偏导数的定义及其计算法
偏导数的定义及其计算法
但函数在该点处并不连续. 偏导数存在
2010年4月19日10时44 分 偏导数(27)
连续.
12
4、偏导数的几何意义
设 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z = f ( x , y ) 上一点,
如图
2010年4月19日10时44 分
偏导数(27)
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几何意义:
( y ≠ 0)
x 1 =− 2 sgn 2 x +y y
∂z 不存在． ≠0 ∂y x = 0 y
2010年4月19日10时44 分 偏导数(27)
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例 4
已知理想气体的状态方程 pV = RT
∂ p ∂V ∂ T ⋅ ⋅ = −1. （ R 为常数） ，求证： ∂V ∂T ∂ p
RT ∂p RT ⇒ =− 2; 证 p= V ∂V V RT ∂V R ∂T V pV V= ⇒ = ; = ; T= ⇒ p ∂T p ∂p R R ∂p ∂V ∂T RT R V RT = − 1. ⋅ ⋅ =− 2 ⋅ ⋅ =− ∂V ∂T ∂p V p R pV
f ( x + ∆x , y , z ) − f ( x , y , z ) , f x ( x , y , z ) = lim ∆x → 0 ∆x f ( x , y + ∆y , z ) − f ( x , y , z ) , f y ( x , y , z ) = lim ∆y → 0 ∆y
f ( x , y , z + ∆z ) − f ( x , y , z ) f z ( x , y , z ) = lim . ∆z → 0 ∆z
2010年4月19日10时44 分 偏导数(27) 5
(完整版)偏导数的定义及其计算法(精)
存在，则称
此极限为函数 z f ( x, y)在点( x0, y0 )处对 x的
偏导数，记为
z x
， f xx0 x
y y0
xx0 ， zx
y y0
xx0 或
y y0
f x ( x0 , y0 ).
f x
lim
xx0 x0
f ( x0 x, y0 ) x
f ( x0 , y0 ) .
y y0
导数
z x
、
z y
必存在，且函数
z
f (x, y)
在点(x, y)的全微分为
dz
z x
x
z y
y.
dz
( x, y) 可微分， Ax By 称为函数 z f ( x, y) 在点( x, y)的全微分，记为dz ，即
dz Ax By.
函数若在某区域 D 内各点处处可微分，则称这函数 在 D 内可微分.
如果函数z f ( x, y)在点( x, y)可微分, 则函数在该 点连续.
事实上 z Ax By o( ), lim z 0,
之外的其他自变量暂时看成
常量，对 x 求导数即可。
求
f y
时， 只要把 y
之外的其他自变量暂时看成
常量，对 y 求导数即可。
其它情况类似。
例 求 z x2 3xy y2在点(1, 2)处的偏导数．
解
z x
2x 3 y;
z y
3x2y.
把 y 看成常量 把 x 看成常量
z x
x1 21 32 8,
偏导数都存在，那么这个偏导数就是 x、 y的函数，
它就称为函数z f (x, y)对自变量 x的偏导数，记作
偏导数
但函数在该点处并不连续. 偏导数存在
连续.
二、高阶偏导数
函 数 z f ( x, y)的 二 阶 偏 导 数 为
z z z z f xx ( x , y ), f yy ( x , y ) 2 2 x x x y y y
x x0 y y0
，z y
x x0 y y0
或 f y ( x0 , y0 ).
如果函数 z f ( x , y ) 在区域 D 内任一点 ( x , y ) 处对 x 的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是 x 、 y 的函数，它就称为函数 z f ( x , y ) 对 自变量 x 的偏导数， 记作
2 2
,
2u yy x y2 2,2 2
u x
2 2
(x y ) x 2x
2
(x y )
2 2 2 2
2
y x
2 2
(x y )
2
,
u y u
2 2
(x y ) y 2y (x y )
2 2 2 2
x y
2 2
2 2
(x y )
y )
2
2
,
y (x
2
2
x
2
2 2
y )
；
5、 ( 二 、 1、 z x
x y
) (
z
1 y
x y
).
