自然界中的数学大师

遗传机理中的统计规律
亲 本 第一 代
YY
yy
Yy
Yy
第二 代
YY
Yy
Yy
yy
其中Y为显性因子，y为隐性 因子
孟德尔遗传定律
• 分离律：基因不融 合，而是各自分开 ；如果双亲都是杂 种，后代以3 ：1（ 显性 ：隐性）的比 例分离； • 自由组合律：每对 基因自由组合或分 离，不受其他基因 的影响。
三、代数天才
对数螺线 ln a ，或
e a , 0
a
a eb
螺线的特性要通过与圆的比较才能有深刻的感受．绕圆一周的距离 (即周长)是有限的．圆还是一条封闭的曲线，圆上的所有点都跟 圆心等距离．而另一方面，螺线却有一个始点，而且围着它不断 地绕下去，其长度是无限的．它是一条开放性的曲线，始点与终 点不连接在一起．螺线上的点也不像圆那样与它的极点(始点)等 距离． 螺线有二维和三维之分．右图是一个平面二维螺线的优秀例子．它 不是由分离的同心圆形成的，而是由单纯的沟漕构成的．当螺线 围着像圆柱或圆锥那样的物体缠绕时便形成了空间的三维螺线， 就像DNA分子、螺丝钉或螺丝锥那样．三维螺线我们又称螺旋． 螺线是一种令人兴奋的曲线，无论是从数学上加以研究，还是在自 然现象的生成中和其他领域中发现它的踪影及其联系．这些领域 包括：有蔓植物、贝壳、旋风、飓风、骨的构造、旋涡、银河系、 蜘蛛网、建筑和艺术图案等．
事情到底是怎样的呢？
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公元前3世纪古埃及亚历山大城的巴普士就曾细心地观察过蜂房，并推测：蜂 房的形状可能最材料的。事过两千，17世纪初，法国著名理论家开普勒也观测 到了同样的事实。与此同时，法国另一们学者马拉尔弟经过住址测量后发现： 蜂房底面的每个菱形钝角为109度28分，所有的锐角为70度32分。
• 孟德尔把黄色和绿色的豌豆 杂交，第一年收获的豌豆是 黄色的。第二年，当他把第 一年收获的黄色豌豆再种下 时，收获的豌豆既有黄色的 又有绿色的。 • 类似地，他把圆形和皱皮豌 豆杂交，第一年收获的都是 圆形豌豆，连一粒皱皮豌豆 都没有。第二年，当他把这 种杂交圆形再种下时，得到 的却既有圆形豌豆，又有皱 皮豌豆。
• 鹰类从空中俯冲下来猎取地上的小动物时，常常采取 一个最好的角度出其不意地扑向猎物。
• 壁虎在捕食蚊、蝇、蛾等小昆虫时，总沿着一条螺旋 形曲线爬行，这条曲线，数学上称为“螺旋线”。
• 鼹鼠“瞎子”在地下挖掘隧道时，总是沿着90°转弯。
• 蛇在爬行时，走的是一个正弦函数图形。它的脊椎像火车一样， 是一节一节连接起来的，节与节之间有较大的活动余地。如果 把每一节的平面坐标固定下来，并以开始点为坐标原点，就会 发现蛇是按着30度、60度和90度的正弦函数曲线有规律地运动 的。
• 孟德尔(Gregor Mendel, 1822-1884) • 孟德尔是现代遗传学之父， 是这一门重要生物学科的奠 基人。1865年发现遗传定律 。 • 1822年7月22日，孟德尔出 生在奥地利的一个贫寒的农 民家庭里，父亲和母亲都是 园艺家。孟德尔受到父母的 熏陶，从小很喜爱植物。
豌豆杂交试验
人类从自然界中学习：
• 昆虫学家研究发现，苍蝇的后翅退化成一对平衡棒 。当它飞行时，平衡棒以一定的频率进行机械振动 ，可以调节翅膀的运动方向，是保持苍蝇身体平衡 的导航仪。科学家据此原理研制成一代新型导航仪 ——振动陀螺仪，大大改进了飞机的飞行性能LlJ， 可使飞机自动停止危险的滚翻飞行，在机体强烈倾 雷达 斜时还能自动恢复平衡，即使是飞机在最复杂的急 转弯时也万无一失。 • 人类从大自然中得到的启示还有很多.比如:模仿鸡蛋 外形的特点,建造了拱形桥;受鸟儿飞翔的启示,发明了 飞机;从茅草划破手指,发明了锯…… • 雷达、声呐、潜艇…….
