抛物线顶点坐标的求法(公式法)培训讲学
抛物线顶点坐标的求法配方法
求抛物线顶点坐标第一种方法（配方法）一、基础知识梳理1、二次函数的表达式的一般形式是，当0b=，且0c=时，表达式化为，这是形式最简单的二次函数表达式；2、通过列表、、可知任何二次函数的图像都是线，抛物线一定有最高点（或最低点），这个点就是抛物线的，抛物线是对称图形；3、任何函数图像，在最高点的“一瞬间”，函数取得最值，而这个值就是这个“最高点”的坐标中的（选填：横坐标，或纵坐标），而函数取得这个“最值”所对应的自变量的值，就是这个“最高点”的坐标中的（选填：横坐标，或纵坐标）。
4、任何函数图像，在最低点的“一瞬间”，函数取得最值，而这个值就是这个“最低点”的坐标中的 （选填：横坐标，或纵坐标），而函数取得这个“最值”所对应的自变量的值，就是这个“最低点”的坐标中的 （选填：横坐标，或纵坐标）。
5、二次函数2ax y =的图像形状是 ，它的顶点坐标是 ，它的对称轴恰好是 轴，即直线 。
6、关于二次函数的“最值问题”，需由顶点坐标，再结合开口方向，来回答。
对于二次函数2ax y =的图像，其顶点坐标为 。
①、当a ＞0时，抛物线开口向 ，图像有最 点，∴ 函数y 有最 值，又∵ 其顶点坐标为 ，∴ 当自变量=x 时，因变量 （选填：m ax y 或min y ）= ；②、当a ＜0时，抛物线开口向 ，图像有最 点，∴ 函数y 有最 值，又∵ 其顶点坐标为 ，∴ 当自变量=x 时，因变量 （选填：m ax y 或min y ）= ；7、关于二次函数的“增减性问题”，需分为对称轴的左右两侧，再结合开口方向，依据数形结合来回答。
对于二次函数2ax y =的图像，其对称轴为直线 。
①、当a ＞0时，抛物线开口向 ，在对称轴的左侧，即当自变量x 时，因变量y 的值随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即当自变量x 时，因变量y 的值随x 的增大而 ；②、当a ＜0时，抛物线开口向 ，在对称轴的左侧，即当自变量x 时，因变量y 的值随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即当自变量x 时，因变量y 的值随x 的增大而 ；二、平移问题第一类：“点”的平移1、把A 点()32，先向上平移5个单位，再向左平移4个单位后，所得点B 坐标为 ；2、把C 点()13－，－先向下平移5个单位，再向右平移4个单位后，所得点D 坐标为 ；3、点E ()56－，－是由点F ()42，－先向 （选填：左或右）平移 个单位，再向 （选填：上或下）平移 个单位之后得到的；4、点G ()12－，是由点H ()43－，－先向 （选填：上或下）平移 个单位，再向 （选填：左或右）平移 个单位之后得到的；小结：对于“点”的平移，不讲口诀，自然思考即可！第二类：“解析式”的平移1、直线x 3y =向上平移6个单位后，所得新直线的表达式为 ；2、直线x 3y =向下平移3个单位后，所得新直线的表达式为 ；3、直线x 3y =向左平移2个单位后，所得新直线的表达式为 ；4、直线x 3y =向右平移1个单位后，所得新直线的表达式为 ；5、抛物线2x 2y =向上平移6个单位后，所得新抛线的表达式为 ；6、抛物线2x 2y =向下平移3个单位后，所得新抛线的表达式为 ；7、抛物线2x 2y =向左平移2个单位后，所得新抛线的表达式为 ；8、抛物线2x 2y =向右平移1个单位后，所得新抛线的表达式为 ；小结：对于“解析式”的平移，善用口诀，上 、下 ；左 、右 ；三、对“抛物线平移过程，必然伴随顶点平移”的研究1、“旧”抛物线2x 3y －=，先向下平移2个单位，再向右平移4个单位后，所得“新”抛物线的表达式为 ；①、旧抛物线在平移的过程中，它的顶点也会作相应的平移吗答： ；②、旧抛物线的顶点P 的坐标为 ，当点P 先向下平移2个单位，再向右平移4个单位后，得到点Q 的坐标为 ，你觉得点Q 是新抛物线的顶点吗答： ；③、请观察新抛物线的表达式 ，与其顶点Q 的坐标 ，它们是有内在联系的！即：顶点的纵坐标，就是“配方形式”的表达式中“尾巴后面”的 ，而顶点的横坐标，则由“配方形式”的表达式中“括号里”的 0=，求出x 的值，即为顶点的 坐标。
顶点坐标求法教案
顶点坐标的求法
教学难点
1、配方中二次项系数的处理2、求顶点坐标的公式的推导
教学环节
教学内容
师生活动
设计意图
一、旧知检测
写出下列抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、最值
1、y=5x22、y= -3x2-5 3、y= - (x+2)2
4、y=2(x-1)2+2 5、y= (x+3)2-3
学生在学案上笔答，教师巡视了解学生的掌握情况
（1）在转化的过程中，哪个地方是你不知道如何处理的？
（2）你觉得在转化的过程中，哪个地方是易错的？
（3）你在转化的过程中，你认为最关键的是哪一步？完成这一步的前提条件是什么？
学生谈想法、
学生在学案上解答，教师巡视，引导
渗透转化的数学思想
突破难点
四、巩固训练
请求出以下二次函数的顶点坐标
1、y=2x2-4x+6 2、y= - x2-2x+2 3、y= x2+2x
检测学生的知识掌握的情况，获得反馈信息
二、创设情境引入新课
1、结合图像挖掘隐含条件
2、二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，则a＝_______
3、课堂测试调查的问题解决
学生探究、口答
对学生进行解题方法的指导
三、问题探究
1、做课堂测试问题中对的同学的想法
2、将引例中的二次函数化成y=a(x-h)2+k的形式
练习巩固公式的同时，教给学生检查的方法，培养检查意识。
七、拓展探究，解决引例
1、二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，则a＝_______
2、（09年北京）将x2-2x-3化成(x-m)2+k形式，则m+k=?
