一元一次不等式组的解法常考题型讲解
一元一次不等式组专题知识点与经典习题
一元一次不等式(组)专题知识点与经典习题一元一次不等式（组）复习一.知识梳理1.知识结构图(二).知识点回顾1．不等式用不等号连接起来的式子叫做不等式．常见的不等号有五种：“≠”、“>” 、“<” 、“≥”、“≤”．2．不等式的解与解集不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集．不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点。
解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左。
说明：不等式的解与一元一次方程的解是有区别的，不等式的解是不确定的，是一个范围，而一元一次方程的解则是一个具体的数值． 3．不等式的基本性质（重点）(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式．不等号的方向不变．如果a b >，那么__a c b c ±±(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．如果,0a b c >>，那么__ac bc（或___a b c c） （3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果a b >,0c <那么__ac bc （或___a b c c）说明：常见不等式所表示的基本语言与含义还有：①若a －b ＞0，则a 大于b ；②若a －b ＜0，则a 小于b ；③若a －b ≥0，则a 不小于b ；④若a －b ≤0，则a 不大于b ；⑤若ab ＞0或0ab >，则a 、b 同号；⑥若ab ＜0或0a b <，则a 、b 异号。
任意两个实数a 、b 的大小关系：①a -b>O ⇔a>b ；②a -b=O ⇔a=b ；③a-b<O ⇔a<b ．不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a ＜b 可转换为b ＞a ，c ≥d 可转换为d ≤c 。
专题10 一元一次不等式(组)(含解析)
专题10 一元一次不等式（组）一、解读考点二、考点归纳归纳 1：有关概念基础知识归纳：1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式．2、不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解．对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集．求不等式的解集的过程，叫做解不等式．3、用数轴表示不等式的方法4、一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式．5、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集．求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组．基本方法归纳：判断不等式（组）时只需看未知数的个数及未知数的次数为1即可；不等式的解只需带入不等式是否成立即可；不等式（组）的解集是所有解得集合．注意问题归纳：不等式组的解集是所有解得公共部分．【例1】如图，身高为xcm的1号同学与身高为ycm的2号同学站在一起时，如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x y（用“＞”或“＜”填空）．【答案】＜．考点：不等式的定义．归纳 2：不等式基本性质基础知识归纳：1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．基本方法归纳：观察不等式的变化再选择应用那个性质．注意问题归纳：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．【例2】若x>y，则下列式子中错误．．的是（）A、x－3>y－3B、x y>33C、x+3>y+3D、－3x>－3y【答案】D．考点：不等式基本性质。
完整版一元一次不等式及其解法常考题型讲解
一元一次不等式及其解法一、知识点复习1.一元一次不等式的概念：只含有一个未知数，且未知数的次数是 1 且系数不为0 的不等式，称为一元一次不等式。
2.解一元一次不等式的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.3.注意事项：①去分母时各项都要乘各分母的最小公倍数，去分母后分子是多项式时，分子要加括号。
②系数化为1时，注意系数的正负情况。
二、经典题型分类讲解题型1：考察一元一次不等式的概念x?5?00??3xy5?x?；④；②；1.（2017春昭通期末）下列各式：①③?2?x?3x；3?3?3xx?2?0是一元一次不等式的有（；⑥⑤）x A、2个B、3个C、4个D、5个2.（2017春启东市校级月考）下列不等式是一元一次不等式的是（）22209??6x?x?xx?9x?x?70y?x?0?x?1、CD B、、A、mx03(m?1)x??的值为3.（2017春寿光市期中）若的一元一次不等式，则是关于）（2m11??0 D C、、、A、B1题型2：考察一元一次不等式的解法: 4.（2016秋太仓市校级期末）解不等式，并把解集在数轴上表示出来xx?2?5?1?)?x2(5?3)x?32x(1?）（ 1 2）（2312x?1.53x?0.610(1.9?3x)?? 5.。
解不等式0.50.20.1?10 3?x4x?3?1x的值不大于6.（2016秋相城区期末）若代数式的取值范围。
的值时，求26?3xx?3的解集的过程：春开江县期末）请阅读求绝对值不等式 7.（2017和x?3?333的，所以因为的数的绝对值是小于所示的数轴上看：大于而小于，从如图1x?3?3?x?3；的解集是x?3?33，所的数的绝对值是大于的数和大于，从如图2所示的数轴上看：小于因为3x?3x??3x?3。
以或的解集是解答下列问题：ax?0a?，）的解集为）不等式（（1a?x0?a（不等式；）的解集为4?x?2）解不等式（2；75??x解不等式3（）。
一元一次不等式方程组的解法
课程要点：一元一次不等式（组）一元一次不等式(组)的解法及其应用题题型一：整数解例1 （2011江苏苏州，6，3分）不等式组30,32x x-⎧⎪⎨<⎪⎩≥的所有整数解之和是（ ）A 、9B 、12C 、13D 、15考点：一元一次不等式组的整数解．分析：首先求出不等式的解集，再找出符合条件的整数，求其和即可得到答案．解答：由①得：x≥3，由②得：x ＜6，∴不等式的解集为：3≤x ＜6，∴整数解是：3，4，5， 所有整数解之和：3+4+5=12．故选B ．点评：此题主要考查了一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．练习 1．（2011山东泰安，18 ，3分）不等式组⎩⎨⎧3-x ＞04x 3+32 ＞- x 6的最小整数解为( )．A.0B.1C.2D.-1【答案】A（2011•南通）求不等式组的解集，并写出它的整数解.专题：探究型。
分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并找出其公共解集内x 的整数解即可． 解答：【解】解不等式3x －6≥x －4，得x ≥1．解不等式2x ＋1＞3(x －1)，得x ＜4．所以原不等式组的解集为1≤x ＜4． 它的整数解为1，2，3．点评：本题考查的是求一元一次不等式组的整数解，熟知解一元一次不等式遵循的法则是解答此题的关键．例2 ①（2011•恩施州14,3分）若不等式x ＜a 只有4个正整数解，则a 的取值范围是 4＜a≤5 ．364213(1)x x x x -≥-⎧⎨+>-⎩考点：一元一次不等式的整数解。
分析：首先根据题意确定四个正整数解，然后再确定a 的范围． 解答：解：∵不等式x ＜a 只有四个正整数解， ∴四个正整数解为：1，2，3，4， ∴4＜a≤5，故答案为：4＜a≤5，点评：此题主要考查了一元一次不等式的整数解，做此题的关键是确定好四个正整数解．②已知关于x 的不等式x －2a ＜3的最大整数解－5，求a 的取值范围． 解：x ＜2a ＋3，由题意，有－5＜2a ＋3≤－4，－8＜2a ≤－7，742a >≥．③关于x 的不等式组2(1)3(2)6,1, 2x x x a--+>-⎧⎪⎨+>⎪⎩①②恰好有两个整数解，求a 的取值范围． 解：由①，得2x －2－3x －6＞－6，－x ＞2，x ＜－2，由②得x ＞2－a ，因为恰好有两个整数解－5≤2－a ＜－4，所以－7≤－a ＜－6，－7≥a ＞6．练习 1．关于x 的不等式组121,232,x x x a -+⎧-≤⎪⎨⎪->⎩只有3个整数解，求a 的取值范围．2．关于x 的不等式组2135,20,x x x a -<-⎧⎨-<⎩恰好有4个整数解，求a 的取值范围．题型二：不等式(组)的解集例3 已知不等式13a x ->的每一个解都是21122x -<的解，求a 的取值范围；解：由13a x ->，得x ＜a －3，由21122x -<得x ＜1，由题意有：a －3≤1，得a ≤4．点评：注意二者之区别．练习 1．若不等式132x a x a --->的解集与x ＜6的解集相同，求a 的取值范围．解：由132x a x a --->，得2x －2a －3x ＋3a ＞6，－x ＞6－a ，x ＜a －6，由题意，有a －6＝6，所以a ＝12．2．（2011山东日照，6，3分）若不等式2x ＜4的解都能使关于x 的一次不等式（a ﹣1）x ＜a+5成立，则a 的取值范围是（ ）A ．1＜a≤7B ．a≤7C ．a ＜1或a≥7D ．a=7 考点：解一元一次不等式组；不等式的性质。
2023年中考数学一轮复习之必考点题型全归纳与分层精练-一元一次不等式(组)(解析版)
专题10一元一次不等式(组)【专题目录】技巧1：一元一次不等式组的解法技巧技巧2：一元一次不等式的解法的应用技巧3：含字母系数的一元一次不等式(组)的应用【题型】一、不等式的性质【题型】二、不等式(组)的解集的数轴表示【题型】三、求一元一次不等式的特解的方法【题型】四、确定不等式(组)中字母的取值范围【题型】五、求一元一次方程组中的待定字母的取值范围【题型】六、一元一次不等式的应用【考纲要求】1、了解不等式(组)有关的概念，理解不等式的基本性质；2、会解简单的一元一次不等式(组)；并能在数轴上表示出其解集．3、能列出一元一次不等式(组)解决实际问题.【考点总结】一、一元一次不等式(组)不等式或组不等式的基本性质（1）不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变（2）不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变（3）不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变解法①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1.在①至⑤步的变形中,一定要注意不等号的方向是否需要改变.一元一次不等式组定义一般地,关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成一个一元一次不等式组.解法先求出各个不等式的解再确定其公共部分，即为原不等式组的解集。
四种不等式组(a<b)解集图示口诀【注意】1.不等式的解与不等式的解集的区别与联系：1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值。
2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值。
3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解。
2.用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆图。
