现代谱估计
现代谱估计-有理谱估计
，随 SNR 的下降而降低，增大阶次会增加分辨率，
但可能出现伪峰且方差增大。
3、滑动平均谱估计
3.1 引言
MA 模型隐含了 k q 的自相关函数 rx k 0 ；可以直接得自相关函数可靠 估计，而不需要 MA 模型参数，得到功率谱估计。与 BT 法的区别：BT 法适用 于任何平稳过程、MA 谱估计仅适用于有限阶 MA 模型；BT 法中自相关函数最 大延迟人为确定，MA 谱估计中模型阶次决定最大延迟；BT 不保证谱的非负性， 而 MA 谱估计非负。 MA 模型适合表示无尖峰有深谷的谱，因此不是高分辨率估计。
自相关函数矩阵 Rx p 同时是 Hermition 矩阵和 Toeplitz 矩阵。
2.2.2 AR 过程的线性预测
2.2.2.1 平稳随机过程的线性预测 平稳随机过程的波形估计 最小均方误差准则，线性估计，Wiener-Hopf 方程，正交原理 滤波、预测、平滑 线性最优预测，m 阶一步前向线性预测，m 阶一步后向线性预测，及它们之 间的关系（系数成共轭关系，最小预测误差功率相等） 最优前向预测误差滤波器的最小相位特性 线性最优预测的按阶次递推关系——Levinson 算法 最小均方预测误差的性质（正交性，递推性）及格型结构实现 反射系数的物理含义（前向预测误差和后向预测误差之间相关系数的负值） 2.2.2.2 AR 过程最优线性预测的特殊性质 AR 过程可由求解线性预测系数来实现 若已知自相关函数，可由 Levinson 递推算法得到 AR 参数 AR 过程可用自相关函数、AR 参数和反射系数三组参数等价表示
1.4 经典谱估计和现代谱估计
经典谱估计中，都隐含了这样一个假设：对于未得到的样本数据或未估计出 的自相关函数，认为是零。但实际上这些值并不一定为零，正是由于这种不合理 假设使得经典谱估计较低的分辨率和较大的失真。现代谱估计，对于未得到的样 本数据或未估计出的自相关函数，并不是简单地作零处理，而是认为与得到的样 本数据服从同一模型，估计质量取决于参数估计质量和模型的准确性。 。这是现 代谱估计与经典谱估计最主要的区别。
现代信号处理功率谱估计
现代信号处理功率谱估计
式中, p(x)是X的概率密度函数，对于离散随机序列, 概率密度函 数用联合概率密度函数代替。显然,熵代表一种不确定性， 最大 熵代表最大的不确定性， 或者说最大的随机性。下面我们研究 对于有限的自相关函数值不作任何改变，对于未知自相关函数 用最大熵原则外推，即不作任何附加条件的外推方法。 假设x(n) 是零均值正态分布的平稳随机序列，它的N维高斯概率密度函数 为 p ( x 1 ,x 2 , ,x N ) ( 2 π ) N /2 (d R x( N x e )1 /2 ) e t x 1 2 X H p ( R x( N x) 1 X )
rxx(1)
rxx(2)
rxx(0) rxx(1)
rxx(N
1)
rxx(N
2)
0
rxx(N1) rxx(N)
rxx(1)
可以看出AR模型得到的结果与按最大熵外推rxx(N+1)得到的结果 一致，这就证明了当x(n)为高斯分布时的最大熵谱估计与AR模型
法是等价的。
上式（4.6.8)是rxx(N+1)的一次函数，由此可解得rxx(N+1)。再 用类似的方法求得rxx(N+2)， rxx(N+3)，┄，然后确定功率谱估计。
式中det(Rxx(N))表示矩阵Rxx(N)的行列式，由上式表明为使熵最 大，要求det(Rxx(N)最大。
现代信号处理功率谱估计
若已知N+1个自相关函数值rxx(0),rxx(1),…,rxx(N)，下面用最 大熵方法外推rxx(N+1)。设rxx(N+1)确实是信号自相关函数的第 N+2个值，根据自相关函数的性质，由N+2个自相关函数组成 的矩阵为
谱估计在现代信号处理中是一个很重要的课题
谱估计在现代信号处理中是一个很重要的课题。
功率谱估计课分为经典谱估计方法和现代谱估计方法。
研究二阶平稳随机过程特征－功率谱密度－揭示随机过程中所隐含的周期及相邻的谱峰等有用信息。
则要用有限长的N 个样本数据去估计该平稳随机过程的功率谱密度－谱估计的方法。
此种估计是建立在时间平均的方法之上，并假定具有遍历性。
经典谱估计－线性、非参数化方法：周期图法，相关图法等。
采用经典的傅里叶变换及窗口截断。
对长序列有良好估计。
现代谱估计－非线性、参数化方法：最大似然估计，最大熵法，AR 模型法，预测滤波器法，ARMA 模型等。
对短序列的估计精度高，与经典法相互补充。
是融合经典变换理论、统计估计理论、系统辨识、信息论、时间序列分析及计算方法等理论与技术－新学科。
应用广泛，发展迅速。
1、谱密度意义 一、 能谱密度设x(t)是确定性的复连续信号，若其绝对可积或其能量有限，即：则x(t)的连续傅氏变换存在，由下式给出：错误！未找到引用源。
根据Parseval 能量定理，有：错误！未找到引用源。
由上式可见，信号能量E 等于信号频谱模值平方错误！未找到引用源。
在整个频域上的积分，故称错误！未找到引用源。
