第一节角速度和角加速度
《理论力学》精品课件_TM.7-5以矢量表示角速度和角加速度.以矢积表示点的..
7-5 以矢量表示角速度和角加速度·以矢积表示点的速度和加速度一、角速度矢绕定轴转动刚体的角速度可以用矢量表示。
1．角速度矢的大小角速度矢ω的大小等于角速度的绝对值，即td d ϕω==ω （7-16） 2．角速度矢的指向角速度矢ω沿轴线，它的指向表示刚体转动的方向；如果从角速度矢的末端向始端看，则所观察到的刚体作逆时针向转动，如图7-10a 所示；或按照右手螺旋规则确定：右手的四指代表转动的方向，姆指代表角速度矢ω的指向，如图7-10b 所示。
(a ) (b )图7-10至于角速度矢的起点，可在轴线上任意选取，也就是说，角速度矢是滑动矢。
如取转轴为z 轴，它的正方向用单位矢k 的方向表示（图7-11）。
于是刚体绕定轴转动的角速度矢可写成k ω=ω （7-17）式中ω是角速度的代数值，它等于ϕ。
(a ) (b )图7-11二、角加速度矢同样，刚体绕定轴转动的角加速度可以用一个沿坐标轴线的滑动矢量表示：k ε=ε （7-18）式中ε是角加速度的代数值，它等于ω或ϕ 。
于是 )(d dd d k k ωωtt ==ε （7-19）即角加速度ε是角速度矢ω对时间的一阶导数。
根据上述角速度和角加速度的矢量表示法，刚体内任一点的速度可以用矢积 表示。
三、速度的矢量积表示如在轴线上任选一点O 为原点，点M 的矢径以r 表示，如图7-12所示。
图7-12那么，点M 的速度可以用角速度矢与它的矢径的矢量积来表示，即r v ⨯=ω （7-20）为了证明这一点，需证明矢积r ⨯ω确实表示点M 的大小和方向。
根据矢积的定义知，r ⨯ω仍是一个矢量，它的大小是v r r =⋅=⋅=⨯R ωωωθsin式中θ是角速度矢ω与矢径r 的夹角。
于是证明了矢积r ⨯ω的大小等于速度的大小。
矢积r ⨯ω的方向垂直于ω和r 所组成的平面（即图7-12中三角形OMO 1平面），从矢量v 的末端向始端看，则见ω按逆时针转向转过角θ与r 重合，由图容易看出，矢积r ⨯ω的方向正好与点M 的方向相同。
借助实验理解角速度和角加速度的测量
光电传感器 分辨率
影响测量精度的 关键因素之一
提高测量精 度
关键在于优化测 量系统的各个组
成部分
准确性要求
确保数据的可靠 性和准确性
编码盘分度 角
影响测量精度的 另一重要因点偏差
校准流程
严格执行校准步 骤，确保准确性
校准结果
校准后的测量数 据更加可靠
分度值校准
借助实验理解角速度和角加 速度的测量
汇报人：XX
2024年X月
目录
第1章 介绍 第2章 陀螺仪测量角速度 第3章 旋转编码器测量角加速度 第4章 角速度和角加速度的相关计算 第5章 实验中的误差分析与改进 第6章 总结与展望
● 01
第1章 介绍
角速度和角加速 度的定义
角速度是描述物体旋 转快慢的物理量，通 常用符号ω表示，单 位为弧度每秒(rad/s)。 角加速度是描述角速 度变化快慢的物理量， 通常用符号α表示， 单位为弧度每平方秒 ( r a d / s ²) 。
提供支持。
社会贡献
推动测量技术的 进步和应用，为 社会发展做出更
大贡献。
工程设计
在工程设计中， 测量技术将发挥 越来越重要的作
用。
感谢观看
角速度和角加速度的测量实验
01 实验装置搭建
建立合适的实验环境
02 测量设备使用
选择合适的测量工具
03 实验数据记录
详细记录实验结果
● 02
第二章 陀螺仪测量角速度
陀螺仪测量角速 度的原理
陀螺仪是一种利用角 动量守恒原理来测量 角速度的设备。通过 测量陀螺仪旋转的速 度和方向，我们可以 得知物体的角速度， 从而了解其运动状态。 陀螺仪的原理简单直 观，为角速度测量提 供了重要的工具。
角速度与角加速度
類1.下列各項有關圓周運動的敘述,何者正確, (,)等速率圓周運動為變角速度運動(,)物體作平移運動時,物體中每點的運動軌跡均與質心運動的軌跡相同(,)剛體繞某一定軸作等角速度轉動時,除軸外,剛體中每一點皆作等速率圓周運動(,)一質點在作固定半徑轉動時,若有角加速度,則向心加速度量值隨時間改變(,)一質點作半徑r等角速度ω運動,此質點與圓心之連線2,單位時間掃過之面積為ωr。答:(,)(,)(,)類2.繞固定軸轉動的剛體內的每一質點(,)角速率相同(,)角加速度大小相同(,)切向速率相同(,)切向速度相同(,)切向加速度相同。答:(,)(,)類3.一輪對通過中心而垂直於輪平面之軸轉動,考慮輪緣上的一點,當輪以等角速度轉動時(,)法向加速度為零(,)切向加速度為零(,)合加速度為零(,)合加速度等於法向加速度(,)此點為一等速度圓周運動。答:(,)(,)
