2012 西南交通大学 大学物理 AII 作业答案 No.3 波的干涉

解：(1) 在 S 2 外侧 C 点，两列波的相位差为：
λ λ 2 所以 S 2 的位相应为： ϕ 2 = 2 kπ + π / 2 , ( k = 0 , ± 1, ± 2 , ⋅ ⋅⋅) ，初相为 ϕ 2 = π / 2
(2) 在 S1 S 2 中垂线上任一点，若产生相消干涉，则
∆ϕ = ϕ 2 − ϕ 1 −
x
) 2 x π 1 或者：将 y1 写成 y1 = A cos ( 2πνt + 2 π x / λ ) = A cos ( 2 π v t + π + 2π − ) λ 2 2 x π x π 反射波为： y 2 = A cos ( 2 π v t − 2π + π ) = A cos [ 2 π v t + − (2π − )] λ 2 λ 2 x π π 合成驻波方程为： y = y1 + y 2 = 2 A cos( 2π − ) cos( 2πvt + ) λ 2 2
解：两相干波在 P 点的相位差为：
是
4π
。
2
∆ϕ = ϕ 2 − ϕ 1 −
2π
λ
( r2 − r1 ) =
2π 21 1 π −0− λ − 3λ ) = − 4π ( λ 4 2
M
• S1 • S2 • C
∆ϕ = 4π
3. S 1 , S 2 为振动频率、振动方向均相同的两个点波源，振动方向垂直纸面，两者相 距
解：据驻波形成条件可设另一简谐波的波动方程为：
(SI)
[ C ]
y 2 = 2.0 × 10 − 2 cos[ 2π (
t x + ) + ϕ2 ] 0.02 20
由题意， x = 0 处为波节，则 ∆ϕ = ϕ 2 − ϕ 1 = ϕ 2 −
π
3
= π ，所以
ϕ2 = π +
π= 2.0 × 10 − 2 cos[ 2π (
(SI)
1. 如图所示，两相干波源 S1 和 S 2 的距离为 d = 3 0 m ， S1 和 S 2 都在 x 坐标轴上， S1 位于坐标原点 O 。设由 S1 和 S 2 分别发出的两列波沿 x 轴传播时，强度保持不 变。x1 = 9 m 和 x2 = 12 m 处的两点是相邻的两个因干涉而静止的 点。求两波的波长和两波源间最小位相差。 解：设 S1 和 S 2 的初相分别的为 ϕ 1 和 ϕ 2 ，在 x1 点两波引起的相位差
A = A1 + A2 A2 ≤ A ≤ A1
( B) (D)
A = A1 − A2 A1 − A2 ≤ A ≤ A1 + A2
A]
解：合成波的振幅为 A =
2 A12 + A2 + 2 A1 A2 cos ∆ϕ ,由此可以得出该选 D。
4. 某时刻的驻波波形曲线如图所示，则 a、b 两点的位相差是[
y
A
a
λ
(A) π
(B)
1 π 2
O
−A
解：a 、b 为驻波波节 c 点两侧的点，则据驻波规律知：振动相位相反，位相差为 π 。故选 A 5. 在弦线上有一简谐波，其表达式是
5 (C) π 4
(D) 0
2
c λ
b
x
y1 = 2.0 × 10 −2 cos [ 2 π (t / 0.02 − x / 20) + π / 3 ] (SI) 为了在此弦线上形成驻波，并且在 x = 0 处为一波节，此弦线上还应有一简谐波，其表达式为： (A) y 2 = 2.0 × 10 −2 cos [ 2 π (t / 0.02 + x / 20) + π / 3 ] (SI) (B) y 2 = 2.0 × 10 −2 cos [ 2 π (t / 0.02 + x / 20) + 2π / 3 ] (SI) (C) y 2 = 2.0 × 10 −2 cos [ 2 π (t / 0.02 + x / 20) + 4π / 3 ] (SI) (D) y 2 = 2.0 × 10 −2 cos [ 2 π (t / 0.02 + x / 20) − π / 3 ]
2π
( r2 − r1 ) = ϕ 2 −
π
−
2π
(−
3 λ ) = ( 2 k + 1)π 2
= ( 2k + 1)π λ 2 所以 S 2 的位相应为： ϕ 2 = 2 kπ + 3π / 2 , ( k = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋅ ⋅⋅) ，初相为 ϕ 2 = 3π / 2
4. 设入射波的表达式为 y1 = A cos 2 π ( v t + 的驻波表达式为 y = 2 A cos ( 2 π x / λ −
