三线合一专题练习
等腰三角形三线合一提高练习
1.如图，在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，交BC于点E，DE∥AB交AC于点D．（1）求证AD＝ED；（2）若AC＝AB，求证∠C＝∠DEC；（3）在（2）的条件下，若DE＝3，求AC的长．、2．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若△ABC、△AMN周长分别为13cm和8cm．（1）求证：MN＝BM+CN；（2）线段BC的长．3．如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M，（1）求证：M是BE的中点．（2）若CD＝1，DE＝，求△ABD的周长．4.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任意一点，过点D分别向AB、AC引垂线，垂足分别为E、F，CG是AB边上的高．（1）当D点在BC什么位置时，DE＝DF？并证明；（2）线段DE，DF，CG的长度之间存在怎样的数量关系？并加以证明．5.已知：如图，D是△ABC的边BC上的一点，且AB＝BD＝AD＝DC，求∠B，∠C，∠BAC，∠DAC的度数．6.如图，△ABC中，AB＝AC，点D、点E分别在AC、AB上，且BC＝BD＝DE＝EA，求∠A的度数．7.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AD⊥CF；（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．8.如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE．求证：△ABC是等腰三角形．（过D作DG∥AC交BC于G）9．在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点，BE＝CD，EF∥AD交AB于F点，交CA的延长线于P，CH∥AB交AD的延长线于点H，①求证：△APF是等腰三角形；②猜想AB与PC的大小有什么关系？证明你的猜想．10.如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∠ABC的角平分线BE交AC于点E．点D为AB上一点，且AD＝AC，CD，BE交于点M．（1）求∠DMB的度数；（2）若CH⊥BE于点H，证明：AB＝4MH．11.如图，D是等边△ABC的边AB上一点，E是BC延长线上一点，CE＝DA，连接DE交AC于F，过D点作DG⊥AC于G点．证明下列结论：（1）AG＝AD；（2）DF＝EF；（3）S△DGF＝S△ADG+S△ECF．12.如图：△ABC和△ADE是等边三角形．证明：BD＝CE．。
“三线合一”证题【精】精心总结
等腰三角形巧用“三线合一”证题“三线合一”是等腰三角形的一条特殊性质，在一些几何题的证题过程中有着广泛的应用。
本文结合实例说明其应用，供参考。
一. 直接应用“三线合一”例1. 已知，如图1，AD是的角平分线，DE、DF分别是和的高。
求证：AD垂直平分EF分析：从本题的条件和图形特征看，欲证AD垂直平分EF，因为有，所以只要证为等腰三角形即可证明：又AD垂直平分EF例2. 如图2，中，AB＝AC，AD为BC边上的高，AD的中点为M，CM的延长线交AB于点K，求证：分析：可考虑作DE//CK交AB于E，因为M是AD的中点，所以K是AE的中点，只要证E是BK的中点，问题可得到解决。
由于有，，所以就想到用“三线合一”。
证明：过点D作DE//CK交BK于点E二. 先连线，再用“三线合一”例3. 如图3，在中，，，D是BC的中点，P为BC上任一点，作，，垂足分别为E、F求证：（1）DE＝DF；（2）分析：（1）欲证二线段相等，容易想到利用全等三角形。
观察DE为或的一边，DF为或的边，但它们都没有全等的可能。
由于D为等腰直角三角形的底边BC上的中点，于是我们想到连结AD一试，这时容易发现或问题得证。
（2）欲证，只要证，即可但由（1）已证出又，故问题解决证明：连结AD。
D是BC的中点，DA平分，四边形PEAF是矩形又又（2）又即三. 先构造等腰三角形，再用“三线合一”例4. 如图4，已知四边形ABCD中，，M、N分别为AB、CD的中点，求证：分析：由于MN与CD同在中，又N为CD的中点，于是就想到证为等腰三角形，由于MD、MC为、斜边AB上的中线，因此，所以，问题容易解决。
证明：连结DM、CM，M是AB的中点是等腰三角形又N是CD的中点，例5. 如图5，中，BC、CF分别平分和，于E，于F，求证：EF//BC分析：由BE 平分、容易想到：延长AE 交BC 于M ，可得等腰，E 为AM 的中点；同理可得等腰，F 是AN 的中点，故EF 为的中位线，命题就能得证。
“三线合一”证题
等腰三角形巧用“三线合一”证题“三线合一”是等腰三角形的一条特殊性质，在一些几何题的证题过程中有着广泛的应用。
本文结合实例说明其应用，供参考。
一. 直接应用“三线合一” 例1. 已知，如图1，AD 是∆ABC 的角平分线，DE 、DF 分别是∆ABD 和∆ACD 的高。
求证：AD 垂直平分EFA1 2EFB D C图1分析：从本题的条件和图形特征看，欲证AD 垂直平分EF ，因为有∠=∠12，所以只要证∆AEF 为等腰三角形即可 证明： DE AB DF AC ⊥⊥， ∠=∠=12，AD AD∴≅∴=Rt AED Rt AFDAE AF ∆∆又∠=∠12∴AD 垂直平分EF例2. 如图2，∆ABC 中，AB ＝AC ，AD 为BC 边上的高，AD 的中点为M ，CM 的延长线交AB 于点K ，求证：AB AK =3图2分析：可考虑作DE//CK 交AB 于E ，因为M 是AD 的中点，所以K 是AE 的中点，只要证E 是BK 的中点，问题可得到解决。
由于有AB AC =，AD BC ⊥，所以就想到用“三线合一”。
证明：过点D 作DE//CK 交BK 于点EAB AC AD BC =⊥， ∴=∴=BD DC BE EK ， AM MD AK KE =∴=， ∴==AK KE EB ∴=AB AK 3二. 先连线，再用“三线合一”例3. 如图3，在∆ABC 中，∠=A 90，AB AC =，D 是BC 的中点，P 为BC 上任一点，作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为E 、F 求证：（1）DE ＝DF ；（2）DE DF ⊥C图3分析：（1）欲证二线段相等，容易想到利用全等三角形。
观察DE 为∆BDE 或∆PDE的一边，DF 为∆DFP 或∆DFC 的边，但它们都没有全等的可能。
由于D 为等腰直角三角形的底边BC 上的中点，于是我们想到连结AD 一试，这时容易发现∆∆AED CFD ≅或∆∆BDF ADF ≅问题得证。
12.6.2 三线合一 练习题 京改版八年级数学上册
