22.2 二次函数与一元二次方程 两课时 优秀教案
人教版九年级数学上册22.2二次函数与一元二次方程(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数与一元二次方程的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这两个知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
5.培养学生的合作意识和团队精神，通过小组讨论、合作完成抛物线与坐标轴围成图形面积等问题的探讨，增强学生之间的沟通与协作。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）二次函数的定义及其图像性质：理解并掌握二次函数的基本形式，明确a、b、c的取值对二次函数图像的影响，特别是a的正负决定图像开口方向，顶点坐标的求法等。
举例：y=x²+2x+1与y=-2x²+3x+1的图像区别及顶点坐标的求解。
（2）一元二次方程的解法：熟练掌握因式分解法、配方法、求根公式法等解一元二次方程的方法，并能够根据方程特点选择合适解法。
举例：解方程x²-5x+6=0，通过因式分解法求解；解方程x²-4x+3=0，通过配方法求解。
（3）二次函数与一元二次方程的关系：理解二次函数图像与x轴交点坐标即为相应一元二次方程的解，并能应用于实际问题。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次函数与一元二次方程》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过抛物线形状的情况？”（如抛掷物体时的轨迹）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数与一元二次方程的奥秘。
二次函数与一元二次方程优秀教案
二次函数与一元二次方程【课时安排】2课时【第一课时】【教学目标】（一）教学知识点。
1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。
2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根。
3．理解一元二次方程的根就是二次函数与y＝h（h是实数）交点的横坐标。
（二）能力训练要求。
1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神。
2．通过观察二次函数图像与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想。
3．通过学生共同观察和讨论，培养大家的合作交流意识。
（三）情感与价值观要求。
1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。
2．具有初步的创新精神和实践能力。
【教学重点】1．体会方程与函数之间的联系。
2．理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根。
3．理解一元二次方程的根就是二次函数与y＝h（h是实数）交点的横坐标。
【教学难点】1．探索方程与函数之间的联系的过程。
2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。
【教学方法】讨论探索法。
【教学过程】一、创设问题情境，引入新课师：我们学习了一元一次方程kx＋b＝0（k≠0）和一次函数y＝kx＋b（k≠0）后，讨论了它们之间的关系。
当一次函数中的函数值y＝0时，一次函数y＝kx＋b就转化成了一元一次方程kx＋b＝0，且一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图像与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx ＋b＝0的解。
现在我们学习了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）和二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索有关问题。
二、讲授新课（一）例题讲解展示例题：我们已经知道，竖直上抛物体的高度h（m）与运动时间t（s）的关系可以用公式h＝－5t2＋v0t＋h0表示，其中h0（m）是抛出时的高度，v0（m/s）是抛出时的速度。
九年级数学上册 22.2 二次函数与一元二次方程教案 新人教版(1)(2021年整理)
九年级数学上册22.2 二次函数与一元二次方程教案（新版）新人教版(1) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册22.2 二次函数与一元二次方程教案（新版）新人教版(1)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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22.2二次函数与一元二次方程一、教学目标1。
通过探索,理解二次函数与一元二次方程之间的联系。
2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解。
3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.二、课时安排1课时三、教学重点能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.四、教学难点通过探索,理解二次函数与一元二次方程之间的联系。
五、教学过程（一)导入新课ax² + bx + c = 0和y= ax² + bx + c 之间的关系和区别是怎么样？关系：区别:(二)讲授新课活动1：小组合作问题如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m)与飞行时间t（单位：s）之间具有关系:h=20t-5t2，考虑以下问题:（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能,需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间(3）球的飞行高度能否达到20.5m?如果能,需要多少飞行时间?（4)球从飞出到落地要用多少时间?解：（1）解析：解方程15=20t—5t2,t2-4t+3=0，解得：t1=1,t2=3。
222二次函数与一元二次方程(教学设计)九年级数学上册(人教版)
22.2 二次函数与一元二次方程教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十二章“二次函数”22.2 二次函数与一元二次方程，内容包括：二次函数与一元二次方程的联系．2.内容解析解一元二次方程ax2+bx+c=0可以看作已知二次函数y=ax2+bx+c的值为0，求自变量的值．从图象上看，如果二次函数的图象与x轴有公共点，当自变量取公共点的横坐标时，函数的值为0.由此可求出相应的一元二次方程的根.当二次函数的图象与x轴有两个公共点时，相应的一元二次方程有两个不等的实数根；当二次函数的图象与x轴有一个公共点时，相应的一元二次方程有两个相等的实数根；当二次函数的图象与x 轴没有公共点时，相应的一元二次方程没有实数根．通过探究二次函数与一元二次方程的联系，进而掌握利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解的方法。
基于以上分析，确定本节课的教学重点：二次函数与一元二次方程的联系．二、目标和目标解析1.目标1) 理解二次函数与一元二次方程之间的联系，能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
2）通过图象理解二次函数与一元二次方程联系的过程中，体会综合运用函数解析式和函数图象的数形结合思想。
2.目标解析达成目标1）的标志是：学生能够利用二次函数的图象，通过观察与x轴交点的横坐标，确定一元二次方程的近似解．达成目标2）的标志是：在探索二次函数与一元二次方程联系的过程中，理解二次函数与x轴的公共点个数与对应的一元二次方程的实数根的数量关系．三、教学问题诊断分析探究二次函数与一元二次方程的联系的过程与函数和一元一次方程的探究过程一致，但二次函数与x 轴公共点的个数共有三种情况.需学生理解当二次函数图象与x轴有公共点时，公共点的横坐标就是相应的一元二次方程的根.基于以上分析，本节课的教学难点是：用数形结合的思想探究二次函数与一元二次方程的联系．四、教学过程设计（一）探究新知以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h (单位：m)与飞行时间t (单位：s)之间具有关系：h= 20t–5t2 .[问题一]球的飞行高度能否达到15 m? 若能，需要多少时间？[问题二]球的飞行高度能否达到20 m? 若能，需要多少时间？[问题三]结合图形，你知道为什么在问题一中有两个点符合题意，而在问题二中只有一个点符合题意？[问题四]球的飞行高度能否达到20.5 m? 若能，需要多少时间？[问题五]球从飞出到落地要用多少时间？[问题六]结合此问题，你发现二次函数与一元二次方程的联系.师生活动：教师提出问题，学生积极回答问题。
人教版九年级上册22.2二次函数与一元二次方程教案
22.2 二次函数与一元二次方程教学目标1、理解一元二次方程根的几何意义（抛物线与x轴交点的横坐标），掌握二次函数与一元二次方程的关系。
2、知道抛物线与x轴的三种位置关系对应着一元二次方程的根的情况，会灵活运用一元二次方程根的判别式处理二次函数的图像与x轴的交点问题。
3、会用二次函数的图像解决有关方程和不等式的问题，在求解过程中体会数形结合思想。
教学重点运用一元二次方程根的判别式处理二次函数的图像与x轴的交点问题，用图像法解一元二次方程。
教学难点用二次函数的图像解决有关方程和不等式的问题。
教学过程一、温故知新（1）一次函数y＝x＋3的图象与x轴的交点为（，）一元一次方程x＋3＝0的根为_______（2）一次函数y＝－2x＋4的图象与x轴的交点（，）一元一次方程－2x＋4＝0的根为________思考：一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点与一元一次方程kx＋b＝0的根有什么关系？答：一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标就是一元一次方程kx＋b＝0的根问题1问题1:以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s）之间具有函数关系 h = 20t - 5t2．（1）小球的飞行高度能否达到 15 m？如果能，需要多少飞行时间？（2）小球的飞行高度能否达到 20 m？如果能，需要多少飞行时间？（3）小球的飞行高度能否达到 20.5 m？为什么？（4）小球从飞出到落地要用多少时间？解：（1）解方程15=20t-5t²t1=1， t2=3.当球飞行1s和3s时，它的高度为15m。
（2）解方程20=20t-5t²t1= t 2=2.当球飞行2s时，它的高度为20m（3）解方程 20.5=20t-5t ² t ²-4t+4.1=0∵（-4）²-4×4.10， ∴方程无实数根自由讨论那么由上面的结论，二次函数y=ax 2+bx+c ，何时为一元二次方程?它们的关系如何?答：一般地，当y 取定值时，二次函数为一元二次方程。
人教版数学九年级上册教学设计22.2《二次函数与一元二次方程》
人教版数学九年级上册教学设计22.2《二次函数与一元二次方程》一. 教材分析人教版数学九年级上册第22.2节《二次函数与一元二次方程》是本册教材的重要内容，主要介绍了二次函数与一元二次方程之间的关系。
通过本节课的学习，学生能够理解二次函数的图像与一元二次方程的解法，从而更好地解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数和方程的基础知识，对于函数的概念、图像和性质有一定的了解。
