浙江省宁波市高二上学期期中数学试卷
2023-2024学年浙江省宁波市镇海中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省宁波市镇海中学高二（上）期中数学试卷一、单选题，本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数y =√x +1在x ＝3处的导数是（ ） A ．14B ．12C ．2D ．42．设数列{a n }满足a 1=1，a n a n+1=(−1)n (n +1)2，则a 3＝（ ） A ．4 B ．﹣4C ．94D ．−943．若方程x 22−m+y 23+m =1表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为（ ） A ．−3＜m ＜−12B ．−12＜m ＜2C ．m ＜﹣3D ．m ＞24．2023年10月17～18日，第三届“一带一路”高峰论坛在北京举行，有150个国家、92个国际组织的外宾参与论坛．从2013年到2022年，中国与共建“一带一路”国家的进出口累计总额年均增长率为6.4%．现已知2013年进出口累计总额为10.9万亿美元，则2022年进出口累计总额（保留1位小数）约为（ ）参考数据：1.0648≈1.64，1.0649≈1.75，1.06410≈1.86，1.06411≈1.98 A ．17.9万亿B ．19.1万亿C ．20.3万亿D ．21.6万亿5．函数y ＝e x ﹣2x 图象与直线y ＝a 恰有两个不同的交点，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，2﹣2ln 2） B ．（2﹣2ln 2，+∞） C ．[2﹣2ln 2，+∞）D ．（2﹣ln 2，+∞）6．已知a =1.01，b =e 0.01，c =√1.02，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a7．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2a 2−16=1的左、右焦点，O 为坐标原点，M 是椭圆C 上的点（不在坐标轴上），∠F 1MF 2的平分线交OF 2于N ，且ON ＝2，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(0，13)D ．(13，1)8．已知无穷正整数数列{a n }满足a n+2=a n +2023a n+1+1(n ∈N ∗)，则a 1的可能值有（ ）个．A ．2B ．4C ．6D ．9二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．定义在R 上的可导函数y ＝f （x ）的导函数图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．f （1）＜f （6）B ．函数y ＝f （x ）的最大值为f （5）C ．1是函数y ＝f （x ）的极小值点D ．3是函数y ＝f （x ）的极小值点10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则（ ）A ．若{a n }为递减等比数列，则{a n }的公比q ∈（0，1）B ．“{a n }为等差数列”是“{Sn n}为等差数列”的充要条件C ．若{S n }为等比数列，则{a n }可能为等比数列D ．若对于任意的p ，q ∈N *，数列{a n }满足a p +q ＝a p a q ，且各项均不为0，则{a n }为等比数列11．已知数列{a n }满足a n+1=a n 2+2a n ，a 1=2，设b n ＝log 3（1+a n ），记{b n }的前n 项和为S n ，{1S n}的前n 项和为T n ，则（ ） A ．{b n }为等比数列 B ．{a n +1}为等比数列C ．S n ＝b n +1﹣1D ．T n ＜212．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 24−y 25=1的左、右焦点，点A 为双曲线右支上任意一点，点M （2，3），下列结论中正确的是（ ） A ．|AF 1|﹣|AF 2|＝4B ．|AM |+|AF 1|的最小值为4+√10C ．过M 与双曲线有一个公共点直线有3条D ．若∠F 1AF 2＝90°，则△F 1AF 2的面积为5 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知数列{a n }为等比数列，a 1+a 2＝3，a 3+a 4＝12，则a 5+a 6＝ ． 14．设函数y ＝f （x ）在x ＝x 0处可导且f ′（x 0）＝2，则limℎ→0f(x 0+2ℎ)−f(x 0)ℎ= ．15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 11＞0，S 12＜0，数列{Sn a n}(1≤n ≤11)中最大的项为第 项． 16．若函数f （x ）＝（x ﹣m ）2+lnx 在区间（1，2）上有单调递增区间，则实数m 的取值范围是 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知等差数列﹣2，1，4，7，10，…，现在其每相邻两项之间插入一个数，使得插入的所有数成为一个新的等差数列{a n }． （1）求新数列{a n }的通项公式；（2）16是新数列{a n }中的项吗？若是，求出是第几项，若不是，说明理由． 18．（12分）已知函数f(x)=13x 3+ax 2+b ，a ，b ∈R ，f(x)在x ＝2处取到极小值23．（1）求a ，b 的值；（2）求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程．19．（12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上的点P （1，m ）到其焦点F 的距离为2． （1）求C 的方程及焦点F 的坐标．（2）过点（2，0）的直线l 交抛物线于A ，B 两点，且△OAB 的面积为8，求直线l 的方程． 20．（12分）已知等差数列{a n }和正项等比数列{b n }满足：a 1＝b 1＝3，a 10﹣12＝b 2，3a 4＝b 3． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）记c n ＝a n •b n ，数列{c n }的前n 项和为S n ，求S n ． 21．（12分）已知函数f （x ）＝xlnx ﹣ax +1，a ∈R ． （1）当a ＝1时，求函数f （x ）的最小值；（2）若f （x ）≥﹣a 对任意的x ＞0恒成立，求整数a 的最大值．22．（12分）已知双曲线Γ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左右顶点分别为点A ，B ，其中|AB |＝2，且双曲线过点C （2，3）．（1）求双曲线Γ的方程；（2）设过点P （1，1）的直线分别交Γ的左、右支于D ，E 两点，过点E 作垂直于x 轴的直线l ，交线段BC 于点F ，点G 满足EF →=FG →．证明：直线DG 过定点，并求出该定点．2023-2024学年浙江省宁波市镇海中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题，本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数y =√x +1在x ＝3处的导数是（ ） A ．14B ．12C ．2D ．4解：由y =√x +1，得y ′=12(x +1)−12⋅(x +1)′=12√x+1， 所以函数y =√x +1在x ＝3处的导数是2√3+1=14．故选：A ．2．设数列{a n }满足a 1=1，a n a n+1=(−1)n (n +1)2，则a 3＝（ ） A ．4B ．﹣4C ．94D ．−94解：由a n ⋅a n+1=(−1)n ⋅(n +1)2，a 1=1，得a 1⋅a 2=(−1)⋅(1+1)2=−4，则a 2＝﹣4， 又a 2a 3=(−1)2⋅(2+1)2=9，得a 3=−94． 故选：D ． 3．若方程x 22−m+y 23+m =1表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为（ ） A ．−3＜m ＜−12B ．−12＜m ＜2C ．m ＜﹣3D ．m ＞2解：由题意可得：0＜3+m ＜2﹣m ，解得−3＜m ＜−12， ∴m 的取值范围为(−3，−12)． 故选：A ．4．2023年10月17～18日，第三届“一带一路”高峰论坛在北京举行，有150个国家、92个国际组织的外宾参与论坛．从2013年到2022年，中国与共建“一带一路”国家的进出口累计总额年均增长率为6.4%．现已知2013年进出口累计总额为10.9万亿美元，则2022年进出口累计总额（保留1位小数）约为（ ）参考数据：1.0648≈1.64，1.0649≈1.75，1.06410≈1.86，1.06411≈1.98 A ．17.9万亿B ．19.1万亿C ．20.3万亿D ．21.6万亿解：依题意可得：从2013年到2022年的每年进出口累计总额依次排成一列构成等比数列{a n }，其中a1＝10.9，公比q＝1+6.4%＝1.064，所以2022年进出口累计总额为a10=a1q9=10.9×1.0649≈10.9×1.75≈19.1（万亿）．故选：B．5．函数y＝e x﹣2x图象与直线y＝a恰有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，2﹣2ln2）B．（2﹣2ln2，+∞）C．[2﹣2ln2，+∞）D．（2﹣ln2，+∞）解：函数y＝e x﹣2x的定义域为R，求导得y′＝e x﹣2，当x＜ln2时，y′＜0，函数y＝e x﹣2x递减，函数单调减区间为（﹣∞，ln2），当x＞ln2时，y′＞0，函数y＝e x﹣2x递增，函数单调增区间为（ln2，+∞），当x＝ln2时，函数y＝e x﹣2x取得最小值2﹣2ln2，如图，所以函数y＝e x﹣2x图象与直线y＝a恰有两个不同的交点时，a＞2﹣2ln2．故选：B．6．已知a=1.01，b=e0.01，c=√1.02，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a解：令f（x）＝e x﹣（x+1），则f′（x）＝e x﹣1，可知x＜0时f′（x）＜0，x＞0时f′（x）＞0，故f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，所以f（x）≥f（0）＝0，所以e x≥x+1，x＝0时等号成立，所以b＝e0.01＞0.01+1＝1.01＝a，故b＞a，又√x≤1+x2，当x＝1时等号成立，则c=√1.02＜1+1.022=1.01=a，故c＜a，综上，b＞a＞c．故选：C．7．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2a 2−16=1的左、右焦点，O 为坐标原点，M 是椭圆C 上的点（不在坐标轴上），∠F 1MF 2的平分线交OF 2于N ，且ON ＝2，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(0，13)D ．(13，1)解：设椭圆的焦距为2c （c ＞0），则c 2＝a 2﹣（a 2﹣16）＝16，即c ＝4， 因为MN 平分∠F 1MF 2，且ON ＝2， 所以|MF 1||MF 2|=|NF 1||NF 2|=62=3，由椭圆的定义知，|MF 1|+|MF 2|＝2a ， 所以|MF 1|=32a ，|MF 2|=a 2， 因为a ﹣c ＜|MF 1|＜a +c ，所以a ﹣c ＜32a ＜a +c ，解得a ＜2c ，即ca＞12，所以离心率e =ca∈（12，1）．故选：B ．8．已知无穷正整数数列{a n }满足a n+2=a n +2023a n+1+1(n ∈N ∗)，则a 1的可能值有（ ）个．A ．2B ．4C ．6D ．9解：由a n+2=a n+2023a n+1+1，得a n +2+a n +2•a n +1＝a n +2023，当n ≥2时，a n +1+a n +1•a n ＝a n ﹣1+2023，两式相减得a n +2﹣a n +1+a n +1（a n +2﹣a n ）＝a n ﹣a n ﹣1，即a n +2﹣a n +a n +1（a n +2﹣a n ）＝a n +1﹣a n ﹣1， 于是（a n +2﹣a n ）（a n +1+1）＝a n +1﹣a n ﹣1，依题意a n +1+1＞1， 若a n +2﹣a n ≠0，有a n+2−a n =a n+1−a n−1a n+1+1，则0＜|a n+2−a n |=|a n+1−a n−1a n+1+1|＜|a n+1−a n−1|，即{|a n +2﹣a n |}是递减数列，由于{a n }是无穷正整数数列，则必存在n ≥N *，使得|a n +2﹣a n |＝0与|a n +2﹣a n |＞0矛盾， 因此a n +2﹣a n ＝0，即a n +2＝a n ，于是数列{a n }是周期为2的周期数列，当n ＝1时，由a 3＝a 1，得a 1=a 1+2023a 2+1，即a 1a 2＝2023＝1×2023＝7×17×17， 从而a 1∈{1，2023，7，17，119，289}，∴a 1的可能值有6个． 故选：C ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．定义在R 上的可导函数y ＝f （x ）的导函数图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．f （1）＜f （6）B ．函数y ＝f （x ）的最大值为f （5）C ．1是函数y ＝f （x ）的极小值点D ．3是函数y ＝f （x ）的极小值点解：易知函数f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，6）上单调递增，在（6，+∞）上单调递减， 所以f （1）＜f （6），故选项A 正确； 因为f （5）＜f （6），故选项B 错误；因为y ＝f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，6）上单调递增， 所以1是函数y ＝f （x ）的极小值点，故选项C 正确； 当x ＝3时，f ′（x ）的符号未发生改变，所以3不是函数y ＝f （x ）的极小值点，故选项D 错误． 故选：AC ．10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则（ ）A ．若{a n }为递减等比数列，则{a n }的公比q ∈（0，1）B ．“{a n }为等差数列”是“{Snn }为等差数列”的充要条件C ．若{S n }为等比数列，则{a n }可能为等比数列D ．若对于任意的p ，q ∈N *，数列{a n }满足a p +q ＝a p a q ，且各项均不为0，则{a n }为等比数列 解：根据题意，依次分析选项：对于A ，取a n =−2n−1，则{a n }为递减等比数列，公比q ＝2∉（0，1），故A 错误； 对于B ，若{a n }为等差数列，则S n =na 1+n(n−1)2d ，所以S n n =a 1+(n −1)d 2， 故S n+1n+1−S n n=(n +1−1)d 2−(n −1)d 2=d 2（常数），故{Sn n }为等差数列，若{S n n}为等差数列，则S n n=a 1+(n −1)d′，即S n ＝na 1+n （n ﹣1）d ′，所以S n +1＝（n +1）a 1+n （n +1）d ′，两式相减得a n +1＝S n +1﹣S n ＝a 1+2nd ′， 所以a n ＝a 1+2（n ﹣1）d ′，故a n +1﹣a n ＝2d ′（常数），所以{a n }为等差数列，所以“{a n }为等差数列”是“{Sn n }为等差数列”的充要条件，故B 正确；对于C ，若S n ＝1，满足{S n }为等比数列，此时a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝0， 所以a n ={1，n =10，n ≥2，不是等比数列，故C 错误；对于D ，任意的p ，q ∈N *，满足a p +q ＝a p a q ，不妨取p ＝1，q ＝n ，则 a n +1＝a 1a n ，因为各项均不为0，所以a n+1a n=a 1（不为0的常数），故{a n }为等比数列，故D 正确． 故选：BD ．11．已知数列{a n }满足a n+1=a n 2+2a n ，a 1=2，设b n ＝log 3（1+a n ），记{b n }的前n 项和为S n ，{1S n}的前n 项和为T n ，则（ ） A ．{b n }为等比数列 B ．{a n +1}为等比数列C ．S n ＝b n +1﹣1D ．T n ＜2解：由a n+1=a n 2+2a n ，a 1=2，知a n ＞0，且a n+1+1=(a n +1)2，两边取对数得log 3（a n +1+1）＝2log 3（a n +1）， 即b n +1＝2b n ，而b 1＝log 3（1+a 1）＝1， 所以b n ＞0， 所以b n+1b n=2，即数列{b n }为等比数列，故选项A 正确；由a n+1+1=(a n +1)2，知a n+1+1a n +1=a n +1，不是常数，即选项B 错误；因为{b n }是首项为1，公比为2的等比数列， 所以b n =1×2n−1=2n−1，S n =1−2n1−2=2n −1=b n+1−1，即选项C 正确；因为1S n=12n −1＜1+12n −1+1=(12)n−1(n ≥2)，所以T n ＜(12)0+(12)1+⋯+(12)n−1=1−(12)n 1−12=2−2(12)n ＜2（n ≥2），当n ＝1时，T 1=1S 1=1＜2成立， 综上，T n ＜2，即选项D 正确． 故选：ACD ．12．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 24−y 25=1的左、右焦点，点A 为双曲线右支上任意一点，点M （2，3），下列结论中正确的是（ ） A ．|AF 1|﹣|AF 2|＝4B ．|AM |+|AF 1|的最小值为4+√10C ．过M 与双曲线有一个公共点直线有3条D ．若∠F 1AF 2＝90°，则△F 1AF 2的面积为5 解：如图，由双曲线方程x 24−y 25=1，知2a ＝4，所以由双曲线定义知|AF 1|﹣|AF 2|＝2a ＝4，故A 正确；因为c 2＝a 2+b 2＝9，所以F 2（3，0），|MF 2|=√(2−3)2+(3−0)2=√10， 由|AM|+|AF 1|=|AM|+|AF 2|+4≥|MF 2|+4=√10+4，故B 正确；过M 与两渐近线平行的直线仅有1个交点，过M 与左支相切与右支无交点的直线有1条， 过M 与右支相切且与左支无交点的直线有1条，故共有4条，故C 错误；若∠F 1AF 2＝90°，则|AF 1|2+|AF 2|2＝|F 1F 2|2，即（|AF 1|﹣|AF 2|）2+2|AF 1|•|AF 2|＝|F 1F 2|2， 所以4a 2+2|AF 1|⋅|AF 2|=4c 2，解得|AF 1|⋅|AF 2|=12(36−16)=10， 所以S △F 1AF 2=12|AF 1|•|AF 2|=12×10＝5，故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知数列{a n }为等比数列，a 1+a 2＝3，a 3+a 4＝12，则a 5+a 6＝ 48 ． 解：根据题意，设数列{a n }的公比为q ，由于a 1+a 2＝3，a 3+a 4＝12，则有a 3+a 4a 1+a 2=q 2=4，所以a 5+a 6=q 2(a 3+a 4)=4×12=48． 故答案为：48．14．设函数y ＝f （x ）在x ＝x 0处可导且f ′（x 0）＝2，则lim ℎ→0f(x 0+2ℎ)−f(x 0)ℎ= 4 ． 解：由limℎ→0f(x 0+2ℎ)−f(x 0)ℎ=2lim ℎ→0f(x 0+2ℎ)−f(x 0)2ℎ=2f′(x 0)=4．故答案为：4．15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 11＞0，S 12＜0，数列{Sn a n}(1≤n ≤11)中最大的项为第 6 项．解：根据题意，等差数列{a n }中，S 11＞0，S 12＜0， 则有S 11=11(a 1+a 11)2=11a 6＞0，S 12=12(a 1+a 12)2=6(a 6+a 7)＜0，显然a 7＜﹣a 6＜0，且|a 7|＞a 6，等差数列{a n }的公差d ＝a 7﹣a 6＜﹣2a 6＜0， 即数列{a n }是递减数列，前6项均为正数，从第7项起为负数， 数列{S n }的最大项为S 6，a 6是数列{|a n |}中的最小项，且a 6＞0， 所以数列{Sn a n}(1≤n ≤11)中最大的项为S 6a 6，是第6项．故答案为：6．16．若函数f （x ）＝（x ﹣m ）2+lnx 在区间（1，2）上有单调递增区间，则实数m 的取值范围是 (−∞，94) ． 解：已知f （x ）＝（x ﹣m ）2+lnx ，函数定义域为（0，+∞）， 可得f ′（x ）＝2（x ﹣m ）+1x ， 因为f ′（x ）＞0在（1，2）上有解， 即m ＜x +12x 在（1，2）上有解， 由对勾函数的性质可知函数y =x +12x在（1，2）上单调递增， 所以y =x +12x 在x ＝2时取得最大值， 此时m ＜2+14=94，则实数m 的取值范围为(−∞，94)．故答案为：(−∞，94)．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知等差数列﹣2，1，4，7，10，…，现在其每相邻两项之间插入一个数，使得插入的所有数成为一个新的等差数列{a n }．（1）求新数列{a n }的通项公式；（2）16是新数列{a n }中的项吗？若是，求出是第几项，若不是，说明理由．解：（1）设原等差数列为{b n }，易知b 1＝﹣2，b 2＝1，则d ＝b 2﹣b 1＝3，则b n ＝b 1+（n ﹣1）•d ＝3n ﹣5，由题意知：2a n ＝b n +b n +1＝3n ﹣5+3（n +1）﹣5＝6n ﹣7，则a n =3n −72．（2）令a n =16⇒3n −72=16⇒n =132∉N ∗，故16不是新数列{a n }中的项．18．（12分）已知函数f(x)=13x 3+ax 2+b ，a ，b ∈R ，f(x)在x ＝2处取到极小值23． （1）求a ，b 的值；（2）求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程．解：（1）已知f （x ）=13x 3+ax 2+b ，函数定义域为R ，可得f ′（x ）＝x 2+2ax ，因为f （x ）在x ＝2处取到极小值23， 所以{f ′(2)=4+4a =0f(2)=83+4a +b =23， 解得a ＝﹣1，b ＝2，当a ＝﹣1，b ＝2时，f ′（x ）＝x 2﹣2x ，当0＜x ＜2时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ＞2时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，所以函数f （x ）在x ＝2处取得极小值，则a ＝﹣1，b ＝2满足题意；（2）由（1）知f(x)=13x 3−x 2+2，可得f ′（x ）＝x 2﹣2x ，此时f ′（1）＝﹣1，又f （1）=43，则曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y −43=−（x ﹣1），即3x +3y ﹣7＝0．19．（12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上的点P （1，m ）到其焦点F 的距离为2．（1）求C 的方程及焦点F 的坐标．（2）过点（2，0）的直线l 交抛物线于A ，B 两点，且△OAB 的面积为8，求直线l 的方程． 解：（1）由抛物线的定义可得：|PF|=x ，+p 2=2=1+p 2，解得P ＝2，所以抛物线的方程为C ：y 2＝4x ；（2）由题意可设直线方程为x ＝ty +2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由{x =ty +2y 2=4x，得y 2﹣4ty ﹣8＝0， 所以Δ＝16t 2+4×8＞0，y 1+y 2＝4t ，y 1y 2＝﹣8，因为S △AOB =12×2×|y 1﹣y 2|＝|y 1﹣y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√16t 2+32， 所以t 2＝2，得t =±√2，故直线l 的方程为：x =±√2y +2．20．（12分）已知等差数列{a n }和正项等比数列{b n }满足：a 1＝b 1＝3，a 10﹣12＝b 2，3a 4＝b 3．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）记c n ＝a n •b n ，数列{c n }的前n 项和为S n ，求S n ．解：（1）设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，由题意知，{a 10−12=b 23a 4=b 3⇒{a 1+9d −12=b 1⋅q 3(a 1+3d)=b 1⋅q 2⇒{9d −9=3q 3(3+3d)=3⋅q 2，消元得q2﹣q﹣6＝0，解得q＝3或q＝﹣2（舍去），所以d＝2，故a n=3+2(n−1)=2n+1，b n=3⋅3n−1=3n．（2）由（1）知，c n=a n⋅b n=(2n+1)⋅3n，所以S n=(2×1+1)×31+(2×2+1)×32+(2×3+1)×33+⋯+(2n+1)×3n①，3S n=(2×1+1)×32+(2×2+1)×33+⋯+(2n−1)×3n+(2n+1)×3n+1②，①﹣②得：−2S n=3×3+2(32+33+⋯+3n)−(2n+1)⋅3n+1=3+2(3+32+⋯+3n)−(2n+1)⋅3n+1=3+2×3(1−3n)1−3−(2n+1)⋅3n+1=−2n⋅3n+1，故S n=n⋅3n+1．21．（12分）已知函数f（x）＝xlnx﹣ax+1，a∈R．（1）当a＝1时，求函数f（x）的最小值；（2）若f（x）≥﹣a对任意的x＞0恒成立，求整数a的最大值．解：（1）当a＝1时，f（x）＝xlnx﹣x+1，函数定义域为（0，+∞），可得f′(x)=lnx+x⋅1x−1=lnx，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以当x＝1时，函数f（x）取得极小值也是最小值，最小值f（1）＝0；（2）若f（x）≥﹣a对任意的x＞0恒成立，此时lnx−a+1+ax≥0，不妨设g(x)=lnx−a+1+ax，函数定义域为（0，+∞），可得g′(x)=1x−1+ax2=x−(1+a)x2，若1+a≤0，即a≤﹣1时，g′（x）＞0，所以函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，无最小值，不符合题意；若1+a＞0，即a＞﹣1时，当0＜x＜1+a时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞1+a时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）min＝g（1+a）＝ln（1+a）+1﹣a≥0，不妨设h （a ）＝ln （1+a ）+1﹣a ，可得ℎ′(a)=11+a −1=−a 1+a，函数定义域为（﹣1，+∞）， 当﹣1＜a ＜0时，h ′（a ）＞0，h （a ）单调递增；当a ＞0时，h ′（a ）＜0，h （a ）单调递减，又h （0）＝1＞0，h （1）＝ln 2＞0，h （2）＝ln 3﹣1＝ln 3﹣lne ＞0，h （3）＝2ln 2﹣2＝ln 4﹣lne 2＜0， 故整数a 的最大值为2．22．（12分）已知双曲线Γ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左右顶点分别为点A ，B ，其中|AB |＝2，且双曲线过点C （2，3）．（1）求双曲线Γ的方程；（2）设过点P （1，1）的直线分别交Γ的左、右支于D ，E 两点，过点E 作垂直于x 轴的直线l ，交线段BC 于点F ，点G 满足EF →=FG →．证明：直线DG 过定点，并求出该定点．解：（1）由|AB |＝2a ＝2，则a ＝1，又4a 2−9b 2=1，则9b 2=4a 2−1=3，所以b 2＝3，故双曲线Γ的方程为：x 2−y 23=1． （2）证明：如图，由B （1，0），C （2，3），则BC 方程为y ＝3x ﹣3，设直线DE 方程为：y ＝k （x ﹣1）+1，D （x 1，y 1），E （x 2，y 2），则y F ＝3x 2﹣3，则F （x 2，3x 2﹣3），由EF →=FG →，则G （x 2，6x 2﹣6﹣y 2），则k BD =y 1x 1−1=k(x 1−1)+1x 1−1=k +1x 1−1，k BG =b(x 2−1)−y 2x 2−1=6(x 2−1)−k(x 2−1)−1x 2−1=6−k −1x 2−1， 联立{y =k(x −1)+13x 2−y 2=3⇒(3−k 2)x 2−2k(1−k)x −(1−k)2−3=0， 则x 1+x 2=2k(1−k)3−k 2，x 1⋅x 2=−(1−k)2−33−k 2， 则1x 1−1+1x 2−1=x 1+x 2−2x 1x 2−(x 1+x 2)+1=2k(1−k)3−k 2−2−(1−k)2−33−k 2−2k(1−k)3−k 2=6−2k ， 所以k BD ﹣k BG ＝k ﹣（6﹣k ）+6﹣2k ＝0， 故k BD ＝k BG ，故DG 过定点B （1，0）．。
2023-2024学年浙江省宁波市五校联盟高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省宁波市五校联盟高二（上）期中数学试卷一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知a →=(1，0，1)，b →=(x ，−1，2)，且a →⋅b →=3，则向量a →与b →的夹角为（ ） A ．5π6B ．π6C ．π3D ．2π32．双曲线x 2−y 23=1的渐近线方程是（ ） A ．y =±√33x B ．y =±√3x C ．y ＝±3x D ．y =±13x3．在坐标平面内，与点A （1，2）距离为3，且与点B （3，8）距离为1的直线共有（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条4．圆x 2+y 2＝1和x 2+y 2﹣8x +6y +9＝0的位置关系是（ ） A ．外离B ．相交C ．内切D ．外切5．若A （7，8），B （10，4），C （2，﹣4），求△ABC 的面积为（ ） A ．28B ．14C ．56D ．206．直线l 的方向向量为m →=(1，0，−1)，且l 过点A （1，1，1），则点P （﹣1，2，1）到l 的距离为（ ） A ．√2B ．√3C ．√6D ．2√27．已知点P 是椭圆x 225+y 216=1上一动点，Q 是圆（x +3）2+y 2＝1上一动点，点M （6，4），则|PQ |﹣|PM |的最大值为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．78．如图，矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2√2，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE ．在翻折过程中，直线A 1C 与平面ABCD 所成角的正弦值最大为（ ）A ．√66B ．√10−√24C ．√5−14D ．√55二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．圆M ：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝1，圆N ：（x +2）2+（y +1）2＝1，则两圆的一条公切线方程为（ ） A ．x +2y ＝0 B ．4x +3y ＝0C ．x −2y +√5=0D ．x +2y −√5=010．若方程x 23−t+y 2t−1=1所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是（ ）A ．若C 为椭圆，则1＜t ＜3，且t ≠2B ．若C 为双曲线，则t ＞3或t ＜1C ．若t ＝2，则曲线C 表示圆D ．若C 为双曲线，则焦距为定值11．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ∥CD ，∠ABC =π2，AB ＝P A =12CD ＝2，BC ＝4，M 为PD 的中点，则（ ）A ．BM ⊥PCB ．异面直线BM 与AD 所成角的余弦值为√3010 C ．直线BM 与平面PBC 所成角的正弦值为√77D ．点M 到直线BC 的距离为√1012．曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的点，已知对于曲线x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上点P （x 0，y 0）处的曲率半径公式为R =a 2b 2(x 02a 4+y 02b4)32，则下列说法正确的是（ ）A ．若曲线上某点处的曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小B ．若某焦点在x 轴上的椭圆上一点处的曲率半径的最小值为c （半焦距），则该椭圆离心率为√5−12C ．椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)上一点处的曲率半径的最大值为b 2aD ．若椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)上所有点相应的曲率半径最大值为8，最小值为1，则椭圆方程为x 216+y 24=1三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上．13．已知a →=(2，−1，2)，b →=(2，2，1)，则a →在b →上的投影向量为 （用坐标表示）． 14．已知直线l 过点（3，4），且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的两倍，则直线l 的方程为 ． 15．如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，则AN →⋅CM →= ．16．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作圆O ：x 2+y 2＝a 2的切线l 切圆O 于点B 并与双曲线的右支交于点C ，若|BC |＝|CF 2|则双曲线的离心率为 ． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）设常数a ∈R ，已知直线l 1：（a +2）x +y +1＝0，l 2：3x +ay +（4a ﹣3）＝0． （1）若l 1⊥l 2，求a 的值；（2）若l 1∥l 2，求l 1与l 2之间的距离．18．（12分）在三棱锥体P ﹣SEF 中，FM ＝3ME ，MN ＝2NS ，点H 为PF 的中点，设SP →=i →，SE →=j →，SF →=k →．（1）记a →=PN →+SH →，试用向量i →，j →，k →表示向量a →；（2）若∠ESF =π2，∠ESP =∠PSF =π3，SE ＝SF ＝4，SP ＝6，求PN →⋅SH →的值．