類2.汽車引擎作等角加速度運動,若角速度於12秒內由1200 rpm增至30間內引擎轉動【】轉。答:(,) 5π;(,) 420類3.若家用馬達為60 rps,今切掉電源後20秒停止轉動,設停止前作等角加速度,則: 2(,)角加速度為【】rad/s。
2例2.一質點在半徑為0.4 m的圓周上運動,在某瞬時間的角速度為2 rad/s,其角加速度為3 rad/s
2,求此質點的合加速度之量值為【】m/s。答案:2
類1.當一質點對一固定軸以等角加速度由靜止開始轉動,當該質點的加速度方向與
3速度方向夾37?的瞬間,此質點恰好轉過的角位移為【】弧度。答: 8
例4.圖為某物體轉動的角速度與時間的圖形,則該物體於0,4秒內的平均角速度為(,) 0 (,) 2 (,) 3 (,) 4 rad/s。答:(,)
類1.一質點繞一定軸,作圓周運動,其ω,t圖如圖所示,則(,)全程為等角
刚体动力学中的角速度和角加速度
刚体动力学中的角速度和角加速度角速度和角加速度是描述刚体旋转运动的重要物理量。
在刚体动力学中，角速度表示刚体围绕旋转轴旋转的速度，而角加速度则表示刚体旋转速度的变化率。
本文将介绍角速度和角加速度的定义及计算方法，并探讨它们在刚体动力学中的应用。
一、角速度的定义和计算方法在刚体动力学中，角速度表示刚体绕某一旋转轴旋转的快慢程度。
我们可以将刚体的任意一点看作旋转轴，通过旋转轴指向的方向来定义角速度的正负。
角速度的计算公式如下：ω = Δθ / Δt其中，ω表示角速度，Δθ表示角度的改变量，Δt表示时间的改变量。
角速度的单位通常是弧度/秒(rad/s)。
二、角加速度的定义和计算方法角加速度表示角速度的变化率，即角速度的改变快慢程度。
我们可以通过角速度随时间的变化率来定义角加速度。
角加速度的计算公式如下：α = Δω / Δt其中，α表示角加速度，Δω表示角速度的改变量，Δt表示时间的改变量。
角加速度的单位通常是弧度/秒²(rad/s²)。
三、角速度和角加速度的应用角速度和角加速度在刚体动力学中具有广泛的应用，以下列举了一些常见的应用场景。
1. 轮胎的滚动问题：在车辆行驶过程中，轮胎的滚动是刚体的旋转运动。
通过计算轮胎滚动的角速度和角加速度，我们可以研究车辆的操控性能、轮胎磨损情况等。
2. 飞行器的操纵：在飞行器的操控过程中，熟练掌握角速度和角加速度对飞行器的稳定性至关重要。
通过计算飞行器的角速度和角加速度，我们可以预测和控制飞行器的姿态。
3. 自转天体的运动：恒星、行星等自转天体的运动也可以通过角速度和角加速度进行描述。
通过观测和计算恒星的角速度和角加速度，我们可以了解天体的运动规律、自转周期等重要信息。
4. 陀螺仪和陀螺仪导航系统：陀螺仪是基于刚体旋转原理工作的重要仪器，广泛应用于导航、惯性测量等领域。
通过测量陀螺仪的角速度和角加速度，可以获得可靠的导航信息。
通过对角速度和角加速度的研究，我们可以更好地理解刚体旋转运动的规律，并应用于各个领域中。
刚体的角速度与角加速度
参考基 平动参考基 连体基
e
r
e
s
e
b
y
r
y
s
y
b
x
b
qt • r刚C 体tT的平面t一 T般运动
yC
xC t yC t tT
• 连体基相对于参考基的姿态与它 O
相对于的平动参考基的姿态一致
C
rC
xC
x
s
x r
• 结论：在研究连体基相对于参考基的姿态时，可不 考虑基点的移动
B2 B1
2019年11月25日 理论力学CAI 刚体平面运动学
EXIT
6
刚体的平面运动/例
C1 e1
– 建•立[公解共] 参考基：
Oe
– 建立摇臂与连杆的连体 基
B1 ：摇臂 B2 ：连杆
C2 e2
2019年11月25日 理论力学CAI 刚体平面运动学
EXIT
7
• 四连杆机构两摇臂等长
2019年11月25日
2 (t) 0
理论力学CAI 刚体平面运动学
EXIT
8
机械刚体臂的中平面两运动臂/定各轴转做动什么运动
内臂 定轴运动 外臂 定轴运动？ 相对内臂 定轴运动
相对基座