但是，对于二次函数与一元二次方程之间的联系，以及如何运用二次函数的性质解决实际问题，学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解二次函数与一元二次方程之间的关系，并通过实例演示如何运用二次函数解决实际问题。
三. 教学目标1.理解二次函数的图像与一元二次方程的解法之间的关系。
2.学会运用二次函数的性质解决实际问题。
3.提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数的图像与一元二次方程的解法之间的关系。
2.如何运用二次函数的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过探索、发现、总结二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.运用多媒体课件辅助教学，直观展示二次函数的图像和一元二次方程的解法，帮助学生更好地理解知识点。
3.结合实际例子，让学生亲自动手操作，运用二次函数解决实际问题。
4.采用小组讨论、合作交流的方式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.准备相关的多媒体课件和教学素材。
2.准备一些实际问题，用于让学生运用二次函数解决。
3.准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何运用数学知识解决实际问题。
例如，假设一个物体从静止开始做匀加速直线运动，已知初速度为0，加速度为2m/s²，求物体运动5秒后的位移。
2.呈现（10分钟）呈现二次函数y=ax²+bx+c的图像，同时呈现相应的一元二次方程ax²+bx+c=0的解法。
22_2二次函数与一元二次方程(教案)
22.2 二次函数与一元二次方程【知识与技能】理解二次函数与一元二次方程之间的联系，掌握二次函数图象与x轴的位置关系可由对应的一元二次方程的根的判别式实行判别，理解用图象法确定一元二次方程的近似解的方法.【过程与方法】通过对实际问题情境的思考感受二次函数与对应的一元二次方程的联系，体会用函数的观点看一元二次方程的思想方法.【情感态度】进一步增强学生的数形结合思想方法，增强学生的综合解题水平.【教学重点】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c=0之间的联系，利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【教学难点】一元二次方程根的情况与二次函数图象与x轴位置关系的联系.一、情境导入，初步理解问题如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.假设不考虑空气阻力，球的飞行高度h（m）与飞行时间t（s）之间具相关系：h=20t-5t2.考虑以下问题：（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要飞行多长时间？（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要飞行多长时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间？【教学说明】教师可通过教材的引例，引用其递进式的问题链，让学生在相互交流过程中，自不过然地感受到引用方程思想来解决函数问题的思想方法.教师巡视，即时释疑解惑，并尽量予以肯定和鼓励，激发学生的学习兴趣.二、思考探究，获取新知通过对上述问题的思考，能够看出二次函数与一元二次方程之间存有着密切联系.例如，已知二次函数y=-x2+4x的值为3，求自变量x的值，能够看作解一元二次方程-x2+4x=3;反过来，解方程x2-4x+3=0又能够看作已知二次函数y=x2-4x+3的值为0，求自变量x的值.问题1画出函数y=x2-4x+3的图象，根据图象回答以下问题：（1）图象与x轴交点的坐标是什么？（2）当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程x2-4x+3=0有什么关系？（3）你能从中得到什么启示？问题2以下函数的图象与x轴有公共点吗？假设有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相对应的一元二次方程的根吗？（1）y=x2+x-2; (2)y=x2-6x+9; (3)y=x2-x+1.问题3一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？【教学说明】让学生在合作交流过程中完成问题1，2，并对问题3形成一个初步理解，达到从感性理解到理性思考的飞跃，从而理解新知.教师应巡视，对学生的交流成果给予积极评价，最后教师应在黑板上实行归纳总结.【归纳结论】一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象可知：（1）假设抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标为x0.那么当x=x0时，函数的值为0，所以x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根；（2）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根.所以可通过方程的根的判别式Δ＜0，Δ=0和Δ＞0来判别抛物线与x轴的交点的个数（Δ=b2-4ac，其中a、b、c为抛物线表达式中二次项系数，一次项系数和常数项）.【试一试】1.若抛物线y=x2-mx+1与x轴没有公共点，则m的取值范围是.2.求证：抛物线y=x2+ax+a-2与x轴总有两个交点.【教学说明】让学生分组完成两个小题，使他们能体验成功的喜悦，对尚有困难的学生，应给予指导.三、使用新知，深化理解1.画出函数y=x2-2x-3的图象，利用图象回答：（1）方程x2-2x-3=0的解是什么？（2）x取什么值时，函数值大于0？（3）x取什么值时，函数值小于0？2.利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数解.【教学说明】题1可让学生自主完成，教师予以巡视，并作指导；题2的处理建议师生共同完成，这里涉及到逼近求值思想，应作为指导.评讲此题的目的是让学生能进一步体验函数与方程的密切联系，但不要求学生掌握，只要理解即可.【答案】1.图象如下列图：(1)当x1=3,x2=-1.(2)当x<-1或x>3时函数值大于0.（3）当-1<x<3时，函数值小于0.2.解：作y=x2-2x-2的图象，它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7.所以方程x2-2x-2=0的实数根为x1≈-0.7,x2≈2.7.我们还能够通过持续缩小根所在的范围估计一元二次方程的根：观察函数y=x2-2x-2的图象能够发现，当自变量为2时的函数值小于0（点（2，-2）在x轴的下方），当自变量为3时的函数值大于0（点（3，1）在x轴的上方），因为抛物线y=x2-2x-2是一条连续持续的曲线，所以抛物线y=x2-2x-2在2＜x＜3这个段经过x轴，也就是说当自变量取2，3之间的某个值时，函数的值为0，即方程x2-2x-2=0在2，3之间有根.我们可通过取平均数的方法持续缩小根所在的范围.例如，取2，3的平均数2.5，用计算器算得自变量为2.5时的函数值为-0.75，与自变量为3时的函数值异号，所以这个根在2.5，3之间.再取2.5，3的平均数2.75，用计算器算得自变量为2.75时的函数值为0.0625，与自变量为2.5时的函数值异号，所以这个根在2.5，2.75之间.重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在2.625，2.75之间，在2.6875，2.75之间……能够看到：根所在的范围越来越小，根所在范围的两端的值越来越接近根的值，因而能够作为根的近似值.例如，当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1时，因为｜2.6875-2.75｜=0.0625＜0.1，我们能够将2.6875作为根的近似值.四、师生互动，课堂小结1.抛物线y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0有何关联？你能不画出抛物线y=ax2+bx+c而理解此抛物线与x轴的交点情况吗？你是怎样做的？2.你能利用抛物线来确定相对应的方程的根的近似值吗？从中你有哪些体会？1.布置作业：教材习题22.2第1、2、3、4、6题.2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.本课时教学首先通过具体情况让学生感受用方程思想方法来解决函数问题的思路，然后通过图象来探究一元二次方程的根和二次函数与x轴交点之间的关联.这样整个教学过程充分利用了学生已形成的方程、函数间的关系来类比引导挖掘、探索二次函数与一元二次方程的关系.此外，通过观察图象直观理解、解答练习以及实际观察分析都是必经的途径与方法，重在让学生自主体会.。
人教版九年级数学上册22.2 二次函数与一元二次方程一等奖优秀教学设计
人教版义务教育课程标准教科书八年级下册22.2《二次函数与一元二次方程》教学设计一、教材分析1、地位作用：本节主要内容是用函数的观念看一元二次方程，探讨二次函数与一元二次方程的关系。
教材从一次函数与一元一次方程的关系入手，通过类比引出二次函数与一元二次方程之间的关系问题，并结合一个具体的实例讨论了一元二次方程的实根与二次函数图象之间的联系，然后介绍了用图象法求一元二次方程近似解的过程。
这一节是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容。
2、目标及目标分析：【目标】：1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系；2、理解二次函数的图像与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系；3、经历用图像法求一元二次方程的近似根的过程，获得图像法求方程近似根的体验和方法。
【目标分析】：用解决实际问题的形式使学生经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，了解一元二次方程与二次函数之间的联系。
进而通过观察二次函数图像与x轴交点，解相应的一元二次方程的根，让学生类比一次函数与一元一次方程的关系归纳出二次函数的图像与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，学会用数形结合的思想来看待问题。
通过用二次函数图像来解一元二次方程的例题，使学生更透彻的理解二次函数的图像与x轴的交点与一元二次方程的根之间的关系，在解例题过程中学会估计一元二次方程的根。
3、教学重、难点教学重点：二次函数的图像与x轴的交点与一元二次方程的根之间的关系。
教学难点：用图像法求方程的近似根。
突破难点的方法：自主探究、小组合作交流、师生探讨二、学情分析知识掌握上，学生对二次函数的图象及其性质和一元二次方程的解的情况都有所了解，特别的，八年级时学生已经了解到了一次函数和一元一次方程的解之间的关系，因而，对于本节所要学习的二次函数与一元二次方程之间的关系利用类比的方法让学生在自学的基础上进行交流合作学习应该不是难题。
《22.2 二次函数与一元二次方程》教案、教学设计、导学案
