平行线的性质1

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平行线的性质及推导方法

平行线的性质及推导方法平行线，是指在同一个平面内，永不相交的两条直线。

平行线的性质与推导方法是几何学中的重要内容，下面我们将详细介绍平行线的性质及推导方法。

一、平行线的性质1. 平行线定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线将被两条平行线所截成的锐角和钝角互补。

证明：设直线l与平行线m和n相交于A点，BC与m、n平行。

由平行线的性质可知∠ABC=∠ACD，又∠ABC+∠ACD=180°（线l与m、n相交，∠ABC和∠ACD互补），所以∠ABC和∠ACD互补。

2. 平行线的性质之间的关系：如果两条平行线被一条交线所截，那么它们与这条交线所构成的内错角、内外错角、对顶角以及同位角是相等的。

证明：设直线l与平行线m和n相交于点O，AB与m平行，CD与n平行。

先证明内错角相等，连接AC、BD。

由三角形的内角和为180°可知∠ACB+∠BCA+∠CDA+∠DAB=180°，∠ACB+∠BCA+∠ADB=180°（∠CDA和∠DAB互补），所以∠ACB+∠BCA+∠CDA+∠DAB=∠ACB+∠BCA+∠ADB，化简得∠CDA=∠ADB。

同理可证∠ACD=∠ABC，∠BAC=∠DCB，∠ADC=∠BCD。

二、平行线的推导方法1. 利用平行线的性质证明线段比例关系。

证明：设AB与CD分别是平行线m和n上的两个点，交线AC与BD相交于E点。

若已知AE:EC=BD:DE，要证明AB:BC=BD:DC（即证明∆ABD∽∆CBD）。

由已知的比例关系可得：AE/EC=BD/DE，即AE/BD=EC/DE。

又因为∠AEB和∠CDE为同位角，根据同位角定理可知∠AEB=∠CDE。

由此可得∆ABE∽∆CDE，进一步得出AB:BE=CD:DE。

同理可证∆CBD∽∆ADE，从而得出BC:BD=DE:DA。

综合上述比例关系，可以得出AB:BC=BD:DC，证明了平行线性质下的线段比例关系。

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复习回顾问题解惑1 结论解惑2 新课学习巩固练习课堂小结作业布置
如图：已知a∥b，那么∠2与∠4会有什么关系呢？ ∵a∥b （已知）
（两直线平行，内错角相等） ∴∠2=∠3 c 2 3 4 a
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3、平行线的判定方法有哪些？
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同位角相等，
两直线平行。
内错角相等，
两直线平行。
同旁内角互补，两直线平行。
4、这些判定方法先知道什么，后知道什么？
回答问题1 问题2 问题3 问题4 退出
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如图：已知a∥b，那么∠2与∠4会有什么关系呢？
c 2 3 4 a
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如图：已知a∥b，那么∠2与∠4会有什么关系呢？
∵a∥b 解惑1 ∴∠1=∠2

平行线的特征

平行线的特征平行线在几何学中具有重要的作用，它们是指在同一个平面上，永远不会相交的直线。

本文将探讨平行线的特征，以及与平行线相关的性质和定理。

一、平行线的定义平行线的定义是两条直线在同一个平面上，并且永远不会相交。

这意味着两条平行线之间的距离始终相等。

二、平行线的特征1. 方向相同：平行线在平面上具有相同的方向，它们始终在相同的方向上延伸。

2. 永不相交：平行线永远不会相交。

无论延长多远，它们仍然保持平行的形状。

3. 距离相等：平行线之间的任意两点到两条平行线的距离始终相等。

这是平行线的一个重要性质。

4. 平行四边形的对边平行性：在平行四边形中，对边是平行的。

这是平行线特征的一个重要应用。

三、平行线的判定1. 同位角判定：如果两条直线被一条截线所切，并且同位角相等，那么这两条直线平行。

2. 转换判定：如果一条线与两条平行线分别相交，形成相等的内错角或外错角，那么这条线与这两条平行线平行。

3. 斜率判定：如果两条直线的斜率相等，那么这两条直线平行。

斜率是直线在坐标系中的倾斜度量。

四、平行线的应用1. 平行线与横向交错线条：在道路规划和交通设计中，平行线经常用于构建车道和交通流线的布局。

2. 平行线与角度构造：在建筑设计中，平行线被广泛应用于角度构造。

通过平行线的布局，可以创建出各种角度和形状。

3. 平行线与等距关系：平行线之间的距离相等，这一性质在几何学和测量中具有重要的应用。

五、平行线的定理1. 交替内角定理：如果两条平行线被一条截线所切，那么两条平行线上的交替内角是相等的。

2. 内错角定理：如果两条平行线被一条截线所切，那么两条平行线上的内错角是补角。

3. 锐角和钝角定理：如果两条平行线被一条截线所切，那么两条平行线上的锐角和钝角的和是180度。

六、平行线的重要性平行线的研究对几何学和应用数学具有重要意义。

它们为解决实际问题提供了基础，而且在建筑、工程、地图制作等领域也有广泛的应用。

综上所述，平行线作为几何学中的一个重要概念，具有方向相同、永不相交和距离相等等特征。

平行线的性质知识点

平行线的性质知识点平行线是几何学中常见的概念，其性质和特点对于理解和解决几何问题非常重要。

本文将介绍平行线的定义、性质以及与平行线相关的定理。

一、平行线的定义平行线是指在同一个平面内永远不会相交的直线。

简单来说，如果两条直线在同一个平面内，并且它们永远不会相交，那么它们就是平行线。

二、平行线的判定方法1. 同位角判定法：当一条直线与另外两条直线相交时，如果同位角对应相等（即两条直线被切分的同位角互相相等），则这两条直线是平行线。

2. 内错角判定法：当一条直线与另一条直线相交时，如果内错角互相补角相等（即两条直线被切分的内错角互为补角），则这两条直线是平行线。

3. 平行线判定定理：如果两条直线的斜率相等且不相交，则这两条直线是平行线。

三、平行线的性质1. 平行线具有等倾斜角性质：对于两条平行线上的任意一对相对应的同位角，它们的角度相等。

2. 平行线具有同旁内错角性质：对于两条平行线上的任意一对相对应的内错角，它们是互补角。

3. 平行线具有同旁外错角性质：对于两条平行线上的任意一对相对应的外错角，它们是对应角或互补角。

4. 平行线具有同旁错角成比例性质：对于两条平行线上的任意一对相对应的错角，它们成比例关系。

5. 平行线之间的距离始终相等：如果从两条平行线上任意取一对相对应的点，连接这两条点所在直线上的线段，得到的线段与两条平行线之间的距离是相等的。

四、平行线的相关定理1. 平行线定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线的同位角对应相等。

2. 平行线外角定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线的外错角互补。

3. 平行线内角定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线的内错角互补。

4. 平行线内外角定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线的内错角与外错角是对应角或互补角。

总结：平行线是几何学中的重要概念，具有许多重要性质和特点。

通过掌握平行线的定义、判定方法、性质以及相关定理，可以在解决几何问题时更加灵活运用平行线的知识，加深对几何学的理解和掌握。

平行线和垂直线的性质与判断

平行线和垂直线的性质与判断一、平行线的性质1.在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

2.平行线有无数条，它们之间的距离相等。

3.平行线的长度无限，无论它们延伸多远，都不会相交。

4.平行线永远不会改变方向，即使它们延伸多远。

5.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

6.在同一平面内，一条直线与平行线相交，那么这条直线与另一条直线垂直。

二、垂直线的性质1.两条相交成90度的直线叫做垂直线。

2.垂直线有无数条，它们相交于同一点，称为垂足。

3.垂直线互相平行，且与同一平面内的其他直线相交成90度。

4.垂直线的长度无限，无论它们延伸多远。

5.如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行。

6.在同一平面内，一条直线与垂直线相交，那么这条直线与另一条直线平行。

三、平行线和垂直线的判断1.判断两条直线是否平行，可以使用尺子和直角器，如果两条直线之间的距离相等，则它们互相平行。

2.判断两条直线是否垂直，可以使用尺子和直角器，如果两条直线相交成90度，则它们互相垂直。

3.如果已知一条直线与第三条直线平行，那么可以判断另一条直线与这条直线平行，如果另一条直线与第三条直线垂直，则可以判断它与已知直线垂直。

4.在同一平面内，如果已知一条直线与两条平行线相交，那么可以判断这两条直线互相平行。

5.在日常生活中，平行线和垂直线的性质和判断可以应用于建筑设计、工程测量、绘画等领域。

6.在数学中，平行线和垂直线的性质和判断可以用于解决几何问题，如计算面积、证明定理等。

7.在科学实验中，平行线和垂直线的性质和判断可以用于测量角度、确定方向等。

习题及方法：1.习题：在同一平面内，已知直线AB与CD平行，直线EF与CD垂直，求证直线AB与EF垂直。

答案：根据平行线的性质，直线AB与CD平行，所以它们之间的距离相等。

根据垂直线的性质，直线EF与CD垂直，所以它们之间的角度是90度。

因此，直线AB与EF垂直。

7年级数学平行线判定及性质 (1)