第2课时三线合一【基础练习】1.在△ABC中,AB=AC,点D在BC上.(1)如果AD⊥BC,那么∠BAD=∠,BD=;(2)如果∠BAD=∠CAD,BC=6 cm,那么∠BDA=°,BD=cm;(3)如果BD=CD,那么∠BAD=∠,AD⊥.2.[2020·房山期末]如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的中线.若∠CAD=25°,则∠B的度数是()A.25°B.55°C.65°D.75°3.[2020·海淀期末]如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的动点(点D与点B,C不重合),△ABD和△ACD的面积分别表示为S1和S2,下列条件不能说明AD是△ABC角平分线的是()A.BD=CDB.∠ADB=∠ADCC.S1=S2D.AD=1BC24.如图,已知∠AOB,按照以下步骤作图:①以点O为圆心,以适当的长为半径作弧,分别交∠AOB的两边于点C,D,连接CD.CD的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点E,连接CE,DE.②分别以点C,D为圆心,以大于12③连接OE交CD于点M.下列结论中错误的是()A.∠CEO=∠DEOB.CM=MDCD·OEC.∠OCD=∠ECDD.S四边形OCED=125.如图1是一个三角形测平架,已知AB=AC,在BC的中点D处挂一个铅锤E,让其自然下垂,调整架身,使点A恰好在铅垂线上,这时AD和BC的位置关系为.图16.如图2所示,AB=AC,BD=CD,AD的延长线交BC于点E.求证:AE⊥BC.图2 7.[2020·大兴期末]如图3,在△ABC中,点D,E在边BC上,BD=CE,且AD=AE.求证:AB=AC.图38.如图4,在△ABC中,AB=AC,AD和BE是高,它们相交于点H,且AE=BE,则AH与2BD相等吗?请说明理由.图4【能力提升】9.如图5,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,∠ABC的平分线BG交AD于点E,EF⊥AB,垂足为F.求证:EF=ED.图510.如图6,已知AB=AC,BD⊥AC,垂足为D.求证:∠DBC=1∠A.2图6 11.如图7,在△ABC中,AB=AC,点D在BA的延长线上,点E在AC上,且AD=AE.求证:DE⊥BC.图712.在△ABC 中,AB=AC ,∠1=12∠ABC ,∠2=12∠ACB ,BD 与CE 相交于点O ,如图8,∠BOC 的大小与∠A 的大小有什么关系?若∠1=13∠ABC ,∠2=13∠ACB ,则∠BOC 与∠A 的大小关系如何? 若∠1=1n∠ABC ,∠2=1n∠ACB ,则∠BOC 与∠A 的大小关系如何?图8答案1.(1)CAD CD (2)90 3 (3)CAD BC [解析] 等腰三角形三线合一的性质.2.C3.D4.C5.AD ⊥BC6.证明:在△BAD 与△CAD 中,{AB =AC ,AD =AD ,BD =CD ,∴△BAD ≌△CAD (SSS).又∵AB=AC,∴AE⊥BC.7.证明:过点A作AF⊥BC于点F.又∵AD=AE,∴DF=EF.又∵BD=CE,∴BD+DF=CE+EF,即BF=CF.又∵AF⊥BC,∴AB=AC.8.解:相等.理由如下:∵AB=AC,AD是高,∴BC=2BD.∵AD,BE是高,∴∠ADC=∠AEH=∠BEC=90°.∴∠HAE+∠C=90°,∠CBE+∠C=90°.∴∠HAE=∠CBE.在△AHE和△BCE中,{∠HAE=∠CBE, AE=BE,∠AEH=∠BEC,∴△AHE≌△BCE.∴AH=BC.又∵BC=2BD,∴AH=2BD.9.证明:∵AB=AC,AD是BC边上的中线,∴AD⊥BC.∴∠ADB=90°.又∵EF⊥AB,∴∠EFB=∠ADB=90°.∵BG平分∠ABC,∴∠FBE=∠DBE.又∵BE=BE,∴△FBE≌△DBE.∴EF=ED.10.证明:作∠BAC的平分线交BC于点E,则∠EAC=12∠BAC,∠AEC=90°.∴∠EAC+∠C=90°.∵BD⊥AC,垂足为D,∴∠BDC=90°.∴∠DBC=∠EAC=12∠BAC.11.证明:如图,过点A 作AF ⊥BC 于点F .∵AB=AC ,AF ⊥BC , ∴∠BAF=∠CAF=12∠BAC. ∵AD=AE ,∴∠D=∠AED=12∠BAC. ∴∠BAF=∠D. ∴AF ∥DE.又∵AF ⊥BC ,∴DE ⊥BC.12.解:∵AB=AC ,∠1=12∠ABC ,∠2=12∠ACB ,∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°-12(∠ABC+∠ACB )=180°-12(180°-∠A ).即∠BOC=90°+12∠A.∵∠1=13∠ABC ,∠2=13∠ACB ,∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°-13(∠ABC+∠ACB )=180°-13(180°-∠A ).即∠BOC=120°+13∠A.∵∠1=1n ∠ABC ,∠2=1n ∠ACB ,∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°-1n (∠ABC+∠ACB )=180°-1n (180°-∠A ).即∠BOC=180°(n -1)n+1n ∠A.。
三线合一解题
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三线合一的简单应用 （1）如图，已知AB=BC，D是AC的中点，
∠A=34°，则∠DBC= 56 度.
（2）△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高 DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F.指出 图中各对相等的线段，且说明理由.
(3)如图，∠A=∠D=90°,AB=CD，AC与 BD相交于点F，E是BC的中点. 求证：∠BFE=∠CFE.
∵ △ABC中,AB=AC,-∠---B--A---D--=---∠--C---A--D-
A
∴
AD⊥BC
BD=CD
------------- ----------------
2.等腰三角形底边上的中线也是的顶角平分线、 底边
上的高线.
∵ △ABC中,AB=AC,-----B--D---=---C--D-------
在△ABC中 ①AB=AC或（∠B=∠ C）
A
② ∠BAD=∠CAD
③ AD⊥BC
④ BD=CD
已知:
B
D
C
求证:
例：如图，在等腰△ABC中，∠C=90°，
如果点B到∠A的平分线AD的距离为5cm, 求AD的长。
B
E 10cm D
A
F C
练习：已知：如图，在△ABC中，AD平分 ∠BAC，CD⊥AD,D为垂足，AB>AC。
只要证DB=DE即可
练习：如图3，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC
交AC于D.1来自A求证：∠DBC＝ 2 ∠BAC.
