数学高中学业水平测试课件：专题十四第49讲双曲线

答案：48
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9．若点 P 是以 F1，F2 为焦点的双曲线xa22－by22＝1 上 一点，满足 PF1⊥PF2，|PF1|＝2|PF2|，则双曲线的离心率 为________．
解析：由双曲线的定义可知||PF1|－|PF2||＝2a，又因 为
|PF1|＝2|PF2|，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，又因为 PF1 ⊥PF2，
点为 B，则|F1B|＝c＋a＋2 c，|F2B|＝c－a＋2 c，
29
由||PPFF11||＝－3|P|PFF2|2＝|，2a，
得
|PF1|＝3a， |PF2|＝a，
再
由
勾
股
定
理
得
，
|PF1|2
－
|F1B|2
＝
|PF2|2－|F2B|2，所以(3a)2－c＋a＋2 c2＝a2－c－a＋2 c2，
3
(1)当 2a<|F1F2|时，则集合 P 表示点的轨迹是双曲线； (2)当 2a＝|F1F2|时，则集合 P 表示点的轨迹是两条射 线； (3)当 2a>|F1F2|时，则集合 P 为空集．
4
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
xa22－by22＝1(a>0，b>0) ay22－xb22＝1(a>0，b>0)
答案：10
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7．已知双曲线的离心率为 2，F1、F2 是左右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝12 3. 该双曲线的标准方程为________．
解析：由双曲线焦点三角形面积公式 S＝ b2cot∠F21PF2得 b2＝12，所以 c2－a2＝12，又 e＝ac＝2， 所以 c2＝16，a2＝4，b2＝12，方程为x42－1y22 ＝1.
解得 e＝1＋2 17(舍去小于 1 的解)．故选 A.
答案：A 30
6．若双曲线x92－1y62 ＝1 上一点 P 到左焦点的距离为 4， 则点 P 到右焦点的距离是________．
解析：由双曲线方程可知 a2＝9，所以 a＝3，2a＝6， 由定义|PF1|－|PF2|＝2a 得|PF2|＝10.
A．±12
Hale Waihona Puke B．±2 2C．±1
D．± 2
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(2)将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴 长 b(a≠b)同时增加 m(m>0)个单位长度，得到离心率为 e2 的双曲线 C2，则( )
A．对任意的 a，b，e1<e2 B．当 a>b 时，e1<e2；当 a<b 时，e1>e2 C．对任意的 a，b，e1>e2 D．当 a>b 时，e1>e2；当 a<b 时，e1<e2
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y＝kx＋3， 由 x32－y92＝1，得(3－k2)x2－6kx－18＝0， 所以 x1＋x2＝3－6kk2，x1x2＝3－－1k82. 由 BM⊥BN 得(1＋k2)x1x2＋6k(x1＋x2)＋36＝0， 解得 k＝± 5，经检验符合 Δ＞0. 所以直线 MN 的方程为 y＝ 5x＋3 或 y＝－ 5x＋3.
1.∴a2＝b2，即 a＝b.∴该双曲线的渐近线斜率 k＝±ba＝± 1.
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(2)e1 ＝ 1＋ba22 ， e2 ＝
（b＋m）2 1＋（a＋m）2 . 不 妨 令
e1<e2，化简得ba<ba＋ ＋mm(m>0)，得 bm<am，得 b<a.因此当
b b＋m
b b＋m
b>a 时，有a>a＋m，即 e1>e2；当 b<a 时，有a<a＋m，即
程可表示为xa22－by22＝t(t≠0)．
(2)
过
已
知
两
个
点
的
双
曲
线
方
程
可
设
为
x2 m
＋
y2 n
＝
1
(mn<0)．
8
1．双曲线的定义及标准方程． 【例 1】 (1)已知双曲线过点(4， 3)，且渐近线方 程为 y＝±12x，则该双曲线的标准方程为________． (2)设椭圆 C1 的离心率为153，焦点在 x 轴上且长轴长 为 26，若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个焦点的距离的 差的绝对值等于 8，则曲线 C2 的标准方程为________．
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3．直线与双曲线的综合问题 【例 3】 双曲线xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)的离心率为 2，坐标原点到直线 AB 的距离为32，其中 A(a，0)，B(0， －b)． (1)求双曲线的方程； (2)若 B1 是双曲线虚轴在 y 轴正半轴上的端点，过 B1 作直线与双曲线交于 M，N 两点，求 BM⊥BN 时，直线 MN 的方程．
的长|A1A2|＝2a；线段 B1B2 叫作
性 实虚轴 双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝
质
2b；a 叫作双曲线的实半轴长，b
叫作双曲线的虚半轴长
a，b，c 的 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
关系
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3.知识拓展．
巧设双曲线方程．
(1)与双曲线xa22－by22＝1 (a>0，b>0)有共同渐近线的方
(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求
出 a 的值，由定点位置确定 c 的值． 12
2．双曲线的几何性质
【例 2】 (1)设双曲线xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)的右焦
点是 F，左、右顶点分别是 A1，A2，过 F 作 A1A2 的垂线 与双曲线交于 B，C 两点，若 A1B⊥A2C，则该双曲线的 渐近线的斜率为( )
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所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即(4a)2＋(2a)2＝(2c)2， 整理得 c2＝5a2，所以 e＝ac＝ 5. 答案： 5
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10．已知双曲线 C 与椭圆x82＋y42＝1 有相同的焦点，实 半轴长为 3.