抛物线顶点坐标的求法
抛物线顶点坐标的求法抛物线是一种常见的曲线形状，由二次方程表示。
它具有独特的顶点，可以通过公式法求出。
在本文中，我们将详细介绍如何使用公式法来找到抛物线的顶点坐标。
抛物线的一般方程形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a，b，c是常数。
要找到抛物线的顶点坐标，我们需要使用公式：x=-b/2a来计算x坐标值，然后将x值带入方程得到y值。
以下是具体的求解步骤：步骤1：将抛物线的方程写成一般的二次方程形式：y = ax^2 + bx+ c。
步骤2：通过观察方程，我们可以看出a的值决定了抛物线的开口方向。
如果a大于0，则抛物线开口向上，如果a小于0，则抛物线开口向下。
确保a的值不为0，否则方程将不再是二次方程。
步骤3：计算b/2a的值，这将是顶点的x坐标。
x=-b/2a是由方程的一阶导数为零推导出的。
一阶导数为0时，曲线的斜率为零，这意味着曲线在顶点处水平。
步骤4：将x值代入方程，计算出对应的y值。
这将是顶点的y坐标。
步骤5：找到的x和y坐标值就是抛物线的顶点坐标。
以下是一个示例，帮助我们更好地理解如何使用公式法求解抛物线顶点坐标：假设我们有一个抛物线方程为y=2x^2-4x+3步骤1：将方程写成一般的二次方程形式；y=2x^2-4x+3步骤2：观察方程，发现a的值为2，因此抛物线开口向上。
步骤3：计算x=-b/2a=-(-4)/(2*2)=1、所以顶点的x坐标为1步骤4：将x=1代入方程计算y的值；y=2(1)^2-4(1)+3=1、所以顶点的y坐标为1步骤5：找到的顶点坐标为(1,1)。
通过这个示例，我们可以看到使用公式法能够简单而快速地找到抛物线的顶点坐标。
需要注意的是，如果抛物线的方程与一般形式不同，需要做一些适应性调整。
但是，这个方法适用于大多数常见的抛物线方程。
总结：通过公式法，我们可以轻松地找到抛物线的顶点坐标。
我们只需要将抛物线方程写成一般的二次方程形式，然后计算顶点的x和y坐标。
40.求抛物线的顶点、对称轴的方法
练习
画出二次函数
f (x) x2 4x 3 的图象，
y
并叙述按照下列提示叙述其性质
⑴配方： f (x) (x 2)2 7
⑵定义域： R
⑶值域： ,7
⑷最值：x 2时，y最大值 7
⑸对称轴：直线x 2
7
3 x
授课教师：游彦
打开你的记忆
一次函数 反比例函数 次函数
一次函数 :Y=KX+b (K≠0) 特别的,当b=0时,是正比例函数。 反比例函数：Y=K／X (K≠0)
那么二次函数的解析式是怎样的呢？ 2
二次函数解析式
1、一般式：y=ax2+bx+c (a≠0) 二次三项式
y
2、交点式：y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0）
2. 抛物线y=2(x+3)2 -1的顶点在( B)
A. 第二象限
B. 第三象限
C. x轴上
D. y轴上
c 3. 抛物线y=2(x+3)2 的顶点在( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. x轴上
D. y轴上 12
4. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是( C )
A .(1，-4)
B.(-1，2)
y
· （h,k）
即当X=h时,y=a(x-h)2+k (a≠0)有最大值K
即顶点坐标（h,k）
o
x
对称轴：x=h
顶点坐标:（h,k）
定 一般形式 义 顶点式
a 的取值
图 抛物线 象
y = a(x - h)2 + k(a ≠0,其中h = -
《公式法求顶点坐标》学生用
（ 4）
1 2 y x 4x 3 2
4 0.5 3 (4) y小 5 4 0.5
2
解: a = 0.5 > 0抛物线开口向上
4 x对 4 2 0 .5
顶点坐标：（4 , - 5）
对称轴： x 对 4
当 x 4时， y最小值＝ -5
4 3 0 2 1 y小 43 3
《公式法求顶点坐标》步骤:
1、从二次函数一般式中找出a b c的值； 2、把a b c的值代入顶点坐标公式；
1 1 顶点坐标为 , 3 3
1 1 当x 时，y最小值＝3 3
1 对称轴x 3
x对
b 2a
对称轴x 1
当x 1时，y最大值＝ 1
（ 3）
y 2 x 8x 8
2
2
解: a = －2 < 0抛物线开口向下
