高数下A试题及答案

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高等数学A (下) 课程考试试题参考解答

一、单项选择题(满分15分,每小题3分,共5道小题), 请将合适选项填在括号内.

1. 函数3y

z x e =-的全微分dz =【 C 】.

(A) 2

2y

x dx e dy -; (B) 2

3y

x dx e dy +;

(C) 2

3y

x dx e dy -; (D) 2

3y

e dx x dy -.

2. 球面2

2

2

1x y z ++=

在点P 处的切平面方程是【 D 】. (A)

0x y -=; (B)

0x y ++=; (C)

0x y -=; (D)

0x y +=.

3. 设区域{}

2(,)11, 1.D x y x x y =-≤≤≤≤,二重积分

()2

cos D

x x

xy dxdy +=⎰⎰【 B 】

. (A) 1-; (B) 0; (C) 1; (D)

1

2

. 4.

级数n

n ∞

= A 】.

(A) 条件收敛; (B) 绝对收敛; (C) 发散; (D) 其它选项都不对.

5. 曲线22

1()

4

4

z x y y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩在点)5,4,2(处的切线对于x 轴的倾角为【 C 】. (A) 3

π

; (B) 3π-;

(C) 4

π

; (D) 4π-.

二、填空题 ( 满分15分,每小题3分,共5道小题 ),请将答案填在横线上.

1. dx x

y dy I y

=

55

1

ln 1

= 4 . 2. 设L 是圆周2

2

2

R y x =+,曲线积分

()2

2L

x

y ds +⎰Ñ= 32R π .

3. 设⎪⎩

⎪⎨

≤<≤≤=πππx x x f 20201)(可以展开为正弦级数,此正弦级数在4x π=处收敛于 1 . 解 由于4

π=

x 是)(x f 的连续点,则)(x f 的正弦级数在4

π=

x 收敛于1)4

(=π

f .

4. 微分方程20y y y '''-+=的通解为 12()x

y c c x e =+ .

5. 函数33

(,,)3f x y z z xyz y =-+在点(1,2,3)处的梯度为 (18,3,21)- .

三.(满分10分)设(

)

22

,ln 2z f xy x y =+,求z

x

∂∂和2z x y ∂∂∂(其中f 具有二阶连续偏导数).

2122z

f y f xy x

∂''=+∂ 2z

x y

∂∂∂33221211

221222225yf xf xy f x yf x y f ''''''''=++++ 四. (满分10分)计算曲线积分22

L

xy dy x

ydx -⎰Ñ,其中L 为圆周222a y x =+的正向.

2

2

,xy Q y x P =-=,

22,y x

Q x y P =∂∂-=∂∂,由格林公式,得 ydx x dy xy L

22-⎰

=

222x y a Q P dxdy x y +≤⎛⎫∂∂- ⎪∂∂⎝

⎭⎰⎰ ()222

2

2x y a x

y dxdy +≤=

+⎰⎰

2

4

3

20

a dr r d a

πθπ=

=⎰⎰

.

五.(满分10分)试将函数()2

x t f x e dt =⎰

展成x 的幂级数,

(要求写出该幂级数的一般项并指出其收敛域)。

解:

因为 ∑∞

==0!

n n

t

n t e ()+∞<<∞-t

则∑∞

==02!

2

n n

t n t e ()+∞<<∞-t ,

将上式两端逐项积分,得

()⎰∑⎰⎪⎪⎭⎫

⎝⎛==∞=x

n n x t dt n t dt e x f 00

20!2

∑⎰∞==00

2!n x

n

dt n t

()∑∞

=++=0

1

2!12n n n n x ()+∞<<∞-x

六.(满分12分)计算曲面积分323232222

()()()x z dydz y x dzdx z y dxdy

I x y z

+++++=

++⎰⎰

, 其中∑是上半球面221y x z --=的上侧.

解 添加辅助曲面*∑:0=z 取下侧,使*

,∑∑构成封闭曲面,记所围成的空间闭区域为Ω,由高斯公式, 得,

323232()()()I x z dydz y x dzdx z y dxdy ∑

=+++++⎰⎰

()()()323232

*P Q R x z dydz y x dzdx z y dxdy dxdydz x y z Ω∑+∑

⎛⎫∂∂∂+++++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰Ò

(

)

⎰⎰⎰Ω

++=dxdydz z y x 2

223πϕϕθπ

π

56

sin 31042020==⎰⎰⎰dr r d d ,

()()()3

232322*

*

x

z dydz y x dzdx z y dxdy y dxdy ∑∑+++++=⎰⎰⎰⎰

212320

01

sin 4

D xy

y dxdy d d πθρθρπ=-=-=-⎰⎰⎰

()()()()()()3

232323

2

3

2

3

2

*

*

I x

z dydz y x dzdx z y dxdy

x z dydz y x dzdx z y dxdy

∑+∑∑=

+++++-+++++⎰⎰⎰⎰Ò

6129

.5420

πππ⎛⎫=

--= ⎪⎝⎭ 七. (满分12分)设()y x 是一个连续函数,且满足0

()cos 2()sin x y x x y t tdt =+⎰

,求()y x 。

解 由已知条件得微分方程初值问题

sin 2sin 2(0)1y y x x

y '-=-⎧⎨=⎩

方程sin 2sin 2y y x x '-=-的通解是 cos 44x

y ce

cosx -=+-

由初值条件(0)1y =得c e =

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