y ( 1 xy )
2
y1
xy , ( 1 xy ) ln( 1 xy ) y 1 xy
y
z
高中数学中的偏导数定义及其求解法则
高中数学中的偏导数定义及其求解法则数学中有很多重要的概念和方法，学习数学需要认真掌握这些概念和方法。
其中，在数学的实际应用中，偏导数是非常重要的一个概念，它在物理、工程、经济等领域都有广泛的应用。
本文将介绍高中数学中的偏导数定义及其求解法则，希望对读者有所帮助。
一、偏导数的定义首先，我们来看偏导数的定义。
偏导数是多元函数在某一点处对某一个自变量求导的结果。
具体来说，如果函数f(x1,x2,...,xn)在点(x1,x2,...,xn)处对第i个自变量求导，那么它的偏导数就是：∂f/∂xi其中，∂表示“偏导数”的符号。
需要注意的是，偏导数只是对函数在某一点处对一个自变量求导，其他自变量视为常数处理。
因此，如果要对多个自变量同时求导，就需要分别对每个自变量进行求导，得到一组偏导数。
二、偏导数的求解方法接下来，我们来看一下偏导数的求解方法。
对于二元函数f(x,y)，可以通过以下两种方法求解偏导数：1.用限制条件法求偏导数这种方法是指在偏导数的定义中代入限制条件，然后求导。
具体来说，如果要求偏导数∂f/∂x，在导数中代入y=g(x)，得到：∂f/∂x=f(x,g(x))'，其中f(x,g(x))'表示仅以x求导，y视为常数的结果。
同理，可以得到偏导数∂f/∂y:∂f/∂y=f(x,g(x))'2.用差商表示法求偏导数这种方法是指对偏导数的定义进行差商展开，并将所有的高阶微小量忽略，只保留一阶部分。
具体来说，如果要求偏导数∂f/∂x，可以将x看作一个微小量δx，同时将y视为常数，得到：∂f/∂x=[f(x+δx,y)-f(x,y)]/δx同理，可以得到偏导数∂f/∂y:∂f/∂y=[f(x,y+δy)-f(x,y)]/δy在实际应用中，常常会将两种方法进行结合，以求得更精确的偏导数。
三、偏导数的应用最后，我们来看一下偏导数在实际应用中的例子。
偏导数经常出现在物理、工程、经济等领域的模型中。
偏导数的定义及其计算法
偏导数的定义及其计算法偏导数是多元函数在其中一点上的变化率的一种度量，它描述了函数在其中一方向上的变化速率。
偏导数的定义非常简单，它是将函数的其他自变量视为常数，而对其中一自变量求导得到的导数。
对于一个多元函数 f(x1, x2, ..., xn)，它的偏导数可以用∂f/∂xi 或者 fxi 来表示，其中∂表示偏导数的符号，xi 表示自变量 xi 的偏导数。
偏导数的计算方法基本与一元函数的导数计算类似，但在计算过程中需要将其他的自变量视为常数。
举个例子来说明偏导数的计算：假设有一个二元函数f(x1,x2)=x1^2+x2^2，我们要计算该函数关于自变量x1的偏导数∂f/∂x1在计算过程中，我们将x2视为常数，即f(x1,x2)=x1^2+C^2，其中C 表示x2的常数值。
然后我们对f(x1,x2)关于x1求导数，得到f'(x1,x2)=2x1、最后得到∂f/∂x1=f'x1=2x1，即关于x1的偏导数。
在实际应用中，偏导数常常用于优化算法、极值问题的求解等方面。
在多元函数中，偏导数的大小和符号可以用于判断函数的变化趋势和极值点的位置。
除了一阶偏导数，我们还可以计算高阶偏导数。
高阶偏导数描述的是函数对自变量一次、二次、三次...的变化率。
例如，二元函数的二阶偏导数就是对一阶偏导数再次求导，即∂^2f/∂x1^2，表示f(x1,x2)对x1的变化率的变化率。
对于多元函数而言，偏导数的计算可以推广到n阶偏导数，并且可以使用偏导数的混合形式。
例如，对于三元函数f(x1,x2,x3)，我们可以计算∂^2f/∂x1∂x2，表示对x1求偏导后再对x2求偏导。
总结来说，偏导数是多元函数关于其中一自变量的变化率的度量。
计算偏导数的方法与一元函数的导数计算类似，但需要将其他自变量视为常数。
偏导数在实际应用中具有广泛的用途，如优化算法、极值问题的求解等。
除了一阶偏导数，我们还可以计算高阶偏导数和混合偏导数。
一偏导数定义及其计算法二高阶偏导数三小结
不能. 例如, f ( x, y) x2 y2 , 在(0, 0)处连续, 但 f x (0, 0) f y (0, 0) 不存在.
，
f y
，
z
y
或
f y(x, y).
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
例如，u f ( x, y,z), 在 ( x, y,z) 处，
f
x
(
x
,
y,
z
)
lim
x0
f
( x x, y,z) x
f
(x, y,z) ,
f
y
(
x,
y,z
)
lim
y0
f
( x, yy,z) y
f
(x, y,z)
,
f
z
(
x,
y,z)
y( y2 x2) ( x2 y2 )2
,
考虑点 (0, 0) 对 x 的偏导数，
lim
x0
f (0 x, 0) x
f (0, 0)
lim
x0
00 x
0.
于是，
f
x
(
x
,
y
)
y( (x
y
2
2 x2) y2 )2
,
0,
x2 y2 0, x2 y2 0.
(2) 求 f y ( x, y). 当 x2 y2 0 时， 即 x 0 且 y 0时，
如图
z f ( x0, y)
M0 Tx
z f ( x, y0 )
Ty
几何意义:
偏导数 f x ( x0, y0 )就是曲面被平面 y y0 所截得的 曲线在点 M0处的切线 M0Tx对 x轴的斜率.
