考）改写命题“平行于同一直线的两直线平行”：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．【答案】解：命题平行于同一直线的两直线平行可以改写为：“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行”．故答案为：两条直线都与第三条直线平行，这两条直线互相平行．【点睛】本题考查了命题的改写．任何一个命题都可以写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．在改写过程中，不能简单地把题设部分、结论部分分别塞在“如果”、“那么”后面，要适当增减词语，保证句子通顺而不改变原意．13．（3分）（2018•长沙模拟）如图，BD是△ABC的中线，AB＝8，BC＝6，△ABD和△BCD的周长的差是2．【分析】根据三角形中线的定义可得AD＝CD，然后求出△ABD和△BCD的周长差＝AB﹣BC，代入数据进行计算即可得解．【答案】解：∵BD是△ABC的中线，∴AD＝CD，∴△ABD和△BCD的周长差＝（AB+AD+BD）﹣（BC+CD+BD），＝AB+AD+BD﹣BC﹣CD﹣BD，＝AB﹣BC，∵AB＝8，BC＝6，∴△ABD和△BCD的周长差＝8﹣6＝2．答：△ABD和△BCD的周长差为2．故答案为：2【点睛】本题考查了三角形的中线的定义，是基础题，数据概念并求出△ABD和△BCD的周长差＝AB ﹣BC是解题的关键．14．（3分）（2019秋•九龙坡区校级月考）如图，AD，BE分别是△ABC中BC，AC边上的高，BC＝6cm，AC＝5cm，若AD＝4cm，则BE的长为 4.8cm．【分析】利用三角形面积的不变性列出等式解答即可．【答案】解：∵BC＝6cm，AC＝5cm，若AD＝4cm，∴BC•AD＝AC•BE，即×6×4＝×5•BE，解得BE＝4.8cm．故答案为：4.8【点睛】此题考查了利用面积法求三角形的高，是解．答此类题目常用的方法，关键是找对三角形的高所在的位置15．（3分）（2019春•崇川区校级月考）若△ABC的周长为18，其中一条边长为4，则△ABC中的最长边x 的取值范围为7≤x＜9．【分析】根据已知条件可以得到三角形的第三边的长，再根据三角形的三边关系以及x为△ABC中的最长边可以得到关于x的不等式组，解出不等式组即可．【答案】解：∵△ABC的周长为18，其中一条边长为4，这个三角形的最大边长为x，∴第三边的长为：18﹣4﹣x＝14﹣x，∴x＞4且x≥14﹣x，∴x≥7，根据三角形的三边关系，得：x＜14﹣x+4，解得：x＜9；∴7≤x＜9，故答案为：7≤x＜9．【点睛】此题考查了三角形的三边关系，要能够根据三角形的三边关系分析得到关于x的不等式．16．（3分）（2019秋•南岗区校级月考）如图在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分△ABC的外角∠ACM，连接AP，若∠BPC＝40°，则∠NAP的角度为50度．【分析】根据三角形外角性质和角平分线的定义解答即可．【答案】解：∵BP平分∠ABC，CP平分△ABC的外角∠ACM，∴∠PCM＝，，∵∠ACM＝∠ABC+∠BAC，∠PCM＝∠PBC+∠BPC，∴∠PCM＝，∴∠BPC＝＝40°，∴∠BAC＝80°，∴∠NAC＝100°，∴∠NAP＝50°，故答案为：50【点睛】此题考查三角形的外角性质，关键是根据三角形外角性质和角平分线的定义解答．17．（3分）（2019春•金牛区校级期中）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么α，β，γ三个角的关系是γ＝2α+β．【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．【答案】解：由折叠得：∠A＝∠A'，∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β，故答案为：γ＝2α+β．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．18．（3分）（2019春•新华区校级期中）已知将一块直角三角板DEF放置在△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B、C．过点A作直线MN∥DE，若∠ACD＝20°，则∠CAM＝110°．【分析】在Rt△ABC中，根据三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，即，∴∠ABD+∠BAC ＝90°﹣∠ACD＝70°，整体代入即可得出结论．【答案】解：在△DBC中，∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，而∠D＝90°，∴∠DBC+∠DCB＝90°，∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，即∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠BAC＝180°，而∠DBC+∠DCB＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠BAC，∴∠ABD+∠BAC＝90°﹣∠ACD＝70°．又∵MN∥DE，∴∠ABD＝∠BAN．而∠BAN+∠BAC+∠CAM＝180°，∴∠ABD+∠BAC+∠CAM＝180°，∴∠CAM＝180°﹣（∠ABD+∠BAC）＝110°．