高数下A试题及答案
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高等数学A (下) 课程考试试题参考解答
一、单项选择题(满分15分,每小题3分,共5道小题), 请将合适选项填在括号内.
1. 函数3y
z x e =-的全微分dz =【 C 】.
(A) 2
2y
x dx e dy -; (B) 2
3y
x dx e dy +;
(C) 2
3y
x dx e dy -; (D) 2
3y
e dx x dy -.
2. 球面2
2
2
1x y z ++=
在点P 处的切平面方程是【 D 】. (A)
0x y -=; (B)
0x y ++=; (C)
0x y -=; (D)
0x y +=.
3. 设区域{}
2(,)11, 1.D x y x x y =-≤≤≤≤,二重积分
()2
cos D
x x
xy dxdy +=⎰⎰【 B 】
. (A) 1-; (B) 0; (C) 1; (D)
1
2
. 4.
级数n
n ∞
= A 】.
(A) 条件收敛; (B) 绝对收敛; (C) 发散; (D) 其它选项都不对.
5. 曲线22
1()
4
4
z x y y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩在点)5,4,2(处的切线对于x 轴的倾角为【 C 】. (A) 3
π
; (B) 3π-;
(C) 4
π
; (D) 4π-.
二、填空题 ( 满分15分,每小题3分,共5道小题 ),请将答案填在横线上.
1. dx x
y dy I y
⎰
⎰
=
55
1
ln 1
= 4 . 2. 设L 是圆周2
2
2
R y x =+,曲线积分
()2
2L
x
y ds +⎰Ñ= 32R π .
3. 设⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤<≤≤=πππx x x f 20201)(可以展开为正弦级数,此正弦级数在4x π=处收敛于 1 . 解 由于4
π=
x 是)(x f 的连续点,则)(x f 的正弦级数在4
π=
x 收敛于1)4
(=π
f .
4. 微分方程20y y y '''-+=的通解为 12()x
y c c x e =+ .
5. 函数33
(,,)3f x y z z xyz y =-+在点(1,2,3)处的梯度为 (18,3,21)- .
三.(满分10分)设(
)
22
,ln 2z f xy x y =+,求z
x
∂∂和2z x y ∂∂∂(其中f 具有二阶连续偏导数).
解
2122z
f y f xy x
∂''=+∂ 2z
x y
∂∂∂33221211
221222225yf xf xy f x yf x y f ''''''''=++++ 四. (满分10分)计算曲线积分22
L
xy dy x
ydx -⎰Ñ,其中L 为圆周222a y x =+的正向.
解
2
2
,xy Q y x P =-=,
22,y x
Q x y P =∂∂-=∂∂,由格林公式,得 ydx x dy xy L
22-⎰
=
222x y a Q P dxdy x y +≤⎛⎫∂∂- ⎪∂∂⎝
⎭⎰⎰ ()222
2
2x y a x
y dxdy +≤=
+⎰⎰
2
4
3
20
a dr r d a
πθπ=
=⎰⎰
.
五.(满分10分)试将函数()2
x t f x e dt =⎰
展成x 的幂级数,
(要求写出该幂级数的一般项并指出其收敛域)。
解:
因为 ∑∞
==0!
n n
t
n t e ()+∞<<∞-t
则∑∞
==02!
2
n n
t n t e ()+∞<<∞-t ,
将上式两端逐项积分,得
()⎰∑⎰⎪⎪⎭⎫
⎝⎛==∞=x
n n x t dt n t dt e x f 00
20!2
∑⎰∞==00
2!n x
n
dt n t
()∑∞
=++=0
1
2!12n n n n x ()+∞<<∞-x
六.(满分12分)计算曲面积分323232222
()()()x z dydz y x dzdx z y dxdy
I x y z
∑
+++++=
++⎰⎰
, 其中∑是上半球面221y x z --=的上侧.
解 添加辅助曲面*∑:0=z 取下侧,使*
,∑∑构成封闭曲面,记所围成的空间闭区域为Ω,由高斯公式, 得,
323232()()()I x z dydz y x dzdx z y dxdy ∑
=+++++⎰⎰
()()()323232
*P Q R x z dydz y x dzdx z y dxdy dxdydz x y z Ω∑+∑
⎛⎫∂∂∂+++++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰Ò
(
)
⎰⎰⎰Ω
++=dxdydz z y x 2
223πϕϕθπ
π
56
sin 31042020==⎰⎰⎰dr r d d ,
()()()3
232322*
*
x
z dydz y x dzdx z y dxdy y dxdy ∑∑+++++=⎰⎰⎰⎰
212320
01
sin 4
D xy
y dxdy d d πθρθρπ=-=-=-⎰⎰⎰
⎰
()()()()()()3
232323
2
3
2
3
2
*
*
I x
z dydz y x dzdx z y dxdy
x z dydz y x dzdx z y dxdy
∑+∑∑=
+++++-+++++⎰⎰⎰⎰Ò
6129
.5420
πππ⎛⎫=
--= ⎪⎝⎭ 七. (满分12分)设()y x 是一个连续函数,且满足0
()cos 2()sin x y x x y t tdt =+⎰
,求()y x 。
解 由已知条件得微分方程初值问题
sin 2sin 2(0)1y y x x
y '-=-⎧⎨=⎩
方程sin 2sin 2y y x x '-=-的通解是 cos 44x
y ce
cosx -=+-
由初值条件(0)1y =得c e =