D EEF1 23 A CO知识精讲7 年级数学下：平行线的性质定理模块一：平行线的性质定理平行线的性质定理（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；简记为：两直线平行，同位角相等．（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；简记为：两直线平行，内错角相等．（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；简记为：两直线平行，同旁内角互补．例题解析【例 1】如图，AC //DB ， ∠DBC = 56 ，则∠ACB = ．【答案】124 度．【解析】因为 AC //DB （已知），所以∠DBC + ∠ACB = 180︒ （两直线平行，同旁内角互补），因为∠DBC = 56 （已知），所以∠ACB = 180︒ - 56︒ = 124︒ （等式性质）D B【例 2】（1）如图，已知 DE //BC ，∠A = ∠C ，则与∠AED 相等的角（不包含∠AED ）有个；（2）如图，若 AB //FD ，则∠B = ，若 AC //ED ，则∠DFC = ．AAB C 【答案】（1）2 个；（2） ∠3 ；∠2．B D 【解析】（1）因为 DE //BC （已知），所以∠AED = ∠C （两直线平行，同位角相等），又因为∠A = ∠C （已知），所以∠A = ∠C = ∠AED （等量代换）；（2）∠B = ∠3（两直线平行，同位角相等）；∠DFC = ∠2．【例 3】如图，直线 a / /b ，则 x - y 的值等于（） aA ．20B ．80C ．120D ．180 b【答案】A【解析】因为 a / /b ，所以 x = 30又因为3y + x = 180 ，解得 y = 50 ，故 x - y = 30 - 50 = 20︒ ．【例 4】如图，直线 a / /b ，点 B 在直线b 上，且 AB ⊥ BC ， ∠1 =A ． 35B ． 45C ． 55D ．125【答案】A 【解析】因为 AB ⊥ BC （已知），所以∠ABC = 90︒ （垂直的意义）因为 a / /b （已知），所以 ∠1 = ∠CBD （两直线平行，同位角相等）因为∠1 = 55 （已知），所以∠CBD = 55 （等量代换）因为∠2 + ∠ABC + ∠CBD = 180 （平角的意义）所以∠2 = 180︒ - 55︒ - 90︒ = 35︒ （等式性质）B【例5】如图，直线a / /b ，c ⊥d ，则下列说法中正确的个数有（）（1）∠2 +∠4 = 90 ；（2）∠1 +∠4 = 90 ；（3）∠1 =∠3 ；（4）∠3 +∠4 = 90 ．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【答案】B【解析】（1）正确：因为a / /b ，所以∠2 与∠3 互为同位角，d又因为c ⊥d ，所以∠3 +∠4 = 90︒，所以∠2 +∠4 = 90︒；（2）错误：∠1 =∠4 （两直线平行，同位角相等）；（3）错误∠1 +∠3 = 90︒；（4）正确．所以本题选B【例6】如果两个角的一边在同一条直线上，另一边互相平行，那么这两个角（）A．相等或互补B．互补C．相等D．相等且互余【答案】A【解析】分为同侧相等和异侧互补两种情况，故选A．【例7】如图，已知AB / /CD ，∠x 等于（）A．75 B．80 C．85 D．95 【答案】C【解析】如图可过的顶点作平行线，那么被分为上下两部分．上半部分与角B 互补；下半部分与角D 互为内错角；所以易知∠x = (180︒-120︒) + 25︒= 85︒．A B120°xD 25°C【例8】如图，AB / /CD，MP / / AB，MN 平分∠AMD，∠A = 40 ，∠D = 30 ，则∠NMP 等于（）A．10 B．15 C．5 D．7.5 【答案】C【解析】因为AB / /MP （已知）所以∠A =∠AMP （两直线平行，内错角相等）因为AB / /CD （已知），所以MP / /CD （平行的传递性）所以∠D =∠DMP （两直线平行，内错角相等）B MCAN PD因为∠AMD =∠AMP +∠DMP （角的和差），∠A = 40 ，∠D = 30 （已知）所以∠AMD = 30 + 40 = 70 （等式性质）因为MN平分∠AMD （已知），所以∠AMN =∠NMD = 35 （角平分线的意义）所以∠NMP = 40︒- 35︒= 5︒（等式性质）E【例9】如图，AB / /CD ，∠1 = (2x + 20) ，∠2 = (8x - 40) ，求∠1 及∠2 的度数．【答案】∠1 = 40︒，∠2 = 40︒． A1 B【解析】因为AB / /CD （已知），所以∠1 =∠2 （两直线平行，同位角相等）2 即(2x + 20) = (8x - 40) C DF 解得：x = 10所以∠1 = 40︒，∠2 = 40︒（等式性质）H 2G1C F D3 1 24【例 10】如图，已知∠1 = 40 ，∠2 = 140 ，∠3 = 40 ，能推断出 AB / /CD / / EF 吗？为什么？【答案】能；见解析．【解析】由题意，根据对顶角的性质，可知：∠2 + ∠1 = 180︒，∠2 + ∠3 = 180︒ 所以 AB //CD ，CD //EF （同旁内角互补，两直线平行）所以 AB //EF ，即 AB //CD //EF ，即证．N【例 11】已若∠A 的两边与∠B 的两边分别平行，且∠A 是∠B 的 2 倍少 30°，求∠A 与∠B 的度数．【答案】∠B = 30︒，∠A = 30︒ 或∠B = 70︒ ，∠A = 110︒ ．【解析】由题意可知， ∠A = ∠B 或∠A + ∠B = 180︒ ，又因为∠A 是∠B 的 2 倍少 30°，所以∠A = 2∠B - 30︒ ，即∠B = 30︒，∠A = 30︒ 或∠B = 70︒ ，∠A = 110︒【总结】本题考查平行线的性质及两个角的两边平行时的两种情况的讨论．【例 12】已知：如图， ∠1 = ∠2 ，∠3 = ∠B ，AC / / DE ，且 B 、C 、D 在一条直线上．试说明 AE / / BD ．AE【答案】见解析．【解析】因为 AC / / DE （已知），所以∠2 = ∠4 （两直线平行，内错角相等）因为∠1 = ∠2 （已知），所以∠1 = ∠（4 等量代换）所以 AB / /CE （内错角相等，两直线平行）所以∠B = ∠ECD （两直线平行，同位角相等） B 因为∠3 = ∠B （已知），所以∠3 = ∠ECD （等量代换）所以 AE / / BD （内错角相等，两直线平行）【例 13】已知：如图，E 、F 分别是 AB 和 CD 上的点，DE 、AF 分别交 BC 于 G 、H ，∠ A = ∠ D ， ∠ 1= ∠ 2，试说明： ∠ B = ∠ C ．E 【答案】见解析 A B【解析】因为∠1 = ∠（2 已知），∠1 = ∠AHB （对顶角相等）所以∠2 = ∠AHB （等量代换），所以 AF / / E D （同位角相等，两直线平行）所以∠D = ∠AFC （两直线平行，同位角相等）因为∠A = ∠D （已知），所以∠A = ∠AFC （等量代换）所以 AB / /CD （内错角相等，两直线平行）所以∠B = ∠C （两直线平行，内错角相等）【例 14】如图，直线 GC 截两条直线 AB 、CD ，AE 是∠GAB 的平分线，CF 是∠ACD 的平分线，且 AE / /CF ，那么 AB ∥CD 吗？为什么？【答案】见解析【解析】因为 AE 是∠GAB 的平分线，CF 是∠ACD 的平分线（已知）所以∠GAE = ∠EAB ，∠ACF = ∠FCD （角平分线的性质）因为 AE / /CF （已知），所以∠GAE = ∠ACF （两直线平行， 3A1 E2 D同位角相等）所以∠EAB =∠FCD（等量代换）所以AB / /CD ( 同位角相等，两直线平行)【例15】如图∠1 =∠2 ，DC / /OA ，AB / /OD ，那么∠C =∠B【答案】见解析【解析】因为DC / /OA （已知），所以∠COA =∠C（两直线平行，内错角相等），即∠COB +∠1 =∠C因为AB / /OD （已知），所以∠DOB =∠B即∠2 +∠COB =∠B ，又因为∠1 =∠2 （已知），所以∠B =∠C （等量代换）【总结】本题考查平行线的判定及性质的综合运用．【例16】如图，已知AD 平分∠BAC ，∠1 =∠2 ，试说明∠1 =∠F 的理由．【答案】见解析F【解析】因为AD 平分∠BAC （已知），所以∠2 =∠BAD （角平分线的意义）因为∠1 =∠2 （已知），所以∠1 =∠BAD （等量代换）所以EF / / AD （同位角相等，两直线平行）所以∠F =∠2 （两直线平行，同位角相等） B C 所以∠1 =∠F （等量代换）【总结】本题考查平行线的判定及性质的运用．