x
。
H z = − 2.12 cos 2 π v( t + x / c ) (SI)
( 真 空 的 介 电 常 数 ε 0 = 8.85 × 10 −12 F⋅ m −2 真 空 的 磁 导 率 µ 0 = 4π × 10 −7 H ⋅ m −2 ) 解：由 S = E × H ， E 沿 y 方向， H 一定沿 − z 方向。 又由 ε 0 E 0 =
r 1 r I = ρA 2ω 2 u ，所以能量是否损失在这里是指反射波的振幅是否还与入射波的相等。 2
[ F ] 4. 解：驻波形成的条件为：两列振幅相等沿同一直线反向传播的相干波。 [ F ] 5. 解：驻波形成的条件为：两列振幅相等沿同一直线反向传播的相干波。初相是否相同不影响。 二、选择题： 它们的振动方向均垂直于图面, 发出波长 1. 如图所示，S1 和 S 2 为两相干波源， 为λ的简谐波。P 点是两列波相遇区域中的一点，已知 S1 P = 2λ ， S 2 P = 2.2 λ ，
合成驻波方程为： y = y1 + y 2 = 2 A cos( 2π
x
λ
+
π
2
) cos( 2πvt −
π
λ
+
π
2
)]
3
6. 在真空中沿 x 轴负方向传播的平面电磁波，其电场强度的波的表达式为 x E y = 800 cos 2πv (t + ) ( SI ), c 则 磁 场 强 度 波 的 表达式是
《大学物理》作业
No.3 波的干涉
一、判断题 [ F ] 1. 解：波的叠加本质是振动的叠加。两列相干波的叠加，就相当于在相遇区域内各点在进行同频率振 动的叠加，同频率振动合成后仍然是该频率的振动。 [ T ] 2. 解：对于波动的介质元而言，其动能和势能同相变化，它们时时刻刻都有相同的数值。 [ F ] 3. 解：一定要注意半波损失和能量损失是两个概念，半波损失是指入射波在波疏媒质到波密媒质的界 面反射时发生了 π 的相位突变，而能量损失指的是反射波的振幅将小于入射波的振幅，因为能流密度
解：
y 1 = A cos ( 2 π v t + 2π y 2 = A cos ( 2 π v t − 2π
x
λ
x
) = A cos ( 2 π v t −
π
2
+ 2π
x
λ
+
π
2
)
反射点为固定端，则反射波在 x = 0 处有半波损失，令
λ
− π ) = A cos [ 2 π v t −
π
2
− ( 2π
的同频率的振动的合成，合振动的振幅当然是这两个分
2 2 2
振动为邻边的直角的平行四边形的对角线，所以有 D = A + B
故选C 3.波速、频率和波长相同但相位和振幅不同，且有 φ1 > φ2 , A1 > A2 的两列相干波沿相同方向传播，由波的叠 加原理，合成波的振幅【 D 】
1
(A) (C)
∆ϕ = ϕ 2 − ϕ 1 −
2π
( r2 − r1 ) = ϕ 2 −
π
x
λ
) 。 波在 x = 0 处发生反射，反射点为固定端，则形成
1 1 π ) cos ( 2 π v t + π ) 2 2
。
1 1 或 y = 2 A cos ( 2 π x / λ ＋ π ) cos ( 2 π v t − π ) 2 2
1 π 。因为 y1和y2在P点发生相消干涉， A2 = A1 = A ， 10 1 所以, S 2 的振动方程为 y 2 = A cos( 2π t − π ) = A cos( 2π t − 0.1π ) 故选D 10 2. 一个行波 y = A cos ( kx − ωt ) + B sin (kx − ωt ) 也可以写成 y = D sin (kx − ωt − φ ) ，则：[
∆ϕ = ϕ 2 − ϕ 1 − 2π
解：S1和 S 2 在P点发生相消干涉，相位差为
ϕ 2 = ( 2 k + 1)π + ϕ 1 +
19 = 2 kπ + π 10
λ
( r2 − r1 ) = ( 2 k + 1)π +
1 2π π+ ( 2 .2 λ − 2 λ ) 2 λ
λ
( r2 − r1 ) = ( 2 k + 1)π
P = wu ⋅ S⊥ = w ⋅
λ
T
⋅ S = w⋅λ ⋅
ωλ ω ⋅S = S ⋅w 2π 2π
2. 两相干波源 S1 和 S 2 的振动方程分别是 y1 = A cos ω t 和 y 2 = A cos ( ω t + 1 π ) 。 S1 距P点 3 个波长， 2
S 2 距P点 21/ 4 个波长。两波在P点引起的两个振动的相位差的绝对值