偏导数概念及其计算
偏导数概念及其计算
偏导数是求解多元函数的过程，它将多元函数的变化量分解出来，表
示与其中一个变量有关的导数，而忽略其他变量的影响。
比如，给定函数
f（x，y），对于其中一个变量x，我们可以定义偏导数f'x（x，y）表示
对于x变量而言，f的变化量，而忽略另一个变量y。
偏导数在求解函数的最值时很常用，是求解多元函数的最值、极值、
微分的重要方法，可以根据偏导数的值来判断该点是极值点还是普通点，
而无需关心其他变量的取值。
偏导数的计算：
（1）多元函数的偏导数
多元函数的偏导数定义为在所有的其他变量保持不变的情况，仅针对
一个变量的导数。
一般表示为：
f'_x(x,y)=∂f/∂x
（2）多元函数的偏导数的计算方法
1）首先，根据函数求出所有变量的偏导数：
f'_x(x,y)=∂f/∂x
f'_y(x,y)=∂f/∂y
2）若函数f(x,y)为非限制类型的多元函数，只需要求出变量x，y
的偏导数即可，求取其中其中一项变量的偏导数时，把其他变量看做常数，然后用一般微分法计算即可。
3）若函数f(x,y)为限制类型的多元函数，即该函数中存在不可加以变动的约束条件，此时，可以先求出该函数的全部变量的偏导数，然后根据拉格朗日乘数法求出未知偏导数。
偏导数的定义与计算方法
偏导数的定义与计算方法偏导数是数学中的一个重要概念。
它可以在多变量函数中反映出每个变量对函数的影响程度。
偏导数的计算方法和一元函数的导数有所不同，下面将详细介绍偏导数的定义、性质以及计算方法。
一、偏导数的定义在多元函数中，每个自变量的取值都会影响函数值的大小。
因此，在计算偏导数时，需要将其他自变量看作常数，只考虑某一个自变量对函数的影响。
对于一个函数f(x1,x2,...xn)，对于自变量xi的偏导数定义为：∂f/∂xi=lim (Δxi→0) (f(x1,x2,...,xi+Δxi,...xn)-f(x1,x2,...,xi,...xn))/Δxi其中，Δxi表示自变量xi的增量，是一个很小的数。
当Δxi趋近于0时，称之为f对xi的偏导数。
二、偏导数的性质1. 偏导数存在性对于连续的多元函数，偏导数一定存在。
但对于非连续的函数，偏导数可能不存在。
2. 二阶偏导数如果一个函数的一阶偏导数存在，则可以进行二次偏导数的计算。
二次偏导数的计算方法和一次偏导数类似，只需要在一次偏导数的式子中再次取偏导数即可。
3. 高阶偏导数类似于二次偏导数，多元函数的任意阶偏导数也可以进行计算。
高阶偏导数的符号和计算方法与一阶偏导数相同。
4. 取偏导数的顺序不同的偏导数的计算顺序有可能会影响计算结果。
例如，f(x,y)=x^2y^2，如果先对x求偏导数，再对y求偏导数，得到的结果为：∂f/∂x=2xy^2，∂f/∂y=2x^2y如果先对y求偏导数，再对x求偏导数，得到的结果为：∂f/∂y=2xy^2，∂f/∂x=2x^2y由于偏导数的计算顺序不同，导致结果也不同。
因此，在取偏导数时，需要注意顺序。
三、偏导数的计算方法1. 公式法偏导数的计算可以使用公式法。
首先需要将待求的函数f(x1,x2,...xn)展开为多项式形式，然后按照偏导数的定义进行计算。
例如，对于函数f(x,y)=x^2+y^2，需要求∂f/∂x和∂f/∂y。
一偏导数的定义及其计算法二高阶偏导数三小结
一偏导数的定义及其计算法二高阶偏导数三小结一、偏导数的定义及其计算法偏导数是多元函数在其中一点上关于其中一个自变量的导数，偏导数描述了函数在其中一点上沿着不同自变量方向的变化率。
对于二元函数（两个自变量的函数），偏导数可以分为两种类型：偏导数∂f/∂x表示函数关于x的偏导数；偏导数∂f/∂y表示函数关于y的偏导数。
在计算中，偏导数可以使用极限的定义进行求取，也可以通过求取对应变量的偏导数公式进行计算。
1.偏导数的计算法（1）使用极限的定义对于函数f(x,y)，若要求取关于x的偏导数，可以将y固定为常数，然后使用极限的定义计算：∂f/∂x = lim(h→0) (f(x + h, y) - f(x, y)) / h对于函数f(x,y)，若要求关于y的偏导数，可以将x固定为常数，然后使用极限的定义计算：∂f/∂y = lim(h→0) (f(x, y + h) - f(x, y)) / h（2）使用偏导数公式对于特定类型的函数，可以通过使用相应的偏导数公式来计算偏导数。
以下列举了几种常见的偏导数公式：a.对于幂函数f(x,y)=x^n，其中n为常数，偏导数公式为：∂f/∂x=n*x^(n-1)b.对于指数函数f(x,y)=e^x，其偏导数公式为：∂f/∂x=e^xc. 对于对数函数f(x, y) = log(x)，其偏导数公式为：∂f/∂x=1/xd. 对于三角函数f(x, y) = sin(x)，其偏导数公式为：∂f/∂x = cos(x)e.对于常数乘积规则，偏导数的计算法为：∂(c*f)/∂x=c*(∂f/∂x)二、高阶偏导数高阶偏导数是指对于多元函数的不同自变量求取多次偏导数的过程。
高阶偏导数描述了函数在其中一点上的更高阶导数信息，它可以对函数的多个变量进行多次的偏导运算。
1.二阶偏导数二阶偏导数是指对于二元函数，对其中一个变量求取一次偏导数后，再对另一个变量求取一次偏导数。
二阶偏导数可以通过求取一次偏导数的偏导数来计算，也可以通过直接求取函数的二阶导数来计算。
偏导数的定义及其计算法
不连续，而 f 在点(0,0)可微.