为信号的能谱密度。
当x(t)为广义平稳过程时，其能量通常是无限的，则需研究其功率的频域上的分布，即功率密度。
对于平稳随机过程，谱分析是采用自相关函数：错误！未找到引用源。
) 1 1 ( ) ( 2- - - ∞ < =⎰ ∞∞- dt t x E )2 1 ( ) 2 exp( ) ( ) ( - - - - =⎰ ∞∞- dt ft j t x f X π)3 1 ( ) ( ) ( 22- - - ==⎰ ⎰ ∞∞- ∞∞- df f X dt t x E )4 1 ( ) ( ) ( 2 - - = f X f ε [ ] )5 1 () ( * ) ( ) ( - - + = Γ τ τ τ x t x E xWiener-Kinchine 定理将自相关函数与功率谱密度联系起来：错误！未找到引用源。
现代谱估计在苏通大桥钢箱梁振动信号分析中的应用
Ｓｇ ａ ａｙ ｉ ｆＳ ｔ ｎ ｉｄ ｅ’ ｔｅ ｘ Ｇｉｄ ｒ ｉｎ ｌＡｎ ｓｓｏ ｕ ｏ ｇ Ｂｒ ｇ ＳＳ ｅ ｌＢｏ ｒ ｅ ｌ
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获取 的苏 通 大桥 钢 箱 梁 三 维 变形 监 测 数 据 进 行 分 析 。首 先根 据 观测 数 据 估 计 Ａ Ｒ参 数 模 型 ， 按 照 再
加 速度 计 ， 但加 速度 计存 在位 移精度 不高 、 法 连续 无
（ ｏｌ ｅｆＥ ｒ ｃ ｎｅ ｎ ｎｉ ｅｎ ，Ｈ ｈｉ ｎｅ ｉ ，Ｎ ｎｎ ，ｆ ｎｓ １０８ ｈ ａ Ｃｌｇ ａｔ Ｓｉ ｃ ａｄＥ ｇｎ ｒ ｇ ｏａ ｉｒｔ ｅ ｏ ｈ ｅ ｅｉ Ｕ ｖｓｙ ａｆ ｇ ｉ ｇｕ２０９ ，Ｃ ｉ ） ｉ ａ ｎ
Ａｂ ｔａ ｔ ｔｉ ｆｇｅ ｔｓｇ ｉ ｃ ｎ ｅ ｔ ｂ ａｎ ｔｅ ｂ ｄ ｅ ｖｂ ａｉｎ ｆｅ ｕ ｎ ｙ ｔ ｌ ｎｄ ａ ｃ ｒｔｌ ｓｒ ｃ ：Ｉ ｓ ｏ ｒ ａ ｉｎ ｆ ａ ｃ ｏ ｏ ｔｉ ｈ ｒ ｇ ｉｒ ｔ ｒ ｑ ｅ ｃ ｉ ｙ ａ ｃ ｕ ａｅｙ．Ｉ ｈ ｓ ｐ ｐ ｒ ｈｅ ｉ ｉ ｏ ｍｅ ｎ ｔｉ ａ ｅ ，ｔ ｔ ｈ ｇ ｕｅ ｏ ｕｏ ｇＢｒｄ ｅ’ ｔｅ ｏ ｉｄ ｒｉ ｄ ｓｕｓｅ ｃ ｏ ｉ ｇｔ ｅ ｔｒ ｅ ｄｍｅ ｓｏ ａ ｅｏｍａｉｎ ｄ ｔ ｏ－ ｉ ｃ ａ ｅｒ ｌ ｆＳ ｔｎ ｉ ｇ Ｓｓｅ ｌｂ ｘ ｇｒｅ ｓ ｉｃ ｓ ｄ ａ ｃ ｒ ｎ ｏ ｔ ｅ — ｉ ｎ ｉｎ ｌｄ ｆｒ ｔｏ ａａ ｃ ｌ ｍｅ ｎ ｄ ｈ ｈ ｌｃｅ ｙ ＧＰ ｅ ｔｄ ｂ Ｓ—ＲＴＫ ｙ ｍｉａｌ ｄ ｎａ ｃ ｌ ｙ．Ａｃ ｏ ｄｎ ｏ ｔｅ ｄ ｆｃｅ ｃ ｆｔａ ｉｉｎ ｌｓ ｅ ｔｕ ｅ ｔｍａｉｎ ａｇ ｒｔｍ ，ｔ ｅ ｍｏ ｅ ｃ ｒ ｉｇ ｔ ｈ ｅ ｉｎ ｙ ｏ ｒｄ ｔ ａ ｐ ｃｒｍ ｓｉ ｔ ｌｏ ｈ ｉ ｏ ｏ ｉ ｈ ｄ ｍ ｓ ｅ ｔｕ ｅ ｔ ｔｏ ｇ ｒｔｍ ａｅ ｎ ＡＲ ｄ ｌｉ ｒｐ ｓｄ ｔ ａｙ ｅ ｔｅ ｓ ｅ ｔｕ ｏ ｎｔｒｎ ａａ Ｓ ｏｉ ｅ ｔ ｙ ｐ ｃｒ ｍ ｓｉ ｉｎ ａ ｏ ｈ ｂ ｓ ｄ ｏ ｍａ ｌ ｉ ｍｏ ｅ ｓｐ ｏ ｏ ｅ ｏ ａ ｌｚ ｐ ｃｒｍ ｆｍｏ ｉｏｉ ｇｄ ｔ Ｏａ ｔ ｄ ｎ ｉ ｎ ｈ ｓ ｆ
经典谱估计与现代谱估计
基于高阶谱的相位谱估计
❖ 自相关函数丢失了信号的相位特性，而累积量可以得到 信号的相位谱。
❖ 实际应用中，基于三阶累积量的双谱和基于四阶累积量 的三谱已经够用。
27
基于高阶谱的模型参数估计
❖ 基本原理
• 与AR功率谱估计(即单谱估计)相类似，AR过程的多谱 估计与已知的多谱相匹配的程度，也可用线性预测的多
则有
H () H () e j ()
Bh (1,2 ) H (1) H (2 ) H (1 2 )
且有
(1,2 ) (1) (2 ) (1 2 )
By (1,2 ) Bh (1,2 )] [当y(n) h(n M )时]
这表明双谱包含信号模型的相位信息 ( )；
而功率谱 S()不含相位信息 。 26
量就是它们高阶矩的差。故有如下累积量的物理意义。
14
高阶统计量
❖ 累积量的物理意义
➢物理意义
累积量衡量任意随机变量偏离正态(高斯)分布的程度
• 一阶累积量－数学期望:描述了概率分布的中心
• 二阶累积量－方差： 描述了概率分布的离散程度
• 三阶累积量－三阶矩： 描述了概率分布的不对称程度
➢偏态与峰态
❖ 性质
m1 m2
• 三阶相关函数的对称性 • 双谱的对称性、周期性和共轭性
25
三阶相关与双谱及其性质
❖确定性序列的双谱
设h(n)表示有限长确定性序列，其双谱可表示为
Bh (1,2 ) H (1)H (1)H *(1 2 )
其中
H ( ) h(n)e jn
❖双谱中的相位信息n
设
Bh (1,2 ) Bh (1,2 ) e j (1,2 )
j (11 ｋ1ｋ1 ) k 1
