2020年九年级中考数学专题复习：全等三角形 常见辅助线题型 总结(含解析)
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【解析】延长 AD 至 E 使 AD DE ，连接 BE .利用三角形三边关系 【答案】 2 AD 8
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【例 6】 如图，△ABC 中， E、F 分别在 AB、AC 上， DE DF ， D 是中点，试比较 BE CF 与 EF 的大小. 【解析】略 【答案】延长 FD 至 G 使 DG DF ，所以有△GED ≌△FED 和△BDG ≌△CDF ，所以 CF BG ，GE EF 。
【解析】构造全等 BE
【答案】（1）连接 BD 、CD ，显然 BD=DF ，因为 AD 为角分线，所以 DE DF ，△BDE ≌△CDF ，所以 BE CF
（2）显然△AED ≌△AFD ,所以 AE AF ，所以 BE a b ，AE a b
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2百度文库
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【例 2】 如图，已知△ABC 中， BAC 90 ， AB AC ， BE 平分 ABC ， CE BD 求证： BD 2CE .
特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面 积的知识解答． 一、借助角平分线造全等 【例 1】 如图，△ABC 中，AD 平分 BAC ，DG BC 且平分 BC ，DE AB 于 E ，DF AC 于 F .（1）说明 BE CF 的理由；（2）如果 AB a ， AC b ，求 AE、BE 的长.
【解析】略 【答案】延长 AB 与 MC 的延长线交于 F ， AE 的延长线与 MD 的延长线交于 G ，证明△BFC ≌△EGD
F G ，所以 AF AG ，所以△AFM ≌△AGM 所以 AM CD .
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【例 12】 如 图 ， 在 四 边 形 ABCD 中 ， A C 90 ， AB AD ， 若 这 个 四 边 形 的 面 积 为 16 ， 则 BC CD =___________.
【解析】有垂直和角平分线想等腰三角形 【答案】延长 CE 与 BA 的延长线交于点 F ，因为 BE 为角平分线和垂线，所以显然 CE EF 即 CF 2CE 证△ABD ≌△ACF ，所以 BD CF ，所以BD 2CE
【例 3】 如图， BC BA ， BD 平分 ABC ，且 AD CD ，求证： A C 180 .
【解析】如图：过 A 做 AE BC ， AF CD ，证△ABE ≌△ADF ，所以 BC CD CE CF 【答案】8
四、平移变换 【例 13】 在△ABC 的边 BC 上取两点 D、F ，使 BD FC ，过 D、F 分别作 BA 的平行线，分别交 AC 于 E、G .
求证： AB GF ED .
全等三角形常见辅助线题型总结
常见辅助线的作法有以下几种： 1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等 变换中的“旋转”． 3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的 “对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折 叠” 5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之 与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、 分等类的题目．
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【例 10】 如图， AB CD ， E 为 BC 的中点， BAC BCA ，求证： AD 2AE
【解析】略 【答案】倍长 AE 至 G 连 BG 易证△BEG ≌△CEA 得出相对应的角与边相等再证△ABG ≌△DCA AD AG 即 AD 2AE
三、补形法 【例 11】 如图，在凸五边形 ABCDE 中，B E ，C D ，BC DE ，M 是 CD 的中点. 求证：AM CD .
【解析】略 【答案】过 C 作 AD 的垂线交 AD 延长线于 F ，△BCE ≌△DCF BE DF
△EAC ≌△FAC AE AF，所以AE AD DF AD BE
二、倍长中线（线段）造全等 【例 5】 已知，如图△ABC 中， AB 5 ， AC 3 ，则中线 AD 的取值范围是_________.
【解析】略 【答案】连接 AD ， EAD FCD 45 ，易证△AED ≌△CFD ，所以 ED FD ，再证△BDE ≌△ADF BDE ADF ，得证
【例 9】 如图，△ABC 中， BD DC AC ， E 是 DC 的中点，求证： AD 平分 BAE .
【解析】略 【答案】倍长 AE 至 G 连 DG 所以△DEG ≌△CEA ，显然 BD DG ，BDA ≌GDA 所以△ABD ≌ AGD 即 AD 平分 BAE
【解析】过 D 作 DM ∥ AC 交 AB 于点 M ，易证△AME ≌ DEM ，AM ED 。显然△BDM ≌△FDG ，BM GF ， 结论成立。
【答案】如图
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【例 14】 如图，在△ABC 内存在一点 P ，求证： AB AC BP CP
所以结论成立。
【例 7】 如图在△ABC 中， C 90，AC BC，AD DB，AE CF 。求证： DE DF .
【答案】连接 CD ， A DCF 45 ，所以△AED ≌△CFD ，所以 DE DF
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【例 8】 如图， AB AC ，∠A 90，AE CF，BD DC .求证： FD ED
【解析】略 【答案】 BC 上取 BE AB 所以△ABD ≌△EBD ，所以BED A ，
又可证 C DEC ，又BED DEC 180 ，所以 A C 180 .