4 （ 2） （ 8） 8 8 x对 2 y大 0 2 (2) 4 （ 2）
顶点坐标为 2, 0
对称轴x 2
4ac b y大（小） 4a
2
3、按题的要求写出结果。 注意：a>0有小值；a<0有大值。
（ 2）
y x 2x
2
解: a = －1 < 0抛物线开口向下
2 x对 1 2 (1)
4 （ 1 ） 0 （ 2） y大 1 4 （ 1 ）
2
顶点坐标为 1,1
注意：一般式化成顶点式的步骤。 二次函数的一般式：y＝ax2 +bx+c化成顶点式：y=a(x-h)2 +k
三、用配方法:求二次函数y＝－2x2－4x＋1 的对称轴、顶点坐标、大（小）值．
顶点坐标公式法
顶点坐标公式法在数学中，解决二次函数的顶点坐标是一项基础性的任务。
通过顶点坐标，我们可以了解二次函数的凸起或凹陷特性，进而应用到各种实际问题当中。
一、什么是顶点坐标公式法？顶点坐标公式法是一种求解二次函数顶点的方法，通过变换标准二次函数的一般式为顶点坐标形式，即\(y=a(x-h)^2+k\)，其中\((h, k)\)为顶点坐标。
通过这种方法，我们可以直接得到二次函数的顶点坐标，无需通过其他方式进行复杂的推导。
二、如何应用顶点坐标公式法？步骤一：确定二次函数的标准形式首先，我们需要确认所给二次函数的标准形式为\(y=ax^2+bx+c\)，其中\(a\)、\(b\)、\(c\)为常数。
步骤二：求顶点坐标1.首先，利用平方差公式将二次函数转化为顶点坐标形式，即\(y=a(x-h)2+k\)。
这一步骤中，我们需要通过\(x2\)系数\(a\)的正负来决定二次函数的开口方向。
2.接着，根据顶点坐标形式，我们可以直接读出顶点的横坐标\(h\)，即\(h=-\frac{b}{2a}\)；纵坐标\(k\)，即\(k=c-\frac{b^2}{4a}\)。
3.最后，将求得的顶点坐标\((h, k)\)代入顶点坐标形式中，即可得到二次函数的顶点坐标形式。
步骤三：根据顶点坐标绘制图像通过得到的顶点坐标，我们可以直接绘制出二次函数的图像。
顶点坐标决定了图像的开口方向和顶点位置，帮助我们更直观地理解二次函数的性质。
三、案例分析假设给定二次函数\(y=2x^2-8x+6\)，我们来应用顶点坐标公式法求解顶点坐标。
步骤一：确定标准形式根据所给二次函数，\(a=2\)，\(b=-8\)，\(c=6\)，即已处于标准形式。
步骤二：求顶点坐标1.根据公式，计算顶点横坐标：\(h=-\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{2*2}=2\)；2.计算顶点纵坐标：\(k=6-\frac{(-8)^2}{4*2}=6-16=-10\)；3.因此，顶点坐标为\((2, -10)\)。
抛物线的顶点坐标怎么求
抛物线的顶点坐标怎么求一、定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）我们称y为x的二次函数。
a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。
|a|决定开口大小，|a|越大开口就越小，|a|越小开口就越大。
二、二次函数的三种表达式一般式：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)²+k[抛物线的顶点坐标P（h，k）]交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂)[仅限于与x轴有交点A（x₁，0）和B（x₂，0）的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：h=-b/2ak=(4ac-b²)/4ax₁,x₂=(-b±√b²-4ac)/2a三、抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）。
2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b²)/4a)。
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b²-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）。
6.抛物线与x轴交点个数：Δ=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。