2．列不等式或不等式组解决实际问题，要注意抓住问题中的一些关键词语，如“至少”“最多”“超过”“不低于”“不大于”“不高于”“大于”“多”等．这些都体现了不等关系，列不等式时，要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际．3．列不等式(组)解应用题的一般步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3)找出能够包含未知数的不等量关系；(4)列出不等式(组)；(5)求出不等式(组)的解；(6)在不等式(组)的解中找出符合题意的值；(7)写出答案(包括单位名称)．【技巧归纳】基本不等式组的解集⎩⎨⎧≥≥b x a x x ≥b 大大取大⎩⎨⎧≤≤b x a x x ≤a 小小取小⎩⎨⎧≤≥bx a x a ≤x ≤b 大小小大中间找⎩⎨⎧≥≤b x a x 无解大大小小解不了技巧1：一元一次不等式组的解法技巧【类型】一、解普通型的一元一次不等式组12x ＜6，－2≤0的解集，在数轴上表示正确的是()2．解不等式组，并把解集表示在数轴上．（x ＋2），①＋15＞0.②【类型】二、解连写型的不等式组3．满足不等式组－1<2x －13≤2的整数的个数是()A ．5B ．4C ．3D ．无数4．若式子4－k 的值大于－1且不大于3，则k 的取值范围是____________．5．用两种不同的方法解不等式组－1<2x －13【类型】三、“绝对值”型不等式转化为不等式组求解．6．解不等式|3x －12|≤4.【类型】四、“分式”型不等式转化为不等式组求解7．解不等式3x －62x ＋1<0.参考答案1．C2．解：由①得，x≥－1.由②得，x ＜45.∴不等式组的解集为－1≤x ＜45.表示在数轴上，如图所示．3．B 4.1≤k ＜55．解：方法1解不等式①，得x>－1.解不等式②，得x≤8.所以不等式组的解集为－1<x≤8.方法2：－1<2x －13≤5，－3<2x －1≤15，－2<2x≤16，－1<x≤8.6．分析：由绝对值的知识|x|＜a(a ＞0)，可知－a ＜x ＜a.解：由|3x －12|≤4，得－4≤3x －12≤4.－4，①②解不等式①，得x≥－73.解不等式②，得x≤3.所以原不等式的解集为－73≤x≤3.点拨：7．解：∵3x －62x ＋1＜0，∴3x －6与2x ＋1异号．即：－6＞0，＋1＜0或＜0，＋1＞0.解(Ⅰ)＞2，＜－12.∴此不等式组无解．解(Ⅱ)＜2，＞－12.∴此不等式组的解集为－12＜x ＜2.∴原不等式的解集为－12＜x ＜2.技巧2：一元一次不等式的解法的应用【类型】一、直接解不等式1．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来．(1)x ＞13x －2；(2)4x －13－x ＞1；(3)x ＋13≥2(x ＋1)．2．下面解不等式的过程是否正确？如不正确，请找出开始错误之处，并改正．解不等式：4－3x 3－1＜7＋5x 5.解：去分母，得5(4－3x)－1＜3(7＋5x)．①去括号，得20－15x －1＜21＋15x.②移项，合并同类项，得－30x ＜2.③系数化为1，得x ＞－115.④【类型】二、解含字母系数的一元一次不等式3．解关于x 的不等式ax －x －2＞0.【类型】三、解与方程(组)的解综合的不等式4．当m 取何值时，关于x 的方程23x －1＝6m ＋5(x －m)的解是非负数？5＋3y ＝10，－3y ＝2的解满足不等式ax ＋y ＞4，求a 的取值范围．【类型】四、解与新定义综合的不等式6．定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a ★b ＝a(a －b)＋1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2★5＝2×(2－5)＋1＝－5.(1)求(－2)★3的值；(2)若3★x 的值小于13，求x 的取值范围，并在数轴上表示出来．【类型】五、解与不等式的解综合的不等式7．已知关于x 的不等式3x －m ≤0的正整数解有四个，求m 的取值范围．8．关于x 的两个不等式①3x ＋a 2<1与②1－3x>0.(1)若两个不等式的解集相同，求a 的值；(2)若不等式①的解都是②的解，求a 的取值范围．参考答案1．解：(1)x＞13x－2，23x＞－2，x＞－3.这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．(2)4x－13－x＞1，4x－1－3x＞3，x＞ 4.这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．(3)x＋13≥2(x＋1)，x＋1≥6x＋6，－5x≥5，x≤－1.2．解：第①步开始错误，应该改成：去分母，得5(4－3x)－15＜3(7＋5x)．去括号，得20－15x－15＜21＋15x.移项，合并同类项，得－30x＜16.系数化为1，得x＞－8 15 .3．解：移项，合并同类项得，(a－1)x＞2，当a－1＞0，即a＞1时，x＞2a－1；当a－1＝0，即a＝1时，x无解；当a－1＜0，即a＜1时，x＜2a－1.4．解：解方程得x ＝－313(m ＋1)，由题意得－313(m ＋1)≥0，解得m ≤－1.5．解：2x ＋3y ＝10，－3y ＝2，＝2，＝2.代入不等式得2a ＋2＞4.所以a ＞1.6．解：(1)(－2)★3＝－2×(－2－3)＋1＝－2×(－5)＋1＝10＋1＝11.(2)∵3★x ＜13，∴3(3－x)＋1＜13，去括号，得9－3x ＋1＜13，移项，合并同类项，得－3x ＜3，系数化为1，得x ＞－1.在数轴上表示如图所示．7．解：解不等式得x ≤m 3，由题意得4≤m 3＜5，解得12≤m ＜15.方法规律：已知一个不等式的解集满足特定要求，求字母参数的取值范围时，我们可先解出这个含字母参数的不等式的解集，然后根据题意列出一个(或几个)关于字母参数的不等式，从而可求出字母参数的取值范围．8．解：(1)由①得x ＜2－a 3，由②得x ＜13，由两个不等的解集相同，得2－a 3＝13，解得a ＝1.(2)由不等式①的解都是②的解，得2－a 3≤13，解得a ≥1.技巧3：含字母系数的一元一次不等式(组)的应用【类型】一、与方程组的综合问题1．已知实数x ，y 同时满足三个条件：①x －y ＝2－m ；②4x －3y ＝2＋m ；③x ＞y.那么实数m 的取值范围是()A ．m ＞－2B ．m ＜2C ．m ＜－2D ．m ＞22＋y ＝－7－a ，－y ＝1＋3a的解中，x 为非正数，y 为负数．(1)求a 的取值范围；(2)化简|a －3|＋|a ＋2|.3．在等式y ＝ax ＋b 中，当x ＝1时，y ＝－3；当x ＝－3时，y ＝13.(1)求a ，b 的值；(2)当－1＜x ＜2时，求y 的取值范围．【类型】二、与不等式(组)的解集的综合问题题型1：已知解集求字母系数的值或范围4．已知不等式(a －2)x ＞4－2a 的解集为x ＜－2，则a 的取值范围是__________．5－a ＜1，－2b ＞3的解集为－1＜x ＜1，求(b －1)a ＋1的值．题型2：已知整数解的情况求字母系数的值或取值范围6＞2，＜a 的解集中共有5个整数，则a 的取值范围为()A ．7＜a ≤8B ．6＜a ≤7C ．7≤a ＜8D ．7≤a ≤87－a ≥0，－b ＜0的整数解是1，2，3，求适合这个不等式组的整数a ，b 的值．题型3：已知不等式组有无解求字母系数的取值范围8－1＞0，－a ＜0无解，则a 的取值范围是__________．91＜a ①，＋5＞x －7②有解，求实数a 的取值范围．参考答案1．B2．解：(1)＝－3＋a ，＝－4－2a.∵x 为非正数，y 3＋a ≤0，4－2a ＜0，解得－2＜a ≤3.(2)∵－2＜a ≤3，即a －3≤0，a ＋2＞0，∴原式＝3－a ＋a ＋2＝5.3．解：(1)将x ＝1时，y ＝－3；x ＝－3时，y ＝13代入y ＝ax ＋b ＋b ＝－3，3a ＋b ＝13，＝－4，＝1.(2)由y ＝－4x ＋1，得x ＝1－y 4.∵－1＜x ＜2，∴－1＜1－y 4＜2，解得－7＜y ＜5.4．a ＜25．－a ＜1.①，－2b ＞3.②，解①得x ＜a ＋12；解②得x ＞2b ＋3.根据题意得a ＋12＝1，且2b ＋3＝－1，解得a ＝1，b ＝－2，则(b －1)a ＋1＝(－3)2＝9.6．A7．解：解不等式组得a 2≤x ＜b 3.∵不等式组仅有整数解1，2，3，∴0＜a 2≤1，3＜b 3≤4.解得0＜a ≤2，9＜b ≤12.∵a，b为整数，∴a＝1，2，b＝10，11，12. 8．a≤19．＋1＜a①，＋5＞x－7②，解不等式①得x＜a－1.解不等式②得x＞－6.∵不等式组有解，∴－6＜x＜a－1，则a－1＞－6，a＞－5.【题型讲解】【题型】一、不等式的性质例1、若a＞b，则下列等式一定成立的是（）A．a＞b+2B．a+1＞b+1C．﹣a＞﹣b D．|a|＞|b|【答案】B【分析】利用不等式的基本性质判断即可．【详解】A、由a＞b不一定能得出a＞b+2，故本选项不合题意；B、若a＞b，则a+1＞b+1，故本选项符合题意；C、若a＞b，则﹣a＜﹣b，故本选项不合题意；D、由a＞b不一定能得出|a|＞|b|，故本选项不合题意．故选：B．【题型】二、不等式(组)的解集的数轴表示例2、不等式组20240xx+>⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解不等式x+2＞0，得：x＞-2，解不等式2x-4≤0，得：x≤2，则不等式组的解集为-2＜x≤2，将解集表示在数轴上如下：故选C．【题型】三、求一元一次不等式的特解的方法例3、不等式12x-≤的非负整数解有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【详解】解：12x-≤，解得：3x≤，则不等式12x-≤的非负整数解有：0，1，2，3共4个．故选：D．【题型】四、确定不等式(组)中字母的取值范围例4、若不等式组130x abx->⎧⎨+≥⎩的解集是﹣1＜x≤1，则a＝_____，b＝_____．【答案】-2-3【详解】解：由题意得：130 x abx->⎧⎨+≥⎩①②解不等式①得:x>1+a,解不等式②得:x≤3 b-不等式组的解集为:1+a＜x≤3b- 不等式组的解集是﹣1＜x≤1,∴..1+a=-1,3b-=1,解得:a=-2,b=-3故答案为:-2,-3.【题型】五、求一元一次方程组中的待定字母的取值范围例5、若不等式组841x x x m +<-⎧⎨>⎩的解集是x ＞3，则m 的取值范围是（）.A ．m ＞3B ．m≥3C ．m≤3D ．m ＜3【答案】C【解析】详解：841x x x m +<-⎧⎨>⎩①②，解①得，x>3；解②得，x>m ，∵不等式组841x x x m +<-⎧⎨>⎩的解集是x>3，则m ⩽3.故选：C.【题型】六、一元一次不等式的应用例6、某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分，答错或不答扣5分，小华得分要超过120分，他至少要答对的题的个数为（）A ．13B ．14C ．15D ．16【答案】C【分析】根据竞赛得分10=⨯答对的题数(5)+-⨯未答对的题数，根据本次竞赛得分要超过120分，列出不等式即可．【详解】解：设要答对x 道．10(5)(20)120x x +-⨯->，10 1005 120x x -+>，15 220x >，解得：443x >，根据x 必须为整数，故x 取最小整数15，即小华参加本次竞赛得分要超过120分，他至少要答对15道题．故选C ．一元一次不等式(组)（达标训练）一、单选题1．若m n >，则下列不等式一定成立的是（）．A ．2121m n -+>-+B ．1144m n ++>C ．m a n b+>+D ．am an-<-【答案】B【分析】根据不等式的性质解答．不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【详解】解：A 、∵m >n ，∴-2m <-2n ，则-2m +1<-2n +1，故该选项不成立，不符合题意；B 、∵m >n ，∴m +1>n +1，则1144m n ++>，故该选项成立，符合题意；C 、∵m >n ，∴m +a >n +a ，不能判断m +a >n +b ，故该选项不成立，不符合题意；D 、∵m >n ，当a >0时，-am <-an ；当a <0时，-am >-an ；故该选项不成立，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．