现代信号处理论文(1)
AR 模型的功率谱估计BURG 算法的分析与仿真钱平（信号与信息处理 S101904010）一．引言现代谱估计法主要以随机过程的参数模型为基础，也可以称其为参数模型方法或简称模型方法。
现代谱估计技术的研究和应用主要起始于20世纪60年代，在分辨率的可靠性和滤波性能方面有较大进步。
目前，现代谱估计研究侧重于一维谱分析，其他如多维谱估计、多通道谱估计、高阶谱估计等的研究正在兴起，特别是双谱和三谱估计的研究受到重视，人们希望这些新方法能在提取信息、估计相位和描述非线性等方面获得更多的应用。
现代谱估计从方法上大致可分为参数模型谱估计和非参数模型谱估计两种。
基于参数建摸的功率谱估计是现代功率谱估计的重要内容，其目的就是为了改善功率谱估计的频率分辨率，它主要包括AR 模型、MA 模型、ARMA 模型，其中基于AR 模型的功率谱估计是现代功率谱估计中最常用的一种方法，这是因为AR 模型参数的精确估计可以通过解一组线性方程求得，而对于MA 和ARMA 模型功率谱估计来说，其参数的精确估计需要解一组高阶的非线性方程。
在利用AR 模型进行功率谱估计时，必须计算出AR 模型的参数和激励白噪声序列的方差。
这些参数的提取算法主要包括自相关法、Burg 算法、协方差法、 改进的协方差法，以及最大似然估计法。
本章主要针对采用AR 模型的两种方法：Levinson-Durbin 递推算法、Burg 递推算法。
实际中，数字信号的功率谱只能用所得的有限次记录的有限长数据来予以估计，这就产生了功率谱估计这一研究领域。
功率谱的估计大致可分为经典功率谱估计和现代功率谱估计，针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好等问题提出了现代谱估计，AR 模型谱估计就是现代谱估计常用的方法之一。
信号的频谱分析是研究信号特性的重要手段之一，通常是求其功率谱来进行频谱分析。
功率谱反映了随机信号各频率成份功率能量的分布情况，可以揭示信号中隐含的周期性及靠得很近的谱峰等有用信息，在许多领域都发挥了重要作用。
现代功率谱估计
现代功率谱估计
现代功率谱估计是一种使用现代信号处理技术来计算信号功率谱的方法。
功率谱表示信号在频率域上的能量分布情况，描述了信号在不同频率上的能量或功率的分布。
在现代信号处理中，有几种方法可以用于功率谱估计：
周期图法（Periodogram Method）：这是最简单的功率谱估计方法之一。
通过对信号进行傅里叶变换，然后取幅度的平方得到功率谱估计。
但是在实际应用中，可能需要对信号进行分段并对每个段进行周期图法计算，最后取平均值来获得更准确的估计结果。
Welch方法：这是一种常用的功率谱估计方法，它通过将信号分成多个段并对每个段进行周期图法计算，最后对所有段的结果进行平均来减小估计的方差，提高估计的准确性。
改进的周期图法：包括Bartlett、Hanning、Hamming等窗口函数来改进周期图法，减小泄漏效应leakage effect，提高频谱估计的分辨率和准确性。
自回归AR模型：利用信号的自相关性建立AR模型，然后通过这个模型来计算功率谱。
这种方法在非平稳信号和具有明显谱峰或特定频率成分的信号表现上较好。
这些现代功率谱估计方法可以根据不同的信号特点和应用需求选择合适的方法，并在工程、信号处理和科学领域有着广泛的应用。
现代信号处理经典的功率谱估计
现代信号处理经典的功率谱估计《现代信号处理》姓名：李建强学号：201512172087专业：电子科学与技术作业内容：在MATLAB平台上对一个特定的平稳随机信号进行经典功率谱估计和现代功率谱估计的比较一、前言功率谱估计是信息学科中的研究热点,在过去的30多年里取得了飞速的发展。
在许多工程应用中，它能给出被分析对象的能量随频率的分布情况。
平滑周期图是一种计算简单的经典方法，它的主要特点是与任何模型参数无关，但估计出来的功率谱很难与信号的真是功率谱相匹配。
与周期图方法不同，现代谱估计主要是针对经典谱估计(周期图和自相关法)的分辨率低和方差性能不好的问题而提出的。
其使用参数化的模型，能够给出比周期图方法高得多的频率分辨率。
其内容极其丰富，涉及的学科和领域也相当广泛，按是否有参数大致可分为参数模型估计和非参数模型估计，前者有AR模型、MA模型、ARMA模型、PRONY指数模型等;后者有最小方差方法、多分量的MUSIC方法等。
二、总体概述本次实验分别使用经典的功率谱估计（如周期图法）与AR模型法对某一特定的平稳随机信号进行其功率谱估计，由图像得到信号的频率。
利用MATLAB平台，直观形象地观察并比较二者估计效果的区别，以便于加深对功率谱估计的理解和掌握。
三、具体的实现步骤1、经典法功率谱估计周期图法又称直接法，它是从随机信号x(n)中截取N长的一段，把它视为能量有限的真实功率谱的估计的一个抽样。
1.1、实现步骤（1）、模拟系统输出参数x(n)=A*sin(2πf1*n)+B*sin(2πf2*n)，包括序列长度N（128或512或1024，加性高斯白噪声（AGWN）功率一定，设置A，B，f1，f2，n的值。