X的取值是虚数（x=-b±√b²－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）四、二次函数（抛物线）y=ax²，y=a(x-h)²，y=a(x-h)²+k，y=ax²+bx+c(各式中，a≠0)他们的图象形状相同，只是位置不同。
顶点坐标公式法怎么求
顶点坐标公式法怎么求
在数学中，当给定一个二次函数的标准形式方程时，常常需要求出该二次函数
的顶点坐标。
顶点坐标是二次函数的最高点或最低点，是函数图象的转折点，在解决实际问题中具有重要意义。
1. 二次函数的一般形式
二次函数一般形式的方程表示如下：
f(x)=ax2+bx+c
其中a、b、c分别是二次项系数、一次项系数和常数项。
2. 顶点坐标的求法
首先，二次函数f(x)的顶点坐标为(ℎ,k)，我们可以通过以下步骤求得：
1.通过配方法或求根公式将二次函数的一般形式方程化为顶点形式方程。
2.顶点坐标(ℎ,k)中的横坐标ℎ可以通过以下公式求得：
$$ h = -\\frac{b}{2a} $$
3.将上一步求得的ℎ带入二次函数，可以得到纵坐标k：
k=f(ℎ)
3. 顶点坐标的举例
假设有二次函数f(x)=2x2−8x+6，现在我们求解它的顶点坐标。
根据顶点坐标的公式，我们首先求得ℎ：
$$ h = -\\frac{-8}{2*2} = 2 $$
然后，通过ℎ求得顶点横坐标，k：
k=f(2)=2∗22−8∗2+6=2
因此，该二次函数的顶点坐标为(2,2)。
结语
通过顶点坐标公式法，我们可以轻松求得二次函数的顶点坐标，帮助我们更好
地理解二次函数的几何性质。
在数学学习和实际问题求解中，这一方法具有重要的应用价值。
第2课时《公式法求顶点坐标》
1 1
3 2
1 配方：加上 一次项系数一半平方 2) 减去一次项系数一半平方；
整理：中括号里前部分写成完全 平方，后部分是一个常数；
y＝－2〖(x+1)2y＝－2(x+1)2+ 3
〗
化成：去掉中括号化成了二的函数的顶点式。
x对 1
y大 3
顶点坐标（-1，3）
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c图象和性质
知识回顾：
一、抛物线（顶点式）y=a(x-h)2+k图象的性质:
抛物线（顶点式） 系数 开口 a﹥0 向上 a﹤0 向下 对称轴 X对=h X对=h 顶点坐标
y=a(x-h)2+k
（h，k）
（h，k）
二、填空（顶点式：y=a(x-h)2+k）:
二次函数 y=2(x+3)2+5 y = -3x(x-1)2 -2 y = 4(x-3)2 +7 y = -5(x-2)2 - 6 开口方向 向上 向下 向上 向下 对称轴 直线x=-3 直线x=1 直线x=3 直线x=2 顶点坐标 ( -3, 5 ) ( 1 , -2 )( 3 , 7) ( 2 , -6
2
2
求：二次函数y=ax² +bx+c的对称轴和顶点坐标？
配方:
提取：各项提取二次项系数；
2
2 b b b c a x x a 2 a 2 a a 2 b 4ac b 2 整理：中括号里前部分写 a x 2 成完全平方，后部 2 a 4 a 这个结果通常 分是一个常数；
4 （ 2） （ 8） 8 8 x对 2 y大 0 2 (2) 4 （ 2）
抛物线顶点坐标的求法（配方法）
抛物线顶点坐标的求法（配方法）求抛物线顶点坐标第一种方法（配方法）一、基础知识梳理1、二次函数的表达式的一般形式是，当0b=，且0c =时，表达式化为，这是形式最简单的二次函数表达式；2、通过列表、、可知任何二次函数的图像都是线，抛物线一定有最高点（或最低点），这个点就是抛物线的，抛物线是对称图形；3、任何函数图像，在最高点的“一瞬间”，函数取得最值，而这个值就是这个“最高点”的坐标中的（选填：横坐标，或纵坐标），而函数取得这个“最值”所对应的自变量的值，就是这个“最高点”的坐标中的（选填：横坐标，或纵坐标）。
4、任何函数图像，在最低点的“一瞬间”，函数取得最值，而这个值就是这个“最低点”的坐标中的（选填：横坐标，或纵坐标），而函数取得这个“最值”所对应的自变量的值，就是这个“最低点”的坐标中的（选填：横坐标，或纵坐标）。
5、二次函数2ax y =的图像形状是，它的顶点坐标是，它的对称轴恰好是轴，即直线。
6、关于二次函数的“最值问题”，需由顶点坐标，再结合开口方向，来回答。
对于二次函数2ax y =的图像，其顶点坐标为。
