第三章 空间向量与立体几何(B卷)

第三章 空间向量与立体几何(B)

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．空间四个点O 、A 、B 、C ，OA →，OB →，OC →

为空间的一个基底，则下列说法不正确的是( ) A ．O 、A 、B 、C 四点不共线

B ．O 、A 、B 、

C 四点共面，但不共线 C ．O 、A 、B 、C 四点中任意三点不共线

D ．O 、A 、B 、C 四点不共面

2．已知a ＋3b 与7a －5b 垂直，且a －4b 与7a －2b 垂直，则〈a ，b 〉等于( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．45°

3．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC →

的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°

4．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若AE →＝AA 1→＋x AB →＋y AD →

，则x ，y 的值分别为( )

A ．x ＝1，y ＝1

B ．x ＝1，y ＝1

2

C ．x ＝12，y ＝12

D ．x ＝12，y ＝1

3

5．设E ，F 是正方体AC 1的棱AB 和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A 1ECF 成60°角的对角线的数目是( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．6

6．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →

＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →

是平面ABCD 的法向量；④AP →∥ BD →

.其中正确的个数是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 7．已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)且a·b ＝2，则x 的值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6

8．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →

＝0，则△BCD 是( )

A ．钝角三角形

B ．锐角三角形

C ．直角三角形

D ．不确定 9．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 10．若向量a ＝(2,3，λ)，b ＝⎝⎛⎭

⎫－1，1，63的夹角为60°，则λ等于( )

A.2312

B.612

C.23612 D ．－23612

11．已知OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →

取得最小值时，点Q 的坐标为( )

A.⎝⎛⎭⎫12，34，13

B.⎝⎛⎭⎫12，32，34

C.⎝⎛⎭⎫43，43，83

D.⎝⎛⎭⎫43，43，73 12．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，平面A 1BD 与平面C 1BD 所成二面角的余弦值为( ) A.12 B.32 C.1 D.3

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．若向量a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，满足条件(c －a )·(2b )＝－2，则x ＝________.

14．若A ⎝⎛⎭⎫0，2，198，B

⎝⎛1，－1，58，C ⎝⎛⎭

⎫－2，1，58是平面α内的三点，设平面α的法向量a ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝__________.

15．平面α的法向量为m ＝(1,0，－1)，平面β的法向量为n ＝(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为__________． 16.

在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝AA 1＝2，点D 是A 1C 1的中点，则异面直线AD 和BC 1所成角的大小为________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)

如图，已知ABCD —A 1B 1C 1D 1是平行六面体．设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC 1B 1

对角线BC 1上的34

分点，设MN →＝αAB →＋βAD →＋γAA 1→

，试求α、β、γ的值．

18.

(12分)如图，四棱锥S —ABCD 的底面是边长为2a 的菱形，且SA ＝SC ＝2a ，SB ＝SD ＝2a ，点E 是SC 上的点，且SE ＝λa (0<λ≤2)． (1)求证：对任意的λ∈(0,2]，都有BD ⊥AE ；

(2)若SC ⊥平面BED ，求直线SA 与平面BED 所成角的大小．

19.(12分)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →

. (1)求a 和b 的夹角θ的余弦值；

(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值．

20．(12分)

如图所示，在三棱锥S—ABC中，SO⊥平面ABC，侧面SAB与SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°，O为BC的中点，求二面角A—SC—B的余弦值．

21.

(12分)如图，在底面是矩形的四棱锥P—ABCD中，P A⊥平面ABCD，P A＝AB＝2，BC ＝4，E是PD的中点．

(1)求证：平面PDC⊥平面PAD；

(2)求点B到平面PCD的距离．