(1)求双曲线 C 的方程； (2)若直线 l：y＝kx＋ 2与双曲线 C 有两个不同的交点 A 和 B，且O→A·O→B＞2(其中 O 为原点)，求 k 的取值范围． 解：(1)设双曲线的方程为xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)，因 为 a＝ 3，c＝2，所以 b＝1， 故双曲线方程为x32－y2＝1.
专题 十四 圆锥曲线与方程
1
第 49 讲 双曲线
2
1．双曲线的概念 平面内到两个定点 F1，F2 的距离之差的绝对值等于 常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．这两 个定点 F1，F2 叫作双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫 作双曲线的焦距． 集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a， c 为常数，且 a>0，c>0.
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解析：(1)如图，双曲线xa22－by22＝1 的右焦点为 F(c，
0)，左、右顶点分别为 A1(－a，0)，A2(a，0)，
易求 Bc，ba2，Cc，－ba2，
b2
b2
a
a
则 kA2C＝a－c，kA1B＝a＋c.∵A1B 与 A2C 垂直，
15
b2 b2
b4
则有 kA1B·kA2C＝－1，即a＋a c·a－a c＝－1.∴c2－a2a2＝
A. 3
B. 6
C．2
D. 2＋1
解析：先根据抛物线方程求得准线方程，代入双曲
线方程求得 y.根据双曲线的对称性可知△FAB 为等腰直
角三角形，进而可求得 A 或 B 的纵坐标为 2，进而求得 a，
利用 a，b 和 c 的关系求得 c，则双曲线的离心率可得．
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依题意知抛物线的准线 x＝－1，代入双曲线的方程 得 y＝± 1－a a2，不妨设 A－1， 1－a a2，因为△FAB 是 等腰直角三角形，所以 1－a a2＝2，得到 a＝ 55，所以 c2 ＝a2＋b2＝15＋1＝65，那么可知离心率为 6，选 B.
为 2 5的双曲线与圆 x2＋y2＝9 的一个交点，则|PA|＋|PB|
＝( )
A．4 13
B．2 14
C．2 13
D．3 14
解析：根据题意，由于 P 点是以 A(－3，0)、B(3，
0)为焦点，实轴长为 2 5的双曲线，那么可知 a＝ 5，b
＝2，c＝3.
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所以双曲线方程为x52－y42＝1，根据双曲线的定义可 知，|PA|－|PB|＝2 5，那么根据圆的半径为 3，可知|PA| ⊥|PB|，所以|PA|2＋|PB|2＝62＝36，结合完全平方差公式 得到，|PA|＋|PB|＝2 13，选 C.
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解析：(1)由双曲线渐近线方程为 y＝±12x，可设该双 曲线的标准方程为x42－y2＝λ(λ≠0)，∵该双曲线过点(4，
3)，∴442－( 3)2＝λ，即 λ＝1.故所求双曲线的标准方程为 x42－y2＝1.
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(2)由题意知椭圆 C1 的焦点坐标为 F1(－5，0)，F2(5， 0)，设曲线 C2 上的一点 P，则||PF1|－|PF2||＝8.
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1．双曲线 3x2－y2＝3 的渐近线方程为( )
A．y＝±3x
B．y＝±13x
C．y＝± 3x 解析：因为双曲线
D．y＝± 33x 3x2－y2＝3 可以表示为
x2－y32＝1，
所以 a＝1，b＝－ 3，所以渐线线方程为 y＝±bax＝± 3x，
故选 C.
答案：C 23
2．若 P 点是以 A(－3，0)、B(3，0)为焦点，实轴长
答案：B
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5．已知 F1，F2 分别是双曲线xa22－by22＝1(a，b＞0)的
左右焦点，A 为双曲线的右顶点，线段 AF2 的垂直平分线