思 路 ： 按 有 关 定 义 讨 论 ； 对 于 偏 导 数 需 分
(x,y)(0,0)， (x,y)(0,0)讨 论 .
证
精选课件
38
多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
函数可导
函数可微
偏导数连续
精选课件
39
证 令 xco,sysin,
则 limxysin 1
例
例 1求 z x 2 3 x y y 2 在 点 (1 ,2 )处 的 偏 导 数 ．
[解]
例2 设 zxy(x0,x1)，
求 证xz 1 z2z. yx lnxy
[证]
例 3 设z arcsin x ，求 z ，z .
x2 y2
x y
[解]
精选课件
5
例 4 已知理想气体的状态方程pV RT （R为常数），求证：p V T 1.
第二节 偏导数和全微分
一、偏导数的定义及其计算法
定义 设函数z f ( x, y)在点( x0, y0 ) 的某一邻 域内有定义，当y 固定在y0 而x 在x0 处有增量 x 时，相应地函数有增量
f ( x0 x, y0 ) f ( x0, y0 )，
如果lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0, y0 )存在，则称
4
dx ，dy 时的全微分.
4
解 zysinx (2y), x zcox s2(y)2ysix n 2 (y), y
dz(,) 4
z dxz dy
x(,) 4
y(,) 4
2(47). 8
精选课件
36
例 8 计算函数u x sin y e yz 的全微分. 2
偏导数的定义和计算方法
偏导数的定义和计算方法偏导数是数学中的一个概念，用于描述标量函数关于一些变量的变化率。
当需要研究多元函数时，偏导数可以帮助我们更好地理解和运用函数。
下面将介绍偏导数的定义和计算方法。
一、偏导数的定义在多元函数中， x 和 y （或更多的变量）的取值可能会相互影响，这样导致的函数变化会比较复杂。
为了深入研究这种情况下的函数特性，我们需要使用偏导数。
偏导数可以理解为，将其它变量视为常数，只从一个变量的角度来观察函数的变化率。
比如，对于一个函数 f(x,y)，f 对 x 的偏导数，记作∂f/∂x，表示当 y 固定， x 发生小量变化时， f 的变化率。
偏导数的定义如下：偏导数的计算方法就是对变量求偏导数，即把其它变量视为常数，只对一个变量进行求导。
下面我们将介绍一些具体的计算方法。
二、偏导数的计算方法1. 常数的偏导数为 0如果一个变量是常数，那么它的偏导数就为 0。
因为在求偏导数时，我们只考虑其它变量的变化对函数的影响，而常数固定不变，因此偏导数为 0。
示例：对于函数 f(x,y) = 3x + 5，∂f/∂y = 0，因为常数 5 对函数没有影响。
2. 求导法则对于多元函数，我们可以运用求导法则来求偏导数。
下面是一些求导法则：（1）加减法则：偏导数的加减顺序可以交换。
（2）乘法法则：f(x,y) = u(x,y) * v(x,y)，则有∂f/∂x = ∂u/∂x * v+ u * ∂v/∂x。
（3）除法法则：f(x,y) = u(x,y) / v(x,y)，则有（4）复合函数法则：如果 z = f(x,y)，x = g(t) 且 y = h(t)，则3. 链式法则链式法则是求导法则的一个重要应用，用于求解复合函数的偏导数。
下面是链式法则的公式：偏导数计算方法较为简单，但是需要注意的是，当变量较多时，求解偏导数可能需要耗费较多的时间和劳动。
因此，在实际问题中可以运用各种数学工具，如微积分软件等，来简化计算。
偏导数的定义及其计算法
偏导数的定义及其计算法偏导数是多元函数的导数概念的推广，它用于计算多元函数在其中一点处对一些自变量的变化率。
一元函数的导数表示函数在其中一点附近的局部变化率，而多元函数的导数则表示函数在其中一点附近关于一些自变量的变化率。
设函数 f(x₁, x₂, …, xn) 是一个 n 变量函数，其中 x₁, x₂, …, xn 分别表示自变量。