【例17】已知：如图，∠AGH =∠B，∠CGH =∠BEF ，EF⊥AB 于F，试说明CG⊥AB．【答案】见解析【解析】因为∠AGH =∠B （已知）C所以HG / /CB （同位角相等，两直线平行）所以∠CGH =∠BCG （两直线平行，内错角相等）E 因为∠CGH =∠BEF （已知），H所以∠BEF =∠BCG （等量代换）A B所以EF / /CG （同位角相等，两直线平行）G F因为EF⊥AB（已知），所以CG⊥AB．【例18】已知，正方形ABCD 的边长为4 cm ，求三角形EBC 的面积．D【答案】8 平方厘米． A E 【解析】由题意可知：三角形EBC 与正方形同底BC，且其高即是正方形的边DC，故三角形面积为正方形面积的一半：4 ⨯ 4 ÷ 2 = 8cm2C【例19】如图，AD//BC，BC =5AD ，求三角形ABC 与三角形ACD 的面积之比．2A D【答案】5: 2 ．4B CBD EA GD【解析】因为 AD / /BC （已知）所以三角形 ABC 与三角形 ACD 的高相等（平行线间的距离处处相等）所以 S ∆ABC : S ∆ACD = BC : AD = 5：2 （两三角形高相等，面积比等于底之比）【例 20】如图， AB / /GE ， CD / / FG ，BE =EF =FC ，三角形 AEG 的面积等于 7，求四边形 AEFD 的面积．【答案】21 【解析】联结 BG 、CG ．因为 AB / /GE（已知）所以 S∆BEG B = S ∆AEG （同底等高的两个三角形面积相等） E F C因为 BE =EF （已知），所以 S ∆BEG = S ∆GEF （等底等高的两个三角形面积相等）所以 S ∆AEG = S ∆GEF =7（等量代换），同理 S ∆GEF = S ∆DFG = 7 ．所以 S 四边形AEFD = S ∆AEG + S ∆GEF + S ∆DFG = 7 + 7 + 7 = 21．【例 21】已知 E 是平行四边形 ABCD 边 BC 上一点，DE 延长线交 AB 延长线于 F ，试说明CS ∆ABE 与S ∆CEF 相等的理由．【答案】见解析 1A1 F【解析】因为 S △ADE = S △DCF = 2 S 四边形ABCD ，所以 S △CEF = S ∆DCF - S ∆DCE = 2S 四边形ABCD - S ∆DCE ，所以 S = S - S - S = S - 1 S - S = 1 S - S∆ABE 四边形ABCD ∆ADE ∆DCE 四边形ABCD 2 四边形ABCD ∆DCE 2 四边形ABCD ∆DCE所以 S ∆ABE = S ∆CEF模块二：辅助线的添加例题解析【例 1】如图，已知 AB ∥ED ，试说明：∠B +∠D ＝∠C ．【答案】见解析【解析】过点 C 作 AB 的平行线 CF ，因为 AB ∥ED （已知）所以 AB / /CF / / ED （平行的传递性）A BC F 所以∠B = ∠BCF ，∠D = ∠DCF （两直线平行，内错角相等）所以∠B + ∠D = ∠BCF + ∠DCF = ∠BCD （等式性质） E D【例 2】如图所示，已知， ∠A +∠B +∠C = 360︒ ，试说明 AE ∥CD ． 5F E【答案】见解析A E【解析】过点 B 向右作 BF //AE ，所以∠A + ∠ABF = 180（︒ 两直线平行，同旁内角互补）因为∠A +∠B +∠C = 360︒ （已知）B F所以∠FBC + ∠C = 180︒ （等式性质） C D所以 BF / /CD （同旁内角互补，两直线平行）所以 AE / /CD （平行的传递性）【例 3】如图，已知：AB //CD ，试说明： ∠ B + ∠ D + ∠ BED = 360︒ （至少用三种方法）．【答案】见解析 A【解析】方法一：连接 BD则∠EBD +∠EDB +∠E =180°（三角形内角和等于 180因为 AB //CD （已知），所以∠ABD +∠BDC =180°（两直线平行，同旁内角互补） C 所以∠ABD +∠EBD +∠EDB +∠BDC +∠E =360°，即∠B +∠D +∠BED =360°方法二：过点 E 作 EF //CD ，因为 AB / /CD （已知），所以 EF / / AB （平行的传递性）所以∠B +∠BEF =180°，∠D +∠DEF =180°（两直线平行，同旁内角互补）所以∠B +∠BEF +∠D +∠DEF =360°（等式性质）即∠B +∠D +∠BED =360°；方法三：过点 E 作 EF / / BA因为 AB / /CD （已知），所以 EF / / AB （平行的传递性）所以∠ABE + ∠BEF = 180︒ ，∠FED + ∠EDC = 180︒ （两直线平行，同旁内角互补）所以∠ B + ∠ D + ∠ BED = 360︒ （等式性质）；方法四：过点 E 作 EF ⊥CD 的延长线与 F ，EG 垂直于 AB 的延长线于 G ，则有：∠B =∠BGE +∠GEB ，∠D =∠EDF +∠DFE ，所以∠B +∠D +∠BED =∠BGE +∠DFE +∠GED =180+180=360°．【例4】如图所示，在六边形 ABCDEF 中，AF ∥CD ，∠A =∠D ，∠B=∠E ，试说明 BC ∥EF 的理由．【答案】见解析 A F【解析】连接 AD 、BEB因为 AF ∥CD （已知） E所以∠FAD = ∠ADC （两直线平行，内错角相等） C D因为∠BAF = ∠CDE （已知），所以∠BAD = ∠ADE （等式性质）所以 AB ∥DE （内错角相等，两直线平行）所以∠ABE = ∠BED （两直线平行，内错角相等）因为∠ABC = ∠FED （已知），所以∠EBC = ∠BEF （等式性质）所以 BC ∥EF （内错角相等，两直线平行）【例 5】如图已知，AB //CD ，∠ABF = 2 ∠ABE ，∠CDF = 2 ∠CDE ，求∠E 和∠F 的关系．3 3【答案】∠E : ∠F = 3：2 ． C【解析】过点 E 、点 F 分别作 AB 的平行线 EG 、FH ． 6A BD2 1 因为 EG / / AB ，FH / / AB所以 AB / / EG / FH / /CD (等量代换)所以∠ABF = ∠BFH （两直线平行，内错角相等）所以∠CDF = ∠DFH （两直线平行，内错角相等）所以∠BFD = ∠DFH + ∠BFH = ∠CDF + ∠ABF （等量代换）同理： ∠BED = ∠DEG + ∠BEG = ∠ABE + ∠CDE （等量代换）因为∠ABF = 2 ∠ABE ，∠CDF = 2 ∠CDE3 3所以∠BFD = ∠DFH + ∠BFH = ∠CDF + ∠ABF = 2 (∠ABE + ∠CDE ) = 2∠BED3 3 所以∠E : ∠F = 3：2【例 6】如图，已知：AC //BD ，联结 AB ，则 AC 、BD 及线段 AB 把平面分成①②③④四个部分，规定：线上各点不属于任何一个部分，当点 P 落在某个部分时，联结 PA 、PB ，构成 ∠ PAC 、∠ APB 、∠ PBD 三个角（提示：有公共角断点的两条重合的射线所组成的角是 0 °角）（1）当点 P 落在第①部分时，试说明： ∠ PAC + ∠ PBD = ∠ APB ；（2）当点 P 落在第②部分时，试说明： ∠ PAC + ∠ PBD = ∠ APB 是否成立?（3）当点 P 落在第③部分时，全面探究∠ PAC 、 ∠ APB 、 ∠ PBD 之间的关系是，并写出动点 P 的具体位置和相应的结论，选择其中一种加以证明．A 3 A 3C C C A 3 C2 1B 4 D B 4 D B 4 B 4 D【解析】（1）过点 P 作 PE // AC ．因为 AC / / BD ，所以 AC / / PE / / BD （平行的传递性）所以∠PAC = ∠APE ，∠BPE = ∠PBD （两直线平行，内错角相等）因为∠APB = ∠APE + ∠BPE （角的和差）所以∠APB = ∠PAC + ∠PBD （等量代换）（2）不成立，过点 P 作 AC 的平行线即可证明．（3）分类讨论如下：①当动点 P 在射线 BA 的右侧时，结论是∠PBD = ∠PAC + ∠APB ；②当动点 P 在射线 BA 上时，结论是∠PBD = ∠PAC + ∠APB 或∠PAC = ∠PBD + ∠APB 或∠APB = 0︒，∠PAC = ∠PBD （任写一个即可） ③当动点 P 在射线 BA 的左侧时，结论是∠PBD = ∠PAC + ∠APB ．2 P 1 A3 2 1随堂练习【习题1】填空：（1）如图（1），AB //CD ，CE 平分∠ACD ， ∠A = 120 ，则∠ECD ；（2）如图（2），已知 AB //CD ， ∠B = 100 ，EF 平分∠BEC ， EG ⊥ EF ，则∠DEG = ．