泊松分布

概率论大作业 --泊松分布班级：11011001班姓名：郭敏学号：20103026122013年1月10日摘要作为一种常见的离散型随机变量的分布,泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一。

服从泊松分布的随机变量是常见的,它常与时间单位的计数过程相联系。

泊松分布在现实生活中应用非常广泛,如数学建模、管理科学、运筹学及自然科学、概率论等等。

在某些函数关系泊松分布起着一种重要作用，例如线性的、指数的、三角函数的等等。

同样, 在为观察现象构造确定性模型时, 某些概率分布也经常出现。

泊松分布作为大量试验中稀有事件出现的频数的概率分布的数学模型, 它具有很多性质。

为此本文讲述了泊松分布的一些性质以及基本相关知识, 并讨论了这些知识在实际生活中的重要作用。

关键词：泊松分布性质及其应用、二项分布、泊松过程近数十年来，泊松分布日益显示其重要性，成了了解概率论中最重要的几个分布之一。

一、泊松分布的由来在历史上泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入。

设随机变量) , ,2 1 n ( x n =服从二项分布,其分布律为{}n k p p C k x P k n n k n k n n ,,2,1,0,)1( =-==-。

又设0>=λn np 是常数,则{}λλ-∞→==e k k x P kn n !lim 。

证明 由λ=n np 得:{}()()nnk n k kn kn n n k n n k n n k k n n n k x P ⋅--⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+--==λλλλ11121111!1!11 显然,当k = 0 时,故λ-n e k} x P{→=。

当k ≥1 且k → ∞时,有λλ-⋅-→⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯e n n k n n n nkn 1,11121111从而{}λλ-→=e k k x P kn 1，故{}λλ-∞→==e k k x P kn n !lim 。

在应用中，当p 相当小时（一般当p<=0.1）时，用下面近似公式npk e k np p n k b -≈!)(),;(对于不同λ值得泊松分布图：概率质量函数二项分布和泊松分布最大的不同是前者的研究对象是n 个离散的事件（10次射击），而后者考察的是一段连续的时间（单位时间）。

因此泊松分布就是在二项分布的基础上化零为整。

二、泊松分布的基本知识：1、泊松分布定义设随机变量X 的可能取值为,,2,1,0 且k=0,1,2…则称X 服从参数为λ的泊松分布。

2、 泊松分布数学期望与方差如果X 是一个具有以λ为参数的泊松分布, 则E( X) = λ 且D ( X) =λ证明 设X 是一随机变量,若 ] X) E( - X [ E{2}存在,则称它为X 的方差,记作D( X) ,即] X) E( - X [ E{ X) D(2}=。

设X 服从泊松分布D ( X) ,即有:k=0,1,2…则()()λλλλλλλλλ=⋅=-==-∞=--∞=-∑∑e e k ek e k X E k k k k11!1!从而()()()λλλλλλλλ+=-+-==-∞=-∞=--∞=∑∑∑212222!1!2!e k e k ek kXE k kk k k k故λλλλ - X) E( - ) X E( X) D(2222=+==3、泊松分布特征函数4、设λp 是服从参数为λ的泊松分布的随机向量,则:dt ex p P xt ⎰∞--∞→=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-2221lim πλλλλ证明 已知ελ的特征函数为()()1-=Φit e e t λλ,故()λλεληλ-=的特征函数为:()1-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=-λλλλλλite tte et t g对任意的t ,有()∞→⎪⎭⎫⎝⎛+-+=λλολλλ1!212t iteit。

于是()∞→-→⎪⎭⎫⎝⎛⋅+-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-λλολλλλ212122t t t i eit。

从而对任意的点列∞→n λ,有()22lim t et g n n -∞→=λλ。

但是22t e-是N (0 ,1) 分布的特征函数,由于分布函数列(){}x F n 弱收敛于分布函数F( x)的充要条件是相应的特征函数列{Φn ( t) } 收敛于F( x) 的特征函数Φ( t)。

所以dt ex P xt n n n n ⎰∞--∞→-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-2221lim πλλελλ成立;又因为n λ是可以任意选取的,这就意味着dt ex p P xt ⎰∞--∞→=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-2221lim πλλλλ成立。

三、泊松过程1.计数过程设)} 0, [ T t , t)( {N X T ∞=∈=为一随机过程, 如果 t)( N 是取非负整数值的随机变量,且满足s < t 时, t)( s) ( N ≤,则称)} 0, [ T t , t)( {N X T ∞=∈=为计数过程。

将增量 t t 0 , t), t ( N ) t ( N - t)( N 000<≤∆=,它表示时间间隔 t), t [ 0内出现的质点数。

“在 t), t [ 0内出现k 个质点”,即k} t), t ( {N 0=是一随机事件,其概率记为 2 0,1, k , k} t), t ( P{N t), t ( P 00K ===总之,对某种随机事件的来到数都可以得到一个计数过程,而同一时刻只能至多发生一个来到的就是简单计数过程。

2、泊松过程定义 设有一个计数过程{N(t), t>0}满足下列假设，称为泊松过程，1. 在t=0时，N(t)=0；2. 该过程是独立增量计数过程；3. 该过程是平稳增量计数过程；在()t t t ∆+,内出现一个事件的概率为()t t ∆O +∆λ，λ为一常数，在()t t t ∆+, 内出现两个或两个以上事件的概率为()t ∆O ，即()()()()t t t t p ∆O =>N -∆+N 1。