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【例 4】 如图， AC 平分 BAD ， CE AB ，且 B D 180 ，求证： AE AD BE .
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【例 6】 如图，△ABC 中， E、F 分别在 AB、AC 上， DE DF ， D 是中点，试比较 BE CF 与 EF 的大小. 【解析】略 【答案】延长 FD 至 G 使 DG DF ，所以有△GED ≌△FED 和△BDG ≌△CDF ，所以 CF BG ，GE EF 。
【解析】构造全等 BE
【答案】（1）连接 BD 、CD ，显然 BD=DF ，因为 AD 为角分线，所以 DE DF ，△BDE ≌△CDF ，所以 BE CF
（2）显然△AED ≌△AFD ,所以 AE AF ，所以 BE a b ，AE a b
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【例 2】 如图，已知△ABC 中， BAC 90 ， AB AC ， BE 平分 ABC ， CE BD 求证： BD 2CE .
特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面 积的知识解答． 一、借助角平分线造全等 【例 1】 如图，△ABC 中，AD 平分 BAC ，DG BC 且平分 BC ，DE AB 于 E ，DF AC 于 F .（1）说明 BE CF 的理由；（2）如果 AB a ， AC b ，求 AE、BE 的长.
【解析】略 【答案】延长 AB 与 MC 的延长线交于 F ， AE 的延长线与 MD 的延长线交于 G ，证明△BFC ≌△EGD
F G ，所以 AF AG ，所以△AFM ≌△AGM 所以 AM CD .
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【例 12】 如 图 ， 在 四 边 形 ABCD 中 ， A C 90 ， AB AD ， 若 这 个 四 边 形 的 面 积 为 16 ， 则 BC CD =___________.
【解析】有垂直和角平分线想等腰三角形 【答案】延长 CE 与 BA 的延长线交于点 F ，因为 BE 为角平分线和垂线，所以显然 CE EF 即 CF 2CE 证△ABD ≌△ACF ，所以 BD CF ，所以BD 2CE
【例 3】 如图， BC BA ， BD 平分 ABC ，且 AD CD ，求证： A C 180 .
【解析】如图：过 A 做 AE BC ， AF CD ，证△ABE ≌△ADF ，所以 BC CD CE CF 【答案】8
四、平移变换 【例 13】 在△ABC 的边 BC 上取两点 D、F ，使 BD FC ，过 D、F 分别作 BA 的平行线，分别交 AC 于 E、G .
求证： AB GF ED .
全等三角形常见辅助线题型总结
常见辅助线的作法有以下几种： 1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等 变换中的“旋转”． 3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的 “对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折 叠” 5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之 与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、 分等类的题目．
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【例 10】 如图， AB CD ， E 为 BC 的中点， BAC BCA ，求证： AD 2AE
【解析】略 【答案】倍长 AE 至 G 连 BG 易证△BEG ≌△CEA 得出相对应的角与边相等再证△ABG ≌△DCA AD AG 即 AD 2AE
三、补形法 【例 11】 如图，在凸五边形 ABCDE 中，B E ，C D ，BC DE ，M 是 CD 的中点. 求证：AM CD .
【解析】略 【答案】过 C 作 AD 的垂线交 AD 延长线于 F ，△BCE ≌△DCF BE DF
△EAC ≌△FAC AE AF，所以AE AD DF AD BE
二、倍长中线（线段）造全等 【例 5】 已知，如图△ABC 中， AB 5 ， AC 3 ，则中线 AD 的取值范围是_________.
【解析】略 【答案】连接 AD ， EAD FCD 45 ，易证△AED ≌△CFD ，所以 ED FD ，再证△BDE ≌△ADF BDE ADF ，得证
【例 9】 如图，△ABC 中， BD DC AC ， E 是 DC 的中点，求证： AD 平分 BAE .
【解析】略 【答案】倍长 AE 至 G 连 DG 所以△DEG ≌△CEA ，显然 BD DG ，BDA ≌GDA 所以△ABD ≌ AGD 即 AD 平分 BAE
【解析】过 D 作 DM ∥ AC 交 AB 于点 M ，易证△AME ≌ DEM ，AM ED 。显然△BDM ≌△FDG ，BM GF ， 结论成立。
【答案】如图
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【例 14】 如图，在△ABC 内存在一点 P ，求证： AB AC BP CP
所以结论成立。
【例 7】 如图在△ABC 中， C 90，AC BC，AD DB，AE CF 。求证： DE DF .
【答案】连接 CD ， A DCF 45 ，所以△AED ≌△CFD ，所以 DE DF
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【例 8】 如图， AB AC ，∠A 90，AE CF，BD DC .求证： FD ED
【解析】略 【答案】 BC 上取 BE AB 所以△ABD ≌△EBD ，所以BED A ，
又可证 C DEC ，又BED DEC 180 ，所以 A C 180 .
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【例 4】 如图， AC 平分 BAD ， CE AB ，且 B D 180 ，求证： AE AD BE .