（2）、应用周期图法（不加窗）对信号的功率谱密度进行估计，使用直接法在MATLAB平台上进行编程实现。
（3）、输出相应波形图，进行观察，记录。
1.2 MATLAB源代码实现clear all; %清除工作空间所有之前的变量close all; %关闭之前的所有的figureclc; %清除命令行之前所有的文字n=1:1:128; %设定采样点n=1-128f1=0.2; %设定f1频率的值0.2f2=0.213; %设定f2频率的值0.213A=1; %取定第一个正弦函数的振幅B=1; %取定第一个正弦函数的振幅a=0; %设定相位为0x1=A*sin(2*pi*f1*n+a)+B*sin(2*pi*f2*n+a ); %定义x1函数，不添加高斯白噪声x2=awgn(x1,3); %在x1基础上添加加性高斯白噪声，信噪比为3,定义x2函数temp=0; %定义临时值，并规定初始值为0temp=fft(x2,128); %对x2做快速傅里叶变换pw1=abs(temp).^2/128; %对temp做经典功率估计k=0:length(temp)-1;w=2*pi*k/128;figure(1); %输出x1函数图像plot(w/pi/2,pw1) %输出功率谱函数pw1图像xlabel('信号频率/Hz');ylabel('PSD/傅立叶功率谱估计');title('正弦信号x(n)添加高斯白噪声后的,周期图法功率频谱分析');grid;%------------------------------------------------------------------------- pw2=temp.*conj(temp)/128; %对temp做向量的共轭乘积k=0:length(temp)-1;w=2*pi*k/128;figure(2);plot(w/pi/2,pw2); %输出功率谱函数pw2图像xlabel('信号频率/Hz');ylabel('PSD/傅立叶功率谱估计');title('正弦信号x（n）自相关法功率谱估计');grid;1.3 matlab仿真图形（1）、用直接法，功率谱图像,采样点N=128。
现代谱估计
加窗函数
功率谱曲线平滑, 但分辨率下降
数据窗
Px ()
1 N
N 1
2
x(n)c(n)e jnT
n0
谱窗
N 1
Px () Rx (k )w(k )e jkT k 0
要提高分辨率，使用参数化的谱估计！ 经典谱估计：使用FFT的谱估计 现代谱估计：参数化谱估计
3.1 ARMA谱估计与系统辨识
❖ 平稳ARMA过程
离散随机过程 {x(n)}服从线性差分方程：
x(n) a1x(n 1) L ap x(n p) e(n) b1e(n 1) L bqe(n q)
{e(n)} 为离散白噪声，则称 {x(n)}为ARMA过程。 自回归(autoregressive)—滑动平均(moving average)过程
Px (z)
2
B( z ) B( z 1 ) A(z) A(z1)
N(z) A( z )
Байду номын сангаас
N (z 1) A(z 1)
N (z) A(z1) N (z1) A(z) 2B(z)B(z1)
又 Px (z) Cx (k)zk (k)zk (k)zk
k
k 0
k 0
其中
(k
)
1 2
Cx
(k
),
Cx (k),
k 0 其他
则
N(z) A(z)
p i0
ni
z
i
p i0
ai
z
i
(k)zk
k 0
两边同乘
p i0
ai
z
i，比较系数得
p
nk ai (k i) i0
k 0,1,L , p
现代功率谱估计在设备故障诊断应用
加 窗。加窗处理容 易导致旁瓣和假 峰的出现 ，特别是 短样 本情况 。求得 的离散谱的精度不高 ，而且 只是真 实 功率 谱的渐近无偏估计 ，不是一致估计 。样本增大 ，方差并不 同步减小 ，反而会使谱线起伏加剧 。改进 的周 期 图法有 效地改善 了方 差性能 ，分段越 多，方差越小 ，谱 线越光滑 ，但 是频 率分辨率也越低 ，偏差变 大。虽 然还 有多种窗 函数 可供 选择 ，但是还 没有一个窗 函数 能使谱估计 的方差 、偏 差和分辨率 同时得到 改善。 由此 可见 ，经典谱分析 的缺 点是 原理 性的。经典功率谱估计方法分 为：相 关函数法 （ Ｔ 法 ） Ｂ 、周 期图法 以及两 种
号分 析与变换 中起着类似于频谱 在确定性信号分析 中的作 用。经 典功 率谱 是将 数 据 工作 区 以外 的 未知 数据
假 设 为 零 ，相 当 于 数 据 加 窗 。经 典 功 率 谱 估 计 方 法 由 于 无 法 实 现 功 率 谱 密 度 原 始 定 义 中的 求 均 值 和 求 极 限 的运 算 ，对 周 期 图 法 假 定 了数 据 窗 以外 的数 据 全 为 零 ，对 自相 关 法 假 定 了在 延 迟 窗 以外 的 自相 关 函数 全 为 零 ，