D
B
C
在△ABC中 ①AB=AC或（∠B=∠ C）
A
② ∠BAD=∠CAD
③ AD⊥BC
④ BD=CD
圆形三线合一专项综合练习
圆形三线合一专项综合练习
1.引言
本文档旨在介绍圆形三线合一专项综合练的内容和目标。
通过此练，学员将能够深入理解圆形三线合一的概念、原理和应用，并通过实际练提升解题能力。
2.练内容
圆形三线合一专项综合练主要涵盖以下内容：
2.1 圆的基本概念
圆的定义
圆心和半径的性质
弧长和扇形面积的计算方法
2.2 圆角和圆周角
圆角和圆周角的定义
各类角的关系和计算方法
2.3 圆的三线合一
圆的三条特殊线（半径、切线和法线）的定义和性质
圆的三线合一原理
三线合一的应用例题
3.研究目标
通过完成圆形三线合一专项综合练，学员将能够达到以下目标：
掌握圆的基本概念和性质
熟练计算圆的弧长和扇形面积
理解圆角和圆周角的概念，能够计算各类角的度数
熟悉圆的三条特殊线的定义和性质
理解圆的三线合一原理，并能够应用解决实际问题
4.练建议
为了取得最好的研究效果，建议学员在进行圆形三线合一专项综合练时，注意以下几点：
充分理解圆的基本概念和性质，确保掌握基础知识
注重实际应用，通过解题训练提升解题能力
注意技巧和方法，善于总结归纳
遇到难题时不要轻易放弃，可以寻求帮助或查找相关资料
5.结语
本文档介绍了圆形三线合一专项综合练习的内容和目标，希望学员能够通过此练习提升自己的解题能力，并对圆形三线合一有更深入的理解。
祝愿大家学有所成，取得好成绩！。
2024八年级数学上册阶段拔尖专训第3招等腰三角形“三线合一”六种常见题型习题课件新版浙教版
即∠ EAC ＝∠ ECA ＝45°，
而题设中∠ BAC 并不一定是45°，故选项A不符合题意；
∵ AB ＝ AC ＞ BC ，
过程.
利用“三线合一”求角的度数
1. 如图，直线 l1∥ l2， A ， B 是 l1上两点，以点 A 为圆心，
AB 长为半径作弧，交 l2于点 C ，连结 BC ，分别以 B ， C
为圆心，大于 BC 长为半径作弧，两弧相交于点 D ，作
射线 AD ，交 l2于点 E ，若∠ BCE ＝28°，则∠ CAE 的度
为
42°
.
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【点拨】
∵ AB ＝ AC ， AB ＝ AE ， AD ， AF 分别为△ ABC 和
△ ABE 的中线，
∴∠ BAD ＝∠ CAD ，∠ BAF ＝∠ EAF ，∠ ABE ＝∠ E ，
∠ ABC ＝∠ C ，∠ BDA ＝∠ BFA ＝90°.
∵∠ BOD ＝∠ AOF ＝69°，
浙教版 八年级上
第3招
等腰三角形“三线合一”
六种常见题型
CONTENTS
目
录
01
分类训练
教你一招
等腰三角形中的“顶角平分线、底边上的高、底边上的
中线”，只要知道其中“一线”，就可以说明这条线同时也
是其他“两线”.运用等腰三角形“三线合一”的性质证明
角相等、线段相等或垂直，可减少证全等的次数，简化解题
∵ AB ＝ AC ，∴∠ B ＝∠ C .
在△ BDE 和△ CFD 中，
＝，
ቐ∠＝∠，
＝，
等腰三角形三线合一练习题
等腰三角形三线合一练习题十一初中八班姓名：1、已知?ABC的周长为36cm，且AB?AC，又AD?BC，D 为垂足，?ABD的周长为30cm，那么AD的长为A．6cmB.cm C. 12cmD.0cm如图2，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=30，AD=AE，则∠EDC= 0000A．10B.12.C.1D.20DC第3题图FDC第4题图第2题图3、如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB 于E，DF⊥AC于F，则图中全等三角形共有A、对B、3对C、4对D、5对、如图，在等腰直角△ABC中，AD为斜边上的高，以D为端点任作两条互相垂直的射线与两腰相交于E、F，连结EF与AD相交于G，则∠AED与∠AGF的关系为 A．∠AED>∠AGF B．∠AED＝∠AGFC．∠AED 5、如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，且BD=BE，∠A=84°，则∠DEC=6、如图，CE平分∠ACB，且CE⊥BD，DA=DB，又知AC=18，△CDB 的周长为28，那么BE的长为。
CC第5题图B第7题图 F C第6题图7、如图，在等腰△ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，则△ABC的面积为、、如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于E点，若AC平分∠DAB，且AB=AE，AC=AD，有如下四个结论：①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=1∠DAB；④△ABE是等边三角形．请写出正确结论的序号．19、已知：如图2，△ABC中，AB=AC，CE⊥AE于E，CE?证：∠ACE=∠B。
10、如图△ABC中，AB=AC D为AC上任意一点，延长BA到E 使得AE=AD 连接DE，求证DE⊥BCBC，E在△ABC外，求2EADBC11、已知：如图１，△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ是ＢＣ上一点，Ｅ、Ｆ分别为ＡＢ、ＡＣ上的点，且ＢＤ＝ＣＦ，ＣＤ＝ＢＥ，Ｇ为ＥＦ的中点，求证：ＤＧ⊥ＥＦ． 12、如图，以△ABC的边AB，AC为边分别向形外作正方形ABDE和ACFG，DM、FN分别垂直直线BC于M、N.若DM=FN,求证：∠ABC=∠ACBEADGFMBCN三线合一专项练习一、选择题：1、已知?ABC的周长为36cm，且AB?AC，又AD?BC，D 为垂足，?ABD的周长为30cm，那么AD的长为A．6cmB.cm C. 12cmD.0cm2、如图2，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=30，AD=AE，则∠EDC= A．10B.12.C.1D.20D第2题图C第3题图FDC第4题图3、如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB 于E，DF⊥AC于F，则图中全等三角形共有A、对B、3对C、4对D、5对、如图，在等腰直角△ABC中，AD为斜边上的高，以D为端点任作两条互相垂直的射线与两腰相交于E、F，连结EF与AD相交于G，则∠AED与∠AGF的关系为 A．∠AED>∠AGF B．∠AED＝∠AGFC．∠AED 5、如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，且BD=BE，∠A=84°，则∠DEC=6、如图，CE平分∠ACB，且CE⊥BD，DA=DB，又知AC=18，△CDB的周长为28，那么BE的长为。
2024八年级数学上册提练第10招等腰三角形“三线合一”的七种常见题型习题课件新版冀教版
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【证明】过点 A 作 AD ⊥ BC 于点 D ，如图所示.