2．北京2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到大家的喜爱，某网店出售这两种吉祥物礼品，售价如图所示．小明妈妈一共买10件礼品，总共花费不超过900元，如果设购买冰墩墩礼品x 件，则能够得到的不等式是（）A ．100x +80（10﹣x ）＞900B ．100+80（10﹣x ）＜900C ．100x +80（10﹣x ）≥900D ．100x +80（10﹣x ）≤900【答案】D【分析】设购买冰墩墩礼品x 件，则购买雪容融礼品（10﹣x ）件，根据“冰墩墩单价×冰墩墩个数+雪容融单价×雪容融个数≤900”可得不等式．【详解】解：设购买冰墩墩礼品x 件，则购买雪容融礼品（10﹣x ）件，根据题意，得：100x +80（10﹣x ）≤900，故选：D ．【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解题的关键是理解题意，找到其中蕴含的不等关系．3．不等式组3050x x +>⎧⎨-≤⎩的解是（）A ．3x >-B ．5x ≤C ．35x -<≤D ．无解【答案】C 【分析】先求出每个不等式的解集，再结合起来即可得到不等式组的解集．【详解】由30x +>得：3x >-由50x -≤得：5x ≤∴35x -<≤故选C【点睛】本题考查一元一次方程组的求解，掌握方法是关键．4．不等式3﹣x ＜2x +6）A ．x ＜1B ．x ＞1C ．x ＜﹣1D ．x ＞﹣1【答案】D【分析】根据一元一次不等式的解法，移项、合并同类项、系数化1求解即可．【详解】解：326x x -<+，移项得362x x -<+，合并同类项得33x -<，系数化1得1x >-，∴不等式326x x -<+的解集是1x >-，故选：D ．【点睛】本题考查一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解决问题的关键．5．在数轴上表示不等式1x >-的解集正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据不等式解集的表示方法依次判断．【详解】解：在数轴上表示不等式x>−1的解集的是A．故选：A．【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，正确掌握不等式解集的表示方法,区分实心点与空心点，是解题的关键．二、填空题6．超市用1200元钱批发了A，B两种西瓜进行销售，两种西瓜的批发价和零售价如下表所示，若计划将这批西瓜全部售完后，所获利润率不低于40%，则该超市至少批发A种西瓜__________kg．名称A B批发价（元/kg）43零售价（元/kg）64【答案】120【分析】设批发A种西瓜x kg，根据“利润率不低于40%”列出不等式，求解即可．【详解】解：设批发A种西瓜x kg，则（6-4）x+120043x-×（4-3）≥1200×40%，解得x≥120．答：该超市至少批发A种西瓜120kg．故答案为：120．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的不等关系，列不等式求解．7．不等式2103x--<的解集为____．【答案】5x <【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；本题可以采用去括号、移项、合并同类项即可求解．【详解】解：去分母，得：230x --<，移项，得：23x <+，合并同类项，得：5x <．∴不等式的解集为：5x <．故答案为：5x <．【点睛】本题考查了解一元一次不等式．严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意∶不等式两边都乘以或除以同一个负数时，不等号方向改变；在数轴上表示不等式的解集要注意实心点和空心点的区别．三、解答题8．解不等式组：()36,3121,x x x x ≤-⎧⎨+>-⎩并将解集在数轴上表示．【答案】3x ≥，数轴表示见解析【详解】解：解不等式36x x -≤，得：3x ≥，解不等式312(1)x x +>-，得：3x >-，∵3x ≥与3x >-的公共部分为3x ≥，∴不等式组的解集是：3x ≥．在数轴上表示解集如下：【点睛】本题考查了一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组解集的求解方法是解题关键．一元一次不等式(组)（提升测评）1．2022年北京冬季奥运会开幕式于2022年2月4日20：00在国家体育馆举行，嘉淇利用相关数字做游戏：①画一条数轴，在数轴上用点A ，B ，C 分别表示﹣20，2022，﹣24，如图1所示；②将这条数轴在点A 处剪断，点A 右侧的部分称为数轴I ，点A 左侧的部分称为数轴Ⅱ；③平移数轴Ⅱ使点A 位于点B 的正下方，如图2所示；④扩大数轴Ⅱ的单位长度至原来的k 倍，使点C 正上方位于数轴I 的点A 左侧．则整数k 的最小值为（）A ．511B ．510C ．509D ．500【答案】A 【分析】根据题意可得k ⋅AC AB >，列出不等式，求得最小整数解即可求解．【详解】解：依题意，4AC =，2042AB =∵扩大数轴Ⅱ的单位长度至原来的k 倍，使点C 正上方位于数轴I 的点A 左侧，∴k ⋅AC AB >，即42042k >，解得15102k >， k 为正整数，∴k 的最小值为511，故选A ．【点睛】本题考查了数轴上两点距离，一元一次不等式的应用，根据题意得出k ⋅AC AB >是解题的关键．2．不等式12<32x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的解在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得不等式的解集，继而可得答案．【详解】解：去括号，得：21<3x x -，移项，得：3+2<1x x -，合并同类项，得：<1x -，系数化为1，得>1x -，在数轴上表示为：故选：A ．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．3．已知实数a ，b ，c 满足2a c b +=，112a c b +=．则下列结论正确的是（）A ．若0a b >>，则0c b >>B ．若1ac =，则1b =±C ．a ，b ，c 不可能同时相等D ．若2a =，则28b c=【答案】B【分析】A.根据0a b ＞＞，则11a b ＜，根据112a c b +=，得出c b ＜；B.根据112a c b+=，得出()2ac b a c =+，把2a c b +=代入得：21b ac ==，即可得出答案；C.当a b c ==时，可以使2a c b +=，112a c b +=，即可判断出答案；D.根据解析B 可知，22b ac c ==，即可判断．【详解】A.∵0a b ＞＞，∴11a b＜，∵112a c b+=，∴11c b，∴c b ＜，故A 错误；B.∵112a c b +=，即2a c ac b+=，∴()2ac b a c =+，把2a c b +=代入得：222ac b =，21b ac ∴==，解得：1b =±，故B 正确；C.当a b c ==时，可以使2a c b +=，112a c b+=，∴a ，b ，c 可能同时相等，故C 错误；D.根据解析B 可知，2b ac =，把2a =代入得：22b c =，故D 错误．故选：B ．【点睛】本题主要考查了分式的化简，等式基本性质和不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质和等式的性质，是解题的关键．4．若数a 使关于x 的分式方程1133x a x x ++=--有非负整数解，且使关于y 的不等式组3212623y y y y a++⎧⎪⎨⎪≥-⎩＞至少有3个整数解，则符合条件的所有整数a 的和是（）A ．﹣5B ．﹣3C ．0D ．2【答案】D 【分析】解不等式组，根据题意确定a 的范围；解出分式方程，根据题意确定a 的范围，根据题意计算即可．【详解】解：3212623y y y y a ++⎧⎪⎨⎪≥-⎩＞①②，解不等式①得：y ＞﹣8，解不等式②得：y ≤a ，∴原不等式组的解集为：﹣8＜y ≤a ，∵不等式组至少有3个整数解，∴a ≥﹣5，1133x a x x++=--，去分母得∶1﹣x ﹣a ＝x ﹣3，解得：x 42a -=，∵分式方程有非负整数解，∴x ≥0（x 为整数）且x ≠3，∴42a -为非负整数，且42a -≠3，∴a ≤4且a ≠﹣2，∴符合条件的所有整数a 的值为：﹣4，0，2，4，∴符合条件的所有整数a 的和是：2，故选：D ．【点睛】本题考查的是分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，掌握解分式方程、一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．5．已知三个实数a 、b 、c ，满足325a b c ++=，231a b c +-=，且0a ≥、0b ≥、0c ≥，则37+-a b c 的最小值是（）A ．111-B ．57-C ．37D ．711【答案】B【分析】由两个已知等式3a +2b +c ＝5和2a +b ﹣3c ＝1．可用其中一个未知数表示另两个未知数，然后由条件：a ，b ，c 均是非负数，列出c 的不等式组，可求出未知数c 的取值范围，再把m ＝3a +b ﹣7c 中a ，b 转化为c ，即可得解．【详解】解：联立方程组325231a b c a b c ++=⎧⎨+-=⎩，解得，73711a c b c=-⎧⎨=-⎩，由题意知：a ，b ，c 均是非负数，则07307110c c c ≥⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩，解得37711c ≤≤，∴3a +b ﹣7c＝3（﹣3+7c ）+（7﹣11c ）﹣7c＝﹣2+3c ，当c ＝37时，3a+b ﹣7c 有最小值，即3a+b ﹣7c ＝﹣2+3×37＝﹣57．故选：B ．【点睛】此题主要考查代数式求值，考查的知识点相对较多，包括不等式的求解、求最大值最小值等，另外还要求有充分利用已知条件的能力．二、填空题6．一元二次方程x 2+5x ﹣m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是_____．【答案】254m >-## 6.25m >-##164m >-【分析】由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式，可得254()0m =-->Δ，进行计算即可得．【详解】解：根据题意得254()0m =-->Δ，解得，254m >-，故答案为：254m >-．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式并认真计算．7．若关于x 的分式方程232x m x -=-的解是非负数，则m 的取值范围是________．【答案】m ≤6且m ≠4【分析】先求得分式方程的解，利用已知条件列出不等式，解不等式即可求解．【详解】解：关于x 的分式方程232x m x -=-的解为：x ＝6−m ，∵分式方程有可能产生增根2，∴6−m ≠2，∴m ≠4，∵关于x 的分式方程232x m x -=-的解是非负数，∴6−m ≥0，解得：m ≤6，综上，m 的取值范围是：m ≤6且m ≠4．故答案为：m ≤6且m ≠4．【点睛】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解分式方程一定要注意有可能产生增根的情况，这是解题的关键．三、解答题8．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，三名航天员平安归来，神舟十三号任务取得圆满成功．