２０１ ０ Ｓ ｎ ｏｒ ｏ ｄ ２．２ ｅ ｓ ｄ Ｗ
ｗｗｗ ．ｅ ｏ ｖ ｔ ｏｍ． ｎ ｓ ｎｓ ｎ ｏｒ ｃ ｄ ｃ
令 １ ■ ｒ
Ｓｉ ｎ ｌ ｏｃ ｓ ｇ ａ Ｐｒ ｅ ｓ＆ Ｓｙ ｔ ｓｅｍ
与 系
延 迟与数据长度相 比很小 时，可 以有 良好 的估计精度。
（ ）周 期 图 法 （ｅｉｄ ｇａ ２ ｐ ｒ ｏ ｒｍ） ｏ
改进 的 周 期 图 估 计 法 即 平 均 周 期 图法 和 平 滑 平 均 周 期 图法 ，其 中 周期 图法 应 用 较 多 ，具 有 代 表 性 。
现代谱估计与K-S检验相结合的正则参数选择
（ 重 庆 交 通 大学 图 书 馆 ，重 庆 ４ ０ ７ ；２ 重 庆 大 学 电气 工 程 学 院 ，重 庆 ４ ０ ４ ） １ ０ ０４ ． ０ ０ ４
摘要 ：将 残差的 ＮＣ Ｐ同 Ｋ－ Ｋｏｍｏ ｏｏ －ｍｉ ｏ ） Ｓ（ ｌ ｇ ｒｖＳ ｒ ｖ 判据相结合来确定 正则参数 ， 并以 图象恢复为例进 ｎ 行仿 真。 首先 ，将 残差 的 ＮＣ 同理 论值进行 比较 ，求出最佳 正则参 数。 而后 ，以图 象恢 复为 例进行 了讨 Ｐ 论 ，结果表明 ，用现代谱估计 的 Ｂ ｒ ｕｇ法得到 的恢 复图象比传 统谱估 计 Ｆ Ｔ的图象质量和稳 定性要好 。 Ｆ
关键 词 ：病 态问题 ；ａ ． 化方 法 ；图象恢 复 ；Ｋ Ｓ 验 ；Ｎ Ｐ方法 Ｙ￣ －４ ．检 Ｃ 中图分 类号 ：Ｔ ｌ ． Ｎ９ １７ 文献标识码 ：Ａ 文 章编号 ：１ Ｏ —０ １ ２ １ ）０ —０ ５ —０ ０ ９ ３ ２（ ０ ０ ５ ０ ４ ５
逆散射 问题是近 ２ ０多年来人们最感性趣 的问题之一 ，在 医学成像 和无损检测方 面都有着成功 应用。离散化的超声逆散射 问题是一个病态 问题。病态 问题的解与正则参数 的选择密切相关 ，如何 选择 最佳正则 参数 是 问题 的关 键 。通常使 用 的正则参 数 的选 取方 法有 离 差原 理 、广 义交叉验 证
笙塑
堕堡！ 垡 皇 ： 塑笙 垩 鏊垄 堡 堂笪 璺 垒墅 盒塑 型叁 塑
堑
验 ）两种 。ｌ样本 Ｋ ｓ检验是将 样本同参考分布 （ 一 — 比如正态分 布 、Ｐ ｉ ｉｎ 布和指数分布等 ） ｏｓ ｏ 分 ｓ 进 行 比较 ，而 ２样 本 Ｋ— 一 ｓ检 验 则 是 将 两 个 样 本 彼 此 进 行 比较 。换 句 话 说 ，对 于 １样 本 Ｋ ｓ检 验就 是 ． ．
噪声中正弦信号的现代法频谱分析
实验报告一、实验名称噪声中正弦信号的现代法频谱分析二、实验目的通过对噪声中正弦信号的现代法频谱分析，来理解和掌握现代谱估计的基本概念，以及学会应用现代谱估计以及改进后的方法。
三、基本原理1．参数模型法是现代谱估计的主要内容，思路如下：① 假定所研究的过程)(n x 是由一个输入序列)(n u 激励一个线性系统)(z H 的输出； ② 由已知的)(n x ，或其自相关函数)(m r x ； ③ 由)(z H 的参数来估计)(n x 的功率谱。
2．自回归模型，简称AR 模型，它是一个全极点的模型。
“自回归”的含义是：该模型现在的输出是现在的输入和过去p 个输出的加权和。
此模型可以表现为以下三式：① ∑=+--=pk k n u k n x a n x 1)()()(；② ∑=-+==pk kk z a z A z H 111)(1)(；③ 2121)(∑=-+=pk jwkk jwx e a e P σ。
3．AR 模型的正则方程建立了参数k a 和)(n x 的自相关函数的关系，公式如下：=)(m r x ∑=--pk x k k m r a 1)( 1≥m 时，=)(m r x 21)(σ+-∑=k r a pk x k 0=m 时。
4．Levinson-Durbin 算法：从低阶开始递推，直到阶次p ，给出了在每一个阶次时的所有参数。
公式如下：① 1111/])()()([--=-∑+--=m m k x x m m m r k m r k a k ρ；② )()()(11k m a k k a k a m m m m -+=--；③ ]1[21mm m k -=-ρρ。
5. 自相关法：使用线性预测的方法来计算不同阶数下的预测器系数，使用前向线性预测，预测误差为∑=-+=-=pk k f k n x a n x n x n x n e1)()()(ˆ)()(ˆ，预测均方误差为∑-+==1022}{1)]([p N n ffn eNn e E ，使前向预测误差功率相对AR 参数k a 最小，将反射系数代入Levinson-Durbin 算法即可求解。
基于Matlab的现代谱估计仿真
基于Matlab的现代谱估计仿真【摘要】谱估计技术作为一种重要的信号分析手段广泛应用于各种技术领域，具有十分重要的工程应用价值。
文章在介绍Yule-Walker方程法等常用现代谱估计算法原理基础上基于Matlab仿真平台对估计算法进行了仿真和验证。
仿真结果表明，Yule-Walker方程法等谱估计算法可以实现对加噪信号频谱的正确估计。