【难度】★G B AFC 【答案】（1）30°；（2）50°．E图（2） C【解析】（1）因为 AB ∥CD （已知），所以∠A + ∠ACD = 180 （两直线平行，同旁内角互补）因为∠A = 120 （已知），所以∠ACD = 180 -120 = 60 （等式性质）又因为 CE 平分∠ACD （已知），所以∠ECD =30°（角平分线的意义）（2）因为 AB ∥CD （已知），所以∠B + ∠BEC = 180 （两直线平行，同旁内角互补）因为∠B = 100 （已知），所以∠BEC = 180 -100 = 80 （等式性质）又因为 EF 平分∠BEC （已知），所以∠BEF =40°（角平分线的意义）因为 EG ⊥EF （已知），所以∠GEF = 90 （垂直的意义）因为∠DEG + ∠GEF + ∠CEF = 180 （平角的意义）所以∠DEG = 180 - 90 - 40 = 50 （等式性质）【总结】本题考查平行线的性质的运用．【习题2】填空：（1）如图，直线 a / /b ，三角形 ABC 的面积是 42 cm 2 ，AB =6 cm ，则 a 、b 间的距离为；（2）如图，在三角形 ABC 中，点 D 是 AB 的中点，则三角形 ACD 和三角形 ABC 的面积之比为．【难度】★ 【答案】（1）14 厘米；（2） 1 ．2 AD【解析】（1）三角形 ABC 的高为： 42 ⨯ 2 ÷离B 为 14 厘米； C（2）因为三角形 ACD 和三角形 ABC 高相等，所以面积之比等于底之比，即 S ∆ACD = S ∆ABC AD =1AB 2【总结】本题考查平行线间距离及同高等底的三角形面积的之比．A B E 图（1） D D ．【习题3】如图，已知 FC //AB //DE ， ∠α : ∠D : ∠B = 2 : 3 : 4 ,则∠α 、∠D 、∠B 的度数分别为．【难度】★ 【答案】∠α = 72︒ ， ∠D = 108︒ ， ∠B = 144︒ ．【解析】因为 FC //AB //DE （已知），A 所以∠B + ∠CFB = 180 (∠D = ∠CFD （两直线平行，内错角相等）设∠α = 2x ，∠D = 3x ，∠B = 4x ，则可列方程：180 - 4x + 2x = 3x ，解得： x = 36︒则∠α = 72︒ ， ∠D = 108︒ ， ∠B = 144︒ ．【习题4】如果两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的 3 倍多 12°，则这两个角是( )．A ．42°和 138°B ．都是 10°C ．42°和 138°或都是 10°D ．以上都不对【难度】★★【答案】A【解析】由题意假设这两个角分别为 A 、B ，则有： ∠A = ∠B 或∠A + ∠B = 180︒ ，又因为∠A 是∠B 的 3 倍多 12°，则有： ∠A = 3∠B + 12︒ ，即180︒- ∠B = 3∠B + 12︒，解得：∠B = 42︒，∠A = 138︒ ．【总结】本题考查两角位置关系的可能性，注意两种情况的讨论．【习题5】如图，已知 QR 平分∠PQN ，NR 平分∠QNM ，∠1+∠2=90°，那么直线 PQ 、MN的位置关系．P Q【难度】★★ 【答案】见解析． 1【解析】因为 QR 平分∠PQN ，NR 平分∠QNM （已知） R所以∠PQN = 2∠1 ， ∠MNQ = 2∠2 （角平分线的意义）因为∠1+∠2=90°（因为），所以∠PQN +∠MNQ =180°（等式性质） 2 所以 PQ ∥MN （同旁内角互补，两直线平行） M N【总结】本题考查平行线的判定及角平分线意义的综合运用．【习题6】如图，已知：AB ∥CD ，EF 和 AB 、CD 相交于 G 、H 两点，MG 平分∠BGH ，NH平分∠DHF ，试说明：GM ∥NH ．【难度】★★ 【答案】略．【解析】 AB / /CD （已知） ∴∠BGH = ∠DHF （两直线平行，同位角相等）又 MG 平分∠BGH ，NH 平分∠DHF ∴∠1 = 1 ∠BGH , ∠2 = 1 ∠DHF 2 2 ∴∠1 = ∠（2 等量代换） ∴GM / / H N （同位角相等，两直线平行）【总结】本题考查平行线的判定A B 12 OC BC M1【习题7】如图所示，在直角三角形 ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4，AB =5，三角形内一点 O 到各边的距离相等，求这个距离是多少．【难度】★★【答案】1．【解析】设这个距离是 x ，则有：S ∆ABC = 6 = 1( AC + BC + AB ) ⨯ x = 6x ，解得： x = 1 ． 2 【总结】本题可以用面积法求解比较简单．【习题8】如图，已知 AB ，CD 分别垂直 EF 于 B ，D ，且∠DCF =60°，∠1=30°．试说明： BM / / AF ．A【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】因为 CD ⊥EF ，所以∠CDF = 90 （垂直的意义）因为∠DCF =60°（已知），所以∠F =30°（三角形的内角F 和等于 1D 80°） B E 因为∠1=30°（已知），所以∠1=∠F （等量代换）所以 BM ∥AF （同位角相等，两直线平行）【总结】本题考查平行线的判定及垂直的意义的综合运用．【习题9】如图，已知直线l 1 / /l 2 ；（1）若∠1 = (x + 2 y ) ， ∠2 = x ， ∠4 = ( y + 30) 求∠1 ， ∠2 ， ∠4 的度数；（2）若∠2 = x ， ∠3 = y ， ∠4 = [2(2x - y )] ，求 x 、 y 的值． 1 2 3 l【难度】★★ 【答案】见解析 4l 2【解析】（1）因为∠1+∠2=180°（平角的意义），所以 x + 2 y + x 180︒ ，即 x +y =90°因为l 1∥l 2 （已知），所以∠2=∠4（两直线平行，同位角相等）即 x = y +30，解得：x =60°，y =30°，所以∠1=120°，∠2=60°，∠4=60°；（2）因为∠3+∠2=180°（平角的意义），所以 x +y =180°，因为l 1∥l 2 （已知），所以∠2=∠4（两直线平行，同位角相等）即 x = 4x - 2 y ，解得：x =72°，y =108°．【总结】本题考查平行线的性质及角度的简单计算．【习题10】如图， ∠ ADC =∠ABC ， ∠ 1+ ∠ FDB =180°，AD 是∠FDB 的平分线，试说明 BC 为∠DBE 的平分线．【难度】★★★ E【答案】见解析．【解析】因为∠ 1+ ∠ FDB =180°（已知），又因为∠1 = ∠ABD （对顶角相等）所以∠ABD + ∠BDF = 180 （等量代换）所以 AB / / F D （同旁内角互补，两直线平行）F D CA E C所以∠ABD = ∠2 （两直线平行，内错角相等）因为∠ADC = ∠ABC （已知），所以∠ADB = ∠CBD （等式性质）因为 AE / / FC （已证），所以∠EBD = ∠FDB （两直线平行，内错角相等）即∠ADB + ∠ADF = ∠CBD + ∠CBE （角的和差）因为 AD 是∠FDB 平分线，所以∠ADB = ∠ADF = ∠CBD = ∠EBC （角平分线的意义）即 BC 为∠DBE 的平分线【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的判定定理及性质定理以及角平分线的综合运用．【习题11】如图，已知∠ABC =∠ACB ，AE 是∠CAD 的平分线，问：△ABC 与△EBC 的面积是否相等?为什么? D【难度】★★★【答案】相等，证明见解析． F【解析】因为∠DAE + ∠EAC + ∠BAC = 180 （平角的意义）又∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180 （三角形内角和等于 180°）所以∠DAE + ∠EAC = ∠ABC + ∠ACB （等式性质） B 因为∠ABC =∠ACB ，AE 是∠CAD 的平分线（已知）所以∠ABC = ∠ACB = ∠DAE = ∠CAE所以 AE / / B C （内错角相等，两直线平行）所以 AE 与 BC 间的距离相等（夹在平行线间的距离处处相等）所以△ABC 与△EBC 的面积相等（同底等高的两个三角形面积相等）．【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用，同时还考查了三角形的面积问题．课后作业【作业1】如图，AB //CD ，直线l 分别交 AB 、CD 于 E 、F ，EG 平分∠BEF ，若∠EFG = 40 ，则∠EGF 的度数是（）A ． 