飞箭航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型多10元，同样花费100元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多5个．(1)“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？(2)飞箭航模店计划购买两种模型共200个，且每个“神舟”模型的售价为30元，“天宫”模型的售价为15元．设购买“神舟”模型a 个，销售这批模型的利润为w 元．①求w 与a 的函数关系式（不要求写出a 的取值范围）；②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的13，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？【答案】(1)“天宫”模型成本为每个10元，“神舟”模型每个20元(2)①51000w a =+②购进“神舟”模型50个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为1250元【分析】（1.（2）①设“神舟”模型a 个，则“天宫”模型为200a -（）个，根据利润关系即可表示w 与a 的关系式.②根据购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的13，即可找到a 的取值范围，利用一次函数性质即可求解.（1）解：设“天宫”模型成本为每个x 元，则“神舟”模型成本为每个10x +（）元.依题意得100100510x x =++.解得10x =.经检验，10x =是原方程的解.答：“天宫”模型成本为每个10元，“神舟”模型每个20元；（2）解：① “神舟”模型a 个，则“天宫”模型为200a -（）个.()()()3020151020051000w a a a ∴=-+--=+.② 购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的13.()12003a a ∴≤-.解得：50a ≤.51000w a =+ .50k =>.()max 5055010001250a w ∴==⨯+=当时，元.即：购进“神舟”模型50个时，销售这批模型可以获得利润.最大利润为1250元.【点睛】本题考查了分式方程、一次函数的性质，关键在于找到等量关系，建立方程，不等式，函数模型.9．解不等式组：3(2)821+1<52x x x x --≥--⎧⎪⎨⎪⎩【答案】1x ≥-【分析】先分别求出两个一元一次不等式的解集，然后根据“同大取大、同小取小，小大大小取中间、大大小小找不到”即可求解．【详解】解：3(2)821+1<52x x x x --≥--⎧⎪⎨⎪⎩①②，解不等式①，得1x ≥-，解不等式②，得>7x -，∴该不等式组的解集为1x ≥-．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，理解并掌握求不等式组的原则“同大取大、同小取小，小大大小取中间、大大小小找不到”是解题的关键．。
(完整版)一元一次不等式组知识点及题型总结
一元一次不等式与一元一次不等式组一、不等式考点一、不等式的概念题型一 会判断不等式下列代数式属于不等式的有 .① —x ≥5 ② 2x-y ＜0 ③ ④ -3＜0 ⑤ x=3 ⑥ ⑦ x ≠5⑧02x 3-x 2＞+ ⑨ 题型二 会列不等式根据下列要求列出不等式①.a 是非负数可表示为 。
②。
m 的5倍不大于3可表示为 .③.x 与17的和比它的2倍小可表示为 .④.x 和y 的差是正数可表示为 。
⑤.x 的 与12的差最少是6可表示为__________________.考点二、不等式基本性质1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
逆定理:不等式两边都乘以（或除以）同一个数,若不等号的方向不变，则这个数是正数。
基本训练：若a ＞b ，ac ＞bc,则c 0。
3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数,不等号的方向改变.逆定理：不等式两边都乘以（或除以)同一个数，若不等号的方向改变，则这个数是负数.基本训练：若a ＞b ，ac ＜bc ，则c 0. 4、如果不等式两边同乘以0,那么不等号变成等号，不等式变成等式。
练习：1、指出下列各题中不等式的变形依据352≥+x533222y x y x ++0y x ≥+①.由3a>2得a> 理由： 。
②。
由a+7>0得a 〉—7 理由： 。
③.由—5a<1得a 〉 理由： .④.由4a>3a+1得a>1 理由： 。
2、若x ＞y,则下列式子错误的是（ ）A.x-3＞y —3B. ＞ C 。
x+3＞y+3 D.-3x ＞—3y 3、判断正误①。
若a ＞b,b ＜c 则a ＞c 。
（ ) ②.若a ＞b ，则ac ＞bc 。
（ ）③。
若 ，则a ＞b 。
( ）④. 若a ＞b ，则 。
（ ）⑤。
若a ＞b ，则 （ ）⑥。
一元一次不等式组的解法经典例题透析
经典例题透析类型一：解一元一次不等式组1、解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来。
思路点拨：先求出不等式①②的解集，然后在数轴上表示不等式①②的解集，求出它们的公共部分即不等式组的解集。
解析：解不等式①，得x≥－；解不等式②，得x＜1。
所以不等式组的解集为－≤x＜1在数轴上表示不等式①②的解集如图。
总结升华：用数轴表示不等式组的解集时，要切记：大于向右画，小于向左画。
有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈。
举一反三：【变式1】解不等式组：解析：解不等式①，得：解不等式②，得：在数轴上表示这两个不等式的解集为：∴原不等式组的解集为：【变式2】解不等式组：思路点拨：在理解一元一次不等式组时要注意以下两点：（1）不等式组里不等式的个数并未规定；（2）在同一不等式组里的未知数必须是同一个.（3）注意在数轴表示解集时“空心点”与“实心点”的区别解法一：解不等式①，得：解不等式②，得：解不等式③，得：在数轴上表示这三个不等式的解集为：∴原不等式组的解集为：解法二：解不等式②，得：解不等式③，得：由与得：再与求公共解集得：.【变式3】解不等式组：解析：解不等式①得：x＞－2解不等式②得：x＜－7∴不等式组的解集为无解【变式4】解不等式：－1＜≤5思路点拨：(1)把连写不等式转化为不等式组求解；(2)根据不等式的性质，直接求出连写不等式的解集。
解法1：原不等式可化为下面的不等式组解不等式①，得x＞－1，解不等式②，得x≤8所以不等式组的解集为－1＜x≤8。
即原不等式的解集为－1＜x≤8解法2：－1＜≤5，－3＜2x－1≤15，－2＜2x≤16，－1＜x≤8。
所以原不等式的解集为－1＜x≤8总结升华：对于连写形式的不等式可以化成不等式组来求解，而对于只有中间部分含有未知数的连写形式的不等式也可以按照解不等式的步骤求解，如解法2.【变式5】求不等式组的整数解。
思路点拨：按照不等式组的解法，先求出每个不等式的解集，在数轴上表示出各个不等式的解集，取其公共部分得到不等式的解集，再在不等式组的解集内求出符合要求的整数解。
一元一次不等式组的解法常考题型讲解
一元一次不等式组的解法一、知识点复习1.一元一次不等式组的概念：几个 一元一次不等式 合在一起就组成一个一元一次不等式组. 2.一元一次不等式组的解集：一般地，几个不等式的解集的 公共部分 ，叫做由它们组成的不等式组的解集. 2.一元一次不等式组解集四种类型如下表：二、经典题型分类讲解题型1：考察一元一次不等式组的概念1. （2017春雁塔区校级月考）下列不等式组：①⎩⎨⎧<->32x x ，②⎩⎨⎧>+>420x x ，③⎩⎨⎧>+<+42122x x x ，④⎩⎨⎧-<>+703x x ，⑤⎩⎨⎧<->+0101y x 。
其中一元一次不等式组的个数是（ ）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个题型2：考察一元一次不等式组的解法2.（2018春天心区校级期末）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>+≤-61213312x x 的解集在数轴上表示正确的是（ ）3.解下列不等式组，并在数轴上表示解集：（1）⎪⎩⎪⎨⎧<--+->++-021331215)1(2)5(7x x x x （2）⎪⎩⎪⎨⎧≥-+->-1542453312x x x x（3）⎪⎩⎪⎨⎧≤--+<--+-1213128)3()1(3x x x x （4）⎪⎩⎪⎨⎧<-+≤+321)2(352x x x x（5）⎪⎩⎪⎨⎧-<+-<-2322125.05.7x x x x （6）⎪⎩⎪⎨⎧->≥----624102.05.05.04.073x x x x x4. 解下列不等式21153x --<≤题型3：考察一元一次不等式组的整数解问题5.（2017西安模拟）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+>+32152)2(3x x x x 的最小整数解是 。
6.（2016春马山县期末）若关于x 的一元一次不等式组⎩⎨⎧>->-0123a x x 恰有3个整数解，那么a的取值范围是（ ）A 、12<<-aB 、23-≤<-aC 、23-<≤-aD 、23-<<-a7.已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧≥->+023032x a x a 恰有3个整数解，则a 的取值范围是（ ）A 、2332≤≤a B 、2334≤≤a C 、2334≤<a D 、2334<≤a题型4：考察一元一次不等式中字母参数问题8. （2016春汉台区校级月考）不等式x x>-12与x ax 56>-的解集相同，则=a 。
10一元一次不等式组(基础) 知识讲解及其练习 含答案
一元一次不等式组（基础）知识讲解【学习目标】1.理解不等式组的概念；2.会解一元一次不等式组，并会利用数轴正确表示出解集；3.会利用不等式组解决较为复杂的实际问题，感受不等式组在实际生活中的作用．【要点梳理】要点一、不等式组的概念定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如2562010xx->⎧⎨-<⎩，7021163159xxx->⎧⎪+>⎨⎪+<⎩等都是一元一次不等式组．要点诠释：(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．要点二、解一元一次不等式组1. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．要点诠释：(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．2.一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组的方法步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．要点三、一元一次不等式组的应用列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．要点诠释：(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非负整数．【典型例题】类型一、不等式组的概念1．某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边为x，请你根据题意写出x必须满足的不等式．【思路点拨】由题意知，x必须满足两个条件①面积大于48平方米．②周长小于34米．故必须构建不等式组来体现其不等关系．【答案与解析】解：依题意得：8482(8)34.x x >⎧⎨+<⎩【总结升华】建立不等式组的条件是：当感知所求的量同时满足几个不等关系时，要建立不等式组，建立不等式组的意义与建立方程组的意义类似．