19．（12分）已知圆C ：x 2+y 2﹣8y +12＝0，直线l ：ax +y +2a ＝0， （1）当a 为何值时，直线l 与圆C 相切．（2）当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝2√2时，求直线l 的方程．20．（12分）若双曲线E ：x 2a2−y 2=1(a ＞0)的离心率等于√2，直线y ＝kx ﹣1与双曲线E 的右支交于A 、B 两点．（1）求k 的取值范围；（2）若|AB|=6√3，点c 是双曲线上一点，且OC →=m(OA →+OB →)，求k 、m 的值．21．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BB1＝2，BC＝3，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面积为10+2√13．（1）求证：平面A1BC⊥平面ABB1A1；（2）求直线CB1与平面A1BC所成角的正弦值．22．（12分）已知F1，F2分别是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点，且短轴长为2，动弦MN平行于x轴，且|F1M|+|F1N|＝4．（1）求椭圆E的方程；（2）设A，B为椭圆E的左右顶点，P为直线l：x＝4上的一动点（点P不在x轴上），连AP交椭圆于C点，连PB并延长交椭圆于D点，试问是否存在λ，使得S△ACD＝λS△BCD成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．2023-2024学年浙江省宁波市五校联盟高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知a →=(1，0，1)，b →=(x ，−1，2)，且a →⋅b →=3，则向量a →与b →的夹角为（ ） A ．5π6B ．π6C ．π3D ．2π3解：∵a →=(1，0，1)，b →=(x ，−1，2)，且a →⋅b →=3， ∴a →⋅b →=x +2＝3，解得x ＝1， ∴cos ＜a →，b →＞=a →⋅b→|a →|⋅|b →|=32⋅6=√32， ∴向量a →与b →的夹角为π6． 故选：B ．2．双曲线x 2−y 23=1的渐近线方程是（ ） A ．y =±√33xB ．y =±√3xC ．y ＝±3xD ．y =±13x解：由双曲线x 2−y 23=1，得a ＝1，b =√3， ∴双曲线x 2−y 23=1的渐近线方程是y =±√3x ．故选：B ．3．在坐标平面内，与点A （1，2）距离为3，且与点B （3，8）距离为1的直线共有（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解：与点A （1，2）距离为3的点的轨迹是以A （1，2）为圆心，半径为3的圆， 与点B （3，8）距离为1的点的轨迹为以B （3，8）为圆心，半径为1的圆， 由所求直线即为两圆的公切线，∵|AB |=√(3−1)2+(8−2)2=2√10，且|AB |＞1+3， ∴两圆相离，有4条公切线，∴与点A （1，2）距离为3，且与点B （3，8）距离为1的直线共有4条． 故选：D ．4．圆x 2+y 2＝1和x 2+y 2﹣8x +6y +9＝0的位置关系是（ ）A ．外离B ．相交C ．内切D ．外切解：圆x 2+y 2＝1的圆心为（0，0），半径为1，圆x 2+y 2﹣8x +6y +9＝0可化为（x ﹣4）2+（y +3）2＝16，圆心为（4，﹣3），半径为4， 而两圆心的距离为√42+32=1+4，故两圆外切． 故选：D ．5．若A （7，8），B （10，4），C （2，﹣4），求△ABC 的面积为（ ） A ．28B ．14C ．56D ．20解：根据两点间的距离解得：AB =√(7−10)2+(8−4)2=5， k AB =8−47−10=−43，所以AB 所在直线方程为：y ﹣4=−43（x ﹣10）， 整理可得：4x +3y ﹣52＝0， 则ℎ=|8−12−52|5=565， 所以S △ABC =12×5×565=28． 故选：A ．6．直线l 的方向向量为m →=(1，0，−1)，且l 过点A （1，1，1），则点P （﹣1，2，1）到l 的距离为（ ） A ．√2B ．√3C ．√6D ．2√2解：直线l 的方向向量为m →=(1，0，−1)，且l 过点A （1，1，1）， 又点P （﹣1，2，1）， 则AP →=(−2，1，0)， 则|AP|=√5，又∵|AP →⋅m →|m →||=|−2×1+0×1+(−1)×0|√2=√2，∴则点P （﹣1，2，1）到l 的距离为√(√5)2−(√2)2=√3， 故选：B ． 7．已知点P 是椭圆x 225+y 216=1上一动点，Q 是圆（x +3）2+y 2＝1上一动点，点M （6，4），则|PQ |﹣|PM |的最大值为（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7解：由椭圆x 225+y 216=1，得两个焦点分别F 1（﹣3，0），F 2（3，0）．由圆（x +3）2+y 2＝1，得圆心坐标为（﹣3，0），半径为1， 又点M （6，4），由椭圆的定义可知|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝10， ∴|PQ |≤|PF 1|+1＝10﹣|PF 2|+1＝11﹣|PF 2|， 又|MF 2|=√(6−3)2+(4−0)2=5，则|PQ |﹣|PM |≤11﹣|PF 2|﹣|PM |＝11﹣（|PF 2|+|PM |） ≤11﹣|MF 2|＝11﹣5＝6， ∴|PQ |﹣|PM |的最大值为6． 故选：C ．8．如图，矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2√2，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE ．在翻折过程中，直线A 1C 与平面ABCD 所成角的正弦值最大为（ ）A ．√66B ．√10−√24C ．√5−14D ．√55解：分别取DE ，DC 的中点O ，F ，点A 的轨迹是以AF 为直径的圆，以OA ，OE 为x ，y 轴，过O 与平面AOE 垂直的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则C （﹣2，1，0），平面ABCD 的其中一个法向量为n →=（0，0，1），由A 1O ＝1，设A 1（cos α，0，sin α），α∈[0，2π），则CA 1→=（cos α+2，﹣1，sin α），记直线A 1C 与平面ABCD 所成角为θ，则sin θ=|CA 1→⋅n →||CA 1→||n →|=|sinα|√4cosα+6=√1−cos 2α4cosα+6，令t ＝cos α+32∈[12，52]，sin θ=√34−(516t +t 4)≤√34−√54=√10−√24，所以直线A 1C 与平面ABCD 所成角的正弦值最大为√10−√24． 故选：B ．二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．圆M ：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝1，圆N ：（x +2）2+（y +1）2＝1，则两圆的一条公切线方程为（ ） A ．x +2y ＝0B ．4x +3y ＝0C ．x −2y +√5=0D ．x +2y −√5=0解：如图，圆心M （2，1），N （﹣2，﹣1），半径r 1＝r 2＝1，两圆相离，有四条公切线．两圆心坐标关于原点O 对称，则有两条切线过原点O ， 设切线l ：y ＝kx ，则圆心到直线的距离√1+k 2=1，得 k ＝0 或 k =43，此时两公切线方程为y ＝0或y =43x ，另两条切线与直线MN 平行且相距为1，l MN ：y =12x ， 设切线 y =12x +b ，则√1+14=1，得 b =±√52，则 y =12x ±√52，此时两公切线方程为x ﹣2y ±√5=0． 故选：C ． 10．若方程x 23−t+y 2t−1=1所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是（ ）A ．若C 为椭圆，则1＜t ＜3，且t ≠2B ．若C 为双曲线，则t ＞3或t ＜1C ．若t ＝2，则曲线C 表示圆D ．若C 为双曲线，则焦距为定值解：对于选项A ：∵C 为椭圆， ∴{3−t ＞0t −1＞03−t ≠t −1，解得1＜t ＜3，且t ≠2，故正确； 对于选项B ：∵C 为双曲线， ∴（3﹣t ）（t ﹣1）＜0， 解得t ＞3或t ＜1，故正确； 对于选项C ：当t ＝2时， 方程可化为x 2+y 2＝1， 即曲线C 表示圆，故正确； 对于选项D ：∵C 为双曲线， ∴c 2=|3−t|+|t −1|={4−2t ，t ＜12t −4，t ＞3，故焦距不为定值，故错误． 故选：ABC ．11．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ∥CD ，∠ABC =π2，AB ＝P A =12CD ＝2，BC ＝4，M 为PD 的中点，则（ ）A ．BM ⊥PCB ．异面直线BM 与AD 所成角的余弦值为√3010 C ．直线BM 与平面PBC 所成角的正弦值为√77D ．点M 到直线BC 的距离为√10解：过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，则DE ＝2，以A 为坐标原点，分别以AE ，AB ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B （0，2，0），C （4，2，0），D （4，﹣2，0），P （0，0，2），M （2，﹣1，1），所以BM →=（2，﹣3，1），PC →=（4，2，﹣2），BC →=（4，0，0），BP →=（0，﹣2，2），AD →=（4，﹣2，0），因为BM →•PC →=2×4+（﹣3）×2+1×（﹣2）＝0， 所以BM ⊥PC ，故A 正确； 因为cos ＜BM →，AD →＞=BM →⋅AD →|BM →||AD →|=4×2+(−3)×(−2)√14×2√5=√7010，所以直线BM 与AD 所成角的余弦值为√7010，故B 错误； 设平面PBC 的法向量为m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅BC →=0m →⋅BP →=0，即{4x =0−2y +2z =0，令y ＝1，得m →=（0，1，1）， 设直线BM 与平面PBC 所成角为α，则sin α＝|cos ＜BM →，m →＞|＝|BM →⋅m→|BM →||m →||=√77，所以直线BM 与平面PBC 所成角的正弦值为√77，故C 正确； 设点M 到直线BC 的距离为d ，则d =√|BM →|2−|BM →⋅BC →|BC →||2=√10，即点M 到直线BC 的距离为√10，故D 正确． 故选：ACD ．12．曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的点，已知对于曲线x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上点P （x 0，y 0）处的曲率半径公式为R =a 2b 2(x 02a 4+y 02b4)32，则下列说法正确的是（ ）A ．若曲线上某点处的曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小B ．若某焦点在x 轴上的椭圆上一点处的曲率半径的最小值为c （半焦距），则该椭圆离心率为√5−12C ．椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)上一点处的曲率半径的最大值为b 2aD ．若椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)上所有点相应的曲率半径最大值为8，最小值为1，则椭圆方程为x 216+y 24=1解：由题意可知x 02a 4+y 02b 4取得最大值时，曲率半径R 最大，取得最小值时，曲率半径R 最小，∵点P （x 0，y 0）在椭圆上，∴x 02a 2+y 02b2=1，∴y 02=b 2（1−x 02a2），∴x 02a 4+y 02b 4=1b 2+1a2（1a 2−1b 2）x 02，∵0≤x 02≤a 2，∵1a 2−1b 2＜0，当x 02=0时，x 02a 4+y 02b4的最大值为1b 2， 当x 02=a 2时，x 02a 4+y 02b4的最小值为1a 2，由曲率半径公式为R =a 2b 2(x 02a 4+y 02b4)32，可得曲率半径R 的最大值为a 2b ，最小值为b 2a ，故C 错误；若曲线上某点处的曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小，故A 正确； 若某焦点在x 轴上的椭圆上一点处的曲率半径的最小值为c （半焦距），则b 2a=c ，∴a 2﹣ac ﹣c 2＝0，∴1﹣e ﹣e 2＝0，e 2+e ﹣1＝0，解得e =√5−12或e =−√5−12（舍去）， ∴该椭圆离心率为√5−12，故B 正确； 若椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)上所有点相应的曲率半径最大值为8，最小值为1，∴a 2b=8，b 2a=1，解得a ＝4，b ＝2，∴椭圆方程为x 216+y 24=1，故D 正确．故选：ABD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上．13．已知a →=(2，−1，2)，b →=(2，2，1)，则a →在b →上的投影向量为 (89，89，49) （用坐标表示）． 解：∵a →=(2，−1，2)，b →=(2，2，1)，∴a →⋅b →=2×2+(−1)×2+2×1=4，|b →|=√22+22+12=3， 设a →在b →上的投影向量为m →=a →⋅b→|b →|⋅b→|b →|=(89，89，49)．故答案为：(89，89，49)．14．已知直线l 过点（3，4），且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的两倍，则直线l 的方程为 y =43x 或x +2y ﹣11＝0 ．解：①当直线l 在两坐标轴上的截距均为0时，设直线方程为y ＝kx ， 因为直线过点（3，4），所以k =43，所以直线l 的方程为y =43x ； ②当直线l 在两坐标轴上的截距均不为0时，设直线l 在y 轴上的截距为b ，则在x 轴上的截距为2b ， 则直线l 的方程为x 2b+y b=1，又因为直线l 过点（3，4），所以32b+4b=1，解得：b =112， 所以直线l 的方程为x 11+y112=1，即x +2y ﹣11＝0，综上所述：直线l 的方程为y =43x 或x +2y ﹣11＝0． 故答案为：y =43x 或x +2y ﹣11＝0．15．如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，则AN →⋅CM →= ﹣7 ．解：在三棱锥A ﹣BCD 中，连结ND ，取ND 的中点为E ，连结ME ，则ME ∥AN ， 异面直线AN ，CM 所成的角就是∠EMC ．∵AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点， ∴AN ＝2√2，ME ＝EN =√2，MC ＝2√2， 又∵EN ⊥NC ，∴EC =√NC 2+NE 2=√3．cos ∠EMC =MC 2+ME 2−EC 22MC⋅ME =2×2×22=78．由图可知，AN →与CM →所成角为钝角，则cos ＜AN →，CM →＞=−78．∴AN →⋅CM →=|AN →||CM →|cos ＜AN →，CM →＞=2√2×2√2×(−78)=−7． 故答案为：﹣7．16．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作圆O ：x 2+y 2＝a 2的切线l 切圆O 于点B 并与双曲线的右支交于点C ，若|BC |＝|CF 2|则双曲线的离心率为 √5 ． 解：∵过F 1作圆x 2+y 2＝a 2的切线切圆O 于点B 并与双曲线的右支交于点C ， 且|BC |＝|CF 2|， 又|CF 1|﹣|CF 2|＝2a ， ∴|BF 1|＝2a ，又|OB |＝a ， ∴（2a ）2+a 2＝c 2，解得e =ca =√5， 故答案为：√5．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）设常数a ∈R ，已知直线l 1：（a +2）x +y +1＝0，l 2：3x +ay +（4a ﹣3）＝0． （1）若l 1⊥l 2，求a 的值；（2）若l 1∥l 2，求l 1与l 2之间的距离．解：（1）根据题意，直线l 1：（a +2）x +y +1＝0，l 2：3x +ay +（4a ﹣3）＝0， 若l 1⊥l 2，则3（a +2）+a ＝0，解可得a =−32；（2）根据题意，若l 1∥l 2，则有a （a +2）＝3，解可得a ＝1或﹣3，当a ＝1时，直线l 1：3x +y +1＝0，l 2：3x +y +1＝0，两直线重合，不符合题意，当a ＝﹣3时，直线l 1：﹣x +y +1＝0，l 2：3x ﹣3y ﹣15＝0，即x ﹣y ﹣5＝0，两直线平行， 此时l 1与l 2之间的距离d =|1−5|√1+1=2√2． 18．（12分）在三棱锥体P ﹣SEF 中，FM ＝3ME ，MN ＝2NS ，点H 为PF 的中点，设SP →=i →，SE →=j →，SF →=k →．（1）记a →=PN →+SH →，试用向量i →，j →，k →表示向量a →；（2）若∠ESF =π2，∠ESP =∠PSF =π3，SE ＝SF ＝4，SP ＝6，求PN →⋅SH →的值．解：（1）∵FM ＝3ME ，MN ＝2NS ，点H 为PF 的中点，∴SM →=SE →+EM →=SE →+14EF →=SE →+14（SF →−SE →）=34SE →+14SF →，PN →=PS →+SN →=−SP →+13SM →=−SP →+13（34SE →+14SF →）=−i →+14j →+112k →，SH →=12（SP →+SF →）=12i →+12k →， ∴a →=−12i →+14j →+712k →．（2）∵∠ESF =π2，∠ESP =∠PSF =π3，SE ＝SF ＝4，SP ＝6， ∴j →•k →=4×4×cos π2=0，i →•j →=6×4×12=12，i →•k →=6×4×12=12， ∴PN →⋅SH →=（12i →+12k →）•（−i →+14j →+112k →） =−12i →2+18i →•j →−1124i →•k →+18j →•k →+124k →2 =−12×36+18×12−1124×12+18×0+124×16 =−643．19．（12分）已知圆C ：x 2+y 2﹣8y +12＝0，直线l ：ax +y +2a ＝0， （1）当a 为何值时，直线l 与圆C 相切．（2）当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝2√2时，求直线l 的方程．（12分）解：（1）设圆心到直线的距离为d ，圆C ：x 2+y 2﹣8y +12＝0的圆心C （0，4）半径r =12√64−48=2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣1分∵直线l ：ax +y +2a ＝0与圆相切， ∴d =|4+2a|√a 2+1=2，解得a =−34．﹣﹣﹣5分（2）∵圆心到直线的距离d =|4+2a|√a 2+1，直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝2√2时，d =√r 2−(|AB|2)2=√2，﹣﹣﹣﹣﹣7分 ∴d =|4+2a|√a 2+1=√2，解得a ＝﹣7或a ＝﹣1．∴所求直线为7x ﹣y +14＝0或x ﹣y +2＝0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣12分 20．（12分）若双曲线E ：x 2a2−y 2=1(a ＞0)的离心率等于√2，直线y ＝kx ﹣1与双曲线E 的右支交于A 、B 两点．（1）求k 的取值范围；（2）若|AB|=6√3，点c 是双曲线上一点，且OC →=m(OA →+OB →)，求k 、m 的值． 解：（1）由题意可知，b =1，ca =√2，c 2＝a 2+b 2． ∴a ＝b ＝1，∴双曲线方程为E ：x 2﹣y 2＝1，直线y ＝kx ﹣1与双曲线E 联立可得：（1﹣k 2）x 2+2kx ﹣2＝0． 则：{1−k 2≠0Δ＞02kk 2−1＞0⇒1＜k ＜√22k 2−1＞0．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． 则x 1+x 2=−2k 1−k2，x 1x 2=−21−k2．∵|AB|=6√3，∴√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=2√(1+k 2)(2−k 2)(k 2−1)2=6√3．得：28k 4−55k 2+25=0∴k 2=57或k 2=54 又∵1＜k ＜√2∴k =√52．∵x 1+x 2=2k k 2−1=4√5y 1+y 2=k(x 1+x 2)−2=8．设C （x 0，y 0），由OC →=m(OA →+OB →)，∴（x 0，y 0）=(4√5m ，8m)，∴80m 2−64m 2=1⇒m =±14， ∴k =√52，m =±14．21．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝BB 1＝2，BC ＝3，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧面积为10+2√13．（1）求证：平面A 1BC ⊥平面ABB 1A 1； （2）求直线CB 1与平面A 1BC 所成角的正弦值．解：（1）证明：依题意，(2+3+AC)×2=10+2√13，AC =√13， 所以AB 2+BC 2＝AC 2，所以AB ⊥BC ， 根据直三棱柱的性质可知BB 1⊥平面ABC ， 而AB ，BC ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ， 由此以B 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则A 1（2，0，2），C （0，3，0），设平面A 1BC 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅BA 1→=2x +2z =0n →⋅BC →=3y =0，令x ＝1，则y ＝0，z ＝﹣1，故可得n →=(1，0，−1)． 平面ABB 1A 1的一个法向量是m →=(0，1，0)， 由于m →⋅n →=0，所以m →⊥n →，所以平面A 1BC ⊥平面ABB 1A 1．（2）由（1）得平面A 1BC 的法向量n →=(1，0，−1)， B 1(0，0，2)，C(0，3，0)，B 1C →=(0，3，−2)， 设直线CB 1与平面A 1BC 所成角为θ， 则sinθ=|B 1C →⋅n→|B 1C →|⋅|n →||=2√13×√2=√2613．22．（12分）已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，且短轴长为2，动弦MN平行于x 轴，且|F 1M |+|F 1N |＝4． （1）求椭圆E 的方程；（2）设A ，B 为椭圆E 的左右顶点，P 为直线l ：x ＝4上的一动点（点P 不在x 轴上），连AP 交椭圆于C 点，连PB 并延长交椭圆于D 点，试问是否存在λ，使得S △ACD ＝λS △BCD 成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由． 解：（1）因为椭圆E 的短轴长为2， 所以b ＝1，由椭圆的对称性得|F 1M |＝|F 2N |， 又因为|F 1M |+|F 1N |＝4， 所以|F 2N |+|F 1N |＝4， 此时2a ＝4， 解得a ＝2， 则椭圆E 的方程为x 24+y 2=1；（2）不妨设P （4，y 0）（y 0≠0）， 由（1）知A （﹣2，0）， 此时k AP =y 06， 则直线AP 的方程为y =y6(x +2)，联立{y =y6(x +2)x 24+y 2=1，消去y 并整理得(9+y 2)x 2+4y 02x +4y 02−36=0，由韦达定理得x A +x C =−2+x C =−4y 029+y 02，解得x C =18−2y 029+y 02，所以y C=6y0 9+y02同理得x D=2y02−21+y02，y D=−2y01+y02，此时k CD=y C−y Dx C−x D=2y03−y02则直线CD的方程为(3−y02)y+2y0(−x+1)=0，易知直线CD恒过定点（1，0）．故S△ACDS△BCD =|CD|⋅|AE|sin∠AEC|CD|⋅|BE|sin∠BEC=|AE||BE|=31=3=λ．。
浙江省宁波市镇海2024-2025学年高二上学期期中测试数学试卷含答案
镇海2024学年第一学期期中考试高二数学试题卷（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.在等差数列{}n a 中，已知12a =，315S =，则4a 等于（）A.11B.13C.15D.16【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列通项公式和前n 项和表达式即可得到方程，解出即可.【详解】设等差数列的公差为d ，则3111215S a a d a d =++++=，即6315d +=，解得3d =，则4132911a a d =+=+=.故选：A.2.若椭圆2212x y m +=的右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则m 的值为（）A .1B.3C.4D.5【答案】B 【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标，可得出关于m 的等式，即可得解.【详解】对于抛物线24y x =，24p =，可得2p =，12p=，故该抛物线的焦点为()10F ,，由题意可知，椭圆的右焦点为()10F ,，则22221c a b m =-=-=，解得3m =，故选：B.3.若点P 到直线1x =-和它到点()1,0的距离相等，则点P 的轨迹方程为（）A.2x y =B.2y x= C.24x y= D.24y x=【答案】D 【解析】【分析】分析可知点P 的轨迹是以点()1,0为焦点，直线1x =-为准线的抛物线，即可得解.【详解】因为点P 到直线1x =-和它到点()1,0的距离相等，所以，点P 的轨迹是以点()1,0为焦点，直线1x =-为准线的抛物线，设其方程为22y px =，则12p=，可得2p =，故点P 的轨迹方程为24y x =.故选：D.4.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421→→→.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列{}n a 满足：11a =，1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数当为奇数，则2024S =（）A.4720B.4722C.4723D.4725【答案】C 【解析】【分析】根据“冰雹猜想”结合递推关系，利用规律求解即可【详解】1234561,4,2,1,4,2,a a a a a a ====== ,可知数列{}n a 是以3为周期的数列，因为202423674-=⨯，所以()2024674142144723S =⨯++++=，故选：C5.已知函数()f x 是奇函数，函数()g x 是偶函数，且当0x >时，()0f x '>，()0g x '>，则0x <时，以下说法正确的是（）A.()()0f x g x ''+>B.()()0f xg x ''->C.()()0f x g x ''> D.()()0f x g x ''>【答案】B 【解析】【分析】通过函数的奇偶性与导函数的符号，判断当0x <时导函数的符号结合不等式性质即可判断各项.【详解】因为函数()f x 是奇函数，所以函数在对称区间上单调性相同，又当0x >时，()0f x '>；所以当0x <时，()0f x '>；因为函数()g x 是偶函数，所以函数在对称区间上单调性相反；又当0x >时，()0g x '>；所以当0x <时，()0g x '<；而当()()g x f x ''>时，()()0f x g x ''+<，故A 错；由()0g x '<，则()0g x '->，又()0f x '>，所以()()0f x g x ''->，故B 对；()(),f x g x ''异号，所以()()0f x g x ''<，()()0f x g x ''<，故CD 错；故选：B6.若函数()211kx f x x +=+在[)2,+∞上单调递增，则k 的取值范围为（）A.43k ≥-B.1k ≤- C.1k ≤ D.43k ≤-【答案】D 【解析】【分析】求出导函数，根据单调性把问题转化为不等式恒成立，利用函数单调性求出最值即可【详解】由()211kx f x x +=+，得()()22221kx x k f x x --++'=，又()f x 在[)2,+∞上单调递增，所以′≥0在[)2,+∞上恒成立，即220kx x k +-≤在[)2,+∞上恒成立，即21k x x ≤-在[)2,+∞上恒成立，只需求出21x x-的最小值即可，又1t x x =-在[)2,+∞单调递减，所以32t ≤-，则2103t -≤<，所以4203t-≤<，故43k ≤-.故选：D7.已知2023log 2024a =，2024log 2025b =，2025log 2026c =，则（）A.a b c >>B.a c b>> C.c b a>> D.c a b>>【答案】A【解析】【分析】构造函数()()ln 1ln x f x x+=，其中1x >，利用导数分析函数()f x 在()1,+∞上的单调性，可得出()2023a f =，()2024b f =，()2025c f =，结合函数()f x 的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】构造函数()()ln 1ln x f x x+=，其中1x >，当1x >时，11x x +>>，()ln 1ln 0x x +>>，由不等式的性质可得()()1ln 1ln x x x x ++>，()()()()()()()22ln 1ln ln 1ln 110ln 1ln x x x x x x x x f x x x x x +--+++'==<+⋅，所以，函数()f x 在()1,+∞上为减函数，因为()2023ln 2024log 20242023ln 2023a f ===，()2024ln 2025log 20252024ln 2024b f ===，()2025ln 2026log 20262025ln 2025c f ===，所以，()()()202320242025f f f >>，即a b c >>，故选：A.8.已知椭圆22:13627x y C +=，左焦点为F ，在椭圆C 上取三个不同点P 、Q 、R ，且2π3PFQ QFR RFP ∠=∠=∠=，则123FP FQ FR ++的最小值为（）A.4336- B.4339- C.42339- D.4333-【答案】B 【解析】【分析】以F 为顶点，x 轴的正方向为θ始边的方向，FP 为角θ的终边，推导出92cos PF θ=-，同理可得出92π2cos 3FQ θ=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，94π2cos 3FR θ=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，然后利用三角恒等变换化简可得出123FP FQ FR++的最小值.【详解】在椭圆C 中，6a =，b =3c =，如下图所示：椭圆的左准线为212a x c=-=-，以F 为顶点，x 轴的正方向为θ始边的方向，FP 为角θ的终边，当π02θ<<时，过点P 作PN l ⊥，过点F 作FM PN ^，垂足分别为点N 、M ，易知四边形EFMN 为矩形，则21239a MN EF c c==-=-=，由椭圆第二定义可得12PF e PN==，则2PN PF =，又因为//PN x 轴，则FPN θ∠=，所以，cos PM PFθ=，所以，cos PM PF θ=，因为PN PM MN =+，即2cos 9PF PF θ=+，所以，92cos PF θ=-，同理可知，当θ为任意角时，等式92cos PF θ=-仍然成立，同理可得92π2cos 3FQ θ=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，94π2cos 3FR θ=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，因此，2π4π42cos 63cos 1232cos 33999FP FQ FR θθθ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭++=++412π4πcos 2cos 3cos 3933θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦413cos cos cos 3922θθθθθ⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪⎝⎭4134πsin cos 3922393θθθ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故123FP FQ FR ++的最小值为4339-.故选：B.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列选项正确的是（）A.1y x =，21y x'=- B.2x y =，2ln2x y '=C.ln y x =，1y x'=D.cos2y x =，sin2y x=-'【答案】ABC 【解析】【分析】对于ABC ，由基本初等函数的导数公式即可判断；对于D ，由复合函数的求导法则即可求出函数cos2y x =的导函数，从而得解.【详解】对于A ，1y x =，则21y x'=-，故A 正确；对于B ，2x y =，则2ln2x y '=，故B 正确；对于C ，ln y x =，则1y x'=，故C 正确；对于D ，cos2y x =，则()22sin 2sin2x x y =⨯=--'，故D 错误.故选：ABC.10.已知抛物线2:4C y x =，F 为其焦点，直线l 与抛物线交C 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，则下列说法正确的是（）A.若点A 为抛物线上的一点，点B 坐标为()3,1，则AF AB +的最小值为3B.若直线l 过焦点F ，则以MN 为直径的圆与1x =-相切C.若直线l 过焦点F ，当MN OF ⊥时，则5OM ON ⋅=D.设直线MN 的中点坐标为()()000,0x y y ≠，则该直线的斜率与0x 无关，与0y 有关【答案】BCD 【解析】【分析】利用抛物线的定义以及数形结合可判断A 选项；利用抛物线的焦点弦公式可判断B 选项；求出M 、N 的坐标，利用两点间的距离公式可判断C 选项；利用点差法可判断D 选项.