消息传到法国自然哲学家列厄木那里，这件事引起他的思索：这些菱形的钝角 为何不是100°或110°而偏偏是109°28′？哲学家把问题交给了当时著名的瑞 士数学家寇尼希，经过这位数学家精心推演完全证实了列厄木的猜想。然而计 算结果却与实际测量值有2′之差，算得结果钝角和锐角分别为109°26′和 70°34′。 1743年，英国数学家麦克劳林又重新研究蜂房的构造，他用新方法从另外角度 进行探讨，经过一番演算，结果却使他大大吃惊! 原来错误不是发生在蜜蜂那里，而是发生在那数学家的计算上。这位著名的数 学家计算时使用的对数表印刷有误!这是1744年初，当一场海难之后的调查公 布于世的时候，海船触礁是因为航向偏离了2′，而这2′之差也是出自那本有误 对数表。 人们经历了几个世纪对蜂房构造的研究中，同时也发现了蜂房结构有不少奇特 的性，这种蜂房的结构现在已被广泛地用于建筑、航空、航海、航天、无线电 话等许多领域中，从建筑上隔音材料的构造到航空发动机进气孔的设计，都从 蜂房构造中得到了启示。
• 珊瑚虫是“代数天才”。它在自己身上记下“日历”，每年在 体壁上“刻画”出365条环纹，一天“画”一条。生物学家发现， 3.5亿年前的珊瑚虫每年 “画”出400条环纹，天文学家告诉 我们，当时的地球昼夜只有21.9小时，一年不是365天，而 是 400天。
• 丹顶鹤总是成群结队迁飞，而且排成“人”字形，角度也永远 是110度，更精确的计算还表明“人”字夹角的一半，即每边与 鹤群前进的夹角度数54度44分8秒；而金刚石结晶体的角度也正 好是54度44分8秒！是巧合还是大自然的某种“默契”？
• 切叶蜂用大腭剪下的每片圆形叶片，像模子冲出来似 的，大小完全一样。
每天上午，当太阳升 起与地平线成30°时， 蜜蜂中的 “侦察员”就会 肩负重托去侦察蜜源。 回来后，用其特有的“舞 蹈语言”向伙伴们报告花 蜜的方位、距离和数量， 于是蜂王便派工蜂去采 蜜。令人啧啧称奇的是， 它们的计算能力非常之 强，派出去的工蜂不多 不少，恰好都能吃饱， 保证回巢酿蜜。
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蜜蜂的蜂房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开 口，另一端是封闭的六角菱锥形的底，由三个相同的菱形组成。 组成底盘的菱形的钝角为109度28分，所有的锐角为70度32分， 这样既坚固又省料。蜂房的巢壁厚0.073毫米，误差极小。令人 类建筑师惊叹不已！同时，令人惊奇的是，蜜蜂还“知道”两 点间的最短距离是一条直线。工蜂在花间随意来去而采集到大 量花蜜后，它知道取最直接的路线回到蜂房。大约在公元300年 左右，古希腊数学家帕波斯在其编写的《数学汇编》一书中对 蜂房的结构，作过精彩的描写：蜂房是由许许多多的正六棱柱， 一个挨着一个，紧密地排列，蹭没有一点空隙……蜜蜂凭着自 己本能的智慧选择了正六边形，因为使用同样多的原材料，正 六边形具有最大的面积，从而可贮藏更多的蜂蜜。”蜂房结构 和造型令世界上最优秀的建筑师称赞不已。已故数学家华罗庚 对蜂房作过十分形象的描绘：“如果把蜜峰放大为人体的大小， 蜂箱就成为一个二十公顷的密集市镇。当一道微弱的光线从这 个市镇的一边射来时，人们可以看到是一排排五十层高的建筑 物。在每一排建筑物上，整整齐齐地排列着簿墙围成的成千上 万个正六角形的蜂房。” 。
DNA分子具有多样性的原因？
碱基对排列顺序的千变 万化，构成了DNA分子的多 样性，从而能够储存了大量 的遗传信息。
在生物体内，一个最短DNA分子 也大约有4000个碱基对，碱基对有： 4000 A—T、T—A、G—C、C—G。请同学们 计算DNA分子有多少种？
4
种
4n(n表示碱基对数)
孟德尔小传
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生物体中神奇的结构
• • DNA重组机理研究 Science 《数学打开了双螺旋 的疑结》 1990，美国数学家 琼斯，纽结理论