定轴运动 平动
2019年11月25日 理论力学CAI 刚体平面运动学
EXIT
9
刚体的平面运动/平面一般运动
刚体的平面运动/平面一般运动
• 平面一般运动的分解
先转动后平动
2019年11月25日 理论力学CAI 刚体平面运动学
结论：在刚体平 面运动的定性 分析时可将刚 体的平面一般 运动分解为刚 体的平动与刚 体定轴转动
角速度和角加速度
平均角加速度 ：剛體在單位時間內的角速度。
瞬時角加速度 ：剛體在極短時間內的平均角速度 。
剛體轉動的角加速度為一定值，稱為等角加速度 運動。
移動與轉動的運動公式
移動
轉動
剛體上某點的加速度
當角速度變化時，剛體各質點的線速率也會隨 之變化，在切線方向上具有加速度，稱為 切線 加速度 。
質點作圓運動，所以具有向 心加速度，又稱為 法線加速度 。
9-1 角速度和角加速度
常見的運動 剛體 角位置與角位移 角速度 角加速度 移動與轉動的運動公式 剛體上某點的加速度
常見的運動
日常生活裡，常可見到許多物體在運動的過程 中， 除了移動外，還伴隨著轉動 。
我們 分析物體的運動可分為兩方面：一方面其 質心的移動，另一方面各部位繞著其質心轉動 。
剛體
指大小和形狀保持固定不變的物體，換言之， 剛體內部 的成員質點之間其相對位置保持不變 。
當剛體繞通過 O點的固定 軸轉動時，剛體上的 各質 點都以相同的角速度繞此 軸作圓運動 。
角位置：剛體在 xy平面
上繞 z 軸轉動時，轉軸
O 與剛體上軸外一點 A
的連線
在 t 秒時與
x 軸所夾角度 θ為O剛A體
的角位置 。
角位置與角位移
角位移 ：剛體角位置的變化量，以 Δθ表示。
角位置與角位移的 單位均為弧度 rad 。
角位置的 方向定為逆時鐘轉動取正號 ；順時鐘轉動取 負號。
平均角速度 ：剛體在單位時間 內的角位移。
角速度
瞬時角速度 ：剛體在極短時間 內的平均角速度。
角速度為一向量 ，其方向以右手定則決定之。
單位的轉換： 1r.p.s.( 轉/秒) = 2 πrad/s
03运动学圆周运动 自然坐标系角速度角加速度切向加速度法向加速度
方向在圆周的切线方向上。 5
同样可以得到加速度：
a
R
d
(sini cosj) R( cos
d
i sin
d
j)
dt
dt
dt
R 2 (cosi sinj )
令： τ为圆周的切向上的单位矢量
a a2 an2
例1、半径R=0.5米的飞轮绕中心轴转动， 其运动函数 为θ=t3+3t(SI)求t=2秒时，轮缘上一点的角速度角加速 度以及切向加速度、法向加速度。
解：ω=3t2+3 α =6t
t=2s时 ω=3×22+3=15(rad/s)
α=6×2=12(rad/s2) aτ =R α =0.5×12=6(m/s2)
5 质点运动学小结：
12、、定描义述：运速动度的物v理量d：r t加、Δ速t、度r：、Δra、v、dva 、s
dt
dt
对一维的情况：v=dx/dt a=dv/dt
3、质点运动学的两类问题：
1）已知运动方程，求速度、加速度。
解法：用求导数的方法解决。
2）已知速度（或加速度）及初始条件求运动方程。
α与ω方向相反。质点作减速圆周运动。
α等于恒量时作匀角加速度运动。
3
对匀角加速运动有： ω=ω0+ α t
0
0t
1
2
t2
0
1 2
(
0 )t
2
2 0
2 (
0)
4
2 线量与角量的关系：质点做圆周运动时也可以用速 度、加速度来描述。
角加速度表征刚体角速度变化的快慢
旋转运动中的角加速度
在旋转运动中，角加速度是描述旋转运动状态变化的重要物 理量。在匀速旋转运动中，角速度的大小和方向保持不变； 而在变速旋转运动中，角速度的大小和方向会发生变化，此 时就需要用到角加速度来描述这种变化。
角加速度的大小和方向决定了旋转运动状态变化的快慢和方 向。在圆周运动中，角加速度的方向与圆周切线方向一致， 指向圆心；在旋转抛物面运动中，角加速度的方向与旋转轴 线一致，指向旋转轴线。
角加速度在日常生活中的应用
角加速度在日常生活中的应用非常广 泛，例如汽车转向、陀螺仪、洗衣机 等。
VS
在汽车转向过程中，驾驶员施加在方 向盘上的力矩会使车轮产生角加速度， 使汽车发生转向动作。陀螺仪则利用 角动量守恒原理，通过测量和计算角 速度和角加速度来指示方向和保持平 衡。洗衣机则利用角加速度使衣物产 生离心力，从而将衣物甩干。