∵ AB ＝ AC ，∴ BD ＝ BC .
又∵ CE ＝ BC ，∴ BD ＝ CE .
＝，
在Rt△ ABD 和Rt△ ACE 中，ቊ
＝，
∴Rt△ ABD ≌Rt△ ACE (HL).
∴∠ ACE ＝∠ B .
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【点方法】
先根据△ BDC 的周长求出 AB 的长，再根据等腰三角
形“三线合一”的性质求出 AE 的长.
返回1Biblioteka 2345
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利用“三线合一”证角相等
4. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， CE ⊥ AE 于点 E ， CE
＝ BC ，点 E 在△ ABC 外.
求证：∠ ACE ＝∠ B .
7. 如图，已知在等腰直角三角形 ABC 中， AB ＝ AC ，
∠ BAC ＝90°， BF 平分∠ ABC ， CD ⊥ BF 交 BF 的延长
线于点 D . 求证： BF ＝2 CD .
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【证明】如图，延长 BA ， CD 交于点 E .
∵ BF 平分∠ ABC ， CD ⊥ BD ，
解题过程.
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如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， BD ⊥ AC 于点 D . 求
证：∠ DBC ＝ ∠ BAC .
等腰三角形“三线合一”的性质是证线段或角的倍
专题08 解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线压轴题三种模型全攻略(解析版)
专题08解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【类型一等腰三角形中底边有中点时，连中线】 (1)【类型二等腰三角形中底边无中点时，作高线】 (11)【类型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 (17)【典型例题】【类型一等腰三角形中底边有中点时，连中线】例题：已知，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点M 是AB 的中点，作90DME ∠=︒，使得射线MD 与射线ME 分别交射线AC ，CB 于点D ，E ．(1)如图1，当点D 在线段AC 上时，线段MD 与线段ME 的数量关系是___________；(2)如图2，当点D 在线段AC 的延长线上时，用等式表示线段CD ，CE 和BC 之间的数量关系并加以证明．【答案】(1)MD ME =；(2)CE CD BC =+，理由见解析．【分析】（1）连接CM ，由等腰直角三角形的性质可得CM MB =，ACM B ∠=∠，根据90DME ∠=︒可推导CMD BME ∠=∠，进而证明CMD BME △≌△，即可得到线段MD 与线段ME 的数量关系；（2）连接CM ，利用（1）中的证明思路，再次证明CMD BME △≌△，证得CD BE =，即可利用等量代换得到CE CD BC =+．【详解】（1）解：连接CM ，∵90ACB ∠=︒，AC BC =，点M 是AB 的中点∴CM AM MB ==，且CM AB ⊥，CM 平分ACB ∠，45A B ∠=∠=︒∴45ACM BCM B ∠=∠=︒=∠，90CMB ∠=︒，又∵90DME ∠=︒∴CMB CME DME CME∠-∠=∠-∠∴CMD BME∠=∠∴CMD BME △≌△（ASA ）∴MD ME =．（2）CE CD BC =+，理由如下：连接CM ，由（1）可知：CM BM =，45ACM ABC ∠=∠=︒，CMD BME∠=∠∴135DCM EBM ∠=∠=︒在CMD △和BME 中，CMD BME CM BM DCM EBM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴CMD BME △≌△（ASA ）∴CD BE=∵CE BC BE=+∴CE CD BC =+．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解决问题的关键．【变式训练】1．在ABC 中，90A ∠=︒，AB AC =，点D 是边BC 的中点．(1)如图，若点E ，F 分别在边AB ，AC 上，DE DF ⊥，求证：BE AF =，并说明理由；(2)在（1）的条件下，AB AC a ==，求AE AF +的值．【答案】(1)证明见解析；(2)a ．【分析】（1）连接AD ，证明()BDE ADF ASA ≌即可得到BE AF =；（2）由（1）可得：BE AF =，进一步得到：AE BE AE AF AB a +=+==．【详解】（1）证明：连接AD ，∵90A ∠=︒，AB AC =，∴45B C ∠==︒∠，∵点D 是边BC 的中点，∴45B BAD DAC C ∠=∠=∠=∠=︒，AD BC ⊥，AD BD =，∵DE DF ⊥，∴90EDA ADF Ð+Ð=°，∵90BDE EDA ∠+∠=︒，∴ADF BDE ∠=∠，在BDE △和ADF △中，BDE ADF BD AD B DAC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()BDE ADF ASA ≌，∴BE AF =．（2）解：由（1）可知：()BDE ADF ASA ≌，∴BE AF =，∵AB AC a ==，∴AE AF AE BE AB a +=+==．【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定及性质．2．如图1，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AC BC =，点P 是斜边AB 的中点，点D ，E 分别在边,AC BC 上，连接,PD PE ，若PD PE ⊥．(1)求证：PD PE =；(2)若点D ，E 分别在边,AC CB 的延长线上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？并加以证明；(3)在（1）或（2）的条件下，PBE △是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出PEB ∠的度数（不用说理）；若不能，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)成立，见解析(3)能成为等腰三角形，此时PEB ∠的度数为22.5︒或67.5︒或90︒或45︒【分析】（1）连接PC ，根据等腰直角三角形的性质可得45DCP B ∠=︒=∠，从而得到CP BP =，再由PD PE ⊥，可得DPC EPB ∠=∠，可证得DPC EPB △△≌，即可求证；（2）连接PC ，根据等腰直角三角形的性质可得45ECP ABC A ACP ∠=︒=∠=∠=∠，从而得到CP AP =，再由∵,PD PE CP AB ⊥⊥，可得APD CPE ∠=∠，可证得APD CPE △≌△，即可；（3）根据等腰三角形的性质，分四种情况讨论，即可求解．