60B ． 70C ． 80D ． 90【难度】★【答案】B 【解析】因为 AB //CD （已知），所以∠BEF + ∠EFG = 180 因为∠EFG = 40 （已知），所以∠BEF =140°（等式性质）因为 EG 平分∠BEF （已知），所以∠BEG = 1∠BEF = 70 （角平分线的意义）2 因为 AB //CD （已知），所以∠BEG = ∠EGF （两直线平行，内错角相等）所以∠EGF =70°（等量代换）【总结】本题考查平行线的性质及角平分线的意义的运用．【作业2】如图，AB //CD ，下列等式中正确的是（）A ． ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180B ． ∠1 + ∠2 - ∠3 = 90C ． ∠2 + ∠3 - ∠1 = 180D ． ∠2 + ∠3 - ∠1 = 90【难度】★【答案】C A B C D2D 1 2E 3 【解析】由题意可得： (180︒- ∠3) + (180︒- ∠2) + ∠1 = 180︒ ，解得： ∠2 + ∠3 - ∠1 = 180︒【总结】本题考查平行线的性质．【作业3】若两直线被第三条直线所截，则下列说法中正确的个数有（）（1）一对同位角的角平分线互相平行，（2）一对内错角的角平分线互相平行，（3）一对同旁内角的角平分线互相平行，（4）一对同旁内角的角平分线互相垂直A ．3 个B ．2 个C ．1 个D ．0 个【难度】★【答案】D【解析】（1）同位角不一定相等，×；（2）内错角不一定相等，×；（3）×；（4）只有当这对同旁内角互补时才成立，×【总结】本题考查三线八角的基本运用．【作业4】直线 a ∥c ，且直线 a 到直线c 的距离是 3；直线b / /c ，直线b 到直线c 的距离为5，则直线 a 到直线b 的距离为（）A ．2B ．3C ．8D ．2 或 8【难度】★★【答案】D【解析】当直线 a 和直线 b 在直线 c 的两侧时，距离为 8；当直线 a 和直线 b 在直线 c 的同一侧时，距离为 2．【总结】本题考查平行线的性质，注意分类讨论．【作业5】已知：如图 5，∠1=∠2=∠B ，EF ∥AB ．试说明∠3=∠C ． A【难度】★★【答案】略．【解析】因为∠1 = ∠B （已知）所以 DE / / B C （同位角相等，两直线平行）所以∠2 = ∠C （两直线平行，同位角相等）又因为 EF / / AB （已知），所以∠3 = ∠B 所以∠3 = ∠C （等量代换）B FC （两直线平行，同位角相等）【总结】本题考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用．【作业6】已知：∠1=60o ，∠2=60o ， AB //CD ．试说明：CD //EF ．【难度】★★ l【答案】略．【解析】设∠2 的对顶角为∠3，因为∠1=∠2 = 60o （已知），所以∠1=∠3（等量代换）所以 AB ∥EF （同位角相等，两直线平行）A 1 BC D 又因为 AB ∥CD （已知）所以 CD ∥EF （平行的传递性） E 2 F【总结】本题主要考查平行线的判定．D ′ C′ F【作业7】如图，已知∠4=∠B ，∠1=∠3，试说明：AC 平分∠BAD ．【难度】★★【答案】略．【解析】因为∠4=∠B （已知）所以 CD ∥AB （同位角相等，两直线平行）所以∠3=∠2（两直线平行，内错角相等）又因为∠1=∠3（已知），所以∠1=∠2（等量代换），A B所以 AC 平分∠BAD （角平分线的意义）【总结】本题考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用．【作业8】如图， AD / / BC ，BD 平分∠ABC ，且∠A : ∠ABC = 2 :1 ，求∠DBC 的度数．【难度】★★A D 【答案】30°．【解析】因为 AD ∥BC （已知）所以∠A +∠ABC =180°（两直线平行，同旁内角互补） B C又因为∠A ：∠ABC =2:1（已知），所以∠A =120°，∠ABC =60°（等式性质）又因为 BD 平分∠ABC （已知），所以∠DBC =30°（角平分线的意义）【总结】本题考查平行线的性质及角平分线的综合运用【作业9】如图，把一个长方形纸片沿 EF 折叠后，点 D 、C 分别落在 D ′、C ′的位置．若∠AED ′＝65°，则∠C 'FB 的度数为． A E D 【难度】★★【答案】65°【解析】因为翻折，所以∠D 'EF = ∠DEF （翻折的性质） B 因为∠AED ' + ∠D 'EF + ∠DEF = 180 （平角的意义）又∠AED ′＝65°（已知），所以∠D 'EF = ∠DEF = 180 - ∠AED '= 57.5 （等式性质）2 因为 AD / / BC （已知），所以∠DEF + ∠EFC = 180 （两直线平行，同旁内角互补） ∠EFB = ∠DEF （两直线平行，内错角相等）所以∠EFB = 57.5 ， ∠EFC = 180 - 57.5 = 122.5 （等式性质）因为∠EFC ' = ∠EFC （翻折的性质）所以∠C 'FB = ∠EFC ' - ∠EFB = 65︒ ．【总结】本题主要考查平行线的性质及翻折的性质的综合运用．【作业10】如图，已知 AD //BC ，AB //EF ，DC //EG ，EH 平分∠FEG ， ∠A = ∠D = 110 ，试说明线段 EH 的长是 AD 、BC 间的距离． AE D 【难度】★★【答案】见解析．【解析】因为 AD //BC （已知）所以∠A + ∠B = 180 ， ∠C + ∠D = 180 （两直线平行，同旁内角互补）因为∠A = ∠D = 110 （已知），所以∠B =∠C =70°（等式性质）B F H G因为 AB //EF ，DC //EG （已知），D4 3 C 1 2所以∠EFG=∠B，∠EGF=∠C（两直线平行，内错角相等）所以∠EFG = ∠EGF = 70°（等量代换），所以∠FEG=40°因为EH 平分∠FEG （已知），所以∠FEH=1∠FEG=20 （角平分线的意义）2所以∠FHE = 180 -∠FEH =∠EFH = 90 （三角形内角和等于180°）即EH 的长是AD、BC 间的距离．【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的性质及三角形的内角和以及平行线间的距离．【作业11】如图，AB ⊥l ，CD ⊥l （点B、D 是垂足），直线EF 分别交AB、CD 于点G、H．如果∠EGB =m ，∠FGB =n ，且∠EHD = (3m -n ) ，试求出∠EGB 、∠BGF 、∠EHD的度数．【难度】★★★【答案】∠EGB = 60︒，∠BGF = 120︒，∠EHD = 60︒．【解析】因为AB ⊥l ，CD ⊥l （已知）所以AB / /CD （垂直于同一直线的两直线平行）所以∠FGB +∠EHD =180 （两直线平行，同旁内角互补）∠EGB =∠EHD （两直线平行，同位角相等）即n + 3m -n = 180 ，m = 3m -n ，解得：m = 60︒，n = 120︒．所以∠EGB = 60︒，∠BGF = 120︒，∠EHD = 60︒．【总结】本题主要考查平行线的性质的运用．【作业12】如图，已知AB / /CD ，EG、FH 分别平分∠AEF 、∠DFN ，那么∠GEF +∠DFH = 90 ，试说明理由．【难度】★★【答案】见解析．【解析】因为AB / /CD （已知）所以∠AEF =∠CFN （两直线平行，同位角相等）因为∠CFN +∠DFN = 180︒（平角的性质）又因为EG、FH 分别平分∠AEF 、∠DFN （已知）所以∠AEG +∠GEF +∠DFH +∠NFH = 180︒（角的和差）即2∠GEF +∠DFH = 180︒，所以∠GEF +∠DFH = 90 ．【总结】本题考查平行线的性质及角平分线性质的综合应用．【作业13】如图，已知AB∥EF，∠B=45°，∠C=x°，∠D=y°，∠E=z°，试说明x、y、z 之间的关系．【难度】★★★【答案】见解析．【解析】由题意，过C、D 两点分别作AB 的平行线CM、DN 因为AB∥EF（已知）所以AB / /CM / / DN / / EF （平行的传递性）N所以∠B =∠BCM ，∠MCD =∠CDN ，∠EDN =∠E （两直线平行，内错角相等）因为∠B=45°，∠C=x°，∠D=y°，∠E=z°（已知）所以x - 45 =y -z （等式性质）即x -y +z = 45 ．【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的性质以及辅助线的添加，注意观察角度间的关系．。