【关键词】功率谱；估计；Matlab仿真1.引言现代谱估计以信号参数化模型为基础，分为参数化模型谱估计和非参数化模型谱估计，参数化模型谱估计法采用的模型包括AR模型、MA模型、ARMA模型和PRONY模型等；非参数化模型包括最小方差方法和多分量MUSIC等方法。
文章在对现代谱估计中Yule-Walker方程法等谱估计方法原理进行介绍的基础上，利用Matlab平台对其进行了仿真和验证。
2.Yule-Walker方程谱估计法若已知序列x（n）的N个值{x（n），x（n-1），x（n-2），….，x（n-N+1）}，为了用Yule-Walker程求得{a1，a2…….，ap}和，我们首先由{x（n）}估计序列（p+1）个自相关函数，利用下式计算出序列的功率谱。
（2-1）设仿真信号为频率为100Hz的点频信号，该点频信号附加一定功率的高斯白噪声信号，采用Yule-Walker方程谱估计算法估计出的信号频谱如图2.1所示。
图2.1 Yule-Walker 谱估计法仿真结果仿真结果表明，Yule-Walker算法可以正确地估计出信号频谱。
而且仿真结果也表明，采样点数越大，频谱分辨力越好。
3.Levensin-Durbin递推谱估计法用尤了沃克法方程法估计AR参数{a1，a2，…，ap}和，如果用高斯消去法解（p+1）个联立方程需要p3次运算。
因此，我们有必要寻找更简便的计算方法，Levensin-Durbin算法只需要p2次运算，而且可以递推地计算p阶以下所有的AR参数估计，即{a1，1，}…{ap，1，ap，2，…ap，p，}。
现代谱估计分析
现代谱估计实验报告1 实验目的功率谱估计在实际工程中有重要应用价值。
如在语音信号识别、雷达杂波分析、波达方向估计、地震勘探信号处理、水声信号处理、系统辨识中非线性系统识别、物理光学中透镜干涉、流体力学的内波分析、太阳黑子活动周期研究等许多领域发挥了重要作用。
本次实验的目的主要是深入理解现代谱估计的基本理论，包括ARMA 模型、ARMA 谱估计。
掌握现代谱估计的基本方法，包括SVD-TLS 算法等。
利用ARMA 功率谱估计中Cadzow 谱估计子和Kaveh 谱估计子来进行谱估计。
2 实验原理2.1 背景若离散随机过程{x(n)}服从线性差分方程)()()()(11j n e n e i n x n x q j j p i i b a -+=-+∑∑==（1）式中e （n ）是一离散白噪声，则称{x(n)}为ARMA 过程，而式（1）所示的差分方程称为ARMA 模型。
系数a 1,a 2……a p ,和b 1,b 2……b q ,分别称为自回归参数和滑动平均参数，而p 和q 分别叫做AR 阶数和MA 阶数。
式（1）所示的ARMA 过程，其功率谱密度为)()()()()(22e e P jw jw z x B B e z A z B w jw δδ=== （2）ARMA 谱估计的目的是使用N 个已知的观测数据x(0)，x(1)…..x(N-1)计算出ARMA 过程{x(n)}的功率谱密度估计。
在实际中，可以运用cadzow 谱估计子和kaveh 谱估计子来估计，cadzow 谱估计子秩序确定AR 阶数p 和估计AR 参数，而kaveh 谱估计子也只需要确定AR 阶数p 和估计AR 参数以及MA 阶数。
2.2 相关算法AR阶数p的确定用奇异值分解（SVD）,AR参数的估计用总体最小二乘法(TLS),即应用（SVD—TLS）算法来完成ARMA谱估计。
SVD—TLS算法：步骤1 计算增广矩阵B的SVD，并储存奇异值和矩阵V;步骤2 确定增广矩阵B的有效秩p；步骤3 计算矩阵S;步骤4 求S的逆矩阵S--,并计算出未知参数的总体最小二乘估计。
谱估计(现代)
ak xx (m k ) Ex(n) (n m)
k 1
p
而
m0 0, E x(n) (n m) 2 , m 0
•Yule-Walker方程的推导
故
p a k xx (m k ) , m 0 k 1 xx (m) p a (k ) 2 , m 0 k xx k 1 或
p
2
需要推导AR参数与 xx (m)之间的关系。
3.1
• 估计方法
自回归模型法
2 与xx (m)乊间的关系 参数a1, a2, a3, …, ap及 ——Yule-Walker方程
已知：自相关函数 已知： 自相关函数
Yule-Walker方程
要求： AR模型的阶数p，以及p个AR 要求： AR模型的阶数p，以及p个 AR 参数a(i),激励源方差 2 参数a(k),激励源方差
3.2
最大熵谱估计法
• 基本思想——熵
代表一种不定度； 最大熵为最大不定度，即它的时间序列最随机， 它的PSD应是最平伏(最白色)。 Shannon对熵的定义： 当x的取值为离散的时，熵H定义为
H pi ln pi
i
pi：出现状态i 的概率。
当x的取值为连续的时，熵H定义为
p(x)：概率密度 函数
(n)
...
z-1 a1
z-1
z-1
a2
...