考虑来到某交换装置的电话呼叫数来具体说明泊松过程 假定具有以下三个性质： （1） 平稳性在[)t t t +00,中来到的呼叫数只与时间间隔长度t 有关而与时间起点0t 无关。

若以()t p k 记在长度为t 的时间区间中来到k 个呼叫的概率，当然()∑==∞1k kt p 对于任何0>t 成立。

过程的平稳性表示了它的概率规律不随时间的推移而改变。

（2） 独立增量性（无后效性）在[)t t t +00,内来到k 个呼叫这一事件与时间0t 以前发生的事件独立。

换言之，在对时刻0t 以前的事件发生情况所作的任何假定之下，计算出来的在[)t t t +00,内发生k 个呼叫的条件概率都等于同一事件的无条件概率。

独立增量性表明在互不相交的时间区间内过程进行的相互独立性。

（3） 普通性在充分小的时间间隔中，最多来到一个呼叫。

即，若记()()()()t p t p t p t k k 10∞21--==ψ∑=应有()()t t O =ψ，即()0lim=ψ→tt t 普通性表明，在同一时间瞬间来两个或是两个以上呼叫实际上是不可能的。

下面求()t p k对于0>∆t ，考虑[)t t ∆+,0中来到K 个呼叫的概率()t t p k ∆+，由独立增量性及全概率公式()()()()()()()t p t p t p t p t p t p t t p k k k k ∆++∆+∆=∆+-0110... .0≥k (对1≥n ，假定()0=-t p n ) 特别地000()()()P t t P t P t +∆=∆()t p 0表示在长度为t 的时间间隔中没有来呼叫的概率，因此它关于t 单调下降，故知()t a t p =0其中0≥a ，若0=a ，则()00≡t p ，这说明在不管怎么短的时间间隔内都要来呼叫，因此在有限时间间隔中要来无穷多个呼叫，这种情形不在考虑之列。

此外，因()t p 0是概率，故应有1≤a ，而当1=a 时，()10≡t p ，这表明永不来呼叫，也不是我们感兴趣的情形，所以应当有10<<a ，从而存在0>λ，使()t e t p λ-=0因此当0→∆t 时，我们有()()t t e t p t ∆O +∆-==∆∆-λλ10()()()()t t t t p t p o ∆O +∆=∆ψ-∆-=∆λ11()()()()()t t t p t p t p l lll k ∆O =∆ψ=∆≤∆∑∑==-∞2∞21故可得()()()()t t t p t t p t t p k k k ∆O +∆∙+∆-=∆+-λλ11）（ 1≥k因此()()()()[]()11O +-=∆-∆+-t p t p tt p t t p k k k k λ，1≥k令0→∆t ，得()()()[]t p t p t p k k k-=-1'λ，1≥k 由于已知()t e t p λ-=0，故有()()[]t p e t p t 1'1-=-λλ，可解得()t te t p λλ-=1，这样下去，可以解得一切()t p k 。

()()t k ke k t t p λλ-=!，...2,1,0=k这正是泊松分布，参数为t λ。

四、 泊松分布的特征(1)泊松分布是一种描述和分析稀有事件的概率分布。

要观察到这类事件,样本含量n 必须很大。

(2) λ是泊松分布所依赖的唯一参数。

λ值愈小,分布愈偏倚,随着λ的增大,分布趋于对称。

(3)当λ= 20时分布泊松分布接近于正态分布;当λ= 50时,可以认为泊松分布呈正态分布。

在实际工作中,当λ≥20时就可以用正态分布来近似地处理泊松分布的问题。

五、 泊松分布的几个问题1、 第一个事件到达时间的概率密度泊松过程{N(t), t>0}的第一个事件到达时间T ，T 落在(,)d ττ内的概率：泊松过程第1个事件在时刻(,)d ττ发生，而在(0,)τ时间内不发生事件的概率：{()}{[()()]1}{[()(0)]0}P T d P N d N P N N d eλττττττττλτ-<<+=+-=⋅-==⋅⋅故，泊松过程{N(t), t>0}的第一个事件到达时间T 的概率密度()f e λττλ-=⋅2、第n 个事件到达时间t 的概率密度泊松过程{N(t), t>0}的第n 个事件到达时间n T ，n T 落在(,)d ττ内的概率： 泊松过程第n 个事件在时刻(,)d ττ发生，而在(0,)τ时间内发生(n-1)事件的概率：1{()}{[()()]1}{[()(0)]1}()(1)!n n P T d P N d N P N N n d en λττττττττλτλτ--<<+=+-=⋅-=-=⋅⋅-泊松过程{N(t), t>0}的第n 个事件到达时间n T 的概率密度分布：1()()(1)!n f e n λτλττλ--=⋅-3、 时间间隔（0，t ）内发生一个事件，事件发生时间的概率密度泊松过程{N(t), t>0}在（0,t ）内有一个事件出现，事件到达时间Ｓ的概率分布(){/()1}{()1/()1},(){()1}{()()}{()1}s t s tP S s N t P N s N t s t P N s P N t N s P N t se e s te tλλλλλ----<====<=⋅===⋅==则 Ｓ的概率密度是1/t 。