【详解】（1）明∶连接PC ，∵90,ACB AC BC ∠=︒=，∴45A B ∠=∠=︒，∵P 为斜边AB 的中点，∴CP AB ⊥，∴45DCP B ∠=︒=∠，∴CP BP =，∵PD PE ⊥，∴90DPC CPE CPE EPB ∠+∠=∠+∠=︒，∴DPC EPB ∠=∠，在DPC △和EPB △中，DCP B PC PB DPC EPB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA DPC EPB △△≌，∴PD PE =；（2）解：PD PE =仍成立，理由如下：连接CP ，∵90,C AC BC ∠=︒=，∴45A ABC ∠=∠=︒，②当BE BP =，点E ③当EP EB =时，则∴180PEB B ∠=︒-∠-④当EP PB =，点∴PEB B ∠=∠=综上所述，PBE △【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．3．在ABC 中，E(1)如图1，若点(2)如图2，BF 为腰(3)如图3，当点【答案】(1)见解析(2)PD PE BF +=，理由见解析(3)143【分析】（1）根据ABP S S =△APC ，即可得证；∵AB AC =，点P ∴ABP S S =△△APC即1122AB DP AC ⋅=∴PD PE =，∵AB AC =，PD ∴=ABP APC ABCS S S + ∴1122AB DP AC ⋅+∴PD PE BF +=，∵AB AC =，PD AB ⊥∴=ABC ABP APCS S S - ∴11=22AC BF AB PD ⋅⋅(1)若90EOF ∠=︒，两边分别交,AC BC 于E ，F 两点．==同理可证：AO CO BO∵AC BC =，90ACB ∠=︒，点O 为AB 的中点，∴0,90,45AO CO B AOC FOH BAC BCO ︒︒==∠=∠=∠=∠=，∴.,135COF AOH OCF OAH ︒∠=∠∠=∠=，∴(ASA)COF AOH ≌，∴3,CF AH OF OH ===，∵45,90EOF FOH ︒︒∠=∠=，∴45EOF EOH ︒∠=∠=，又∵,OF OH EO EO ==，∴(SAS)EOF EOH ≌，∴5EF EH ==，∴.2AE EH AH =-=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．【类型二等腰三角形中底边无中点时，作高线】例题：如图，已知点D 、E 在△ABC 的边BC 上，AB ＝AC ，AD ＝AE ．(1)求证：BD ＝CE ；(2)若AD ＝BD ＝DE ＝CE ，求∠BAE 的度数．【答案】(1)见解析；(2)90°．【分析】（1）作AF ⊥BC 于点F ，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF =CF ，DF =EF ，相减后即可得到正确的结论．（2）根据等边三角形的判定得到△ADE 是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解．【详解】（1）证明：如图，过点A 作AF ⊥BC 于F ．【变式训练】(1)若20∠=︒EAC ，求CBE ∠(2)求证：AE EC ⊥；(3)若BE a =，AE b =，CE =【答案】(1)20°(2)见解析(3)21122a bc +∴AFB ABC CGB ∠=∠=∠又∵AD AB CB ==，∴45BAC ACB ∠=∠=︒，∵FAB FBA FBA ∠+∠=∠∴FAB CBG CAE ∠=∠=∠∴在BAF △和CBG 中，(1)如图1，若ACD ∠与BAC ∠互余，则DCB ∠=__________(）如图，过A点作AE BC⊥于E点，）②如图，作BG AC ⊥于G ，作DN 垂直于AC 的延长线于N ．则90BGA DNC ∠=∠=︒．∵AB AC =，AC CD =，∴AB CD =，∵ABC 与ACD 的面积相等，∴BG DN =．∴ABG ≌CDN △．∴BAG DCN ∠=∠．180ACD DCN ∠+∠=︒，∴180ACD BAC ∠+∠=︒，综上，ACD ∠与BAC ∠相等或互补．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，同底等高的两个三角形面积相等，综合能力较强，有一定难度.熟练掌握以上知识是解题的关键．【类型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】例题：如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，E 是BC 的中点，过点E 作FG AD ⊥交AD 的延长线于H ，交AB 于F ，交AC 的延长线于G ．求证：(1)AF AG =；(2)BF CG =．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据ASA 证明AHF AHG ≌ ，即可得出AF AG =；（2）过点C 作CM AB ∥交FG 于点M ，由AHF AHG ≌ 可得AFH G ∠=∠，根据平行线的性质得出CMG AFH ∠=∠，可得CMG G ∠=∠，进而得出CM CG =，再根据据ASA 证明BEF CEM ≌ ，得出BF CM =，等量代换即可得到BF CG =．【详解】（1）证明：∵AD 平分BAC ∠，∴FAH GAH ∠=∠，∵FG AH ⊥，∴90AHF AHG ∠=∠=︒，在AHF △和AHG 中，FAH GAH AH AH AHF AHG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA AHF AHG ≌ ，∴AF AG =；（2）证明：过点C 作CM AB ∥交FG 于点M ，∵AHF AHG ≌ ，∴AFH G ∠=∠，∵CM AB ∥，∴CMG AFH ∠=∠，∴CMG G ∠=∠，∴CM CG =，∴BE CE =，∵CM AB ∥，∴B ECM ∠=∠，在BEF △和CEM 中，B ECM BE CE BEF CEM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA BEF CEM ≌ ，∴BF CM =，∴BF CG =．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，平行线的性质，熟记全等三角形的判定定理、性质定理及作出合适的辅助线是解此题的关键．【变式训练】(1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP 平分MON ∠．点AC OP ⊥，垂足为C ，延长AC 交ON 于点B ，可根据证明AOC ≌△△【答案】[问题情境]ASA ，全等三角形对应边相等；[问题探究]见解析；[拓展延伸【分析】[问题情境]利用全等三角形的性质证明即可；[问题探究]延长BE 交CA 延长线于F ，证明CEF ∆≌CEB ASA ∆（），推出FE =ACD ∆≌ABF ASA ∆（），可得结论；[拓展延伸]结论：12BE DF =．过点D 作DG AC ∥，交BE 的延长线于点G ，与DG AC ∥，交BE 的延长线于点G ，与AE 相交于H ，证明方法类似．CD 平分ACB ∠，FCE BCE ∴∠=∠，在CEF ∆和CEB ∆中，90FCE BCE CE CE CEF CEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，CEF ∴∆≌CEB ASA ∆（），DG AC ，GDB C BHD ∴∠=∠∠，12EDB C ∠=∠ ，12EDB EDC ∴∠=∠=∠BE ED ⊥ ，90BED ∴∠=︒，。
等腰三角形三线合一典型题型
等腰三角形三线合一专题训练例1：如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。
求证：BC=AB+DC。