【详解】对于A 选项，如下图所示：抛物线的焦点为()10F ,，准线为:1l x =-，设点A 在直线l 上的射影点为D ，由抛物线的定义可得AD AF =，则AB AF AB AD +=+，当且仅当A 、B 、D 三点共线时，即当BD l ⊥时，AB AF +取最小值314+=，A 错；对于B 选项，若直线l 过焦点F ，则122=++MN x x ，线段MN 的中点E 到直线l 的距离为1212x x d +=+，所以，2MN d =，因此，以MN 为直径的圆与1x =-相切，B 对；对于C 选项，当MN OF ⊥时，直线MN 的方程为1x =，联立214x y x =⎧⎨=⎩可得12x y =⎧⎨=±⎩，不妨取()1,2M 、()1,2N -，则OM ON ==，此时，5OM ON ⋅=，C 对；对于D 选项，线段MN 的中点坐标为()()000,0x y y ≠，若MN x ⊥轴，则线段MN 的中点在x 轴上，不合乎题意，所以直线MN 的斜率存在，由题意可得12012022x x x y y y +=⎧⎨+=⎩，由21122244y x y x ⎧=⎨=⎩作差得()()()1212124y y y y x x -+=-，所以，121212004422MN y y k x x y y y y -====-+，D 对.故选：BCD.11.数列{}n a 满足11a =，22a =，21n n n a a a ++>+，则下列结论中一定正确的是（）A .1050a > B.20500a < C.10100a < D.20500a >【答案】AD 【解析】【分析】根据数列的递推关系可判断各项的取值范围.【详解】由题意得，数列{}n a 为递增数列.n *∀∈N ，21n n n a a a ++>+，11a =，22a =，所以，3213a a a >+=，4325a a a >+>，5438a a a >+>，65413a a a >+>，76521a a a >+>，87634a a a >+>，98755a a a >+>，109889a a a >+>，11109144a a a >+>，121110233a a a >+>，131211377a a a >+>，141312610a a a >+>，151413987a a a >+>，1615141597a a a >+>，1716152584a a a >+>，1817164181a a a >+>，1918176765a a a >+>，20191810946a a a >+>.故选：AD.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于利用递推公式逐项求解各项的范围即可.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知1n a +=，11a =，则100a =__________.【答案】110##0.1【解析】【分析】把递推公式变形并判断数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，然后求出通项即可求得【详解】由1n a +=，得221111n n a a +-=，又11a =，则2111a =，所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭首项为1，公差为1的等差数列，所以21nn a =，又1n a +=可得10nn a a +>，又11a =，所以0n a >，得n a =，所以100110a ==，故答案为：11013.已知双曲线22221x y a b-=与直线1y x =-相交于A ，B 两点，其中AB 中点的横坐标为23-，则该双曲线的离心率为_____.【答案】2【解析】【分析】根据点差法可求,a b 的关系，从而可求离心率.【详解】设1,1,2,2，AB 中点为M ，则23M x =-，故53M y =-，因为2222112222221,1x y x y a b a b -=-=，故()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+-=，所以()()12122225330x x y y a a ⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，而1AB k =，故2225033a b -+=，故22222522b a c a ==-，故2c a =，故答案为：214.已知函数()()()5e ln 155xf x a x a x =++-+-，若()0f x ≥在()0,∞+上恒成立，则实数a 的取值范围为__________.【答案】5a ≤【解析】【分析】就0a >、0a ≤分类讨论，前者再就05,5a a ≤≤>分类后结合导数的符号讨论单调性后可得相应范围，后者结合常见的函数不等式可得恒成立，故可得参数的取值范围.【详解】当0a >时，()()15e 55e ,011x x a a f x a a x x x '=+--=+++-->，设()()5e ,011xa g x a x x =++-->，则()()25e 1x a g x x '=-+因为0a >，故()25e 1,xay x y =-+=均为()0,∞+上的增函数，故()g x '在()0,∞+上为增函数，若50a -≥即05a <≤，则()0g x '>在()0,∞+上恒成立，故()g x 在()0,∞+上为增函数，故()()00g x g >=恒成立，故()f x 为()0,∞+上为增函数，故()()00f x f >=恒成立，故05a <≤符合，若50a -<即5a >，此时()050g a '=-<，而)1110g '=->，故存在()01x ∈，使得()00g x '=，且()00,x x ∀∈，()0g x '<即()g x 在()00,x 上为减函数，故()00,x x ∀∈，()()00g x g <=即()f x 在()00,x 上为减函数，故()()00f x f <=，与题设矛盾，当0a ≤时，设()()ln 1,0s x x x x =-+>，则()01xs x x '=>+，故()s x 在()0,∞+上为增函数，故()()00sx s >=即ln(1)0,0x x x -+>>，设()e 1,0xt x x x =-->，则()e 10xt x '=->，()t x 在()0,∞+上为增函数，故()()00t x t >=即e 10,0x x x -->>，而0a ≤，故()()5e 1ln 10xx a x x ⎡⎤----+>⎣⎦，即()()5e ln 1550xa x a x ++-+->即()0f x >，故()0f x ≥也成立，综上，5a ≤，故答案为：5a ≤.【点睛】思路点睛：不等式的恒成立，注意验证区间的端点处的函数值，如果函数值为零，则往往需要讨论导数（或二阶导数）在端点处的函数值的符号，从而得到分类讨论的标准.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数()e xf x x =.（1）求()f x 的最小值；（2）求()f x 在点()1,e 处的切线方程.【答案】（1）()min 1ef x =-（2）2e e y x =-【解析】【分析】（1）求出函数的导数后讨论其符号，结合单调性可求最小值；（2）求出函数在1x =处的导数后可求切线方程.【小问1详解】()()1e x f x x '=+，当1x <-时，()0f x '<；当1x >-时，()0f x '>，故()f x 在(),1∞--上为减函数，在()1,-+∞上为增函数，故()()min 11ef x f =-=-.【小问2详解】由（1）可得()12e f '=，而()1e f =，故切线方程为：()2e 1e 2e e y x x =-+=-，即切线方程为：2e e y x =-.16.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =-，122n n n S S S ++=+.（1）求数列{}n a 的通项公式.（2）求数列()1nn n a ⎧⎫-⋅⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）()12n n a -=--（2）42219332nn T n ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】（1）根据题设的递归关系可得212n n a a ++=-，故可得公比，从而可求通项；（2）利用错位相减法可求n T .【小问1详解】因为122n n n S S S ++=+，所以12122n n n n S S S S +++-=-，所以212n n a a ++=-，而为等比数列，故公比2q =-，故()12n n a -=--.【小问2详解】()()()1111122nnn n nnn n a ---⋅-⋅⎛⎫==- ⎪⎝⎭--，故012111111232222n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1231111112322222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，所以01213111111222222n nn T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-+-++--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2112211322332n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----=-+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故42219332nn T n ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.17.已知双曲线22:13y C x -=（1）求双曲线C 的渐近线方程；（2）已知点()0,4P 、()2,0Q ，直线PQ 与双曲线C 交于A 、B 两点，1PQ QA λ=，2PQ QB λ=，求12λλ+的值.【答案】（1）y =（2）83-【解析】【分析】（1）根据双曲线的方程可得出其渐近线方程；（2）设点1,1、2,2，将直线PQ 的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量的坐标运算结合韦达定理可求得12λλ+的值.【小问1详解】在双曲线22:13y C x -=中，1a =，b =，所以，该双曲线的渐近线方程为by x a=±=.【小问2详解】由题意可知，直线PQ 的方程为124x y+=，即24y x =-+，且()2,4PQ =- ，设点1,1、2,2，联立222433y x x y =-+⎧⎨-=⎩，可得216190x x -+=，2164190∆=-⨯>，由韦达定理可得1216x x +=，1219x x =，()112,QA x y =- ，()222,QB x y =- ，且1PQ QA λ=，2PQ QB λ=，则()()()1112222,42,2,x y x y λλ-=-=-，所以，()()1122222x x λλ-=-=，()()()()()12121212121212242422222224x x x x x x x x x x x x λλ+-+-+=+==-----++()216424819216493⨯-===--⨯+-.18.已知函数()()21ln f x mx x m x =+-∈R ，()21e 1x g x x x x=---，其中()f x 在1x =处取得极值（1）求m 的值；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）若()()nx g x f x ≤-恒成立，求实数n 的取值范围.【答案】（1）1m =-（2）增区间为()0,1，减区间为()1,+∞（3）(],1-∞【解析】【分析】（1）由题意可得()10f '=，可求出m 的值，然后检验即可；（2）利用函数的单调性与导数的关系可求得函数()f x 的增区间和减区间；（3）由参变量分离法可得出ln 1e xx n x +≤-，利用导数求出函数()ln 1e xx h x x+=-在0,+∞上的最小值，即可得出实数n 的取值范围.【小问1详解】因为()()21ln f x mx x m x =+-∈R ，则()2112f x mx x x=++'，其中0x >，因为函数()f x 在1x =处取得极值，则()1220f m +'==，解得1m =-，经检验，合乎题意.因此，1m =-.【小问2详解】由（1）可知，()21ln f x x x x=-+-，其中0x >，则()()()23222122111212x x x x x f x x x x x x--++-++=-++=='，由()0f x '=，可得1x =，列表如下：所以，函数()f x 的增区间为0,1，减区间为1,+∞.【小问3详解】()()2211e 1ln e ln 1x x g x f x x x x x x x x x ⎛⎫-=-----+-=-- ⎪⎝⎭，当0x >时，由()()e ln 1xnx g x f x x x ≤-=--，可得ln 1e xx n x+≤-，令()ln 1e xx h x x +=-，其中0x >，则()()22221ln 1ln e ln e e x x x x x x x x x h x x x x ⋅-++=-=+='，令()2e ln xp x x x =+，其中0x >，则′=2+2e +1>0，所以，函数()p x 在区间0,+∞上单调递增，因为1=e >0，11e2e21e 1e 10e ep -⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，由零点存在定理可知，存在唯一的1,1e t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得2e ln 0t t t +=，即111e ln ln tt t t t t=-=，即11e ln e ln t ttt=，令()ln q x x x =，其中1x >，则′=1+ln >0，所以，函数()q x 在1,+∞上为增函数，因为1,1e t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则e 1t >，11t >，由11e ln e ln t tt t =，可得()1etq q t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1e tt =，所以，1ln ln tt t ==-，且当0x t <<时，()0p x <，即ℎ′<0，当x t >时，()0p x >，即ℎ′>0，所以，函数ℎ的减区间为()0,t ，增区间为(),t ∞+，所以，()()min ln 111e 1tt th x h t t t t+-==-=-=，则1n ≤，所以，实数n 的取值范围是(],1-∞.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤；（2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥；（3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤；（4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.19.在必修一中，我们曾经学习过用二分法来求方程的近似解，而牛顿（Issac Newton ，1643-1727）在《流数法》一书中给出了“牛顿切线法”求方程的近似解.具体步骤如下：设r 是函数=的一个零点，任意选取0x 作为r 的初始近似值，曲线=在点0,0处的切线为1l ，设1l 与x 轴交点的横坐标为1x ，并称1x 为r 的1次近似值；曲线=在点1,1处的切线为2l ，设2l 与x 轴交点的横坐标为2x ，称2x 为r 的2次近似值.一般地，曲线=在点()()(),N n n x f x n ∈处的切线为1n l+，记1n l +与x 轴交点的横坐标为1n x +，并称1n x +为r 的1n +次近似值.不断重复以上操作，在一定精确度下，就可取n x 为方程()0f x =的近似解.现在用这种方法求函数()22f x x =-的大于零的零点r 的近似值，取02x =.（1）求1x 和2x ；（2）求n x 和1n x -的关系并证明()*N n ∈；（3()1*1N i i n x n ∑=<<+∈.【答案】（1）132x =；21712x =（2）21122n n n x x x --+=，证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题干中的1x 为r 的1次近似值和2x 为r 的2次近似值的定义即可求解；（2）求出直线n l 的方程，直接求横截距即可.（3）借助第（22n x <≤，后面再根据此不等式进行放缩得到()2211224n n x x --<-，再进行放缩得12n n x <+，利用不等式的性质和数列分组求和即可【小问1详解】()2f x x '=，()24f '=，()1:242l y x -=-，令0y =，得132x =，332f ⎛⎫= ⎪⎭'⎝，所以213:342l y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，令0y =，得21712x =，【小问2详解】由题意得，()()2111:22n n n n l y x x x x -----=-，令0y =，得21122n n n x x x --+=【小问3详解】由（2）知，2111121222n n n n n x x x x x ----⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭，所以221211444n n n x x x --⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由几何意义易知：2n x <≤，1iinx∑=<，由22nx>得，()222211121141414464424n n n nnx x x xx----⎛⎫⎛⎫=++<++=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()221164n nx x-<+，所以()()22210112222444nn n nx x x-⎛⎫-<-<<-=⎪⎝⎭，所以12n nx<<，所以21111122111212nii nnx∑=⎛⎫-⎪⎝⎭<+=+-<+-，()1*1Niinx n∑=<<+∈【点睛】关键点点睛：第（1）问的关键是对新定义的理解，然后结合所学知识进行每一个的处理即可得出，第（2）问的关键是求出切线n l的方程即可得证，第（3）问的关键是由几何意义得到2nx<≤，从而可以放缩，放缩后的类比等比数列的构造，为不等式的证明提供了关键性的处理.。
浙江省宁波市高二上学期期中数学试卷
浙江省宁波市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）直线与圆切于点，则的值为（）A . 1B . -1C . 3D . -32. （2分） (2017高二下·咸阳期末) 已知方程x2﹣4x+1=0的两根是两圆锥曲线的离心率，则这两圆锥曲线是（）A . 双曲线、椭圆B . 椭圆、抛物线C . 双曲线、抛物线D . 无法确定3. （2分）(2017·上海模拟) 一个几何体的主视图和左视图如图所示，则这个几何体的俯视图不可能是（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高二上·诸暨期中) 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（）A .B .C .D .5. （2分）已知a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题①a∥b，a∥α⇒b∥α；②a⊥b，a⊥α⇒b∥α；③a∥α，β∥α⇒a∥β；④a⊥α，β⊥α⇒a∥β，其中不正确的有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个6. （2分） (2015高二上·新疆期末) 如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，E是棱BC的中点，G是棱DD′的中点，则异面直线GB与B′E所成的角为（）A . 120°B . 90°C . 60°D . 30°7. （2分）过点P(1,1)的直线将圆形区域分成两部分，使得两部分的面积相差最大，则该直线的方程是（）A . x+y-2=0B . y-1=0C . x-y=0D . x+3y-4=08. （2分）双曲线的一条渐近线的倾斜角为，离心率为，则的最小值为（）A .B .C .D .9. （2分） (2015高二上·西宁期末) 椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）A .B .C . 2D . 410. （2分）(2020·定远模拟) 已知三棱锥的各棱长都相等，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共7题；共7分)11. （1分）(2017·丰台模拟) 双曲线的焦点坐标是________．12. （1分）已知A（1，﹣2），B（4，0），P（a，1），N（a+1，1），若四边形PABN的周长最小，则△APN的外接圆的圆心坐标是________．13. （1分）(2017·南阳模拟) 椭圆C：的上、下顶点分别为A1、A2 ，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是________．14. （1分） (2017高二下·嘉兴期末) 在正三棱柱中，各棱长均相等，与的交点为，则直线与平面所成角的大小是________．15. （1分）(2018·济南模拟) 一简单组合体的三视图如图，则该组合体的体积为________．16. （1分） (2017高二上·靖江期中) 已知双曲线 =1（a＞0，b＞0）的半焦距为c，直线l过（a，0），（0，b）两点，原点到直线l的距离为，则此双曲线的离心率等于________．17. （1分） (2017高二上·越秀期末) 经过点M（2，1）作直线l交于双曲线x2﹣ =1于A，B两点，且M为AB的中点，则直线l的方程为________．三、解答题 (共5题；共50分)18. （10分）已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0．（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；（2）设l与圆C交于不同两点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程．19. （15分） (2016高二上·桐乡期中) 如图，三棱锥P﹣ABC中，D，E分别是BC，AC的中点．PB=PC=AB=2，AC=4，BC=2 ，PA= ．（1）求证：平面ABC⊥平面PED；（2）求AC与平面PBC所成的角；（3）求平面PED与平面PAB所成锐二面角的余弦值．20. （5分）(2017高二上·黑龙江月考) 在直三棱柱中，,∠ACB=90°,Ｍ是的中点，Ｎ是的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．21. （10分）(2017·南充模拟) 已知椭圆的离心率为，两焦点之间的距离为4．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右顶点作直线交抛物线y2=4x于A，B两点，求证：OA⊥OB（O为坐标原点）．22. （10分）(2018·南宁模拟) 已知椭圆的右焦点为，过且与轴垂直的弦长为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）过作直线与椭圆交于两点，问：在轴上是否存在点，使为定值，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共7题；共7分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共5题；共50分) 18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。
浙江省宁波市高二上学期数学期中考试试卷
浙江省宁波市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分） (2018高三上·安徽月考) 命题“ ”的否定是________．2. （1分） (2018高三上·定州期末) 已知等差数列的前项和为，且，数列的前项和为，且对于任意的，则实数的取值范围为________．3. （1分） (2018高二上·鄂尔多斯月考) 抛物线的准线方程为 ________.4. （1分） (2016高二上·莆田期中) 命题“若a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆命题是________．5. （1分）已知点F1（﹣， 0），F2（， 0），动点P满足|PF2|﹣|PF1|=2，当点P的纵坐标为时，点P到坐标原点的距离为________6. （1分）(2017高一下·长春期末) 若等比数列{an}的各项均为正数，且a7a11+a8a10=2e4 ，lna1+lna2+lna3+…+lna17=________．7. （1分）(2017·黑龙江模拟) 已知条件p：log2（1﹣x）＜0，条件q：x＞a，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．8. （1分） (2017高二上·广东月考) 已知、分别是椭圆的左、右焦点，为直线上的点，是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为________．9. （1分）等比数列{an}的公比q=﹣， a6=1，则S6=________10. （1分） (2015高二上·安阳期末) 已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y），若点M到抛物线焦点的距离为3，则|OM|=________．11. （1分）已知点P是双曲线C：（a>1）上的动点，点M为圆O：x2+x2=1上的动点，且，若|PM|的最小值为，则双曲线C的离心率为________.12. （1分） (2017高一下·河北期末) 已知数列{an}满足a1=1，an+1= （n∈N*），若bn+1=（n﹣2λ）•（ +1）（n∈N*），b1=﹣λ，且数列{bn}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是________13. （1分）(2017·天津) 在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若 =2 ，=λ ﹣（λ∈R），且 =﹣4，则λ的值为________．14. （1分）(2017·西宁模拟) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，且满足：a1=1，a2=2，Sn+1=an+2﹣an+1（n∈N*），则Sn=________．二、解答题 (共6题；共45分)15. （5分） (2017高三上·襄阳期中) 已知命题P：函数的定义域为R；命题q：∃x∈R，使不等式a＞e2x﹣ex成立；命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．16. （10分） (2018高一下·六安期末) 数列满足，，为其前项和.数列为等差数列，且满足， .（1）求数列，的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明： .17. （10分）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴的距离的差都是1．（1）求曲线C的方程；（2）若以F为圆心的圆与直线4x+3y+1=0相切，过点F任作直线l交曲线C于A，B两点，由点A，B分别向圆F引一条切线，切点分别为P，Q，记α=∠PAF，β=∠QBF，求证：sinα+sinβ是定值．18. （5分）数列{an}满足， n=1，2，3，…，{an}的前n项和记为Sn ．（Ⅰ）当a1=2时，a2等于多少（Ⅱ）数列{an}是否可能为等比数列？证明你的推断；19. （5分） (2016高二上·诸暨期中) 如图，已知圆G：x2﹣x+y2=0，经过抛物线y2=2px的焦点，过点（m，0）（m＜0）倾斜角为的直线l交抛物线于C，D两点．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若焦点F在以线段CD为直径的圆E的外部，求m的取值范围．20. （10分）函数的最大值为an ，最小值为bn ，且．（1）求函数{cn}的通项公式；（2）若数列{dn}的前n项和为Sn，且满足Sn+dn=1．设数列{cn•dn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜5．参考答案一、填空题 (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共45分)15-1、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、。
浙江省宁波市高二上学期期中数学试卷
浙江省宁波市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）实数x的绝对值不大于2，则可用不等式表示为（）A . |x|＞2B . |x|≥2C . |x|＜2D . |x|≤22. （2分）数列中，，则使前n项和取得最小值的n的值为（）A . 52B . 53C . 54D . 52或533. （2分）已知函数f（x+1）是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数x1 ， x2不等式（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0恒成立，则不等式f（2x﹣3）＞0的解集为（）A . （0，+∞）B . （1，+∞）C . （2，+∞）D . （﹣∞，2）4. （2分）等比数列满足，且，则当时，（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高三上·山西期中) 已知x，y满足，z=2x+y的最大值为m，若正数a，b 满足a+b=m，则的最小值为（）A . 3B .C . 2D .6. （2分） (2016高一下·抚州期中) 若Sn是等差数列{an}的前n项和，a2+a10=4，则S11的值为（）A . 12B . 18C . 22D . 447. （2分） (2019高一上·长春月考) 已知函数，，则该函数的值域为（）A .B .C .D .8. （2分）如图，已知为内部（包括边界）的动点，若目标函数仅在点B处取得最大值，则实数k的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高二上·晋江期中) 利用基本不等式求最值，下列各式运用正确的是（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高二上·开封期中) 已知等差数列的前项和为，若，则（）A .B .C .D .11. （2分）已知实数x，y满足，则的最大值为（）A . 1B .C .D . 212. （2分）下列函数中，最小值为4的有多少个？（）① ② （0＜x＜π）③y=ex+4e﹣x④y=log3x+4logx3．A . 4B . 3C . 2D . 1二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）数列{an}中，a1=1，an+1=2an+1，则通项an=________14. （1分） (2018高三上·静安期末) 设函数，若存在同时满足以下条件：①对任意的，都有成立；② ，则的取值范围是________．15. （1分） (2017高一下·正定期中) 对于数列{an}，定义为{an}的“优值”，现在已知某数列{an}的“优值” ，记数列{an﹣kn}的前n项和为Sn ，若Sn≤S5对任意的n∈N+恒成立，则实数k的最大值为________．16. （1分） (2012·江苏理) 已知正数a，b，c满足：5c﹣3a≤b≤4c﹣a，clnb≥a+clnc，则的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣12＜0}，集合B={x|x2+2x﹣8＞0}，集合C={x|x2﹣4ax+3a2＜0，a≠0}，（Ⅰ）求A∩（CRB）；（Ⅱ）若C⊇（A∩B），试确定实数a的取值范围．18. （10分） (2016高一上·潍坊期末) 2016年9月，第22届鲁台经贸洽谈会在潍坊鲁台会展中心举行，在会展期间某展销商销售一种商品，根据市场调查，每件商品售价x（元）与销量t（万元）之间的函数关系如图所示，又知供货价格与销量呈反比，比例系数为20．（注：每件产品利润=售价﹣供货价格）（1）求售价15元时的销量及此时的供货价格；（2）当销售价格为多少时总利润最大，并求出最大利润．19. （5分）(2017·莆田模拟) 数列{an}是公差为d（d≠0）的等差数列，Sn为其前n项和，a1 ， a2 ， a5成等比数列．（Ⅰ）证明S1 ， S3 ， S9成等比数列；（Ⅱ）设a1=1，求的值．20. （10分） (2016高一上·定州期中) 已知函数f（x）=ax2+2x﹣2﹣a（a≤0），（1）若a=﹣1，求函数的零点；（2）若函数在区间（0，1]上恰有一个零点，求a的取值范围．21. （10分） (2015高三上·盘山期末) 已知各项均为正数的数列{an}满足：Sn为数列{an}的前n项和，且2，an ， Sn成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若cn=n•an，求数列{cn}的前n项和Tn．22. （10分）已知数列{an}中，点（an ， an+1）在直线y=x+2上，且首项a1是方程3x2﹣4x+1=0的整数解．（1）求数列{an}的通项公式；（2）数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}中，b1=a1，b2=a2，数列{bn}的前n项和为Tn，当Tn≤Sn时，请直接写出n的值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
浙江省宁波三锋联盟2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷
的方程化为
x
-
y
+
3 2
=
0
，进而根据平行线间的距离公式计算求解即可.
【详解】直线
l2
：
2x
-
2
y
+
3
=
0
化为
x
-
y
+
3 2
=
0
，
又直线 l1 ： x - y +1 = 0 ，所以 l1//l2 ，
l1
l2
所以直线 与直线 的距离是
1
-
3 2
=
12 + (-1)2
2. 4
故选：A.
3．B
【分析】根据曲线表示椭圆，可求得 t 的范围，根据充分、必要条件的定义，即可得答案.
2c, PF1
=
2a
- 2c,QF1
=
3 2
(a
- c),QF2
=
1 2
a
+
3 2
c
，
在 VPF1F2 和 VQF1F2 中，由余弦定理可得：
PF12 + F1F22 - PF22 2PF1 ´ F1F2
+
QF12 + F1F22 - QF22 2QF1 ´ F1F2
=0，
代值整理可得：
3(a - c) + 2(a - 2c) = 0 ，
故选：AB 10．ABD 【分析】根据圆心距与半径的关系可判断两圆相交，即可判断 A，根据两圆方程相减即可 判断 B，根据弦长公式即可求解 C，根据点点距离公式即可判断 D.