故答案为110°．【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质，解本题的关键是求出∠ABD+∠BAC＝70°．三．解答题（共5小题，满分46分）19．（8分）（2018秋•北碚区校级月考）如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．【分析】先根据AD是BC边上的中线得出BD＝CD，设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝4x，再分△ACD 的周长是60与△ABD的周长是60两种情况进行讨论即可．【答案】解：∵AD是BC边上的中线，AC＝2BC，∴BD＝CD，设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝4x，分为两种情况：①AC+CD＝60，AB+BD＝40，则4x+x＝60，x+y＝40，解得：x＝12，y＝28，即AC＝4x＝48，AB＝28；②AC+CD＝40，AB+BD＝60，则4x+x＝40，x+y＝60，解得：x＝8，y＝52，即AC＝4x＝32，AB＝52，BC＝2x＝16，此时不符合三角形三边关系定理；综合上述：AC＝48，AB＝28．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理的应用，注意：要分情况进行讨论．20．（8分）（2019秋•江汉区期中）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD交BD的延长线于点E，∠ABC ＝72°，∠C：∠ADB＝2：3，求∠BAC和∠DAE的度数．【分析】设∠C＝2x，则∠ADB＝3x，利用三角形内角和定理以及三角形的外角的性质解决问题即可．【答案】解：设∠C＝2x，则∠ADB＝3x，∵BD平分∠ABC，∠ABC＝72°，∴∠ABD＝∠CBD＝36°，∵∠ADB＝∠DBC+∠C，∴3x＝36°+2x，∴x＝36°，∴∠C＝72°，∠ADB＝108°，∴∠BAC＝180°﹣72°﹣72°＝36°，∵AE⊥BE，∴∠E＝90°，∵∠ADB＝∠E+∠DAE，∴∠DAE＝108°﹣90°＝18°．【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．21．（8分）（2019春•侯马市期末）“五一”黄金周，小梦一家计划从家B出发，到景点C旅游，由于BC 之间是条湖，无法通过，如图所示只有B﹣A﹣C和B﹣P﹣C两条路线，哪一条比较近？为什么？（提示：延长BP交AC于点D）【分析】延长BP交AC于点D．依据三角形两边之和大于第三边，即可得出结论．【答案】解：如图，延长BP交AC于点D．∵△ABD中，AB+AD＞BD＝BP+PD，△CDP中，PD+CD＞CP，∴AB+AD+PD+CD＞BP+PD+CP，即AB+AD+CD＞BP+CP，∴AB+AC＞BP+CP，∴B﹣P﹣C路线较近．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，解决问题的关键是延长BP交AC于点D，利用三角形三边关系进行判断．22．（10分）（2019春•邳州市期中）如图1，将△ABC中纸片沿DE折叠，使点A落在四边形DBCE内点A′的位置，探索∠A与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由（1）如图2，将△ABC中纸片沿DE折叠，使点A落在四边形DBCE的外部点A′的位置，探索∠A与∠1、∠2之间的数量关系，并说明理由；（2）如图3，将四边形ABCD沿EF折叠，使点A、D落在四边形BCFE内部点A′D′的位置，请直接写出∠A、∠D、∠1与∠2之间的数量关系．【分析】根据折叠性质得出∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，根据三角形内角和定理得出∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，代入∠1+∠2＝180°+180°﹣2（∠AED+∠ADE）求出即可；（1）运用三角形的外角性质即可解决问题；（2）先根据翻折的性质表示出∠3、∠4，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解．【答案】解：图1中，2∠A＝∠1+∠2，理由是：∵沿DE折叠A和A′重合，∴∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，∵∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，∠1+∠2＝180°+180°﹣2（∠AED+∠ADE），∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A；（1）如图2，2∠A＝∠1﹣∠2．∵∠1＝∠DF A+∠A，∠DF A＝∠A′+∠2，∴∠1＝∠A+∠A′+∠2＝2∠A+∠2，∴2∠A＝∠1﹣∠2；（2）如图3，根据翻折的性质，∠3＝（180﹣∠1），∠4＝（180﹣∠2），∵∠A+∠D+∠3+∠4＝360°，∴∠A+∠D+（180﹣∠1）+（180﹣∠2）＝360°，整理得，2（∠A+∠D）＝∠1+∠2+360°．