①、当a ＞0时，抛物线开口向，图像有最点，∴ 函数y 有最值，又∵ 其顶点坐标为，∴ 当自变量=x 时，因变量（选填：max y 或min y ）= ；②、当a ＜0时，抛物线开口向，图像有最点，∴ 函数y 有最值，又∵ 其顶点坐标为，∴ 当自变量=x 时，因变量（选填：max y 或min y ）= ；7、关于二次函数的“增减性问题”，需分为对称轴的左右两侧，再结合开口方向，依据数形结合来回答。
对于二次函数2ax y =的图像，其对称轴为直线。
①、当a ＞0时，抛物线开口向，在对称轴的左侧，即当自变量x 时，因变量y 的值随x 的增大而；在对称轴的右侧，即当自变量x 时，因变量y 的值随x 的增大而；②、当a ＜0时，抛物线开口向，在对称轴的左侧，即当自变量x 时，因变量y 的值随x 的增大而；在对称轴的右侧，即当自变量x 时，因变量y 的值随x 的增大而；二、平移问题第一类：“点”的平移1、把A 点()32，先向上平移5个单位，再向左平移4个单位后，所得点B 坐标为；2、把C 点()13－，－先向下平移5个单位，再向右平移4个单位后，所得点D 坐标为；3、点E ()56－，－是由点F ()42，－先向（选填：左或右）平移个单位，再向（选填：上或下）平移个单位之后得到的；4、点G ()12－，是由点H ()43－，－先向（选填：上或下）平移个单位，再向（选填：左或右）平移个单位之后得到的；小结：对于“点”的平移，不讲口诀，自然思考即可！第二类：“解析式”的平移1、直线x 3y=向上平移6个单位后，所得新直线的表达式为； 2、直线x 3y=向下平移3个单位后，所得新直线的表达式为； 3、直线x 3y =向左平移2个单位后，所得新直线的表达式为；4、直线x 3y =向右平移1个单位后，所得新直线的表达式为；5、抛物线2x 2y=向上平移6个单位后，所得新抛线的表达式为；6、抛物线2x 2y =向下平移3个单位后，所得新抛线的表达式为；7、抛物线2x 2y=向左平移2个单位后，所得新抛线的表达式为；8、抛物线2x 2y =向右平移1个单位后，所得新抛线的表达式为；小结：对于“解析式”的平移，善用口诀，上、下；左、右；三、对“抛物线平移过程，必然伴随顶点平移”的研究1、“旧”抛物线2x 3y －=，先向下平移2个单位，再向右平移4个单位后，所得“新”抛物线的表达式为；①、旧抛物线在平移的过程中，它的顶点也会作相应的平移吗？答：；②、旧抛物线的顶点P 的坐标为，当点P 先向下平移2个单位，再向右平移4个单位后，得到点Q 的坐标为，你觉得点Q 是新抛物线的顶点吗？答：；③、请观察新抛物线的表达式，与其顶点Q 的坐标，它们是有内在联系的！即：顶点的纵坐标，就是“配方形式”的表达式中“尾巴后面”的，而顶点的横坐标，则由“配方形式”的表达式中“括号里”的0=，求出x 的值，即为顶点的坐标。
二次函数抛物线顶点坐标公式
二次函数抛物线顶点坐标公式
二次函数抛物线顶点坐标公式是非常有用的一个数学工具，它可以
帮助我们快速算出抛物线顶点坐标，从而更好地分析函数的特性，并
且可以判断抛物线的局势。
那么，二次函数抛物线顶点坐标公式是什
么呢？
一、什么是二次函数抛物线顶点坐标？
二次函数抛物线顶点坐标是指以一个二次函数为基础求出抛物线顶点
坐标的公式。
其中，一个二次函数的处可以用ax²+bx+c的形式来表示。
二、二次函数抛物线顶点坐标公式
二次函数抛物线顶点坐标公式是求解抛物线顶点坐标的公式，一个抛
物线顶点坐标可以用（x，y）的形式来表示，以一个二次函数
ax²+bx+c为例，该抛物线的顶点坐标的公式如下：
（1）二次函数抛物线顶点的横坐标： x=-b/2a
（2）二次函数抛物线顶点的纵坐标：y=f(-b/2a)=-（b²-4ac）/4a
三、理解公式的意义
首先，通过二次函数抛物线顶点坐标公式，我们可以看出，抛物线的
顶点坐标可以通过二次函数的参数a，b，c来算出，其中，a是指抛物线开口的大小，b和c则可以改变抛物线的位置以及形状，整个公式给出了抛物线顶点的横坐标和纵坐标，从而可以帮助我们更好地求解抛物线的局势。
四、实例演示
假设给定一个二次函数y=2x²-4x-3，通过二次函数抛物线顶点坐标公式可以计算出该抛物线的顶点坐标为：（2，-7）。
五、结论
通过以上介绍，我们发现二次函数抛物线顶点坐标公式是一个非常有用的公式，它可以帮助我们快速求出抛物线顶点坐标，从而更好地分析函数的特性，并且可以判断抛物线的局势。
一元二次方程抛物线的顶点坐标公式