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二、计算专家
• 蚂蚁是“计算专家”。英国科学家兴斯顿作过一个有趣的实验， 他把一只死蚱蜢切成三块，第二块比第一块大一倍，第三块比 第二块大一倍，当蚂蚁发现这食物40分钟后，聚集在最小的一 块蚱蜢旁的蚂蚁有28只，第二块44只，第三块89只，后一组较 前一组差不多多一倍。蚂蚁的计算本领如此精确，令人惊奇！ 不仅如此，蚂蚁们在寻找食物时，总是能够找到通往食物的最 短路线。
数学是人类创造的一个学科。如 果有人对你说，有许多动物也“精 通数学”，你一定会感到很奇怪。 事实上，大自然中确实有许多奇妙 的动物“数学家”。
数学家存在于大自然中
你有没有观察过一片叶子，对它为什么能精确的分成两瓣表示奇怪？ 你有没有注意到各种花的花瓣成完美星形？有没有注意到某种贝壳 和松果的螺旋形生长模式？面对奇迹纷呈的自然界，我们中的大多 数人往往认为数学知识只是人类的专利，其实自然界中也存在许多 名不见经传的“数学家”
一、几何专家
猫和蜘蛛是“几何专家”，在寒冷的冬天，猫睡觉时总要 把身体抱成一个球形，这其间也有数学，因为球形使身体的 表面积最小，这样，身体露在冷空气中的表面积最小，因而 散发的热量也最少。
• 蜘蛛结的“八卦”网，既复杂又非常美丽，这种八角形的几何 图案，既使木工师傅用直尺和圆规也难画得如蜘蛛网那样匀称。 当对这个美丽的结构用数学方法进行分析时，出现在蜘蛛网上 的概念真是惊人——半径、弦、平行线段、三角形、全等对应 角、对数螺线、悬链线和超越线。
是蜜蜂算错了吗？
进一步的观察发现，每个正六角形的蜂房的底部，都是由完全相同的菱形 组成的。十八世纪初的法国学者马拉尔迪指出蜂房底部菱形的钝角是，锐角是 。另一位法国科学家雷奥米尔作出一个猜想，他认为用这样的角度来建造蜂房 ，在相同的容积下最节省材料。后来他向一位瑞士数学家柯尼希请教，他证实 了其猜测。但计算的结果是，与猜想的数值只有两分之差。人们觉得蜜蜂的这 一小点误差是完全可以原谅的，对于人类来说，这也是一个非同寻常的数学难 题啊。然而，事情并没有完结。颇具戏剧性的是，在1743年，苏格兰数学家马 克劳林，用初等几何方法，得到最省材料的来得蜂房底部菱形钝角为，锐角为 。与猜想值完全相同。那两分的误差，竟然不是蜜蜂不准，而是数学家柯尼希 算错了。于是“蜜蜂正确而数学家错误”的说法便不胫而走。后来才发现也不是 柯尼希的错。
Leabharlann Baidu数数的水老鸭
科学家发现水老鸭会数数，中国有些地 方靠水老鸭捕鱼。主人用一根细绳拴住水 老鸭的喉颈，当水老鸭捉回6条鱼以后， 允许它们吃第7条鱼，这是主人与水老鸭 之间长期形成的约定，科学家注意到,渔民 偶尔“数错”了，没有解开水老鸭脖子上 的绳子时，水老鸭则不动，即使渔民打它 们，它们也不出去捕鱼了，它们知道这第 7条鱼就应该是自己所得的份。
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科学家又发现，植物的花瓣、萼片、果 实的数目以及其他方面的特征，都非常 吻合于一个奇特的数列———著名的斐 波那契数列：1、2、3、5、8、13、21 、34、55、89……其中，从3开始，每 一个数字都是前二项之和。 向日葵种子的排列方式，就是一种典型 的数学模式。仔细观察向日葵花盘，你 会发现两组螺旋线，一组顺时针方向盘 绕，另一组则逆时针方向盘绕，并且彼 此相嵌。虽然不同的向日葵品种中，种 子顺、逆时针方向和螺旋线的数量有所 不同，但往往不会超出34和55、55和89 或者89和144这三组数字，这每组数字 都是斐波那契数列中相邻的两个数。前 一个数字是顺时针盘绕的线数，后一个 数字是逆时针盘绕的线数。 雏菊的花盘也有类似的数学模式，只不 过数字略小一些。菠萝果实上的菱形鳞 片，一行行排列起来，8行向左倾斜， 13行向右倾斜。挪威云杉的球果在一个 方向上有3行鳞片，在另一个方向上有5 行鳞片。常见的落叶松是一种针叶树， 其松果上的鳞片在两个方向上各排成5 行和8行，美国松的松果鳞片则在两个 方向上各排成3行和5行……