举一反三：【变式】直接写出解集：(1)2,3x x >⎧⎨>-⎩的解集是______； (2)2,3x x <⎧⎨<-⎩的解集是______； (3)2,3x x <⎧⎨>-⎩的解集是_______；(4)2,3x x >⎧⎨<-⎩的解集是_______． 【答案】（1）2x >；（2）3x <-；（3）32x -<<；（4）空集．类型二、解一元一次不等式组2.（•莆田）解不等式组：． 【思路点拨】解不等式组时，要先分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后画数轴，找它们解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集．【答案与解析】 解：解：．由①得x ≤1；由②得x ＜4；所以原不等式组的解集为：x ≤1．【总结升华】确定一元一次不等式组解集的常用方法有两种：(1)数轴法：运用数轴法确定不等式组的解集，就是将不等式组中的每一个不等式的解集在数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是此不等式组的解集；如果没有公共部分，则这个不等式组无解，这种方法体现了数形结合的思想，既直观又明了，易于掌握．(2)口诀法：为了便于快速找出不等式组的解集，结合数轴将其总结为朗朗上口的四句口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找，大大小小无解了．【变式】解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】 解：，∵解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x ＞﹣2，∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤1．在数轴上表示不等式组的解集为：类型三、一元一次不等式组的应用3. “六·一”儿童节，学校组织部分少先队员去植树．学校领到一批树苗，若每人植4棵树，还剩37棵；若每人植6棵树，则最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有多少棵．【思路点拨】设有x 名学生，则由第一种植树法，知道一共有(4x +37)棵树；第二种植树法中，前（x-1）名学生中共植6（x-1）棵树；最后一名学生植树的数量是：[(4x +37)- 6（x-1）]棵，这样，我们就探求到第一个不等量关系：最后一人有树植，说明第二种植树法中前（x-1）名学生植树的数量要比树木总数少，即(4x +37)＞6（x-1）；第二种植树法中，最后一名学生植树的数量不到3棵，也就是说[(4x +37)- 6（x-1）]＜3，或者理解为：[(3x +8)- 5（x-1）]≤2，这样，我们就又找到了第二个不等量关系式.到此，不等式组即建立起来了，接下来就是解不等式组．【答案与解析】解：设有x 名学生，根据题意，得：4376114376132x x x x +>-⎧⎨+--<⎩（）（）（）（）（）， 不等式(1)的解集是：x ＜2121； 不等式（2）的解集是：x ＞20， 所以，不等式组的解集是：20＜x ＜2121， 因为x 是整数，所以，x=21，4×21+37=121（棵）答：这批树苗共有121棵.【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系． 举一反三： 【变式】一件商品的成本价是30元，若按原价的八八折销售，至少可获得10%的利润；若按原价的九折销售，可获得不足20%的利润，此商品原价在什么范围内？解：设这件商品原价为x 元，根据题意可得：88%303010%90%303020%x x ≥+⨯⎧⎨<+⨯⎩ 解得：37.540x ≤<答：此商品的原价在37.5元（包括37.5元）至40元范围内．4. “全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案．【思路点拨】（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元，根据题意列出方程组解答即可；（2）根据学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，列出不等式组，解答即可．【答案与解析】解：（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元， 可得：， 解得：，答：每本文学名著和动漫书各为40元和18元；（2）设学校要求购买文学名著x 本，动漫书为（x+20）本，根据题意可得：， 解得：，因为取整数，所以x 取26，27，28；方案一：文学名著26本，动漫书46本；方案二：文学名著27本，动漫书47本；方案三：文学名著28本，动漫书48本．【总结升华】此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组．举一反三：【变式】A 地果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆，将这批水果全部运往B 地. 已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝香蕉各2吨．（1）若要安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．（2）若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，那么选择哪种方案使运费最少？运费最少是多少？【答案】解：（1）设租甲种货车x 辆，则租乙种货车（10x -）辆，依题意得：42(10)302(10)13x x xx +-≥⎧⎨+-≥⎩，解得57x ≤≤，又x 为整数，所以5x =或6或7，∴有三种方案：方案1：租甲种货车5辆，乙种货车5辆；方案2：租甲种货车6辆，乙种货车4辆；方案3：租甲种货车7辆，乙种货车3辆．（2）运输费用：方案1：2000×5＋1300×5＝16500（元）；方案2：2000×6＋1300×4＝17200（元）；方案3：2000×7＋1300×3＝17900（元）．∴方案1运费最少，应选方案1．一元一次不等式组（基础）巩固练习【巩固练习】一、选择题1．下列选项中是一元一次不等式组的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．不等式组312840x x ->⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示为 （ ）．3．（•来宾）已知不等式组的解集是x≥1，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＜1 B ．a ≤1C ．a ≥1D ．a ＞1 4．不等式32015x -<≤的整数解有（ ）． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个5．现用甲、乙两种运输车将46t 抗旱物资运往灾区，甲种运输车载重5t ，乙种运输车载重4t ，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少应安排（ ）．A ．4辆B ．5辆C ．6辆D ．7辆6．如果|x+1|＝1+x ，|3x+2|＝-3x-2，那么x 的取值范围是（ ）．A ．213x -≤≤-B ．1x ≥-C ．23x ≤-D ．213x -≤≤- 二、填空题7.如果a ＜2，那么不等式组2x a x >⎧⎨>⎩的解集为_______，2x a x <⎧⎨>⎩的解集为_______． 8．（•广东）不等式组x x x x --⎧⎪⎨-⎪⎩1222132≤＞的解集是 ． 9．不等式组34125x +-≤<的所有整数解的和是______． 10. 如图所示，在天平右盘中的每个砝码的质量都是1g ，则物体A 的质量m(g)的取值范围为 ．11．从彬彬家步行到学校的路程是2400米，如果彬彬7时离家，要在7时30分至40分间到达学校，那么步行的速度x （米/分）的范围是________．12. 在△ABC 中，三边为a 、b 、c ,如果a 3x =，b 4x =，c 28=，那么x 的取值范围是 ．三、解答题13.解下列不等式组，并将其解集在数轴上表示出来．（1）2(1)31134x x x x +≤-⎧⎪+⎨<⎪⎩；（2）1＜3x-2＜4；14.若关于x 、y 的二元一次方程组中，x 的值为负数，y 的值为正数，求m 的取值范围．15.郑老师想为希望小学四年级(3)班的同学购买学习用品，了解到某商店每个书包价格比每本词典多8元，用124元恰好可以买到3个书包和2本词典．(1)每个书包和每本词典的价格各是多少元?(2)郑老师计划用1000元为全班40位学生每人购买一件学习用品(一个书包或一本词典)后，余下不少于100元且不超过120元的钱购买体育用品．共有哪几种购买书包和词典的方案?【答案与解析】一、选择题1. 【答案】D ；【解析】解：A 、含有两个未知数，错误；B 、未知数的次数是2，错误；C 、含有两个未知数，错误；D 、符合一元一次不等式组的定义，正确；故选D.2. 【答案】A ；【解析】解不等式组可得：1,2x x >≥且．3. 【答案】A ；4. 【答案】B ；【解析】32053215x x -⎧<⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩，解得：312x -≤<，所以整数解：-1，0，1. 5. 【答案】C ；【解析】设甲种运输车安排x 辆，5x+4（10-x ）≥46，x≥6，故至少要甲种运输车6辆．6. 【答案】A ；【解析】由10320x x +≥⎧⎨--≥⎩，解得213x -≤≤-． 二、填空题7. 【答案】x ＞2，无解；8. 【答案】﹣3＜x≤1；【解析】解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x ＞-3，所以不等式组的解集是：﹣3＜x≤1.9. 【答案】-5；【解析】所有整数解：-3，-2，-1,0,1，所以和为-5.10．【答案】1＜m ＜2；【解析】由第一幅图得m ＞1，由第二幅图得m ＜2，故1＜m ＜211.【答案】60＜x ＜80； 【解析】设步行速度为x 米/分，依题意可得：3240042400x x <⎧⎨>⎩，得60＜x ＜80 12.【答案】4＜x ＜28；【解析】4x-3x ＜28＜4x+3x ，即4＜x ＜28．三、解答题13.【解析】解：(1)由①得解集为x ≥3，由②得解集为x ＜3，在数轴上表示①、②的解集，如图， 所以不等式组无解．（2）不等式组的解集为1＜x ＜2，表示在数轴上如图：14.【解析】 解：，①+②得2x=4m ﹣2，解得x=2m ﹣1，②﹣①得2y=2m+8，解得y=m+4，∵x 的值为负数，y 的值为正数， ∴，∴﹣4＜m ＜．15.【解析】解：(1)设每个书包的价格为x 元，则每本词典的价格为(x-8)元．根据题意得：3x+2(x-8)＝124解得：x ＝28．∴ x-8＝20．答：每个书包的价格为28元，每本词典的价格为20元．(2)解：设购买书包y 个，则购买词典(40-y)本．根据题意得：1000[2820(40)]1001000[2820(40)]120y y y y -+-≥⎧⎨-+-≤⎩， 解得：10≤y ≤12.5．因为y 取整数，所以y 的值为10或11或12．所以有三种购买方案，分别是：①书包10个，词典30本；②书包11个，词典29本；③书包12个，词典28本．。
一元一次不等式(组)的解法