一元二次方程抛物线的顶点坐标公式
一元二次方程抛物线的顶点坐标公式指的是在标准形式下的一
元二次方程，其顶点坐标可以通过以下公式计算：
顶点坐标为 (h, k) ，其中 h = - b / (2a) ， k = f(h) = a(h^2) + b(h) + c
其中，a、b、c 分别代表标准形式下的一元二次方程的系数，即：ax^2 + bx + c = 0。
此公式的原理是通过将一元二次方程转化为顶点式，即 x = h 时，y 取得最小值 k，然后求出 h 和 k 的值。
这个过程可以通过配方法、求根公式或完全平方式实现。
对于一元二次方程的抛物线，其顶点是其最高/最低点，因此顶
点坐标的计算对于确定其形状、方向和交点等都非常重要。
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初二年级数学公式：抛物线顶点坐标公式
【导语】奥林匹克数学竞赛或数学奥林匹克竞赛，简称奥数。
奥数体现了数学与奥林匹克体育运动精神的共通性：更快、更⾼、更强。
国际数学奥林匹克作为⼀项国际性赛事，由国际数学教育专家命题，出题范围超出了所有国家的义务教育⽔平，难度⼤⼤超过⼤学⼊学考试。
奥数对青少年的脑⼒锻炼有着⼀定的作⽤，可以通过奥数对思维和逻辑进⾏锻炼，对学⽣起到的并不仅仅是数学⽅⾯的作⽤，通常⽐普通数学要深奥⼀些。
下⾯是为⼤家带来的初⼆年级数学公式：抛物线顶点坐标公式，欢迎⼤家阅读。
抛物线顶点坐标公式y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标公式是(-b/2a，(4ac-b2)/4a)y=ax2+bx的顶点坐标是(-b/2a，-b2/4a)相关结论过抛物线y^2=2px(p>0)焦点F作倾斜⾓为θ的直线L,L与抛物线相交于A(x1,y1)，B(x2,y2),有① x1*x2 = p^2/4 , y1*y2 = —P^2,要在直线过焦点时才能成⽴;②焦点弦长：|AB| = x1+x2+P = 2P/[(sinθ)^2];③ (1/|FA|)+(1/|FB|)= 2/P;④若OA垂直OB则AB过定点M(2P，0);⑤焦半径：|FP|=x+p/2 (抛物线上⼀点P到焦点F距离等于到准线L距离);⑥弦长公式：AB=√(1+k^2)*│x2-x1│;⑦△=b^2-4ac;⑧由抛物线焦点到其切线的垂线距离，是焦点到切点的距离，与到顶点距离的⽐例中项;⑨标准形式的抛物线在x0，y0点的切线就是：yy0=p(x+x0)。
⑴△=b^2-4ac>0有两个实数根;⑵△=b^2-4ac=0有两个⼀样的实数根;⑶△=b^2-4ac<0没实数根。
求抛物线顶点坐标的三种方法
求抛物线顶点坐标的三种方法
1、直线法
设抛物线方程为 y=ax2+bx+c，则过该抛物线顶点的切线方程为 y=2ax，设经过顶点的切线与x轴交点为A1(X1,0)，则有：
2ax=0，即X1 = 0
X1 = 0 就是抛物线顶点坐标，即X=0，在原抛物线方程中代入X=0，解出y值，即得到抛物线顶点坐标，即为(0,c)。
2、求根法
设抛物线方程为 y=ax2+bx+c，则有
化简：
x2+2b/2a*x+c/a = 0
把上式化为一元二次方程，可以求出该方程的根 x1、x2，则顶点的坐标为 (x1+x2, y)，其中 y=ax12+bx1+c。
3、图象法
图象法是本文讨论的第三种求抛物线顶点坐标的方法。
用图象法求解，首先要将抛物线绘图出来，然后观察图象，即可找出抛物线顶点的坐标。
本文用实验结果讨论抛物线顶点坐标的求法：我们先给定抛物线方程y=x2+4，绘出了抛物线图像，可以看出，抛物线的顶点坐标是(0,4)，即X=0,Y=4。
抛物线顶点式方程公式
抛物线顶点式方程公式
抛物线是一种常见的二次函数图像，它的形状像一个弧形，可以用数学公式来描述。
其中，抛物线顶点式方程公式是一种常用的表示方法，它可以简化计算过程，方便我们进行抛物线的分析和应用。
抛物线顶点式方程公式的形式为：y = a(x - h)²+ k，其中a、h、k 分别代表抛物线的参数，x、y分别代表抛物线上的点的坐标。
其中，a表示抛物线的开口方向和大小，h、k表示抛物线的顶点坐标。
在抛物线顶点式方程公式中，a的正负决定了抛物线的开口方向，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
a的绝对值越大，抛物线的开口越大，曲线越陡峭。