若函数在其中一点处各个自变量的偏移量分别是Δx₁, Δx₂, …, Δxn，则函数在该点处的偏导数表示函数在该点处关于一些自变量的变化率。
偏导数用∂f/∂x 表示，其中∂表示该函数是多元函数的导数。
对于二元函数f(x,y)，其偏导数分为两种：对x的偏导数(∂f/∂x)，对y的偏导数(∂f/∂y)。
偏导数计算公式如下：∂f/∂x = lim(Δx→0) [f(x + Δx, y) - f(x, y)]/Δx∂f/∂y = lim(Δy→0) [f(x, y + Δy) - f(x, y)]/Δy其中，lim 表示极限。
对于 n 元函数 f(x₁, x₂, …, xn)，可以按照相同的原理通过对各个自变量的偏移量进行极限计算，得到相应的偏导数。
在实际计算中，依次计算各个自变量的偏导数来获得该函数在其中一点处的各个偏导数值。
如果函数可微分，就可以通过偏导数找到该点处的切线方程，从而研究函数在该点的性质。
偏导数的计算需要使用导数的各种运算法则，例如线性性质、乘法法则、除法法则和复合函数法则等。
线性性质：若 f(x) 和 g(x) 是可导函数，c 是常数，则有∂/∂x[cf(x) ± g(x)] = c(∂f/∂x) ± (∂g/∂x)。
乘法法则：若f(x)和g(x)是可导函数，则有∂/∂x[f(x)g(x)]=g(x)(∂f/∂x)+f(x)(∂g/∂x)。
除法法则：若f(x)和g(x)是可导函数，且g(x)≠0，则有∂/∂x[f(x)/g(x)]=[g(x)(∂f/∂x)-f(x)(∂g/∂x)]/[g(x)]²。
偏导数的定义和计算方法
偏导数的定义和计算方法偏导数是微积分中一个重要的概念，它用于描述多元函数在某一点上沿着特定方向变化的速率。
在这篇文章中，我们将详细讨论偏导数的定义以及计算方法。
一、偏导数的定义偏导数是多元函数在某一点上对某个独立变量的导数。
与普通导数不同的是，它只考虑一个变量的变化对函数的影响，而将其他变量视为常数。
对于具有两个自变量的函数 f(x, y)，我们可以计算关于 x 的偏导数∂f/∂x 和关于 y 的偏导数∂f/∂y。
偏导数可以用以下形式表示：∂f/∂x = lim(h→0) [f(x + h, y) - f(x, y)] / h∂f/∂y = lim(h→0) [f(x, y + h) - f(x, y)] / h其中 h 表示一个无限趋近于零的小量，表示自变量的微小变化。
二、偏导数的计算方法1. 针对单变量求导法则在计算偏导数时，我们可以运用单变量求导法则。
当一个函数关于变量 x 进行偏导时，将其他自变量视为常数进行求导。
2. 一阶偏导数若函数 f(x, y) 可以依照以下简化的方式进行求偏导数：∂f/∂x = ∂z/∂x = fx，其中 fx 表示关于 x 的导函数∂f/∂y = ∂z/∂y = fy，其中 fy 表示关于 y 的导函数3. 二阶偏导数二阶偏导数可以通过在一阶偏导数的结果上再求一次偏导数得到。
例如：∂²f/∂x² = ∂(∂f/∂x)/∂x = ∂²z/∂x² = fxx，其中 fxx 表示关于 x 的二阶导函数∂²f/∂y² = ∂(∂f/∂y)/∂y = ∂²z/∂y² = fyy，其中 fyy 表示关于 y 的二阶导函数4. 混合偏导数在具有更多自变量的函数中，我们还可以计算混合偏导数。
混合偏导数涉及对多个变量同时求导的情况。
∂²f/(∂x∂y) = ∂(∂f/∂x)/∂y = ∂(∂z/∂x)/∂y = fxy，表示关于 x 和 y 的混合偏导数5. 链式法则当函数存在多个自变量时，我们可以利用链式法则来计算偏导数。
偏导数
fx(x0, y0) = fx(x, y) x=x0 , fx(x0, y0) =[ d f (x, y0)] x=x ; 0 y=y0 dx
d f (x , y)] f y(x0, y0) = f y(x, y) x=x0 , f y(x0, y0) =[ 0 y=y0 . dy y=y0
z = x 2 + 3 xy + y 2 在点(1, 2) 处的偏导数． 处的偏导数． 例1 求
∂z 不存在． 不存在． 0 ∂y x ≠ 0 y=
例4 求r = x2 + y2 + z2 的偏导 4 数.
