11高数第十一章

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高数第十一章复习

第十一章
曲线积分
习题课
高等数学
1
知识梳理一、两类曲线积分
定义对弧长的曲线积分 ∫ f ( x, y)ds
L
对坐标的曲线积分
∫ P( x, y)dx = lim ∑P(ξ ,η )∆x λ
L →0
n
= lim∑ f (ξi ,ηi )∆Si
λ→0
i =1
n
∫ Q( x, y)dy = lim ∑Q(ξ ,η )∆y λ
（7）求）
其中
是以点 A(1,0) , B(0,1) , C(-1,0) 为 y
B (0,1)
顶点的三角形的正向边界曲线. 顶点的三角形的正向边界曲线解上式积分 =
C (-1,0) o
x
A(1,0)
由格林公式，得由格林公式，
高等数学
13
例2.螺旋形弹簧一圈的方程为螺旋形弹簧一圈的方程为
二、四个等价命题
条件：在单连通区域内条件：在单连通区域G内，函数P ( x , y ) , Q ( x , y ) 具有一阶连续偏导数以下四个命题等价：以下四个命题等价：内与路径无关； 1 曲线积分 ∫ Pdx + Qdy 在G 内与路径无关；
L
2
∫
∂Q ∂P 3 在 G 内恒成立内恒成立; = ∂x ∂y 4 Pdx + Qdy = du( x , y ), 即Pdx + Qdy 为某一 u( x , y )的全微分的全微分.
此时不能用格林公式
2 xy − 3 y x 2 − 5x dx + 2 dy 解 ∫ 2 2 2 x +y L x + y 1 = 2 ∫ (2 xy − 3 y )dx + (x 2 − 5 x )dy a L 1 = 2 ∫∫ [(2 x − 5 ) − (2 x − 3 )]dxdy a x 2 + y 2 ≤a 2

《高等数学》各章知识点总结——第11章

1 第11章曲线积分与曲面积分总结一、曲线曲面积分的计算1、L 的参数方程为 x =ϕ(t ), y =ψ(t ) (α≤t ≤β), dt t t t t f ds y x f L )()()](),([),(22ψϕψϕβα'+'=⎰⎰. 2、有向曲线L : x =ϕ(t ), y =ψ(t ), 参数t 单调地由α变到β时,: ⎰⎰'+'=+βαψψϕϕψϕdt t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P L )}()](),([)()](),([{),(),( 3、设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成, 函数P (x , y )及Q (x , y )在D 上具有一阶连续偏导数, 则有 ⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂L D Qdy Pdx dxdy y Px Q)(, 其中L 是D 的取正向的边界曲线. 特别要注意曲线不封闭但Q Px y ∂∂-∂∂比较简单时补一曲线使其封闭的情况。

4、曲面∑由方程z =z (x , y )给出, ∑在xOy 面上的投影区域为D xy ,⎰⎰⎰⎰++=∑xyD y x dxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f ),(),(1)],(,,[),,(225、曲面∑由方程z =z (x , y )给出的, ∑在xOy 面上的投影区域为D xy ,⎰⎰⎰⎰±=∑xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R )],(,,[),,(,其中当∑取上侧时, 积分前取“+”; 当∑取下侧时, 积分前取“-”.6、空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成,⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=∂∂+∂∂+∂∂Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z Ry Qx P)(,其中∑取外侧。

特别要注意曲面不封闭面三重积分易计算时补一曲面的情况。

2011高数11章习题课

收o敛
发散 x
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定理2. 若
的系数满足
则
1) 当 ≠0 时, R 1 ;
2) 当＝0 时, R ;
3) 当＝∞时, R 0 .
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三、幂级数的运算
定理3. 设幂级数
及
的收敛半径分别为
R1, R2, 令 R min R1 , R2 , 则有 :
若存在N Z , 对一切 n N ,
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定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
满足 lim un l, 则有 n vn
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞
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R = 时, 幂级数在 (－∞, +∞) 收敛 ;
0 R , 幂级数在 (－R , R ) 收敛 ; 在[－R , R ]
外发散; 在 x R 可能收敛也可能发散 .
R 称为收敛半径，(－R , R ) 称为收敛区间.
(－R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域.
收敛发散
发散
定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设
为正项级数, 且 lim un1 , 则
n
(1) 当 1 时, 级数收敛 ;
un
(2) 当 1 或时, 级数发散 .
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定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别设
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则称无穷级数发散 . 当级数收敛时, 称差值为级数的余项. 显然

高数第十一章课件第一节

课件目录
课程简介
课程目标
课程内容
课程安排
课程考核
参考资料
课件简介
主题：高数第十一章课件第一节
内容：介绍高数第十一章的基本概念、定理和公式
目的：帮助学生理解高数第十一章的内容，提高学习效率
适用人群：高数第十一章的学习者
课件内容
第三章
知识点梳理
极限的四则运算法则
函数极限的定义和性质
高数第十一章课件第一节
,
汇报人：
目录
CONTENTS
01 添加目录标题 02 课件概览 03 课件内容 04 课件特色
05 课件使用建议
单击添加章节标题
第一章
课件概览
第二章
课件封面
● 课程名称：高数第十一章课件第一节
● 授课教师：XXX
● 授课时间：XXXX年XX月XX日
● 课程内容： XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXX

高数第十一章曲线积分与曲面积分 (1)

( )
10
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第十一章
曲线积分与曲面积分
例1 计算
L
yds, 其中L是抛物线y x 上点
2
O(0,0)与点B(1,1)之间的一段弧.
解

L 1
yds
0
1
y
y x2
0
x
2
2 1 ( x ) dx 2
B
x 1 4 x 2 dx
i 1 n
y
B
L M n 1
( i , i ) M i M2 M i 1 M A 1
o
x
3
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第十一章
曲线积分与曲面积分
如果当各小弧段的长度的最大值 0时, 这和的极限存在 , 则称此极限为函数 f ( x , y ) 在曲线弧 L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分, 记作 f ( x , y )ds, 即
x ( t ), L的参数方程为 ( t )其中 y ( t ), ( t ), ( t )在[ , ]上具有一阶连续导数 , 且
2 ( t ) 2 ( t ) 0，则曲线积分 f ( x , y )ds
L
存在，且

L
f ( x , y )ds
曲线积分与曲面积分
定义设L为xoy面内一条光滑曲线弧 ,函数f ( x , y )
在L上有界.用L上的点M 1 , M 2 ,, M n1把L分成n 个小段.设第i个小段的长度为 si , 又( i , i )为第 i个小段上任意取定的一点, 作乘积f ( i , i ) si , 并作和 f ( i , i ) si ,

高数下册第11章

幂级数 a n x 的和函数s( x ) 在收敛区间
n n0
( R , R )内可导 , 并可逐项求导任意次 .
7、幂级数展开式
(1) 定义
如果 f ( x ) 在点 x 0 处任意阶可导 ,则幂级数

f
(n)
( x0 )
n0
x ( , )
ln( 1 x ) x
1 2
x
2
1 3
x ( 1)
3
n1
x
n

n
x ( 1 ,1 ]
(1 x )

1 x
( 1)
2!
x
2
( 1)( n 1)
n!
x
n
x (1,1)
f
(n)
( x0 )
;
(n)
n!
(x) M ,
( 2 ) 讨论 lim R n 0 或 f
n
则级数在收敛区间内收
敛于 f ( x ).
b.间接法根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式.
(4) 常见函数展开式
e 1 x
如果级数 a n x 在 x x 0 处发散 ,则它在满足
n n0

不等式 x x0 的一切 x 处发散.
推论
如果幂级数 an x 不是仅在 x 0 一点收敛 ,也
n n0
不是在整个数轴上都收敛 ,则必有一个完全确定的正数 R 存在 ,它具有下列性质 :

高数第11章线性代数PPT课件

• 本章重点：
1. 利用行列式的性质计算n阶行列式的方法 2.利用克莱姆法则解线性方程 3.矩阵各种运算，矩阵的初等变换 4.矩阵秩的求法，用初等变换求逆矩阵的方法
5.高斯消元法解线性方程组 6. 层次分析法
• 本章难点：
1. 利用行列式的性质计算n阶行列式的方法
2.用矩阵的初等变换求矩阵的秩，逆矩阵
1111213215321213132111163631316??????????????按第一行展开1612106?????21111226121111111111112111126120211211226120261200313100212????????????1111200011111111111112102110211224261200310031????????????11111111211123001212031031???????按第一行展开211111134131124??????????按第二行展开例例2用行列式的性质计算下列行列式
3.高斯消元法解线性方程组
4.层次分析法
第一节二、三阶行列式的概念与计算方法
1.引理：
对于二元线性方程组
aa2111xx11
a12x2 a22x2
b1 b2
解得
x1
x
2
b1a 22 b2 a12 a11a22 a12a21 b2 a11 b1a 21 a11a22 a12a21
河北机电职业技术学院
线性代数课件
整体概述
概述一
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概述二
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概述三
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2
第十一章线性代数

高数第十一章曲线积分与曲面积分 (2)

A(1, 1)
4 2 y dy . 1 5
1 4
13
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第十一章
曲线积分与曲面积分
例2 计算

L
y dx, 其中L为
2
(1) 半径为 a、圆心为原点、按逆时针方向绕行的上半圆周; ( 2) 从点 A(a ,0) 沿 x 轴到点 B( a ,0) 的直线段.
n
7
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第十一章
曲线积分与曲面积分
5.性质 (1)设、为常数，则 [P1 P2 ]dx P1dx P2 dx，
L L L
L [Q1 Q2 ]dy L Q1dy L Q2dy .
( 2) 如果把 L分成 L1和 L2 , 则
( t ), ( t )在以及为端点的闭区间上具有一阶连
2 2 续导数, 且 ( t ) ( t ) 0, 则曲线积分
L P ( x, y)dx Q( x, y)dy存在,
9
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第十一章
曲线积分与曲面积分
且 P ( x , y )dx Q( x , y )dy
L L
( t ) ( t ) ,cos , 其中cos 2 2 2 2 ( t ) ( t ) ( t ) ( t )
L : A B,
L
A
M2 M1
yi M i 1xi
M i M n 1
x
分割 A M 0 , M1 ( x1 , y1 ),, M n1 ( xn1 , yn1 ), M n B.
M i 1 M i ( xi )i ( yi ) j .

高等数学第11章

t 0
3t
2dt
3 s
L[t 2 ]
3 s
1 s3
3! ， s4
LL
例8 求函数 f (t) tn 的拉氏变换。
以此类推，有
L[t
n
]
L
t 0
nt
n1dt
n s
L[t n1]
n s
(n 1)! sn
n! s n 1
三、单位脉冲函数及其拉氏变换
1．单位脉冲函数（狄拉克函数）在许多实际问题中，常常会遇到具有冲击性质的量，如在一瞬间的大作用力或超高压。这些物理现象都具有脉冲的性质研究这类问题，不能用通常的函数表示，为此我们介绍一种特殊函数。
s3
(s 2)3
(3)F (s) 2s 5 ;(4)F (s) 4s 3 .
s2
s2 4
（2）由性质2，得
f
(t
)
L1
s
1
23
e2t
L1
1 s3
e2t 2
L1
2! s3
1 t2e2t 2
例1 求下列象函数的逆变换。
(1)F (s) 1 ;(2)F (s) 1 ;
例1 求下列象函数的逆变换。
(1)F (s) 1 ;(2)F (s) 1 ;
s3
(s 2)3
(3)F (s) 2s 5 ;(4)F (s) 4s 3 .
s2
s2 4
解（1）将a=-3代入，得
f
(t
)
L1
s
1
3
e3t
例1 求下列象函数的逆变换。
(1)F (s) 1 ;(2)F (s) 1 ;
cos
t
．

高等数学第十一章知识要点

幂
级
数
概念：收敛点/ 域；发散点/ 域；和函数；余项。 a 1 n lim n 1 , R 1、对 a n x 型，利用阿贝尔定理： n a n n 0 收敛半径 2、对 a x f n ，f n 不是按1， 2，，增长时利用正项级数的比值审敛法， n 的确定 n 0 u 由 lim n 1 1求出R n u n n n 1、 a n x bn x f x g x n 0 n 0 n 2 、 a x bn x n f x g x n 和函数 n 0 n 0 x 的性质 x 3、 f x dx a n x n dx 0 0 n 0 4、f x an x n n 0

数的正交性: 1, cos x, sin x, cos 2 x, sin 2 x, , cos nx, sin nx, 1.收敛定理：函数展开为傅立叶级数的充分条件 a 0 a n cos nx bn sin nx, x C 2. f x 2 n 1 1 a f x cos nx, n 0,1,2, 周期为2的函数 n 的傅立叶级数 b 1 sin nx, n 0,1,2, n 1 c x f x 2 f x f x 傅立叶级数 3.正弦级数和余弦级数 a0 f x a n cos nx bn sin nx, x C 2 n 0 a 1 l f x cos nxdx, n 0,1,2, 周期为2l的函数 n l l 的傅立叶级数 1 l bn f x sin nxdx, n 0,1,2, l l 1 c x f x 2 f x f x nx nx i i 1 l 复数形式: f x C n e l , C n f x e l dx l 2l n

高数第十一章

习题十一1．设L 为xOy 面内直线x =a 上的一段，证明：(),d 0L P x y x =⎰其中P (x ,y )在L 上连续．证：设L 是直线x =a 上由(a ,b 1)到(a ,b 2)这一段，则 L ：12x a b t b y t=⎧≤≤⎨=⎩，始点参数为t =b 1，终点参数为t =b 2故()()()221d ,d d 0d 0d b b Lb ba P x y x P a,t t P a,t t t ⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰2．设L 为xOy 面内x 轴上从点(a ,0)到点(b ,0)的一段直线，证明：()(),d 0d b LaP x y x P x,x=⎰⎰，其中P (x ,y )在L 上连续．证：L ：0x x a x by =⎧≤≤⎨=⎩，起点参数为x =a ，终点参数为x =b ．故()(),d ,0d bL aP x y x P x x=⎰⎰3．计算下列对坐标的曲线积分：(1)()22d -⎰Lxyx ，其中L 是抛物线y =x 2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；(2)d L xy x⎰ 其中L 为圆周(x -a )2+y 2=a 2(a >0)及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)；(3)d d L y x x y+⎰，其中L 为圆周x =R cos t ，y =R sin t 上对应t 从0到π2的一段弧；(4)()()22d d Lx y x x y yx y+--+⎰，其中L 为圆周x 2+y 2=a 2(按逆时针方向绕行)；(5)2d d d x x z y y zΓ+-⎰，其中Γ为曲线x =kθ，y =a cos θ，z =a sin θ上对应θ从0到π的一段弧；(6)()322d 3d ++-⎰x x zy x y zΓ，其中Γ是从点(3,2,1)到点(0,0,0)的一段直线；(7)d d d L x y y z-+⎰ ，其中Γ为有向闭拆线ABCA ，这里A ，B ，C 依次为点（1,0,0），(0,1,0)，(0,0,1)；(8)()()222d 2d Lxxy x y xy y-+-⎰，其中L 是抛物线y =x 2上从点(-1,1)到点(1,1)的段弧．解：(1)L ：y =x 2，x 从0变到2，()()22222435001156d d 3515Lxyx x x x x x ⎡⎤-=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰(2)如图11-1所示，L =L 1+L 2．其中L 1的参数方程为图11-1cos 0πsin x a a t t y a t=+⎧≤≤⎨=⎩L 2的方程为y =0(0≤x ≤2a )故()()()()()12π200π32ππ3223d d d 1+cost sin cos d 0d sin 1cos d sin d sin dsin π2LL L a xy x xy x xy xa a t a a t t xat t ta t t t ta=+'=⋅++=-+=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)()π20π220π220d d sin sin cos cos d cos 2d 1sin 220Ly x x y R t R t R tR t tRt tR t +=-+⎡⎤⎣⎦=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰(4)圆周的参数方程为：x =a cos t ，y =a sin t ，t :0→2π．故 ()()()()()()222π202π22d d 1cos sin sin cos sin cos d 1d 2πLx y x x y yx ya t a t a t a t a t a t ta a ta+--+=+---⎡⎤⎣⎦=-=-⎰⎰⎰(5)()()()2π220π322π3320332d d d sin sin cos cos d d 131ππ3xx z y y zk k a a a a kak a k a Γθθθθθθθθθθ+-=⋅+⋅--=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=-⎰⎰⎰(6)直线Γ的参数方程是32=⎧⎪=⎨⎪=⎩x ty t z t t 从1→0．故()0322103104127334292d 87d 1874874t t t t t t t t tΓ⎡⎤=⋅+⋅⋅+-⋅⎣⎦==⋅=-⎰⎰(7)AB BC CA Γ=++(如图11-2所示)图11-21:0y xAB z =-⎧⎨=⎩，x 从0→1()01d d d 112ABx y y z dx -+=--=-⎡⎤⎣⎦⎰⎰．0:1x BC y z =⎧⎨=-⎩，z 从0→1()()()101120d d d 112d 12232B Cx y y z z dzz zz z -+=--+-⎡⎤⎣⎦=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰:1y C A z x =⎧⎨=-⎩，x 从0→1[]1d d d 1001CAx y y z dx -+=-+=⎰⎰．故()()d d d d d d 312122LAB BC C Ax y y z x y y z-+=++-+=-++=⎰⎰⎰⎰(8)()()()122421123541222d 224d 1415Lx x xxx xx x xx x xx--⎡⎤=-⋅+-⋅⋅⎣⎦=-+-=-⎰⎰4．计算()()d d L x y x y x y++-⎰，其中L 是 (1)抛物线y 2=x 上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧； (2)从点(1,1)到点(4,2)的直线段；(3)先沿直线从(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到点(4,2)的折线；(4)曲线x =2t 2+t +1,y =t 2+1上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧．解：(1)L ：2x y y y⎧=⎨=⎩，y ：1→2，故()()()()()2221232124321d d 21d 2d 111232343Lx y x y x yy y y y y y yy y yy y y ++-⎡⎤=+⋅+-⋅⎣⎦=++⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰(2)从(1,1)到(4,2)的直线段方程为x =3y -2，y ：1→2故()()()()()2121221d d 32332d 104d 5411Lx y x y x yy y y y y y yy y ++-=-+⋅+-+⎡⎤⎣⎦=-⎡⎤=-⎣⎦=⎰⎰⎰(3)设从点(1,1) 到点(1,2)的线段为L 1，从点(1,2)到(4,2)的线段为L 2，则L =L 1+L 2．且 L 1：1x y y=⎧⎨=⎩，y ：1→2；L 2：2x x y =⎧⎨=⎩，x ：1→4；故()()()()()12122211d d 101d 1d 212L x y x y x yy y y y y y y ++-=+⋅+-⎡⎤⎣⎦⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰()()()()()()24144211d d 220d 12d 22272L x y x y x yx x x x x x ++-=++-⋅⎡⎤⎣⎦⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰从而()()()()()12d d d d 1271422LL L x y x y x yx y x y x y++-=+++-=+=⎰⎰⎰(4)易得起点(1,1)对应的参数t 1=0，终点(4,2)对应的参数t 2=1，故()()()()()()12213214320d d 32412d 10592d 10592432323Lx y x y x yt t t t t t ttt t tt t t t ++-⎡⎤=++++--⋅⎣⎦=+++⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰5．设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比，若质点由(a ,0)沿椭圆移动到B (0,b )，求力所做的功．解：依题意知 F =kxi +kyj ，且L ：cos sin x a t y a t =⎧⎨=⎩，t ：0→π2 ()()()()π2022π20π22222d d cos sin sin cos d sin 2d 2cos 2222LW kx x ky yka t t kb t b t tk b at tk b at k b a=+=-+⋅⎡⎤⎣⎦-=--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦-=⎰⎰⎰(其中k 为比例系数)6．计算对坐标的曲线积分： (1)d Lxyz z⎰，Γ为x 2+y 2+z 2=1与y =z 相交的圆，方向按曲线依次经过第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ封限；(2)()()()222222d d d Lyzx zxy xyz -+-+-⎰，Γ为x 2+y 2+z 2=1在第Ⅰ封限部分的边界曲线，方向按曲线依次经过xOy 平面部分，yOz 平面部分和zOx 平面部分．解:(1)Γ：2221x y z y z ⎧++=⎨=⎩即2221x z y z ⎧+=⎨=⎩其参数方程为：cos 22x t y tz t =⎧⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ t ：0→2π故：2π02π2202π202π0d cos d 222sin cos d 4sin 2d 161cos 4d 16216xyz z t t t t tt t t t t ttΓ=⋅⋅⋅==-==⎰⎰(2)如图11-3所示．图11-3Γ=Γ1+Γ2+Γ3．Γ1：cos sin 0x ty t z =⎧⎪=⎨⎪=⎩ t ：0→π2，故()()()()()1222222π2220π3320π320d d d sin sin cos cos d sin cos d 2sin d 24233yzx zxy xyzt t t t tt t tt tΓ-+-+-⎡⎤=--⋅⎣⎦=-+=-=-⋅=-⎰⎰⎰⎰又根据轮换对称性知()()()()()()1222222222222d d d 3d d d 4334yzx zxy xyzyzx zxy xyzΓΓ-+-+-=-+-+-⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭=-⎰⎰7．应用格林公式计算下列积分：(1)()()d d 24356+-++-⎰ x yx y x y Γ，其中L 为三顶点分别为(0,0)，(3,0)和(3,2)的三角形正向边界；(2)()()222d d cos 2sin e sin 2e x xL x y x y x xy x y x x y ++--⎰，其中L 为正向星形线()2223330x ya a +=>；(3)()()3222d d 2cos 12sin 3+--+⎰L x y xy y x y x x y ，其中L 为抛物线2x =πy 2上由点(0,0)到(π2,1)的一段弧；(4)()()22d d sin Lx yxy x y --+⎰，L是圆周y =上由点(0,0)到(1,1)的一段弧；(5)()()d d esin e cos xxLx yy my y m +--⎰，其中m 为常数，L 为由点(a ,0)到(0,0)经过圆x 2+y 2=ax上半部分的路线（a 为正数）．图11-4解：(1)L 所围区域D 如图11-4所示，P =2x -y +4，Q =3x +5y -6，3Qx∂=∂，1Py∂=-∂，由格林公式得()()d d 24356d d 4d d 4d d 1432212LD DDx yx y x y Q P x y x y x yx y +-++-∂∂⎛⎫-= ⎪∂∂⎝⎭===⨯⨯⨯=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)P =x 2y cos x +2xy sin x -y 2e x，Q =x 2sin x -2y e x ，则2cos 2sin 2exPx x x x y y∂=+-∂，2cos 2sin 2e xQx x x x y x ∂=+-∂．从而PQ yx∂∂=∂∂，由格林公式得．()()222d d cos 2sin esin 2e d d 0++--∂∂⎛⎫-=⎪∂∂⎝⎭=⎰⎰⎰ xx LD x yxy x xy x y x x y Q P x y x y(3)如图11-5所示，记O A ，AB ， BO 围成的区域为D ．（其中BO =-L ）图11-5P =2xy 3-y 2cos x ，Q =1-2y sin x +3x 2y 2262cos P xy y xy∂=-∂，262cos Qxy y xx∂=-∂由格林公式有：d d d d 0L OA ABD Q PP x Q y x y x y -++∂∂⎛⎫-+== ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰故π21220012202d d d d d d d d ππd d 12sin 3243d 12π4π4++=+=+++⎛⎫=+-+⋅⋅ ⎪⎝⎭⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰LO A ABO A ABP x Q y P x Q yP x Q y P x Q yO x y y y y y y(4)L 、AB 、BO 及D 如图11-6所示．图11-6由格林公式有d d d d ++∂∂⎛⎫-+=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰L AB BOD Q P P x Q y x y x y而P =x 2-y ，Q =-(x +sin 2y )．1∂=-∂P y，1∂=-∂Qx，即，∂∂-=∂∂QP xy于是()d d d d 0+++++=+=⎰⎰⎰⎰LABBOL AB BOP x Q y P x Q y从而()()()()()()()2222221122011300d d d d sin d d d d sin sin d d 1sin 131sin 232471sin 264LL BA O BP x Q y x y xy x y x y x yx y x y xy x y y x xy x y y +=--+=-+--+-+=-++⎡⎤⎡⎤=+-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(5)L ，OA 如图11-7所示．图11-7P =e xsin y -my ，Q =e xcos y -m ，e cos xP y my∂=-∂，e cos xQyx∂=∂由格林公式得：22d d d d d d d d 1π22π8L O AD DDQ P P x Q y x y x y m x ym x y a m m a +∂∂⎛⎫-+=⎪∂∂⎝⎭==⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰于是：()()[]220202πd d d d 8πd 0esin 00e cos 08π0d 8π8+=-+=-+⋅⋅-⋅⋅-=-=⎰⎰⎰⎰LO A axxa m a P x Q y P x Q ym a xm m m a xm a8．利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积： (1)星形线x =a cos 3t ，y =a sin 3t ；(2)双纽线r 2=a 2cos2θ； (3)圆x 2+y 2=2ax ．解：(1)()()()()()2π322π2π2422222π202π22π202d sin 3cos d sin 33sin cos d sin 2sin d 43d 1cos 41cos 2163d 1cos 2cos 4cos 2cos 416312π+d cos 2cos 61623π8LA y x a t a t tt a t t t at t ta tt t a tt t t t at t t a=-=-⋅-==⋅=--=--+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)利用极坐标与直角坐标的关系x =r cos θ，y =r sin θ得cos x a θ=sin y a θ=从而x d y -y d x =a 2cos2θd θ．于是面积为：[]π24π4π24π4212d d 2cos 2d sin 22LA x y y xa aaθθθ--=⋅-===⎰⎰(3)圆x 2+y 2=2ax 的参数方程为cos 02πsin x a a y a θθθ=+⎧≤≤⎨=⎩故()()[]()2π22π021d d 21d a+acos sin 2d 1cos 2πcos sin LA x y y xa a a a a θθθθθθθ=-=-=+=⋅-⎰⎰⎰9．证明下列曲线积分与路径无关，并计算积分值：(1)()()()()1,10,0d d x y x y --⎰；(2)()()()()3,423221,2d d 663x yxy yx y xy +--⎰；(3)()()1,221,1d d xy x x y-⎰沿在右半平面的路径；(4)()()6,81,0⎰沿不通过原点的路径；证：(1)P =x -y ，Q =y -x ．显然P ，Q 在xOy 面内有连续偏导数，且1PQ yx∂∂==-∂∂，故积分与路径无关．取L 为从(0,0)到(1,1)的直线段，则L 的方程为：y =x ，x ：0→1．于是()()()()11,100,00d 0d d xx y x y ==--⎰⎰(2) P =6xy 2-y 3，Q =6x 2y -3xy 2．显然P ，Q 在xOy 面内有连续偏导数，且2123Pxy yy∂=-∂，2123Q xy yx∂=-∂，有PQy x ∂∂=∂∂，所以积分与路径无关．取L 为从(1,2)→(1,4)→(3,4)的折线，则()()()()()()[]3,423221,2432214323212d d 663d d 63966434864236x yxy yx y xy y xy y x y y x x +--=+--=+⎡⎤--⎣⎦=⎰⎰⎰(3)2y P x=，1Q x=-，P ，Q 在右半平面内有连续偏导数，且21Pyx∂=∂，21Qxx∂=∂，在右半平面内恒有PQy x ∂∂=∂∂，故在右半平面内积分与路径无关．取L 为从(1,1)到(1,2)的直线段，则()()()21,2211,1d d d 11xy x x yy -==--⎰⎰(4) P =，Q =，且PQ yx∂∂==∂∂在除原点外恒成立，故曲线积分在不含原点的区域内与路径无关，取L 为从(1,0)→(6,0)→(6,8)的折线，则()()686,811,081529x y=+⎡=+⎣=⎰⎰⎰10．验证下列P (x ,y )d x +Q (x ,y )d y 在整个xOy 面内是某一函数u (x ,y )的全微分，并求这样的一个函数u (x ,y )：(1)(x +2y )d x +(2x +y )d y ； (2)2xy d x +x 2d y ；(3)(3x 2y +8xy 2)d x +(x 3+8x 2y +12y e y)d y ； (4)(2x cos y +y 2cos x )d x +(2y sin x -x 2sin y )d y ．解：证：(1)P =x +2y ，Q =2x +y ．2P Q yx∂∂==∂∂，所以(x +2y )d x +(2x +y )d y 是某个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分．()()()()()(),0,0002222d d ,22d d 2222222x y xyyu x yx y x y x y x x yx y xy xy xyxy =+++=++⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦=++⎰⎰⎰(2)P =2xy ,Q =x 2,2PQ xyx∂∂==∂∂，故2xy d x +x 2d y 是某个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分．()()(),20,020022d d ,0d d x y xy u xy x x yx y x x yx y=+=+=⎰⎰⎰(3)P =3x 2y +8xy 2，Q =x 3+8x 2y +12y e y ，2316∂∂=+=∂∂PQx xy y x ，故(3x 2y +8xy 2)d x +(x 3+8x 2y +12y e y )d y是某个定义在整个xOy 面内函数u (x ,y )的全微分，()()()()()(),22320,03200322d ,38812e 0d d 812e412e 12e 12x y y xyyyyu x x y x y x y x x y y x yxx y y x y x y y =++++=+++=++-+⎰⎰⎰(4)P =2x cos y +y 2cos x ，Q =2y sin x -x 2sin y ，2sin 2cos Px y y xy∂=-+∂，2cos 2sin Qy x x yx∂=-∂，有PQy x ∂∂=∂∂，故(2x cos y +y 2cos x )d x +(2y sin x -x 2sin y )d y 是某一个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分，()()()()()(),220,020022d d ,2cos cos 2sin sin 2d d 2sin sin sin cos x y xy u x yx y x y y x y x x y x x yy x xy y x x y=++-=+-=+⎰⎰⎰11．证明：22d d x x y yx y ++在整个xOy 平面内除y 的负半轴及原点外的开区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出这样的一个二元函数．证：22xP x y =+，22y Q x y=+，显然G 是单连通的，P 和Q 在G 内具有一阶连续偏导数，并且．()2222∂∂-==∂∂+P Q xyyxxy，(x ,y )∈G因此22d d x x y yx y ++在开区域G 内是某个二元函数u (x ,y )的全微分．由()()22222222d d 11ln 22d x y x x y ydx y x yx y++⎡⎤==+⎢⎥++⎣⎦知()()221ln ,2u x y x y =+．12．设在半平面x >0中有力()3k F xi yj r=-+构成力场，其中k为常数，r =，证明：在此力场中场力所做的功与所取的路径无关．证：场力沿路径L 所作的功为．33d d Lk k W x x y yrr=--⎰其中3kx P r=-，3ky Q r=-，则P 、Q 在单连通区域x >0内具有一阶连续偏导数，并且53(0)P kxy Q x yrx∂∂==>∂∂因此以上积分与路径无关，即力场中场力所做的功与路径无关． 13．当Σ为xOy 面内的一个闭区域时，曲面积分()d d ,,R x yx y z ∑⎰⎰与二重积分有什么关系？解：因为Σ：z =0，在xOy 面上的投影区域就是Σ故()()d d d d ,,,,0R x y R x yx y z x y ∑∑=±⎰⎰⎰⎰当Σ取的是上侧时为正号，Σ取的是下侧时为负号． 14．计算下列对坐标的曲面积分：(1)22d d xy z x y∑⎰⎰，其中Σ是球面x 2+y 2+z 2=R 2的下半部分的下侧；(2)d d d d d d z x y x y z y z x∑++⎰⎰，其中Σ是柱面x 2+y 2=1被平面z =0及z =3所截得的在第Ⅰ封限内的部分的前侧； (3)()()()d d 2d d d d ,,,,,,f x y z f y z x f z x y x y z x y z x y z ∑+++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰，其中f (x ,y ,z )为连续函数，Σ是平面x -y +z =1在第Ⅳ封限部分的上侧；(4)d d d d d d xz x y xy y z yz z x∑++⎰⎰，其中Σ是平面x =0,y =0,z =0,x +y +z =1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧；(5)()()()d d d d d d y z z x x y y z x y z x ∑++---⎰⎰，其中Σ为曲面z =与平面z =h (h >0)所围成的立体的整个边界曲面，取外侧为正向；(6)()()22d d d d d d +++-⎰⎰y y z x z x x yy xz x z ∑，其中Σ为x =y =z =0，x =y =z =a 所围成的正方体表面，取外侧为正向；解：(1)Σ：z =Σ在xOy 面上的投影区域D xy 为：x 2+y 2≤R 2．((()()()()()()22222π4222π222222202π2200354*******d d d d d cos sin d 1sin 2d 81d d 1cos421612422π1635xyD RRRxy z x y x yx yr r rR R r r R R RR r R R R r R r ∑θθθθθθθ=-=-=-⎡⎤+--⎣⎦⎡=----⎣=-⋅-+--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()72220772π105RR r R⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=(2)Σ如图11-8所示，Σ在xOy 面的投影为一段弧，图11-8故d d 0z x y ∑=⎰⎰，Σ在yOz 面上的投影D yz ={(y ,z )|0≤y ≤1，0≤z ≤3}，此时Σ可表示为：x =(y ,z )∈D yz，故300d d d d 3yzD x y z y zz yy∑===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Σ在xOz 面上的投影为D xz ={(x ,z )|0≤x ≤1，0≤z ≤3}，此时Σ可表示为：y =(x ,z )∈D xz，故30d d d d 3xzD y z x z xz xx∑===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰因此：0d d d d d d 236π643π2z x y x y z y z xx x∑++⎡⎤=⎢⎥⎣⎦==⋅=⎰⎰⎰⎰(3)Σ如图11-9所示，平面x -y +z =1上侧的法向量为 n ={1,-1,1}，n 的方向余弦为cos α=cos β=，cos γ=，图11-9由两类曲面积分之间的联系可得：()()()()()()()()()d d 2d d d d ,,,,,,cos d (2)cos d ()d d cos cos d d (2)d d ()d d cos cos (2)()d d d d 1d d xyD f x y z f y z x fz x yx y z x y z x y z s f y s f z x yf x x y f y x y f z x yf x f y f z x y f x x yx y z x y x y x y ∑∑∑∑∑αβαβγγ+++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦=+++++=+++++=-+++⎡⎤+⎣⎦=-+=+-⎡⎤--⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d 111212xyD x y==⨯⨯=⎰⎰⎰⎰(4)如图11-10所示：图11-10Σ=Σ1+Σ2+Σ3+Σ4．其方程分别为Σ1：z =0，Σ2：x =0，Σ3：y =0，Σ4：x +y +z =1，故()()12344110d d 000d d d d 11d d 124xyD xxz x yxz x yx x yx y x x y x y ∑∑∑∑∑∑-=+++=+++=--==--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由积分变元的轮换对称性可知．1d d dzd 24xy y z yz x ∑∑==⎰⎰⎰⎰因此．d d dyd d d 113248xz x y xy z yz z x∑++=⨯=⎰⎰(5)记Σ所围成的立体为Ω，由高斯公式有：()()()()()()d d d d d d d d d 0d d d 0y z z x x yy z x y z x y z x y z x x y z x y z x y z ∑ΩΩ++---∂∂⎛⎫--∂-=++ ⎪∂∂∂⎝⎭==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(6)记Σ所围的立方体为Ω，P =y (x -z )，Q =x 2，R =y 2+xz ．由高斯公式有()()()()()2200000200204d d d d d d d d d d d d d d d d d d 2d 2a aa a a aa a y y z x z x x yy xz x z P Q R x y z x y z x y z x y x y zx y x a yx y y a x xy a a x ax a∑ΩΩ+++-∂∂∂⎛⎫++= ⎪∂∂∂⎝⎭=+=+=+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰15.设某流体的流速V =(k ,y ,0)，求单位时间内从球面x 2+y 2+z 2=4的内部流过球面的流量. 解：设球体为Ω，球面为Σ，则流量3d d d d d d d 432d d d π2π33k y z y z x P Qx y z x y x y z ∑ΩΩΦ=+∂∂⎛⎫+= ⎪∂∂⎝⎭==⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （由高斯公式）16．利用高斯公式，计算下列曲面积分：(1)222d d d d d d x y z y z x z x y∑++⎰⎰，其中Σ为平面x =0，y =0，z =0，x =a ，y =a ，z =a 所围成的立体的表面的外侧；(2)333d d d d d d x y z y z x z x y∑++⎰⎰，其中Σ为球面x 2+y 2+z 2=a 2的外侧；(3)()()2232d d d d d d 2xz y z z x x yx y z xy y z ∑++-+⎰⎰ ，其中Σ为上半球体x 2+y 2≤a 2，0z ≤≤(4)d d d d d d x y z y z x z x y∑++⎰⎰ ，其中Σ是界于z =0和z =3之间的圆柱体x 2+y 2=9的整个表面的外侧；解：(1)由高斯公式()()2224d d d d d d d 2222d 6d 6d d d 3aaaxy z y z x z x yvx y z vx y z x vx x y za∑ΩΩΩ++=++=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 对称性(2)由高斯公式：()3332222ππ45d d d d d d d 3d 3d d sin d 12π5axy z y z x z x yP QR v x y z vx y zr ra∑ΩΩθϕϕ++∂∂∂⎛⎫++=⎪∂∂∂⎝⎭=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)由高斯公式得()()()2232222π2π2220024π05d d d d d d 2d d d d sin d 2πsin d d 2π5aaxzy z z x x yx y z xy y z P QR v x y z vz x yr r rr ra∑ΩΩθϕϕϕϕ++-+∂∂∂⎛⎫++= ⎪∂∂∂⎝⎭=++=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4)由高斯公式得：2d d d d d d d 3d 3π3381πx y z y z x z x yP Q R v x y z v ∑ΩΩ++∂∂∂⎛⎫++=⎪∂∂∂⎝⎭==⋅⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰17.利用斯托克斯公式，计算下列曲线积分：(1)d d d y x z y x z Γ++⎰，其中Γ为圆周x 2+y 2+z 2=a 2，x +y +z =0，若从x 轴的正向看去，这圆周是取逆时针的方向；(2)()()()222222d d d x y z y z x y z x Γ++---⎰，其中Γ是用平面32x y z ++=截立方体：0≤x ≤1，0≤y ≤1，0≤z ≤1的表面所得的截痕，若从Ox 轴的正向看去，取逆时针方向；(3)23d d d y x xz y yz zΓ++⎰，其中Γ是圆周x 2+y 2=2z ，z =2，若从z 轴正向看去，这圆周是取逆时针方向；(4)22d 3d d +-⎰y x x y z zΓ，其中Γ是圆周x 2+y 2+z 2=9，z =0，若从z 轴正向看去，这圆周是取逆时针方向．解：(1)取Σ为平面x +y +z =0被Γ所围成部分的上侧，Σ的面积为πa 2（大圆面积），Σ的单位法向量为{}cos ,cos ,cos n αβγ==．由斯托克斯公式22d d d cos cos cos d d y x z y x zR Q Q P P Rs y z x y z x ss aaΓ∑∑∑αβγ++⎡∂∂∂∂⎤⎛⎫⎛⎫∂∂⎛⎫--=++- ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰(2)记为Σ为平面32x y z ++=被Γ所围成部分的上侧，可求得Σ的面积为4（是一个边长为2的正六边形）； Σ的单位法向量为{}111cos ,cos ,cos αβγ==n ．由斯托克斯公式()()()(()()()222222d d d1112222d22d3d232492x y zy z x yz xy z x y sz xsx y zsΓ∑∑∑++---⎡+----=--⎢⎣=-++=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)取Σ：z=2，D xy：x2+y2≤4的上侧，由斯托克斯公式得：()()()2223d d dd d0d d d d3d d35d d5π220π-+=++--+=-+=-=-⨯⨯=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xyDy x xz y yz zy z z x x yzz xx yzx yΓ∑∑(4)圆周x2+y2+z2=9，z=0实际就是xOy面上的圆x2+y2=9，z=0，取Σ：z=0，D xy：x2+y2≤9由斯托克斯公式得：()()()222d3d dd d d d d d000032d dd dπ39π+-=++---===⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xyDy x x y z zy z z x x yx yx yΓ∑∑18．把对坐标的曲线积分()()d d,,LP x Q yx y x y+⎰化成对弧长的曲线积分，其中L为：(1)在xOy面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)；(2)沿抛物线y=x2从点(0,0)到点(1,1)；(3)沿上半圆周x2+y2=2x从点(0,0)到点(1,1)．解：(1)L的方向余弦πcos cos cos42αβ===，故()()d d,,d,,LLP x Q yx y x yP x Qx y x ys++=⎰⎰(2)曲线y =x 2上点(x ,y )处的切向量T ={1,2x }．其方向余弦为cos α=cos β=故()()d d ,,d 2,,LLP x Q y x y x y P x xQ x y x y s++=⎰⎰(3)上半圆周上任一点处的切向量为⎧⎨⎩其方向余弦为cos α=cos 1x β=-故()()()()()d d ,,d ,,1LL P x Q yx y x y sQ x y x y x +⎤=+-⎦⎰⎰19．设Γ为曲线x =t ，y =t 2，z =t 3上相应于t 从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分d d d P x Q y R z Γ++⎰化成对弧长的曲线积分．解：由x =t ，y =t 2，z =t 3得d x =d t ，d y =2t d t =2x d t ，d z =3t 2dt =3y d t ，d s t =．故d cos d d cos d d cos d x s y s z sαβγ======因而d d d P x Q x R x sΓΓ++=⎰⎰20．把对坐标的曲面积分()()()d d d d d d ,,,,,,P y z Q z x R x y x y z x y z x y z ∑++⎰⎰化成对面积的曲面积分，其中：(1) Σ是平面326x y ++=在第Ⅰ封限的部分的上侧； (2) Σ是抛物面z =8-(x 2+y 2)在xOy 面上方的部分的上侧．解：(1)平面Σ：326x y ++=上侧的法向量为n ={3，2，，单位向量为n 0={35，25，5}，即方向余弦为3cos 5α=，2cos 5β=，cos 5γ=．因此：()()()()d d d d d d ,,,,,,d cos cos cos 32d 555P y z Q z x R x yx y z x y z x y z sP Q R s P Q R ∑∑∑αβγ++=++⎛⎫=++⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (2)Σ：F (x ,y ,z )=z +x 2+y 2-8=0，Σ上侧的法向量n ={ F x ，F y ，F z }={ 2x ，2y ，1}其方向余弦：cos α=，cos β=，cos γ=故()()()()d d d d d d ,,,,,,d cos cos cos P y z Q z x R x yx y z x y z x y z sP Q R s∑∑∑αβγ++=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰。

高等数学第十一章电子课件

第一节
概率论
一、随机事件
（一）随机事件的概念
引例1 如果问“苹果从树上脱落，会往地上落吗？”，答案是“会”．引例2 如果问“掷一枚骰子，能否出现7点？”，答案是“不能”．引例3 抛掷一枚质地均匀的硬币，结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上，且事先无法确定抛掷的结果是什么．引例4 在400 m短跑比赛前，运动员需通过抽签决定自己所在的跑道，且每次抽签前都无法预测自己会在哪条跑道．
（二）概率的古典定义
在某些情况下，随机试验具有以下特征．有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．具有以上两个特点的概率模型是大量存在的，这种概率模型称为古典概率模型，简称古典概型，也称等可能概型．
（二）概率的古典定义
定义 3 对于古典概型，设试验含有 n 个基本事件，若事件 A 包含 m 个基本事件，则事件 A
第十一章
概率统计基础
导学
概率论与数理统计是研究随机现象内在规律性的重要工具，其应用已遍及自然科学、社会科学、工程技术、军事科学及生活实际等各领域，因此掌握一定的概率统计知识十分必要．
本章主要介绍随机事件及其概率，随机变量及其分布，随机变量的期望与方差，数理统计的基础知识，参数估计，假设检验及回归分析．
随机试验的一切可能结果所组成的集合称为样本空间，记作．随机试验的每
一个可能结果称为样本点，样本空间就是全体样本点的集合．
（一）随机事件的概念
定义1 随机试验的每一种可能的结果称为随机事件，简称事件．它通常用大写英文字母A, B, C… 表示．
随机事件可分为基本事件和复合事件．基本事件：在随机试验中，不可再分解的事件．复合事件：在随机试验中，由若干个基本事件组合而成的事件．

高等数学第十一章

?
若 Un → 0, 则∑ Un发散； )若∑ Un 是 (2 /
n =1 n =1
∞
∞
用比值法或根值法判别为发散 ( ρ > 1), 则可断定原级数 ∑ Un发散.(∵ Un → 0) /
n =1 ∞
三、幂级数
1.收敛域求法：标准幂级数 ∑ an x 用收敛半径
n n =1 ∞
定理求其收敛半径 R , 但缺项的幂级数 ∑ an x
3.幂级数求和函数的方法同样利用几个初等函数的展开式以及逐项求导或积分来实现，常用的技巧是将所给幂级数乘上一个因子 x或提出一个因子 x或将一般项的系数an 分项处理，以便消去一般项的系数，利于求其和。
四.傅立叶级数
1.运用收敛性定理判定傅立叶级数的收敛性是难点之一。f ( x)对应的傅立叶级数。
第十一章无穷级数
收敛性判别总体思路：先去考察一般项 : U n 0, 若U n → 0，则∑ U n发散； U n → 0， → 若 /
？ n =1 ∞
则再根据 U n的特点选择合适的方法加以判别。
一.正项级数收敛性判别方法选择
1.等价无穷小代换法 : 对一般项U n或U n中的某一部分先作等价无穷小代换，所得级数与原级数有相同的敛散性。
a0 ∞ + ∑ ( a n cos nx + bn sin nx ) 2 n =1 收敛于 f ( x ), 当 x是连续点时；收敛于 f ( x 0) + f ( x + 0) ，当是 x间断点时； 2
2.熟记傅立叶系数公式 ( f ( x )是以2π为周期或定义在 [ π , π ]上)
展成
且在端点x = 0或x = π 处收敛于０

