上海交大杜秀华老师《现代控制理论》第四章 线性系统的能控性和能观性6
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三、 多输入多输出系统的标准形
旺纳姆（Wonham ）标准形和龙伯格（Luenberger ）标准形。 1.多输入多输出系统的能控标准形
考虑线性定常系统
:
Σx Ax Bu y Cx
=+=
x 为n 维状态向量，u 为p 输入向量，y 为q 维输出向量
如果系统能控，则系统的能控性矩阵的秩为n ，即c
Q 中有n 个线性无关列。
111121212[]c Q b b b Ab Ab Ab A b A b A b n n n p p p ---=
对多输入系统，1p >，c Q 中有np 列，所以，在c Q 中可以找出很多种n 个线性无关列的情况。这里介绍两种寻找
n 个线
性无关列的方法，以构成状态变换阵，将状态空间描述形式变换为旺纳姆能控标准形和龙伯格能控标准形。
定理 [旺纳姆能控标准形]对完全能控的线性定常系统，存在线性非奇异变换
1
x Px Q x -==
使状态空间表达式转化为旺纳姆能控标准形
:
Σx A x B u y C x
cW c c c =+=
式中
111211222A A A 0
A A A Q AQ 00A m m c mm -⎡⎤
⎢⎥
⎢
⎥==⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣
⎦
1
1(11(1)
110
10
011,2,,0001A ,i i ii i m
ννννααα⨯-⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
==⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
---⎢⎥⎣⎦
）
112
()
00,1,,00A i j ij ij ij ij j i m νννγγγ⨯⎡⎤
⎢⎥⎢
⎥==+⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
1(1)11
(1)001001B Q B m p c n m np ββββ+-+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥
⎣
⎦
C CQ c =（无特殊形式）
证明：见书 例 求如下系统的旺纳姆能控标准形
121100*********A B -⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
计算系统的能控性矩阵
2101204010101001042B
AB
A B c Q ⎡⎤
⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦
3c Q rank =，系统完全能控。按2111{,,} b A b A b 和
2222{,,} b Ab A b 搜索，可知112,,b Ab b 是线性独立的。得
1,221==νν。
21111121
211111121100110,0,0,000014410A b Ab b b Ab A b αααα=--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
解得 441211=αα，＝－
111111
121
e b Ab e b α=+=
得
111212121131040000101100e e b e b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
由22111211112212-Ab b e e αγγ=++，即
21121122203111000010αγγ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
=-++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
解得 2
0,121==-=122121 , γγα
由此可得
1
111
122201000-442100
00101A A A Q AQ B Q B A c c --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=====⎢
⎥⎢
⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
式中，变换矩阵为 310001100Q -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
系统的旺纳姆能控标准形为
011004421000101x x u ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
龙伯格能控标准形相对于旺纳姆能控标准形在系统极点配置中应用更广，这是由于在构成状态变换阵时，相对均衡地考虑了各个输入的作用。考虑线性定常系统
:Σx Ax Bu y Cx
=+=
x 为n 维状态向量，u 为p 输入向量，y 为q 维输出向量。
如果系统完全能控，设矩阵B 的列线性无关，这在实际上通常总能成立，或可进行处理获得，b i 为B 的第i 列，那么，系统的能控性矩阵c Q 可表示为
111121212[]c Q b b b Ab Ab Ab A b A b A b n n n p p p ---=
对上式从左到右依次找出
n 个线性无关列，即若某个列不
能表示成其左边各线性独立列的线性组合就为线性无关列，否则为线性相关列。考虑到c Q 的组成特点，如果
,1,2,,A b i m m p = 和其左边线性独立列线性相关，则1
A
b i m
+也和其左边线性独立列线性相关，又由于假设B 为满秩，则可将此搜索结果重新排列，并组成非奇异矩阵P ：