角加速度的方向变化与外力矩的方向有关，当外力矩作用 在刚体的转动轴上时，角加速度方向不变；当外力矩作用 在刚体的非转动轴上时，角加速度方向会发生改变。
角加速度与线加速度的关联
在刚体的平面运动中，角加速度与线 加速度存在一定的关系。
当刚体做定轴转动时，线加速度为零 ；当刚体做平面运动时，线加速度等 于角加速度乘以半径。
04
角加速度的特性
角加速度的方向性
01
角加速度的方向始终与刚体的转 动轴线一致，表示刚体角速度变 化的方向。
02
当刚体做定轴转动时，角加速度 方向与转动轴线重合；当刚体做 平面运动时，角加速度方向垂直 于运动平面。
刚体的角速度和角加速度的矢量表示角速度矢教育课件
三、弧坐标表示法： 举例： 人造地球卫星的运动轨迹——椭园（左图） 火车沿直线轨道行驶时，轮缘上点Ｍ的运动轨迹 ——摆线（右图）
z
y
x
01-5-12
24
概念
O点 —— 参考点、弧坐标原点。
v lim t 0 t
l i m v j
t 0
t
j s
lim v
t 0
s t
j
s
v lim
lim
t 0 s
t 0 t
(5 18)
v ds r dt
v2 r
c o （ s v , i）
vx v
c o （ s v , j）
vy v
( 5
8)
c o （ s v , k )
vz
v
2、运动加速度： 同理，将速度对时间求一次导数，即可求得加速度
的笛卡儿坐标表达式及其在笛卡儿坐标轴上的投影式：
加速度的笛卡儿坐标表达式
( 5 11 )
合加速度方向 合加速度的方向由其方向余弦确定
c o （ s a , i）
ax a
c o （ s a , j）
ay a
( 5
12)
c o （ s a , k )
az a
总结
笛卡儿坐标法是矢径法的代数运算。
动点的速度在笛卡儿坐标轴上的投影等于其对应坐 标对时间的一阶导数。
t0 t
d dv t d dt22 r
第一节角速度和角加速度
第一次课：2学时1 题目：§角速度和角加速度§刚体转动的动能定理2 目的： 1）掌握描述转动物体性质的主要参量。
2）转动问题求解。
一、引入课题：若物体的大小和形状不能忽略时，不能将物体简化为质点。
在许多情况下，固体在受力和运动时，其体积和形状的变化很小，在这种情况下，可以略去固体的大小和形状的变化，引入理想模型――刚体：在外力的作用下，大小和形状都不变的物体。
二、讲授新课：第三章刚体的定轴转动§角速度和角加速度一、刚体刚体是受力时形状和体积不改变的物体。
特点：刚体是特殊的质点系，其上各质点间的相对位置保持不变。
平动：刚体上任意两点的连线，在运动过程中始终保持平行的运动。
刚体的基本运动转动：刚体上所有的点都绕某一条直线作圆周运动，该直线称为刚体转轴。
例：钢铁厂中钢水包的运动即平动。
其特征是物体上各点的轨迹相互平行，运动状态（位移，速度，加速度）完全相同。
因而作平动的物体，可用其上任意一点的运动来代表整个刚体的运动，可以把其作为质点问题来处理。
转动分定轴转动(如机器上的某个转动部件)、定点转动(如陀螺的运动)和平面运动 (如车轮的运动)。
我们主要讨论刚体绕固定轴的转动。
一般的刚体运动可以分为平动和转动的叠加。
二、角量和线量的关系我们可以同时用角量和线量来描述刚体定轴转动问题 (运动学问题) 1）描述转动的角量p 在转动平面内绕o 作圆周运动，可用圆周运动的角量描述刚体的运动。
转动平面：过刚体上某点p 垂直于转轴平面。
转动中心：转动平面与轴的交点 o ①角位置： （运动方程)②角位移： 规定：定轴时逆时针方向转动时的角位移取正值， 沿顺时针方向转动的角位移取负值。
在SI 中，角坐标和角位移的单位是弧度，符号为rad 。
③角速度： (矢量)大小：方向：沿轴(指向由右手定则确定)在SI 中，角速度的单位是弧度每秒，符号为。
意义：描述转动快慢的程度 ④角加速度：(矢量)大小:：方向：沿轴的方向当与 同向时，加速转动； 与方向相反时，减速转动。
刚体的角动量,角速度,力矩和角加速度的关系
刚体的角动量,角速度,力矩和角加速度的关系角动量（angular momentum）是描述刚体旋转运动的物理量，它与角速度（angular velocity）、力矩（torque）和角加速度（angular acceleration）之间存在密切的关系。
在本文中，将详细介绍刚体的角动量、角速度、力矩和角加速度之间的关系。