ap
3.1
自回归模型法
q
• MA(Moving Average)模型 ——全零点模型
x(n) bl (n l )
l 0
H ( z ) B( z ) 1 bl z k
《现代谱估计》课件
均方根误差与均方误差类似，但通过平方根运算将误差的单位转换为与真实值相同的单位，使得结果更容易解释 。在谱估计中，均方根误差用于评估频率估计的准确性。
平均绝对误差（MAE）
总结词
平均绝对误差是另一种常用的误差评价指标，其计算公式为 $frac{1}{N}sum_{n=1}^{N} | hat{x}(n) - x(n) |$。
VS
详细描述
均方误差反映了估计量的整体性能，其值 越小表示估计性能越好。在谱估计中，均 方误差用于评估频率估计的准确性。
均方根误差（RMSE）
总结词
均方根误差是另一种衡量估计量与真实值之间偏差的常用指标，其计算公式为 $sqrt{frac{1}{N}sum_{n=1}^{N} (hat{x}(n) - x(n))^2}$。
最大似然估计法具有较高的估计精度和可靠性，但需要较复杂的计算和模型参数 的调整。
01
现代谱估计的性能 评估
均方误差（MSE）
总结词
均方误差是衡量估计量与真实值之间偏 差的常用指标，其计算公式为 $frac{1}{N}sum_{n=1}^{N} (hat{x}(n) x(n))^2$，其中 $hat{x}(n)$ 是估计值， $x(n)$ 是真实值，N 是数据长度。
自适应模型选择
根据信号特性自适应地选择合适的模型进行参数估计 。
权重调整
在谱估计过程中，根据不同模型的性能表现，动态调 整各模型的权重，以提高谱估计的精度。
01
现代谱估计的算法 实现
最小二乘法
最小二乘法是一种常用的谱估计方法，通过最小化观测数据与预测数据之间的平方误差，来估计信号 的功率谱密度。
优势与挑战
深度学习能够自动学习和优化特征，但需要 大量标注数据进行训练，且对模型的可解释
现代谱估计方法
现代谱估计方法
基于模型谱估计方法
现代谱估计方法以模型为基础，利用采样的数据建立模型，使谱估计的结果更能体现随机信号全局性的性质。
这种方法相较于经典的谱估计方法，更适用于采样点数比较少的情况。
在模型谱估计中，建立一个符合实际物理过程的模型是关键步骤。
通常使用的模型包括线性时不变（LTI）系统、周期性非平稳过程、自回归模型（AR模型）和滑动平均模型（MA模型）等。
这些模型的选择取决于信号的性质和所关注的问题。
一旦建立了模型，就需要使用采样数据进行参数估计。
常用的参数估计方法包括最小二乘法、最大似然估计法、最小绝对偏差法等。
这些方法可以根据不同的模型和问题选择使用。
最后，使用估计的参数进行谱估计。
对于LTI系统，可以使用Yule-Walker方程或Burg方法计算自相关函数的参数，然后使用这些参数计算功率谱密度。
对于非平稳过程，可以使用时变滤波器或适应性滤波器来估计谱。
现代谱估计方法相较于经典方法具有更高的精度和可靠性，尤其适用于采样点数较少的情况。
然而，它也需要更复杂的计算和更深入的专业知识。
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由于存在这些问题，实际实现Wiener滤波时，并不是 直接计算得到最优Wiener滤波器的系数，而是代之以 LMS, RLS, Kalman等自适应滤波器。
23
内容
❖ 最优滤波理论与Wiener滤波器 ❖ 梯度下降算法 ❖ 横向LMS自适应滤波器 ❖ 横向RLS自适应滤波器 ❖ Kalman滤波器 ❖ 自适应格型滤波器 ❖ 盲自适应滤波器 ❖ 自适应滤波器的应用
2
内容
❖ 最优滤波理论与Wiener滤波器 ❖ 梯度下降算法 ❖ 横向LMS自适应滤波器 ❖ 横向RLS自适应滤波器 ❖ Kalቤተ መጻሕፍቲ ባይዱan滤波器 ❖ 自适应格型滤波器 ❖ 盲自适应滤波器 ❖ 自适应滤波器的应用
3
最优滤波理论与Wiener滤波器
❖ 最优预测和滤波 ❖ 最优滤波理论 ❖ 正交性原理 ❖ Wiener滤波器
(
M
1)
Ru,u (1) Ru,u (0)
Ru*,u (M 2)
Ru,u (M 1) Ru,u (M 2)
Ru,u (0)
定义输入与期望响应的互相关向量：
r E u(n)d*(n) Ru,d (0), Ru,d (1), , Ru,d (1 M ) T
21
Wiener-Hopf方程的解
• 估计误差e(n)定义为期望响应d(n)与滤波器输出y(n)之差, 即
e(n) d(n) y(n)
对滤波器要求是使估计误差在某种统计意义下“尽可能小”。
10
最优滤波理论
❖ 线性最优滤波器（续）
➢对滤波器的约束
• 滤波器是线性的。 一是为了使信号通过滤波器后不致于发生“畸变”； 二是为了便于对滤波器进行数学分析.
梯度的重要性质
指出了当变元增大时函数的最大增大率。相反， 梯度的负值（简称负梯度）指出了当变元增大时 函数的最大减小率。这一性质是梯度下降算法的 基础。
26
梯度下降算法（续）
定理：令 f (x)是实向量 x 的实值函数。将 x 视
为独立的变元，实目标函数 f (x) 的曲率方向由梯 度向量x f (x) 给出。 极小化 取负曲率方向作搜索方向 取负梯度 作目标函数的更新方向。
4
最优预测和滤波
❖ 波形估计与动态估计
• 估计问题
在许多实际问题中，需要研究随时间变化的随 机变量或随机矢量的估计问题，即按照某种最 优准则对随时间变化的随机变量或随机矢量作 出估计。
• 不同称谓
- 在通信工程中称为波形估计 - 在控制工程中称为动态估计
5
最优预测和滤波
❖ 滤波与预测
➢ 滤波定义
24
梯度下降算法
梯度的数学表示：
相对于n1 向量 x 的梯度算子记作 x ，定义为
x
x1
,
x2
,
,
xn
x
因此，一个实际量函数 f (x) 相对于一列向量的梯度为
x f (x)
f (x)
x1
,
f (x) x2
,
,
f (x)
xn
f (x) x
25
梯度下降算法（续）
梯度的几何特征
梯度的每个分量给出了标量函数在该分量方向 上的变化率。
定义函数对复变量的求导：
J (w) J (w) j J (w)
w a
b
其中a,b分别为w变量的实部与虚部
容易看出， J (w) 2E u(n k)e*(n) w
令 J (w) ０ 即可得到最小均方值条件。 w
即 E u(n k)eo*pt (n) 0 k 0,1,2
14
正交性原理（续）
• 滤波器是离散时间的，便于系统数字硬件或软件实现.