x ∂r = x x2 + y2 + z2 ∂x
x; = r
y y ∂r = . 2 2 2 = r ∂yy x + y + z
例 4
已知理想气体的状态方程 pV = RT
∂p ∂V ∂T ⋅ ⋅ = −1. 为常数） 求证： ，求证 （ R 为常数） 求证： ， ∂ V ∂ T ∂p
解
∂u = ae ax cosby , ∂x ∂ 2u = a 2e ax cos by , 2 ∂x ∂ u = − abe ax sin by , ∂ x∂ y
2
∂u = − be ax sin by; ∂y ∂ 2u = − b 2e ax cos by , ∂y 2 ∂ u = − abe ax sin by . ∂y∂x
= x y + x y = 2z .
原结论成立． 原结论成立．
x ∂z ∂z 例 3 设 z = arcsin ，求 ， . 2 2 ∂x ∂ y x +y
解
∂z = ∂x
1 x 1− 2 2 x +y
偏导数的定义与计算方法
偏导数的定义与计算方法偏导数是微积分中的一个重要概念，用于计算多元函数在某一点上的变化率。
它是指在多元函数中，对某一变量求导时，将其他变量视为常数进行求导的过程。
一、偏导数的定义对于一个函数f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn为自变量，f为因变量，偏导数表示函数f对其中一个自变量的变化率。
用∂表示偏导数，∂f/∂xi表示f对第i个自变量的偏导数。
在一元函数中，偏导数即为常见的导数。
二、偏导数的计算方法1. 一元函数的偏导数对于只含有一个自变量的函数f(x)，其偏导数即为一元函数的导数，计算方法为：∂f/∂x = lim(Δx->0) [f(x+Δx) - f(x)] / Δx在计算过程中，将除数Δx趋近于0，求出极限值即可得到偏导数的值。
2. 多元函数的偏导数对于含有多个自变量的函数f(x1, x2, ..., xn)，计算偏导数时需要分别对每个自变量进行求导。
以两个自变量的情况为例，对于f(x, y)，分别求取偏导数时，将另一个自变量视为常数。
具体计算方法为：∂f/∂x = lim(Δx->0) [f(x+Δx, y) - f(x, y)] / Δx∂f/∂y = lim(Δy->0) [f(x, y+Δy) - f(x, y)] / Δy同理，对于包含更多自变量的函数，按照类似的方法分别对每个自变量求取偏导数。
需要注意的是，在计算偏导数时，需要注意函数的可导性、连续性等数学性质，以保证计算的准确性。
三、偏导数的几何意义偏导数具有一定的几何意义，可以用来描述函数在某一点上的变化率和切线斜率。
对于二元函数f(x, y)，若其中两个偏导数∂f/∂x和∂f/∂y均存在，则可得到函数在某一点上的切平面方程，该切平面的法向量为<∂f/∂x,∂f/∂y, -1>。
四、应用举例偏导数在许多领域中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 物理学中的运动学和力学：偏导数可以用于描述物体在空间中的运动轨迹和力学性质。
偏导数的定义与计算
偏导数的定义与计算偏导数是高等数学中一个重要的概念，用于研究多元函数的变化率。
在本文中，我们将介绍偏导数的定义以及如何计算它。
一、偏导数的定义对于一个多元函数，它可能是一个变量的函数，也可能是多个变量的函数。
当我们固定其他变量，只考虑其中一个变量的变化时，所得到的导数称为偏导数。
对于一个二元函数 f(x, y)，我们可以定义其关于 x 的偏导数为∂f/∂x，关于 y 的偏导数为∂f/∂y。
偏导数表示了函数在某一变量上的变化率。
二、计算偏导数的方法1. 对于只含有一个变量的函数，例如 f(x)，其偏导数就是普通的导数，可以使用常规的求导法则来计算。
2. 对于含有多个变量的函数，例如 f(x, y)，可以逐个对各个变量求偏导数，其他变量视作常数。
具体计算方法如下：- 对于关于 x 的偏导数，将 f(x, y) 视为只是 x 的函数，即固定 y 不变，求 f(x, y) 对 x 的导数。
- 对于关于 y 的偏导数，将 f(x, y) 视为只是 y 的函数，即固定 x 不变，求 f(x, y) 对 y 的导数。
注：对于更多变量的函数，也可以使用类似的方法逐个求偏导数。
三、举例说明让我们通过一个例子来具体说明偏导数的计算过程。
例：考虑一个二元函数 f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2。
我们首先计算关于 x 的偏导数：∂f/∂x = 2x + 2y接下来计算关于 y 的偏导数：∂f/∂y = 2x + 2y如此，我们就得到了 f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2 的偏导数。