刚体的角动量通常用字母L表示，它定义为刚体的质量m乘以角速度ω乘以刚体对轴线的距离r，即L = m * ω * r。
这个表达式可以理解为角动量是由刚体的旋转速度和旋转半径所确定的。
角动量的单位是千克·米^2/秒（kg·m^2/s）。
刚体的角速度是描述刚体旋转状态的物理量，通常用字母ω表示。
角速度体现了刚体单位时间内旋转的角度，其定义为角度改变量Δθ除以时间间隔Δt的极限值，即ω = dθ/dt。
角速度的单位是弧度/秒（rad/s）。
根据以上定义，可以推导出刚体的角动量与角速度的关系。
假设刚体的质量分布在一圆盘上，半径为r，质量为m，以轴线为中心沿竖直方向旋转。
则角动量L = m * ω * r。
这个关系表明角动量与角速度成正比，当角速度增加时，角动量也随之增加，反之亦然。
刚体的力矩是描述刚体受力情况的物理量，通常用字母τ表示。
力矩可以定义为力F作用在刚体上，力矩的大小等于力F乘以力臂r的长度，即τ = F * r。
力臂指的是力F作用点到轴线的垂直距离。
力矩的单位是牛顿·米（N·m）。
力矩与角动量之间存在着密切的关系。
根据牛顿第二定律的角动量形式（τ = dL/dt），力矩可以表示为角动量对时间的变化率。
换句话说，力矩是角动量随时间的变化率，或者说是角动量的导数。
力矩导致角动量的改变，当存在力矩时，角动量将发生变化。
角加速度是描述刚体旋转加速度的物理量，通常用字母α表示。
角加速度可以定义为角速度的改变量Δω除以时间间隔Δt的极限值，即α = dω/dt。
高中物理圆周运动中的角加速度与角速度
高中物理圆周运动中的角加速度与角速度在高中物理的学习中，圆周运动是一个重要且有趣的部分，而角加速度和角速度则是理解圆周运动的关键概念。
让我们一起来深入探究一下这两个重要的物理量。
首先，我们来聊聊角速度。
简单来说，角速度就是描述物体绕圆心转动快慢的物理量。
想象一下一个旋转的圆盘，它上面的每个点都在绕着圆盘的中心做圆周运动。
如果在单位时间内，这个圆盘转过的角度越大，那么我们就说它的角速度越大。
角速度通常用符号ω（希腊字母欧米伽）来表示。
它的定义是：连接运动质点和圆心的半径在单位时间内转过的弧度。
如果一个物体在 t 时间内转过的角度是θ，那么角速度ω就等于θ除以 t 。
角速度的单位是弧度每秒（rad/s）。
为了更直观地理解角速度，我们可以举个例子。
假设一个时钟的秒针，60 秒转了一圈，也就是2π 弧度。
那么秒针的角速度就是2π÷60 ≈ 0105 rad/s 。
再来说说角加速度。
角加速度是描述角速度变化快慢的物理量。
如果一个物体的角速度在不断变化，那么就存在角加速度。
就好像直线运动中，速度在变化就有加速度一样，在圆周运动中，角速度的变化就产生了角加速度。
角加速度通常用符号α来表示。
它的定义是：角速度的变化量与发生这个变化所用时间的比值。
如果在时间 t 内，角速度从ω₁变化到ω₂，那么角加速度α就等于（ω₂ ω₁）÷ t 。
角加速度的单位是弧度每秒平方（rad/s²）。
比如说，一个旋转的木马，一开始角速度是 2 rad/s ，经过 5 秒后，角速度增加到 6 rad/s ，那么角加速度就是（6 2）÷ 5 ＝ 08 rad/s²。
那么，角加速度和角速度之间有什么关系呢？这就涉及到一些数学公式和推导。
如果一个物体的角加速度α是恒定的，那么角速度ω和时间 t 之间就有一个简单的关系：ω ＝ω₀＋αt 。
这里的ω₀是初始角速度。
我们还可以通过积分的方法，得到角速度和角位移（物体转过的角度）之间的关系。
刚体的角动量_角速度_力矩和角加速度的关系
〔收稿日期〕1999-11-15刚体的角动量、角速度、力矩和角加速度的关系陈跃敏(濮阳广播电视大学,河南濮阳457000)[摘要]讨论了普通物理范围内刚体转动部分公式、定理的成立条件及使用范围。
[关键词]角动量;角速度;力矩;角加速度;转动惯量[中图分类号]O311.2 [文献标识码]B 一般情况下,刚体对某一轴(包括瞬时轴和固定轴)的转动,可用角速度矢量 ω及角加速度矢量 β描写,刚体运动时还有角动量L 和力矩 M 。
和 ω的关系及 M 和 β的关系如何?如问题属于理论力学的范围,但在普通物理学中也往往会涉及到这个问题。
因此,在普物范围内搞清它们之间的关系及成立条件和使用范围很有必要。
