人教版高中数学必修一知识点与重难点

人教版高中数学必修一

————各章节知识点与重难点

第一章集合与函数概念

1.1 集合

1.1.1集合的含义与表示

【知识要点】

1、集合的含义

一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。

2、集合的中元素的三个特性

（1）元素的确定性；（2）元素的互异性；（3）元素的无序性

2、“属于”的概念

我们通常用大写的拉丁字母A,B,C, ……表示集合，用小写拉丁字母a,b,c, ……表示元素

如：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A，如果a不属于集合A 记作a∉A

3、常用数集及其记法

非负整数集（即自然数集）记作：N；正整数集记作：N*或N+ ；整数集记作：Z；有理数集记作：Q；实数集记作：R

4、集合的表示法

（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

（2）描述法：用集合所含元素的公共特征表示集合的方法称为描述法。

①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2}

（3）图示法（Venn图）

1.1.2 集合间的基本关系

【知识要点】

1、“包含”关系——子集

一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B

2、“相等”关系

如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B A B B A

⇔⊆⊆

且

3、真子集

如果A⊆B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A⊂B(或B⊃A)

4、空集

不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.

1.1.3 集合的基本运算

【知识要点】

1、交集的定义

一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A∩B(读作“A 交B”)，即A∩B={x| x∈A，且x∈B}．

2、并集的定义

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A ∪B(读作“A并B”)，即A∪B={x | x∈A，或x∈B}．

3、交集与并集的性质

A∩A = A，A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A，A∪φ= A , A∪B = B∪A.

4、全集与补集

（1）全集

如果集合U含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。

（2）补集

设U是一个集合，A是U的一个子集（即A⊆U），由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U中子集A的补集（或余集）。记作：C U A ，即C S A ={x | x∈U且x∉A} （3）性质

C U(C U A)=A，(C U A)∩A=Φ，(C U A)∪A=U；

(C U A)∩(C U B)=C U(A∪B)，(C U A)∪(C U B)=C U(A∩B).

1.2 函数及其表示

1.2.1函数的概念

【知识要点】

1、函数的概念

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．

其中，x叫做自变量，x的取值围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．

【注意】

（1）如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；

（2）函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．

【定义域补充】

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是

（1）分式的分母不等于零；

（2）偶次方根的被开方数不小于零；

（3）对数式的真数必须大于零;

（4）指数、对数式的底数必须大于零且不等于1.

（5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

（6）指数为零底不可以等于零

（7）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域.)

2、构成函数的三要素

定义域、对应关系和值域

【注意】

（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）。

（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

3、相同函数的判断方法

（1）定义域一致；

（2）表达式相同(两点必须同时具备)

【值域补充】

（1）函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.

（2）应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。

4、区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；

（2）无穷区间；

（3）区间的数轴表示．

1.2.2函数的表示法

【知识要点】

1、常用的函数表示法及各自的优点

（1）函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据：作垂直于x轴的直线与曲线最多有一个交点。

（2）函数的表示法