四、应用与意义偏导数在数学和物理学中都有着广泛的应用。
在数学中，偏导数用于研究多元函数的变化规律，帮助建立基础的微分方程。
在物理学中，偏导数则被用于描述各种物理量之间的关系，例如速度的导数就是加速度。
偏导数的计算也为我们提供了一种评估函数的斜率变化的方法，帮助我们更好地理解函数的行为模式和特点。
总结：本文介绍了偏导数的定义与计算方法，通过对多元函数中单个变量的变化率的研究，帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律。
一_偏导数的定义及其计算法
一_偏导数的定义及其计算法一偏导数的定义及其计算法在数学的广袤天地中，偏导数是一个重要且实用的概念。
它不仅在理论研究中发挥着关键作用，还在实际应用中有着广泛的用途，比如物理学、工程学、经济学等众多领域。
让我们先来理解一下偏导数的定义。
假设有一个多元函数，比如说z ＝ f(x, y) ，如果我们把 y 看作是固定的常量，而仅仅让 x 发生变化，这时函数 z 对于 x 的变化率就称为函数 z 对 x 的偏导数。
同样，如果把 x 固定，只让 y 变化，那么函数 z 对于 y 的变化率就是函数 z 对 y 的偏导数。
举个简单的例子，假设我们有一个函数 f(x, y) ＝ x^2 ＋ y^2 。
要计算它对 x 的偏导数，就把 y 当作常数，对 x 求导。
因为 y 是常数，所以 y^2 求导就是 0 ，而 x^2 对 x 的导数是 2x ，所以 f(x, y) 对 x 的偏导数就是 2x 。
同理，计算 f(x, y) 对 y 的偏导数时，把 x 当作常数，y^2 对 y 的导数是 2y ，x^2 求导是 0 ，所以 f(x, y) 对 y 的偏导数就是 2y 。
那偏导数到底怎么计算呢？其实有一些基本的规则和方法。
首先，如果函数是由一些基本函数通过四则运算组合而成的，那么就可以使用相应的求导法则来计算偏导数。
比如，对于两个函数的和或差的偏导数，就等于它们各自的偏导数的和或差。
其次，如果函数是由两个函数的乘积构成，那就可以使用乘积法则来求偏导数。
假设我们有函数 u(x, y) 和 v(x, y) ，那么它们乘积的偏导数就有特定的计算公式。
再来说说复合函数的偏导数计算。
如果函数是复合函数，那就需要运用链式法则。
比如说，有函数 z ＝ f(u(x, y)， v(x, y)），那么计算 z 对 x 的偏导数时，就要先对 u 和 v 分别求对 x 的偏导数，然后再根据链式法则进行综合计算。
在实际计算偏导数的过程中，还需要特别注意一些细节。
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∴
RT R V p V T RT = = = 1 2 p R V T p pV V
例6
求下列各函数在指定点的偏导数：
xy x2 + y2 0
2
( x 2 + y 2 ≠ 0)
(1)f(x,y)=
在点O(0,0)处；
( x 2 + y 2 = 0)
π (2) z = sin( xy ) cos ( xy )在点P0 (0, )处; 2
= 2 x( x 2 + 2 y ) x 1
例4 求 r = x + y + z 的偏导数. 解：把y和z都看作常量，对x求导, 得
r 1 = 2x = x 2 x 2 + y 2 + z 2 x x2 + y2 + z 2
x = r
2
2
2
由于所给函数关于自变量是对称的，所以
r = y
r = z
= [ f ( x0 , y )]'| y = y
L
M
0
固定 x = x0 得交线 :
L： z = f ( x, y) x = x0 z = f ( x0 , y ) 即 x = x0
由一元函数导数的几何意义：
z y
x= x 0 x= y 0
= [ f ( x 0 , y )]' = tan β
z = x y ln x. y
∴
x y 1 1 y = yx + x ln x y ln x
= xy + xy = 2x y
= 2z
例3 解
z = ( x 2 + 2 y ) x , ( y > 0) z = ( x + 2 y)
2 x
z z 求 ， x y
=e
ln( x 2 + 2 y ) x
=e
Δx 0
(Δx + 0) + 0 = lim Δx Δx → 0
2
2
0
0 = lim = lim 0 = 0 Δx → 0 Δx → 0 Δx
f (x,y)=
xy x2 + y2 0
( x 2 + y 2 ≠ 0)
在点O(0,0)处；
( x 2 + y 2 = 0)
f (0,0 + Δy ) f (0,0) f y (0,0) = lim Δy Δy → 0
(3) z = e
1 1 ( + ) x y
在点P0 (1,1)处.