《22．2 二次函数与一元二次方程》教案【教学目标】1．通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系．2．能运用二次函数及其图象确定方程和不等式的解或解集．3．根据函数图象与x轴的交点情况确定未知字母的值或取值范围．【教学过程】一、情境导入如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，你能通过观察图象得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解集吗？不等式ax2＋bx＋c<0的解集呢？二、合作探究探究点一：二次函数与一元二次方程【类型一】二次函数图象与x轴交点情况判断下列函数的图象与x只有一个交点的是( )A．y＝x2＋2x－3 B．y＝x2＋2x＋3C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－2x＋1解析：选项A中b2－4ac＝22－4×1×(－3)＝16＞0，选项B中b2－4ac＝22－4×1×3＝－8＜0，选项C中b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，选项D中b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0，所以选项D的函数图象与x轴只有一个交点，故选D.【类型二】利用二次函数图象与x轴交点坐标确定抛物线的对称轴如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为________．解析：∵点(1，0)与(3，0)是一对对称点，其对称中心是(2，0)，∴对称轴的方程是x＝2.方法总结：解答二次函数问题，若能利用抛物线的对称性，则可以简化计算过程．【类型三】利用函数图象与x轴交点情况确定字母取值范围若函数y＝mx2＋(m＋2)x＋12m＋1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为( )A．0 B．0或2C．2或－2 D．0，2或－2解析：若m≠0，二次函数与x轴只有一个交点，则可根据一元二次方程的根的判别式为零来求解；若m＝0，原函数是一次函数，图象与x轴也有一个交点．由(m＋2)2－4m(12m＋1)＝0，解得m＝2或－2，当m＝0时原函数是一次函数，图象与x轴有一个交点，所以当m＝0，2或－2时，图象与x轴只有一个交点．方法总结：二次函数y＝ax2＋bx＋c，当b2－4ac＞0时，图象与x轴有两个交点；当b2－4ac＝0时，图象与x轴有一个交点；当b2－4ac＜0时，图象与x 轴没有交点．【类型四】利用抛物线与x轴交点坐标确定一元二次方程的解小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则关于x的方程x2＋ax ＋b＝0的解是( )A．无解B．x＝1C．x＝－4D．x＝－1或x＝4解析：∵二次函数y＝x2＋ax＋b的图象与x轴交于(－1，0)和(4，0)，即当x＝－1或4时，x2＋ax＋b＝0，∴关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解为x1＝－1，x＝4，故选D.2方法总结：本题容易出错的地方是不知道二次函数的图象与一元二次方程的解的关系导致无法求解．探究点二：二次函数y＝ax2＋bx＋c中的不等关系【类型一】利用抛物线解一元二次不等式抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c ＞0的解集是( )A．x＜2B．x＞－3C．－3＜x＜1D．x＜－3或x＞1解析：观察图象，可知当－3＜x＜1时，抛物线在x轴上方，此时y＞0，即ax2＋bx＋c＞0，∴关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是－3＜x＜1.故选C.方法总结：抛物线y＝ax2＋bx＋c在x轴上方部分的点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方部分的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集．【类型二】确定抛物线相应位置的自变量的取值范围二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则函数值y＞0时，x 的取值范围是( )A．x＜－1B．x＞3C．－1＜x＜3D．x＜－1或x＞3解析：根据图象可知抛物线与x轴的一个交点为(－1，0)且其对称轴为x＝1，则抛物线与x轴的另一个交点为(3，0)．当y＞0时，函数的图象在x轴的上方，由左边一段图象可知x＜－1，由右边一段图象可知x＞3.因此，x＜－1或x ＞3.故选D.方法总结：利用数形结合思想来求解，抛物线与x轴的交点坐标是解题的关键．三、板书设计【教学反思】教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，通过观察二次函数与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况．体会知识间的相互转化和相互联系.《22.2 二次函数与一元二次方程》教学设计【教学目标】知识与技能1．总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．2．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.过程与方法经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．情感态度价值观通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合思想．【教学重点和难点】重点:方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.难点:二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.【教学过程设计】（一）问题的提出与解决问题如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h＝20t—5t2考虑以下问题（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间？分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数h=20t－5t2.所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值：否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值.解：（1）解方程 15＝20t—5t2. t2—4t＋3=0. t1＝1,t2＝3.当球飞行1s和3s时，它的高度为15m.（2）解方程 20＝20t－5t2. t2－4t＋4＝0. t1＝t2＝2.当球飞行2s时，它的高度为20m.（3）解方程 20.5＝20t－5t2. t2－4t＋4.1＝0因为（－4）2－4×4.1<0.所以方程无解.球的飞行高度达不到20.5m.（4）解方程 0＝20t－5t2. t2－4t＝0. t1＝0,t2＝4.当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时球从地面飞出.4s时球落回地面播放课件：函数的图像，画出二次函数h=20t－5t2的图象，观察图象，体会以上问题的答案.从上面可以看出.二次函数与一元二次方程关系密切.由学生小组讨论，总结出二次函数与一元二次方程的解有什么关系？例如：已知二次函数y＝－x2＋4x的值为3.求自变量x的值.可以解一元二次方程－x2＋4x＝3（即x2－4x＋3＝0） .反过来，解方程x2－4x＋3＝0又可以看作已知二次函数y＝x2－4＋3的值为0，求自变量x的值.一般地，我们可以利用二次函数y＝ax2＋bx＋c深入讨论一元二次方程ax2＋bx＋c＝0.（二）问题的讨论二次函数（1）y＝x2＋x－2；（2） y＝x2－6x＋9；（3） y＝x2－x＋0.的图象如图26.2－2所示.（1）以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？（2）当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？先画出以上二次函数的图象，由图像学生展开讨论，在老师的引导下回答以上的问题.可播放课件：函数的图像，输入a,b,c的值，划出对应的函数的图像，观察图像，说出函数对应方程的解.可以看出：（1）抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1.当x取公共点的横坐标时，函数的值是0.由此得出方程x2＋x－2=0的根是－2,1.（2）抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3.当x＝3时，函数的值是0.由此得出方程x2－6x＋9=0有两个相等的实数根3.（3）抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点，由此可知，方程x2－x＋1=0没有实数根.总结：一般地，如果二次函数y=2ax bx c++的图像与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程2ax bx c++=0的根.（三）归纳一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可知，（1）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x就是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根.（2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根.由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根.由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的.（四）例题例利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的实数根（精确到0.1）.解：作y＝x2－2x－2的图象（图26.2－3），它与x轴的公共点的横坐标大约是－0.7,2.7.所以方程x2－2x－2＝0的实数根为x1≈－0.7,x2≈2.7.播放课件：函数的图象与求解一元二次方程的解，前一个课件用来画图，可根据图像估计出方程x2－2x－2＝0实数根的近似解，后一个课件可以准确的求出方程的解，体会其中的差异.（五）小结总结本节的知识点.（六）作业:（七）板书设计《22.2 二次函数与一元二次方程（第一课时）》教案【教学目标】：1．知识与技能：通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系.2．方法与过程：使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生用数学的意识.3．情感、态度与价值观：进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想.【教学重点】：使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题是教学的重点.【教学难点】：进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点．【教学过程】：一、引言在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义.本节课，请同学们共同研究，尝试解决以下几个问题二、探索问题问题1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水.连喷头在内，柱高为0.8m.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所示.根据设计图纸已知：如图(2)中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y＝－x2＋2x＋4 5 .(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少?(2)如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内?