【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理及四边形内角和的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．23．（12分）（2019秋•开福区校级月考）概念学习．已知△ABC，点P为其内部一点，连接P A、PB、PC，在△P AB、△PBC、△P AC中，如果存在一个三角形，其内角与△ABC的三个内角分别相等，那么就称点P为△ABC的等角点．理解应用（1）判断以下两个命题是否为真今题，若为真令题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”．①内角分别为30°、60°、90°的三角形存在等角点；真命题；②任意的三角形都存在等角点；假命题；（2）如图①，点P是锐角△ABC的等角点，若∠BAC＝∠PBC，探究图①中，∠BPC、∠ABC、∠ACP 之间的数量关系，并说明理由．解决问题如图②，在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，若△ABC的三个内角的角平分线的交点P是该三角形的等角点，求△ABC三角形三个内角的度数．【分析】理解应用（1）根据等角点的定义，可知内角分别为30、60、90的三角形存在等角点，而等边三角形不存在等角点，据此判断即可；（2）根据△ABC中，∠BPC＝∠ABP+∠BAC+∠ACP以及∠BAC＝∠PBC进行推导，即可得出∠BPC、∠ABC、∠ACP之间的数量关系；解决问题先连接PB，PC，再根据△ABC的三个内角的角平分线的交点P是该三角形的等角点，以及三角形内角和为180°，得出关于∠A的方程，求得∠A的度数即得出可三角形三个内角的度数．【答案】解：理解应用（1）①内角分别为30、60、90的三角形存在等角点是真命题；②任意的三角形都存在等角点是假命题，如等边三角形不存在等角点；故答案为：真命题，假命题；（2）如图①，∵在△ABC中，∠BPC＝∠ABP+∠BAC+∠ACP，∠BAC＝∠PBC，∴∠BPC＝∠ABP+∠PBC+∠ACP＝∠ABC+∠ACP；解决问题如图②，连接PB，PC∵P为△ABC的角平分线的交点，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∵P为△ABC的等角点，∴∠PBC＝∠BAC，∠BCP＝∠ABC＝2∠PBC＝2∠BAC，∠ACB＝∠BPC＝4∠A，又∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠A+2∠A+4∠A＝180°，∴∠A＝，∴该三角形三个内角的度数分别为，，．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，解决问题的关键是理清等角点的定义，根据等角点的定义以及三角形的内角和为180°。
沪科版八年级数学上册第13章三角形中的边角关系、命题与证明
第 13 章三角形中的边角关系、命题与证明一、选择题1 ．以下命题是真命题的是（）A．对角线相互均分的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线相互垂直的四边形是菱形D．对角线相互垂直的四边形是正方形2 ．以下命题中，真命题的个数有（）①对角线相互均分的四边形是平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个3 ．以下命题正确的选项是（）A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形B．对角线相互垂直的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线相互垂直均分且相等的四边形是正方形4 ．以下说法不正确的选项是（）A．圆锥的俯视图是圆B．对角线相互垂直均分的四边形是菱形C．随意一个等腰三角形是钝角三角形D．周长相等的正方形、长方形、圆，这三个几何图形中，圆面积最大5．以下命题：①平行四边形的对边相等；②对角线相等的四边形是矩形；③正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形；④一条对角线均分一组对角的平行四边形是菱形．此中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．46 ．以下命题中错误的选项是（）A．平行四边形的对角线相互均分B．菱形的对角线相互垂直C．同旁内角互补D．矩形的对角线相等7 ．以下命题中，为真命题的是（）A ．六边形的内角和为360 度B．多边形的外角和与边数有关C．矩形的对角线相互垂直 D ．三角形两边的和大于第三边8 ．以下命题中，属于真命题的是（）A．各边相等的多边形是正多边形B．矩形的对角线相互垂直C．三角形的中位线把三角形分红面积相等的两部分D．对顶角相等9．已知以下命题：①在 Rt △ABC 中，∠C=90 °，若∠A ＞∠B ，则 sinA ＞ sinB ；②四条线段 a ， b ， c ， d 中，若 = ，则 ad=bc ；③若 a ＞ b ，则 a （ m 2+1 ）＞ b （ m 2 +1 ）；④若 | ﹣x|= ﹣ x ，则 x ≥0 ．此中原命题与抗命题均为真命题的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④10 ．以下命题中，属于真命题的是（ ）A ．三点确立一个圆B ．圆内接四边形对角互余C ．若 a 2 =b 2 ，则 a=bD ．若 = ，则 a=b11 ．