初中数学平行线的性质知识点归纳摘抄

初中数学平行线的性质知识点归纳摘抄初中数学平行线的性质知识点归纳摘抄在同一平面内，永不相交的两条直线互为平行线。

虽然平行线在平面内定义，但也适用于立体几何。

平行线的性质性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

简单说成：两直线平行，同位角相等。

性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

简单说成：两直线平行，内错角相等。

性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。

简单说成：两直线平行，同旁内角互补。

同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做着两条平行线的距离。

额外补充的是，在高等数学中的平行线的定义是相交于无限远的两条直线为平行线，因为理论上是没有绝对的平行的!初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。

平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。

水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。

③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。

相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。

初中数学知识点：平面直角坐标系的构成对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。

平面直角坐标系的构成在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。

通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。

水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。

5.3.1平行线的性质(1)--

复习回顾新课学习巩固练习课堂小结
例1
如图梯形有上底的一部分. 已知∠ 如图梯形有上底的一部分. 已知∠ A= 115° ° ∠D=100°,梯形另外两个角各是多少度? ° 梯形另外两个角各是多少度?
A D
已知) 解:∵AD//BC (已知) ∴∠ A + ∠ B=180° ° 两直线平行,同旁内角互补) (两直线平行,同旁内角互补) 即 ∠ B= 180 °- ∠ A =180 ° -115 ° =65 ° B 已知) ∵AD//BC (已知) ∴∠ D+ ∠ C=180 ° 两直线平行,同旁内角互补) (两直线平行,同旁内角互补) 即∠ C=180 °- ∠ D =180 ° -100 ° =80 ° 答:梯形的另外两个角分别为65 ° ,80 ° . 梯形的另外两个角分别为
复习回顾
新课学习
巩固练习
课堂小结
填空:
如图: ∠1= ∠ 2(已知) 已知) 如图: ∴AD// BC 内错角相等, ( 内错角相等,两直线平行 ) B ∴∠ BCD+ ∠ D=180° D=180° 两直线平行, ( 两直线平行,同旁内角互补 ) A 1 2 C D
复习回顾
新课学习
巩固练习
课堂小结
复习回顾新课学习
两直线平行
巩固练习
课堂小结
问题
如果两条直线平行,那么这两条平行线如果两条直线平行,那么这两条平行线第三条直线所截而成的同位角有什么数量关系? 数量关系?
演示…… 演示……
平行线的性质1(公理) 两条平行线平行线被第三条直线所截, 平行线同位角相等. 简单说成:两直线平行,同位角相等. 两直线平行, 两直线平行同位角相等.
C
复习回顾

平行线的性质(1)-

1 2
a
b
c
例如图是一块梯形铁片的残余部分，量得 ∠A= 115°，∠D=100°，梯形另外两个角各是多少度？
解：∵ AD//BC （已知）
巩固练习
∴∠A +∠B =180° ∠D +∠C =180 °
A
D
(两直线平行，同旁内角互补)
B ∴ ∠B=180 °-115 ° = 65 ° ∠C=180 °-100 ° = 80 ° 答：梯形的另外两个角分别为65 ° 、80 ° ∵ ∠A=
F
H
G
A
B
C
本节小结
同位角相等内错角相等同旁内角互补
判定
性质
两直线平行
再见
；不锈钢踢脚线
bgk627vfc
“很高兴为您服务！”不管是去往那样的一种卖场，总会有人满面含笑的走上前来对来者的你说上这样的一句话，这原本也是一句为了让人感到惬意的话，在没有进入销售保健品行业之前，梁可馨如是想！梁可馨进入保健品销售工作的时间并不久，到后来她屡屡感到自己是被骗到那样一处地方工作的，工作的性质和内容跟招她进来的经理说的完全不一样，跟招聘广告上所说的内容更是差了十万八千里，招聘广告上说的明明是负责货物整理之类的事情至于“保健品销售”这几个字样更是提都不曾提过，招聘经理说的是只要她在店面待着就行了。一开始的时候梁可馨以为自己不过是做一些正常的销售工作，别人想买，她就卖给他人，然而，事实上却是她要负责陪一帮老头子老太太唠嗑，为地点随时随地安排的活动做好一切准备，跟她所认知的销售完全不是一个概念！

115°，∠D=100°
C
练习1
如图，甲、乙两个工程队分别从两条平行的公路的A、B 两点开工，铺设一条自来水管，甲在A处测得水管方向为北偏东41° ，那么乙在B处沿怎样的方向施工期，才能使自来水管准确铺设成功？