问题2：画出函数y＝x2－x－3/4的图象，根据图象回答下列问题.(1)图象与x轴交点的坐标是什么；(2)当x取何值时，y＝0?这里x的取值与方程x2－x－34＝0有什么关系?(3)你能从中得到什么启发?对于问题(2)，教师组织学生分组讨论、交流，各组选派代表发表意见，全班交流，达成共识：从“形”的方面看，函数y＝x2－x－34的图象与x轴交点的横坐标，即为方程x2－x－34＝0的解；从“数”的方面看，当二次函数y＝x2－x－34的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程x2－x－34＝0的解.更一般地，函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2＋bx＋c＝0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2＋bx＋c＝0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系.三、课堂练习： P23练习1、2.五、小结：1．通过本节课的学习，你有什么收获?有什么困惑?2．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴无交点，试说明，元二次方程ax2＋bx＋c＝0和一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0、ax2＋bx＋c＜0的解的情况.六、作业：《22.2 二次函数与一元二次方程（第二课时）》教案【教学目标】：1．知识与能力：复习巩固用函数y＝ax2＋bx＋c的图象求方程ax2＋bx＋c＝0的解.2．方法与过程：让学生体验函数y＝x2和y＝bx＋c的交点的横坐标是方程x2＝bx＋c的解的探索过程，掌握用函数y＝x2和y＝bx＋c图象交点的方法求方程ax2＝bx＋c的解.3．情感、态度与价值观：提高学生综合解题能力，渗透数形结合思想.【教学重点】；用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题能力是教学的重点.【教学难点】：提高学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点.【教学过程】：一、复习巩固1．如何运用函数y＝ax2＋bx＋c的图象求方程ax2＋bx＋c的解?2．完成以下两道题：(1)画出函数y＝x2＋x－1的图象，求方程x2＋x－1＝0的解.(精确到0.1)(2)画出函数y＝2x2－3x－2的图象，求方程2x2－3x－2＝0的解.二、探索问题已知抛物线y1＝2x2－8x＋k＋8和直线y2＝mx＋1相交于点P(3，4m).(1)求这两个函数的关系式；(2)当x取何值时，抛物线与直线相交，并求交点坐标.解：(1)因为点P(3，4m)在直线y2＝mx＋1上，所以有4m＝3m＋1，解得m ＝1所以y1＝x＋1，P(3，4). 因为点P(3，4)在抛物线y1＝2x2－8x＋k＋8上，所以有4＝18－24＋k ＋8 解得 k ＝2 所以y 1＝2x 2－8x ＋10(2)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1y ＝2x 2－8x ＋10 解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3y 1＝4 ，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1.5y2＝2.5所以抛物线与直线的两个交点坐标分别是(3，4)，(1.5，2.5).五、小结： 如何用画函数图象的方法求方程的解?六、作业：《22.2二次函数与一元二次方程》导学案【学习目标】：1.探索二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系．2.掌握一元二次方程(组)的图象解法．【重点、难点】1.重点：探索二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系．2.难点：掌握一元二次方程(组)的图象解法．【导学过程】：阅读教材P16 — 19 , 完成课前预习【课前预习】1：准备知识（1） 一元二次方程根的情况：（2）一次函数与一元一次方程的关系：2：探究1以40米/秒的速度将小球沿与地面成300角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。
九年级数学上册第二十二章二次函数22.2二次函数与一元二次方程教案(新版)新人教版
九年级数学上册第二十二章二次函数22.2二次函数与一元二次方程教案（新版）新人教版一、内容和内容解析1．内容二次函数与一元二次方程的联系．2．内容解析模型思想、几何直观都是《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出的10个核心概念之一．二次函数和一元二次方程都是重要的数学模型，也是进一步学习其他函数的基础．利用函数图象研究方程的根，是培养学生几何直观的重要途径．二次函数和一元二次方程之间的内在联系十分突出．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解是二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点，其几何意义是二次函数的图象与x轴的公共点的横坐标．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的分布与抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的位置关系相关联．综上所述，本节课的教学重点是：理解一元二次方程根的几何意义；掌握解抛物线与x轴的位置关系与一元二次方程根的情况之间的对应关系．本节课通过创设情境，经过问题情境一般化构造二次函数模型；问题情境特殊化创建一元二次方程；问题解决再归纳的过程，使学生得出二次函数与一元二次方程的联系，从而实现重点的突出.二、目标和目标解析1．目标（1）理解一元二次方程的根的几何意义（抛物线与x轴的公共点的横坐标）.（2）掌握抛物线与x轴的三种位置关系对应着一元二次方程的根的三种情况.（3）会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．2．目标解析达成目标（1）的标志是：抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴公共点的横坐标和一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的实数根，学生知道其中的一个能说出另一个．达成目标（2）的标志是：抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴公共点的个数和一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）实数根的情况，学生能根据其中的一个说出另一个．达成目标（3）的标志是：学生能根据抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象，利用“二分法”求出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的近似解．三、教学问题诊断分析在八年级下册，学生通过一次函数与方程、不等式的学习已经初步建立方程模型与函数模型的联系．在九年级上册，学生已经分别学习了一元二次方程、二次函数，知道它们都是刻画现实问题中数量关系的重要模型，但没有建立这些知识之间的有效联系．而且二次函数与一元二次方程之间的联系看似简单，但想要用简洁的语言归纳出来并非易事．基于以上分析，归纳总结二次函数与一元二次方程之间的联系是本节课的难点．初三学生的推理和归纳能力已经有了明显的发展，因此为了学生能够由特殊到一般地进行归纳二次函数与一元二次方程的关系，设计出表格并组织示范性语言，为学生归纳结论做铺垫，从而实现难点的突破.四、教学策略分析采用启发式和探究式进行教学在探究二次函数与一元二次方程的关系中，从实际问题引入，激发学生的学习兴趣，教师与学生互动，示范探究的流程，学生根据流程自主探究并展示成果，教师整理学生探究的结果，启发学生找出二次函数与一元二次方程的联系.用简洁的语言表达出二次函数与一元二次方程的联系比较困难，为了方便学生得出结论，根据直观性原则，设计图表，用“问题串”引导学生，并利用字体的颜色区别来辅助学生归纳与表达.在估计一元二次方程的近似根的过程中，采取用几何画板软件显示函数图象，标识相应点的坐标，便于学生接受估值的方法．五、教学过程1.创设情境发现联系在里约赛场上，冯珊珊以274杆、总杆数低于标准杆10杆的成绩摘得铜牌，而这也是中国军团首次夺得奥运会高尔夫奖牌.如图1，如果以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行的时间t（单位：s）之间具有函数关系2h-=20tt5考虑以下问题：（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？图1（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）球从飞出到落地要多少时间？师生活动：对于这样几个问题，学生会解决，但是思考的方向需要老师引导，因此教师与学生互动完成第（1）题并引导得出结论，而后学生讨论完成问题（2）——（4）.最后老师将解决问题的过程整理到图表中，引导学生自己得出结论.设计意图：创设情境，渗透了爱国主义教育，从实际问题引入，让学生感受数学来源于生活.通过本活动，让学生感知二次函数与一元二次方程有密切的联系，为后面深入讨论二次函数与一元二次方程做好了铺垫. 2.思考问题 归纳结论下列二次函数的图象与x 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x 取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？ （1）22-+=x x y（2）962+-=x x y（3）12+-=x x y一般地，从二次函数c bx ax y ++=2的图象可得如下结论.（1）如果抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有公共点，公共点的横坐标是0x ，那么当0x x =时，函数值是_______，因此___=x 是方程02=++c bx ax 的一个根.（2）二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程02=++c bx ax 的根的三种情况：_____ _______________________________________________________________________________ 师生活动：第（1）个函数教师按照问题的顺序进行提问，学生回答，教师将答案填入表格中，并引导学生得出二次函数与相应的一元二次方程的一种联系.第（2）个活动与第（3）个活动由学生分小组合作交流完成，并展示成果.最后由教师将学生的成果整理，并引导学生得出二次函数与一元二次方程的联系.设计意图：利用表格为学生搭桥，引导学生寻找二次函数与一元二次方程的联系.3.运用图象 估计求根例 利用函数图象求方程0222=--x x 的实数根（结果保留小数点后一位）.师生活动：教师给学生示范，利用“二分法”确定一元二次方程的实数根，然后让学生根据此方法小组配合计算，同时告诉学生计算结束的判定标准，最后由学生展示结果.设计意图：学生能够能结合二次函数图象，使用“二分法”求一元二次方程实数根的近似值，为后续学习解一元高次方程作铺垫. 4.同步练习 强化认知1.如图2，一名男生推铅球，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是35321212++-=x x y （1）画出上述函数的图象；（2）观察图象，指出铅球推出的距离.2.填空题. （1）抛物线 的图象与x 轴的公共点横坐标为（-1，0），（3，0），则关于x 的一元二次方程的实数根是____________________.（2）二次函数的图象与x 轴有2个公共点，那么方程的实数根的情况是_______________. （3）二次函数的图象与x 轴没有公共点，那么方程的实数根的情况是_______________. （4）方程有两个相等实数根，那么二次函数与x 轴的公共点有_____个.3.利用函数32--=x x y 图象求方程032=--x x 的实数根（结果保留小数点后一位）图2师生活动：学生先自主思考，完成后小组交流确定结果，最后上台展示成果.设计意图：通过练习加深对所学知识的理解.5.小结反思巩固知识学生根据学案回顾本节课所学的内容，并请学生回答以下问题：（1）通过本节课的学习，你认为二次函数与一元二次方程之间有怎样的联系？（2）用何方法求二次函数图象所对应的一元二次方程实数根的近似值？设计意图：通过小结，再次让学生认识到二次函数与一元二次方程的联系，强化了学生的学习成果.。