以下说法正确的选项是（ ）A ．面积相等的两个三角形全等B ．矩形的四条边必定相等C ．一个图形和它旋转后所得图形的对应线段相等D ．随机扔掷一枚质地平均的硬币，落地后必定是正面向上12 ．命题“对于 x 的一元二次方程 x 2 +bx+1=0 ，必有实数解．”是假命题．则在以下选项中，可 以作为反例的是（ ）A ． b= ﹣ 3B ． b= ﹣2C ． b= ﹣ 1D ． b=213 ．以下四个命题中，真命题是（ ）A ．“随意四边形内角和为 360 °”是不行能事件B ．“湘潭市明日会下雨”是必定事件C ．“估计本题的正确率是 95% ”表示 100 位考生中必定有 95 人做对D ．扔掷一枚质地平均的硬币，正面向上的概率是14 ．以下命题正确的选项是（）A．对角线相互垂直的四边形是菱形B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线相互垂直均分且相等的四边形是正方形15 ．以下命题正确的选项是（）A．矩形的对角线相互垂直B．两边和一角对应相等的两个三角形全等C．分式方程+1=可化为一元一次方程x﹣2+ （ 2x ﹣ 1 ） = ﹣D ．多项式t 2﹣16+3t因式分解为（t+4）（t﹣4）+3t16 ．以下命题中，是假命题的是（）A．对顶角相等B．同旁内角互补C．两点确立一条直线D．角均分线上的点到这个角的两边的距离相等17 ．以下命题中是真命题的是（）A ．确立性事件发生的概率为 1B．均分弦的直径垂直于弦C．正多边形都是轴对称图形D．两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等18 ．以下给出 5 个命题：①对角线相互垂直且相等的四边形是正方形②六边形的内角和等于720 °③相等的圆心角所对的弧相等④按序连结菱形各边中点所得的四边形是矩形⑤三角形的心里到三角形三个极点的距离相等．此中正确命题的个数是（）A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个19 ．以下命题是真命题的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线相互垂直的平行四边形是矩形C．四条边相等的四边形是菱形D．正方形是轴对称图形，但不是中心对称图形20 ．以下命题错误的选项是（）A．对角线相互垂直均分的四边形是菱形B．平行四边形的对角线相互均分C．矩形的对角线相等D．对角线相等的四边形是矩形21 ．以下命题中的真命题是（）A．两边和一角分别相等的两个三角形全等B．相像三角形的面积比等于相像比C．正方形不是中心对称图形D．圆内接四边形的对角互补22 ．以下命题是假命题的是（）B ．对角线相互垂直的矩形是正方形C ．对角线相等的菱形是正方形D ．对角线相互垂直的四边形是正方形23 ．以下命题中，真命题的个数是（ ）①若﹣ 1＜ x ＜﹣ ，则﹣ 2 ；②若﹣ 1≤x ≤2，则 1 ≤x 2≤4③凸多边形的外角和为 360 °；④三角形中，若∠ A+ ∠B=90 °，则sinA=cosB ．A ．4B ．3C ．2D ．124 ．在平面直角坐标系中，随意两点 A （x 1， y 1）， B （ x 2 ，y 2 ），规定运算：① A ⊕B= （ x 1 +x 2 ， y 1+y 2）；② A? B=x 1 x 2 +y 1 y 2；③当 x 1 =x 2 且 y 1 =y 2 时， A=B ，有以下四个命题：（1）若 A （ 1，2）， B （2 ，﹣ 1），则 A ⊕B= （3，1）， A? B=0 ；（ 2）若 A ⊕B=B ⊕C ，则 A=C ；（3）若 A? B=B ? C ，则 A=C ；（ 4 ）对随意点 A 、B 、 C ，均有（ A ⊕B ）⊕C=A ⊕（B ⊕C ）建立，此中正确命题的个数为（） A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个25 ．以下说法中，正确的选项是（ ）A ．三点确立一个圆B ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形C ．对角线相互垂直的四边形是菱形26 ．以下命题的抗命题必定建立的是（ ）①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行；③若 a=b ，则 |a|=|b| ；④若 x=3 ，则 x 2 ﹣3x=0 ．A ．①②③B ．①④C ．②④D ．②二、填空题27 ．以下命题：①对角线相互垂直的四边形是菱形；②点 G 是△ABC 的重心，若中线 AD=6 ，则 AG=3 ；③若直线 y=kx+b 经过第一、二、四象限，则 k ＜0 ， b ＞ 0 ；④定义新运算： a*b=2a ﹣b 2 ，若（ 2x ） *（ x ﹣3 ） =0 ，则 x=1 或 9 ；⑤抛物线 y=﹣ 2x 2+4x+3 的极点坐标是（ 1 ， 1 ）．此中是真命题的有 （只填序号）28 ．以下四个命题：①若一个角的两边和另一个角的两边分别相互垂直，则这两个角互补；②边数相等的两个正多边形必定相像；③等腰三角形 ABC 中， D 是底边 BC 上一点， E 是一腰 AC 上的一点，若∠ BAD=60 °且AD=AE ，则∠EDC=30 °；④随意三角形的外接圆的圆心必定是三角形三条边的垂直均分线的交点．此中正确命题的序号为．29 ．命题“全等三角形的面积相等”的抗命题是命题．（填入“真”或“假”）30 ．命题“对角线相等的四边形是矩形”是命题（填“真”或“假”）．