高等数学第十一章章节小结

的导函数连续且不同时为零,则

1.2利用对称性及奇偶性简化对曲线积分的计算
设平面曲线 L 关于 x 轴对称，且位于上半平面的部分曲线为 L0，则如果被积函数 f ( x, y) 关于 y 是奇函数，则 f ( x, y)ds 0 ；如果被积函数 f ( x, y) 关于 y 是偶函数，则 f ( x, y)ds 2 f ( x, y)ds ；平面曲线 L 关于 y 轴对称时有类似的结论。
3.1 格林公式
有界闭区域 D由分段光滑的曲线 L 围成，函数P( x, y)、 L 是区域 D 的 Q( x, y)在区域 D 内的一阶偏导数连续，正向边界曲线，则 Q P Pdx Qdy ( )d
L D
x
y
注：

L
xdy ydx 2 A (其中A为区域D的面积)

Γ0
2 .1 对坐标的曲线积分的定义
定义：函数 P( x, y) 在 L 上对坐标x 的曲线积分 n P( x, y)dx lim P(i ,i )xi

L
0
i 1

函数 Q( x, y) 在 L 上对坐标 y 的曲线积分

L
Q( x, y)dy lim Q(i ,i )yi
上
上
5.1 对坐标的曲面积分
定义：函数 R( x, y, z) 在有向曲面上对坐标 x, y 的曲面积分。记作：

R( x, y, z )dxdy lim R(i ,i , i )(Si ) xy
0
i 1n同理，可定义：P ( x, y, z )dydz lim P(i ,i , i )(Si ) yz

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将薄片分割成若干小块， y 取典型小块，将其近似
(i ,i )
看作均匀薄片，所有小块质量之和近似等于薄片总质量
i
o
n
x
M lim 0
(i ,i ) i .
i 1
一、二重积分的概念
定义设 f ( x, y) 是有界闭区域D 上的有界函
数，将闭区域D 任意分成n 个小闭区域 1 ，
2 , ， n ，其中 i 表示第i 个小闭区域，
记为 f ( x, y)d ，
D
n
即
D
f
( x,
y)d
lim
0 i1
f
(i ,i ) i.
积被积分积分区函变域数量
被面积积积表元分达素和式
在直角坐标系下，用平行于坐标轴的直线族把 D分成一些小区域，这些小区域中除去靠D的边界的一些不规则小区域外，绝大部分都是小矩形，
z f (x, y)
A(x0 )
y 2(x)
x
b
x0 a
得
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy. y 1(x)
D
a
1( x)
如果积分区域为： c y d , 1( y) x 2( y).
［Y－型］
d
x 1( y) D x 2( y)
c
d
x 1( y)
也表示它的面积，在每个 i 上任取一点
(i ,i )，
作乘积 f (i ,i ) i ，
(i 1,2,, n)，
n
并作和 f (i ,i ) i ，
i 1
如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零
时，这和式的极限存在，则称此极限为函数
f ( x, y)在闭区域 D 上的二重积分，
第一节二重积分的概念与性质
问题的提出
１．曲顶柱体的体积
柱体体积=底面积×高特点：平顶.
z f (x, y)
D
柱体体积=？特点：曲顶.
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．
步骤如下：
先分割曲顶柱体的底 z
，并取典型小区域，
z f (x, y)
用若干个小平
顶柱体体积之
［X－型］
y 2(x)
D
y 1( x)
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
a
b
其中函数1( x) 、2( x) 在区间 [a,b]上连续.
f ( x, y)d 的值等于以 D 为底，以曲面 z
D
f (x, y) 为曲顶的柱体的体积．
应用计算“平行截面面积为已知的立
z
体求体积”的方法,
y
注意内层积分限是外层积分变量的函数，外层积分限是常数。
例 1
改变积分
1
dx
1x f ( x, y)dy 的次序.
00
解积分区域如图
y 1 x
原式
1 1 y
dy f ( x, y)dx .
00
例 2 改变积分
1
dx
2 x x2
f ( x, y)dy
2
dx
2x f ( x, y)dy的次序.
紧靠D的边界的小区域的面积 y
i ti j L
D
j
其中L为D的围长
o
x
f ( j , j ) j M j ML 0,( 0)
j
则面积元素为
j
d dxdy
故二重积分可写为
f ( x, y)d f ( x, y)dxdy
D
D
二、二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质）
.
D
D1
D2
D3
注ⅰ）二重积分化累次积分的步骤
①画域，②选序，③定限
D3 D1
D2
ⅱ）累次积分中积分的上限不小于下限
ⅲ）二重积分化累次积分定限是关键，积分限要根据积分区域的形状来确定，这首先要画好区域的草图，——画好围成D的几条边界线，
若是X—型，就先 y 后 x 若是Y—型，就先 x 后 y ，
和近似表示曲
o
顶柱体的体积，
x
D
•
n
i
曲顶柱体的体积 V lim 0
f (i ,i ) i .
i 1
y
(i ,i )
２．求平面薄片的质量
设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域
D ，在点( x, y)处的面密度为 ( x, y) ，假定 ( x, y)在D 上连续，平面薄片的质量为多少？
00
10解积分区域如图原式12 y
dy
0
1
1 y2
f ( x, y)dx.
y2 x y 2x x2
例3 计算 xy2dxdy D y x, y x2
D
解一
x2 y x
D：
m f ( x, y)d M （二重积分估值不等式）
D
性质７设函数 f ( x, y)在闭区域D 上连续，为D 的面积，则在 D 上至少存在一点( , ) 使得
f ( x, y)d f (,) （二重积分中值定理）
D
第二节二重积分的计算
一、利用直角坐标系计算二重积分
如果积分区域为： a x b, 1( x) y 2( x).
高等数学
第十一章二重积分
第一节二重积分的概念与性质第二节二重积分的计算第三节二重积分的应用
基本要求：了解重积分在物理上的应用；熟悉二重积分及三重积分的概念；掌握二重积分的性质及计算，重积分在几何上的应用。
重点：二重积分在直角坐标系、极坐标系下的计算方法。
难点：二重积分解决简单的几何量与物理量；二重积分在球面坐标系下的计算方法。
性质１ kf ( x, y)d k f ( x, y)d .
D
D
性质２
[ f ( x, y) g( x, y)]d
D
f ( x, y)d g( x, y)d .
D
D
性质３ f ( x, y)d f ( x, y)d f ( x, y)d .
对D 区域具有可加D1性
D2
( D D1 D2 )
c
D
x 2( y)
f ( x, y)d
d
dy
2 ( y) f ( x, y)dx.
D
c
1( y)
X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直
线与区域边界相交不多于两个交点.
Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直
线与区域边界相交不多于两个交点.
若区域如图，则必须分割.
在分割后的三个区域上分别使用积分公式
性质４若为D的面积， 1 d d .
D
D
性质５若在D上 f ( x, y) g( x, y),
则有 f ( x, y)d g( x, y)d .
D
D
特殊地 f ( x, y)d f ( x, y)d .
D
D
性质６设M 、m 分别是 f ( x, y)在闭区域 D 上的
最大值和最小值，为 D 的面积，则