11高数第十一章

z f (x, y)
A(x0 )
y 2(x)
x
b
x0 a
得
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy. y 1(x)
D
a
1( x)
如果积分区域为： c y d , 1( y) x 2( y).
［Y－型］
d
x 1( y) D x 2( y)
c
d
x 1( y)
性质４ 若 为D的面积， 1 d d .
D
D
性质５ 若在D上 f ( x, y) g( x, y),
则有 f ( x, y)d g( x, y)d .
D
D
特殊地 f ( x, y)d f ( x, y)d .
D
D
性质６ 设M 、m 分别是 f ( x, y)在闭区域 D 上的
最大值和最小值， 为 D 的面积，则
00
10
解 积分区域如图
原式
1
2 y
dy
0
1
1 y2
f ( x, y)dx.
y2 x y 2x x2
例3 计算 xy2dxdy D y x, y x2
D
解一
x2 y x
பைடு நூலகம்D：
性质１ kf ( x, y)d k f ( x, y)d .
D
D
性质２
[ f ( x, y) g( x, y)]d
D
f ( x, y)d g( x, y)d .
D
D
性质３ f ( x, y)d f ( x, y)d f ( x, y)d .
对D 区域具有可加D1性
D2
( D D1 D2 )
.
D
D1
D2
D3
注ⅰ）二重积分化累次积分的步骤
①画域，②选序，③定限
D3 D1
D2
ⅱ）累次积分中积分的上限不小于 下限
ⅲ）二重积分化累次积分定限是关键，积分限 要根据积分区域的形状来确定，这首先要画好 区域的草图，——画好围成D的几条边界线，
若是X—型， 就先 y 后 x 若是Y—型，就先 x 后 y ，
紧靠D的边界的小区域的面积 y
i ti j L
D
j
其中L为D的围长
o
x
f ( j , j ) j M j ML 0,( 0)
j
则面积元素为
j
d dxdy
故二重积分可写为
f ( x, y)d f ( x, y)dxdy
D
D
二、二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质）
也 表 示 它 的 面 积 ， 在 每 个 i 上 任 取 一 点
(i ,i )，
作乘积 f (i ,i ) i ，
(i 1,2,, n)，
n
并作和 f (i ,i ) i ，
i 1
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零
时，这和式的极限存在，则称此极限为函数
f ( x, y)在闭区域 D 上的二重积分，
注意内层积分限是外层积分变量的函数，外层 积分限是常数。
例 1
改变积分
1
dx
1x f ( x, y)dy 的次序.
00
解 积分区域如图
y 1 x
原式
1 1 y
dy f ( x, y)dx .
00
例 2 改变积分
1
dx
2 x x2
f ( x, y)dy
2
dx
2x f ( x, y)dy的次序.
m f ( x, y)d M （二重积分估值不等式）
D
性质７ 设函数 f ( x, y)在闭区域D 上连续， 为D 的面积，则在 D 上至少存在一点( , ) 使得
f ( x, y)d f (,) （二重积分中值定理）
D
第二节 二重积分的计算
一、利用直角坐标系计算二重积分
如果积分区域为： a x b, 1( x) y 2( x).
记为 f ( x, y)d ，
D
n
即
D
f
( x,
y)d
lim
0 i1
f
(i ,i ) i.
积被 积 分积 分 区函 变 域数 量
被面 积积 积 表元 分 达素 和 式
在直角坐标系下，用平行于坐标轴的直线族把 D分成一些小区域，这些小区域中除去靠D的边界 的一些不规则小区域外，绝大部分都是小矩形，
c
D
x 2( y)
f ( x, y)d
d
dy
2 ( y) f ( x, y)dx.
D
c
1( y)
X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直
线与区域边界相交不多于两个交点.
Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直
线与区域边界相交不多于两个交点.
若区域如图， 则必须分割.
在分割后的三个区域上分别 使用积分公式
将薄片分割成若干小块， y 取典型小块，将其近似
(i ,i )
看作均匀薄片， 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量
i
o
n
x
M lim 0
(i ,i ) i .
i 1
一、二重积分的概念
定义 设 f ( x, y) 是有界闭区域D 上的有界 函
数，将闭区域D 任意分成n 个小闭区域 1 ，
2 , ， n ，其中 i 表示第i 个小闭区域，
高等数学
第十一章 二重积分
第一节 二重积分的概念与性质 第二节 二重积分的计算 第三节 二重积分的应用
基本要求：了解重积分在物理上的应用； 熟悉二重积分及三重积分的概念；掌握 二重积分的性质及计算，重积分在几何 上的应用。
重点：二重积分在直角坐标系、极坐标系 下的计算方法。
难点：二重积分解决简单的几何量与物理 量；二重积分在球面坐标系下的计算方 法。
第一节 二重积分的概念与性质
问题的提出
１．曲顶柱体的体积
柱体体积=底面积×高 特点：平顶.
z f (x, y)
D
柱体体积=？ 特点：曲顶.
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和 、取极限”的方法，如下动画演示．
步骤如下：
先分割曲顶柱体的底 z
，并取典型小区域，
z f (x, y)
用若干个小平
顶柱体体积之
［X－型］
y 2(x)
D
y 1( x)
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
a
b
其中函数1( x) 、2( x) 在区间 [a,b]上连续.
f ( x, y)d 的值等于以 D 为底，以曲面 z
D
f (x, y) 为曲顶的柱体的体积．
应用计算“平行截 面面积为已知的立
z
体求体积”的方法,
y
和近似表示曲
o
顶柱体的体积，
x
D
•
n
i
曲顶柱体的体积 V lim 0
f (i ,i ) i .
i 1
y
(i ,i )
２．求平面薄片的质量
设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域
D ，在点( x, y)处的面密度为 ( x, y) ，假定 ( x, y)在D 上连续，平面薄片的质量为多少？