10动量定理解析

i i
或 MrC mi ri
设rc xc i yc j zc k , 则
xC mx
i i
M
, yC
m y
i
i
M
, zC
mz M
i i
4
在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合。可采
用静力学中确定重心的各种方法来确定质心的位置。但是，质 心与重心是两个不同的概念，质心比重心具有更加广泛的力学 意义。 二、质点系的内力与外力
i
质点系的动量定理
质点系动量对时间的导数等于作用在质点系上所有外力的矢量和。
15
微分形式
(e ) dp Fi dt (e ) (e ) dp Fi dt dI i
质点系动量的微分等于作用在质点系上所有外力元冲量的矢量和。 积分形式
(e ) p2 p1 I i
7
3.刚体系统的动量：
第i个刚体：M i , vCi
刚体系统：
pi M i vCi
p M i vCi
p x M i vCix M i x Ci Ci p y M i vCiy M i y Ci pz M i vCiz M i z
t2
冲量：
I
Ix
t1
F dt
t2 t1
F dt,
x
t2
Iy
t1
F dt,
y
t2
Iz
t1
F dt,
z
11
3．合力的冲量：等于各分力冲量的矢量和．
t2
I
t1
F
t2
R
dt
t1
F
i
dt
F dt I
i t1
t2
i
冲量的单位： N s kg m/s2 s kg m/s 与动量单位同．
22
(e ) 2. 刚体系统： MaC Fi
(e ) d rC M Fi 2 dt
2
设第 i 个刚体 质量为Mi，质心速度为vCi，则有：
(e ) M i aCi Fi 或
投影式：
(e ) M r i Ci Fi
(e )
8
投影式：
例１曲柄连杆机构的曲柄OA以匀 转动， 设OA=AB=l ,曲柄OA及连杆AB都是匀 质杆, 质量各为m , 滑块B的质量为m。 求：当 = 45º 时，系统的动量。 解: 曲柄OA： m , vC 1
1 l 2
连杆AB：（ P为速度瞬心）
m , vC 2
PC2
5 l ; AB 2
p pab p AB [( paB )2 pBb ] [ p Aa ( paB )1 ]
( paB )2 ( paB )1 p pBb pAa Qt v2 Qt v1
由质点系动量定理；得
dp p lim Q(v 2 v1 ) W P1 P2 R t 0 dt t
其它定理。 特点：
以简明的数学形式 表明两种量之间的关系。 一种是同运动特征相关的量：动量、动量矩、动能等。 一种是同力相关的量：冲量、力 矩、功等。 从不同侧面对物体的机械运动进行研究，解答动力学问 题非常方便简捷 。
本章研究质点和质点系的动量定理，建立动量的改变与力的
冲量之间的关系，并研究质点系动量定理的另一重要形式— —质心运动定理。
第十章
§10–1
动量定理
质点系的质心 · 内力与外力
§10–2
§10–3 §10–4
动量与冲量
动量定理 质心运动定理
3
§10-1
一、质点系的质心
质点系的质心 内力与外力
质点系的质量中心称为质心。是表征质点系质量分布情况的
一个重要概念。 质心 C 点的位置： ( M mi )
rC mr M
t2
F dt I
t1
（在某一时间间隔内，动量的增量等于力在该时间内的冲量）
13
投影形式：
d (mv ) F dt
d ( mv x ) Fx dt d ( mv y ) F y dt d ( mv z ) Fz dt
m v 2 m v1 F dt I
Fx 0 mvx C
质点在x方向不受力，质点沿 x 轴的运动是惯性运动。
二．质点系的动量定理
对质点系内任一质点 i， 对整个质点系：
d (i ) (e ) ( mi v i ) Fi Fi dt
d (i ) (e ) dt (mi vi ) Fi Fi
Fi 0 (e ) dp Fi dt
19
dp p lim Q(v2 v1 ) W P1 P2 R t 0 dt t
即
R (W P1 P2 ) Q(v2 v1 )
静反力 R' (W P P ) 1 2 附加动反力 R '' Q(v2 v1 ) 计算 R ' ' 时，常采用投影形式
12
§10-3
一．质点的动量定理
动量定理
ma F
dv m F dt
d m v F dt
质点的动量对时间的导数等于作用于质点的力—质点的动量定理
（动量的微分等于力的元冲量） 微分形式： d (mv ) Fdt dI
积分形式：
m v 2 m v1
5 5 l AB l 2 2
滑块B：
m, vC 3
2l
9
p mvC 1 mvC 2 mvC 3
p m( vC 1 sin vC 2 cos vC 3 )i m(vC 1 cos vC 2 sin ) j
5 vC 2 l 2 3 1 cos , sin 10 10
Rx '' Q(v2 x v1 x )
Ry '' Q(v2 y v1 y )
与 R ' ' 相反的力就是管壁上受到的流体作用的附加动压力．
20
§10-4 质心运动定理 (e ) dp 质点系动量定理： Fi dt (e ) d M v C 质点系动量： p MvC Fi dt (e ) d v C 若质点系质量不变： M Fi dt (e ) MaC Fi 质心运动定理
t1
t2
mv2 x mv1 x I x Fx dt
mv2 y mv1 y I y F y dt mv2 z mv1 z I z Fz dt
t1 t1 t2
t2
wk.baidu.com
t1 t2
质点的动量守恒
F 0 mv C
质点受力为零时，动量为常矢量，质点作惯性运动。
外力：所考察的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。
内力：所考察的质点系内各质点之间相互作用的力。 对整个质点系来讲，内力系的主矢恒等于零，内力系对任一 点（或轴）的主矩恒等于零。即：
(i ) F i 0; (i ) M ( F O i )0 或 (i ) M ( F x i ) 0。
p mi v i