期末复习专项综合练习（3）一元一次不等式（组）的解法（解析版）（时间45分钟总分100分）一．选择题（共6小题，每小题4分，共24分）1．（2021•南充）不等式x12＞2x23−1的正整数解的个数是（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个思路引领：根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得不等式解集，即可得其正整数解．解：去分母得：3（x+1）＞2（2x+2）﹣6，去括号得：3x+3＞4x+4﹣6，移项得：3x﹣4x＞4﹣6﹣3，合并同类项得：﹣x＞﹣5，系数化为1得：x＜5，故不等式的正整数解有1、2、3、4这4个，故选：D．解题秘籍：本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．2．（2021•南昌）将不等式组x+2≥12(x+3)−3＞3x的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）A．B．C．D．思路引领：求出两个不等式的解集，然后表示在数轴上即可．解：x+2≥1①2(x+3)−3＞3x②，解不等式①得，x≥﹣1，解不等式②得，x＜3，在数轴上表示如下：．故选：D．解题秘籍：本题考查了一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，需要把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．3．（2022春•薛城区期中）已知点P（a+1，−a2+1）关于原点的对称点在第三象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）A．B．C．D．思路引领：根据关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数，根据第三象限内的点的横坐标小于零，纵坐标小于零，可得答案．解：由题意，得P（a+1，−a2+1）关于原点的对称点在第三象限，得﹣a﹣1＜0，且a2−1＜0，解得﹣1＜a＜2，如图，故选：B．解题秘籍：本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数．4．（2021•x−1≤7−3 2 x＞3(x+1)的解集表示在数轴上，正确的是（ ）A．B．C．D．思路引领：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则分析选项可得答案．解：解不等式12x﹣1≤7−32x，得：x≤4，解不等式5x﹣2＞3（x+1），得：x＞5 2，∴不等式组的解集为：52＜x≤4，故选：A．解题秘籍：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．5．（2022•绵阳）在关于x、y的方程组2x+y=m+7x+2y=8−m中，未知数满足x≥0，y＞0，那么m的取值范围在数轴上应表示为（ ）A．B．C．D．思路引领：把m看作已知数表示出方程组的解，根据x≥0，y＞0求出m的范围，表示在数轴上即可．解：2x+y=m+7①x+2y=8−m②，①×2﹣②得：3x＝3m+6，即x＝m+2，把x＝m+2代入②得：y＝3﹣m，由x≥0，y＞0，得到m+2≥0 3−m＞0，解得：﹣2≤m＜3，表示在数轴上，如图所示：，故选：C．解题秘籍：此题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．（2021春•大竹县校级月考）关于x的不等式x﹣b＞0恰有两个负整数解，则b的取值范围是（ ）A．﹣3＜b＜﹣2B．﹣3≤b＜﹣2C．﹣3≤b≤﹣2D．﹣3＜b≤﹣2思路引领：首先解不等式，然后根据条件即可确定b的值．解：∵x﹣b＞0，∴x＞b，∵不等式x ﹣b ＞0恰有两个负整数解，∴﹣3≤b ＜﹣2．故选：B ．解题秘籍：本题考查不等式的整数解问题，解题的关键是利用数轴分析，其次解题时必须理解题意，属于基础题，中考常考题型．二．填空题（共5小题，每题4分，共20分）7．（2021春•万州区校级期中）若﹣3是关于x 的方程x−a 3−2−x 4=1的解，则x−a 3−2−x 4≥1的解集是 x ≥﹣3 ．思路引领：根据方程解的定义，将方程的解代入方程可得关于字母系数a 的一元一次方程，从而可求出a 的值，再解不等式即可．解：把x ＝﹣3代入方程x−a 3−2−x 4=1，可得：a =−394，把a =−394代入x−a 3−2−x 4≥1，解得：x ≥﹣3，故答案为：x ≥﹣3．解题秘籍：此题考查不等式的解法，关键是根据已知条件中涉及到方程的解，把方程的解代入原方程，转化为关于字母a 的方程进行求解．8．（2021春•x +1≥−3＞0的最大整数解为 ．思路引领：分别求出两个不等式的解集，可得不等式组的解集，即可求最大整数解．解：解12x +1≥﹣3，解得：x ≥﹣8，解x ﹣2（x ﹣3）＞0，解得：x ＜6，∴不等式的解集为：﹣8＜x ＜6∴最大整数解为：x ＝5故答案为：x ＝5，解题秘籍：本题考查了一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是掌握一元一次不等式组的解法．9．（2021•2(x−3)−2x−13＞−1的所有整数解的和是 ．思路引领：首先分别计算出两个不等式的解集，再根据不等式组解集的确定规律可得x 的解集，再在解集的范围内找出符合条件的整数，算出答案即可．2(x−3)①−2x−13＞−1②，由①得：x≤3，由②得：x＞−115，不等式组的解集为：−115＜x≤3，则不等式组的整数解为：﹣2，﹣1，0，1，2，3，所有整数解的和：﹣2﹣1+0+1+2+3＝3．故答案为：3．解题秘籍：此题主要考查了一元一次不等式组的整数解，关键是正确解出不等式，确定出不等式组的解集．10．（2020春•回民区期末）若关于x的不等式组x+a≥01−2x≥x−2的解集当中有3个整数解，则a的取值范围是 1≤a＜2 ．思路引领：先根据一元一次不等式组解出x的取值，再根据不等式组只有3个整数解，求出a的取值范围．解：x+a≥0①1−2x≥x−2②，由①得：x≥﹣a，由②得：x≤1，∴不等式组的解集为：﹣a≤x≤1，∵有3个整数解，∴整数解为：﹣1，0，1，∴﹣2＜﹣a≤﹣1，∴1≤a＜2，故答案为1≤a＜2．解题秘籍：此题考查的是一元一次不等式的解法，根据x的取值范围，得出x的取值范围，然后根据不等式组只有3个整数解即可解出a的取值范围．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．11．（2021秋•普陀区期末）定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣π]＝﹣4．（1）如果[a]＝﹣2，那么a的取值范围是 ．（2）如果[x12]＝3，满足条件的所有正整数x为 ．思路引领：（1）根据定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数，即可解答；（2）根据定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数，先求出x的取值范围，然后在其范围内找出满足条件的所有正整数即可．解：（1）∵[a]＝﹣2，∴a的取值范围是：﹣2≤a＜﹣1，故答案为：﹣2≤a＜﹣1；（2）由题意得：3≤x12＜4，解得：5≤x＜7，∴满足条件的所有正整数x为：5，6，故答案为：5，6．解题秘籍：本题考查了解一元一次不等式组，根据题目的已知理解定义是解题的关键．三．解答题（共6小题，共54分）12．（2021秋•江东区校级期中）（1）解不等式：2x−13−9x26≤1，并把解集表示在数轴上（2≤2(x+3)＞x2，并写出不等式组的整数解．思路引领：（1）首先去分母，然后去括号，移项、合并同类项，系数化成1即可求解；（2）首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，然后确定解集中的整数解即可．解：去分母，得：2（2x﹣1）﹣（9x+2）≤6，去括号，得：4x﹣2﹣9x﹣2≤6，移项，得：4x﹣9x≤6+2+2，合并同类项，得：﹣5x≤10，系数化成1得：x≥﹣2．把解集表示在数轴上为：；（22(x+3)⋯①＞x2⋯②，解①得：x≤4，解②得：x＞2，则不等式组的解集是：2＜x≤4．则不等式组的整数解是：3，4．解题秘籍：本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．13．（2021春•广饶县校级月考）若代数式3(2k5)2的值不大于代数式5k+1的值，求k的取值范围．思路引领：根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．解：根据题意得：3(2k5)2≤5k+1，去分母得：3（2k+5）≤2（5k+1），去括号得：6k+15≤10k+2，移项合并得：4k≥13，解得：k≥13 4．解题秘籍：此题考查了解一元一次不等式，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，求出解集．14．（2021春•高明区校级期末）解不等式组2x+5≤3(x+2)2x−13x2≤1，并把不等式组的解集在数轴上表示出来，写出不等式组的非负整数解．思路引领：分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集即可，再找出解集范围内的非负整数即可．解：2x+5≤3(x+2)①2x−13x2≤1②，由①得：x≥﹣1，由②得：x≤3，不等式组的解集为：﹣1≤x ≤3．在数轴上表示为：．不等式组的非负整数解为3，2，1，0．解题秘籍：此题主要考查了解一元一次不等式组，解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．15．（2021春•浦东新区期末）先阅读理解下列例题，再按要求完成作业．例题：解一元二次不等式（3x ﹣2）（2x +1）＞0．解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①3x−2＞02x +1＞0或②3x−2＜02x +1＜0解不等式组①得x ＞23，解不等式组②得x ＜−12．所以一元二次不等式（3x ﹣2）（2x +1）＞0的解集是x ＞23或x ＜−12．作业题：（1）求不等式5x 12x−3＜0的解集；（2）通过阅读例题和做作业题（1），你学会了什么知识和方法？思路引领：由不等式组分别解出x 的取值范围，写出x 的公共部分就是不等式组的解集．解：（1）由有理数的除法法则“两数相除，异号得负”有①5x +1＞02x−3＜0或②5x +1＜02x−3＞0解不等式组①，得−15＜x ＜32；解不等式组②，得不等式组②无解，所以不等式5x 12x−3＜0的解集为−15＜x ＜32．（2）运用有理数的乘法法则，把一元二次不等式转化为一元一次不等式组来解决；运用有理数的除法法则，把分母中含有未知数的不等式转化为一元一次不等式（组）来解决．解题秘籍：本题考查的是一元一次不等式组的解，本题比较新颖，也不是很难．16．（2013•扬州）已知关于x 、y 的方程组5x +2y =11a +182x−3y =12a−8的解满足x ＞0，y ＞0，求实数a 的取值范围．思路引领：先利用加减消元法求出x、y，然后列出不等式组，再求出两个不等式的解集，然后求公共部分即可．解：5x+2y=11a+18①2x−3y=12a−8②，①×3得，15x+6y＝33a+54③，②×2得，4x﹣6y＝24a﹣16④，③+④得，19x＝57a+38，解得x＝3a+2，把x＝3a+2代入①得，5（3a+2）+2y＝11a+18，解得y＝﹣2a+4，所以，方程组的解是x=3a+2y=−2a+4，∵x＞0，y＞0，∴3a+2＞0①−2a+4＞0②，由①得，a＞−2 3，由②得，a＜2，所以，a的取值范围是−23＜a＜2．解题秘籍：本题考查的是二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．17．（2018•南通三模）若关于x+x13＞0+5a+4＞4(x+1)+3a恰有三个整数解，求实数a的取值范围．思路引领：首先利用a表示出不等式组的解集，根据解集中的整数恰好有3个，即可确定a的值．+x13＞0①+5a+4＞4(x+1)+3a②，由①得：x＞−2 5，由②得：x＜2a，则不等式组的解集为：−25＜x＜2a，∵不等式组只有3个整数解为0、1、2，∴2＜2a≤3，∴1＜a≤3 2，故答案为：1＜a≤3 2．解题秘籍：本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．。
一元一次不等式知识要点及典型题目讲解-
