均值不等式八法
均值不等式解题技巧总结
均值不等式解题技巧总结
均值不等式是数学中常用的一种算术不等式，可以用来证明和解决各种数学问题。
以下是一些常见的均值不等式解题技巧的总结：
1. 引入适当的均值：根据题目所给条件，选择适当的均值形式，如算术平均数、几何平均数、调和平均数等。
2. 利用均值不等式：根据所选择的均值形式，利用均值不等式进行推导。
常见的均值不等式有算术-几何均值不等式、几何-调和均值不等式、算术-几何-调和均值不等式等。
3. 引入适当的条件：在使用均值不等式之前，可以引入适当的条件，如非负性条件、大小关系条件等，以限制变量的取值范围，使得均值不等式成立。
4. 倒推法：对于一些需要证明的不等式，可以利用倒推法，从已知的均值不等式开始，逐步推导出需要证明的不等式。
5. 逼近法：对于一些复杂的不等式，可以通过逼近的方法，将其转化为一系列简单的均值不等式，从而解决问题。
6. 双曲线方法：对于一些特殊的均值不等式，可以利用双曲线的性质进行证明。
双曲线方法常用于解决两个变量的均值不等式。
7. 对称性方法：对于一些具有对称性的均值不等式，可以利用其对称性进行证明。
对称性方法常用于解决多个变量的均值不等式。
总之，解题时应根据具体情况选择合适的技巧和方法，并且需要灵活运用数学知识和技巧进行推导和证明。
均值不等式求最值的方法
均值不等式求最值的方法-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1均值不等式求最值的方法均值不等式是求函数最值的一个重要工具，同时也是高考常考的一个重要知识点。
下面谈谈运用均值不等式求解一些函数的最值问题的方法和技巧。
一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧 1、求几个正数和的最小值。
例1、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。
解析：21(1)2(1)y x x x =+>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-21111(1)222(1)x x x x --=+++>-1≥312≥+52=，当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。
评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。
通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。
2、求几个正数积的最大值。
例2、求下列函数的最大值：①23(32)(0)2y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<<解析：①30,3202x x <<->∴，∴23(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=⋅⋅-3(32)[]13x x x ++-≤=，当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。
用均值不等式求最值的方法和技巧
用均值不等式求最值的方法和技巧均值不等式是求函数最值的一个重要工具，同时也是高考常考的一个重要知识点。
下面谈谈运用均值不等式求解一些函数的最值问题的方法和技巧。
一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a= b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧 1、求几个正数和的最小值。
例1、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。
解析：21(1)2(1)y x x x =+>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-21111(1)222(1)x x x x --=+++>-1≥312≥+52=，当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。
评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。
通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。
2、求几个正数积的最大值。
例2、求下列函数的最大值：①23(32)(0)2y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<<解析：①30,3202x x <<-> ∴，∴23(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=⋅⋅-3(32)[]13x x x ++-≤=，当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。
均值不等式八种技巧
运用均值不等式的八类拼凑技巧一、 拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。
例１ 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。
解：()()()()()()222111111y xx x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=•••-≤=⎪ ⎪⎝⎭。
当且仅当112x x +=-，即13x =时，上式取“=”。
故max 3227y =。
评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。
例2求函数)01y x x =<<的最大值。
解：y ==。
因()()32222221122122327x x x x x x ⎛⎫++- ⎪••-≤=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当()2212x x=-，即3x =时，上式取“=”。
故max 9y =。
评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。
例3 已知02x <<，求函数()264y x x =-的最大值。
解：()()()222222236418244y xx x x x =-=⨯--()()3222324418818327x x x ⎡⎤+-+-⨯⎢⎥≤=⎢⎥⎣⎦。
当且仅当()2224x x=-，即x ==”。
故max3218827y ⨯=，又max 0,3y y >=。