平行线与垂直线的性质

平行线与垂直线的性质平行线和垂直线是几何学中重要的概念，它们具有不同的性质和特点。

本文将探讨平行线和垂直线的定义、性质以及它们在几何学中的应用。

一、平行线的性质1. 定义：平行线指在同一个平面内永不相交的两条直线。

2. 平行线的判定：a. 同位角相等判定：当两条直线被一条横截线所交，同位角相等时，这两条直线是平行线。

b. 内错角相等判定：当两条直线被一条横截线所交，在同侧的两个内角相等时，这两条直线是平行线。

c. 外错角相等判定：当两条直线被一条横截线所交，在同侧的两个外角相等时，这两条直线是平行线。

d. 平行线定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么这两条平行线的斜率相等。

3. 平行线的性质：a. 平行线之间的距离是恒定的，任意两条平行线之间的距离相等。

b. 平行线具有传递性：若直线a平行于直线b，直线b平行于直线c，则直线a平行于直线c。

二、垂直线的性质1. 定义：垂直线指与另一条直线相交时，相交角度为90度的直线。

2. 垂直线的判定：a. 垂直线定理：如果两条直线的斜率的乘积为-1，那么这两条直线是垂直线。

b. 互补垂直线定理：如果一条直线与两条互相垂直的直线相交，那么这两条互相垂直的直线也互相垂直。

3. 垂直线的性质：a. 垂直线之间的交点形成的四个角互为垂直角，垂直角的度数为90度。

b. 垂直线与平行线之间的夹角为90度。

三、平行线和垂直线的应用1. 平行线和垂直线在平面几何中的运用：a. 平行线和垂直线的性质可以用于证明几何问题，如证明线段垂直、平行四边形等。

b. 平行线和垂直线可应用于建筑工程、道路规划等领域，确保建筑物和道路的平直度。

2. 平行线和垂直线在数学中的应用：a. 平行线和垂直线是解决几何题目中常用的工具，对于证明和推导几何定理具有重要作用。

b. 平行线和垂直线的概念也在解析几何中被广泛应用，用于求解方程组和直线的交点等问题。

总结：平行线和垂直线在几何学中具有不可替代的地位。

平行线的性质与应用

平行线的性质与应用平行线是几何学中非常重要的概念之一。

它们在日常生活以及科学研究中都有着广泛的应用。

本文将介绍平行线的性质以及其在解决实际问题中的应用。

一、平行线的定义与性质平行线是指在同一个平面内不相交的直线。

根据平行线的定义，我们可以得出以下几个关键性质：1. 任意直线与平行线之间的夹角是相等的。

这意味着如果有一条直线与平行线相交，它与另一条平行线之间的夹角也是相等的。

2. 平行线具有传递性。

也就是说，如果线段A与线段B平行，线段B与线段C平行，那么线段A与线段C也平行。

3. 平行线与相交线之间的对应角是相等的。

当一条直线穿过两条平行线时，所形成的对应角是相等的。

以上是平行线的一些基本性质，它们为我们解决实际问题提供了重要的几何基础。

二、平行线的应用1. 地理测量：在地理测量领域，平行线的应用非常广泛。

当我们需要测量地球上的距离时，我们可以利用平行线的性质。

比如，我们可以利用地球经线间的角度差异来计算两个地点之间的距离。

2. 建筑设计：在建筑设计中，平行线被广泛应用于房屋的布局和设计中。

在平面图设计中，我们可以利用平行线的性质来确定墙壁、门窗、家具等物体的位置和方向，以保证整体结构的稳定和美观。

3. 交通运输规划：平行线的应用在交通规划中也非常重要。

例如，道路和铁路在设计时需要遵循平行线的原则，以确保行车和交通流畅。

此外，交通信号灯、行车道等也需要根据平行线的性质进行布置，以提高交通效率和安全性。

4. 电视和计算机显示屏：在电视和计算机显示屏的设计中，我们需要平行线来确保图像的水平和垂直对齐。

如果图像不按平行线排列，观看体验将受到影响。

5. 数学几何题：在数学几何题中，平行线的性质经常被用来解决问题。

例如，通过利用平行线和角的性质，我们可以计算未知角度的大小，从而求解出题目要求的答案。

以上仅是平行线在生活和科学研究中的一些应用，实际上平行线的应用还远不止于此。

通过深入了解平行线的性质，我们可以更好地将其应用于解决实际问题中。

平行线知识点

引言概述:平行线是几何学中的重要概念，它具有广泛的应用。

在我们的日常生活中，许多事物都涉及到平行线，例如建筑设计、道路规划、电路布线等。

了解平行线的性质和应用，对于我们理解空间关系，解决实际问题具有重要意义。

本文将详细阐述平行线的知识点，分为引言概述、正文内容、总结三个部分。

正文内容:一、平行线的定义和性质1.1定义：平行线是在同一个平面上，不相交且永不相交延长的直线。

a)平行线与同一平面内的任意一条直线的交角为对顶角。

b)平行线与同一平面内的交角相等的两条直线平行。

c)平行线的两条边与同一平面内的一条直线分别相交，那么对应的内角互补。

d)平行线的两条边与同一平面内的一条直线分别相交，那么对应的外角相等。

二、平行线的证明方法2.1直角三角形的证明法：通过证明直角三角形的对边平行，可以得出直角三角形两条边上的点是平行线。

2.2使用平行线的性质：利用平行线的性质证明两条线段平行，可以通过证明其交角相等或者对应的内角互补来推断。

2.3使用反证法：通过假设两条线段不平行，然后推导出矛盾的结论，从而证明两条线段是平行线。

三、平行线的应用3.1建筑设计中的应用：在建筑设计中，平行线的概念常常用于确定建筑物的构造和设计。

例如，在绘图过程中使用平行线来绘制建筑平面图、立面图等。

3.2道路规划中的应用：在道路规划中，平行线的概念可用于确定道路的宽度和布局。

通过保持道路平行，可以提供良好的交通流畅性和安全性。

3.3电路布线中的应用：在电路布线中，平行线可以用于控制信号的传输和减小电磁干扰。

通过将平行线的路径保持一致，可以有效地减少电路中的环流和干扰。

四、平行线的相关定理4.1外角定理：如果两条平行线被一条横切线所切，那么这条横切线所对应的外角与这两条平行线的内角是互补的。

4.2内角定理：如果两条平行线被一条横切线所切，那么这条横切线所对应的内角与这两条平行线的对应内角相等。

4.3夹角定理：如果两条平行线被一条横切线所切，那么这条横切线的两边与这两条平行线之间的夹角互补。

5.2.3.1平行线的性质(1)

猜一猜: 如果a//b,∠1和∠2相等吗？
a b
2
1
c
心动
不如行动
c
a b
如果两直线不平行，上述结论还成立吗？
性质发现
平行线的性质1
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
a
b c
2
1
条件：①平行线 ②被第三条直线所截结论：同位角相等.
两直线平行，同位角相等. 简写为：推理书写: ∵a∥b（已知） ∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等)
（１）求证DE∥BC; （２） ∠C的度数.
A
解：(1)∵∠ADE=60 °,
D
E C
（已知） B ∠B=60 ° ∴∠ADE=∠B （等量代换）
∴DE∥BC (同位角相等，两直线平行)
练习2
已知∠ADE=60 °,∠B=60 °,∠AED=40°.
（１）求证DE∥BC; （２） ∠C的度数.
D E C A
解: ∵ ∠1= 54° (已知)
∴ ∠2=∠1 =54°(对顶角相等)
∵ a∥b (已知)
3 2 4
a 54 ° 1 b
∴ ∠4=∠1=54°(两直线平行,同位角相等)，
∠2+∠3=180°(两直线平行,同旁内角互补) ∴ ∠3= 180°－ ∠2= 180° － 54°=126°
练习2
已知∠ADE=60 °,∠B=60 °,∠AED=40°.
A D
解：∵梯形上下底AD∥BC, ∴∠A+∠B=180°，∠D+∠C=180° ∵∠A=115°，∠D=100° ∴∠B=180°-115°=65°， ∠C=180°-100°=80° 梯形的另外两个角分别是65°和80°. B B

[平行线的特征]平行线的性质1评课记录

[平行线的特征]平行线的性质1评课记录评课记录：平行线的性质1教学过程：1.引入（10分钟）教师引导学生回忆并复习与平行线相关的知识，包括相交线、垂直线等。

通过示意图和实例，引导学生了解平行线的概念，并在黑板上写下定义：“在同一个平面内，不相交的两条直线称为平行线。

”2.探究（20分钟）教师将学生分成小组，每组提供一张纸、直尺和一支铅笔。

学生根据定义，利用直尺和铅笔在纸上画出两条互不相交的线段，并观察两条线段的特征。

教师鼓励学生互相交流和讨论，引导他们总结出平行线的性质1：“平行线上的任意一对点到另一条平行线的距离相等。

”3.总结（5分钟）教师引导学生回顾并概括性质1的内容，写在黑板上：“平行线上的任意一对点到另一条平行线的距离相等。

”然后，教师给出一个实际生活中的例子，如铁路上的平行轨道，利用性质1来解释为什么轨道之间的距离是一样的。

4.拓展（25分钟）教师出示一些几何题目，让学生运用性质1来解决问题。

例如：“已知线段AB平行于线段CD，如果AC的长度是8cm，BD的长度是12cm，求AB的长度。

”学生通过观察图形、分析问题和应用性质1，给出答案。

学生可以互相核对答案，教师则逐一对答案进行点评和解释。

5.总结（10分钟）教师引导学生回顾所学内容，包括平行线的定义和性质1、同时，教师提醒学生要在实际问题中灵活运用所学知识，强调数学的实际应用性。

6.巩固（10分钟）教师提供一些练习题，让学生在课堂上完成。

例如：“已知四边形ABCD，AB平行于CD，AC与BD相交于点E，如果AE的长度是8cm，BE的长度是12cm，求CD的长度。

”学生可以在纸上画图，使用性质1来解答问题。

教师给予学生必要的指导和帮助。

评价：本节课通过引入、探究、总结、拓展和巩固等环节，循序渐进地引导学生理解和掌握平行线的性质1、以下几点有助于学生学习和提高：首先，通过引导学生观察和实践，让他们亲身经历和感受平行线的特征。