变1：如图，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E是AD边中点。
求证：CE⊥BE。
变2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC.（1）求证：AE⊥BE；（2）求证：E是CD的中点；（3）求证：AD+BC=AB.CEA D变3：△ABC 是等腰直角三角形 ，∠BAC=90°,AB=AC.⑴若D 为BC 的中点，过D 作DM ⊥DN 分别交AB 、AC 于M 、N ，求证：（1）DM ＝DN 。
⑵若DM ⊥DN 分别和BA 、AC 延长线交于M 、N 。
问DM 和DN 有何数量关系。
(1) 已知：如图，AB=AC ，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且BE=CF ，EF 交BC 于点D ． 求证：DE=DF ．DBCF AEM N D C BA M ND CB A(2)已知：如图，AB=AC ，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且，EF 交BC 于点D ，且D 为EF 的中点． 求证：BE=CF ．DBCF AE利用面积法证明线段之间的和差关系1、如图，在△ABC 中，AB=AC ，P 为底边BC 上的一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，•CF ⊥AB 于F ，那么PD+PE 与CF 相等吗？变1：若P点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD 、PE与CF的关系又怎样，请你作图，证明。
ＦＦ1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为（）A 17B 22C 17或22D 13根据等腰三角形的性质寻求规律例1．在△ABC中，AB=AC，∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB，BD与CE相交于点O，如图，∠BOC的大小与∠A的大小有什么关系？若∠1=13∠ABC，∠2=13∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？若∠1=1n∠ABC，∠2=1n∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？会用等腰三角形的判定和性质计算与证明例2．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD•将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．利用等腰三角形的性质证线段相等例3．如图，P 是等边三角形ABC 的一点，连结PA 、PB 、PC ，•以BP 为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP ，连结CQ ．（1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．（2）若PA ：PB ：PC=3：4：5，连结PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由．例1、等腰三角形底边长为5cm ，腰上的中线把三角形周长分为差是3cm 的两部分，则腰长为（ ） A 、2cm B 、8cm C 、2cm 或8cm D 、不能确定例2、已知AD 为△ABC 的高，AB=AC ，△ABC 周长为20cm ，△ADC 的周长为14cm ，求AD 的长。
“三线合一”专题
“三线合一”专题等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
这就是著名的等腰三角形“三线台一”性质。
“三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。
反之，如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合，那么这个三角形就是等腰三角形。
【例题讲解】例1．求证：BE=CE。
如图所示，在等腰△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AD上。
变式练习1-1 如图，在△ABC中，AB=AC，D是形外一点，且BD=CD。
求证：AD垂直平分BC。
变式练习1-2 已知，如图所示，AD是△ABC，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高。
求证：AD垂直平分EF。
例2． 如图△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，若CD ＝4，且△BDC 周长为24，求AE 的长度。
例3. 如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。
求证：M 是BE 的中点。
EA B B C E D例 4. 如图，已知：ABC∆中，ACAB=，D是BC上一点，且CADCDBAD==，，求BAC∠的度数。
AB CD例5. 已知：如图，ABC∆中，ABCDACAB⊥=，于D。
求证：DCB2B AC∠=∠。
C1.如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别为∠ABC与∠ACB 的角平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有（）A. 6个B. 7个A36°E DFB CC. 8个D. 9个2.）已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足。
求证：AE ＝AF 。
2. 如图，ABC ∆是等边三角形，BC BD 90CBD ==∠，，则1∠的度数是________。
等腰三角形三线合一典型题型
专题训练等腰三角形三线合一姓名上。
在AD、∠BCD，且点EDC中，AB∥，BE、CE分别平分∠ABC例1：如图，四边形ABCD BC=AB+DC求证：。
AD边中点。
求证：CE⊥BE1，E是。
，，A＝90°AB＝2，BC＝3CD＝，∠：如图，变1AB∥CD变2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC.（1）求证：AE⊥BE；（2）求证：E是CD的中点；（3）求证：AD+BC=AB.ADECBDNDM⑴若D为BC的中点，过D作,AB=AC.变3：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90。
°分别交⊥＝，求证：（1）DMDNMAB、AC于、N AMNCDB⊥DN分别和BA、AC延长线交于MDM、N。
问DM和DN有何数量关系。
⑵若M AC DBN(1)已知：如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于点D．求证：DE=DF．AEBCDFEF，且D为延长线上一点，且，EF交BC于点DACAB=AC(2)已知：如图，，E为AB上一点，F是求证：BE=CF．的中点．AECBDF利用面积法证明线段之间的和差关系1、如图，在△ABC中，AB=AC，P为底边BC上的一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，?CF ⊥相等吗？与于ABF，那么PD+PECF的关系又怎样，请你作变与CFPE点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD 、1：若P图，证明。