九年级数学上册22.2.1二次函数与一元二次方程教学设计(新版)新人教版
二次函数与一元二次方程一、教学内容：二次函数与一元二次方程二、教学目标：知识与技能1．理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及满足什么条件时方程有两个不等的实根，有两个相等的实根和没有实根；2．利用二次函数y=ax2+bx+c的图形，观察对应一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况。
情感态度与价值观1．通过经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．2. 通过探索二次函数与一元二次方程的关系，使学生体会数学的严谨性以及数学结论的确定性。
三、教学重点、难点：教学重点：1．体会方程与函数之间的联系。
2．能够利用二次函数的图象观察一元二次方程根的情况。
教学难点：1．探索方程与函数之间关系的过程。
2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。
四、教学方法：先学后教，合作探究。
五：教具、学具：课件六、教学过程：（一）回顾旧知1.如何用一次函数图象解相应的一元一次方程。
例如用y=2x-1的图象解方程2x-1=0,2x-1=32、不解方程如何判断一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况？（二）出示学习目标和自学指导学习目标：1.理解二次函数与一元二次方程根的关系；并能利用图像法求一元二次方程的解.2.利用二次函数y=ax2+bx+c的图象观察对应一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况.数与一元二次方程的关系；2.看完“思考”想想如何由一元二次方程的根情况确定相应二次函数的图像与x轴的位置关系。
（三）自学检测1.观察下列图象，分别说出一元二次方程x2-6x+9=0和x2-2x+3=0的根的情况.2. 根据一元二次方程 x2-4=0 的根的情况，判断二次函数y=x2-4 图象与x轴交点坐标是什么？3.归纳总结4.课堂练习1 、抛物线y=0.5x2-x+3与x轴的交点情况是（）A 两个交点B 一个交点C 没有交点D 画出图象后才能说明2.抛物线y=x2-4x+4与X轴有个交点，坐标是3、不画图象，求抛物线y=x2-3x-4与x轴的交点是____________与y轴交点坐标是_________。
22.2 二次函数与一元二次方程 教学设计 教案
教学准备
1. 教学目标
1．总结出二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根．
2．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
3．会用计算方法估计一元二次方程的根．
2. 教学重点/难点
重点
方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
难点
二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．
3. 教学用具
4. 标签
教学过程
一、复习引入
1．二次函数：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，它的开口由什么决定呢？
补充：当a的绝对值相等时，其形状完全相同，当a的绝对值越大，则开口越小，反之成立．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质：
(1)顶点坐标与对称轴；
(2)位置与开口方向；
(3)增减性与最值．。
2020九年级数学上册 第二十二章 二次函数 22.2 二次函数与一元二次方程教案 (新版)新人教版
二次函数与一元二次方程课题：22.2 二次函数与一元二次方程．课时 1 课时教学设计课标要求从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质，了解二次函数与二次方程的相互关系．教材及学情分析1、教材分析：本节主要内容是用函数的观念看一元二次方程，探讨二次函数与一元二次方程的关系。
教材从一次函数与一元一次方程的关系入手，通过类比引出二次函数与一元二次方程之间的关系问题，并结合一个具体的实例讨论了一元二次方程的实根与二次函数图象之间的联系。
这一节是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容。
2、学情分析知识掌握上，学生对二次函数的图象及其性质和一元二次方程的解的情况都有所了解，特别的，八年级时学生已经了解到了一次函数和一元一次方程的解之间的关系，因而，对于本节所要学习的二次函数与一元二次方程之间的关系，利用类比的方法让学生进行交流合作学习应该不是难题；学生学习本节课的知识障碍就是建立二次函数与一元二次方程之间的联系，渗透数形结合的思想。
课时教学目标1. 从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质，了解二次函数与二次方程的相互关系．2. 探索二次函数的变化规律，掌握函数的最大值（或最小值）及函数的增减性的概念．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．3. 通过具体实例，让学生经历概念的形成过程，使学生体会到函数能够反映实际事物的变化规律，体验数学来源于生活，服务于生活的辩证观点．重点二次函数的最大值，最小值及增减性的理解和求法．难点二次函数的性质的应用．教法学法指导启发法归纳法练习法教具准备课件教学过程提要二次方程ax＋bx＋c＝0的关系角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：（3）小球的飞行高度能否达到20.5 m？为什函数解析式，得到关于t的一元二次方程．如果方程数形结合，的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的3、判断抛物线与（1）抛物线y＝x＋x－2与x轴有两个公共点，小结从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可以得出如下结论：（1）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x ＝x0时，函数值是0，因此x＝x0是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．（2）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．这对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根．板书设计22.2 二次函数与一元二次方程．一、丛数的角度看：求一元二次方程ax2+bx+c=0的根，已知二次函数y=ax2+bx+c的值为0时，求自变量x的值。
《22.2二次函数与一元二次方程》教案
人教版（2013）数学九年级上册22.2二次函数与一元二次方程（教案）天门市九真初级中学肖泉泉教学目标知识与技能1、掌握二次函数与一元二次方程之间的关系；2、总结出二次函数图象与x轴交点的个数和一元二次方程根的个数之间的关系，即何时方程有两个不相等的实数根、两个相等的实数根或没有实数根。
过程与方法经历探索二次函数与一元二次方程关系的过程，体会函数与方程之间的联系。
情感、态度与价值感通过观察二次函数的图象与x轴交点的个数，讨论一元二次方程根的情况，进一步体会数形结合的思想。
重点难点重点二次函数与一元二次方程之间的关系难点二次函数的图象与x轴交点的个数和一元二次方程根的个数之间的关系教学设计一、复习导入（1）一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式(△=b2-4ac )与一元二次方程根的个数关系是：①当△﹥0时，方程有实数根；②当△=0时，方程有实数根；③当△﹤0时，方程实数根。
（2）二次函数y=ax2+bx+c 图象与x轴交点的个数有几种情形？(想一想，画一画)（a>0和a<0）三种情形：①两个交点②一个交点③没有交点（图略）（3）请同学们回顾：如何利用一次函数的图象求一元一次方程2x-4=0的解？小结：一次函数y=ax+b的图象与x轴交点的坐标即为一元一次方程ax+b=0的解。
二、讲授新知探究1 如图,以40m/s的速度将小球沿与地面成30度角的方向击出时,小球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系:h=20t –5t2。
考虑下列问题:(1)小球的飞行高度能否达到15m?若能,需要多少时间?(2)小球的飞行高度能否达到20m?若能,需要多少时间?(3)小球的飞行高度能否达到20.5m?为什么?(4)小球从飞出到落地要用多少时间?发现：已知二次函数y=ax2+bx+c的函数值为n时求自变量x的值，可以看作求一元二次方程ax2+bx+c=n（即ax2+bx+c-n=0）的实数根。
人教版九年级数学上册(教案)22.2 二次函数与一元二次方程 教案
22．2二次函数与一元二次方程教学目标1．了解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．2．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．教学重点二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)之间的关系，利用二次函数图象求一元二次方程的实数根．教学难点运用数形结合思想理解一元二次方程根的情况与二次函数图象与x轴位置关系的联系．教学设计一师一优课一课一名师(设计者：)教学过程设计一、创设情景明确目标问题：如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系h＝20t－5t2.考虑以下问题：(1)小球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要多少飞行时间？(2)小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？(3)小球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？(4)小球从飞出到落地要用多少时间？二、自主学习指向目标自学教材第43至46页，完成下列填空：一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可知，(1)如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的__横坐标__是x0，那么当x ＝x0时，函数的值是__0__，因此x＝x0就是方程ax2＋bx＋c＝0的一个__根__．(2)二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有__两__个公共点，有__一__个公共点．