2021届上海市普陀区高三一模数学Word版(附简析)

上海市普陀区2021届高三一模数学试卷

2020.12

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1. 若集合{|01}A x x =<≤，{|(1)(2)0,}B x x x x =--≤∈R ，则A

B = 2. 函数2y x =（0x ≥）的反函数为

3. 若2

παπ<<且1cos 3α=-，则tan α= 4. 设无穷等比数列{}n a 的各项和为2，若该数列的公比为

12，则3a = 5. 在81

()x x

-的二项展开式中4x 项的系数为 6. 若正方体的棱长为1，则该正方体的外接球的体积为

7. 若圆C 以椭圆22

11612

x y +=的右焦点为圆心、长半轴为半径，则圆C 的方程为 8. 一个袋中装有同样大小、质量的10个球，其中2个红色、3个蓝色、5个黑色，经过充 分混合后，若从此袋中任意取出4个球，则三种颜色的球均取到的概率为

9. 设1()lg f x x x =-，则不等式1(1)1f x

-<的解集为 10. 某展馆现有一块三角形区域可以布展，经过测量其三

边长分别为14、10、6（单位：m ），且该区域的租金为

每天4元/2m ，若租用上述区域5天，则仅场地的租用费

约需 元（结果保留整数）

11. 如图所示，在直角梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，2ABC π

∠=，1AB AD ==，

2BC =，M 为BD 的中点，设P 、Q 分别为线段AB 、CD 上的动点，若P 、M 、Q 三点共线，则AQ CP ⋅的最大值为

12. 设b 、c 均为实数，若函数()b f x x c x

=++在区间 [1,)+∞上有零点，则22b c +的取值范围是

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13. 曲线28y x =的准线方程是（ ）

A. 4x =

B. 2x =

C. 2x =-

D. 4x =-

14. 设x 、y 均为实数，且3147625x y

-=，则在以下各项中(,)x y 的可能取值只能是（ ） A. (2,1) B. (2,1)- C. (1,2)- D. (1,2)--

15. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长2AB =，

高14A A =，E 为棱1A A 的中点，设BAD α∠=，BED θ∠=，

1B ED γ∠=，则α、β、γ之间的关系正确的是（ ）

A. αγθ=>

B. γαθ>>

C. θγα>>

D. αθγ>>

16. 设b 、c 均为实数，关于x 的方程2||0x b x c ++=在复数集C 上给出下列两个结论： ① 存在b 、c ，使得该方程仅有两个共轭虚根；

② 存在b 、c ，使得该方程最多有6个互不相等的根；

其中正确的是（ ）

A. ①与②均正确

B. ①正确，②不正确

C. ①不正确，②正确

D. ①与②均不正确

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 设a 为常数，函数()sin 2cos(22)1f x a x x π=+-+（x ∈R ）.

（1）设3a =，求函数()y f x =的单调递增区间及频率f ；

（2）若函数()y f x =为偶函数，求此函数的值域.

18. 双曲线22

:1169

x y Γ-=的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 经过2F 且与Γ的两条渐近线中的一条平行，与另一条相交且交点在第一象限.

（1）设P 为Γ右支上的任意一点，求1||PF 的最小值；

（2）设O 为坐标原点，求O 到l 的距离，并求l 与Γ的交点坐标.

19. 某商场共有三层楼，在其圆柱形空间内安装两部等长的扶梯Ⅰ、Ⅱ供顾客乘用，如图， 一顾客自一楼点A 处乘Ⅰ到达二楼的点B 处后，沿着二楼面上的圆弧BM 逆时针步行至点 C 处，且C 为弧BM 的中点，再乘Ⅱ到达三楼的点D 处，设圆柱形空间三个楼面圆的中心 分别为O 、1O 、2O ，半径为8米，相邻楼层的间距4AM =米，两部电梯与楼面所成角的 大小均为1arcsin 3.

（1）求此顾客在二楼面上步行的路程；

（2）求异面直线AB 和CD 所成角的大小.

（结果用反三角函数值表示）

20. 已知无穷数列{}n a 的首项为1a ，其前n 项和为n S ，且1n n a a d +-=（*n ∈N ），其中 d 为常数且0d ≠.

（1）设11a d ==，求数列{}n a 的通项公式，并求1lim(1)n n

a →∞-的值； （2）设2d =，77S =-，是否存在正整数k 使得数列{}n n S ⋅中的项2k k S ⋅<成立？ 若存在，求出满足条件k 的所有值，若不存在，请说明理由；

（3）求证：数列{}n a 中不同的两项之和仍为此数列中的某一项的充要条件为存在整数m 且1m ≥-，使得1a md =.

21. 已知函数220()log 0

x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩.

（1）解不等式()0x f x ⋅≤；

（2）设k 、m 均为实数，当(,]x m ∈-∞时，()f x 的最大值为1，且满足此条件的任意实数x 及m 的值，使得关于x 的不等式2()(2)310f x m k m k ≤--+-恒成立，求k 的取值 范围；

（3）设t 为实数，若关于x 的方程2[()]log ()0f f x t x --=恰有两个不相等的实数根1x 、 2x 且12x x <，试将1221212log 2|1||1|

x x x x ++

--+-表示为关于t 的函数，并写出此函 数的定义域.