ＦＦ）41、已知等腰三角形的两边长分别为、9，则它的周长为（1322 C 17或 D A 17 B 22根据等腰三角形的性质寻求规律11的大小BOC相交于点中，例1．在△ABCAB=AC，∠O，如图，∠BD2=∠ACB，1=与∠CEABC，∠22A与∠的大小有什么关系？11∠ABC，∠2=∠ACB若∠ 1=，则∠BOC与∠A大小关系如何？3311若∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？nn会用等腰三角形的判定和性质计算与证明两部分，15和6，一腰上的中线ABC中，AB=ACBD?将这个等腰三角形周长分成例2．如图，等腰三角形求这个三角形的腰长及底边长．利用等腰三角形的性质证线段相等例3．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，?以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ．（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．例1、等腰三角形底边长为5cm，腰上的中线把三角形周长分为差是3cm的两部分，则腰长为（）A、2cmB、8cmC、2cm或8cmD、不能确定例2、已知AD为△ABC的高，AB=AC，△ABC周长为20cm，△ADC的周长为14cm，求AD的长。
等腰三角形与三线合一练习
1．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，BD=CE，∠DBC=∠ECB．求证：AB=AC．
2.如图，已知AB=AC，D是AB上一点，DE⊥BC于E，ED的延长线交CA的延长线于F，试说明△ADF是等腰三角形的理由．3．如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，
CE⊥AB，O是BD与CE的交点，求证：
BO=CO．
4.如图，在△ABC中，已知BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线DE交AC于点D．
（1）求∠A的度数；
（2）若AC=6cm，求AD的长度．
5.在等边△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上一点，且CE=CD ，请说明DB=DE 的理由．
6.已知：如图，AB=AC ，点D 是BC 的中点，AE ⊥BE ，垂足为E ．AB 平分∠DAE,．AD=AE 吗，说明理由．
7．已知：如图，点C 、D 在△ABE 的边BE 上，BC=ED ，AB=AE ．求证：AC=AD ．
8．如图：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 边的中点，过点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC
，垂足分别为
E
、
F ． （1）求证：DE=DE ；
（2）若∠A=90°，图中与DE 相等的有哪些线段？（不说明理由）。
三线合一证题
等腰三角形巧用“三线合一”证题“三线合一”是等腰三角形的一条特殊性质，在一些几何题的证题过程中有着广泛的应用。
本文结合实例说明其应用，供参考。
一. 直接应用“三线合一” 例1. 已知，如图1，AD 是∆ABC 的角平分线，DE 、DF 分别是∆ABD 和∆ACD 的高。
求证：AD 垂直平分EFA1 2EFB D C图1分析：从本题的条件和图形特征看，欲证AD 垂直平分EF ，因为有∠=∠12，所以只要证∆AEF 为等腰三角形即可 证明： DE AB DF AC ⊥⊥， ∠=∠=12，AD AD又∠=∠12∴AD 垂直平分EF例2. 如图2，∆ABC 中，AB ＝AC ，AD 为BC 边上的高，AD 的中点为M ，CM 的延长线交AB 于点K ，求证：AB AK =3图2分析：可考虑作DE//CK 交AB 于E ，因为M 是AD 的中点，所以K 是AE 的中点，只要证E 是BK 的中点，问题可得到解决。
由于有AB AC =，AD BC ⊥，所以就想到用“三线合一”。
证明：过点D 作DE//CK 交BK 于点E AB AC AD BC =⊥， ∴=∴=BD DC BE EK ，AM MD AK KE =∴=， ∴==AK KE EB ∴=AB AK 3二. 先连线，再用“三线合一”例3. 如图3，在∆ABC 中，∠=A 90，AB AC =，D 是BC 的中点，P 为BC 上任一点，作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为E 、F 求证：（1）DE ＝DF ；（2）DE DF ⊥C图3分析：（1）欲证二线段相等，容易想到利用全等三角形。
观察DE 为∆BDE 或∆PDE的一边，DF 为∆DFP 或∆DFC 的边，但它们都没有全等的可能。
由于D 为等腰直角三角形的底边BC 上的中点，于是我们想到连结AD 一试，这时容易发现∆∆AED CFD ≅或∆∆BDF ADF ≅问题得证。
（2）欲证DE DF ⊥，只要证∠+∠=ADE ADF 90，即可 但由（1）已证出∠=∠ADE CDF 又∠+∠=ADF CDF 90，故问题解决 证明：连结AD 。
(完整)数学北师大版八年级下册三线合一
专题训练(六)__“三线合一”好解题►类型之一证明线段相等1．已知：如图6－ZT－1所示，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE＝CD.求证：BD＝DE.图6－ZT－1[解析] 欲证BD＝DE，只需证∠DBE＝∠E.根据等腰三角形的“三线合一”和等边三角形的性质可得∠DBE＝1∠ABC＝30°.再根据三角形的外角性质和等边三角形的性质可得∠E2＝30°.由此可得结论．证明：∵△ABC为等边三角形，BD是AC边上的中线，∴BD⊥AC，BD平分∠ABC，∠ABC＝30°.(等腰三角形的“三线合一”)∴∠DBE＝12∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠E.∵∠ACB为△CDE的外角，∠ACB＝60°，∴∠CDE＋∠E＝60°.∴∠CDE＝∠E＝30°.又∵∠DBE＝30°，∴BD＝DE.(等角对等边)2．如图6－ZT－2所示，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE.求证：AD＝AE.图6－ZT－2[解析] 本题可通过全等三角形来证线段相等．在△ABD和△ACE中，已知AB＝AC，BD＝EC且∠B＝∠C，由此可证得两三角形全等，即可得出AD＝AE的结论．也可根据等腰三角形三线合一来证明．证明：过点A作AF⊥BC于点F.图ZT－6－1∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF.(等腰三角形底边上的高是底边上的中线)又∵BD＝CE，∴BF－BD＝CF－CE，即DF＝EF，∴AF是DE的垂直平分线，∴AD＝AE.►类型之二证明两线垂直3．如图6－ZT－3所示，在△ABC中，AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，求证：AD⊥BC.图6－ZT－3[解析] 首先证明∠DBC＝∠DCB，可得DB＝DC，再加上条件AB＝AC，公共边AD ＝AD，可利用SSS证明△ABD≌△ACD，进而得到∠BAD＝∠CAD，再根据等腰三角形顶角的平分线与底边上的高线重合可证出AD⊥BC.本题通过证明AD是BC的垂直平分线也可得证，如下面的证法．