这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有__两个不相等__的实数根，有__两个相等__的实数根．三、合作探究达成目标探究点一二次函数与一元二次方程的关系活动一：[数学建模]出示第43页问题情境，引导学生构建数学模型解决问题．思考：(1)飞行高度能否达到15 m，可以看作在h＝20t－5t2中，谁是15 m？可以通过什么途径来验证这个问题？(2)类比(1)的方法，你会解答(2)(3)吗？(3)求小球飞出到落地的时间，可以看作此时的h的值是多少？如何解答？【展示点评】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为0，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程__ax2＋bx＋c＝0__；反之，解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0又可以看作已知二次函数__y＝ax2＋bx＋c__的函数值为__0__的自变量x的值．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标就是一元二次方程__ax2＋bx＋c＝0__的两个根．活动二：二次函数和图象与x轴的位置关系出示问题：教材第44页思考．【展示点评】(1)二次函数y＝x2＋x－2的图象与x轴有__两__个交点，交点坐标为__(－2，0)，(1，0)__；一元二次方程x2＋x－2＝0的根是__－2，1__．(2)二次函数y＝x2－6x＋9的图象与x轴有__一__个交点，交点坐标为__(3，0)__；一元二次方程x2－6x＋9＝0的根是__3__；(3)二次函数y＝x2－x＋1的图象与x轴__没有__公共点；一元二次方程x2－x＋1＝0没有实数根．【小组讨论】二次函数与一元二次方程联系的纽带是什么？一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0(a≠0)根的情况与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的个数之间是何对应情况？【反思小结】二次函数与一元二次方程联系的纽带是它的图象与x轴的交点坐标，结合函数图象就能很容易地搞清它们之间的关系．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的情况决定了二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的个数，同时一元二次方程的根即为二次函数的图象与x轴的交点的横坐标．二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的位置关系与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式Δ＝b2－4ac的关系为：①当Δ＝b2－4ac＞0时抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个交点；②当Δ＝b2－4ac＝0时抛物线y＝ax2＋bx＋c 与x轴只有一个交点；③当Δ＝b2－4ac＜0时抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴没有公共点．【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点一探究点二用图象法求一元二次方程的近似解活动三：出示教材第46页例题思考：1.所画图象是哪个二次函数的图象．2．如何根据图象估计一元二次方程的根？【小组讨论】利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤有哪些？【反思小结】利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤是：(1)作出函数图象，由图象确定交点的个数，即方程解的个数；(2)由图象与x轴或直线y＝h的交点的位置确定交点的横坐标的取值范围；(3)利用计算器估算方程的近似解．【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点二四、总结梳理内化目标概念、性质,1.如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝__x0__时，函数的值是0，因此x＝__x0__就是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的位置关系有三种：有__两__个公共点，有__一__个公共点，__没有__公共点，这对应着一元二次方程根的三种情况：有__两个不相等__的实数根，有两个相等的实数根，__没有__实数根．从而可以根据b2－4ac与0的大小关系来研究抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点情况．方法、规律,如果一元二次方程有两个实数根x1，x2，那么二次三项式ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2)，所以二次函数y＝ax2＋bx ＋c就可表示为y＝a(x－x1)(x－x2)．我们把y＝a(x－x1)(x－x2)(a，x1，x2是常数，其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)称为交点式，是一种二次函数解析式的形式，也可用来求解析式．易错点,1.抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有交点－4ac≥0.2．根据抛物线与x轴的交点个数情况求参数的取值范围时，要注意考虑到a≠0这一隐含条件．五、达标检测反思目标1．抛物线y＝3x2＋5x与x轴、y轴交点的个数为( B )A．3个B．2个C．1个D．无2．(中考·黔东南州)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论正确的是( D ) A．a＜0，b＜0，c＞0，b2－4ac＞0B．a＞0，b＜0，c＞0，b2－4ac＜0C．a＜0，b＞0，c＜0，b2－4ac＞0D．a＜0，b＞0，c＞0，b2－4ac＞03．抛物线y＝x2－2x－8的顶点坐标是__(1，－9)，与x轴的交点坐标是__(4，0)，(－2，0)__．4．已知抛物线y＝kx2＋2x－1与坐标轴有三个交点，则k的取值范围__k＞－1且k≠0__．5．在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y(m)与飞行时间t(s)的关系满足y ＝－1,5t2＋10t.(1)经过多长时间，炮弹达到它的最高点？最高点的高度是多少？(2)经过多长时间，炮弹落在地上爆炸？解：(1)把一般式化成顶点式y＝－1,5t2＋10t＝－1,5(t－25)2＋125，当t＝25时，y最大＝125.即经过25秒，炮弹到达它的最高点，最高点的高度是125 m.(2)由题意得：－1,5t2＋10t＝0，解得：t1＝50，t2＝0(不合题意，舍去)，即经过50 s，炮弹落到地上爆炸．六、布置作业巩固目标1．上交作业教材第47页第1、2题．2．课后作业见学生用书的“课后作业”部分．教学反思__。
《二次函数与一元二次方程》+精品教学方案
第二十二章二次函数22.2二次函数与一元二次方程一、教学目标1.理解二次函数图象与x轴交点的横坐标与一元二次方程的根之间的联系；并能够利用二次函数的图象求一元二次方程的解；2.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，渗透数形结合的思想方法；3.通过共同探究的方式，培养学生的合作交流意识，以及观察问题和解决问题的能力；4.在探索二次函数与一元二次方程的关系的过程中，让学生感受数学知识之间的内在联系，认识到事物之间的联系与转化.二、教学重难点重点：理解二次函数图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的根难点：探索二次函数与一元二次方程之间的关系.三、教学用具电脑、多媒体、课件四、教学过程设计一次函数 y =kx +b 的图象如图所示， 则关于x 的一元一次方程 kx +b =0 的解为 ．教师引导学生从函数解析式和函数图象的角度分析问题.引出数形结合的思想方法.问题：如图，以40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有关系：h =20t -5t ². 考虑下列问题：（1）球的飞行高度能否达到15m ？若能，需要多少时间？（2）球的飞行高度能否达到20m ？若能，需要多少时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m ？为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间？x–1–2–3–41234–1–2–3–41234O解：（1）解方程15=20t-5t2，t2-4t+3=0，t1=1，t2=3．当小球飞行1 s和3 s时，它的飞行高度为15 m．（2）解方程20=20t-5t2，t2-4t+4=0，t1=t2=2．当小球飞行2 s时，它的飞行高度为20 m．（3）解方程20.5=20t-5t2，t2-4t+4.1=0．因为(-4)2-4⨯4.1＜0，所以方程无实数根．这就是说，小球的飞行高度达不到20.5 m．（4）小球飞出时和落地时的高度都为0 m，解方程0=20t-5t2，t2-4t=0，t1=0，t2=4．当小球飞行0 s和4 s时，它的高度为0 m，即0 s时小球从地面飞出，4 s时小球落回地面．思考：如何从函数解析式和函数图象的角度理解一元二次方程的根？教师通过四个问题引导学生思考二次函数与一元二次方程的关系，并归纳总结.画出下列二次函数的图象，能否写出相应的一元二次方程的根？（1）y=x2+x-2（2）y=x2-6x+9（3）y=x2-x+1答案：（1）-2，1；（2）3；（3）没有实数根.【典型例题】【例】利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根（结果保留小数点后一位）．解：画出函数y=x2-2x-2的图象，它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7．所以方程x2-2x-2=0的实数根为x1≈-0.7，x2≈2.7．先让学生展示过程，然后教师演示平台动画资源.【探究】还有其它的方法来估算方程x2-2x-2=0的实数根吗？通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根.观察函数y=x2-2x-2的图象可以发现，当自变量为2时的函数值小于0，当自变量为3时的函数值大于0，所以抛物线y=x2-2x-2在2<x<3这一段经过x轴，也就是在2＜x＜3之间某个值时，y=0.即方程x2-2x-2=0在2、3之间有根.具体方法步骤参考教材第46页学生阅读、思考、计算、交流，然后教师点拨.1.二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴的交点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．32.不与x轴相交的抛物线是（）A. y=2x2-3B. y=-2x2+3C. y=-x2-3xD. y=-2(x+1)2-33．抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0），则方程ax2+bx+c=0的解为____________ ．4.根据下列表格的对应值:判断方程ax2+bx+c=0 (a≠0，a，b，c为常数)一个解x的范围是（）A. 3＜x＜3.23B. 3.23＜x＜3.24C. 3.24＜x＜3.25D. 3.25＜x＜3.26 5．抛物线y=ax2+bx+c如图所示，则ax2+bx+c=0的解为，ax2+bx+c＞0的解为．答案：1.B 2.D 3.x1=1，x2=34.C5.x1=－1，x2=3；x＜-1或x＞3。