1 角动量和角速度的关系 首先看一个具体实例。
一个均匀杆绕其一端O 作水平转动.如图1所示.若取O 为参考点,则m i 是质量元,γ_i 是它对O 点的矢径,ν_i 是它的线速度。
显然,此时各质量元的γ_i ×m i ν_i 的方向正好都是Z 方向,即指向Z 轴的正方向。
同一旋转杆,如取Z 轴上方一点P 点作为参考点计算杆的角动量L _p ,则各质量元的γ_i ×m i ν_i 各不相同。
合成后,L _p 的方向大致如图2所示。
而且随着杆的转动,L _p 也转动。
可见,参考点的选择不同,刚体运动的角动量也就不同。
同样,若取转轴通过杆的质量中心,并取质心为参考点,角动量与角速度的方向也不一定一致。
下面直接引用理论力学的结果讨论它们之间的关系。
过参考点建立和刚体一起运动的坐标系,则刚体对活动坐标系X 、Y 、Z 轴的转动惯量及惯量积不随刚体的运动而改变其量值,角动量矢量的分量式为如果刚体绕Z 轴转动,则ωx =ωy =0,ωz =ω。
于是角动量矢量的分量式可写为L x =I xzωL y =-I yz ωL z =-I zzω由上面的分量式可以看出,刚体绕某一轴转动时,角动量沿该轴的分量与角速度成正比(L z =I zzω),但沿其它轴的分量却不一定为零。
角速度及角加速度的矢量表示
矢量积 r的大小及方向都与速度 v 的大
小及方向相同，即
v r （5-17）
转动刚体内任一点的速度，可由刚体的角速 度矢量与该点矢径的矢量积来表示。
图5-19
为了求出加速度 a 与 和 的关系式，取式（5-17）对于时间
的导数，得
a dv d ( r) d r dr
dt dt
dt
dt
但已知 因此得
d
dt
dr ， dt
v
a r v （5-18）
上式右边的第一项的大小为 | r | r sin R
如图5-20（a）所示，于是切向加速度可写为
aτ r
转动刚体内任一点M 的切向加速度矢量等于刚体的角加速度矢量与 该点矢径的矢量积。 式（5-18）右边的第二项的大小为
理论力学
角速度及角加速度的矢量表示
为了指明转轴在空间的方位，规定角速度矢量 和角加速度矢
量 均沿转动轴线，它们的模分别表示该瞬时刚体角速度和角
加速度的大小，用 k 表示沿轴线 Oz 的正方向的单位矢量，则
k d k
dt
d d k k
dt dt
当 0 ， 0 时， 及 均沿z轴的正向，说明刚体在加速转动， 如图5-18（a）所示；当 0 ， 0 时， 沿正向而 沿z轴的负
向，说明刚体在做减速转动，如图5-18（b）所示。
（a） 图5-18
（b）
从转轴上任一点 O作矢量 ，再作矢径 r OM ，如图5-19所示。以
表示 r 与z轴间夹角，点O1表示 M点描绘的圆周的中心， R 是该圆周
的半径，于是速度 v 的大小是 R 。由直角三角形 OMO1 可知 ，所
以 M点的速度的大小为
角位移角速度角加速度的关系
角位移角速度角加速度的关系好嘞，今天咱们聊聊一个非常有意思的物理话题——角位移、角速度和角加速度的关系！别怕，虽然看起来这些名词像是从课本里跳出来的“硬核”词汇，但其实它们一点儿都不难懂，放轻松，跟着我一步步来，咱们一起搞懂这些东西。
咱们得说说“角位移”这个东西。
别看它名字这么复杂，实际上就是指物体在旋转过程中，转了多远。
就像你转动一个陀螺，假设陀螺从某个位置开始转，经过一段时间后，它转到了另一个位置，那个转过来的角度就叫做角位移。
你可以把它想象成你转开瓶盖时的转动角度。
多转了360度，那就是一圈；转了180度，那就是半圈。
是不是很简单？感觉像是在转个圈，顺便拿个小零食啥的。
角位移就这么回事，没啥可怕的。
然后呢，咱们说说角速度。
你想啊，角位移告诉咱们物体转了多少，但它不能告诉咱们转得有多快吧？如果它转得非常快，那你可得小心了。
所以，咱们就有了角速度。
它指的就是单位时间内，物体转动的角度。
简单来说，就是每秒钟转了多少度。
举个例子，假如你转瓶盖转得飞快，角速度就很大；如果你慢慢悠悠地转，那角速度就是小的。
你也可以理解为，如果你开车，车速就是你每小时走了多少公里，角速度就是物体每秒转了多少度。
简单明了吧？别看角速度这小家伙，调皮着呢，它让你知道了旋转的“快慢”。
再接着来，说说角加速度。
这个名字听起来很厉害，好像又要让人头疼。
其实也没那么复杂。