m r Mr
i i
C
两边求导: mi vi MvC
p MvC
质点系的动量等于质点系的质量与质心速度的乘积。
质点系动量的投影式：
p x Mv Cx Mx C C p y Mv Cy My C pz Mv Cz Mz
质点系的质量与质心加速度的乘积，等于作用于质点系上所 有外力的矢量和（外力系的主矢）。
(e ) d rC 质心运动微分方程 M F i 21 dt 2
2
(e ) MaC Fi
1. 投影形式： ① 直角坐标系
(e ) d rC M Fi 2 dt
2
5
§10-2 动量与冲量 一、动量
1.质点的动量：质点的质量与速度的乘积 。
p mv
动量是瞬时矢量，方向与v 相同。
单位是kgm/s。 动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。
例：枪弹：速度大，质量小； 船：速度小，质量大。
6
2.质点系的动量：质点系中所有各质点的动量的矢量和。
(e ) MaCx M C Fix x (e ) Ma M y F Cy iy C (e ) Ma M z F iz Cz C
② 自然坐标系
dvC (e ) Ma M F i C dt 2 vC (e ) Fin MaCn M (e ) F ib 0
ix
0 px C
质点系动量在x方向上守恒
只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变整个质 点系的动量，但可以引起系统内各质点动量的传递。 17
[例2] 质量为M的大三角形柱体, 放于光滑水平面上, 斜面上另放 一质量为m的小三角形柱体，初时静止，求小三角形柱体 滑到底时，大三角形柱体的位移。 解：选两物体组成的系统为研究对象。 (e ) 受力分析， Fx 0, 水平方向 px 常量。
在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于作用在质点系上 的所有外力在同一时间间隔内的冲量的矢量和．
16
投影形式：
dp x Fix ( e ) dt dp y Fiy ( e ) dt dp z Fiz ( e ) dt
质点系的动量守恒 (e ) Fi 0 p C
p 2 x p 1x
(e) (e ) I ix Fix dt
t2
p 2 y p 1y
p 2 z p 1z
(e) (e) I F iy iy dt
t1
t1 t2
Iiz
(e)
Fiz ( e ) dt
t1
t2
质点系动量守恒
F
(e )
[例3] 流体流过弯管时， 在截面A和B处的平均流速分别为 v1 , v2 (m/s), 求流体对弯管产生的 附加动压力。 设流体不可压 缩，流量Q(m3/s)为常量， 密度为 (kg/m3）。
解： 受力分析如图示。 取截面A与B之间的流体作为研究的质点系。 运动分析：设经过ｔ时间后，流体AB 运动到位置ab，
运动分析，设大三角块速度 v， 小三角块相对大三角块速度为 vr ，
则小三角块 va v vr 由水平方向动量守恒及初始静止；则
M (v ) mvax 0 M (v ) m(vrx v ) 0 FN m m v rx Mm srx Mm s srx (a b) Mm M m 18 v m s m
动力学普遍定理概述
对质点动力学问题： 建立质点运动微分方程求解。 对质点系动力学问题：
理论上讲，n个质点列出3n个微分方程， 联立求解即可。
实际问题：
1. 联立求解微分方程（尤其是积分问题）非常困难。
2. 大量的问题中，不需要了解每一个质点的运动，仅需要 研究质点系整体的运动情况。
1
动力学普遍定理 ：动量定理、动量矩定理、动能定理及导出的

vC 1
1 l 2
vC 3
2l
1 2 5 3 1 2 5 1 p ml[( 2 )i ( ) j] 2 2 2 2 2 2 10 10
p
1 2ml [2i j ] 2
10
二、冲量
力与其作用时间的乘积称为力的冲量。 冲量表示力在其作用时间内对物体作用的累积效应的度量。 1．力 F 是常矢量： I F (t2 t1 ) 2．力 F 是变矢量：（包括大小和方向的变化） 元冲量： dI Fdt
Ci Fix x M i aCix M i
Ci Fiy M i aCiy M i y
(e )
M a
i
Ciz
(e ) M i zCi Fiz