311.九年级新人教版数学上册22.2二次函数与一元二次方程(第2课时)-教案
22.2二次函数与一元二次方程 第2课时教学目标：1．复习巩固用函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象求方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解。
2．让学生体验函数y ＝x 2和y ＝bx ＋c 的交点的横坐标是方程x 2＝bx ＋c 的解的探索过程，掌握用函数y ＝x 2和y ＝bx ＋c 图象交点的方法求方程ax 2＝bx ＋c 的解。
重点难点：重点；用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题能力是教学的重点。
难点：提高学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点。
教学过程：一、复习巩固1．如何运用函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象求方程ax 2＋bx ＋c=0的解?2．完成以下两道题：(1)画出函数y ＝x 2＋x －1的图象，求方程x 2＋x －1＝0的解。
(精确到0.1)(2)画出函数y ＝2x 2－3x －2的图象，求方程2x 2－3x －2＝0的解。
二、探索问题问题1：(问题4)育才中学初三(3)班学生在上节课的作业中出现了争论：求方程x 2＝12x 十3的解时，几乎所有学生都是将方程化为x 2－12x －3＝0，画出函数y ＝x 2－12x －3的图象，观察它与x 轴的交点，得出方程的解。
唯独小刘没有将方程移项，而是分别画出了函数y ＝x 2和y ＝12x ＋2的图象，如图(3)所示，认为它们的交点A 、B 的横坐标－32和2就是原方程的解． 提问： 1. 这两种解法的结果一样吗? 2．小刘解法的理由是什么?3．函数y ＝x 2和y ＝bx ＋c 的图象一定相交于两点吗?你能否举出例子加以说明?4，函数y ＝x 2和y ＝bx ＋c 的图象的交点横坐标一定是一元二次方程x 2＝bx ＋c 的解吗?5．如果函数y ＝x 2和y ＝bx ＋c 图象没有交点，一元二次方程x 2＝bx ＋c 的解怎样?三、做一做利用图4，运用小刘方法求下列方程的解，并检验小刘的方法是否合理。
(1)x 2＋x －1＝0(精确到0.1)； (2)2x 2－3x －2＝0。
22.2二次函数与一元二次方程【人教九上数学精彩课堂教案】
22.2 二次函数与一元二次方程实际情境置疑探究归纳探究复习探究类比探究悬念激趣实际情境 某火车站欲建造一个圆形喷水池,如图22-2-1,点O 表示喷水池的水面中心,OA 表示喷水柱子,水流从点A 喷出,按照图中所示的平面直角坐标系,每一股水流在空中的路线都可以用y=-12x 2+32x+78来描述,那么水池的半径最少要多少米,才能使喷出的水流不至于落到池外?图22-2-1[教学提示] 通过对喷水池的实际问题的探究,建立二次函数与一元二次方程关系的模型,从而导出新课,制造悬念,使学生兴趣盎然地学习新课.帮助学生把实际问题转化为二次函数问题的关键是弄清楚水流不至于落到池外是什么意思,水流喷出的水平距离最远是多少,如何求,此时的函数值y 是多少,为什么是0等问题.置疑探究 多媒体演示:出示二次函数y=x 2-2x-3的图象,如图22-2-2所示,根据图象回答:图22-2-2(1)当x 为何值时,y=0?(2)你能根据图象,求方程x 2-2x-3=0的根吗?(3)二次函数y=x 2-2x-3与一元二次方程x 2-2x-3=0之间有什么关系?[教学提示] 通过对二次函数图象问题的导入,激发学生的学习兴趣和探究新知的欲望,增加对二次函数y=x 2-2x-3与一元二次方程x 2-2x-3=0之间关系的了解和认识.引导学生观察二次函数的图象与x 轴的交点坐标是什么,有什么意义,与一元二次方程的根有什么联系.类比探究 (1)回忆:一次函数y=kx+b (k ≠0)与一次方程kx+b=0之间有何关系?(2)观察:二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0在结构上有哪些相同之处?(3)类比猜想:二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0之间有何关系?[教学提示] 通过对一次函数y=kx+b与一次方程kx+b=0之间的关系的回顾,加强新旧知识之间的联系,类比旧知识的学习方法、数学思想来学习二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0之间的关系.引导学生明白一元二次方程ax2+bx+c=0是当y=0时,二次函数y=ax2+bx+c的特殊情形.进一步引入教材中的问题.教材母题——第47页习题22.2第4题抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(-1,0),(3,0),求这条抛物线的对称轴.【模型建立】方法一:抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(-1,0),(3,0),代入求得y=a(x-1)2-4a,所得对称轴为直线x=1;方法二:抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(-1,0),(3,0),可设抛物线的函数解析式为y=a(x+1)(x-3),即y=ax2-2ax-3a,所得对称轴为直线x=1;方法三:根据抛物线的对称性,对称轴与x轴的交点是(-1,0),(3,0)的中点,所以对称轴为直线x=1.本题已知简洁,问题明了,解法多样,而且数形结合思想、函数与方程思想贯穿其中,若要画图,还要分a>0和a<0的情况讨论,适当改变条件就可得到许多新题.【变式变形】1.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1=-1,x2=3,则抛物线y=ax2+bx+(c-1)的对称轴是(B)A.y轴B.直线x=1C.直线x=2D.直线x=32.如图22-2-3,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于(-1,0),(3,0)两点,则下列判断错误的是(D)图22-2-3A.图象的对称轴是直线x=1B .当x>1时,y 随x 的增大而减小C .一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个根分别是-1和3D .当-1<x<3时,y<03.抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的交点是A (-1,0),B (3,0),与y 轴的交点为D ,顶点为C ,若四边形ABCD 的面积为18,求抛物线的函数解析式. [答案:y=-2x 2+4x+6或y=2x 2-4x-6]4.已知抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A (-1,0),B (3,0)两点,与y 轴交于点C (0,-3). (1)求抛物线的函数解析式;(2)判断△ABC 是不是直角三角形,并给出理由. [答案:(1)y=x 2-2x-3 (2)不是 理由略]5.如图22-2-4,已知抛物线y=ax 2+bx+c (a ≠0)与x 轴交于A (-1,0),B (3,0)两点,与y 轴交于点C (0,3).(1)求抛物线的函数解析式及顶点D 的坐标;(2)若P 为线段BD 上的一个动点,过点P 作PM ⊥x 轴于点M ,求四边形PMAC 的面积的最大值和此时点P 的坐标.图22-2-4答案:(1)y=-x 2+2x+3,顶点D 的坐标为(1,4) (2)S 四边形PMAC 最大值=10516,此时点P 的坐标为94,32【评价角度1】 根据二次函数与一元二次方程的关系解方程方法指引:根据二次函数的图象确定一元二次方程的根,关键是看二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标.如教材P47习题22.2 T2,T3,T6.【评价角度2】 根据二次函数与一元二次方程的关系判断b 2-4ac (或其他代数式)的取值范围方法指引:能根据抛物线与x 轴的交点情况求与待定系数相关的代数式的取值范围(比如b 2-4ac ),有时候还会考查当x=1(或x=-1)时,代数式a+b+c (或a-b+c )的值.注意相关代数式的特点及图象对应特征的积累.例 如图22-2-5,若二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象的对称轴为直线x=1,与y 轴交于点C ,与x 轴交于点A ,B (-1,0).有下列结论:图22-2-5①二次函数的最大值为a+b+c ;②a-b+c<0; ③b 2-4ac<0; ④当y>0时,-1<x<3. 其中正确结论的个数是 (B) A .1B .2C .3D .4【评价角度3】 根据抛物线与直线的交点情况求待定字母(或代数式)的值(或取值范围) 方法指引:根据抛物线与直线的函数解析式构造出一元二次方程,再利用一元二次方程的根的判别式解决相关问题.例1 对于题目“一段抛物线L :y=-x (x-3)+c (0≤x ≤3)与直线l :y=x+2有唯一公共点,若c 为整数,确定所有c 的值.”甲的结果是c=1,乙的结果是c=3或c=4,则(D)A .甲的结果正确B .乙的结果正确C .甲、乙的结果合在一起才正确D .甲、乙的结果合在一起也不正确例2 已知二次函数y=-x 2+x+6及一次函数y=-x+m ,将该二次函数在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新图象,如图22-2-6所示,当直线y=-x+m 与新图象有4个交点时,m 的取值范围是 (D)图22-2-6A .-254<m<3 B .-254<m<2C .-2<m<3D .-6<m<-2课题 22.2二次函数与一元二次方程授课人教学目标1.理解二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,准确表述何时方程有两个不相等的实数根,两个相等的实数根和没有实数根.2.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.3.通过学生自主探索和合作交流,真正理解和掌握二次函数与一元二次方程之间的关系.4.能够从函数解析式的角度分析二次函数与一元二次方程之间的关系,同时也能够从函数图象的角度分析函数与方程之间的关系.5.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数,讨论一元二次方程的根的情况,进一步体会数形结合的思想.教学重点掌握二次函数与一元二次方程之间的关系,会利用函数图象求一元二次方程的近似解.教学难点理解二次函数的图象与x轴的交点个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.授课类型新授课课时教具多媒体教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾1.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0),其根的判别式是b2-4ac,求根公式是x=-b±√b2-4ac2a.2.二次函数的一般式是y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),顶点坐标是(-b2a,4ac-b24a).3.抛物线y=x2+2x-4的对称轴是直线x=-1,开口方向是向上,顶点坐标是(-1,-5).通过回顾一元二次方程和二次函数的相关知识,巩固以前所学知识,为学好本节课的新知识做好铺垫.4.抛物线y=2(x-2)(x-3)与x轴的交点坐标为(2,0),(3,0).5.已知抛物线与x轴的交点为(-1,0),(1,0),并且经过点(0,1),则抛物线的函数解析式为y=-x2+1.