你想啊，角速度告诉咱们物体旋转的速度，而角加速度就是告诉咱们这个速度是不是在变化。
也就是说，角加速度是指单位时间内角速度的变化量。
比如说，咱们转瓶盖，最开始可能转得慢，后来加速了，最后越来越快，这个加速过程就涉及到了角加速度。
如果瓶盖一直匀速转动，那就没有角加速度，因为速度不变。
如果瓶盖加速转动，那就有角加速度了。
想象一下开车，如果你踩油门加速，那车速就在变化，对吧？那车速变化的快慢，就跟角加速度一样。
你看，角位移、角速度、角加速度它们三者之间其实是很紧密联系的。
速度速度变化量与加速度的关系
速度速度变化量与加速度的关系速度和角加速度关系：加速度的大小跟角速度的平方成正比。
加速度（acceleration）是速度变化量与发生这一变化所用时间的比值δv/δt，是描述物体速度变化快慢的物理量，通常用a表示，单位是m/s2。
加速度是矢量，它的方向是物体速度变化（量）的方向，与合外力的方向相同。
假设某质点做圆周运动，在δt时间内转过的角为δθ.δθ与δt的比值，描述了物体绕圆心运动的快慢，这个比值叫做角速度，用符号ω表示：ω=δθ/δt角速度ω是矢量。
按右手螺旋定则，大拇指方向为ω方向。
当质点作逆时针旋转时，ω向上；角加速度与角速度的关系同速度与加速度的关系相同角加速度就是叙述刚体角速度的大小和方向对时间变化率的物理量,在国际单位制中，单位就是“弧度/秒平方”，通常就是用希腊字母α去则表示α=δω / δt作顺时针旋转时，ω向若物体的大小和形状不能忽略时，不能将物体简化为质点。
在许多情况下，固体在受力和运动时，其体积和形状的变化很小，在这种情况下，可以略去固体的大小和形状的变化，引入理想模型――刚体：在外力的作用下，大小和形状都不变的物体。
讲授新课：第三章刚体的定轴转动§ 3.1 角速度和角加速度一、刚体刚体是受力时形状和体积不改变的物体。
特点：刚体就是特定的质点系，其上各质点间的相对边线维持维持不变。
平动：刚体上任意两点的连线，在运动过程中始终保持平行的运动。
刚体的基本运动旋转：刚体上所有的点都拖某一条直线并作圆周运动，该直线称作刚体转轴。
例：钢铁厂中钢水包的运动即平动。
其特征是物体上各点的轨迹相互平行，运动状态（位移，速度，加速度）完全相同。
因而作平动的物体，可用其上任意一点的运动来代表整个刚体的运动，可以把其作为质点问题来处理。
旋转分后定轴转动(例如机器上的某个旋转部件)、定点转动(例如陀螺的运动)和平面运动 (例如车轮的运动)。
我们主要讨论刚体绕固定轴的转动。
通常的刚体运动可以分成对应状态和旋转的共振。
角加速度积分
角加速度积分角加速度是描述物体转动加速度的物理量，表示物体单位时间内角速度的变化率。
在物理学中，角加速度与角速度和时间的关系可以通过积分来求解。
我们来回顾一下角速度的概念。
角速度是指物体单位时间内通过的角度，可以用弧度制或者度数制表示。
在弧度制下，角速度用符号ω表示，单位是弧度/秒；在度数制下，角速度用符号ω表示，单位是度/秒。
当物体的角速度随时间发生变化时，我们可以通过求解角加速度来描述这种变化。
角加速度用符号α表示，单位是弧度/秒²或度/秒²。
角加速度的计算公式为α=Δω/Δt，其中Δω表示角速度的变化量，Δt表示时间的变化量。
在实际问题中，我们常常需要求解物体的角加速度。
下面通过一个具体的例子来说明如何通过积分求解角加速度。
假设有一根长杆，一端固定不动，另一端绕固定点进行转动。
为了简化问题，我们假设杆的质量分布均匀，且绕固定点的转动是匀速的。
在任意时刻，我们可以测量到杆的角度θ和角速度ω。
我们想要求解杆的角加速度α。
我们需要确定角速度随时间的变化关系。
由于转动是匀速的，所以角速度是一个常量，不随时间变化。
因此，我们可以得到ω=常量。
接下来，我们需要利用角速度来求解角加速度。
根据角加速度的定义，我们知道α=Δω/Δt。
由于角速度是常量，所以Δω=0，因此角加速度为零。
这个例子说明了当物体的角速度保持不变时，角加速度为零。
这也符合我们的直观认识，因为角加速度表示角速度的变化率，而当角速度不变时，变化率为零。
当物体的角速度随时间变化时，我们可以通过积分来求解角加速度。
积分是微积分中的一个重要概念，表示函数的反导数。
在求解角加速度时，我们可以通过对角速度随时间的变化关系进行积分来得到。
即α=∫dω/dt dt。