第 13 章三角形中的边角关系、命题与证明参照答案与试题分析一、选择题1 ．以下命题是真命题的是（）A．对角线相互均分的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线相互垂直的四边形是菱形D．对角线相互垂直的四边形是正方形【考点】命题与定理．【专题】计算题．【剖析】依据平行线四边形的判断方法对 A 进行判断；依据矩形的判断方法，对角线相等的平行四边形是矩形，则可对 B 进行判断；依据菱形的判断方法，对角线相互垂直的平行四边形是菱形，则可对 C 进行判断；依据正方形的判断方法，对角线相互垂直的矩形是正方形，则可对对D进行判断．【解答】解： A 、对角线相互均分的四边形是平行四边形，所以 A 选项为真命题；B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以 B 选项为假命题；C、对角线相互垂直的平行四边形是菱形，所以 C 选项为假命题；D 、对角线相互垂直的矩形是正方形，所以 D 选项为假命题．应选 A．【评论】本题考察了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．很多命题都是由题设和结论两部分构成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题能够写成“假如那么”形式．有些命题的正确性是用推理证明的，这样的真命题叫做定理．2 ．以下命题中，真命题的个数有（）①对角线相互均分的四边形是平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个【考点】命题与定理；平行四边形的判断．【剖析】分别利用平行四边形的判断方法：（ 1 ）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（ 2 ）两组对角分别相等的四边形是平行四边形，从而得出即可．【解答】解：①对角线相互均分的四边形是平行四边形，正确，切合题意；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形，正确，切合题意；③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，说法错误，比如等腰梯形，也切合一组对边平行，另一组对边相等．应选： B．【评论】本题主要考察了命题与定理，正确掌握有关定理是解题重点．3 ．以下命题正确的选项是（）A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形B．对角线相互垂直的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线相互垂直均分且相等的四边形是正方形【考点】命题与定理．【剖析】依据矩形、菱形、平行四边形的知识可判断出各选项，从而得出答案．【解答】解： A 、一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形也可能是等腰梯形，此选项错误；B、对角线相互垂直的四边形是菱形也可能是梯形，此选项错误；C、对角线相等的四边形是矩形也可能是等腰梯形，此选项错误；D、对角线相互垂直均分且相等的四边形是正方形，此选项正确；应选 D．【评论】本题主要考察了命题与定理的知识，解答本题的重点是娴熟掌握平行四边形、菱形以及矩形的性质，本题难度不大．4 ．以下说法不正确的选项是（）A．圆锥的俯视图是圆B．对角线相互垂直均分的四边形是菱形C．随意一个等腰三角形是钝角三角形D．周长相等的正方形、长方形、圆，这三个几何图形中，圆面积最大【考点】命题与定理．【剖析】依据三视图、菱形的判断定理、等腰三角形的性质、正方形的性质、即可解答．【解答】解： A 、圆锥的俯视图是圆，正确；B、对角线相互垂直均分的四边形是菱形，正确；C、随意一个等腰三角形是钝角三角形，错误；比如，顶角为80 °的等腰三角形，它的两个底角分别为 50 °，50 °，为锐角三角形；D、周长相等的正方形、长方形、圆，这三个几何图形中，圆面积最大，正确；应选： C．【评论】本题考察了命题与定理，解决本题的重点是熟记三视图、菱形的判断定理、等腰三角形的性质、正方形的性质．5．以下命题：①平行四边形的对边相等；②对角线相等的四边形是矩形；③正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形；④一条对角线均分一组对角的平行四边形是菱形．此中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【考点】命题与定理．【剖析】依据平行四边形的性质对①进行判断；依据矩形的判断方法对②进行判断；依据正方形的性质对③进行判断；依据菱形的判断方法对④进行判断．【解答】解：平行四边形的对边相等，所以①正确；对角线相等的平行四边形是矩形，所以②错误；正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以③正确；一条对角线均分一组对角的平行四边形是菱形，所以④正确．应选 C．【评论】本题考察了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．很多命题都是由题设和结论两部分构成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题能够写成“假如那么”形式．有些命题的正确性是用推理证明的，这样的真命题叫做定理．6 ．以下命题中错误的选项是（）A．