证明：延长AD交BC于点M，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.又∵∠ABD＝∠ACD，∴∠ABC－∠ABD＝∠ACB－∠ACD，即∠DBC＝∠DCB，∴DB＝DC.∵AB＝AC，DB＝DC，∴AD是线段BC的垂直平分线，∴AD⊥BC.图ZT －6－24．如图6－ZT －4，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AC 上一点，∠DBC ＝12∠BAC.求证：AC ⊥BD.图6－ZT －4[解析] 首先过点A 作AE ⊥BC 交BC 于点E ，交BD 于点F.由AB ＝AC ，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得∠CAE ＝12∠BAC ，又由∠DBC ＝12∠BAC ，在△ADF 与△BEF中，易证得∠ADF ＝∠BEF ＝90°，即可得AC ⊥BD.证明：如图ZT －6－3，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，交BD 于点F.图ZT －6－3∵AB ＝AC ，AE ⊥BC ，∴∠CAE ＝12∠BAC.(等腰三角形的“三线合一”)又∵∠DBC ＝12∠BAC ，∴∠CAE ＝∠DBC.∵∠1＝∠2，∠ADF ＝180°－∠2－∠CAE ，∠BEF ＝180°－∠1－∠DBC ， ∴∠ADF ＝∠BEF.∵AE ⊥BC ，∴∠BEF ＝90°. ∴∠ADF ＝90°.∴BD ⊥AC.► 类型之三 证明角的倍分关系5．已知：如图6－ZT －5所示，AF 平分∠BAC ，BC ⊥AF ，垂足为E ，AE ＝ED ，PB 分别与线段CF ，AF 相交于点P ，M ，∠F ＝∠MCD.求证：∠BAC ＝2∠MPC.图6－ZT －5[解析] 先由AF 平分∠BAC 证明∠BAE ＝12∠BAC ，再根据等腰三角形“三线合一”和线段垂直平分线的性质证明∠CDE ＝∠BAE.从而∠CDE ＝12∠BAC.然后在△MDC 和△MPF中证明∠MDC ＝∠MPF.进而得∠MPF ＝∠MDC ，∠MPC ＝∠CDE ＝12∠BAC 即可．证明：∵AF 平分∠BAC ，BC ⊥AF ， ∴∠BAE ＝∠CAE ＝12∠BAC ，CE ＝BE.∵CE ⊥AE ，AE ＝ED ， ∴AC ＝CD.∴∠CDE ＝∠CAE ＝12∠BAC.∵BC ⊥AF ，CE ＝BE ， ∴CM ＝BM. ∴∠CMA ＝∠BMA. 又∵∠BMA ＝∠PMF ， ∴∠CMD ＝∠PMF.又∵∠F ＝∠MCD ，∠MPF ＝180°－(∠F ＋∠PMF)，∠MDC ＝180°－(∠MCD ＋∠CMD)，∴∠MPF ＝∠MDC.∴∠MPC ＝∠CDE ＝∠CAE ＝12∠BAC.∴∠BAC ＝2∠MPC.► 类型之四 证明线段的倍分关系6．如图6－ZT －6，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 为BC 上一点，ED ⊥BC 于点E ，交CA的延长线于点F，求证：AD＝AF.图6－ZT－6[解析] 方法一：由AB＝AC，根据等边对等角的性质，可得∠B＝∠C.又由DE⊥BC，根据等角的余角相等和对顶角相等，可得∠F＝∠ADF，又由等角对等边，可证得AD＝AF.图ZT－6－4方法二：过点A作AG⊥BC，由等腰三角形的“三线合一”可得∠BAG＝∠CAG.再由平行线的性质证明∠F＝∠CAG，∠ADF＝∠BAG.进而可得结论．证明：(方法一)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥BC，∴∠C＋∠F＝90°，∠B＋∠BDE＝90°.∴∠F＝∠BDE.∵∠ADF＝∠BDE，∴∠F＝∠ADF.∴AD＝AF.(方法二)如图ZT－6－4，过点A作AG⊥BC于点G，∵AB＝AC，∴∠BAG＝∠CAG.(等腰三角形“三线合一”)∵AG⊥BC，ED⊥BC，∴AG∥EF.∴∠F ＝∠CAG ，∠ADF ＝∠BAG . ∴∠F ＝∠ADF. ∴AD ＝AF.7．[2013·五河期末改编] 如图6－ZT －7所示，过等边三角形ABC 的边AB 上一点P ， 作PE ⊥AC 于点E.Q 为BC 延长线上一点，且PA ＝CQ ，连接PQ 交AC 边于点D. 求证：(1)PD ＝DQ ； (2)DE ＝12AC.图6－ZT －7[解析] (1)过点P 作BC 的平行线交AC 于点F ，通过证明△PDF 和△QDC 全等，可推出PD ＝DQ ；(2)由△APF 是等边三角形和PE ⊥AC ，可推出AE ＝EF ＝12AF.由△PDF 和△QDC 全等，可得出FD ＝CD ＝12FC ，进而可得DE 的长．证明：(1)过点P 作PF ∥BC ，交AC 于点F.图ZT －6－5∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠ACB ＝60°. 又∵PF ∥BC ，∴∠APF ＝∠AFP ＝∠B ＝∠ACB ＝60°. ∴△APF 是等边三角形．∴PA ＝AF ＝PF. 又∵PA ＝CQ ，∴PF ＝CQ. ∵PF ∥BC ，∴∠FPD ＝∠Q. 在△PFD 和△QCD 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠FPD ＝∠Q ，∠PDF ＝∠QDC ，PF ＝QC ，∴△PDF ≌△QDC.(AAS) ∴PD ＝QD.(2)由(1)知PA ＝AF ，又∵PE ⊥AC ，∴AE ＝EF ＝12AF.(等腰三角形的三线合一)由(1)知△PDF ≌△QDC ，∴FD ＝CD ＝12FC.∴DE ＝EF ＋FD ＝12AF ＋12FC ＝12(AF ＋FC)＝12AC.。
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三线合一专题练习
一、直接运用三线合一证题
1、如图，在Rt ABC △中，
90=∠B ，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC
于点E ．已知 10=∠BAE ，则C ∠的度数为（ ）A ． 30 B ． 40 C ． 50 D ． 60
2、已知，如图1，AD 是∆ABC 的角平分线，DE 、DF 分别是∆ABD 和∆ACD 的高。
求证：AD 垂直平分EF
A
1 2
E
F
B D C
图1
3、如图2，∆ABC 中，AB ＝AC ，AD 为BC 边上的高，AD 的中点为M ，CM 的延长线交AB 于点K ，求证：AB AK =3
A
K
M
E
图2
二、做辅助线利用三线合一
4、如图3，在∆ABC 中，∠=A 90
，AB AC =，D 是BC 的中点，P 为BC 上任一点，作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为E 、F
求证：（1）DE ＝DF ；（2）DE DF ⊥ A
E
F
B D P 图3
5、如图，在等腰梯形ABCD中，G为对角线交点，△ADG、△GBC为正三角形。
F、E、H为AG、BG、DC的中点。
连接CE BF
（1）求证：△EFH为正三角形；
（2）若AD=2，BG=3，求S△EFH；
ACB ADB90 ，M、N分别为AB、CD的中6、如图4，已知四边形ABCD中，∠=∠=
⊥
点，求证：MN CD
C
N
D
A M B
图4
7、如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。
求证：M是BE的中点。
A
D
1
B M
C E
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