二、 拼凑定积通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件例4 设1x >-，求函数()()521x x y x ++=+的最小值。
解：()())14114415159111x x y x x x x ++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦==+++≥+=+++。
第8关： 均值不等式问题—拼凑8法
第8关：均值不等式问题—拼凑8法利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点。
在运用均值不等式解题时,我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形。
均值不等式等号成立条件具有潜在的运用功能。
以均值不等式的取等条件为出发点，为解题提供信息，可以引发出种种拼凑方法。
笔者把运用均值不等式的拼凑方法概括为八类。
一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。
例１已知，求函数的最大值。
解：。
当且仅当，即时，上式取“=”。
故。
评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。
例2 求函数的最大值。
解：。
因，当且仅当，即时，上式取“=”。
故。
评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。
例3已知，求函数的最大值。
解：。
当且仅当，即时，上式取“=”。
故，又。
亲爱的老师们：我有一套非常好的word资料，叫“高考数学常考问题-大闯关（36关）”，但是部分内容是图片的不能编辑，为了更好的使用本资料，本人打算将这套资料翻录一下与愿意翻录的老师共享，所谓翻录就是重新用公式编辑器将资料中的图片录入成可以正常显示便于编辑的公式，每个老师录入1-2关，完全按照已有文档录入，在半天之内就可以完成。
（样品见第8关，红色的部分都不用编辑，只需编辑公式部分即可。
等所有老师录入编辑完成后，我将翻录好的word资料全部免费分享给愿意加入的老师。
有意参加的老师请加我微信：scttrz或加QQ:2780158525,愿意的老师请备注：资料共创共享。
高考数学常考问题-大闯关（36关）目录第1关：极值点偏移问题--对数不等式法第2关：参数范围问题—常见解题6法第3关：数列求和问题—解题策略8法第4关：绝对值不等式解法问题—7大类型第5关：三角函数最值问题—解题9法第6关：求轨迹方程问题—6大常用方法第7关：参数方程与极坐标问题—“考点”面面看第8关：均值不等式问题—拼凑8法第9关：不等式恒成立问题—8种解法探析第10关：圆锥曲线最值问题—5大方面第11关：排列组合应用问题—解题21法第12关：几何概型问题—5类重要题型第13关：直线中的对称问题—4类对称题型第14关：利用导数证明不等式问题—4大解题技巧第15关：函数中易混问题—11对第16关：三项展开式问题—破解“四法”第17关：由递推关系求数列通项问题—“不动点”法第18关：类比推理问题—高考命题新亮点第19关：函数定义域问题—知识大盘点第20关：求函数值域问题—7类题型16种方法第21关：求函数解析式问题—7种求法第22关：解答立体几何问题—5大数学思想方法第23关：数列通项公式—常见9种求法第24关：导数应用问题—9种错解剖析第25关：三角函数与平面向量综合问题—6种类型第26关：概率题错解分类剖析—7大类型第27关：抽象函数问题—分类解析第28关：三次函数专题—全解全析第29关：二次函数在闭区间上的最值问题—大盘点第30关：解析几何与向量综合问题—知识点大扫描第31关：平面向量与三角形四心知识的交汇第32关：数学解题的“灵魂变奏曲”—转化思想第33关：函数零点问题—求解策略第34关：求离心率取值范围—常见6法第35关：高考数学选择题—解题策略第36关：高考数学填空题—解题策略二、拼凑定积通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件例4设，求函数的最小值。
均值不等式的多种证明方法许兴华数学
均值不等式是数学中常见的一类不等式，它指出了一组数的平均值和它们的其他性质之间的关系。
在本文中，我们将介绍均值不等式的多种证明方法，并以许兴华数学中的相关内容为例加以说明。
1. 均值不等式的定义均值不等式是数学中一类具有广泛应用的不等式定理，它描述了数列的平均值与其他性质之间的关系。
一个常见的均值不等式是算术平均数与几何平均数之间的关系，即对于任意非负实数集合，它们的算术平均数大于等于几何平均数。
2. 均值不等式的证明方法均值不等式的证明方法有多种，其中比较常见的方法包括数学归纳法、几何法、代数法等。
下面我们将分别对这些方法进行介绍，并结合许兴华数学中的相关例题进行说明。
2.1 数学归纳法证明数学归纳法是一种常用的数学证明方法，它通常用于证明对于一切自然数n成立的命题。
在均值不等式的证明中，数学归纳法可以用于证明一些形如An≤Bn的不等式，其中n为自然数。
对于n个非负实数的情况，可以使用数学归纳法证明它们的算术平均数不小于几何平均数。
许兴华数学中的例题：证明n个非负实数的算术平均数不小于几何平均数。
解：首先证明n=2的情况成立，即对于两个非负实数a和b，有(a+b)/2≥√(ab)。
然后假设对于n=k的情况成立，即对于k个非负实数成立均值不等式，即(k个非负实数的算术平均数不小于几何平均数)。
那么对于n=k+1的情况，我们可以通过考虑第k+1个数与前面k个数的平均值的大小关系，来证明均值不等式对于n=k+1的情况也成立。
2.2 几何法证明几何法是另一种常用的证明方法，它通常通过在平面几何图形上进行推理，来证明一些数学定理。
在均值不等式的证明中，几何法可以用于证明一些形如a²+b²≥2ab的不等式。
在许兴华数学中，可以通过在平面上绘制平行四边形、三角形等几何图形，来证明一些均值不等式。
3. 结语以上，我们介绍了均值不等式的多种证明方法，并结合许兴华数学中的相关内容进行了说明。
均值不等式作为数学中的重要概念，在不同的数学领域都有着重要的应用，它的证明方法也有很多种。
均值不等式八大技巧全学生版
利用均值不等式求最值的方法和技巧几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立；③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
一、 配凑（8种技巧）1.拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。
例１ 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。