平行四边形的对角线相互均分B．菱形的对角线相互垂直C．同旁内角互补D ．矩形的对角线相等【考点】命题与定理．【剖析】依据平行四边形的性质对 A 进行判断；依据菱形的性质对 B 进行判断；依据平行线的性质对 C 进行判断；依据矩形的性质对 D 进行判断．【解答】解： A 、平行四边形的对角线相互均分，所以 A 选项为真命题；B、菱形的对角线相互垂直，所以 B 选项为真命题；C、两直线平行，同旁内角互补，所以 C 选项为假命题；D 、矩形的对角线相等，所以 D 选项为真命题．应选 C．【评论】本题考察了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．很多命题都是由题设和结论两部分构成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题能够写成“假如那么”形式．有些命题的正确性是用推理证明的，这样的真命题叫做定理．7 ．以下命题中，为真命题的是（）A ．六边形的内角和为360 度B．多边形的外角和与边数有关C．矩形的对角线相互垂直 D ．三角形两边的和大于第三边【考点】命题与定理．【剖析】依据六边形的内角和、多边形的外角和、矩形的性质和三角形三边关系判断即可．【解答】解： A 、六边形的内角和为720 °，错误；B、多边形的外角和与边数没关，都等于360 °，错误；C、矩形的对角线相等，错误；D、三角形的两边之和大于第三边，正确；应选 D．【评论】本题考察命题的真假性，是易错题．注意对六边形的内角和、多边形的外角和、矩形的性质和三角形三边关系的正确掌握．8 ．以下命题中，属于真命题的是（）A．各边相等的多边形是正多边形B．矩形的对角线相互垂直C．三角形的中位线把三角形分红面积相等的两部分D．对顶角相等【考点】命题与定理．【剖析】依据正多边形的定义对 A 进行判断；依据矩形的性质对 B 进行判断；依据三角形中位线性质和相像三角形的性质对 C 进行判断；依据对顶角的性质对 D 进行判断．【解答】解： A 、各边相等、各角相等的多边形是正多边形，所以 A 选项错误；B、矩形的对角线相互均分且相等，所以 B 选项错误；C、三角形的中位线把三角形分红面积为1： 3 的两部分，所以 C 选项错误；D 、对顶角相等，所以 D 选项正确．应选 D．【评论】本题考察了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．很多命题都是由题设和结论两部分构成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题能够写成“假如那么”形式．有些命题的正确性是用推理证明的，这样的真命题叫做定理．9．已知以下命题：①在 Rt △ABC 中，∠C=90 °，若∠A ＞∠B，则 sinA ＞ sinB ；②四条线段a， b ， c， d 中，若=，则ad=bc；③若 a＞ b ，则 a （ m 2+1 ）＞ b （ m2+1 ）；④若 | ﹣x|= ﹣ x，则 x≥0 ．此中原命题与抗命题均为真命题的是（）A ．①②③B．①②④C．①③④ D ．②③④【考点】命题与定理．【剖析】先对原命题进行判断，再依据互抗命题的定义写出抗命题，而后判断抗命题的真假即可．【解答】解：①在Rt △ABC 中，∠C=90 °，若∠A ＞∠B，则 sinA ＞sinB ，原命题为真命题，抗命题是：在Rt △ABC 中，∠C=90 °，若sinA ＞ sinB ，则∠A ＞∠B，抗命题为真命题；②四条线段a， b ， c， d 中，若=，则ad=bc，原命题为真命题，抗命题是：四条线段a， b ， c， d 中，若 ad=bc ，则=，抗命题为真命题；③若 a＞ b ，则 a （ m 2+1 ）＞ b （ m2+1 ），原命题为真命题，抗命题是：若 a （ m 2+1 ）＞ b （ m2+1 ），则 a＞ b ，抗命题为真命题；④若 | ﹣x|= ﹣ x，则 x≥0 ，原命题为假命题，抗命题是：若x≥0，则 |﹣ x|= ﹣x，抗命题为假命题．应选 A．【评论】主要考察命题与定理，用到的知识点是互抗命题的知识，两个命题中，假如第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．此中一个命题称为另一个命题的抗命题，判断命题的真假重点是要熟习课本中的性质定理．10 ．以下命题中，属于真命题的是（）A ．三点确立一个圆B．圆内接四边形对角互余C．若 a 2=b2，则 a=b D ．若=，则a=b【考点】命题与定理．【剖析】依据确立圆的条件对 A 进行判断；依据圆内接四边形的性质对 B 进行判断；依据 a 2=b2，得出两数相等或相反对 C 进行判断；依据立方根对 D 进行判断．【解答】解： A 、随意不共线的三点确立一个圆，所以错误；B、圆的内接四边形的对角互补，错误；C、若 a 2=b2，则 a=b或a=﹣b，错误；D 、若=，则a=b，正确；应选 D．【评论】本题考察了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题．11 ．以下说法正确的选项是（ ）A ．面积相等的两个三角形全等B ．矩形的四条边必定相等C ．一个图形和它旋转后所得图形的对应线段相等D ．随机扔掷一枚质地平均的硬币，落地后必定是正面向上【考点】命题与定理．【剖析】直接依据全等三角形的判断定理、矩形的性质、旋转的性质以及概率的知识对各个选项进行判断即可．