【详解】由题意可知 O1 (-1, 0), r = 1， O2 (1,1), R = 2 ，
浙江省宁波市金兰教育合作组织2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题含解析
2023学年第一学期宁波金兰教育合作组织期中联考高二年级数学学科试题（答案在最后）本卷共6页，满分150分，考试时间120分钟.选择题部分（共60分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线10x ++=的倾斜角是（）A.π6B.π3 C.2π3D.5π6【答案】D 【解析】【分析】通过直线方程求出斜率，进而求出直线的倾斜角.【详解】由题意，直线的斜率为3k =-，设直线的倾斜角为()0παα≤<，即5πtan 36αα=-⇒=.故选：D.2.如图所示，空间四边形OABC 中，OA a = ，OB b = ，OC c =，点M 在OA 上，且，M 为OA 中点，N为BC 中点，则MN等于（）A.111222a b c-++ B.111222a b c ++C.111222a b c +- D.111222a b c -+ 【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量的加减运算，即可求得答案.【详解】由题意得：11111()22222MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++，故选：A .3.抛物线()20y ax a =¹的焦点坐标是（）A.,04a ⎛⎫⎪⎝⎭ B.1,04a ⎛⎫⎪⎝⎭C.0,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.10,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】利用抛物线的标准方程计算即可.【详解】易知221122y ax x y y a a =⇒==⨯，故其焦点在纵轴上，坐标为10,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：D4.已知P 是椭圆22154x y +=在第一象限上的点，且以点P 及焦点1F ，2F 为顶点的三角形面积等于1，则点P 的坐标为（）A.,12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ B.,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C.151,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D.,12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】根据条件设0000(,)(0,0)P x y x y >>，再根据条件可得01y =，代入22154x y +=即可求解出结果.【详解】设0000(,)(0,0)P x y x y >>，由题知，1c =，所以1200122PF F S c y y =⨯⨯= ，又121PF F S = ，得到01y =，代入22154x y +=，解得02x =，所以,12P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,故选：B.5.已知空间向量(3a =，0，4)，(3b =- ，2，5)，则向量b在向量a上的投影向量是（）A.11(325-，2，5) B.11(338-，2，5) C.11(325，0，4) D.11(338，0，4)【答案】C 【解析】【分析】由向量b 在向量a上的投影向量为cos ,ab a ba，计算即可求出答案.【详解】解：向量(3a =，0，4)，(3b =-，2，5)，则||5a =，b = ，·11a b = ，所以向量b 在向量a上的投影向量为()·1111cos ,3,0,452525a a b a a b a b b a a aa b ====.故选：C.6.如果方程221x y p q +=-表示双曲线，那么下列椭圆中，与这个双曲线共焦点的是A.2212x y q p q +=+B.2212x y q p p +=-+C.2212x y p q q +=+D.2212x y p q p+=-+【答案】D 【解析】【详解】由方程221(0,0)x y p q p q+=<<-表示双曲线，可得，A ，C 中方程不表示椭圆，不合题意；B中c =，不合题意；D中的c =c ，符合题意．故选：D.7.定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，直线11A C 与1AD 之间的距离是（）A.B.3C.1D.3【答案】B 【解析】【分析】建系，求利用空间向量设两条直线上的点为,M N ，根据题意结合空间中的两点间距离公式运算求解.【详解】如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则()()()()1112,0,0,0,0,2,2,0,2,0,2,2A D A C ，可得()()1112,0,2,2,2,0AD A C -=-=uuu r uuu u r，设()()1111000111,,,,,,,AM AD A N A C M x y z N x y z λμ==uuu r uuu r uuu r uuu u r ，则()002,0,AM x z -=uuu r，可得0002202x y z λλ-=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，即0002202x y z λλ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，故()22,0,2M λλ-，同理可得：()22,2,2N μμ-，则MN ===≥当且仅当2λμ=时，等号成立，33==≥，当且仅当23λ=时，等号成立，故3MN ≥，当且仅当223λμ==，即111121,33AM AD A N A C ==uuu r uuu r uuu r uuu u r 时等号成立，即直线1AD 与11A C 之间的距离是3.故选：B【点睛】方法点睛：利用空间直角坐标系处理问题的基本步骤：（1）建立适合的坐标系并标点；（2）将图形关系转化为数量关系；（3）代入相应的公式分析运算.8.如图1，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.许多人从纯几何的角度对这个问题进行研究，其中比利时数学家Germinal dandelion （1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面切于E 、F ，在截口曲线上任取一点A ，过A 作圆锥的母线，分别与两个球切于C 、B ，由球和圆的几何性质，可以知道，AE AC =，AFAB =，于是AE AF AB AC BC +=+=，由B 、C 的产生方法可知，它们之间的距离BC 是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以E 、F 为焦点的椭圆.如图2，一个半径为1的球放在桌面上，桌面上方有一点光源P ，则球在桌面上的投影是椭圆，已知12A A 是椭圆的长轴，1PA 垂直于桌面且与球相切，13PA =，则椭圆的离心率为（）A.12B.32C.23D.35【答案】A 【解析】【分析】图2中，设球心为O ，球O 与1PA 相切于点E ，可得tan OPE ∠，利用二倍角正切公式可得12tan A PA ∠，由此可得a ，由1A F a c =-可求得c ，得出离心率.【详解】图2中，设球心为O ，球O 与1PA 相切于点E ，作出截面如图所示，由题意知：1111,1,312OE OF EA OF PE PA EA =====-=-=，12tan OE OPE PE ∴∠==，12232tan 1tan tan(2)14tan 114OPE A PA OPE OPE ∠∴∠=∠===-∠-,又13PA =，11212tan 4A PA A A PA ∠=∴=，则2a =，又11A F OE a c ==-=，则1c =，则椭圆的离心率为12c e a ==.故选：A.二、选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9.如图，过焦点F 的直线与抛物线()220y px p =>交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则下列说法正确的是（）A.12AB x x p=++ B.90MON ∠=︒C.以弦AB 为直径的圆与准线相切 D.A ，O ，N 三点共线【答案】ACD 【解析】【分析】AB.由抛物线的定义判断；C.设过焦点F 的直线方程为2px ty =+，与抛物线联立，求得圆心和半径，利用直线与圆的位置关系判断；D ，设1112:OA y p l y x x x y ==，2,2p N y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由212y y p ⋅=-判断.【详解】解：设过焦点F 的直线方程为：2px ty =+，()()1122,,,A x y B x y ，由222p x ty y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得2220y pty p --=，由韦达定理得221212122,,2y y pt y y p x x pt p +=⋅=-+=+，则以AB 为直径的圆的圆心为2,2p pt pt ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由抛物线的定义得121222p pAB AM BN x x x x p =+=+++=++，则半径为()2121122r AB x x P pt p ==++=+，圆心到准线的距离为2222p p d pt pt p ⎛⎫=+--=+ ⎪⎝⎭，所以以弦AB 为直径的圆与准线相切，设1112:OA y p l y x x x y ==，2,2p N y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为212y y p ⋅=-，所以2,2p N y ⎛⎫- ⎪⎝⎭在直线OA 上，所以A ，O ，N 三点共线，由抛物线的定义得,AF AM BF BN ==，如图所示：则,AFM AMF MFO BFN BNF NFO ∠=∠=∠∠=∠=∠，90MFO NFO MFN ∠+∠=∠= ，则90MON ∠>︒，故选：ACD10.已知直线1l ：()220ax a y -+-=，2l ：()2320a x ay -++=，则下列说法正确的是（）A.1l 恒过点()1,1-- B.若12l l ∥，则1a =±C.若12l l ⊥，则0a =或4a =- D.若2l 不经过第三象限，则a<0.【答案】AC 【解析】【分析】综合运用直线的点斜式，两直线平行、垂直的充要条件进行判断即可.【详解】A 选项：()(22)0a x y y --+=,即0220x y y -=⎧⎨+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=-⎩，所以直线1l 过定点(1,1)--，故选项A 正确；B 选项：若12l l ∥，则()()3220a a a a ⋅++-=，解得1a =±，当1a =时，1l ：320x y --=，2l ：320x y -++=，两直线重合，舍去；当1a =-时，1l ：20x y ---=，2l ：3320x y --+=，两直线平行，符合题意.所以1a =-，故选项B 错误；C 选项：若12l l ⊥，则()()2320a a a a --+=，解得0a =或者4a =-，故选项C 正确；D 选项：当0a =时，直线2l ：1x =不过第三象限，满足题意；当0a ≠时，直线2l ：2233a y x a a-=-不过第三象限，则203203aaa-⎧≤⎪⎪⎨-⎪≥⎪⎩，解得a<0，综上0a ≤，故选项D 错误；故选：AC.11.若点(),P x y 是圆C ：22(2)(1)1x y -+-=上的动点，则下列说法正确的是（）A.max 43()yx =B.min 1()y x -=-C.22max (1)3x y ⎡⎤+-=⎣⎦D.若点Q 是直线3450x y ++=上的动点，则min 2PQ =【答案】ABD【解析】【分析】A 选项令yk x=，则0kx y -=，再利用直线与圆有交点求得最值；B 选项令y x b -=，则0x y b -+=，再利用直线与圆有交点求得最值；C 选项根据P 到点(0,1)距离的最大值，即可求出22(1)x y +-的最大值；D 选项根据当PQ 与直线3450x y ++=垂直时，PQ 取得最小值进行求解；【详解】圆C ：22(2)(1)1x y -+-=，圆心(2,1)C ，半径1r =对于A 选项，令yk x=，则0kx y -=.因为点P 在圆上，所以圆C ：22(2)(1)1x y -+-=与直线0kx y -=相交或相切，故圆心C 到直线的距离1d r ≤1≤，解得403k ≤≤，故A 正确；对于B 选项，令y x b -=，则0x y b -+=.因为点P 在圆上，所以圆C ：22(2)(1)1x y -+-=与直线0x y b -+=相交或相切，故圆心C 到直线的距离2d r ≤1≤，解得11b ≤≤，故B 正确；对于C 选项，22(1)x y +-的几何意义是点P 到点(0,1)M 的距离的平方，又max||3PMCM r =+=，所以2max9PM=，故C 错误；对于D 选项，圆心C 到直线3450x y ++=的距离43d ==，当PQ 与直线3450x y ++=垂直时，PQ 能取得最小值，4min 2PQ d r =-=，故D 正确.故选：ABD12.如图，AB 是底面圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面且1PO OB ==，BC =E 在线段PB 上，则下列说法正确的是（）A.当E 为PB 中点时，PB ⊥平面CEOB.记直线CE 与平面BOP 所成角为θ，则tan 2θ⎡∈⎣C.存在点E ，使得平面CEO 与平面BEC 夹角为π6D.CE OE +的最小值为622【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解.【详解】因为1PO OB ==，2BC =OB OC ⊥，又因为PO 垂直于圆O 所在的平面，故以O 为坐标原点，以,,OC OB OP分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0)P C B ，对于A ，因为E 为PB 中点，所以11(0,,22E ，11(0,,(1,0,0),(0,1,1)22OE OC PB ===-，所以110,022OE PB OC PB ⋅=-=⋅=，即,OE PB OC PB ⊥⊥，又,,OE OC O OE OC ⋂=⊂平面CEO ，所以PB ⊥平面CEO ，选项A 正确；对于B ，因为点E 在线段PB 上，设,[0,1]PE PB λλ=∈ ，则(0,,1)E λλ-，(1,,1)CE λλ=--，平面BOP 的一个法向量为(1,0,0)n =，所以sin cos ,CE n θ=<>22221126,231(1)22λλλλ-=++--+⎣⎦，所以tan 2θ⎡∈⎣，故选项B 正确；对于C ，设平面CEO 的一个法向量为1111(,,)n x y z = ，则111110(1)0n OC x n OE y z λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令11y λ=-，则1z λ=-，所以1(0,1,)n λλ=--；设平面BEC 的一个法向量为2222(,,)n x y z = ，(1,1,0),,(0,1,1)BC BE PB PB =-=- ，则22222200n BC x y n PB y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令21y =，则221x z ==，所以2(1,1,1)n = ；所以12cos ,n n <>= [0,1]λ∈，所以12cos ,0,3n n ⎡<>∈⎢⎣⎦，而πcos 623=>，所以不存在点E ，使得平面CEO 与平面BEC 夹角为π6，故选项C 错误；对于D，CE OE CE OE +=+= 因为[0,1]λ∈，所以当12λ=时，CE OE +2+=，故选项D 正确.故选：ABD.非选择题部分（共90分）三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知双曲线的方程是22169144x y -=-，则该双曲线的渐近线方程为______.【答案】43y x =±【解析】【分析】先化方程为标准方程，利用渐近线求法直接计算即可.【详解】由22221691441169y x x y -=-⇒-=，令22401693y x y x -=⇒=±，即双曲线的渐近线方程为43y x =±.故答案为：43y x =±.14.已知点(3,4)A -，(2,2)B ，直线20mx y m +++=与线段AB 相交，则m 的范围为___________.【答案】[3，)(+∞-∞⋃，4]3-【解析】【分析】先求出PA 的斜率和PB 的斜率，可得m 的范围.【详解】解：直线20mx y m +++=，即(1)20m x y +++=，它经过定点(1,2)P --，斜率为m -，PA 的斜率为42331+=--+，PB 的斜率为224213+=+， 直线20mx y m +++=与线段AB 相交，3m ∴-- 或43m - ，求得3m 或43m - ，故答案为：[3，)(+∞-∞⋃，4]3-.15.如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上，并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m .经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处（OC 为河岸），4tan 3BCO ∠=，则新桥BC 的长度为______.【答案】150m【解析】【分析】建立平面直角坐标系，得到(0,60)A ，(170,0)C ，设(),B a b ，根据条件建立关系式0417*******b a b a -⎧=-⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，从而得到(80,120)B ，即可求解.【详解】如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，由条件知，(0,60)A ，(170,0)C ，因为直线BC 的斜率为4tan 3BC k BCO =-∠=-，又AB BC ⊥，所以直线AB 的斜率34AB k =，设点B 的坐标为(),a b ，则041703BC b k a -==--，60304AB b k a -==-，联立04170360304b a b a -⎧=-⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，解得80,120==a b ，故(80,120)B 所以，22(17080)(0120)150BC =-+-=，故答案为：150m .16.已知椭圆22164x y +=，过点()0,1E 且斜率为k 的直线l 与x 轴相交于点M ，与椭圆相交于A ，B 两点.若MA BE = ，则k 的值为______.【答案】63±【解析】【分析】设直线:1,0l y kx k =+≠，()()1122,,,A x y B x y ，联立2212312y kx x y =+⎧⎨+=⎩，消去y ，利用韦达定理以及MA BE =的坐标关系列方程求解即可.【详解】设直线:1,0l y kx k =+≠，()()1122,,,A x y B x y ，则1,0M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，联立2212312y kx x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 得()2223690k x kx ++-=，()223636230k k ∴∆=++>，12122269,2323k x x x x k k --∴+==++，又()11221,,,1MA BE x y x y k ⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭，MA BE = ，12121,1x x y y k ∴+=-=-，即12121,1x x y y k+=-+=，26123k k k -∴=-+，解得3k =±.故答案为：3±四、解答题：（本题共6个小题，其中17题10分，18至22题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知ABC 的顶点()5,1A ，边AB 上的中线CM 所在直线方程为250x y --=，边AC 上的高BH 所在直线过点()1,2-，且直线BH 的一个方向向量为()2,1--.（1）求顶点C 的坐标；（2）求直线BC 的方程.【答案】（1）()4,3（2）6590x y --=【解析】【分析】（1）先根据方向向量及两直线垂直求斜率再根据点斜式写出直线，最后求交点即可；（2）先根据点在线上得出直线方程，再求交点，最后根据两点式写出直线方程化简为一般式即得.【小问1详解】因为12BH k =，由AC BH ⊥，则2AC k =-，()5,1A 直线AC 的方程为()5x -y-1=-2，即2110x y +-=.则2110250x y x y +-=⎧⎨--=⎩，得顶点C 的坐标为()4,3.【小问2详解】设点(),B x y ，则51,22x y M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，M 在CM 上，即5125022x y ++⨯--=，即210x y --=BH 的方程为()1212y x +=-，则210250x y x y --=⎧⎨--=⎩，得B 的坐标为()1,3--，又()4,3C ，所以直线BC 的方程为333141y x ++=++,即6590x y --=.18.如图，在平行六面体ABCD A B C D -''''中，底面ABCD 是边长为2的菱形，侧棱1AA '=，120ABC A AD A AB ∠∠∠''︒===.（1）求AC '的长；（2）求直线BD '与AC 所成角的余弦值.【答案】（1）3（2）15【解析】【分析】利用空间向量基底法，结合数量积运算法则即可得解.【小问1详解】因为底面ABCD 是边长为2的菱形，侧棱1AA '=，120ABC A AD A AB ∠∠∠''︒===，所以224AB AD == ，21AA '= ，cos602AB AD AB AD =︒=⋅ ，cos1201AB AA AB AA ''=︒=-⋅ ，cos1201AD AA AD AA ''=︒=-⋅ ，又AC AB AD AA =+'+' ，所以AC '===3=.【小问2详解】以{},,AB AD AA ' 作为空间的一个基底，则BD BA AD DD AB AD AA '=++='-'++ ，AC AB AD =+ ，所以()()BD AC AB AD AA AB AD ⋅=-++''+ 22AB AB AD AD AB AD AA AB AA AD'=--⋅+⋅+++'⋅⋅ 4411=-+--2=-，BD ='===AC ===所以cos ,15BD AC BD AC BD AC '''⋅===-⋅ ，所以直线BD'与AC 所成角的余弦值为15.19.已知圆C 的圆心为()2,1-，且圆C ______.在下列所给的三个条件中任选一个，填在直线上，并完成解答（注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）①与直线34170x y ++=相切；②与圆M ：()()22244x y -+-=相外切；③经过直线320x y ++=与直线3140x y -+=的交点.（1）求圆C 的方程；（2）圆N ：()()2220x m y m m -+=>，是否存在实数m ，使得圆N 与圆C 公共弦的长度为2，若存在，求出实数m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）()()22219x y ++-=（2）存在，12m -=【解析】【分析】（1）分别根据直线与圆相切、圆与圆外切、两点间距离公式求出半径即可；（2）根据圆与圆相交的条件和圆的弦长公式即可求解.【小问1详解】设圆C 的半径为r ，若选条件①，圆C 与直线34170x y ++=相切，所以圆心C 到直线34170x y ++=的距离是圆C 的半径，即641735r -++==，所以圆C 的方程为()()22219x y ++-=.若选条件②，与圆M ：()()22244x y -+-=相外切，圆M 的圆心为()2,4，半径为2，所以25r +==，所以3r =，所以圆C 的方程为()()22219x y ++-=.若选条件③，经过直线320x y ++=与直线3140x y -+=的交点，由3203140x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，得24x y =-⎧⎨=⎩，所以413r =-=，所以圆C 的方程为()()22219x y ++-=.【小问2详解】圆N ：()()2220x m y m m -+=>的圆心为()0m ,，半径为m ，两个圆有公共弦，则33m CN m -<<+，即33m m -<<+，解得25m >，由()()()22222219x y x m y m⎧++-=⎪⎨-+=⎪⎩得两圆公共弦所在直线方程为()220m x y +--=又两圆的公共弦长为2，则圆心C 到公共弦所在直线的距离为d ==2=，解得12m-=或12m -=，又25m >，所以12m =.经检验符合题意.故存在实数1012m -=，使得圆N 与圆C 公共弦的长度为2.20.如图，己知在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，点Q 在棱PA 上，且44PA PQ ==，底面为直角梯形，90CDA BAD ∠=∠=︒，2,1,,AB CD AD M N===分别是,PD PB 的中点．（1）求证：//MQ 平面PCB ；（2）求直线BC 与平面MCN 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）36【解析】【分析】（1）建立空间坐标系，计算各点坐标，计算平面PCB 的法向量，由00MQ n ⋅= ，即可证明；（2）求出直线BC 的方向向量与平面MCN 的法向量，由线面角的公式代入即可得出答案.【小问1详解】以A 为原点，以,,AD AB AP 分别为,,x y z 建立空间直角坐标系O xyz -，由2,1,AB CD AD ===44PA PQ ==，,M N 分别是,PD PB 的中点，可得：()()))()()0,0,0,0,2,0,,,0,0,4,0,0,3,,0,2,2A B C D P Q M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭()0,1,2N，∴)()1,0,0,2,4BC PB =-=-，,0,12MQ ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭设平面的PBC 的法向量为()0111,,n x y z = ，则有：011110002400n BC y y z n PB ⎧⋅=-=⎪⇒⎨-=⋅=⎪⎪⎩⎩ ，令11z =，则)11022,1x y n ==⇒= ，∴)02,102MQ n ⎛⎫⋅=-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭，又MQ ⊄平面PCB ，∴MQ //平面PCB .【小问2详解】设平面的MCN 的法向量为(),,n x y z =，又(),1,2,22CM CN ⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭则有：0202020n CM x y z n CN z ⎧⎧⋅=--+=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩+=⎩，令1z =，则1x y ==，所以)n =又)1,0BC =- ，设直线BC 与平面MCN 所成角为θ，∴sin cos 6n BC n BC n BC θ⋅=⋅==⋅ ，∴求直线BC 与平面MCN所成的角的正弦值为6.21.直线y kx b =+与椭圆2214x y +=交于,A B 两点，记AOB 的面积为S .（1）当0k =，122b <<时，求S 的取值范围；（2）当43AB =，3S =时，求直线AB 的方程.【答案】（1）,12S ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦（2）y =+或y =+或y =或y =-【解析】【分析】（1）联立方程求出,A B 坐标，表示出S 并求取值范围即可；（2）联立方程，消元后借助韦达定理，弦长公式，三角形面积公式求解即可.【小问1详解】设点()1,A x b ，()2,B x b ，由2214x y y b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得1,2x =±，所以12AB x x =-=所以122S b =⨯==因为122b <<，所以21344b <<，故当212b =时，max 1S =，所以,12S ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.【小问2详解】设点()11,A x y ，()22,B x y ，由2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()222148410k x kbx b +++-=，()22Δ16140k b =+->，122814kb x x k +=-+，()21224114b x x k-=+，所以12AB x =-=，又点O 到直线AB的距离d =，由43AB =，223S =，得d =，所以()2221b k =+，43AB ==所以22k =，即k =b =所以直线AB的方程为y=+或y =+或y=或y =-22.已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>与直线l ：b y kx m k a ⎛⎫=+≠± ⎪⎝⎭有唯一的公共点M ，过点M 且与l 垂直的直线分别交x 轴、y 轴与(),0A x ，()0,B y 两点.点P 的坐标为(),x y ，当M 点的坐标为()4--时，P点坐标为()5--.（1）求双曲线的标准方程；（2）当点M 运动时，求P 点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.【答案】（1）221416x y -=（2）点P 的轨迹方程为()221010025x y y -=≠，轨迹是焦点在x 轴上，实轴长为20，虚轴长为10的双曲线（去掉两个顶点）.【解析】【分析】（1）根据直线和双曲线相切求出a,b 即可写出双曲线的标准方程；（2）相关点法求出P 点的轨迹方程即可.【小问1详解】设AB：(14y x k +=-+()4A k --，220,4B k ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，2244P k k ⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭445k k ⎧--=-⎪⎨--=-⎪⎩，可得k =又因为直线l ：y kx m =+过M ，则4m =，所以l：4y =+，又因为l与双曲线相切，所以222241y x y ab ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩，()22222228160b a x x a a b ----=，2280b a -≠，且Δ0=，即()()()222222248160b a a a b -+-+=，即2222816b a a b -=，（1）又因为点M 在双曲线上，所以228161a b-=，（2）由（1）（2）式可得24a =，216b =所以双曲线的标准方程为221416x y -=【小问2详解】221416y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，()()()222421602k x kmx m k ---+=≠±M 是双曲线与直线l 的唯一公共点，所以()()222(2)44160km k m -+-+=，即()2244m k =-，（3）解得224,44km m M k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，即416,k M m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，其中0km ≠于是过点M 且与l 垂直的直线为1614k y x m k m ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，可得20,0k A m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，200,B m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2020,k P m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以2020k x m y m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩将（3）式代入可得：22222224004001600410010044k m x y m m m ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭即22100125x y -=，其中0y ≠，所以，点P 的轨迹方程为()221010025x y y -=≠，轨迹是焦点在x 轴上，实轴长为20，虚轴长为10的双曲线（去掉两个顶点）.。
2023-2024学年浙江省宁波市余姚中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省宁波市余姚中学高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．在平面直角坐标系中，斜率为√3的直线倾斜角为（ ） A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°2．如图，空间四边形OABC 中，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，点M 在OA →上，且OM ＝2MA ，点N 为BC 中点，则MN →=（ ）A ．12a →−23b →+12c →B ．−23a →+12b →+12c →C ．12a →+12b →−12c →D ．23a →+23b →−12c →3．已知向量a →、b →是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c →在直线l 上，则c →•a →=0，且c →•b →=0是l ⊥α的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．从分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片中，无放回地随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是5的倍数的概率为（ ） A ．13B ．25C ．35D ．155．美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的13，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为2cm ，五眼中一眼的宽度为1cm ，如图中提供的直线AB 近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（ ）A．1.8cm B．2.5cm C．3.2cm D．3.9cm6．已知函数y＝xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y＝f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．7．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）A．平均数为3，中位数为2B．中位数为3，众数为2C．平均数为2，方差为2.4D．中位数为3，方差为2.88．过直线3x+4y+12＝0上一点P作圆C：x2+y2﹣2x＝0的切线，切点为A，B，则四边形P ACB的面积的最小值为（）A．√6B．2√2C．3D．2√3二、多选题（本大题共4小题，共20.0分．在每小题有多项符合题目要求）9．已知圆O 1：(x −1)2+y 2=4和圆O 2：x 2+(y −1)2=2的交点为A ，B ，则（ ） A ．两圆的圆心距|O 1O 2|＝2 B ．直线AB 的方程为x ﹣y +1＝0C ．圆O 2上存在两点P 和Q 使得|PQ |＞|AB |D ．圆O 1上的点到直线AB 的最大距离为2+√210．抛掷一黄一白两枚质地均匀的骰子，用a 表示黄色骰子朝上的点数，b 表示白色骰子朝上的点数，用（a ，b ）表示一次试验的结果，该试验的样本空间为Ω，事件A ＝“关于x 的方程2x 2﹣2（a +b ）x +5（a +b ）＝0无实根”，事件B ＝“a ＝4”，事件C ＝“b ＜4”，事件D ＝“ab ＞20”则（ ） A ．A 与B 互斥 B ．A 与D 对立 C ．B 与C 相互独立D ．B 与D 相互独立11．某短视频平台以讲故事，赞家乡，聊美食，展才艺等形式展示了丰富多彩的新时代农村生活，吸引了众多粉丝，该平台通过直播带货把家乡的农产品推销到全国各地，从而推进了“新时代乡村振兴”．从平台的所有主播中，随机选取300人进行调查，其中青年人，中年人，其他人群三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段主播的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列说法正确的有（ ）A ．该平台女性主播占比的估计值为0.4B ．从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为0.7C ．按年龄段把所调查的主播分为三层，用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取6名D ．从所调查的主播中，随机选取一位做为幸运主播，已知该幸运主播是青年人的条件下，又是女性的概率为0.612．如图，棱长为6的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点M 、N 满足AM →=λAC 1→，CN →=μCD →，其中λ、μ∈（0，1），点P 是正方体表面上一动点，下列说法正确的是（ ）A ．当λ=13时，DM ∥平面CB 1D 1B ．当μ=12时，若B 1P ∥平面A 1NC 1，则|B 1P |的最大值为3√5C ．当λ=μ=12时，若PM ⊥D 1N ，则点P 的轨迹长度为12+6√5D ．过A 、M 、N 三点作正方体的截面，截面图形可以为矩形 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．若直线x +ay ＝0与直线（a +1）x +2y +a ﹣2＝0平行，则a ＝ ．14．点A （1，2，1），B （3，3，2），C （1，4，3），若D 在线段AB 上，且满足CD ⊥AB ，则点D 的坐标为 ．15．已知函数f （x ）＝e x +1，g （x ）＝lnx +1，其中e 是自然对数的底数．设直线y ＝t （t ＞0）与曲线y ＝f （x ）与y ＝g （x ）分别交于A （x 1，f （x 1）），B （x 2，g （x 2））两点，若对任意t ＞0，均有x 2﹣x 1＞a 成立，则a 的取值范围为 ．16．已知函数f(x)={xe x+e −e 2，x ≤0−x 2−14，x ＞0，点M ，N 是函数y ＝f （x ）图象上不同的两个点，设O 为坐标原点，则tan ∠MON 的取值范围是 ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛；从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]得到如图所示的频率分布直方图． （Ⅰ）求频率分布直方图中a 的值； （Ⅱ）求样本成绩的第75百分位数；（Ⅲ）已知落在[50，60）的平均成绩是51，方差是7，落在[60，70）的平均成绩为63，方差是4，求两组成绩的总平均数z 和总方差s 2．18．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，平面P AB ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，P A ＝BC ＝3，AB＝AD＝2，PB=√13．E为PD中点，点F在PC上，且PC＝3FC．（1）求证：AB⊥平面P AD；（2）求二面角F﹣AE﹣D的余弦值；（3）线段AC上是否存在点Q，使得DQ∥平面F AE？说明理由．19．（12分）如图，公路AM、AN围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tanα＝﹣1，在该块土地中P 处有一小型建筑，经测量，它到公路AM、AN的距离分别为1km，√2km，现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园．（1）以A为坐标原点建立适当的平面直角坐标系，并求出P点的坐标；（2）三条公路围成的工业园区ABC的面积恰为4km2，求公路BC所在直线方程．20．（12分）已知函数f（x）＝ax﹣lnx．（1）求函数f（x）的极值；（2）证明：当0＜a＜1时，∃x∈（0，+∞），使得f（x）＜3a﹣a2﹣ln2．21．（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)过点M(√22，√32)，且离心率为e=√22．（1）求椭圆的标准方程；（2）椭圆C和圆O：x2+y2＝1．过点A（m，0）（m＞1）作直线l1和l2，且两直线的斜率之积等于1，l1与圆O相切于点P，l2与椭圆相交于不同的两点M、N，求m的取值范围．22．（12分）已知函数f(x)=a(x+4)e x，其中a∈R且a≠0．（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若存在实数x0，使得f（x0）＝x0，则称x0为函数f（x）的“不动点”求函数f（x）的“不动点”的个数；（3）若关于x的方程f（f（x））＝f（x）有两个相异的实数根，求a的取值范围．2023-2024学年浙江省宁波市余姚中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本大题共8小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．在平面直角坐标系中，斜率为√3的直线倾斜角为（ ） A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°解：设此直线的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°），∵tan θ=√3，∴θ＝60°， 故选：B ．2．如图，空间四边形OABC 中，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，点M 在OA →上，且OM ＝2MA ，点N 为BC 中点，则MN →=（ ）A ．12a →−23b →+12c →B ．−23a →+12b →+12c →C ．12a →+12b →−12c →D ．23a →+23b →−12c →解：由题意MN →=MA →+AB →+BN → =13OA →+OB →−OA →+12BC → =−23OA →+OB →+12OC →−12OB →=−23OA →+12OB →+12OC →又OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，∴MN →=−23a →+12b →+12c →故选：B ．3．已知向量a →、b →是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c →在直线l 上，则c →•a →=0，且c →•b →=0是l ⊥α的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：（1）由c →⋅a →=0，c →⋅b →=0得，c →⊥a →，c →⊥b →； ∵a →，b →所在直线不一定相交，c →所在直线为l ； ∴得不到l ⊥α；即c →⋅a →=0，且c →⋅b →=0不是l ⊥α的充分条件；（2）若l ⊥α，向量a →，b →所在直线在平面α内，c →在直线l 上；∴c →⊥a →，c →⊥b →；∴c →⋅a →=0，且c →⋅b →=0；即c →•a →=0，且c →•b →=是l ⊥α的必要条件； 综上得c →•a →=0，且c →•b →=是l ⊥α的必要不充分条件． 故选：B ．4．从分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片中，无放回地随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是5的倍数的概率为（ ） A ．13B ．25C ．35D ．15解：由题意可知，从6个数字中无放回地随机抽取两张，共有6×5＝30种结果， 若要是5的倍数，则两张卡片中必有一张是5， 若第一张抽到的是5，共有5种抽法， 若第二张抽到的是5，共有5种抽法，故抽到的两张卡片上的数字之积是5的倍数的共10种抽法， 所以所求概率为P =1030=13． 故选：A ．5．美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的13，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为2cm ，五眼中一眼的宽度为1cm ，如图中提供的直线AB 近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（ ）A ．1.8cmB ．2.5cmC ．3.2cmD ．3.9cm解：如图所示：以鼻尖所在位置为原点O ，中庭下边界为x 轴，垂直中庭下边界为y 轴，建立平面直角坐标系， 则A(12，4)，B(−32，2)，直线AB ：y−42−4=x−12−32−12，整理为x −y +72=0，原点O 到直线距离为|72|√1+1=7√24≈2.5．故选：B ．6．已知函数y ＝xf ′（x ）的图象如图所示（其中f ′（x ）是函数f （x ）的导函数），下面四个图象中，y ＝f （x ）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．解：由图象看出，﹣1＜x ＜0，和x ＞1时xf ′（x ）＞0；x ≤﹣1，和0≤x ≤1时xf ′（x ）≤0； ∴﹣1＜x ≤1时，f ′（x ）≤0；x ＞1，或x ≤﹣1时，f ′（x ）≥0； ∴f （x ）在（﹣1，1]上单调递减，在（﹣∞，﹣1]，（1，+∞）上单调递增； ∴f （x ）的大致图象应是B ． 故选：B ．7．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）A．平均数为3，中位数为2B．中位数为3，众数为2C．平均数为2，方差为2.4D．中位数为3，方差为2.8解：对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A错误；对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B 错误；对于C，若平均数为2，且出现6点，则方差S2＞15（6﹣2）2＝3.2＞2.4，∴平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故C正确；对于D，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，平均数为：x=15（1+2+3+3+6）＝3方差为S2=15[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（6﹣3）2]＝2.8，可以出现点数6，故D错误．故选：C．8．过直线3x+4y+12＝0上一点P作圆C：x2+y2﹣2x＝0的切线，切点为A，B，则四边形P ACB的面积的最小值为（）A．√6B．2√2C．3D．2√3解：圆C：x2+y2﹣2x＝0的圆心C（1，0），半径r＝1，由于AC⊥P A，BC⊥PB，|P A|＝|PB|，可得四边形P ACB的面积为12r|P A|+12r|PB|＝r|P A|＝|P A|，又|P A|2＝|PC|2﹣r2＝|PC|2﹣1，要求四边形P ACB的面积的最小值，只需求|P A|的最小值，即求|PC|的最小值．而|PC|的最小值为C到直线3x+4y+12＝0的距离d．由点到直线的距离公式可得d=|3+0+12|√9+16=3，所以|P A|的最小值为√32−1=2√2，则四边形P ACB的面积的最小值为2√2．故选：B．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分．在每小题有多项符合题目要求）9．已知圆O1：(x−1)2+y2=4和圆O2：x2+(y−1)2=2的交点为A，B，则（）A．两圆的圆心距|O1O2|＝2B．直线AB的方程为x﹣y+1＝0C．圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|＞|AB|D．圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+√2解：圆O1的圆心坐标为（1，0），圆O2的圆心坐标（0，1），对于A，因为两个圆相交，所以两圆的圆心距|O1O2|=√(1−0)2+(0−1)2=√2，故A错误；对于B，将两圆方程作差可得﹣2x+2y﹣2＝0，即得公共弦AB的方程为x﹣y+1＝0，故B正确；对于C，直线AB经过圆O2的圆心坐标（0，1），所以线段AB是圆O2的直径，故圆O2中不存在比AB 长的弦，故C错误；=√2，对于D，圆O1的圆心坐标为（1，0），半径为2，圆心到直线AB：x﹣y+1＝0的距离为√2故圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+√2，故D正确．故选：BD．10．抛掷一黄一白两枚质地均匀的骰子，用a表示黄色骰子朝上的点数，b表示白色骰子朝上的点数，用（a，b）表示一次试验的结果，该试验的样本空间为Ω，事件A＝“关于x的方程2x2﹣2（a+b）x+5（a+b）＝0无实根”，事件B＝“a＝4”，事件C＝“b＜4”，事件D＝“ab＞20”则（）A．A与B互斥B．A与D对立C．B与C相互独立D．B与D相互独立解：根据题意，Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}，共36个基本事件；事件A＝“关于x的方程2x2﹣2（a+b）x+5（a+b）＝0无实根”，则Δ＝4（a+b）2﹣40（a+b）＜0，必有0＜a+b＜10，则事件A＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（6，1），（6，2），（6，3）}，共30个基本事件；事件B＝{（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6）}，共6个基本事件；事件C＝{（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（6，1），（6，2），（6，3）}，共18个基本事件；事件D＝“ab＞20”，D＝{（4，6）、（5，5）、（5，6）、（6，4）、（6，5）、（6，6）}，共6个基本事件；分析选项：对于A，A与B可能同时发生，A、B不是互斥事件，A错误；对于B，A与D对立，B正确；对于C，事件BC＝{（4，1），（4，2），（4，3）}，有3个基本事件，则P（BC）=336=112，而P（B）=636=16，P（C）=1836=12，有P（B）P（C）＝P（BC），则B与C相互独立，C正确；对于D，事件BD＝{（4，6）}，有1个基本事件，则P（BD）=1 36，P（B）=636=16，P（D）=636=16，有P（B）P（D）＝P（BD），则B与D相互独立，D正确．故选：BCD．11．某短视频平台以讲故事，赞家乡，聊美食，展才艺等形式展示了丰富多彩的新时代农村生活，吸引了众多粉丝，该平台通过直播带货把家乡的农产品推销到全国各地，从而推进了“新时代乡村振兴”．从平台的所有主播中，随机选取300人进行调查，其中青年人，中年人，其他人群三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段主播的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列说法正确的有（）A．该平台女性主播占比的估计值为0.4B．从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为0.7 C．按年龄段把所调查的主播分为三层，用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取6名D．从所调查的主播中，随机选取一位做为幸运主播，已知该幸运主播是青年人的条件下，又是女性的概率为0.6解：该平台女性主播占比的估计值为60%×40%+30%×30%+10%×70%＝0.4，A 选项正确； 随机抽取一位主播是中年男性的概率为30%×70%＝0.21，B 选项错误；用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取20×30%＝6名，C 选项正确；随机选取一位做为幸运主播，设该幸运主播是青年人为事件A ，该幸运主播是女性为事件B ，则P(B|A)=P(AB)P(A)=60%×40%60%=0.4，D 选项错误； 故选：AC ．12．如图，棱长为6的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点M 、N 满足AM →=λAC 1→，CN →=μCD →，其中λ、μ∈（0，1），点P 是正方体表面上一动点，下列说法正确的是（ ）A ．当λ=13时，DM ∥平面CB 1D 1B ．当μ=12时，若B 1P ∥平面A 1NC 1，则|B 1P |的最大值为3√5C ．当λ=μ=12时，若PM ⊥D 1N ，则点P 的轨迹长度为12+6√5D ．过A 、M 、N 三点作正方体的截面，截面图形可以为矩形解：建立如图所示的空间直角坐标系，则D 1（0，0，0）、B 1（6，6，0）、C （0，6，6）、A （6，0，6）、D （0，0，6）、C 1（0，6，0），当λ=13时，DM →=AM →−AD →=13AC 1→−AD →=13(−6，6，−6)−(−6，0，0)=(4，2，−2)，设平面CB 1D 1的法向量为m →=(x 1，y 1，z 1)，因为D 1B 1→=(6，6，0)，D 1C →=(0，6，6)，所以{m →⋅D 1B 1→=6x 1+6y 1=0m →⋅D 1C →=6y 1+6z 1=0，不妨取y 1＝﹣1，可得m →=(1，−1，1)，所以m →⋅DM →=4−2−2=0，则m →⊥DM →， 因为DM ⊄平面CB 1D 1，故当λ=13时，DM ||平面CB 1D 1，A 对；当μ=12时，N 为CD 中点，分别取AB 、BC 中点G 、H ，连接B 1G 、GH 、B 1H 、A 1C 1、GN ，因为G 、H 分别为AB 、BC 的中点，所以GH ||AC ，又因为AA 1||CC 1且AA 1＝CC 1，所以四边形AA 1C 1C 为平行四边形，所以AC ||A 1C 1， 因为GH ||AC ，所以GH ||A 1C 1，因为GH ⊄平面A 1NC 1，A 1C 1⊂平面A 1NC 1，所以GH ||平面A 1NC 1， 同理可得，B 1G ||平面A 1NC 1，因为B 1G ∩GH ＝G ，B 1G 、GH ⊂平面B 1GH ，所以平面B 1GH ||平面A 1NC 1，当点P 为△B 1GH 的边上一点（异于点B 1）时，则B 1P ⊂平面B 1GH ，则B 1P ||平面A 1NC 1， 故点P 的轨迹为△B 1GH 的边（除去点B 1）．因为|B 1G|=√BB 12+BG 2=√62+32=3√5，同理可得|B 1H|=3√5，结合图形可得|B 1P|max =|B 1G|=|B 1H|=3√5，B 正确；当λ=μ=12时，M 、N 分别为AC 1、CD 的中点，如图所示：此时点N （0，3，6）、M （3，3，3）、D 1（0，0，0），D 1N →=(0，3，6)，当点P 在平面AA 1D 1D 内运动时，设点P （x ，0，z ），其中0≤x ≤6，0≤z ≤6，则MP →=(x −3，−3，z −3)，因为D 1N ⊥MP ，则D 1N →⋅MP →=−9+6(z −3)=6z −27=0，解得z =92，设点P 的轨迹分别交棱AA 1、DD 1于点R 、Q ，则R(6，0，92)、Q(0，0，92)，当点P 在平面CC 1D 1D 内运动时，设点P （x ，0，z ），其中0≤y ≤6，0≤z ≤6，MP →=(−3，y −3，z −3)， 则D 1N →⋅MP →=3y −9+6(z −3)=3y +6z −27=0，设点P 的轨迹交棱CC 1于点F ，则F(0，6，32)，设点P 的轨迹交棱BB 1于点T ，因为平面AA 1D 1D ||平面BB 1C 1C ，平面RQFT ∩平面AA 1D 1D ＝RQ ，平面RQFT ∩平面BB 1C 1C ＝FT ， 所以RQ ||FT ，同理可得QF ||RT ，所以四边形RQFT 为平行四边形，且|FT |＝|RQ |＝6，|RT|=|FQ|=√02+62+(32−92)2=3√5，因此，点P 的轨迹的长度即为平行四边形RQFT 的周长2(6+3√5)=12+6√5，C 对； 设截面AMN 交棱A 1B 1于点U ，连接AU 、C 1U ，由题意，截面AMN 与平面AC 1N 重合，因为平面ABCD ||平面A 1B 1C 1D 1，平面ANC 1∩平面ABCD ＝AN ，平面ANC 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝C 1U ， 所以AN ||C 1U ，同理可得AU ||C 1U ，所以四边形AUC 1N 为平行四边形，易知N （0，6﹣6λ，6），其中0＜λ＜1，所以AN →=(−6，6−6λ，0)，C 1N →=(0，−6λ，6)， 所以AN →⋅C 1N →=−6λ(6−6λ)=36λ(λ−1)＜0，故AN 与C 1N 不可能垂直， 故平行四边形AUC 1N 不可能为矩形，即过A 、M 、N 三点的截面不可能是矩形，所以D 错．故选：ABC ．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．若直线x +ay ＝0与直线（a +1）x +2y +a ﹣2＝0平行，则a ＝ 1或﹣2 ． 解：因为直线x +ay ＝0与直线（a +1）x +2y +a ﹣2＝0平行， 所以a （a +1）＝1×2，解得a ＝1或a ＝﹣2，检验：当a ＝1或a ＝﹣2时，两条直线均不重合，所以a ＝1或a ＝﹣2． 故答案为：1或﹣2．14．点A （1，2，1），B （3，3，2），C （1，4，3），若D 在线段AB 上，且满足CD ⊥AB ，则点D 的坐标为 (73，83，53) ．解：设D 的坐标为D （x ，y ，z ），则CD →=(x −1，y −4，z −3)， AB →=(2，1，1)，AD →=(x −1，y −2，z −1)， 因为D 在线段AB 上，且满足CD ⊥AB ，所以CD →⊥AB →，AD →∥AB →，即{2(x −1)+(y −4)+(z −3)=0x−12=y−21=z−11，解得：{x =73y =83z =53，所以点D 的坐标为(73，83，53)．故答案为：(73，83，53)．15．已知函数f （x ）＝e x +1，g （x ）＝lnx +1，其中e 是自然对数的底数．设直线y ＝t （t ＞0）与曲线y ＝f （x ）与y ＝g （x ）分别交于A （x 1，f （x 1）），B （x 2，g （x 2））两点，若对任意t ＞0，均有x 2﹣x 1＞a 成立，则a 的取值范围为 （﹣∞，2） ． 解：已知函数f （x ）＝e x +1，g （x ）＝lnx +1，因为直线y ＝t （t ＞0）与曲线y ＝f （x ）与y ＝g （x ）分别交于A （x 1，f （x 1）），B （x 2，g （x 2））两点， 所以f(x 1)=e x 1+1=t ，g(x 2)=lnx 2+1=t ， 所以x 1=lnt −1，x 2=e t−1， 此时x 2−x 1=e t−1−lnt +1，当t ＞0时，不妨设h （t ）＝e t ﹣1﹣lnt +1，可得ℎ′(t)=e t−1−1t，当0＜t ＜1时，h ′（t ）＜0，h （t ）单调递减； 当t ＞1时，h ′（t ）＞0，h （t ）单调递增，所以当t ＝1时，函数h （t ）取得极小值也是最小值，最小值为h （1）＝2， 则对任意t ＞0，均有x 2﹣x 1＞a 成立， 此时a ＜（x 2﹣x 1）min ＝h （t ）min ＝2， 则a 的取值范围为（﹣∞，2）．故答案为：（﹣∞，2）．16．已知函数f(x)={xe x+e−e 2，x ≤0−x 2−14，x ＞0，点M ，N 是函数y ＝f （x ）图象上不同的两个点，设O 为坐标原点，则tan ∠MON 的取值范围是 （0，2+ee )．． ．解：当x ≤0时，f(x)=xex+e −e 2，f ′(x)=e x+e −xe x+e e 2x+2e =e x+e (1−x)e 2x+2e=1−xe x+e ＞0，f(x)=xe x+e −e 2在（﹣∞，0]上单调递增，作出函数f(x)={xe x+e −e 2，x ≤0−x 2−14，x ＞0的图象如图， 设过原点且与f （x ）（x ≤0）的图象相切的切线方程为y ＝kx ，切点为(x 0，x 0ex 0+e−e 2)，所以切线方程为y =1−x 0e x 0+e (x −x 0)+x 0ex 0+e −e 2， 将原点坐标代入切线方程可得，x 02−x 0e x 0+e+x 0e x 0+e−e 2=0，即x 02e x 0+e−e 2=0，即x 02e x 0+e=e 2，构造函数q （x ）＝x 2e ﹣x ﹣e（x ≤0），则g '（x ）＝（2x ﹣x 2）e﹣x ﹣e≤0，∴函数g （x ）＝x 2e ﹣x ﹣e在（﹣∞，0]上单调递减，且g （﹣e ）＝e 2，得x ＝﹣e ，则k =1+ee 0=1+e ， 而函数f(x)=−x 2−14（x ＞0）过原点的切线方程为y ＝﹣x ，设直线y ＝（1+e ）x 到直线y ＝﹣x 的角为θ， 则tanθ=−1−(1+e)1−1−e =2+ee，结合图形可知，tan ∠MON 的取值范围是（0，2+ee )．故答案为：（0，2+ee)．．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛；从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）求样本成绩的第75百分位数；（Ⅲ）已知落在[50，60）的平均成绩是51，方差是7，落在[60，70）的平均成绩为63，方差是4，求两组成绩的总平均数z和总方差s2．解：（Ⅰ）由频率分布直方图可得（0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010）×10＝1，解得a＝0.030；（Ⅱ）成绩落在[40，80）内的频率为（0.005+0.010+0.020+0.030）×10＝0.65＜0.75，落在[40，90）内的频率为（0.005+0.010+0.020+0.030+0.025）×10＝0.9＞0.75，设第75百分位数为m，则m落在区间[80，90）内，由0.65+（m﹣80）×0.025＝0.75，得m＝84，即第75百分位数为84；（Ⅲ）由图可知，成绩在[50，60）的市民人数为100×0.1＝10，成绩在[60，70）的市民人数为100×0.2＝20，故两组成绩的总平均数z=10×51+20×6330=59，由样本方差计算总体方差公式可得总方差为：s2=130{10[7+（51﹣59）2]+20[4+（63﹣59）2]}＝37．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面P AB⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，P A＝BC＝3，AB ＝AD＝2，PB=√13．E为PD中点，点F在PC上，且PC＝3FC．（1）求证：AB⊥平面P AD；（2）求二面角F﹣AE﹣D的余弦值；（3）线段AC上是否存在点Q，使得DQ∥平面F AE？说明理由．（1）证明：在△P AB中，∵P A＝3，AB＝2，PB=√13，∴PA2+AB2=32+22=(√13)2=PB2．∴∠P AB ＝90°，即AB ⊥P A ．又∵AB ⊥AD ，在平面P AD 中，P A ∩AD ＝A ， ∴AB ⊥平面P AD ；（2）解：∵平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ， AB ⊥AD ，AD ⊂平面ABCD ，∴AD ⊥平面P AB ，得AD ⊥P A ，已证AB ⊥P A ，且已知AB ⊥AD ，∴以A 为坐标原点，分别以AD 、AB 、AP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则D （2，0，0），P （0，0，3），C （3，2，0）．AP →=(0，0，3)，AD →=(2，0，0)，AC →=(3，2，0)，CP →=(−3，−2，3)，∵E 为PD 中点，∴AE →=12(AP →+AD →)=(1，0，32)．由PC ＝3FC 知，AF →=AC →+CF →=AC →+13CP →=(3，2，0)+(−1，−23，1)=(2，43，1)．设平面AEF 的法向量为n →=(x ，y ，z)，由{n →⋅AE →=x +32z =0n →⋅AF →=2x +43y +z =0，令z ＝2，得n →=(−3，3，2)．又AB ⊥平面P AD ，∴平面P AD 的法向量为AB →=(0，2，0)． ∴cos〈n →，AB →〉=n →⋅AB→|n →||AB →|=2×9+9+4=3√2222，由题知，二面角F ﹣AE ﹣D 为锐角，∴二面角F ﹣AE ﹣D 的余弦值为3√2222；（3）解：设Q 是线段AC 上一点，则存在λ∈[0，1]使得AQ →=λAC →． ∵AC →=(3，2，0)，DA →=(−2，0，0)，∴DQ →=DA →+AQ →=DA →+λAC →=(3λ−2，2λ，0)． ∵DQ ⊄平面AEF ，∴要使DQ ∥平面AEF ，则DQ →⋅n →=0，即（3λ﹣2，2λ，0）•（﹣3，3，2）＝0．即（3λ﹣2）×（﹣3）+2λ×3+0×2＝0．解得λ＝2．∵λ＝2∉[0，1]，∴线段AC上不存在Q，使得DQ∥平面AEF．19．（12分）如图，公路AM、AN围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tanα＝﹣1，在该块土地中P 处有一小型建筑，经测量，它到公路AM、AN的距离分别为1km，√2km，现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园．（1）以A为坐标原点建立适当的平面直角坐标系，并求出P点的坐标；（2）三条公路围成的工业园区ABC的面积恰为4km2，求公路BC所在直线方程．解：（1）以点A为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示，由题意，设点P（a，1），且直线AN的斜率为k AN＝tanα＝﹣1，经过点A（0，0），所以直线AN的方程为x+y＝0，又点P到直线AN的距离为√2，所以√2=√2，解得a＝1或a＝﹣3（舍），故点P的坐标为（1，1）；（2）由题意可知，直线BC的斜率一定存在，设直线BC的直线方程为y﹣1＝k（x﹣1），联立直线BC与AN的方程，{y−1=k(x−1) x+y=0，解得点C的坐标为(k−1k+1，1−kk+1)，在直线BC的方程中，令y＝0，解得x B=−1k+1=k−1k，所以S△ABC=12⋅k−1k⋅(−k−1k+1)=4，解得k=−1 3，故直线BC的方程为x+3y﹣4＝0．20．（12分）已知函数f（x）＝ax﹣lnx．（1）求函数f（x）的极值；（2）证明：当0＜a＜1时，∃x∈（0，+∞），使得f（x）＜3a﹣a2﹣ln2．解：（1）已知f（x）＝ax﹣lnx，函数定义域为（0，+∞），可得f′(x)=a−1x=ax−1x，当a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，无极值；当x∈(0，1a)时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈(1a，+∞)时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以当x=1a时，函数f（x）取得极小值，极小值f（1a）＝1+lna，无极大值，综上，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上无极值；当a＞0时，f（x）的极小值为1+lna，无极大值；（2）证明：由（1）知，当0＜a＜1时，f（x）的最小值为1+lna，若∃x∈（0，+∞），使得f（x）＜3a﹣a2﹣ln2，此时a2﹣3a+1+lna+ln2＜0，不妨设g（a）＝a2﹣3a+1+lna+ln2，函数定义域为（0，1），可得g′(a)=2a−3+1a=(2a−1)(a−1)a，当a∈(0，12)时，g′（a）＞0，g（a）单调递增，当a∈(12，1)时，g′（a）＜0，g（a）单调递减，所以当a=12时，g(a)max=g(12)=14−32+1+ln12+ln2=−14＜0，故∃x∈（0，+∞），使得f（x）＜3a﹣a2﹣ln2．21．（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)过点M(√22，√32)，且离心率为e=√22．（1）求椭圆的标准方程；（2）椭圆C和圆O：x2+y2＝1．过点A（m，0）（m＞1）作直线l1和l2，且两直线的斜率之积等于1，l1与圆O相切于点P，l2与椭圆相交于不同的两点M、N，求m的取值范围．（1）解：由椭圆C：x2a2+y2b2=1过点M(√22，√32)，且离心率为e=√22，可得{12a2+34b2=1e=ca=√22a2=b2+c2，解得a2＝2，b2＝1，c2＝1，所以椭圆C的标准方程为x22+y2=1．（2）解：由题意，两直线l1、l2的斜率均存在，且两直线的斜率之积为1，设l2的斜率为k，则l1的斜率为1k(k≠0)，则直线l2的方程为y＝k（x﹣m），即kx﹣y﹣km＝0，直线l1的方程为y=1k(x−m)，即x﹣ky﹣m＝0，因为l1与圆O相切于点P，所以√1+k2=1，化简得m2＝1+k2，由{y=k(x−m)x22+y2=1，整理得（2k2+1）x2﹣4mk2x+2k2m2﹣2＝0，所以Δ＝（﹣4mk2）2﹣4（2k2+1）（2m2k2﹣2）＞0，化简得1+k2（2﹣m2）＞0，由m2＝1+k2，可得k2＝m2﹣1，代入上式化简得m4﹣3m2+1＜0，解得3−√52＜m2＜3+√52，又因为m＞1，可得1＜m2＜3+√52，得1＜m＜√5+12，所以m的取值范围是(1，√5+12)．22．（12分）已知函数f(x)=a(x+4)e x，其中a∈R且a≠0．（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若存在实数x0，使得f（x0）＝x0，则称x0为函数f（x）的“不动点”求函数f（x）的“不动点”的个数；（3）若关于x的方程f（f（x））＝f（x）有两个相异的实数根，求a的取值范围．解：（1）当a＝1时，f（x）=x+4e x，定义域为R，f′（x）=−x+3e x，令f ′（x ）＝0，得x ＝﹣3，∴当x ＜﹣3时，f ′（x ）＞0；当x ＞﹣3时，f ′（x ）＜0．∴f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，﹣3），单调递减区间为（﹣3，+∞）．（2）函数f （x ）的不动点即为方程f （x ）﹣x ＝0的根，即方程a(x+4)e x −x ＝0， ∴xe x x+4−a ＝0，设F （x ）=xe x x+4−a （x ≠﹣4）， F ′（x ）=(x+2)2e x (x+4)2≥0，当且仅当x ＝﹣2时取等号， ∴F （x ）在（﹣∞，﹣4）和（﹣4，+∞）上单调递增，由F （x ）=xe x −a(x+4)x+4，设h （x ）＝xe x ﹣a （x +4）， 当a ＞0时，若x ∈（﹣∞，﹣4）时，h （﹣4）=−4e 4＜0，h （﹣4−1ae ）＞0， ∴存在t 1∈（﹣∞，﹣4），使得h （t 1）＝0，即存在唯一t 1∈（﹣∞，﹣4），使得F （t 1）＝0， 当x ∈（﹣4，+∞）时，h （0）＝﹣4a ＜0，h （4a ）＞0，存在t 2∈（0，+∞），使得h （t 2）＝0，即存在唯一t 2∈（0，+∞）使得F （t 2）＝0， 当a ＜0时，当x ∈（﹣∞，﹣4）时，F （x ）=xe x x+4−a ＞0无零点， 当x ∈（﹣4，+∞）时，∵h （0）＝﹣4a ＞0，h （﹣4）=−4e 4＜0， 存在t 0∈（﹣4，0），使得h （t 0）＝0，即存在唯一t 0∈（﹣4，+∞）使得F （t 0）＝0， 综上所述，当a ＞0时，函数f （x ）有两个“不动点”t 1，t 2，当a ＜0时，函数f （x ）有一个“不动点”．（3）∵f （f （x ））﹣f （x ）＝0，由（2）可得f （x ）＝t i （其中i ∈{0，1，2}），由F （t i ）＝0得a =t i e t i t i +4，代入x+4e x =t i +4e t i， 设G （x ）=x+4e x， 由（1）知，当x ∈（﹣∞，﹣4]时，G （x ）单调递增，且G （x ）∈（﹣∞，0]， ∴在（﹣4，﹣3）上G （x ）单调递增，且G （x ）∈（0，e 3），在（﹣3，+∞）上G （x ）单调递减，且G （x ）∈（0，e 3），由G（x）＝G（t1）＜0可得x＝t1，G（x）＝G（t2）＞0可得x＝t2，x0，共三个解，∴F（t）有一个零点t0，∴f（f（x））﹣f（x）＝0，∴f（x）＝t0，由F（t0）＝0得a=t0e t0t0+4，代入x+4e x=t0+4e t0，由（1）知当t0＝﹣3，即a=−3e3时，G（x1）＝G（t0）的解为t0，当t0≠﹣3，即a＜0且a≠−3e3时，G（x1）＝G（t0）的解为x1，t0，综上所述，当a＜0且a≠−3e3时方程有两个不同实数根．。
浙江省宁波市高二上学期期中数学试题
浙江省宁波市高二上学期期中数学试题姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 设集合 A={1,2}，则满足的集合 B 的个数为（ ）A.1B.3C.4D.82. （2 分） “ab=4” 是“直线 2x+ay-1=0 与直线 bx+2y-2=0 平行” 的（ ）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2 分） (2016 高三上·新津期中) 在等差数列{an}中，若 a4+a6+a8+a10+a12=240，则 a9﹣ 为（ ）a11 的值A . 30B . 31C . 32D . 334. （2 分） (2016 高一下·南安期中) 若，且A . 30° B . 60°第 1 页 共 13 页，则向量 与 的夹角为（ ）C . 120° D . 150° 5. （2 分） 右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为 2 和 4，腰长为 4 的等 腰梯形，则该几何体的侧面积是（ ）A. B. C. D. 6. （2 分） “非空集合 的元素都是集合 的元素”是假命题，则以下四个命题：⑴ 的元素都不是 P 的元 素；⑵ 中有不属于 元素；⑶ 中有 的元素；⑷ 的元素不都是 的元素，其中真命题的个数有（ ） A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个7. （2 分） (2017 高二下·汪清期末) 设椭圆为 .若=2，则该椭圆的方程为（ ）的左、右焦点分别为，上顶点A.B.C.第 2 页 共 13 页D.8. （2 分） (2018 高一下·河南月考) 对于具有线性相关关系的变量，有以下一组数据：1234523.45.26.48根据上表，用最小二乘法求得回归直线方程为，则当时， 的预测值为（ ）A . 11B . 10C . 9.5D . 12.59. （2 分） (2016 高三上·新津期中) 设 D 是函数 y=f（x）定义域内的一个区间，若存在 x0∈D，使 f（x0） =﹣x0 ， 则称 x0 是 f（x）的一个“次不动点”，也称 f（x）在区间 D 上存在次不动点．若函数 f（x）=ax2﹣3x ﹣a+ 在区间[1，4]上存在次不动点，则实数 a 的取值范围是（ ）A . （﹣∞，0）B . （0， ）C . [ ，+∞）D . （﹣∞， ]10. （2 分） (2017 高一下·兰州期中) 当点 P 在圆 x2+y2=1 上变动时，它与定点 Q（3，0）相连，线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程是（ ）A . （x﹣3）2+y2=1B . （2x﹣3）2+4y2=1C . （x+3）2+y2=4D . （2x+3）2+4y2=4第 3 页 共 13 页11. （2 分） (2018 高一下·攀枝花期末) 已知中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若，且，则的取值范围是（ ）A.B. C. D. 12.（2 分）(2016 高二下·衡水期中) 已知双曲线与椭圆 则双曲线的渐近线方程为（ ）的焦点重合，它们的离心率之和为 ，A. B. C. D . y=二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2015 高二下·福州期中) 函数 f（x）= 积为________．的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面14. （1 分） (2016 高一下·邯郸期中) 已知 tanα，tanβ 是方程 x2+6x+7=0 的两个根，且 α，β∈（- ， ），则 α+β=________．15. （1 分） (2018 高三下·滨海模拟) 已知正实数 ________.满足且,则的最小值为16. （1 分） 已知， 在函数与的图像的交点中。
2023-2024学年浙江省宁波市北仑中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省宁波市北仑中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．同时抛掷3枚质地均匀的硬币，出现的结果为“一正两反”的概率为（ ） A ．18B ．14C ．38D ．122．点（a ，b ）关于直线x +y +1＝0的对称点是（ ） A ．（﹣a ﹣1，﹣b ﹣1） B ．（﹣b ﹣1，﹣a ﹣1） C ．（﹣a ，﹣b ）D ．（﹣b ，﹣a ）3．如图，下列正方体中，O 为下底面的中心，M ，N 为正方体的顶点，P 为所在棱的中点，则满足直线MN ⊥OP 的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．国家射击运动员甲在某次训练中10次射击成绩（单位：环）如：6，5，9，7，4，7，9，10，7，5，则这组数据第70百分位数为（ ） A ．7B ．8C ．8.5D ．95．若直线x ﹣y +3＝0与圆x 2+y 2﹣2x +2﹣a ＝0相切，则a ＝（ ） A ．9B ．8C ．7D ．66．在棱长为2的正方体ABCD 一A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别为棱AB ，C 1D 1的中点．点P 为线段EF 上的动点．则下面结论中错误的是（ ）A ．P A 1＝PB 1 B ．A 1B 1∥平面D 1APC ．D 1P ⊥B 1CD ．∠B 1PC 是锐角7．已知点F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左右焦点，点M 为椭圆E 上一点，点F 1关于∠F 1MF 2平分线的对称点N 也在椭圆E 上，若cos ∠F 1MF 2=78，则椭圆E 的离心率为（ ） A ．√33B ．√39C ．√105D ．√10258．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，△ABC 是边长为2的正三角形，AA 1＝3，N 为棱A 1B 1上的中点，M 为棱CC 1上的动点，过N 作平面ABM 的垂线段，垂足为点O ，当点M 从点C 运动到点C 1时，点O 的轨迹长度为（ ）A ．π2B ．πC ．3π2D ．2√3π3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.9．口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件A ＝“取出的两球同色”，事件B ＝“第一次取出的是白球”，事件C ＝“第二次取出的是白球”，事件D ＝“取出的两球不同色”，则（ ） A ．P(B)=12B ．B 与C 互斥 C ．A 与B 相互独立D ．A 与D 互为对立10．已知曲线C 的方程为ax 2+ay 2﹣2x ﹣2y ＝0（a ∈R ），则（ ） A ．曲线C 可能是直线B ．当a ＝1时，直线3x +y ＝0与曲线C 相切C ．曲线C 经过定点D ．当a ＝1时，直线x +2y ＝0与曲线C 相交11．如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ∥CD ，AB ＝2AD ＝2DC ＝2CB ＝4，E ，F ，G 分别为侧棱BB 1，DD 1，AA 1上一点，BE ＝DF ＝A 1G ＝2，则（ ）A ．BD ⊥GFB ．∠GEC 1=π2C ．∠EGF 的最大值为 π6D ．当 AA 1=83时，GE //C 1F 12．已知P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）是椭圆x 24+9y 24=1上两个不同点，且满足x 1x 2+9y 1y 2＝﹣2，则下列说法正确的是（ ）A ．|2x 1+3y 1﹣3|+|2x 2+3y 2﹣3|的最大值为6+2√5B ．|2x 1+3y 1﹣3|+|2x 2+3y 2﹣3|的最小值为3−√5C ．|x 1﹣3y 1+5|+|x 2﹣3y 2+5|的最大值为2√5+2√105D ．|x 1﹣3y 1+5|+|x 2﹣3y 2+5|的最小值为10−2√2 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知直线l 1：x +ay ﹣1＝0与l 2：2x +y +1＝0平行，则l 1与l 2之间的距离为 ．14．已知直线l ：x ﹣y +1＝0，若P 为l 上的动点．过点P 作⊙C ：（x ﹣5）2+y 2＝9的切线P A 、PB ，切点为A 、B ，当|PC |•|AB |最小时，直线AB 的方程为 ．15．某高中的独孤与无极两支排球队在校运会中采用五局三胜制（有球队先胜三局则比赛结束）．第一局独孤队获胜概率为0.4，独孤队发挥受情绪影响较大，若前一局获胜，下一局获胜概率增加0.1，反之降低0.1．则独孤队不超过四局获胜的概率为 ．16．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 为底面ABCD 的中心，M ，N 分别为棱A 1D 1和CC 1的中点，则四面体O ﹣MNB 1的体积为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）某陶瓷厂在生产过程中，对仿制的100件工艺品测得重量（单位：kg ）数据如下表：（1）求出频率分布表中实数a ，b 的值；（2）若从重量范围在[2.60，2.80）的工艺品中随机抽选2件，求被抽选2件工艺品重量均在范围[2.70，2.80）中的概率．18．（12分）已知直线l 过点M （1，1），并且与直线2x +4y +9＝0平行． （1）求直线l 的方程；（2）若直线l 与圆x 2+y 2+x ﹣6y +m ＝0相交于P ，Q 两点，O 为原点，且OP ⊥OQ ，求实数m 的值． 19．（12分）在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，E ，F 分别在棱PD ，BC 上且PE =13PD ，CF =13BC ． （1）证明：CE ∥平面P AF ；（2）若AD ＝AP ，求直线CD 与平面P AF 所成角的正弦值．20．（12分）设x ，y ∈R ，向量i →，j →分别为平面直角坐标内x ，y 轴正方向上的单位向量，若向量a →=（x −√3i →+y j →），b →=（x −√3）i →+y j →，且|a →|+|b →|＝4． （Ⅰ）求点M （x ，y ）的轨迹C 的方程； （Ⅱ）设椭圆E ：x 216+y 24=1，曲线C 的切线y ＝kx +m 交椭圆E 于A 、B 两点，试证：△OAB 的面积为定值．21．（12分）如图1，菱形ABCD 中∠ABC ＝120°，动点E ，F 在边AD ，AB 上（不含端点），且存在实数λ使EF →=λDB →，沿EF 将△AEF 向上折起得到△PEF ，使得平面PEF ⊥平面BCDEF ，如图2所示．（1）若BF ⊥PD ，设三棱锥P ﹣BCD 和四棱锥P ﹣BDEF 的体积分别为V 1，V 2，求V 1V 2；（2）当点E 的位置变化时，平面EPF 与平面BPF 的夹角（锐角）的余弦值是否为定值，若是，求出该余弦值，若不是，说明理由； 22．（12分）椭圆E ：x 28+y 24=1的上顶点为P ，圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝r 2（r ＞0）在椭圆E 内．（1）求r 的取值范围；（2）过点P 作圆C 的两条切线，切点为A ，B ，切线P A 与椭圆E 的另一个交点为N ，切线PB 与椭圆E 的另一个交点为M ．直线AB 与y 轴交于点S ，直线MN 与y 轴交于点T ．求|ST |的最大值，并计算出此时圆C 的半径r ．2023-2024学年浙江省宁波市北仑中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．同时抛掷3枚质地均匀的硬币，出现的结果为“一正两反”的概率为（ ） A ．18B ．14C ．38D ．12解：同时抛掷3枚质地均匀的的硬币，因为每枚硬币均有正反两种情况，故共有8种情况，如下：“正，正，正”，“正，正，反”，“正，反，正”，“反，正，正”，“正，反，反”，“反，正，反”，“反，反，正”，“反，反，反”，其中出现的结果为“一正两反”的情况有“正，反，反”，“反，正，反”，“反，反，正”， 故出现的结果为“一正两反”的概率为38．故选：C ．2．点（a ，b ）关于直线x +y +1＝0的对称点是（ ） A ．（﹣a ﹣1，﹣b ﹣1） B ．（﹣b ﹣1，﹣a ﹣1） C ．（﹣a ，﹣b ）D ．（﹣b ，﹣a ）解：设点（a ，b ）关于直线x +y +1＝0的对称点为（m ，n ），则由{n−bm−a =1m+a 2+n+b 2+1=0，求得 {m =−b −1n =−a −1， 故点（a ，b ）关于直线x +y +1＝0的对称点为（﹣b ﹣1，﹣a ﹣1）， 故选：B ．3．如图，下列正方体中，O 为下底面的中心，M ，N 为正方体的顶点，P 为所在棱的中点，则满足直线MN ⊥OP 的是（ ）A ．B ．C ．D ．解：在正方体中，对各选项建立相应的空间直角坐标系，令正方体棱长为2，点O （1，1，0）， 对于A ，M(2，0，2)，N(0，2，2)，P(0，2，1)，MN →=(−2，2，0)，OP →=(−1，1，1)，MN →⋅OP →=4≠0，MN 与OP 不垂直，A 不是；对于B ，M(0，0，2)，N(2，0，0)，P(2，0，1)，MN →=(2，0，−2)，OP →=(1，−1，1)，MN →⋅OP →=0，MN ⊥OP ，B 是；对于C ，M(2，2，2)，N(0，2，0)，P(2，0，1)，MN →=(−2，0，−2)，OP →=(1，−1，1)，MN →⋅OP →=−4≠0，MN 与OP 不垂直，C 不是；对于D ，M(0，2，2)，N(0，0，0)，P(2，1，2)，MN →=(0，−2，−2)，OP →=(1，0，2)，MN →⋅OP →=−4≠0，MN 与OP 不垂直，D 不是．故选：B ．4．国家射击运动员甲在某次训练中10次射击成绩（单位：环）如：6，5，9，7，4，7，9，10，7，5，则这组数据第70百分位数为（ ） A ．7B ．8C ．8.5D ．9解：将10次成绩按照从小到的顺序排列为：4，5，5，6，7，7，7，9，9，10， 又因为10×70%＝7，所以这组数据第70百分位数为：7+92=8．故选：B ．5．若直线x ﹣y +3＝0与圆x 2+y 2﹣2x +2﹣a ＝0相切，则a ＝（ ） A ．9B ．8C ．7D ．6解：圆（x ﹣1）2+y 2＝a ﹣1（a ＞1）的圆心（1，0），半径√a −1， 依题意，√12+(−1)2=√a −1，解得a ＝9，所以a ＝9． 故选：A ．6．在棱长为2的正方体ABCD 一A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别为棱AB ，C 1D 1的中点．点P 为线段EF 上的动点．则下面结论中错误的是（ ）A ．P A 1＝PB 1 B ．A 1B 1∥平面D 1APC ．D 1P ⊥B 1CD ．∠B 1PC 是锐角解：根据题意，依次分析选项：对于A ，取A 1B 1的中点G ，连接EG 、FG ，易得A 1B 1⊥平面EFG ，则有PG ⊥A 1B 1，P A 1=√PG 2+A 1G 2=√PG 2+1，同理PB 1=√PG 2+1，则有P A 1＝PB 1，A 正确；对于B ，点E ，F 分别为棱AB ，C 1D 1的中点，而P 在线段EF 上，则平面D 1AP 即平面AD 1C 1B ，由于A 1B 1∥平面AD 1C 1B ，必有A 1B 1∥平面D 1AP ，B 正确；对于C ，易得B 1C ⊥平面AD 1C 1B ，而B 1C ⊂平面平面AD 1C 1B ，必有D 1P ⊥B 1C ，C 正确；对于D ，当P 为EF 中点时，B 1P ＝PC =12B 1D =√3，而B 1C ＝2√2，cos ∠B 1PC =3+3−82×3=−13，此时∠B 1PC 为钝角，D 错误； 故选：D ．7．已知点F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左右焦点，点M 为椭圆E 上一点，点F 1关于∠F 1MF 2平分线的对称点N 也在椭圆E 上，若cos ∠F 1MF 2=78，则椭圆E 的离心率为（ ） A ．√33B ．√39C ．√105D ．√1025解：由题意可作图如下：由图可知：|MF 1|+|MF 2|＝|NF 1|+|NF 2＝2a ， 由MP 平分∠F 1MF 2，则∠F 1MP =12∠F 1MF 2， 所以sin ∠F 1MP =√1−cos∠F 1MF 22， 由cos ∠F 1MF 2=78，则解得sin ∠F 1MP =14，由N 是M 关于直线MP 的对称点，则N 、F 2、M 共线，|F 1P|=12|NF 1|，MP ⊥F 1N ，|MF 1|＝|MN |，所以MF 1|+|MN |+|NF 1|＝4a ，在Rt △MFP 中，|F 1P|−|MF 1|sin∠F 1MP =14|MF 1|， 可得|MF 1|−|MF 1|+2|F 1P|=2|MF 1|+12|MF 1|−4a ，解得|MF 1|−85a |MF 2=25a ． 在△F 1MF 2，由余弦定理可得：|F 1F 2|2＝|MF 1|2+|MF 2|2﹣2|MF 1||MF 2|cos2α． 代入可得：4c 2=6425a 2+425a 2−2×85a ×25a ×78， 化简可得：5c 2＝2a 2，所以其离心率e =ca =√105． 故选：C ．8．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，△ABC 是边长为2的正三角形，AA 1＝3，N 为棱A 1B 1上的中点，M 为棱CC 1上的动点，过N 作平面ABM 的垂线段，垂足为点O ，当点M 从点C 运动到点C 1时，点O 的轨迹长度为（ ）A ．π2B ．πC ．3π2D ．2√3π3解：取AB 中点P ，连接PC ，C 1N ，如图，因为PC ⊥AB ，PN ⊥AB ，且PN ∩PC ＝P ，所以AB ⊥平面PCC 1N ，AB ⊂平面ABM ， 所以平面ABM ⊥平面PCC 1N ，平面ABM ∩平面PCC 1N ＝PM ， 过N 作NO ⊥PM ，NO ⊂平面PCC 1N ，所以NO ⊥平面ABM ，当点M 从点C 运动到点C 1时，O 点是以PN 为直径的圆Q （部分），如图，当M运动到点C1时，O点到最高点，此时PC=√3，CC1=3，∠CPC1=π3，所以∠OPQ=π6，从而∠OQP=2π3，所以弧长l=2π3⋅32=π，即点O的轨迹长度为π．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.9．口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件A＝“取出的两球同色”，事件B＝“第一次取出的是白球”，事件C＝“第二次取出的是白球”，事件D＝“取出的两球不同色”，则（）A．P(B)=12B．B与C互斥C．A与B相互独立D．A与D互为对立解：设2个白球为a1，a2，2个黑球为b1，b2，则样本空间为：Ω＝{（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a1），（a2，b1），（a2，b2），（b1，a1），（b1，a2），（b1，b2），（b2，a1），（b2，a2），（b2，b1）}，共12个基本事件．事件A＝{（a1，a2），（a2，a1），（b1，b2），（b2，b1）}，共4个基本事件；事件B＝{（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a1），（a2，b1），（a2，b2）}，共6个基本事件；事件C＝{（a1，a2），（a2，a1），（b1，a1），（b1，a2），（b2，a1），（b2，a2）}，共6个基本事件；事件D＝{（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（b1，a1），（b1，a2），（b2，a1），（b2，a2）}，共8个基本事件，对于A，由P(B)=612=12，故A正确；对于B，因为B∩C≠∅，所以事件B与C不互斥，故B错误；对于C，因为P(A)=412=13，P(B)=612=12，P(AB)=212=16，则P（AB）＝P（A）•P（B），故事件A与B相互独立，故C正确；对于D，因为A∩D＝∅，A∪D＝Ω，所以事件A与D互为对立，故D正确．故选：ACD．10．已知曲线C的方程为ax2+ay2﹣2x﹣2y＝0（a∈R），则（）A．曲线C可能是直线B．当a＝1时，直线3x+y＝0与曲线C相切C．曲线C经过定点D．当a＝1时，直线x+2y＝0与曲线C相交解：当a＝0时，曲线为：﹣2x﹣2y＝0，是直线方程，所以A正确；当a＝1时，曲线C的方程为x2+y2﹣2x﹣2y＝0，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，表示圆，圆的圆心（1，1），半径为√2，圆心到直线3x+y＝0的距离：√9+1=2√105≠√2，所以B不正确；圆心到直线x+2y＝0的距离：√5=3√55＜√2，直线x+2y＝0与曲线C相交，所以D正确；曲线C的方程为ax2+ay2﹣2x﹣2y＝0恒过（0，0）点，所以C正确；故选：ACD．11．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AB＝2AD＝2DC＝2CB＝4，E，F，G分别为侧棱BB1，DD1，AA1上一点，BE＝DF＝A1G＝2，则（）A．BD⊥GF B．∠GEC1=π2C．∠EGF的最大值为π6D．当AA1=83时，GE//C1F解：对于A：过D作DM⊥AB于M，因为ABCD为等腰梯形，且AB＝2CD＝4，AD＝2所以AM＝1，则DM=√22−12=√3，在Rt△DMB中，BD=√DM2+MB2=2√3，所以AB2＝AD2+BD2，所以BD⊥AD，因为DD1⊥平面ABCD，且BDC平面ABCD，所以DD1⊥BD，因为DD1∩AD＝D，所以BD⊥平面A1ADD1，又GF⊂平面A1ADD1，所以BD⊥GF，故A正确；对于B：过点G分别作GQ⊥CC1于Q，GN⊥BB1于N，连接AC，GC1，如图．由选项A的判断知AC=BD=2√3，所以GQ=AC=2√3，QC1＝A1G＝2，在RtΔGOC1中，GC1=√GQ2+C1Q2=4，设AG＝t，则CC1＝AA1＝2+t，B1E＝BN＝AG＝t，所以EC1=√B1C1+B1E2=√4+t2，同理GE=√GN2+NE2=√16+(2−t)2=√t2−4t+20，若∠GEC1=π2，则GC12=GE2+EC12，所以16＝2t2﹣4t+24，所以t2﹣2t+4＝0，因为Δ＝22﹣4×1×4＝﹣12＜0，所以方程无解，所以∠GEC1=π2不可能，故B不正确；对于C：过G作GR⊥DD1于R，连接EF，由题意知FR＝2﹣t，则GF=√GR2+FR2=√4+(2−t)2=√t2−4t+8，由选项B的判断知GE=√t2−4t+20．，因为BE＝DF＝2，所以四边形BDFE为矩形，设∠EGF＝α，由选项A的判断及BD∥EF，得GF⊥EF，所以cosα=GFGE =√2√t −4t+20，令t 2﹣4t +8＝m 2（m ≥2）， cosα=m√m 2+12=1√1+12m2，因为m 2≥4， 所以0＜12m 2≤3，则 1＜√1+12m 2≤2，所以12≤cosα＜1， 因为0＜α＜π，所以∠EGF 的最大值为 π3，所以C 不正确；对于D ：由题知DM ，DC ，DD 1 两两互相垂直， 建立空间直角坐标系，如图， 则F （0，0，2），G(√3，−1，23)， E(√3，3，2)，当AA 1=83时，C 1(0，2，83)，则GE →=(0，4，43)，FC 1→=(0，2，23)， 所以GE →=2FC 1→， 所以GE →∥FC 1→，所以GE ∥FC 1，故D 正确． 故选：AD ．12．已知P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）是椭圆x 24+9y 24=1上两个不同点，且满足x 1x 2+9y 1y 2＝﹣2，则下列说法正确的是（ ）A ．|2x 1+3y 1﹣3|+|2x 2+3y 2﹣3|的最大值为6+2√5B ．|2x 1+3y 1﹣3|+|2x 2+3y 2﹣3|的最小值为3−√5C ．|x 1﹣3y 1+5|+|x 2﹣3y 2+5|的最大值为2√5+2√105D ．|x 1﹣3y 1+5|+|x 2﹣3y 2+5|的最小值为10−2√2 解：已知A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是椭圆x 24+9y 24=1上两个不同点，则x 124+9y 124=1，x 224+9y 224，设x ＝m ，3y ＝n ，C （m 1，n 1），D （m 2，n 2），O 为坐标原点，则OC →=（m 1，n 1），OD →=（m 2，n 2），∴m 12+n 12=4，m 22+n 22=4且m 1n 1+m 2n 2＝﹣2，∴C 、D 两点均在圆m 2+n 2＝4的圆上，且∠COD ＝120°， ∴|CD |＝2√3，根据点到直线的距离公式，知√5×11√5+22√5=√5×11√5+22√5），为C 、D 两点到直线2x +y ﹣3＝0的距离d 1、d 2之和的√5倍． 设CD 的中点为E ，E 到直线2x +y ﹣3＝0的距离d 3， 则d 1+d 2＝2d 3≤2（|OE |3√5）＝26√5， |2x 1+3y 1﹣3|+|2x 2+3y 2﹣3|的最大值为√5×（265）＝6+2√5， d 1+d 2＝2d 3≥2（﹣|OE |5）＝﹣25， |2x 1+3y 1﹣3|+|2x 2+3y 2﹣3|的最小值为√5×（﹣265）＝6﹣2√5，故A 正确，B 错误； 同理可得C 错误，D 正确． 故选：AD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知直线l 1：x +ay ﹣1＝0与l 2：2x +y +1＝0平行，则l 1与l 2之间的距离为 3√55． 解：直线l 1：x +ay ﹣1＝0与l 2：2x +y +1＝0平行，则1×1﹣2a ＝0，解得a =12； 所以直线l 1可化为2x +y ﹣2＝0， 则l 1与l 2之间的距离为d =|−2−1|√2+1=3√55． 故答案为：3√55． 14．已知直线l ：x ﹣y +1＝0，若P 为l 上的动点．过点P 作⊙C ：（x ﹣5）2+y 2＝9的切线P A 、PB ，切点为A 、B ，当|PC |•|AB |最小时，直线AB 的方程为 x ﹣y ﹣2＝0 ．解：根据题意，⊙C ：x 2﹣10x +y 2+16＝0，其圆心C （5，0），半径r ＝3． ∵四边形P AMB 面积S =12|PC |•|AB |＝2S △P AC ＝|P A |•|AC |＝2|P A |＝2√PC 2−9，∴要使|PC |•|AB |最小，则需|PC |最小，此时PC 与直线l 垂直，则直线PC 的方程为y ＝﹣x +5， 联立{x −y +1=0y =−x +5，解得P （2，3），则以PC 为直径的圆的方程为（x −72）2+（y −32）2=92，联立两圆的方程，可得x ﹣y ﹣2＝0，即直线AB 的方程为x ﹣y ﹣2＝0； 故答案为：x ﹣y ﹣2＝0．15．某高中的独孤与无极两支排球队在校运会中采用五局三胜制（有球队先胜三局则比赛结束）．第一局独孤队获胜概率为0.4，独孤队发挥受情绪影响较大，若前一局获胜，下一局获胜概率增加0.1，反之降低0.1．则独孤队不超过四局获胜的概率为 0.236 ．解：赛三局，则这三局独孤队均获胜，其概率为0.4×0.5×0.6＝0.12； 赛四局，则第四局独孤队必胜，前三局中胜两局负一局，分三种情况： 第一局负，后两局胜，概率为0.6×0.3×0.4×0.5＝0.036； 第二局负，第一、三局胜，概率为0.4×0.5×0.4×0.5＝0.04； 第三局负，前两局胜，概率为0.4×0.5×0.4×0.5＝0.04， 所以赛四局，独孤队胜的概率为0.036+0.04+0.04＝0.116，综上，独孤队不超过四局获胜的概率为0.12+0.116＝0.236．故答案为：0.236．16．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，O为底面ABCD的中心，M，N分别为棱A1D1和CC1的中点，则四面体O﹣MNB1的体积为748．解：如图，取AD中点E，ED中点G，BC中点F，BF中点H，根据对称性易知MB1∥EB∥DF∥GH，且O点在GH上，∴易得GH∥平面MNB1，又O点在GH上，∴O到平面MNB1的距离等于H到MNB1的距离，∴V O−MNB1=V H−MNB1=V M−HNB1=13×S△HNB1×A1B1=13×(1×1−12×1×14−12×34×12−12×1×12)×1=13×716×1=748．故答案为：748．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）某陶瓷厂在生产过程中，对仿制的100件工艺品测得重量（单位：kg）数据如下表：（1）求出频率分布表中实数a，b的值；（2）若从重量范围在[2.60，2.80）的工艺品中随机抽选2件，求被抽选2件工艺品重量均在范围[2.70，2.80）中的概率．解：（1）a＝100﹣（4+26+28+10+2）＝30；b=28100=0.28．（2）重量范围在[2.60，2.70）的工艺品有10件，重量范围在[2.70，2.80）的工艺品有2件， 所以从重量范围在[2.60，2.80）的12件工艺品中，随机抽选2件的方法数有C 122=12×112=66（种）， 所以被抽选2件工艺品重量均在范围[2.70，2.80）中的概率为p =166． 18．（12分）已知直线l 过点M （1，1），并且与直线2x +4y +9＝0平行． （1）求直线l 的方程；（2）若直线l 与圆x 2+y 2+x ﹣6y +m ＝0相交于P ，Q 两点，O 为原点，且OP ⊥OQ ，求实数m 的值． 解：（1）∵直线2x +4y +9＝0的斜率k =−12， ∴所求直线斜率k ′=−12．故过点（1，1）且与已知直线平行的直线为y ﹣1=−12（x ﹣1）， 即x +2y ﹣3＝0．（2）设P 、Q 的坐标分别为（x 1，y 1）、（x 2，y 2）， 由OP ⊥OQ 可得：OP →⊥OQ →，即OP →•OQ →=0， 所以x 1•x 2+y 1•y 2＝0．由x +2y ﹣3＝0得x ＝3﹣2y 代入x 2+y 2+x ﹣6y +m ＝0 化简得：5y 2﹣20y +12+m ＝0， ∴y 1+y 2＝4，y 1•y 2=12+m5． ∴x 1•x 2+y 1•y 2＝（3﹣2y 1）•（3﹣2y 2）+y 1•y 2＝9﹣6（y 1+y 2）+5y 1•y 2 ＝9﹣6×4+5×12+m5=m ﹣3＝0 解得：m ＝3．19．（12分）在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，E ，F 分别在棱PD ，BC 上且PE =13PD ，CF =13BC ． （1）证明：CE ∥平面P AF ；（2）若AD ＝AP ，求直线CD 与平面P AF 所成角的正弦值．（1）证明：如图，在棱P A 上取点G ，使得PG =13PA ，连接EG ，FG ， 因为PEPD=PGPA =13，所以GE ∥AD 且GE =13AD ，由正方形ABCD ，CF =13BC ，得CF ∥AD 且CF =13AD ，所以GE ∥CF 且GE ＝CF ， 所以四边形FGEC 为平行四边形，所以CE ∥GF ， 又CE 在平面P AF ，GF ⊂平面P AF ，所以CE ∥平面P AF ． （2）解：若 AD ＝AP ，则可设 AD ＝AP ＝3，所以 AB ＝BC ＝3．以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图， 则点A （0，0，0），C （3，3，0），D （0，3，0），P （0，0，3），F （3，2，0），则CD →=(−3，0，0)，AP →=(0，0，3)；AF →=(3，2，0)， 设平面P AF 的法向量为 m ＝（x ，y ，z ）， 则由m →⋅AP →=3z ＝0，得z ＝0，令y ＝3，得平面P AF 的一个法向量为m →=（﹣2，3，0）， 设直线CD 与平面P AF 所成角的大小为θ， 则sin θ=|m →⋅CD →||m →|⋅|CD →|=613⋅3=2√1313，即直线CD 与平面P AF 所成角的正弦值为 2√1313．20．（12分）设x ，y ∈R ，向量i →，j →分别为平面直角坐标内x ，y 轴正方向上的单位向量，若向量a →=（x −√3i →+y j →），b →=（x −√3）i →+y j →，且|a →|+|b →|＝4． （Ⅰ）求点M （x ，y ）的轨迹C 的方程； （Ⅱ）设椭圆E ：x 216+y 24=1，曲线C 的切线y ＝kx +m 交椭圆E 于A 、B 两点，试证：△OAB 的面积为定值．解：（1）因为a →=(x +√3)i →+y j →，b →=(x −√3)i →+y j →， 所以|a →|=√(x +√3)2+y 2，其表示点M （x ，y ）与点F 1(−√3，0)的距离|MF 1|． 而|b →|=√(x −√3)2+y 2，其表示点M （x ，y ）与点F 2(√3，0)的距离|MF 2|， 又|a →|+|b →|=4， 所以|MF 1|+|MF 2|＝4，则点M （x ，y ）的轨迹C 是以F 1(−√3，0)，F 2(√3，0)为焦点的椭圆，且长轴长为2a ＝4，c =√3， 可得b =√a 2−c 2=1， 则点M （x ，y ）的轨迹C 的方程x 24+y 2=1；（2）证明：直线y ＝kx +m 为曲线C 的切线，联立{y =kx +mx 24+y 2=1，消去y 并整理得（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣4＝0，此时Δ＝64k 2m 2﹣4（1+4k 2）（4m 2﹣4）＝0，即1+4k 2＝m 2，因为曲线C 的切线y ＝kx +m 交椭圆E 于A 、B 两点，联立{y =kx +mx 216+y 24=1，消去y 并整理得（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣16＝0， 不妨设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由韦达定理得x 1+x 2=−8km1+4k 2，x 1x 2=4m 2−161+4k 2，此时|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√16k 2−m 2+41+4k 2，因为1+4k 2＝m 2，所以|x 1−x 2|=4√3|m|1+4k 2， 易知y 1＝kx 1+m ，y 2＝kx 2+m ，所以|y 1﹣y 2|＝k |x 1﹣x 2|，则|AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 24√3|m|1+4k 2， 又△OAB 中边AB 上的高h 即为点O 到直线y ＝kx +m 的距离，所以ℎ=√1+k ，因为1+4k 2＝m 2，此时S △OAB =12⋅ℎ⋅|AB |=2√3m 21+4k 2=2√3，故△OAB 的面积为定值，定值为2√3．21．（12分）如图1，菱形ABCD 中∠ABC ＝120°，动点E ，F 在边AD ，AB 上（不含端点），且存在实数λ使EF →=λDB →，沿EF 将△AEF 向上折起得到△PEF ，使得平面PEF ⊥平面BCDEF ，如图2所示．（1）若BF ⊥PD ，设三棱锥P ﹣BCD 和四棱锥P ﹣BDEF 的体积分别为V 1，V 2，求V 1V 2； （2）当点E 的位置变化时，平面EPF 与平面BPF 的夹角（锐角）的余弦值是否为定值，若是，求出该余弦值，若不是，说明理由；解：（1）如图，取EF 中点O ，BD 中点M ，连接OP ，OM ，因为EF →=λDB →，即EF ∥BD ，所以PE ＝PF ，所以PO ⊥EF ，又因为平面PEF ⊥平面BCDEF ，平面PEF ∩平面BCDEF ＝EF ，PO ⊂平面PEF ，所以PO ⊥平面BCDEF ，由题意可知OM ⊥EF ，以O 为原点，OF ，OM ，OP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设AB ＝4，OP =x ，0＜x ＜2√3，则OM =2√3−x ，所以B(2，2√3−x ，0)，F(x 30，0)，P （0，0，x ），D(−2，2√3−x ，0)， 所以PD →=(−2，2√3−x ，−x)，BF →=(x √32，x −2√3，0)， 因为直线BF ⊥PD ，所以PD →⋅BF →=−2(x √32)+(2√3−x)(x −2√3)=0， 即x 210√3+8=0，解得：x =6√3（舍）或x =4√3=4√33， 所以PO ＝2OM ，PE ＝2ED ，所以点E 在靠近点D 的三等分点处， 所以S BDEF S △BCD =S △ABD −S △AEF S △ABD =59， 所以V 1V 2=S BCD S BDEF =95； （2）设平面PEF 与平面PBF 的夹角为θ，平面PEF 的法向量n →=(0，1，0)，PF →=(x 30，−x)，BF →=(x 32，x −2√3，0)， 设平面PBF 的法向量m →=(a ，b ，c)，则{PF →⋅m →=x √3−xc =0BF →⋅m →=(x 3−2)a +(x −2√3)b =0，令a ＝1，得b =−√33，c =√33，得m →=(1，−√33，√33)，所以cos〈m →，n →〉=−√331×√1+13+13=−√55， 所以cosθ=√55，所以无论点E 的位置如何，平面PEF 与平面PBF 的夹角余弦值都为定值√55．22．（12分）椭圆E ：x 28+y 24=1的上顶点为P ，圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝r 2（r ＞0）在椭圆E 内．（1）求r 的取值范围；（2）过点P 作圆C 的两条切线，切点为A ，B ，切线P A 与椭圆E 的另一个交点为N ，切线PB 与椭圆E 的另一个交点为M ．直线AB 与y 轴交于点S ，直线MN 与y 轴交于点T ．求|ST |的最大值，并计算出此时圆C 的半径r ．解：（1）不妨设椭圆上任意一点Q （x 0，y 0），此时半径r ＜|CQ |min ，可得CQ 2=(x 0−1)2+y 02=(x 0−1)2+4−x 022=x 022−2x 0+5≥3， 所以r ＜|CQ |min =√3，所以r 的取值范围为（0，√3）；（2）不妨设k P A ＝k 1，k PB ＝k 2，N （x 1，y 1），M （x 2，y 2），S （0，y 3），T （0，y 4），经过点P 的直线l 的方程为y ＝kx +2，因为直线l 与圆C 相切， 所以√1+k 2=r ，整理得（r 2﹣1）k 2﹣4k +r 2﹣4＝0，因为P A 与PB 均与圆C 相切，所以k 1，k 2为该方程的两个根，所以k 1+k 2=4r 2−1，k 1k 2=r 2−4r 2−1， 由切线方程得直线AB ：﹣（x ﹣1）+2y ＝r 2， 所以y 3=r 2−12， 联立{y =kx +2x 28+y 24=1，消去y 并整理得（1+2k 2）x 2+8kx ＝0， 所以x 1=−8k 11+2k 12，x 2=−8k 21+2k 22，N(−8k 11+2k 12，2−4k 121+2k 12)，M(−8k 21+2k 22，2−4k 221+2k 22)，不妨设直线MN 的方程为y ＝tx +m ，因为M ，N 均在直线MN 上，所以{ 2−4k 121+2k 12=t −8k 1+2k 12+m 2−4k 221+2k 22=t −8k 21+2k 22+m ， 整理得{(2m +4)k 12−8tk 1+m −2=0(2m +4)k 22−8tk 2+m −2=0， 所以k 1，k 2为方程（2m +4）k 2﹣8kt +m ﹣2＝0的两个根， 则k 1k 2=m−22m+4，又k 1k 2=r 2−4r 2−1， 所以m−22m+4=r 2−4r 2+I ，解得m =6r 2−187−r 2， 此时|ST|=|y 3−y 4|=|r 2−12−m|=|r 2−12−6r 2−187−r 2=12|18−(7−r 2+487−r 2)| ≤12|18−2√48|=9−4√3，当7−r 2=487−r 2，即r ＝2−√3时，ST 取到最大值，最大值为9−4√3．。
2019-2020学年浙江省宁波市中学高二上学期期中数学试题及答案解析
2019-2020学年浙江省宁波市中学高二上学期期中数学试题及答案解析一、单选题11=表示的曲线是（ ）A ．一条射线B ．双曲线C ．双曲线的左支D ．双曲线的右支【答案】D【解析】根据方程表示点(),P x y 到点()11,0F -和点()21,0F 的距离之差为1，得到答案. 【详解】1=表示点(),P x y 到点()11,0F -和点()21,0F 的距离之差为1，1221F F =>，故表示的是双曲线的右支. 故选：D . 【点睛】本题考查了方程表示的曲线，转化为几何意义是解题的关键.2．已知a R ∈,则“1a >”是“11a<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件【答案】A【解析】先求得不等式11a <的解集为0a <或1a >，再结合充分条件和必要条件的判定，即可求解． 【详解】由题意，不等式11a <，等价与1110a a a--=<，即10a a ->，解得0a <或1a >，所以“1a >”是“11a <”的充分不必要条件． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，以及分式不等式的求解，其中解答中正确求解不等式的解集，合理利用充分、必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这4句诗中，可作为命题的是( )A ．红豆生南国B ．春来发几枝C ．愿君多采撷D ．此物最相思 【答案】A【解析】利用命题的定义即可判断出答案． 【详解】由命题的定义可知：“红豆生南国”这一句可以判断红豆生在什么地方，因此可以作为一个命题． 故选：A ． 【点睛】正确理解命题的定义是解题的关键．4．已知m，n表示两条不同直线，α，β表示两个不同的平面，以下能判定m⊥α的是（）A．α⊥β且m⊂βB．α⊥β且m∥βC．α∥β且m⊥βD．m⊥n且n∥α【答案】C【解析】ABD选项均可得到mα⊂，//mα或m与α相交，得到答案.【详解】A. α⊥β且m⊂β，则mα⊂或//mα或m与α相交，故排除；B. α⊥β且m∥β，则mα⊂或//mα或m与α相交，故排除；C. α∥β且m⊥β，则m⊥α，正确；D. m⊥n且n∥α，则mα⊂或//mα或m与α相交，故排除；故选：C.【点睛】本题考查了直线和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力.5．在空间直角坐标系O﹣xyz中，O为坐标原点，若点P （1，﹣2，3）在平面xOz上的投影为点B，则线段OB 的长度为（）B C DA【答案】B【解析】计算得到()B，再计算长度得到答案.1,0,3【详解】点P（1，﹣2，3）在平面xOz上的投影为点()B，故1,0,3OB==.故选：B.【点睛】本题考查了空间中点的投影，距离的计算，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.6．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若a⊥b，则a•b=0”的否命题为“若a⊥b，则a•b≠0”B．命题“函数f（x）＝（a﹣1）x是R上的增函数”的否定是“函数f（x）＝（a﹣1）x是R上的减函数”C．命题“在△ABC中，若sin A＝sin B，则A＝B”的逆否命题为真命题D．命题“若x＝2，则x2﹣3x+2＝0”的逆命题为真命题【答案】C【解析】根据否命题，逆命题，逆否命题，命题的否定的定义依次判断每个选项得到答案.【详解】A. 命题“若a⊥b，则a•b=0”的否命题为“若a不垂直b，则a•b≠0”，故A错误；B. 命题“函数f（x）＝（a﹣1）x是R上的增函数”的否定是“函数f（x）＝（a﹣1）x不是R上的增函数”，故B错误；C. 命题“在△ABC中，若sin A＝sin B，则A＝B”是真命题，故逆否命题为真命题，C正确；D. 命题“若x＝2，则x2﹣3x+2＝0”的逆命题为“若x2﹣3x+2＝0，则x ＝2”，为假命题，D 错误； 故选：C . 【点睛】本题考查了命题的否定，否命题，逆否命题，逆命题，意在考查学生对于命题的理解和掌握.7．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，点E 为平面BCC 1B 1的中心，则直线DE 与平面ACD 1所成角的余弦值为（ ）A ．14B ．13C D 【答案】B【解析】如图所示，建立空间之间坐标系，设正方体边长为1，则()0,0,0D ，11,1,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭.易知平面1ACD 的法向量为()1,1,1n =，计算夹角得到答案.【详解】如图所示，建立空间之间坐标系，设正方体边长为1，则()0,0,0D ，11,1,22E ⎛⎫⎪⎝⎭.根据1,n AC n AD ⊥⊥得到平面1ACD 的法向量为()1,1,1n =，11,1,22DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故22cos 3n DE n DEα⋅==⋅，故1sin 3α=，直线DE 与平面ACD 1所成角θ，满足1cos sin 3θα==. 故选：B .【点睛】本题考查了线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.8．设双曲线()2222100y x a b a b-=＞，＞的上焦点为F ，过点F 作与y 轴垂直的直线交两渐近线于A ，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若OP OA OB λμ=+，()2259R λμλμ+=∈，，则双曲线的离心率e 的值是（ ） A ．3 B ．355C ．324D ．32【答案】C【解析】根据,,A B P 三点共线得到1λμ+=，计算得到,3bc P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，代入双曲线方程，化简得到答案. 【详解】渐近线为：a y xb =±，取yc =，解得bc x a =±，则,,,bc bc A c B c a a ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.OP OA OB λμ=+，且,,A B P 三点共线，故1λμ+=，2259λμ+=， 则1323λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或2313λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，不妨取1323λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则,3bc P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 代入双曲线方程得到：222219c c a a -=，即281,94e e ==.故选：C . 【点睛】本题考查了双曲线的离心率，根据共线得到1λμ+=是解题的关键.9．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，经过定点P （a ，0）（a ＞0）的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且2BP PA =，|AF |+2|BF |＝9，则a ＝（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A【解析】过A 作AC 垂直准线于C ，过点B 作BD 垂直准线于D ，连接CP 并延长与DB 的延长线交于E ，根据相似得到3NP =，得到答案.【详解】如图所示：过A 作AC 垂直准线于C ，过点B 作BD 垂直准线于D ，连接CP 并延长与DB 的延长线交于E .2BP PA =，则2AC BE=，29AF BF+=，即29DE =， 4.5DE =.根据三角形相似得到：23NP DE=，故3NP =，1OP =，故1a =. 故选：A .【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.10．四棱锥P ﹣ABCD 中，已知3PAB PAD BAD π∠=∠=∠=，|AB |＝|AD |＝a ，|AP |＝b ，|PC |＝1，则b 的最大值为（ ） A 3B 6C 6D 3【答案】B【解析】根据对称性知P 在平面ABCD 的投影在BAD ∠的角平分线上，设为F ，作FE AD ⊥于E ，连接PE ，FC ，计算得到6PA =，根据勾股定理计算得到答案. 【详解】根据对称性知P 在平面ABCD 的投影在BAD ∠的角平分线上，设为F ，作FE AD ⊥于E ，连接PE ，FC .AD EF ⊥，AD PF ⊥，故AD ⊥平面PEF ，故AD PE ⊥，故2b AE =，32PE =.36EF b =，2263PA PE EF b =-=. 在PFC ∆中，222PC FC PF =+，即222113b FC =-≤，故6b ≤.当F 和C 点重合时等号成立. 故选：B .【点睛】本题考查了四棱锥中距离的最值问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.二、填空题11．双曲线2213y x -=的渐近线方程为_____，焦点坐标为_____． 【答案】y 3=±x（±2，0）【解析】直接利用渐近线方程公式和焦点公式得到答案. 【详解】双曲线2213y x -=的渐近线方程为：y =，焦点坐标为()2,0±.故答案为：y =；()2,0±.【点睛】本题考查了渐近线和焦点，属于简单题.12．已知()3211a λ=-，，，()102b μμ=+，，．若a b ⊥，则μ＝_____；若//a b ，则λ+μ＝_____． 【答案】35-710【解析】根据垂直得到()31020a b μμ⋅=+++=，根据平行得到a mb =，计算得到答案.【详解】()31020a b μμ⋅=+++=，故35μ=-； //a b ，则a mb =，即()()3211102m λμμ-=+，，，，，故()3121012m m μλμ⎧=+⎪-=⎨⎪=⎩，解得1215λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故710λμ+=. 故答案为：35；710. 【点睛】本题考查根据向量的垂直平行求参数，意在考查学生的计算能力.13．已知向量a ，b ，c 是空间的一组单位正交基底，向量a b +，a b -，c 是空间的另一组基底，若向量p 在基底a ，b，c下的坐标为（2，1，3），p在基底a b+，a b-，c下的坐标为（x，y，z），则x﹣y＝_____，z＝_____．【答案】1 3【解析】化简得到()()p x y a x y b zc=++-+，对比系数得到答案.【详解】根据题意知：23p a b c=++，()()()()=++-+=++-+.p x a b y a b zc x y a x y b zc故1,3-==；x y z故答案为：1；3.【点睛】本题考查了向量基本定理的应用，意在考查学生的计算能力.14．若动点P到点F（0，1）的距离比它到直线y＝﹣2的距离少1，则动点P的轨迹C的方程为_____，若过点（2，1）作该曲线C的切线l，则切线l的方程为_____【答案】x2＝4y y＝x﹣1．【解析】设动点P的坐标为（x，y），代入化简得到答案，设过点（2，1）的直线方程为y＝k（x﹣2）+1，计算得到答案.【详解】设动点P的坐标为（x，y），21y=+-；∴x2＝4y；动点P的轨迹C方程为x2＝4y；设过点（2，1）的直线方程为y＝k（x﹣2）+1；①当k 不存在时，则直线方程为x ＝2，与曲线C 不相切； ②当k存在时，联立()2214y k x x y ⎧=-+⎨=⎩，∴x 2﹣4kx +8k ﹣4＝0．∵直线与曲线C 相切，∴△＝16k 2﹣32k +16＝0；解得k ＝1； 切线l 的方程为y ＝x ﹣1． 故答案为：24x y =；1y x =-. 【点睛】本题考查了轨迹方程，切线问题，意在考查学生的计算能力.15．在四面体ABCD 中，△ABD 和△BCD 均为等边三角形，AB ＝2，AC =，则二面角B ﹣AD ﹣C 的余弦值为_____．【解析】如图所示建立空间直角坐标系，平面ABD 的法向量()11,0,0n =，平面ACD 的法向量()21,n =，利用夹角公式计算得到答案. 【详解】设BD 中点为O ，则AO CO ==AC =AO CO ⊥，故,,OA OC OD 两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系.平面ABD 的法向量()11,0,0n =，设平面ACD 的法向量为()2,,n x y z =，()(),,0,1,0A CD ，则220,0n CD n AD ⋅=⋅=，解得：()21,3,1n =，则法向量夹角121235cos 553n n n n θ⋅===⋅⋅. 故二面角B ﹣AD ﹣C 的余弦值为5.故答案为：5.【点睛】本题考查了二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.16．四边形ABCD 的各个顶点依次位于抛物线y ＝x 2上，∠BAD ＝60°，对角线AC 平行x 轴，且AC 平分∠BAD ，若2BD =，则ABCD 的面积为_____．3【解析】不妨设()()()()2222,,,,,,,A a a C a a B b b D d d -，计算得到3a b -=，3d a -=，计算得到2a =根据()12D B S AC y y =-计算得到答案. 【详解】不妨设()()()()2222,,,,,,,A a a C a a B b b D d d -.则)22a b a b +-，故3a b -=；)22a d d a +=-，故3d a -=.()()()()()222222212BD b d b db d b d =-+-=-++=，即()241423a +=，4a =.()()22212236D B S AC y y a d b a =-=-=⋅=.故答案为：6.【点睛】本题考查了抛物线的内接四边形面积，意在考查学生的计算能力. 17．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=＞＞，点A ，B 分别是椭圆E 的左顶点和上顶点，直线AB 与圆C ：x 2+y 2＝c 2相离，其中c 是椭圆的半焦距，P 是直线AB 上一动点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为M ，N ，若存在点P 使得△PMN 是等腰直角三角形，则椭圆离心率平方e 2的取值范围是_____．【答案】，32-）．【解析】根据直线和圆相离得到a 2b 2＞c 2（a 2+b 2），根据等腰三角形得到2e 4﹣5e 2+1≤0，计算得到答案. 【详解】 AB所在直线方程为1x ya b +=-，即bx ﹣ay +ab ＝0，又直线AB 与圆C ：x 2+y 2＝c 2相离，∴22a b+＞c ，即a 2b 2＞c 2（a 2+b 2），∴a 2（a 2﹣c 2）＞c 2（2a 2﹣c 2），整理得：e 4﹣3e 2+1＞0，解得0＜e 2352-＜；又存在点P 使得△PMN 是等腰直角三角形， 则在Rt △OPN 中，OP 2=ON 2=c ，∴222c a b≤+，即a 2b 2≤2c 2（a 2+b 2），∴a 2（a 2﹣c 2）≤2c 2（2a 2﹣c 2）， 整理得2e 4﹣5e 2+1≤0，解得5174-≤e 2＜1． ∴e 2的取值范围是[517-，352-）．故答案为：[517-，35-）.【点睛】本题考查了椭圆的离心率问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.三、解答题18．已知a ＞0，且a ≠1．命题P ：函数f （x ）＝log a x 在（0，+∞）上为增函数；命题Q ：函数g （x ）＝x 2﹣2ax +4有零点．（1）若命题P ，Q 满足P 真Q 假，求实数a 的取值范围； （2）命题S ：函数y ＝f （g （x ））在区间[2，+∞）上值恒为正数．若命题S 为真命题，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）（1，2）； （2）（1，74）．【解析】（1）根据命题P ，Q 满足P 真Q 假，计算得到答案.（2）首先保证g （x ）＝x 2﹣2ax +4在[2，+∞）上恒大于0，再讨论0＜a ＜1和1＜a ＜2两种情况，分别计算得到答案. 【详解】（1）由命题P ：函数f （x ）＝log a x 在（0，+∞）上为增函数是真，得a ＞1；由命题Q ：函数g （x ）＝x 2﹣2ax +4有零点为假，得△＝4a 2﹣16＜0，得﹣2＜a ＜2．∴使命题P 真Q 假的实数a 的取值范围是（1，2）； （2）若函数y ＝f （g （x ））在区间[2，+∞）上值恒为正数， 则首先保证g （x ）＝x 2﹣2ax +4在[2，+∞）上恒大于0， 则△＝4a 2﹣16＜0或()2840a g a a ≤⎧⎨=-⎩＞， 得﹣2＜a ＜2．又a ＞0且a ≠1，∴0＜a ＜2且a ≠1． 当0＜a ＜1时，外层函数f （x ）单调递减，而内层函数g （x ）当x →+∞时，g （x ）→+∞，此时y＝f（g（x））＜0，不合题意；当1＜a＜2时，外层函数f（x）单调递增，要使y＝f（g （x））＞0在区间[2，+∞）上恒成立，则g（x）＝x2﹣2ax+4在[2，+∞）上的最小值大于1．即g（2）＝8﹣4a＞1，得a7＜．4∴1＜a7＜．4即使命题S为真命题的实数a的取值范围是（1，7）．4【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，AB ，BD＝2．5（1）若点E，F分别为线段PD，BC上的中点，求证：EF∥平面PAB；（2）若平面PBD⊥平面ABCD，且PD⊥PB，PD＝PB，求平面PAB与平面PBC所成的锐二面角的余弦值．．【答案】（1）见解析（2）79【解析】（1）取AP的中点为H，连接EH，HB，证明四边形BFEH为平行四边形得到答案.（2）过A 作AN ⊥PB 于点N ，连接NC ，AC ，BD ，设AC 交BD 于点O ，确定则∠ANC 为二面角A ﹣PB ﹣C 的平面角，计算得到答案. 【详解】（1）取AP 的中点为H ，连接EH ，HB ；由E ，H 分别为PD ，P A 的中点，则EH ∥AD且12EH AD =； 又F 为BC 的中点，则BF ∥AD 且12BF AD =；所以EH ∥BF 且EH ＝BF ，则四边形BFEH 为平行四边形； 所以EF ∥BH ，又HB ⊂平面P AB ； 所以EF ∥平面P AB ；（2）过A 作AN ⊥PB 于点N ，连接NC ，AC ，BD ，设AC 交BD 于点O ，在△PBD 中O 为AC 的中点，PD ＝PB ，则PO ⊥BD ； 又平面PBD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ； 在△PBD 中，PD ⊥PB ，BD ＝2．则PD ＝PB 2=由题意有P A ＝PC 5=AO ＝2，5AB =在等腰三角形APB 中，2232()22PB AN AB =-=； 由△P AB ≌△PCB ，则CN ⊥PB ；CN ＝AN 在△ACN中，2229916722293232222AN NC AC cos ANC AN CN +-+-∠===-⋅⨯⨯； 故平面P AB 与平面PBC 所成的锐二面角的余弦值为79．【点睛】本题考查了线面平行和二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.20．如图，已知椭圆2213x C y +=：，过动点M （0，m ）的直线交x 轴于点N ，交椭圆C 于A ，P （其中P 在第一象限，N 在椭圆内），且M 是线段PN 的中点，点P 关于x 轴的对称点为Q ，延长QM 交C 于点B ，记直线PM ，QM 的斜率分别为k 1，k 2．（1）当113k =时，求k 2的值；（2）当1213k k =-时，求直线AB 斜率的最小值．【答案】（1）k 2＝1（2）最小值为1．【解析】（1）设P （x 0，y 0），（x 0＞0，y 0＞0），M （0，m ），计算得到213k k =-，得到答案.（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线P A 的方程为y ＝kx +m ，（k ＞0），联立方程计算得到1212AB y y k x x -=-，代入数据利用均值不等式计算得到答案. 【详解】（1）设P （x 0，y 0），（x 0＞0，y 0＞0），M （0，m ），可得P （x 0，2m ），Q （x 0，﹣2m ）． 所以直线PM的斜率1002m m mk x x -==；直线QM 的斜率20023m m mk x x --==-；此时213k k =-．当113k =-时k 2＝1； （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．直线P A 的方程为y ＝kx +m ，（k ＞0）由2233x y y kx m ⎧+⎨=+⎩，得（1+3k 2）x 2+6kmx +3m 2﹣3＝0 ()22012231331313m m x x k k -==++，即()()2123113m xk x-=+；所以()()211203113k m y kx m mk x -=+=++；直线QB 的方程为y ＝﹣3kx +m ． 同理有：()()222031127m x k x -=+，()()222031127k m y mk x --=++，31126k k⋅=23126k k =，当且仅当2232HQ HQ AB ︒===，即13k =时取等号； 故直线AB 的斜率的最小值为1． 【点睛】本题考查了椭圆内的斜率问题，综合考查了均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合理解能力.21．如图，△ABC 为正三角形，且BC ＝CD ＝2，CD ⊥BC ，将△ABC 沿BC 翻折．（1）当AD ＝2时，求证：平面ABD ⊥平面BCD ； （2）若点A 的射影在△BCD 内，且直线AB 与平面ACD所成角为60°，求AD的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）根据长度关系得到AE⊥平面BCD，得到证明.（2）取BC中点O，BD中点E，连接AO，OE，得HQ⊥平面ACD，计算HQ=AH=.【详解】（1）若AD＝2，又AB＝AC＝2，则A在底面BCD内的射影为△BCD的外心，∵△BCD为直角三角形，且∠BCD＝90°，∴A在底面BCD内的射影E落在BD的中点上，∴AE⊥平面BCD，而AE⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD；（2）取BC中点O，BD中点E，连接AO，OE，可得BC⊥平面AOE，过A作AH⊥OE于H，过H作HN∥BC交CD于N，连接AN，作HQ⊥AN于Q，得HQ⊥平面ACD，点B到平面ACD的距离为2HQ，则x=，得HQ=设AH＝x，有==，解得x=AH=又AO=∴H与O重合，则AD015245p--=．【点睛】本题考查了面面垂直，根据线面夹角求线段长度，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.22．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点到直线l：2x﹣y﹣1＝0的距离为54．（1）求抛物线的方程；（2）过点P（0，t）（t＞0）的直线l与抛物线C交于A，B两点，交x轴于点Q，若抛物线C上总存在点M（异于原点O），使得∠PMQ＝∠AMB＝90°，求实数t的取值范围．【答案】（1）x2＝y；（2）t≥1．【解析】（1）直接利用点到直线的距离公式计算得到答案. （2）过点P（0，t）（t＞0）的直线l的方程设为y＝kx+t，联立方程，利用韦达定理得到x1+x2＝k，x1x2＝﹣t，且y1＝x 12，y 2＝x 22，根据∠PMQ ＝∠AMB ＝90°，可得2m tm k =-+•tk-=1，化简得到答案. 【详解】（1）抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点（0，2p）到直线l ：2x ﹣y ﹣1＝0可得tk -，解得p 12=，即抛物线的方程为x 2＝y ；（2）过点P （0，t ）（t ＞0）的直线l 的方程设为y ＝kx +t ，联立x 2＝y ，可得x 2﹣kx ﹣t ＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得k 2+4t ＞0，x 1+x 2＝k ，x 1x 2＝﹣t ，且y 1＝x 12，y 2＝x 22， 设M （m ，m 2），Q （2m tm-，0），由∠PMQ ＝∠AMB ＝90°，可得2m tm k=-+•tk -=1，化为2211m x m x --m 3﹣mt +m ，① 2222m x m x -=--•2t m=1，即（m +x 1）（m +x 2）＝﹣1，化为m 2+km﹣t +1＝0，② 由①②可得t ＝k 2m 2，由k 2﹣4（1﹣t ）≥0可得4（1﹣t ）≤k 21tt-≤， 由于m ≠0，m 2＞0，可得1tt -≤0解得t ≥1．【点睛】本题考查了抛物线方程，根据直线和抛物线的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力.。