(1) f(x,y)=
xy x2 + y2 0
( x 2 + y 2 ≠ 0)
在点O(0,0)处；
( x 2 + y 2 = 0)
解
根据偏导数的定义，有
f (0 + Δx,0) f (0,0) f x (0,0) = lim Δx Δx → 0
2
y=
2
=0
π (2) z = sin( xy ) cos ( xy )在点P0 (0, )处; 2
2
π π ' z 2 另解： x | x = 0 = [sin( x 2 ) cos ( x 2 )] |x =0 π
y= 2
= [cos = 1
πx π
2 2
2
2cos
πx
2
( sin
f ( x0 , y0 + Δy ) f ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) = lim Δy Δy → 0
(2)
注
f ( x0 + Δx, y0 ) f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 ) = lim Δx Δx → 0
[ f ( x, y0 )] |' x = x =
0
由一元函数导数的几何意义：
z x
x= x 0 x= y 0
= [ f ( x , y 0 )]'
= tan α
x
( x0 , y0 )
y
α
. .
z 同理， y
x= x 0 y= y 0
=?
偏导数的几何意义
z = f ( x, y)
z y
x= x0 y= y 0
z Ty
0
Tx
曲面z = f (x,y)
x ln( x 2 + 2 y )
∴
z x ln( x 2 + 2 y ) 2 =e [ x ln( x + 2 y )]' x x
2 x] [1 ln( x + 2 y ) + x 2 x + 2y 2 + 2 y) 2x2 = e x ln( x [ln( x 2 + 2 y ) + ] x2 + 2 y
偏导数的几何意义
z = f ( x, y)
z x
x= x 0 y= y 0
复习一元函数导数
z
Tx
L
= [ f ( x , y0 )]'| x = x
曲面z = f (x,y)
0
M
平面 y =y0
固定 y =y0 得交线
z = f ( x , y０) z = f ( x, y) 即 L： y = y0 y = y0
0
f ( x0 , y0 + Δy ) f ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) = lim Δy Δy → 0
[ f ( x0 , y )] |' y = y =
0
如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点都有对x的偏 导数，那么这个偏导数仍是x、y的函数，称为z=f(x,y) 对x的偏导函数，记为
πx π
) ] 2 2 |x =0
π
0 =
π
2
' z 2 | x = 0 = [sin(0 y ) cos (0 y )] | π y= y π
y=
2
2
=
(1) ' |
y=
π
2
= 0
(3) z = e
解
1 1 ( + ) x y
在点P0 (1,1)处.
]' x = e
1 1 ( + ) x y
z = [e x
1 1 ( + ) x y
=e
1 1 ( + ) x y
1 1 [( + )]' x x y
1
x2
1 1 ( + ) x y
z = [e y
1 1 ( + ) x y
]' y = e
1 1 [( + )]' y x y
=e
1 1 ( + ) x y
1
y2
z ∴ | x = 1 = [e x y =1
1 1 ( + ) x y
1
x
] | x = 1 2
y =1
=1
z ∴ | x = 1 = [e y y =1
1 1 ( + ) x y
1
y2
] | x = 1
y =1
=1
需要注意的是：“一元函数在其可导点上一定连 续”这个结论，对于多元函数是不成立的.这是因为各 偏导数存在只能保证当P(x,y)沿着平行坐标轴的方向 趋近P0 (x0,y0)时,函数值f(x,y)趋近于f (x0 ,y0)，但不能 保证当P(x,y)以任意方式趋近P0(x0 ,y0)时，f(x,y)都趋 近于f (x0 ,y0). 反例 ： 例6 (1)
(1)
同样，函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数为
f ( x0 , y0 + Δy ) f ( x0 , y0 ) lim Δy Δy → 0
记作 即
z f |x = x , |x = x , z y|x = x 或 f y ( x0 ,y0 ) 0 0 0 y y
y= y0 y= y0 y= y0
x
y
( x0 , y0 )
α
.
平面 x=x0
.
β
二、高阶偏导数
一般说来，函数f(x,y)的偏导数 f ( x, y ) f ( x, y ) , zy = zx = x y 还是x、y的二元函数.如果这两个函数对自变量x和y 的偏导数也存在，则称这些偏导数为f(x ，z yy
存在，则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的 偏导数，记作 f z |x = x ， |x = x ， z x| 或 f x ( x0 ,y0 ) x = x0 x y = y0 x y = y0
0 0 y = y0
即
f ( x0 + Δx, y0 ) f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 ) = lim Δx Δx → 0
z z = ( ) 2 x x x 2 z z ( ) = yx x y
第二节
偏导数
一、偏导数的定义及其计算法
定义 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义,
f ( x 0 + Δx , y 0 ) f ( x 0 , y 0 )
当y固定在y0而x在x0处有增量△x时，相应地函数有增量
如果极限
f ( x0 + Δx, y0 ) f ( x0 , y0 ) lim Δx Δx → 0
y y2 + x2 + z 2
z z 2 + y2 + x2
y = r z = r
例5 已知理想气体的状态方程pV=RT(R为常量)， 求证： p V T = 1. V T p 证: