线性代数 线性空间与线性变换

a 1 a 1 a;
(iv) 对任何 a R+ , 有负元素 a-1 R+ , 使
a a1 aa1 1 ;
Copyright© 数学与计量经济学院
( v ) 1a a1 a; ( vi ) ( a) a (a ) a ( ) a; (vii) ( ) a a aa a a
Copyright© 数学与计量经济学院
四、子空间
在第三章中, 我们提过子空间, 今稍作修正.
定义 设 V 是一个线性空间, L 是 V 的一
个非空子集, 如果 L 对于 V 中所定义的加法和数 乘两种运算也构成一个线性空间, 则称 L 为 V 的 子空间.
即对任何 V, 有 + 01 = , +02 = . 于是特
别有
02 + 01 = 02 , 01 + 02 = 01 .
所以
01 = 01 + 02 = 02 + 01 = 02 .
即零元素是唯一的.
Copyright© 数学与计量经济学院
性质 2 任一元素的负元素是唯一的. 性质 3 0 = 0 ; (-1) = - ; 0 = 0. 性质 4 如果 = 0, 则 = 0 或 = 0 .
Copyright© 数学与计量经济学院
s1 A1 sin(x B1) (A1) sin(x B1) S[x] ,
所以 S[ x ] 是一个线性空间. 检验一个集合是否构成线性空间,当然不能
只检验对运算的封闭性(如上面两例). 若所定义的 加法和数乘运算不是通常的实数间的加乘运算, 则就应仔细检验是否满足八条线性运算规律.
第六章 线性空间与线性变换
线性空间 基、维数与坐标 线性变换
结束
1
2020/3/30
Copyright© 数学与计量经济学院
一、线性空间的定义
1. 定义 定义 1 设 V 是一个非空集合, R 为实数域.
如果对于任意两个元素 , V, 总有唯一的一 个元素 V 与之对应, 称为 与 的和, 记作 = + ; 又对于任一数 R 与任一元素 V , 总有唯一的一个元素 V 与之对应, 称为 与 的积, 记作 ; 并且这两种运算满足以下 八条运算规律(设 , , V ; , R):
Copyright© 数学与计量经济学院
例 3 正弦函数的集合
S[x] {s Asin(x B) | A, B R}
对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性
空间. 这是因为, 通常的函数加法及乘数运算显然 满足线性运算规律, 故只要验证 S[ x ] 对运算封 闭:
s1 s2 A1 sin(x B1) A2 sin(x B2 ) (a1 cosx b1 sin x) (a2 cosx b2 sin x) (a1 a2 ) cosx (b1 b2 ) sin x Asin(x B) S[x] ,
所以 P[ x ]n是一个线性空间.
Copyright© 数学与计量经济学院
例 2 n 次多项式的全体
Q[x]n {p an xn a1x a0 | an , , a0 R,且 an 0}
对于通常的多项式加法和数乘运算不构成向量空 间. 这是因为 0 p = 0 xn + ···+ 0 x + 0 Q[ x ]n , 即 Q[ x ]n 对运算不封闭.
(vi) ( ) = ( ) ;
Copyright© 数学与计量经济学院
(vii) ( + ) = + ; (viii) ( + ) = + .
那么, V 就称为(实数域 R 上的) 线性空间，
V 中的元素不论其本来的性质如何,
统称为(实)向量.
简言之, 凡满足八条规律的加法及乘数运算,
Copyright© 数学与计量经济学院
(i) + = + ;
(ii) ( + ) + = + ( + ) ; (iii) 在 V 中存在零元素 0， 对任何 V , 都有 + 0 = ; (iv) 对任何 V , 都有 的负元素 V,
使
+=0;
(v) 1 = ;
就称为线性运算。
Copyright© 数学与计量经济学院
二、举例
例 1 次数不超过 n 的多项式的全体, 记
作P[ x ]n , 即
P[x]n {p(x) an xn an1xn1 a1x a0|an, ,a0 R}
对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成 线性空间.
解： 这是因为, 通常的Βιβλιοθήκη Baidu项式加法、数乘多
Copyright© 数学与计量经济学院
例 4 正实数的全体, 记作 R+ , 在其中定
义 加法及乘数运算为
加法: a b ab (a,b R ) ,
数乘: a a ( R, a R ) ,
验证 R+ 对上述加法与乘数运算构成线性空间.
证 实际上要验证十条:
对加法封闭: 对任意的 a , b R+ , 有
项式的乘法两种运算显然满足线性运算规律, 故
只要验证 P[ x ]n 对运算封闭:
Copyright© 数学与计量经济学院
(an xn a1x a0 ) (bn xn b1x b0 ) (an bn )xn (a1 b1)x (a0 b0 ) P[x]n ,
(an xn a1x a0 ) (an )xn (a1)x (a0 ) P[x]n ,
a b ab R ;
Copyright© 数学与计量经济学院
对数乘封闭: 对任意的 R, a R+ , 有
a a R ;
( i ) a b ab ba b a ;
(ii) (a b) c (ab) c (ab)c a(bc) a (b c);
(iii) R+ 中存在零元素 1 , 对任何 a R+ , 有
a a; (viii) (a b) (ab) (ab) ab
a b a b .
因此, R+ 对于所定义的运算构成线性空间. 下面讨论线性空间的性质.
Copyright© 数学与计量经济学院
三、线性空间的性质
性质 1 零元素是唯一的.
证明 设 01, 02 是线性空间V中的两个零元素,