2023-2024学年浙江省宁波市高二上学期期中数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年浙江省宁波市高二上册期中数学模拟试题一、单选题1．直线2x =-的倾斜角为（）A ．0B ．π4C ．π2D ．3π4【正确答案】C【分析】由倾斜角定义即可判断.【详解】直线2x =-与y 轴平行，故倾斜角为π2.故选：C2．已知两个向量(2,1,3)a =- ，(4,,)b m n = ，且//a b，则m n +的值为（）A ．1B ．2C ．4D ．8【正确答案】C【分析】由//a b ，可知R λ∃∈，使b a λ=，利用向量的数乘运算及向量相等即可得解.【详解】∵//a b ，∴R λ∃∈，使b a λ= ，得423m n λλλ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，解得：226m n λ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以4m n +=故选：C思路点睛：在解决有关平行的问题时，通常需要引入参数，如本题中已知//a b，引入参数λ，使b a λ= ，转化为方程组求解；本题也可以利用坐标成比例求解，即由//a b ，得4213m n==-，求出m ，n .3．抛物线22y x =-的焦点坐标为（）A ．10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,08⎛⎫- ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】将抛物线方程化为标准方程，由此可得焦点坐标.【详解】由22y x =-得：212=-x y ，∴其焦点坐标为10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：A.4．下列椭圆中最接近于圆的是（）A ．2213611x y +=B ．221259x y +=C ．221144169x y +=D ．2214x y +=【正确答案】C【分析】椭圆的离心率越小，则椭圆越圆，则b a 越大，分析各选项中的椭圆中的ba 即可得出答案.【详解】椭圆的离心率越小，则椭圆越圆，则ba越大，A中b a =，B 中35b a =，C 中1213b a =，D 中12b a =，其中C 中的ba最大，故选择C 的椭圆最圆，故选：C.5．两圆229x y +=和228690x y x y +-++=的位置关系是（）A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切【正确答案】B【分析】先求出两圆的圆心和半径,再根据圆心距与两圆的半径和及半径差之间的大小关系,得出两圆的位置关系即可.【详解】解:由题知,229x y +=的圆心为()0,0,半径为3,因为228690x y x y +-++=,即()()224316x y -++=,圆心为()4,3-,半径为4,5=,因为43543-<<+,所以两圆相交.故选:B6．若直线()120x m y ++-=和直线240mx y ++=平行，则m 的值为（）A ．1B ．2-C ．1或2-D ．23-【正确答案】A【分析】由题知两直线平行，直接列出111222A B C A B C =≠(2220,0,0A B C ≠≠≠)即可求得m【详解】直线()120x m y ++-=和直线240mx y ++=平行，可得()1212m m m ⎧⨯=+⎨≠-⎩，得1m =.故选：A.本题考查了已知两直线平行求参的问题，注意要排除两直线重合的情况，属于基础题.7．已知双曲线C ：2212y x -=的右焦点为F ，过F 的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，若3AB =，则这样的直线l 有（）A ．0条B ．2条C ．3条D ．4条【正确答案】B【分析】根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：①直线A B 只与双曲线右支相交，②直线A B 与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，利用符合条件的直线的数目，综合可得答案．【详解】因为双曲线C ：2212y x -=中2221,2,3a b c ===，过双曲线2221(0)3y x a a-=>的右焦点F 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点，如果AB 在同一支上，则有2min 2|43b AB a==，所以右支不存在这样的直线；双曲线C 的实轴长为2，24AB <<，因此直线l 只能与两只各交于一点,A B 时，满足3AB =的直线有2条.故选：B.8．已知P 是椭圆2214x y +=上的点，F 为椭圆的右焦点，则使POF 为等腰三角形（O 为坐标原点）的点P 的个数为（）A ．2B ．4C ．6D ．8【正确答案】D【分析】分别以POF 的三条边为底边进行讨论.【详解】2214x y += ，2,1,a b c ∴===，则2,22OF PO PF =<<<<+，若以OF 为底边，则有两个，若以PF为底边，则OP ,设(,)P x y ，则2222143x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故有4个，若以PO为底边，则PF =设(,)P x y ，则(2222143x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，得4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故有2个，综上共有8个，故选：D.二、多选题9．下列双曲线中，渐近线方程是12y x =±的为（）A ．2214x y -=B ．2214y x -=C ．22142x y -=D ．2214x y -=【正确答案】AD【分析】焦点在x 轴上的双曲线，渐近线为by x a=±，焦点在y 轴上的双曲线，渐近线为a y x b =±，代入即可求得.【详解】A 选项，2,1a b ==，12b y x x a =±=±，故A 选项正确；B 选项，2,1a b ==，2ay x x b=±=±，故B 选项错误；C选项，2,2b a b y x x a ===±=±，故C 选项错误；D 选项，11,2,2a ab y x x b ===±=±，故D 选项正确.故选：AD10．已知1F ，2F 为双曲线22221x ya b-=()0,0a b >>的焦点，O 为双曲线的中心，P ，Q 分别为1OF ，2OF 的中点，M 为双曲线上一点，且24a PM QM =⋅ ，则该双曲线的离心率可能是（）A BC ．2D ．3【正确答案】BCD【分析】由题意可得,0,,022c c P Q ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由24a PM QM =⋅ 可得22220044a c x y +=+，又因为()00,M x y 为双曲线上一点，代入化简结合22x a ≥，可得2222224a c a b a c⎛⎫++⋅≥ ⎪⎝⎭，解不等式即可求出答案.【详解】1F ，2F 为双曲线22221x ya b-=()0,0a b >>的焦点，所以()()12,0,,0F c F c -，P ，Q 分别为1OF ，2OF 的中点，所以,0,,022c c P Q ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()00,M x y ，所以由24a PM QM =⋅ 可得：0000,,,22c c PM x y QM x y ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，则2222044c a x y -+=，即22220044a c x y +=+，又因为()00,M x y 为双曲线上一点，所以2220021x y b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则22222222000221144x b a c x b x b a a ⎛⎫⎛⎫+-=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：22222024a c a x b c⎛⎫+=+⋅⎪⎝⎭，因为220x a ≥，所以2222224a c a b a c⎛⎫++⋅≥ ⎪⎝⎭，所以223c a ≥，结合1e >，解得.e ≥故选：BCD11．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线交抛物线于,A B 两点，线段AB 的中点为M ，,,A B M 在l 上的射影分别为,,P Q N ，下列结论正确的为（）A ．NA NB ⊥B ．NF AB ⊥C ．FP FQ⊥D ．MP MQ⊥【正确答案】ABC【分析】根据抛物线定义和梯形中位线性质可求得12MN AB =，知A 正确；根据等腰三角形性质和平行直线的性质可推导得到PAN MAN ∠=∠，进而确定ANP ANF ≌，知B 正确；由角度关系可推导得到22πAFO BFO QFO PFO ∠+∠=∠+∠=，由此可知C 正确；若D 正确，由圆的性质知MN NF =，可知不恒成立，则D 错误.【详解】对于A ，由抛物线定义可知：AP AF =，BQ BF =，M 为AB 中点，()()111222MN AP BQ AF BF AB ∴=+=+=，NA NB ∴⊥，A 正确；对于B ，12MN AB AM == ，MNA MAN ∴∠=∠，//AP MN ，MNA PAN ∴∠=∠，则PAN MAN ∠=∠，又AM AP =，AN AN =，ANP ANF ∴ ≌，π2AFN APN ∴∠=∠=，即NF AB ⊥，B 正确；对于C ，BF BQ = ，AF AP =，BQF BFQ ∴∠=∠，APF AFP ∠=∠，////AP OF BQ ，APF PFO ∴∠=∠，BQF QFO ∠=∠，QFO BFQ ∴∠=∠，PFO AFP ∠=∠，22πAFO BFO QFO PFO ∠+∠=∠+∠= ，π2QFO PFO ∴∠+∠=，即FP FQ ⊥，C 正确；对于D ，若MP MQ ⊥，则由FP FQ ⊥知：,M F 在以N 为圆心，NP 为半径的圆上，MN NF ∴=，又NF AB ⊥，NF MN ∴≤（当且仅当,M F 重合时取等号），MP MQ ∴⊥不恒成立，D 错误.故选：ABC.12．已知矩形ABCD 与CDEF ，P 为CD 上一点，记二面角A CD F --的大小为θ．若存在过点P 的4条直线1l ，2l ，3l ，4l ，其与平面ABCD 、平面CDEF 所成的角均为25︒，则θ的值可能为（）A ．20︒B ．40︒C ．60︒D ．80︒【正确答案】CD【分析】分两种情况，一是在二面角的平分面上，另一种情况是在邻补二面角的平分面上研究，以角平分线为基准，旋转找符合要求的直线即可.【详解】作二面角的平面角A PE ''，则A PE θ''∠=，设1PP 为A PE ''∠的平分线，则112A PP PPE θ''∠=∠=当1PP 以P 为中心在二面角的平分面上转时，1PP 与两平面的夹角变小，会对称出现两条与平面ABCD 、平面CDEF 所成的角相同的直线；设2PP 为A PE ''∠的补角角平分线，则22π2P PA P PE θ-''∠=∠=，当2PP 以P 为中心，在二面角的邻补二面角平分面上转时，2PP 与两平面的夹角变小，会对称出现两条与平面ABCD 、平面CDEF 所成的角相同的直线；若存在过点P 的4条直线1l ，2l ，3l ，4l ，其与平面ABCD 、平面CDEF 所成的角均为25︒，则252π252θθ⎧>︒⎪⎪⎨-⎪>︒⎪⎩，解得50130θ︒<<︒，CD 符合条件，故选：CD 三、填空题13．直线21y x =+在x 轴上的截距为______．【正确答案】12-##0.5-【分析】求出直线与x 轴交点的横坐标即可.【详解】∵直线方程为21y x =+，∴令0y =，得12x =-，即直线21y x =+与x 轴交于点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴直线21y x =+在x 轴的截距为12-.故答案为.12-14．在空间直角坐标系中，已知点()1,2,3P ---与点()1,1,2M -，若M 关于平面xOy 的对称点为M '，则M '到点P 的距离为______．【分析】根据点关于面对称的坐标特征，结合空间两点间距离公式进行求解即可.【详解】因为M 关于平面xOy 的对称点为M '，()1,1,2M -，所以()1,1,2M '--，所以M P '==，15．已知抛物线24y x =的焦点为F ，过F 的弦AB 满足3AF BF =，则AB 的值为______．【正确答案】163【分析】由A ，B 分别向抛物线的准线作垂线，垂足为A '，B '，根据抛物线定义，AA AF '=，BB BF '=，设直线AB 与抛物线的准线交点为M ，抛物线的准线与x 轴交于点N ，根据MBB ' ，MAA ' 和MFN △的相似关系进行求解即可.【详解】如图，由A ，B 分别向抛物线的准线作垂线，垂足为A '，B '，设直线AB 与抛物线的准线交点为M ，抛物线的准线与x 轴交于点N ，则2FN p ==，设BF m =（0m >），则33AF BF m ==，4AB AF BF m =+=由抛物线的定义，3AA AF m '==，BB BF m '==，易知MBB MAA '' ，∴BB MB MB AA MA MB AB '=='+，∴34MB mm MB m=+，∴2MB m =，又易知，MBB MFN ' ，∴BB MB MB FN MF MB BF '==+，∴222m m m m=+，∴43m =，∴1643AB m ==.故答案为.16316．已知一个玻璃杯内壁的轴截面是抛物线，其方程为：212y x =()44x -≤≤，现在将一个半径为r 的小球放入杯中，若小球能触及杯子的最底部，则小球的半径的取值范围是______．【正确答案】(]0,1【分析】分析轴截面，当小球圆心和P 点距离最小时，即点P 为()0,0时，分析圆心坐标符合的二次函数对称轴在y 轴左侧位置时的半径范围.【详解】设小球的圆心为()00,C y ，抛物线上任意一点(),P m n 满足214n m =.圆心到P 点的距离的平方()()2222002d m n y n n y =+-=+-()220021n y n y =+-+.若2d 的最小值在点P 为()0,0即0n =时取到，则小球触及杯底，所以此二次函数的对称轴位置应在y 轴的左侧即010y -≤，01y ∴≤，01r ∴<≤.故(]0,1四、解答题17．ABC 中，已知()1,1A -，()2,5B ，()5,7C -(1)求BC 边上的高所在直线的方程；(2)若AD 是ABC 的内角平分线，求AD ．【正确答案】(1)450x y -+=(2)4【分析】（1）首先根据垂直关系确定BC 边上的高所在直线的斜率，再代入点斜式方程求解；（2）首先根据直线,AB AC 的斜率确定角平分线AD 的斜率，联立方程求点D 的坐标，再根据两点间距离求AD .【详解】（1）由条件可知，75452BC k --==--，所以BC 边上的高的斜率是14，所以BC 边上的高所在直线的方程是()1114y x -=+，即450x y -+=；（2）154123ABk -==--，()714513AC k --==---，AB AC k k =-，所以BAC ∠的角平分线过点()1,1A -且平行于x 轴，即直线:1AD y =，直线BC 的方程是()542y x -=--，即4130x y +-=，联立41301x y y +-=⎧⎨=⎩，得31x y =⎧⎨=⎩，即()3,1D ，所以4AD ==.18．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是BC 的中点．(1)求异面直线1AC 与DM 所成角的余弦值；(2)求二面角11A DM C --的余弦值．【正确答案】1515(2)66【分析】（1）建立空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成的角；（2）由空间向量法求二面角．【详解】（1）以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，调好正方体棱长为1，则(1,0,0)A ，(0,1,0)C ，1(0,1,1)C ，1(,1,0)2M ，1(1,0,1)A ，(0,0,0D ），1(1,1,1)AC =- ，1(,1,0)2DM = ，111110152cos ,15534AC DM AC DM AC DM -++⋅=⋅⨯ ，所以异面直线1AC 与DM 所成角的余弦值为1515；（2）由（1）知1(1,0,1)DA = ，1(0,1,1)DC = ，设平面1A DM 的一个法向量是111(,,)m x y z = ，则111111020m DM x y m DA x z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩ ，取12x =得(2,1,2)m =-- ，设平面1C DM 的一个法向量是222(,,)n x y z = ，则221221020n DM x y n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，取22x =，则(2,1,1)m =-，cos ,m n m n m n⋅= ，所以二面角11A D M C --的余弦值为6．19．已知圆C 的圆心在y 轴的正半轴上，半径为2，且被直线4340x y -+=截得的弦长为(1)求圆C 的方程；(2)过点()2,0P -作圆C 的切线l ，求l 的方程．【正确答案】(1)()2234x y +-=(2)2x =-或512100x y -+=【分析】（1）利用点到直线的距离公式即可求得圆心从而求得方程.（2）分类讨论借助点到直线的距离公式求得直线方程.【详解】（1）设圆心坐标为()0,,0a a >，又因为圆的半径为2.由勾股定理可得圆心到直线的距离1d =所以43135a d a -==⇒=.所以圆C 的方程为：()2234x y +-=（2）由已知：（1）当直线斜率不存在时，直线方程为2x =-，显然符合题意.（2）当直线斜率存在时，设直线方程为()22y k x kx k =+=+，又因为圆心到直线的距离5212d k =⇒=所以直线的方程为512100x y -+=.综上所述：直线为2x =-或512100x y -+=.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，//AD BC ，2PA AD CD ===，3BC =，E 为PD 的中点，F 在PC 上，且3PC PF =．(1)证明：平面AEF ⊥平面PCD ；(2)设点M 是直线PB 与平面AEF 的交点，求直线CM 与平面AEF 所成角的正弦值．【正确答案】(1)证明见解析；(2)3.【分析】(1)由线面垂直判定定理证明⊥AE 平面PCD ，再由面面垂直判定定理证明平面AEF ⊥平面PCD ；(2)建立空间直角坐标系，求直线CM 的方向向量和平面AEF 的法向量，结合向量夹角公式求直线CM 与平面AEF 所成角的正弦值．【详解】（1）因为PA AD =，E 为PD 的中点，所以AE PD ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥，又AD CD ⊥，PA AD A ⋂=，,PA AD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，又AE ⊂平面PAD ，所以CD AE ⊥，又AE PD ⊥，PD CD D ⋂=，,PD CD ⊂平面PCD ，所以⊥AE 平面PCD ，又AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面PCD ；（2）因为PA ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，所以如下图，以D 为原点，分别以DA ，DC ，AP 方向，为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()0,2,0C ，()1,0,1E ，()2,0,2P ，()3,2,0B ，1222,,3333PF PC ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，得424,,333F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴224,,333AF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，而()1,0,1AE =- ，设(),,m x y z = 为面AEF 的一个法向量，则02240333m AE x z m AF x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取1x =，则1,1y z =-=，所以()1,1,1m =- 为平面AEF 的一个法向量，因为点M 是直线PB 与平面AEF 的交点，故可设PM PB λ= ，所以AM AP PM AP PBλ=+=+ ()()()0,0,21,2,2,2,22AM λλλλ=+-=- ，设AM sAE t AF =+ ，则()()224,2,221,0,1,,333s t λλλ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭，所以2,2,23s t λ==-=，所以242,,333AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，822,,333CM CA AM ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭,设直线CM 与平面AEF 所成角为θ，则3sin cos ,3262m CM m CM m CMθ⋅=<>===⋅⋅ ，所以直线CM 与平面AEF 6321．已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的离心率为2，且右焦点F 3(1)求双曲线方程；(2)设Q 为双曲线C 右支上的动点．在x 轴负半轴上是否存在定点M ，使得2QFM QMF ∠=∠？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【正确答案】(1)2213y x -=(2)存在，()1,0M -【分析】（1）由双曲线的性质以及距离公式得出方程；（2）由三角函数得出00tan 2y QFM x ∠=--，00tan y QMF x m∠=-，再由2QFM QMF ∠=∠结合倍角公式得出m .【详解】（1）由题意可知，2c a c a b ⎧=⎪=⎪=+⎪⎩1,2a b c ===即双曲线方程为2213y x -=；（2）设(),0M m ，()00,Q x y ，220013y x -=，则00tan 2y QFM x ∠=--，00tan y QMF x m∠=-.因为2QFM QMF ∠=∠，所以22tan tan tan21tan QMFQFM QMF QMF∠∠=∠=-∠即0002000221y y x mx y x m --=-⎛⎫- ⎪-⎝⎭，即()204443m x m m +=++，得1m =-.所以，存在点()1,0M -满足题意.22．已知点A 为直线1y k x =与椭圆22:14x C y +=的交点，点B 为直线2y k x =椭圆C 的交点，O 为坐标原点．(1)若直线AB的方程为34x y +=12k k 的值；(2)是否存在常数λ，使得当12k k λ=时，OAB 的面积恒为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【正确答案】(1)1-(2)存在，14λ=-【分析】（1）设:AB y kx m =+，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论，代入121212y y k k x x =可整理得到22122444m k k k m -=-，代入34k =-，2m =即可求得12k k ；（2）由12k k λ=可得224414k m λλ-=-，由12S AB =OAB的面积表示为，可知当2214m k +为定值时，S 为定值，由此可构造方程求得λ的值.【详解】（1）设点,A B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，直线AB 的方程为y kx m =+，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()222148440k x kmx m +++-=，则()2216140k m ∆=+->，即2214m k <+，122814km x x k ∴+=-+，21224414m x x k -=+，()()()222212121212122121212444kx m kx m k x x km x x m y y m k k k x x x x x x m +++++-====-∴； 直线AB的方程为：34x y +=342y x =-+，将34k =-，2m =代入可得.12594415444k k -==-⨯-（2）由22122444m k k k m λ-==-得：224414k m λλ-=-； 点O 到直线:AB y kx m =+的距离d =OAB ∴的面积122m S AB ===，则当且仅当()()()()222222444414416141414m k k k k k λλλλλ--==+-+--+为定值时，S 恒为定值，4441614λλλ-∴=--，解得：14λ=-，此时1S =；当AB x ⊥轴时，若1214k k λ==-，则直线AB 的方程为x=或x =，此时OAB 的面积1S =也成立；综上所述：存在14λ=-，使得OAB 的面积恒为定值1.思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定值问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式；②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出所求量，将所求量转化为关于变量的函数的形式；④化简所得函数式，消元可得定值.。
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浙江省宁波市高二上学期期中数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题： (共10题；共20分)
1. （2分）已知M={（x，y）|=3}，N={（x，y）|ax+2y+a=0}且M∩N=∅，则a=（）
A . ﹣6或﹣2
B . ﹣6
C . 2或﹣6
D . ﹣2
2. （2分） (2018·鸡西模拟) 函数的定义域为（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分） (2018高二下·磁县期末) 函数的部分图象大致为
A .
B .
C .
D .
4. （2分）已知点 A（1，3），B（3，1），C（﹣1，0），则△ABC的面积为（）
A . 5
B .
C . 10
D .
5. （2分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（1﹣m，0），B（1+m，0），m＞0，若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）
A . 7
B . 6
C . 5
D . 4
6. （2分） (2017高二下·孝感期末) 已知双曲线﹣ =1（a＞0，b＞0）的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（）
A . y=±2x
B .
C .
D .
7. （2分）已知正三棱锥P-ABC的主视图和俯视图如图所示,则此三棱锥的外接球的表面积为（）
A . 4π
B . 12π
C .
D .
8. （2分） (2016高二上·西安期中) 下列命题中的真命题是（）
A . 若a＞b，c＞d，则ac＞bd
B . 若|a|＞b，则a2＞b2
C . 若a＞b，则a2＞b2
D . 若a＞|b|，则a2＞b2
9. （2分）函数的零点所在的一个区间是（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分）(2017·舒城模拟) 若实数x，y满足不等式组则z=2|x|+y的取值范围是（）
A . [﹣1，3]
B . [1，11]
C . [1，3]
D . [﹣1，11]
二、填空题：. (共5题；共5分)
11. （1分）已知a=， b=， c=，则a，b，c按从大到小的顺序排列为________
12. （1分） (2017高一下·淮安期末) 若x∈（0，1）则x（1﹣x）的最大值为________．
13. （1分） (2015高三上·平邑期末) 已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为 x+y=0，则其离心率e=________．
14. （1分）已知函数，则f（1）﹣f（3）=________
15. （1分） (2016高二下·宁海期中) 已知f（x）的定义域为R，f（1）= ，且满足4f（x）f（y）=f （x+y）+f（x﹣y），则f（2016）=________．
三、解答题 (共6题；共55分)
16. （15分）已知函数f（x）= ．
（1）求f（π）；
（2）在坐标系中画出y=f（x）的图象；
（3）若f（a）=3，求a的值．
17. （5分）求与x轴相切，圆心C在直线3x﹣y=0上，且截直线x﹣y=0得的弦长为2的圆的方程．
18. （10分） (2016高二上·台州期中) 如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．
（1）求证：BD⊥平面POA；
（2）设点Q满足，试探究：当PB取得最小值时，直线OQ与平面PBD所成角的大小是否一定大于？并说明理由．
19. （5分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC 的中点．求证：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．
20. （10分）(2013·安徽理) 设函数f（x）=ax﹣（1+a2）x2 ，其中a＞0，区间I={x|f（x）＞0}
（1）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β﹣α）；
（2）给定常数k∈（0，1），当1﹣k≤a≤1+k时，求I长度的最小值．
21. （10分） (2016高三上·沙坪坝期中) 如图，已知P（x0 ， y0）是椭圆C： =1上一点，过原点的斜率分别为k1 ， k2的两条直线与圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2= 均相切，且交椭圆于A，B两点．
（1）
求证：k1k2=﹣；
（2）
求|OA|•|OB|得最大值．
参考答案一、选择题： (共10题；共20分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、填空题：. (共5题；共5分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
三、解答题 (共6题；共55分) 16-1、
16-2、
16-3、
17-1、
18-1、
18-2、
19-1、20-1、
20-2、21-1、
21-2、。