➢ 设计准则:估计误差在某种条件意义下尽可能小的滤波
器称为这一统计意义下的最优滤波器。最常用的最优准 则是使某个代价函数最小化。最典型的代价函数有： • 估计误差的均方值(最常用的统计优化准则,即MMSE准则) • 估计误差绝对值的期望值 • 估计误差绝对值的三次幂或高次幂的期望值
32
LMS滤波器（续）
步长参数，学习速率
梯度下降算法：w(n) w(n 1) (n)J (n)
缺点：真实梯度含数学期望，不易求得。 真实梯度
改进：w(n) w(n 1) (n)ˆ J (n 1)
瞬时梯度：
梯度估计
ˆ J (n 1) e*(n)u(n)
e(n) d(n) wH (n 1)u(n)
29
自适应滤波基本原理
▪ 自适应滤波器包括两个过程：滤波过程和自适应过程。
此仅考虑后者,即滤波器的自适应实现问题；且主要考虑 FIR滤波器的自适应实现，其关键是自适应算法。
▪ FIR滤波器的自适应实现指的是：M 阶FIR滤波器的抽
头权系数w1,…,wM-1可以根据估计误差e(n)的大小自动调 节，使得误差在某个统计最优准则下最小。
i0
这就是著名的Wiener-Hopf方程，该方程定义了最优 滤波器 必须服从的条件。
定义输入向量
u(n) u(n), u(n 1), ,u(n M 1)T
20
Wiener滤波理论（续）
定义输入信号的自相关矩阵：
R E u(n)uH (n)
Ru,u (0)
Ru*,u (1)
Ru*,u
12
正交性原理
根据滤波器原理，n时刻的滤波器输出表示为：
y(n) wk*u(n k), n 1,2, k 0
期望信号响应用 d(n) 表示，定义估计误差为：
e(n) d(n) y(n)
定义代价函数为均方误差的平方
J (n) E e(n) 2 E e(n)e*(n)
13
正交性原理（续）
z 1
…u(n M 2) z1 u(n M 1)
* 0
1*
… * M 2
…
* M 1
+
d (n)
18
根据最优滤波器的正交性原理有下式：
E
u(n
k
)d
*
(n)
M 1
wopt
i0
(i)u*
(n
i)
0
k 0,1,2,
等价于，
M 1
wopt (i)E u(n k)u*(n i) E u(n k)d *(n)
Wiener-Hopf方程可以写成更紧凑的矩阵表示形式： RWopt r
其中， Wopt＝ wopt (0), wopt (1), , wopt (M 1) T
若输入信号的自相关矩阵为可逆矩阵， Wopt＝R1r
22
最优滤波器实现存在的问题
1. Wiener滤波器最优权系数可以由计算输入信号的 自相关函数和输入信号与期望输出的互相关得到。实 际中这两个参数是未知的，需要通过估计得到。而估 计需要观测无限长信号。
11
最优滤波理论
❖ 线性最优滤波器（续）
➢结论 线性离散时间滤波器的最优设计问题可表述如下： 设计线性离散时间滤波器的系数w, 使滤波器输出 y(n) 在给定输入样本u(0),u(1),…的情况下给出期望响应d(n) 的估计，并能使估计误差 e(n) d(n) y(n) 的均方值 E{e(n) 2} 为最小
wk* E eo*pt (n)u(n k ) 0
k 0
最优滤波器的输出与输入误差也正交。
16
正交性原理的几何解释
d
eopt
y
结论：最优滤波器的输出误差与其之前的输入正交， 滤波器的输出由输入子空间张成，这输出误差与输 入误差也正交。
17
FIR型的Wiener滤波器
u(n)
u(n 1)
z 1
➢ 自适应滤波器的应用
• 系统辨识与均衡（如信道估计与均衡； • 雷达和声纳波束形成(beamforming); • 噪声中信号的检测、跟踪、增强等； • 信号或时间序列的自适应预测； • 语音和图像的自适应预测编码。
9
最优滤波理论
❖ 线性最优滤波器
➢问题描述
• 考虑如图所示的一般线性离散时间滤波器。设该滤波器 的输入由u(1),u(2),… 组成，滤波器的脉冲响应w(1),w(2),…。 令y(n)代表滤波器在时间n时的输出,希望它是期望响应d(n) 的估计值。
27
梯度下降算法（续）
梯度下降算法的迭代过程： xk xk1 x f (x), 0
近似解在迭代过程中的校正量与目标函数的负梯度 成正比。上式称为优化问题近似解的学习算法；常
数 成为学习步长，它决定近似解趋向最优解的收
敛速率。
28
内容
❖ 最优滤波理论与Wiener滤波器 ❖ 梯度下降算法 ❖ 横向LMS自适应滤波器 ❖ 横向RLS自适应滤波器 ❖ Kalman滤波器 ❖ 自适应格型滤波器 ❖ 盲自适应滤波器 ❖ 自适应滤波器的应用
▪ 滤波器设计最常用的准则：MMSE准则，即是使滤波器
实际输出y(n)与期望响应d(n)之间的均方误差E{e(n) 2}最小; 最终达到Wiener解。
30
自适应滤波基本原理（续）
▪ 最广泛使用的自适应算法是“下降算法” w(n) w(n 1) (n)v(n)
式中w(n)为第n步迭代(亦即时刻n)的权向量，(n) 为第n步 迭代的更新步长，v(n)为第n步迭代的更新方向(向量) ▪ 下降算法的两种实现方式 - 自适应梯度算法：LMS算法及其改进算法 - 自适应高斯－牛顿算法：RLS算法及其改进算法 本节介绍LMS类算法，下一节介绍RLS类算法。
8
最优预测和滤波
❖ 自适应滤波器
➢ 自适应滤波器的特点
在信号和噪声统计特性先验未知的情况下,自适应滤波器 也能够提供卓越的滤波性能。该滤波器的特点如下。 • 可自动调整其自身参数，使系统特性满足要求； • 只需很少或根本无需任何关于信号和噪声的先验知识； • 实现差不多象维纳滤波那么简单，性能接近卡尔曼滤波