【解答】解： A 、面积相等的两个三角形不必定全等，此选项错误； B 、矩形的对边相等，此选项错误；C 、一个图形和它旋转后所得图形的对应线段相等，此选项正确；D 、随机扔掷一枚质地平均的硬币，落地后不必定是正面向上，此选项错误；应选 C ．【评论】本题主要考察了命题与定理的知识，解答本题的重点是掌握全等三角形的判断定理、矩形的性质、旋转的性质以及概率的知识，本题难度不大．12 ．命题“对于 x 的一元二次方程 x 2+bx+1=0 ，必有实数解．”是假命题．则在以下选项中，可以作为反例的是（）A ． b= ﹣ 3B ． b= ﹣2C ． b= ﹣ 1D ． b=2【考点】命题与定理；根的鉴别式．【专题】计算题．【剖析】由方程有实数根，获得根的鉴别式大于等于0 ，求出 b 的范围即可做出判断．【解答】解：∵方程 x 2+bx+1=0 ，必有实数解，∴△=b 2﹣ 4 ≥0 ，解得： b ≤﹣2 或 b ≥2 ，则命题“对于 x 的一元二次方程x 2+bx+1=0 ，必有实数解．”是假命题．则在以下选项中，能够作为反例的是 b= ﹣ 1 ，应选 C【评论】本题考察了命题与定理，以及根的鉴别式，娴熟掌握举反例说明命题为假命题的方法是解本题的重点．13 ．以下四个命题中，真命题是（ ）A ．“随意四边形内角和为360 °”是不行能事件B ．“湘潭市明日会下雨”是必定事件C ．“估计本题的正确率是95% ”表示 100 位考生中必定有95 人做对D ．扔掷一枚质地平均的硬币，正面向上的概率是【考点】命题与定理．【剖析】依据四边形内角和和不行能事件的定义对A 进行判断； 依据必定事件的定义对B 进行判断；依据估计的含义对C 进行判断；依据概率的定义对D 进行判断．【解答】解： A 、“随意四边形内角和为360 °”是必定事件，错误；B 、“湘潭市明日会下雨”是随机事件，错误；C 、“估计本题的正确率是95% ”表示 100 位考生中不必定有95 人做对，错误；D 、扔掷一枚质地平均的硬币，正面向上的概率是，正确．应选 D．【评论】本题考察了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．很多命题都是由题设和结论两部分构成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题能够写成“假如那么”形式．有些命题的正确性是用推理证明的，这样的真命题叫做定理．14 ．以下命题正确的选项是（）A．对角线相互垂直的四边形是菱形B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线相互垂直均分且相等的四边形是正方形【考点】命题与定理．【剖析】依据矩形、菱形、平行四边形的知识可判断出各选项，从而得出答案．【解答】解： A 、对角线相互垂直的四边形不必定是菱形，故本选项错误；B、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不必定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故本选项错误；C、对角线相等的四边形不必定是矩形，比如等腰梯形，故本选项错误；D、对角线相互垂直均分且相等的四边形是正方形，故本选项正确．应选 D．【评论】本题主要考察了命题与定理的知识，解答本题的重点是娴熟掌握平行四边形、菱形以及矩形的性质，本题难度不大．金戈铁制卷A．矩形的对角线相互垂直B．两边和一角对应相等的两个三角形全等C．分式方程+1=可化为一元一次方程x﹣2+ （ 2x ﹣ 1 ） = ﹣D ．多项式t 2﹣16+3t因式分解为（t+4）（t﹣4）+3t【考点】命题与定理．【剖析】依据矩形的性质，全等三角形的判断，分式方程的解法以及因式分解对各选项剖析判断即可得解．【解答】解： A 、矩形的对角线相互垂直是假命题，故本选项错误；B、两边和一角对应相等的两个三角形全等是假命题，故本选项错误；C、分式方程+1=两边都乘以（2x ﹣ 1），可化为一元一次力程x﹣ 2+ （ 2x ﹣1 ）= ﹣1.5 是真命题，故本选项正确；D 、多项式t 2﹣16+3t因式分解为（t+4）（t﹣4）+3t错误，故本选项错误．应选 C．【评论】本题主要考察命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假重点是要熟习课本中的性质定理．16 ．以下命题中，是假命题的是（）A．对顶角相等B．同旁内角互补C．两点确立一条直线D．角均分线上的点到这个角的两边的距离相等【考点】命题与定理．【剖析】依据对顶角的性质对 A 进行判断；依据平行线的性质对 B 进行判断；依据直线公义对 C 进行判断；依据角均分线性质对 D 进行判断．【解答】解： A 、对顶角相等，所以 A 选项为真命题；B、两直线平行，同旁内角互补，所以 B 选项为假命题；C、两点确立一条直线，所以 C 选项为真命题；D 、角均分线上的点到这个角的两边的距离相等，所以 D 选项为真命题．应选 B．【评论】本题考察了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．很多命题都是由题设和结论两部分构成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题能够写成“假如那么”形式．有些命题的正确性是用推理证明的，这样的真命题叫做定理．17 ．以下命题中是真命题的是（）A ．确立性事件发生的概率为 1B．均分弦的直径垂直于弦C．正多边形都是轴对称图形D．两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等【考点】命题与定理．【剖析】依据概率的求法、垂径定理、轴对称图形的观点和三角形确立的判断定理进行判断即可．【解答】解：确立性事件发生的概率为1或0，故 A错误；均分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故 B 错误；正多边形都是轴对称图形，故 C 正确；两边及其一边的对角对应相等的两个三角形不必定全等，故 D 错误，【评论】本题考察的是命题的真假判断，掌握概率的求法、垂径定理、轴对称图形的观点和三角形确立的判断定理是解题的重点．18 ．以下给出 5 个命题：①对角线相互垂直且相等的四边形是正方形②六边形的内角和等于720 °③相等的圆心角所对的弧相等④按序连结菱形各边中点所得的四边形是矩形⑤三角形的心里到三角形三个极点的距离相等．此中正确命题的个数是（）A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个【考点】命题与定理．【专题】压轴题．【剖析】依据正方形的判断方法对①进行判断；依据多边形的内角和公式对②进行判断；依据圆心角、弧、弦的关系对③进行判断；依据三角形中位线性质、菱形的性质和矩形的判断方法对④进行判断；依据三角形心里的性质对⑤进行判断．【解答】解：①对角线相互垂直且相等的平行四边形是正方形，所以①错误；②六边形的内角和等于720 °，所以②正确；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以③错误；④按序连结菱形各边中点所得的四边形是矩形，所以④正确；⑤三角形的心里到三角形三边的距离相等，所以⑤错误．【评论】本题考察了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．很多命题都是由题设和结论两部分构成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题能够写成“假如那么”形式．有些命题的正确性是用推理证明的，这样的真命题叫做定理．19 ．以下命题是真命题的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线相互垂直的平行四边形是矩形C．四条边相等的四边形是菱形D．正方形是轴对称图形，但不是中心对称图形【考点】命题与定理．【剖析】依据平行四边形的判断方法对 A 进行判断；依据矩形的判断方法对 B 进行判断；依据菱形的判断方法对 C 进行判断；依据轴对称和中心对称的定义对 D 进行判断．【解答】解： A 、一组对边平行，且相等的四边形是平行四边形，所以 A 选项错误；B、对角线相互垂直，且相等的平行四边形是矩形，所以 B 选项错误；C、四条边相等的四边形是菱形，所以 C 选项正确；D 、正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，所以 D 选项错误．应选 C．【评论】本题考察了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．20 ．以下命题错误的选项是（）。
八年级数学上册三角形中的边角关系、命题与证明专题强化四三角形角平分线的应用省公开课一等奖百校联赛赛课
2．如图，△ABC中，∠B＝40°，∠EAD＝10°，AD⊥BC于D，AE是∠
BAC的平分ABC中，P点是∠BCE和∠CBF的平分线的交点，若∠A＝ 60°，则∠P等于 60° .
4．一个三角形的三条外角平分线围成的三角形一定是 锐角 “锐角”“钝角”或“直角”)．
数学 八年级 上册 • HK
秋季
第13章 三角形中边角关系 、命题与证实
专题强化四 三角形角平分线应用
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1．如图，∠MAN＝100°，点B、C是射线AM、AN上的动点，∠ACB的平
分线和∠MBC的平分线所在直线相交于点D，则∠BDC的大小为( B )
A．40°
B．50°
C．80°
D．随点B、C的移动而变化
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＋∠OCB＋∠BOC＝180°，∴2∠OBC＋2∠OCB＋2∠BOC＝360°，∴2∠
BOC－∠A＝180°.∴∠BOC＝90°＋12∠A.∵∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，∴
∠A＝180°－50°－60°＝70°.∠BOC＝90°＋12×70°＝125°；
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(2)题(1)中，如将“∠ABC＝50°，∠ACB＝60°”改为“∠A＝70°”，求∠ BOC的度数； 解：∠BOC＝90°＋21∠A＝125°； (3)若∠A＝n°，求∠BOC的度数． 解：∠BOC＝90°＋21n°.
三角形(填
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5．如图所示，在△ABC中，BO、CO是角平分线．
(1)∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数，并说明理由； 解：∵BO、CO是角平分线，∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB.∵∠
ABC＋∠ACB＋∠A＝180°，∴2∠OBC＋2∠OCB＋∠A＝180°，∵∠OBC