师生活动:学生自主解答上述问题,教师进行个别指导,然后进行点评和总结.活动一: 创设情境导入新课【课堂引入】问题:如图22-2-7所示,以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系h=20t-5t2.考虑以下问题:图22-2-7(1)小球的飞行高度能否达到15 m?如果能,需要飞行多长时间?(2)小球的飞行高度能否达到20 m?如果能,需要飞行多长时间?(3)小球的飞行高度能否达到20.5 m?为什么?(4)小球从飞出到落地要用多长时间?师生活动:教师进行引导,小球飞行高度h与飞行时间t之间的函数解析式为h=20t-5t2,所以将h的值代入函数解析式,得到关于t的一元二次方程即可求解.让学生完成解答过程,教师巡视指导.从小球飞行问题中寻找一元二次方程与二次函数的关系,为学生能够积极主动投入到探索活动创设情境,激发学生的学习热情.二: 与图22-2-8(1)抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点,它们的横坐标分别是-2,1.当x取公共点的横坐标时,函数的值是0.由此得出方程x2+x-2=0的根是-2,1.(2)抛物线y=x2-6x+9与x轴只有一个公共点,这点的横坐标是3.当x=3时,函数的值是0.由此得出方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根是3.(3)抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点,由此可知,方程x2-x+1=0没有实数根.教师总结:一般地,如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴相交,那么交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.2.归纳总结通过以上学生之间、师生之间的观察、交流、讨论,进行总结:一般地,从二次函数y=ax2+bx+c的图象可得如下结论.(1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点,公共点的横坐标是x0,那么当x=x0时,函数的值是0,因此x=x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根.(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种:没有公共点,只有一个公共点,有两个公共点.这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况:没有实数根,有两个相等的实数根,有两个不等的实数根.由上面的结论,我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根.由于作图或观察时可能存在误差,所以由图象求得的根,一般是近似的.活动二: 探究与应用【应用举例】例1利用函数图象求一元二次方程x2-2x-2=0的实数根(精确到0.1).师生活动:教师引导学生作出函数图象,或求出抛物线与x轴的交点坐标,学生独立完成解答过程.图22-2-9解:作二次函数y=x2-2x-2的图象,如图22-2-9.它与x轴的公共点的横坐标x1≈-0.7,x2≈2.7,所以一元二次方程x2-2x-2=0的实数根为x1≈-0.7,x2≈2.7.播放课件:函数的图象与求一元二次方程的解,前一个课件用来画图,可根据图象估计出方程x2-2x-2=0的近似解,后一个课件可以准确地求出方程的解,体会其中的差异.应用∶∶举例是对于课题学习的针对练习.【拓展提升】由根的判别式判例2已知直线l:y=kx+1与抛物线y=x2-4x.(1)求证:直线l与该抛物线总有两个交点;(2)设直线l与该抛物线两个交点为A,B,原点为O,当k=-2时,求△OAB的面积.师生活动:学生自主解答问题后,教师进行讲解,学生再次审题,完成对题目的重新整理.断抛物线与x轴的交点个数,进一步提高学生对二次函数与一元二次方程关系的认识,提升学生灵活运用知识的能力.活动三: 课堂总结反思【达标测评】1.二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴的交点坐标为(3,0),(-1,0),两个交点间的距离为4.2.抛物线y=x2-2x-8与x轴有2个交点.3.若抛物线y=x2-4bx+4的顶点在x轴上,则b=±1.4.二次函数y=ax2+bx+c的值永远为负值的条件是(D)A.a>0,b2-4ac<0B.a<0,b2-4ac>0C.a>0,b2-4ac>0D.a<0,b2-4ac<0学生进行当堂检测,完成后,教师进行批阅、点评、讲解.针对本课时的主要问题,从多个角度、分层次进行检测,达到学有所成、了解课堂学习效果的目的.1.课堂总结:你在本节课中有哪些收获?有哪些进步?还有哪些困惑?请谈一谈.教师总结:抛物线与x轴的交点问题有三种情况,分别是有两个交点、有一个交点、没有交点,可以通过计算相应一元二次方程根的判别式进行确定.2.布置作业:(1)教材第47页习题22.2第3,4,6题.(2)补充题:将二次函数y=x2的图象先向下平移1个单位长度,再向右平移3个单位长度,得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点,则实数b的取值范围是(D)A.b>8B.b>-8C.b≥8D.b≥-8让学生养成自主归纳课堂重点的习惯,提高学生的学习能力.三:课堂总结反思【教学反思】①[授课流程反思]在探究新知的环节中,教师做好问题的求解和“数形结合”的对比演示,使学生能够理解“数”与“形”之间的关系;在课堂训练环节中,教师给予学生自主解答问题的时间,并做好点评.②[讲授效果反思]教师引导学生注意以下几点:(1)抛物线与坐标轴交点的求法,即把已知坐标代入;(2)抛物线与x轴交点个数可通过计算b2-4ac进行判断.③[师生互动反思]教学过程中,以学生为主体,通过学生自主探索和合作交流,真正理解和掌握二次函数与一元二次方程之间的关系.④[习题反思]好题题号错题题号反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质.。
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22.2 二次函数与一元二次方程
第1课时二次函数与一元二次方程文档设计者：
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教学目标
1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系.
2.经历用图像法求一元二次方程的近似根的过程,获得用图象法求方程近似根的体验与方法.
3.理解二次函数的图象和与横轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解方程何时有两个不等实根、两个相等实根和没有实根.
4.进一步发展学生的估算能力,体会数形结合思想.
教学重难点
理解一元二次方程与函数的关系.
教学过程与方法
1.自主阅读课本(10分钟)
2.交流互动(10分钟)
知识点一:二次函数与一元二次方程之间的关系
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的位
置关系一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根
的情况b
2-4ac的值
有两个公共点有两个不相等的实数根b2-4ac>0
只有一个公共点有两个相等的实数根b2-4ac=0无公共点无实数根b2-4ac<0
知识点三:求方程的近似解
3.课堂练习(11分钟)
习题22.2第2题(1)、(2).
4.拓展性练习(11分钟)
(1)已知二次函数y=-x2+4x+k的部分图象如图所示,则关于x的方程-x2+4x+k=0的两根为x1=-1,x2=5 .
(2)抛物线y=-x2+2kx+2与x轴交点的个数为( C )
A.0
B.1
C.2
D.以上都不对
(3)下表是满足二次函数y=ax2+bx+c的五组数据,x1是方程ax2+bx+c=0的一个解,则下列
x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 y-0.80-0.54-0.200.220.72
A.1.6<x1<1.8
B.1.8<x1<2.0
C.2.0<x1<2.2
D.2.2<x1<2.4
(4)已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,则关于x的方程ax2+bx+c-3=0的根的情况是( C )
A.有两个不相等的正实数根
B.有两个异号实数根
C.有两个相等的实数根
D.没有实数根
5.小结升华(5分钟)
学生小结,教师补充总结:
(1)二次函数与一元二次方程的关系.
(2)二次函数与一元二次方程根的情况的关系.
(3)事物是普遍联系的.运用方程知识可以解决函数问题,同样运用函数知识又可以解决方程的根的相关问题.
6.独立作业(10分钟)
(1)必做题:
①已知抛物线y=x2-8x+c的顶点在x轴上,则c的值是( A )
A.16
B.-4
C.4
D.8
②若一元二次方程x2-mx+n=0无实数根,则抛物线y=-x2+mx-n的图象位于( C )
A.x轴上方
B.第一、二、三象限
C.x轴下方
D.第二、三、四象限
(2)备用题:
已知二次函数y=2x2-4x-1的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,求△ABC的面积.
解:S△ABC=.
第2课时二次函数与不等关系
教学目标
1.经历探索二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系,体会数形结合思想,培养观察能力.
2.通过学习,感受学习数学知识之间联系与转化的无穷乐趣.
教学重难点
重点:根据函数图象观察方程的解和不等式的解集.
难点:观察抛物线与直线相交后的函数值、自变量的变化情况.
教学过程与方法
1.出示例题供学生合作学习,教师进行矫正与强化(15分钟)
【例】如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分,其对称轴为直线x=1,若其与x轴一交点为B(3,0),则由图象可知,不等式ax2+bx+c>0的解是x>3或x<-1.
2.学习独立完成如下习题(25分钟)
(1)若二次函数y=kx2-7x-7的图象与x轴有交点,则k的取值范围为( B )
A.k>-
B.k≥-且k≠0
C.k≥-
D.k>-且k≠0
(2)已知二次函数y=x2-2ax+(b+c)2,其中a、b、c是△ABC的边长,则此二次函数图象与x轴的交点情况是( A )
A.无交点
B.有一个交点
C.有两个交点
D.交点个数无法确定
(3)若二次函数y=x2+mx+m-3的图象与x轴交于A、B两点,则A、B两点的距离的最小值是( C )
A.2
B.0
C.2
D.无法确定
(4)已知抛物线y=-3(x-1)(x+2),则当x ≤-2或x≥1 时,y≤0.
(5)如图,请根据抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n的图象信息回答:
①不等式ax2+bx+c>mx+n的解集为x<-2或x>1 .
②方程ax2+bx+c=mx+n的解为 x1=1,x2=-2 .
(6)若抛物线y=(m-1)x2+2mx+m+2的图象恒在x轴的上方,则m的取值范围是m>2 .
(7)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,请根据图象信息回答问题:
①写出方程ax2+bx+c=0的两根;
②写出不等式ax2+bx+c>0的解集;
③写出方程ax2+bx+c=2.5的两根;
④写出不等式ax2+bx+c<2.5的解集;
⑤若方程ax2+bx+c+1-k=0有两个不相等的实数根,求k的取值范围.
解:①0,4 ②x<0或x>4 ③5,-1 ④-1<x<5 ⑤k>-1
3.课堂小结(5分钟)
本节课有哪些收获与困惑?
可以编辑的试卷（可以删除）。