因式分解法解一元二次方程专项讲解
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因式分解法解一元二次方程
困式分解法解-元 二次方程 的-般 步骤
因式分解法解一元二次方程 的一股步骤是:
(1)移 项 把方程 的右边化为 0;
(2)化积 将方程 的左边分解为两个一次因式的乘积;
(3)转化 令每个 因式等于 0,得到两个 一元一次方程 ;
(4)求解 解这两个一元一次方程,得 到一元二次方程 的两个解, 例 1.用 因式分解法解方程:艿 2=3x.
0013·)2-0013+ll× @013-1》 -1=0 20132劳 2— 20132艿 +艿 -1=0
0 20132豸 ←-ll+← -ll=0
0-ll00132豸 +ll〓
∴丌一1=0或 ⒛ 132苋 +1=0
∴H杨 一另⒊
∵ 曰是 该方程 的较大 根
艿2十 2011刀 一2012=0
←-1)← +2010=0
.· .艿 -1=0或 石+2012=0
∴艿1=1,厉 2=-2012
∵D是该方程 的较小根
∴卜9O12
r。 夕~3=1(_⒛ 1砂 =⒛ 13.
=1 .· .臼 习题 1,方 程 男2=2另 的根 是
习 题 2.方程 豸← 一力 +艿 一2=0的 根 是
习题 3.方 程 豸2-4豸 +4=0的 解 是
2-4)=0
02-1X卜
←+I)0-1X冫 +2X石 -力 =0
。·,苈 +1=0或 jr-1=0或 艿+2〓 0或 豸一2=0
.· .豸1=-1,刀 2=1,另 3=-2,另 4=2.
例6.解方程:02十 3y~4← 2+3l=0. 鼯←2十 3XⅡ 2+3-0=0
2-1)=0 02+jX卜
02十 3X冫 +1XⅡ -D=0
例 7。 解方 程 :艿 2-5艿 +6=0。
分析:Δ =← Sl2-4× 6=25-24=1,其 结果为完全平方数,可 以使用十字相乘法分解因式. 解:← -纷⒍-3J=0
。·。jr-2〓 0或 石一3=0
∴ 冯 =2,石 2=3·
第 2页
例
8.
2+7苋
解 方 程 :2艿
+3=0。
分析:Δ =72-4× 2× 3=49-24=25,其 结果为完全平方数 ,可 以使用十字相乘法分解 因
式.
傩 (2Fra Baidu bibliotek +1llJ+3)=0
r。 2jf+1=o彐它万+3=0
∴冯^:扩 J·
例 9.设 方 程 @01hy~⒛ 14× ⒛ 12艿 -1=0的 较 大 根 为 夕,方程 艿2+⒛ 11艿 一⒛ 12=0的 较
小根 为 D,求 曰-b的 值 。
解:@01h)2— ⒛14× ⒛12苋 一1=0
·。·jr2+3>0
∴←十lJ← -ll=0
。·。J+1=0或 丌一1=0
··.历1=-1,艿 2=1。
用十 字相乘法分解 因式解方程
对 于 一元 二 次方程 锚 2+Djr+c=00≠ Ol,当 Δ=D2-4曰 c≥ 0且 Δ的值 为完全 平方 数 时,
可 以用十 字 相乘 法 分解 因式解 方 程 .
,
习题 4。 方程 ← +力(豸 -3l=· +2的 解 是
习题 5.如 果 △2一 石一1=← +1)° ,尹阝么 苈的值 为
(A)2或 一1 (C)2
(B)0或
1
(D) -1
【】
习题 6.方 程 《石一力 =另 的根 是
.
习题 7.己 知等腰三角形的腰和底 的长分别是一元二次方程 y2-6刃 +8=0的 根,则 该三角形
解
2-3艿
:石
=0
刀(刃 -3)=0
。·。艿=0或 丌一3=0
∴ 冯 =0,艿 2=3·
例 2.用 因 式 分 解 法 解 方 程 :臼 一1)2-2《 丌-1)=0,
解:← -1沦 一1-2丌)=0
←-1r豸 一1)=o ←丬沦+1)=0
.·.万 -1=0或 石+1=0
∴几 =1豸2=-1. 例 3. 解 方 程 :3艿 2-12△ =-12. 解 :3艿 2-12γ +12=0 3← 2-4· +4)=0 3(· -2)2=0
的周 长 为
第 3页
习题 8.解 下列方程 :
(1)3豸 ←一勾=2@一 苈);
(2)豸 2+3=2← +1);
(3) 劳2-4豸 +4=l3-2石 )2;
(4) 2· 2-4苈 =-2.
习题 9.解 下列方程 : (1) 艿2-2△ -3=0;
(2) 豸2-5刀 +4=0.
习 题 10.解 方 程 :(2艿 十1)2十 ×⒉ +D+1=0.
第 4页
¨冯 丌2 2·
例 4.角轧右程 :/+另 =3万 +3.