一元一次不等式知识要点及典型题目讲解一、全章教学内容及要求１、理解不等式的概念和基本性质２、会解一元一次不等式，并能在数轴上表示不等式的解集３、会解一元一次不等式组，并能在数轴上表示不等式组的解集二、技能要求1、会在数轴上表示不等式的解集。
2、会运用不等式的基本性质（或不等式的同解原理）解一元一次不等式。
3、掌握一元一次不等式组的解法，会运用数轴确定不等式组的解集。
三、重要的数学思想：1、通过一元一次不等式解法的学习，领会转化的数学思想。
2、通过在数轴上表示一元一次不等式的解集与运用数轴确定一元一次不等式组的解集，进一步领会数形结合的思想。
四、主要数学能力1、通过运用不等式基本性质对不等式进行变形训练，培养逻辑思维能力。
2、通过一元一次不等式解法的归纳及一元一次方程解法的类比，培养思维能力。
3、在一元一次不等式，一元一次不等式组解法的技能训练基础上，通过观察、分析、灵活运用不等式的基本性质，寻求合理、简捷的解法，培养运算能力。
五、类比思想：把两个（或两类）不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似之处，那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处。
这种数学思想通常称为“类比”，它体现了“不同事物之间存在内部联系”的唯物辩证观点，是发现数学真理和解题方法的重要手段之一，在数学中有着广泛的运用。
在本章中，类比思想的突出运用有：1、不等式与等式的性质类比。
对于等式（例如a=b）的性质，我们比较熟悉。
不等式（例如a>b或a<b）与等式虽然是不同的式子，表达的也是不同的数量关系，但它们在形式上显然有某些相同或类似的地方，于是可推断在性质上两者也可能有某些相同或类似之处。
这就是“类比”思想的运用之一，它也是我们探索不等式性质的基本途径。
等式有两个基本性质：1、等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，等号不变。
（即两边仍然相等）。
2、等式两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，符号不变（即两边仍然相等）。
一元一次不等式(组)计算类练习(带解析)
一元一次不等式（组）计算类练习（带解析）1．解不等式组．2．解不等式：．2．解不等式（组）：（1）解不等式2x+3＞7；（2）解不等式组．3．解下列不等式（组）：（1）3x﹣4＞2；（2）．5．解下列一元一次不等式组，并把不等式组的解在数轴上表示出来．6．解不等式（组）：（1）2x+3＞﹣5；（2）．7．解不等式组并把解集在数轴上表示出来．8．解不等式组：．9．解下列不等式（组）：（1）2x﹣1＞x﹣3；（2）．10．解下列不等式（组）：（1）3x﹣6≥x；（2）．11.解下列不等式（组）：（1）5x+3＜3（2+x）（2）12.解不等式组，并求出它的非负整数解．13．解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来．（1）解不等式：5x+3＜3（2+x）．（2）解不等式组：．14．求不等式组的最大整数解．15．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．16．求不等式组的正整数解．17．解不等式组，并把解集在数轴上表示．18．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．19．解不等式（组）：（1）；（2）．19．（1）解不等式≥1；（2）解不等式组．21．解一元一次不等式组，并把解表示在数轴上．22．解不等式组：．23.．24.．25．解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来．（1）1+2（x﹣1）≤5；（2）．26．解下列不等式和不等式组：（1）2（x+1）＞3x﹣4；（2）．27．解下列不等式（组）：（1）10﹣5（2x﹣1）≥3﹣x；（2）．28．（1）解不等式；（2）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．29．解不等式组，并写出它所有的整数解．30．解不等式组：，并把不等式组的解集表示在数轴上．31．解不等式组：，并求出不等式组的整数解．32．解不等式组．33．解不等式组，并写出它的所有整数解．34．解不等式组，并写出这个不等式组的非负整数解．35．解不等式组：，并写出它的最大整数解．36．解不等式组．（1）将不等式组的解集在数轴上表示出来；（2）求出最小整数解与最大整数解的和．。
一元一次不等式知识点及典型例题
一元一次不等式 考点一、不等式的概念 1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。
例 判断如下各式是否是一元一次不等式？ word-x≥5 2x-y＜02x 34x 5x22 x532、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数二 不等式的解 ：的值，都叫做这个不等式的解。
三 不等式的解集：3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简 例 判断如下说法是否正确，为什么？称这个不等式的解集。
X=2 是不等式 x+3＜2 的解。
X=2 是不等式 3x＜7 的解。
不等式 3x＜7 的4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
解是 x＜2。
X=3 是不等式 3x≥9 的解5、用数轴表示不等式的方法四 一元一次不等式：考点二、不等式根本性质例 判断如下各式是否是一元一次不等式1、不等式两边都加上〔或减去〕同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
2、不等式两边都乘以〔或除以〕同一个正数，不等号的方向不变。
－ｘ＜５ ２ｘ－ｙ＜０2x 3x22 x 5 ≥３ｘ3、不等式两边都乘以〔或除以〕同一个负数，不等号的方向改变。
例 五．不等式的根本性质问题4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运 例 1 指出如下各题中不等式的变形依据算改变。
②如果不等式乘以 0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的 数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的1〕由 3a>2 得 a> 2 32) 由 3+7>0 得 a>-7数就不等为 0，否如此不等式不成立； 考点三、一元一次不等式3〕由-5a<1 得 a>- 1 54)由 4a>3a+1 得 a>11、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是 1， 例 2 用>〞或<〞填空，并说明理由且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。
一元一次不等式(组)典型例题分类讲解
一元一次不等式(组)典型例题分类讲解一元一次不等式(组)典型例题分类讲解类型一：不等式性质1.若，则的大小关系为（ ） A ． B ． C ． D ．不能确定2.若x y >，则下列式子错误的是（ ）A ．33x y ->-B ．33x y ->-C ．32x y +>+D ．33x y > 类型二：比较大小1.若01x <<，则21x x x ，，的大小关系是（ ） A ．21x x x << B ．21x x x << C ．21x x x << D ．21x x x <<2.实数在数轴上对应的点如图所示，则，，的大小关系正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．类型三：解一元一次不等式 1.不等式的解集为 ．2.解不等式：2（x ＋）－1≤－x ＋9类型四：不等式中字母的取值范围1.关于x 的方程x kx 21=-的解为正实数，则k 的取值范围是2.已知2ab =．（1）若3-≤b ≤1-，则a 的取值范围是____________．（2）若0b >，且225a b +=，则a b +=____________．3.关于x 的不等式2x －a ≤－1的解集如图2所示，则a 的取值是（ ）。
A 、0B 、－3C 、－2D 、－1类型五：解一元一次不等式组1.不等式组3(2)412 1.3x x x x --⎧⎪+⎨>-⎪⎩≥，的解集是 ．2.解不等式组：3221317.22x x x x ->+⎧⎪⎨--⎪⎩，≤ 类型六：解一元一次不等式组及解集在数轴上的表示1.不等式组2201x x +>⎧⎨--⎩≥的解集在数轴上表示为（ ）A ．B ． 0 1 -1-2 (图2) 1 2 3 －10 1 2 3 －1 0 －2 1 2 3 －1 0 1 2 3 －1 0 －2C ．D ．2.不等式组213351x x +>⎧⎨-⎩≤的解集在数轴上表示正确的是（ ）类型七：不等式组的整数解1.不等式组2752312x x x x -<-⎧⎪⎨++>⎪⎩的整数解是 ． 2.不等式组26623212x x x x -<-⎧⎪⎨++>⎪⎩的整数解是（ ）A ．1，2B ．1，2，3C ．331<<x D ．0，1，2 3.解不等式组并写出该不等式组的最1 2 0 A ． B ． 1 2 0 C ． 1 2 0 D ． 1 2 0大整数解.4.解不等式组并求出所有整数解的和．类型八：已知不等式组的整数解，求字母的取值范围1.已知关于x 的不等式组0521x a x -⎧⎨->⎩≥，只有四个整数解，则实数a 的取值范围是 ．2.若不等式组有实数解，则实数的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 3.若不等式组的解集为，则a 的取值范围为（ ） A ． a ＞0 B ． a ＝0 C ． a ＞4D ． a ＝44.如果一元一次不等式组3x x a >⎧⎨>⎩的解集为3x >．则a 的取值范围是( )A ．3a >B ．a ≥3C ．a ≤3D ．3a <类型九：利用不等式组的解集求值1.如果不等式组2223x a x b ⎧+⎪⎨⎪-<⎩≥的解集是01x <≤，那么a b+的值为 ．2.若不等式组220x a b x ->⎧⎨->⎩的解集是11x -<<，则2009()a b += ．3.若不等式组， 的整数解是关于x 的方程的根，求a 的值4.已知不等式组的解集为－1＜x ＜2，则(m ＋n)2008＝_______________．类型十：不等式应用题1：一般不等式应用题1.在保护地球爱护家园活动中，校团委把一批树苗分给初三（1）班同学去栽种．如果每人分2棵，还剩42棵；如果前面每人分3棵，那么最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．（1）设初三（1）班有x 名同学，则这批树苗有多少棵？（用含x 的代数式表示）．（2） 初三（1）班至少有多少名同学？最多有多少名2.北京奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．（1）该商场两次共购进这种运动服多少套？（2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少元？（利润率100%=⨯利润成本）3.某校积极推进“阳光体育”工程，本学期在九年级11个班中开展篮球单循环比赛（每个班与其它班分别进行一场比赛，每班需进行10场比赛）．比赛规则规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场得3分，负一场得1-分．（1）如果某班在所有的比赛中只得14分，那么该班胜负场数分别是多少？（2）假设比赛结束后，甲班得分是乙班的3倍，甲班获胜的场数不超过5场，且甲班获胜的场数多于乙班，请你求出甲班、乙班各胜了几场．4.已知一件文化衫价格为18元，一个书包的价格是一件文化衫的2倍还少6元．（1）求一个书包的价格是多少元？（2）某公司出资1800元，拿出不少于350元但不超过400元的经费奖励山区小学的优秀学生，剩余经费还能为多少名山区小学的学生每人购买一个书包和一件文化衫？5. 1月底，某公司还有11000千克椪柑库存，这些椪柑的销售期最多还有60天，60天后库存的椪柑不能再销售，需要当垃圾处理，处理费为0.05元/吨。