h、k分别代表抛物线的顶点坐标，其中h表示抛物线在x轴上的对称轴位置，k表示抛物线在y轴上的截距。
当h>0时，抛物线向左平移；当h<0时，抛物线向右平移。
当k>0时，抛物线向上平移；当k<0时，抛物线向下平移。
抛物线顶点式方程公式的应用非常广泛，例如在物理学中，可以用它来描述物体的运动轨迹；在工程学中，可以用它来设计建筑物的结构和机械的运动轨迹；在数学学科中，可以用它来研究函数的性质和解决实际问题。
抛物线顶点式方程公式是一种非常重要的数学工具，它可以帮助我们更好地理解和应用抛物线的相关知识。
在学习和应用抛物线的过程中，我们应该深入理解抛物线顶点式方程公式的含义和应用，以便更好地掌握抛物线的相关知识。
初中数学抛物线上点的坐标
初中数学抛物线上点的坐标
抛物线是初中数学中的重要概念之一，它是一种二次函数的图像。
在抛物线上，我们可以通过特定的方法求出一个点的坐标。
首先，我们需要知道抛物线的标准式方程 y = ax + bx + c，其中 a、b、c 是常数。
要求出抛物线上的点的坐标，我们需要知道该点的横坐标 x，然后代入抛物线的方程求出纵坐标 y。
而横坐标 x 的值可以通过多种
方式确定，比如已知该点在直角坐标系中的位置，或者已知该点与抛物线的交点等。
举个例子，假设我们已知抛物线的方程为 y = 2x + 3x + 1，要求出该抛物线上横坐标为 2 的点的坐标。
我们将 x = 2 代入方程得到：
y = 2(2) + 3(2) + 1
y = 9
因此，该点的坐标为 (2, 9)。
需要注意的是，抛物线上的点的坐标有可能是小数或者负数，这时我们需要运用小数或者负数的运算法则进行计算。
掌握了求解抛物线上点的坐标的方法，同学们可以通过练习提高自己的运算能力和抽象思维能力，为今后的学习打下坚实的数学基础。
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抛物线顶点坐标的求法（公式法）
1、二次函数表达式的“一般形式”为 ； 李丹与王涓（2019届bobo ）
2、二次函数表达式的“配方形式”为 ；
一、怎样由“公式法”来求抛物线的顶点坐标
1、先把“一般形式”的二次函数
c
bx ax y 2++=（
a ≠）转化成“配方形式”
为 ，再依据由“配方式”看顶点坐标的方法，可知其顶点坐标
为 ，我们把这个“坐标结论”称为二次函数的“顶点坐标公式”； ①、求二次函数35x 2x y
2+=－的顶点坐标以及最值？
解：由顶点坐标公式得：==2a
b
x －
顶横
； ==4a
b 4a
c y 2－顶纵
；
∴ 顶点坐标为 ；
又∵ 抛物线开口向 ，有最 点，∴ y 有最 值； 即：当=x 时， = ；
②、求二次函数3112x 2x y
2－－+=的顶点坐标，并对函数的增减性作出描述？
解：由顶点坐标公式得：==2a
b
x －
顶横 ； 把=顶横
x 代入函数表达式得：=顶纵y
= ； ∴ 顶点坐标为 ；
又∵ 抛物线开口向 ，所以，
在对称轴的左侧，即当自变量x 时，y 的值随x 的增大而 ； 在对称轴的右侧，即当自变量x 时，y 的值随x 的增大而 ；
③、求二次函数3112x 2x y
2－－+=的顶点坐标、并在当4＜5x ≤时，求函数y 的最值？
解：由顶点坐标公式得：==2a
b
x －
顶横 ； ∴ 可设抛物线的表达式为：(
)()k x
y
2+=，易求=k ；
∴ 原表达式化为配方式为 ，则顶点坐标为 ； 又=顶横
x ，不在“4＜5x ≤”的范围内，∴ 函数y 的最值“不在”顶点处取，
由图形可知，当=x 时，=min y ；
变式：如果把“4＜5x ≤”改为“5x 4≤≤”
，问y 有最大值吗？答： ； 点评：第①题是严格运用“顶点坐标”公式，分别求顶横x 和顶纵y （不妨命名为：全求分别法）； 第②题是先求顶横x ，然后代入函数表达式，再求出顶纵y （不妨命名为：半求代入法）； 第③题是先求顶横x ，然后“拼凑”出配方式，再求出k y =顶纵
（不妨命名为：半求拼凑法）；
以上“三种”方法，请根据实际情况灵活选择，以便于计算作为“选择依据”！！！
二、怎样由“交点式”来求抛物线的顶点坐标
1、基本事实依据：什么叫抛物线的对称轴？
答：第一种说法，经过抛物线的顶点，且垂直于 轴的直线，叫做抛物线的对称轴； 第二种说法，抛物线上任意一对“对称点”连线的 线，叫做抛物线的对称轴； 2、二次函数的表达式的“交点形式”为()()21x x x x a y
－－=（0a ≠）.