解:苋 2+刀 -l3J十 3J=0
豸(豸 +1)-30+1)=0 ←+1llJ-3)=0
第 1页
.· 。△+1=0或 苈一3=0 ∴ jrl=-1,△ 2=3,
因式分解法解高次方程
例5。 解方程:02-1丫 -302-1)〓 0. 解:G2-1》 2-1-3l=0
困式分解法解-元 二次方程 的-般 步骤
因式分解法解一元二次方程 的一股步骤是:
(1)移 项 把方程 的右边化为 0;
(2)化积 将方程 的左边分解为两个一次因式的乘积;
(3)转化 令每个 因式等于 0,得到两个 一元一次方程 ;
(4)求解 解这两个一元一次方程,得 到一元二次方程 的两个解, 例 1.用 因式分解法解方程:艿 2=3x.
0013·)2-0013+ll× @013-1》 -1=0 20132劳 2— 20132艿 +艿 -1=0
0 20132豸 ←-ll+← -ll=0
0-ll00132豸 +ll〓
∴丌一1=0或 ⒛ 132苋 +1=0
∴H杨 一另⒊
∵ 曰是 该方程 的较大 根
艿2十 2011刀 一2012=0
←-1)← +2010=0
.· .艿 -1=0或 石+2012=0
∴艿1=1,厉 2=-2012
∵D是该方程 的较小根
∴卜9O12
r。 夕~3=1(_⒛ 1砂 =⒛ 13.
=1 .· .臼 习题 1,方 程 男2=2另 的根 是
习 题 2.方程 豸← 一力 +艿 一2=0的 根 是
习题 3.方 程 豸2-4豸 +4=0的 解 是
2-4)=0
02-1X卜
←+I)0-1X冫 +2X石 -力 =0
。·,苈 +1=0或 jr-1=0或 艿+2〓 0或 豸一2=0
.· .豸1=-1,刀 2=1,另 3=-2,另 4=2.
例6.解方程:02十 3y~4← 2+3l=0. 鼯←2十 3XⅡ 2+3-0=0
2-1)=0 02+jX卜
02十 3X冫 +1XⅡ -D=0
例 7。 解方 程 :艿 2-5艿 +6=0。
分析:Δ =← Sl2-4× 6=25-24=1,其 结果为完全平方数,可 以使用十字相乘法分解因式. 解:← -纷⒍-3J=0
。·。jr-2〓 0或 石一3=0
∴ 冯 =2,石 2=3·
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例
8.
2+7苋
解 方 程 :2艿
+3=0。
分析:Δ =72-4× 2× 3=49-24=25,其 结果为完全平方数 ,可 以使用十字相乘法分解 因
式.
傩 (2Fra Baidu bibliotek +1llJ+3)=0
r。 2jf+1=o彐它万+3=0
∴冯^:扩 J·
例 9.设 方 程 @01hy~⒛ 14× ⒛ 12艿 -1=0的 较 大 根 为 夕,方程 艿2+⒛ 11艿 一⒛ 12=0的 较
小根 为 D,求 曰-b的 值 。
解:@01h)2— ⒛14× ⒛12苋 一1=0
·。·jr2+3>0
∴←十lJ← -ll=0
。·。J+1=0或 丌一1=0
··.历1=-1,艿 2=1。
用十 字相乘法分解 因式解方程
对 于 一元 二 次方程 锚 2+Djr+c=00≠ Ol,当 Δ=D2-4曰 c≥ 0且 Δ的值 为完全 平方 数 时,
可 以用十 字 相乘 法 分解 因式解 方 程 .
,
习题 4。 方程 ← +力(豸 -3l=· +2的 解 是
习题 5.如 果 △2一 石一1=← +1)° ,尹阝么 苈的值 为
(A)2或 一1 (C)2
(B)0或
1
(D) -1
【】
习题 6.方 程 《石一力 =另 的根 是
.
习题 7.己 知等腰三角形的腰和底 的长分别是一元二次方程 y2-6刃 +8=0的 根,则 该三角形
解
2-3艿
:石
=0
刀(刃 -3)=0
。·。艿=0或 丌一3=0
∴ 冯 =0,艿 2=3·
例 2.用 因 式 分 解 法 解 方 程 :臼 一1)2-2《 丌-1)=0,
解:← -1沦 一1-2丌)=0
←-1r豸 一1)=o ←丬沦+1)=0
.·.万 -1=0或 石+1=0
∴几 =1豸2=-1. 例 3. 解 方 程 :3艿 2-12△ =-12. 解 :3艿 2-12γ +12=0 3← 2-4· +4)=0 3(· -2)2=0
的周 长 为
第 3页
习题 8.解 下列方程 :
(1)3豸 ←一勾=2@一 苈);
(2)豸 2+3=2← +1);
(3) 劳2-4豸 +4=l3-2石 )2;
(4) 2· 2-4苈 =-2.
习题 9.解 下列方程 : (1) 艿2-2△ -3=0;
(2) 豸2-5刀 +4=0.
习 题 10.解 方 程 :(2艿 十1)2十 ×⒉ +D+1=0.
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¨冯 丌2 2·
例 4.角轧右程 :/+另 =3万 +3.
解:苋 2+刀 -l3J十 3J=0
豸(豸 +1)-30+1)=0 ←+1llJ-3)=0
第 1页
.· 。△+1=0或 苈一3=0 ∴ jrl=-1,△ 2=3,
因式分解法解高次方程
例5。 解方程:02-1丫 -302-1)〓 0. 解:G2-1》 2-1-3l=0