一元一次不等式（组）知识总结及经典例题分析
二、一元一次不等式的解法：解一元一次不等式，要根据不等式的性质，将不等式逐步化为x a <(x a >或 )x a x a ³£或或的形式，其一般步骤为：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1。
说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以或除以))同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．例如：131321£---x x 解不等式： 解：去分母，得解：去分母，得 6)13(2)13£---x x （（不要漏乘！每一项都得乘） 去括号，得去括号，得去括号，得 62633£+--x x （注意符号，不要漏乘!）移移 项，得项，得项，得 23663-+£-x x （移项，每一项要变号；但符号不改变） 合并同类项，得合并同类项，得合并同类项，得 73£-x （计算要正确）系数化为系数化为1， 得 37-³x （同除负，不等号方向要改变，分子分母别颠倒了）三、一元一次不等式组含有同一个未知数的含有同一个未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。
一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。
说明：判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；②不等式组中不等式的个数至少是2个，也就是说，可以是2个、个、33个、个、44个或更多．个或更多．四、一元一次不等式组的解集一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定．一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定．五、不等式组解集的确定方法，可以归纳为以下四种类型(b a <) a a a a x <ax >a x ≤a x ≥a 一元一次不等式和不等式组【知识要点】一、一元一次不等式1. 一元一次不等式定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做一元一次不等式。
一元一次不等式组的解法及应用
家庭作业
解答题 1．解不等式组
⑴⎩⎨⎧-≤+>+145321x x x x ⑵⎪⎩⎪
⎨⎧-≥-->+35663
4)1(513x x x x
2．某中学需要刻录一批电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元（包括空白光盘费）；若学校自刻，出租用刻录机需120元外，每张光盘还需成本4元（包括空白光盘费）。
问刻录这批电脑光盘，该校如何选择，才能使费用较少？
3．将不足40只鸡放入若干个笼中，若每个笼里放4只，则有一只鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，且最后一笼不足3只。
问有笼多少个？有鸡多少只？
附加题：
1．如果不等式03<-a x 的正整数是1，2，3，那么a 的取值范围是多少？
2．已知不等式42213x a x +>-的解集为2>x ，求a x a ->-2)(3
1
的解集。
3．解不等式0412<--x
4．某宾馆底层客房比二楼少5间，一旅游团有48人，若全安排住底层，每间住4人，则房间不够，若每间安排住5人，则有房间没有住满5人。
又若全安排住在二楼，每间住3人，房间不够；每间住4人，则有房间没有住满4人，问该宾馆共有多少间客房？。
完整版一元一次不等式常见题型
常见题型题型一：求不等式的特殊解【例】(1)求X+3V 6的所有正整数解(2)求10-4 (X-3 )> 2 ( X-1 )的非负整数解，并在数轴上表示出来。
【变式训练】(1 )求不等式竽1 0的非负整数解。
(2)设不等式2x-a<0只有3个正整数解，求正整数题型二：不等式与方程的综和题【例】关于X的不等式2x—aw 1的解集如图，求a的取值。
-2f x 9 5x 1【变式训练】不等式组 [x m 1 的解集是X >2,则m 的取值范围是?r 5x 3y 31【例】若关于X 、y 的二元一次方程组 l x y P 0的解是正整数，求整数P 的值。
x a b a 2x a 2b 1的解集为3<XV 5，求吊的值。
题型三：确定方程或不等式中的字母取值范围【例】k 为何值时方程5X —6=3 (x+k )的值是非正数。
【变式训练】已知关于 X 的方程3k — 5x =- 9的解是非负数，求 k 的取值范围【例】已知在不等式 3x — aw 0的正整数解是1、2、3,求a 的取值范围。
9x a 0【变式训练】如果｛ 8x b 0的整数解为1、2、3,求整数【变式训练】已知关于X 的不等式组 a 、b 的值。
题型四：求最小值问题5x 4 7 1 x【例】x取什么值时，代数式—厂的值不小于"8 "V 的值，并求出x的最小值。
【变式训练】已知代数式5a+8b—a(a2—b)—9的值不小于2a—a3+b(a+8) —6的值，求a的最小值。
题型五：不等式解法的变式应用【例】根据下列数量关系，列不等式并求解(1) X的1与x的2倍的和是非负数。
C与4的和的30 %不大于-2 O(3) X除以2的商加上2,至多为5o1与b两数和的平方不可能大于3o题型六：解不定方程【例】求方程4x+y —20=0的正整数解。
人教版初中数学中考复习 一轮复习 —一元一次不等式(组)解法及含字母(参数)问题
8
4
．
解：（2）去分母，得：8﹣（7x﹣1）＞2（3x﹣2），
去括号，得：8﹣7x+1＞6x﹣4，
移项，得：﹣7x﹣6x＞﹣4﹣1﹣8，
合并同类项，得：﹣13x＞﹣13，
系数化1，得：x＜1．
考点二：解不等式（组）并在数轴上表示解（集）
5．（2021•武汉）解不等式组
2x x 1 ① 4x 10 x 1 ②
考点一：不等式的性质
C 1．（2021•常德）若a＞b，下列不等式不一定成立的是（ ）
A．a﹣5＞b﹣5
B．﹣5a＜﹣5b
C． a b
cc
D．a+c＞b+c
考点一：不等式的性质
2．（2021•临沂）已知a＞b，下列结论：①a2＞ab；②a2＞b2；③若b＜0，
A 则a+b＜2b；④若b＞0，则 1 1 ，其中正确的个数是（ ） ab
性质3：不等式两边同时乘或除同一个负数，不等号的。方向改变
知识点梳理：
二、一元一次不等式(组)及其解法
一元一次不等 含有一个未知数,未知数的次数是
1
式定义
的不等式
解一元一次不 等式的步骤
去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1
一元一次 一般地,关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,
不等式组 就组成一个一元一次不等式组
3．（2021•南京）解不等式1+2（x﹣1）≤3，并在数轴上表示解集． 解： 1+2（x﹣1）≤3， 去括号，得1+2x﹣2≤3． 移项、合并同类项，得2x≤4． 化系数为1，得x≤2．
表示在数轴上为：
考点二：解不等式（组）并在数轴上表示解（集）
Hale Waihona Puke 4．（2021•泰安）（2）解不等式： 1- 7x 1 3x 2
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一元一次不等式组的解法
一、知识点复习
1.一元一次不等式组的概念：
几个 一元一次不等式 合在一起就组成一个一元一次不等式组. 2.一元一次不等式组的解集：
一般地，几个不等式的解集的 公共部分 ，叫做由它们组成的不等式组的解集. 2.一元一次不等式组解集四种类型如下表：
二、经典题型分类讲解
题型1：考察一元一次不等式组的概念
1. （2017春雁塔区校级月考）下列不等式组：①⎩⎨⎧<->32x x ，②⎩⎨⎧>+>420
x x ，③⎩⎨⎧>+<+4
2122x x x ，
④⎩⎨⎧-<>+703x x ，⑤⎩
⎨⎧<->+010
1y x 。
其中一元一次不等式组的个数是（ ）
A 、2个
B 、3个
C 、4个
D 、5个
题型2：考察一元一次不等式组的解法
2.（2018春天心区校级期末）不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧>+≤-6
1213312
x x 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
3.解下列不等式组，并在数轴上表示解集：
!
（1）⎪⎩
⎪
⎨⎧<--+->++-021331215)1(2)5(7x x x x （2）⎪⎩⎪⎨⎧≥-+->-154245
3312x x x x
（3）⎪⎩⎪⎨⎧≤--+<--+-1213128)3()1(3x x x x （4）⎪⎩
⎪
⎨⎧<
-+≤+321)2(352x x x x
—
（5）⎪⎩⎪⎨⎧-<+-<-2322125.05.7x x x x （6）⎪⎩⎪⎨⎧->≥----62410
2.05.05.04
.073x x x x x
！
4. 解下列不等式21
153
x --<
≤
\
题型3：考察一元一次不等式组的整数解问题
5.（2017西安模拟）不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤
-+>+32152)2(3x
x x x 的最小整数解是 。
6.（2016春马山县期末）若关于x 的一元一次不等式组⎩
⎨⎧>->-01
23a x x 恰有3个整数解，那么a
的取值范围是（ ）
A 、12<<-a
B 、23-≤<-a
C 、23-<≤-a
D 、23-<<-a
7.已知关于x 的不等式组⎩
⎨⎧≥->+0230
32x a x a 恰有3个整数解，则a 的取值范围是（ ）
，
A 、
2332≤≤a B 、2334≤≤a C 、2334≤<a D 、2
3
34<≤a
题型4：考察一元一次不等式中字母参数问题
8. （2016春汉台区校级月考）不等式x x
>-12
与x ax 56>-的解集相同，则=a 。
9. （2017春越秀区期末）不等式组⎩
⎨⎧<+<-a x x x 5
335的解集为4<x ，则a 满足的条件是
（ ）
A 、4<a
B 、4=a
C 、4≤a
D 、4≥a
—
10.（2015春沛县期末）如果不等式组⎩
⎨⎧>-<+n x x x 4
34的解集是4>x ，则n 的取值范围是
（ ）
A 、4≥n
B 、4≤n
C 、4=n
D 、4<n
'
11.（2017春东港市期中）若不等式组⎩⎨
⎧>-<-3
21
2b x a x 的解集为11<<-x ，则=a ，
=b 。
12. （2017春柳州期末）若不等式组⎩⎨
⎧><m
x x 8
无解，则m 的取值范围是 。
13. （2017春尚志市期末）若不等式组⎩
⎨
⎧≤≥-m x x 0
32无解，则m 的取值范围是 。
￥
14.（2014春无锡期末）若不等式组⎩⎨
⎧->+≤1
21
m x m x 无解，则m 的取值范围是 。
15. （2017秋绍兴期中）若关于x 的一元一次不等式组⎩⎨
⎧<-≤-3
2x m x 有解，则m 的取值范
围为（ ）
`
A 、6-<m
B 、6-≤m
C 、6->m
D 、6-≥m
16. （2014春仪征市校级期末）已知方程组⎩
⎨
⎧--=++=-a y x a
y x 731的解x 为非正数，y 为负数。
（1）求a 的取值范围；
（2）在a 的取值范围中，当a 为何整数时，不等式122+>+a x ax 的解为1<x 。
[
17. （2013春冠县校级期末）若关于x 的不等式组⎩⎨⎧+>+>2
1
2n x n x 的解集为1->x ，则n 的值
为（ ）
A 、3
B 、3-
C 、1
D 、1-
18、已知⎩
⎨⎧+=+=+12242k y x k
y x 中的y x ,满足10<-<x y ，则k 的取值范围为 。