学生在小组合作中，提出自己的看法和理解，增强了合作学习和沟通能力。

平行线的性质定理和判定定理

∴ ∠2=∠3(等量代换).
1 3
2
c
合作交流
两直线平行，同旁内角互补。
如图,已知a//b,
那么2与4有
什么关系呢？ a
1
为什么?
4
b
2
c
基本事实：同位角相等，两直线平行
例2
如图：已知2=3
a
求证： a//b
b
证明：
∵ ∠2=∠3 (已知)
又∵ ∠1=∠3(对顶角相等)
∴∠1=∠2(等量代换)
基本事实
a
1
平行线的性质1
b
2
两条平行线被第三条直线所截，
同位角相等.
c
简写为：两直线平行，同位角相等.
符号语言: ∵a∥b,
∴∠1=∠2.
例1
两直线平行，内错角相等。
如图：已知a//b,那么2与3相等吗？为什么?
证明∵a∥b(已知),
∴∠1=∠2(两直线平行,
a
同位角相等). b

又∵ ∠1=∠3(对顶角相等),
∴ a∥b(同位角相等，两直线平行).
1 3
2
c
合作交流
同旁内角互补，两直线平行。
如图,已知
a
2+4=180 那么a//b吗？为什么?
b
1 4 2
c
性质：两直线平行，同位角相等. 判定：同位角相等，两直线平行.
两个命题的条件和结论正好相反
互逆命题
原命题逆命题

平行线的性质(1)-

北
北
•B
41°
A•
如图，F在直线DF上，B在直线AC上，若∠ AGB= ∠ EHF, ∠ C= ∠ D 则∠ A= ∠ F，为什么？
D
E
F
H
G
A
BC
本节小结
同位角相等内错角相等同旁内角互补
判定性质
两直线平行
再见
即：两直线平行，同位角相等
性质2 两条平行线被第三条直线所截,内错角相等
即：两直线平行，内错角相等
性质3 两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补
即：两直线平行，同旁内角互补
; 宠物DR 宠物DR ；
过程给了它缤纷；生命本没有芳香，过程给了它花香；生命本是一朵白色的纸花，过程给了它活力。法布尔的《昆虫记》告诉我们：生命的意义在于去发现、去挖掘、去体现。生命是美丽的，生命的美丽，永远是展现在她的进取之中，就像大树的美丽，是展现在它负势向上高耸入云的蓬勃生机中；像雄鹰的美丽，是展现在它搏风击雨如苍天之魂的翱翔中；像江河的美丽，是展现在它波涛汹涌一泻千里的奔流中……法布尔的《昆虫记》也告诉我们我们的生命不是天地间的过客,也不是时光的影子,我们的生命是自然的花朵,是岁月的果实,我们是宇宙间充满激情、梦想、力量和智慧的创造者,我们正以自己的奋斗展现着人类生命的美丽。法布尔的《昆虫记》还告诉我们生命是伟大的，生命给予我们一切，生命让世界变得更美丽。有了生命才有了生活，有了生活才有了生命，生命让生活充满活力，我们要珍惜生命、赞叹生命、感谢生命。纵观历史，我们可以发现，历史上那些伟人、那些为人们所怀念和称颂的人、那些被认为实现了生命意义的人，都是对社会发展做出了极大贡献的人；而历史上那些坏人之所以是坏人，就是因为他们被认为是对社会发展起到破坏作用的人。揭开中国历史的篇章，有多少人的生命

平行线和垂直线的性质

平行线和垂直线的性质平行线和垂直线是几何学中常见的线段关系。

它们具有一些特殊的性质和定理。

本文将详细介绍这些性质，包括平行线之间的性质、平行线与垂直线之间的性质，以及垂直线之间的性质。

一、平行线之间的性质1. 平行线定义：在平面上，如果两条直线不存在交点，且在同一个平面内，那么称这两条直线为平行线。

用符号“||”表示。

2. 平行线的性质之一：平行线具有传递性。

如果直线a平行于直线b，直线b平行于直线c，那么直线a也平行于直线c。

换句话说，如果a || b，b || c，则有a || c。

3. 平行线的性质之二：平行线具有对应角相等。

对应角是指两条平行线被一条穿过它们的直线所切割而形成的角。

如果直线a与直线b平行，直线c与直线d平行，且直线c与直线d分别与平行线a、b相交，那么对应角α和对应角β相等。

4. 平行线的性质之三：平行线具有内错角相等。

内错角是指两条平行线被一条穿过它们的直线所切割而形成的两对内角。

如果直线a与直线b平行，直线c与直线d平行，且直线c与直线d分别与平行线a、b相交，那么内错角α和内错角β相等。

二、平行线与垂直线之间的性质1. 垂直线定义：在平面上，如果两条直线相交，且形成的四个角中，有两个角互为垂直角，那么称这两条直线为垂直线。

2. 平行线与垂直线性质之一：平行线与一条直线的交线上的对应角互为等角。

如果直线a与直线b平行，直线c与直线a相交，那么对应角α和直线c所与直线b的交线上的角度β相等。

3. 平行线与垂直线性质之二：平行线与一条直线的交线上的内错角互为等角。

如果直线a与直线b平行，直线c与直线a相交，那么内错角α和直线c所与直线b的交线上的角度β相等。

三、垂直线之间的性质1. 垂直线的性质之一：垂直线具有传递性。

如果直线a垂直于直线b，直线b垂直于直线c，那么直线a也垂直于直线c。

换句话说，如果a ⊥ b，b ⊥ c，则有a ⊥ c。

2. 垂直线的性质之二：垂直线与平行线的关系。

平行线与垂直线的性质及推导

平行线与垂直线的性质及推导平行线与垂直线是几何学中常见的线段关系，它们在解决实际问题和证明几何定理中起着重要的作用。

本文将介绍平行线与垂直线的性质，并通过推导来进一步理解它们之间的关系。

一、平行线的性质平行线是指在同一个平面内，永远不会相交的两条直线。

平行线的性质主要包括以下几点：1. 平行线定理：如果有一条直线与两条平行线相交，则这两条平行线之间的对应角相等。

这个定理也可以理解为平行线产生的错角相等。

2. 平行线的判定：在平面上，如果两条直线的所有对应角均相等，则这两条直线是平行线。

这个判定可以通过测量角度来进行验证。

3. 平行线的性质1：两条平行线与第三条直线相交时，对应角相等。

这个性质是平行线定理的反向推论，也可以用来证明两条直线平行的方法之一。

4. 平行线的性质2：在同一平面内，如果一条直线与两个平行线相交，则这两个平行线上的对应角相等。

这个性质可以解决一些与平行线相关的问题。

通过以上的性质，我们可以更加深入地理解平行线的特点，并在实际问题中应用它们。

二、垂直线的性质垂直线是指两条直线在相交处所成的四个相邻角中，相邻两角的和为90度（或称为直角）。

垂直线的性质如下：1. 垂直线定理：如果两条直线互相垂直，则它们的斜率的乘积为-1。

这个定理可以用来判定两条直线是否垂直。

2. 垂直线的判定：在平面上，如果两条直线的斜率的乘积为-1，则这两条直线互相垂直。

这个判定可以通过计算斜率来验证。

3. 垂直线的性质1：垂直线与平行线相交时，所产生的对应角为直角。

这个性质可以用来判定两条直线是否垂直。

4. 垂直线的性质2：如果一条直线与两条互相垂直的直线相交，则这两条垂直直线上的对应角相等。

这个性质也可以用来证明两条直线垂直的方法之一。

垂直线的性质可以帮助我们解决很多与垂直线相关的问题，对于平面几何的研究和应用都非常重要。

三、平行线与垂直线的推导在实际问题中，我们常常需要根据已知条件来推导出平行线或垂直线的关系。

平行线的性质1

平行线的性质及推导方法

平行线的性质1

平行线的特征

平行线的性质知识点

平行线和垂直线的性质与判断

7年级数学 平行线判定及性质 (1)

初中数学平行线的性质知识点归纳摘抄

5.3.1平行线的性质(1)--

平行线的性质(1)-

平行线与垂直线的性质

平行线的性质与应用

平行线知识点

5.2.3.1平行线的性质(1)

[平行线的特征]平行线的性质1评课记录

平行线的性质定理和判定定理

平行线的性质(1)-

平行线和垂直线的性质

平行线与垂直线的性质及推导

7年级数学平行线判定及性质 (1)