其中，“a 值”与“一般形式”c bx ax y 2++=（0a ≠）中“a 值”的相等，而“1x 、2x ”
分别代表抛物线c bx ax y 2++=（0a ≠）与x 轴的交点横坐标，即是说“1x 、2x ”是一元二次方
程0c bx ax
2
=++（0a ≠）的二根，所以抛物线的“交点形式”，也可称“二根形式”。
3、重要思路⇒：如果抛物线c bx ax y
2++=（0a ≠）与x 轴有两个交点，分别为A （1x ，0）、
B （2x ，0），那么线段AB 的“垂直平分线”必为抛物线的 ，这条对称轴的表达式为：
直线顶横也x 2
x x x 2
1=+=
（关于这一结论，可以通过举例，来加以理解！）。
知道了顶横x ，就可以根据表达式()()21x x x x a y
－－=，利用“半求代入法”，求出“顶纵y ”，
岂不快哉！如此一来，也能“又快、有准”地写出“配方形式”()k h x a y
2
++=，岂不美哉！
①、求二次函数()()6x 1x 3y +=－的顶点坐标以及最值，并把解析式化为配方式.
解： 联立 得：()()06x 1x 3
=+－，解得：=1x ，=2x ；
∴ 抛物线的对称轴为：直线=x = ；
把=顶横
x 代入()()6x 1x 3y +=－，得=顶纵y = ；
∴ 顶点坐标为 ，∴当=x
时， = ；
则抛物线的配方形式为 ；
()()⎩⎨
⎧=+=0
y x 6x 1x 3y 轴：－
抛物线：
②、求抛物线16x 9x y 2－－+=的顶点坐标，并在x 1≤－＜4的范围内，求函数y 的最值？
③、某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x (元)满足关系：2x 140m －=，
(1)、写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件的销售价x 间的函数关系式；
(2)、如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？
4、提出问题⇒：如果抛物线c bx ax y 2++=（0a ≠）与x 轴“没有交点”，那么怎样由“交点式”
来求抛物线的顶点坐标呢？
思路：假设抛物线与平行于x 轴的“某条直线”： 如m y =有两个交点，
则联立 得：m c bx ax
2
=++，即：0m c bx ax 2=++－，设此方程的二根为1x 、2x ，
由韦达定理可知：a
b
a b x x 21
－原始原始－
==+，
而点A （1x ，m ）、点B （2x ，m ）必然是抛物线上的一对“对称点”， ⎩⎨
⎧=++=m
y x c bx ax y 2轴：抛物线：
∴ 对称轴为：直线顶横也－x 2a
b
2x x x 21==+=
然后把2a
b
x －
顶横
=代入抛物线表达式c bx ax y
2
++=可得：4a
b 4a
c y 2－顶纵
=
∴ 抛物线的顶点坐标为 ；
启示：无论抛物线与x 轴是否有公共点，其顶点横标，即对称轴直线“永远”为：2a
b
x －
顶横=，
再借“三法之一”就可求出顶点的纵坐标！！！
三、应用练习
1、函数7x 3x y 2+=－－化为配方式为 ，可知顶点坐标为 ，
当=x
时，y 有最 值为 ；
2、抛物线()()5x 3x y
+=－－先向右平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得新抛物线的表达式
为 ，新抛物线的顶点坐标为 ； 3、已知点A （6－，1y ）、B （5－，2y ）、C （1－，3y ）
在抛物线()k ++=2
4x a y 上，且直线ax
y =经过第二、四象限，试比较1y 、2y 、3y 的大小关系 （用“＜”来连接）； 4、抛物线()()3x 6x 3y
－－=的顶点坐标为 ，当自变量x 的取值范围满足：
x 2≤＜5时，函数y 的取值范围满足： ；
5、已知抛物线c bx ax y
2++=的对称轴是直线2x －=，函数y 的取值范围是9y －≥，则抛物线
的开口向 ，若抛物线与y 轴的交点坐标是（
，
3）
，则抛物线的表达式为 ，它与x 轴的两个交点的坐标为 ； 6、已知抛物线c bx ax y
2++=与x x 2y 2+=的开口方向相反，开口大小程度一样，且它与直线
3y =的两个交点的横坐标分别为15和－－，则抛物线的表达式为 ，
它与x 轴的两个交点的距离为 ；
7、如图，△ABC 中，∠B=90°，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 开始,沿AB 边向点B 以每秒1cm 的速度移动，点Q 从点B 开始，沿着BC 边向点C 以每秒2cm 的速度移动，如果P 、Q 同时出发，问经过几秒钟△PBQ 的面积最大？最大面积是多少？
B
Q
C
A。