通过对上式进行积分，我们可以得到α=ω。
这意味着，当角速度随时间发生变化时，角加速度等于角速度。
总结一下，角加速度是描述物体转动加速度的物理量，表示物体单位时间内角速度的变化率。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一次课：2学时
1 题目：§角速度和角加速度
§刚体转动的动能定理
2 目的： 1）掌握描述转动物体性质的主要参量。
2）转动问题求解。
一、引入课题：
若物体的大小和形状不能忽略时，不能将物体简化为质点。
在许多情况下，固体在受力和运动时，其体积和形状的变化很小，在这种情况下，可以略去固体的大小和形状的变化，引入理想模型――刚体：在外力的作用下，大小和形状都不变的物体。
二、讲授新课：第三章刚体的定轴转动
§角速度和角加速度
一、刚体
刚体是受力时形状和体积不改变的物体。
特点：刚体是特殊的质点系，其上各质点间的相对位置保持不变。
平动：刚体上任意两点的连线，在运动过程中始终保持平行
的运动。
刚体的基本运动转动：刚体上所有的点都绕某一条直线作圆周运动，该直线
称为刚体转轴。
例：钢铁厂中钢水包的运动即平动。
其
特征是物体上各点的轨迹相互平行，运
动状态（位移，速度，加速度）完全相
同。
因而作平动的物体，可用其上任意
一点的运动来代表整个刚体的运动，可
以把其作为质点问题来处理。
转动分定轴转动(如机器上的某个
转动部件)、定点转动(如陀螺的运动)和平面运动 (如车轮的运动)。
我们主要讨论刚体绕固定轴的转动。
一般的刚体运动可以分为平动和转动的叠加。
二、角量和线量的关系
我们可以同时用角量和线量来描述刚体定轴转动问题 (运动学问题) 1）描述转动的角量
p 在转动平面内绕o 作圆周运动，可用圆周运动的角量描述刚体的运动。
转动平面：过刚体上某点p 垂直于转轴平面。
转动中心：转动平面与轴的交点 o ①角位置：
（运动方程)
②角位移：
规定：沿顺时针方向转动的角位移取负值。
在SI 中，角坐标和角位移的单位是弧度，符号为rad 。
③角速度： (矢量)
大小：
方向：沿轴(指向由右手定则确定)
在SI 中，角速度的单位是弧度每秒，符号为。
意义：描述转动快慢的程度 ④角加速度：
(矢量)
大小:：
方向：沿轴的方向
当与 同向时，加速转动； 与方向相反时，减速转动。
·
p
r o
转动平面
=
d d t
d
2
d t 2
=
= d d t
()()
t t t θθθ∆=+∆-()t θθ=1
rad s -⋅
意义：描述角速度变化快慢的程度
在SI 中，角加速度的单位是弧度每二次方秒，符号为
2 角量和线量的关系 (1) p 点的线速度 v r ω=⨯
r 是p 点的矢径(由转动中心o 引出) (2) p 点的线加速度 ()d r dv d dr
a r dt dt dt dt
ωωω⨯=
==⨯+⨯ a = r +
切向加速度： t dv d a r r dt dt
ω
α=
== a t = r 法向加速度： 2
2n v a r r
ω== a n =
三、 固体的定轴转动
转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动。
转动又分定轴转动和非定轴转动。
1) 匀速转动：
= 0 = 定值
-
= t
2) 匀加速转动：
= 定值 = 0
+ t
-
=
t + 1/2 t 2
2
rad s -⋅s r θ
=r υω
=t a r α
=2
n a r ω=θx
o
z
r
s
υ
例3-1 已知刚体转动的运动学方程 2
d 3d θ
ωBt t
=
=在上式中，A 为无量纲的常数，B 为有量纲的常量。
求：(1)角速度；(2)角加速度；(3)刚体上距轴为r 的一质点的加速度。
解： (1)由角速度定义式，得 2
d 3d θωBt t
==(2)将ω对时间 t 求导数，得角加速度
d 6d ω
a Bt t
=
=(3)距轴为r 的一质点的切向加速度
t 6a r Brt
α==该质点的法向加速度
224
n ω 9a r B rt ==该质点的加速度的大小
2
22422
n t (9)(6)a a a B rt Brt =+=+该质点的加速度的方向
3n t 3tg 2
a Bt
a ϕ==（ 为加速度与速度的夹角 ）
ϕ
2
-
02 = 2 ( -
)。