例2 求函数)01y x x =<<的最大值。
例3 已知02x <<，求函数()264y x x =-的最大值。
2.拼凑定积例4 设1x >-，求函数()()521x x y x ++=+的最小值。
例5 已知1x >-，求函数()()22413x y x +=+的最大值。
例6 已知0x π<<，求函数2cos sin xy x-=的最小值。
3.拼凑常数降幂例7 若332,,a b a b R ++=∈，求证：2a b +≤。
例8 若332,,x y x y R ++=∈，求225x y xy ++的最大值。
例9 已知,,0,1a b c abc >=，求证：333a b c ab bc ca ++≥++。
不等式的放缩技巧
数列型不等式放缩技巧八法证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一 利用重要不等式放缩1． 均值不等式法例1 设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n Λ求证.2)1(2)1(2+<<+n S n n n解析 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k Λ=+=2121)1(+=++<+<k k k k k k Θ，)21(11∑∑==+<<∴nk n nk k S k ， 即.2)1(22)1(2)1(2+<++<<+n n n n S n n n注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2b a ab +≤，若放成1)1(+<+k k k 则得2)1(2)3)(1()1(21+>++=+<∑=n n n k S nk n ，就放过“度”了！②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里na a n a a a a a a nn nnn n22111111++≤++≤≤++ΛΛΛΛ其中，3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。
例2 已知函数bx a x f 211)(⋅+=，若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121)()2()1(1-+>++++n n n f f f Λ（02年全国联赛山东预赛题）简析 )2211()()1()0(22114111414)(⨯->++⇒≠•->+-=+=n f f x x f xx x x Λ .2121)21211(41)2211()2211(112-+=+++-=⨯-++⨯-++-n n n n n ΛΛ例3 已知b a ,为正数，且111=+ba ，试证：对每一个*∈N n ，1222)(+-≥--+n n n n nb a b a .（88年全国联赛题）简析 由111=+b a 得b a ab +=，又42)11)((≥++=++abb a b a b a ，故4≥+=b a ab ，而n n n r r n r n n n n nn b C b a C b a C a C b a +++++=+--ΛΛ110)(， 令n n n b a b a n f --+=)()(，则)(n f =1111----++++n n n r r n r n n n ab C b a C b aC ΛΛ，因为in n i n C C -=，倒序相加得)(2n f =)()()(111111b a ab C b a b a C ab b a C n n n n r n r r r n r n n n n -------+++++++ΛΛ，而1211112422+------=⋅≥≥+==+==+n nnn n n r n r r r n n n b a b a ab b a b a ab b aΛΛ，则)(2n f =))(22())((11r r n r n r n r r n r n r n n r n n b a b a b a b a C C C -----+-=+++++ΛΛ⋅-≥)22(n 12+n ，所以)(n f ⋅-≥)22(n n 2，即对每一个*∈N n ，1222)(+-≥--+n n n n n b a b a .例4 求证),1(221321N n n n C C C C n n nnnn∈>⋅>++++-Λ.简析 不等式左边=++++nn n n n C C C C Λ32112222112-++++=-n n Λn n n 122221-⋅⋅⋅⋅⋅>Λ=212-⋅n n ，原结论成立.2．利用有用结论例5 求证.12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n Λ简析 本题可以利用的有用结论主要有：法1 利用假分数的一个性质)0,0(>>>++>m a b ma mb ab 可得>-⋅⋅122563412n n Λ=+⋅⋅n n 212674523Λ)12(212654321+⋅-⋅⋅n nn Λ ⇒12)122563412(2+>-⋅⋅n n n Λ即.12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n Λ法2 利用贝努利不等式)0,1,2,(1)1(≠->≥∈+>+*x x n N n nx x n 的一个特例12121)1211(2-⋅+>-+k k (此处121,2-==k x n )得 =-+∏⇒-+>-+=)1211(121212111k k k k n k .1212121+=-+∏=n k k n k注：例5是1985年上海高考试题，以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年全国高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。
均值不等式的证明
平均值不等式及其证明平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置。
平均值不等式的证明有许多方法，这里，我们选了部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的许多结论，其本身又具有重要的意义，特别是，在许多竞赛的书籍中，都有专门的章节和讨论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等，这些也是证明不等式的常用方法和技巧。
1.1平均值不等式一般地，假设，，，为n个非负实数，他们的算术平均值记为几何平均值记为算术平均值和几何平均值之间有如下的关系。
即，当且仅当时，等号成立。
上述不等式成为平均值不等式，或简称为均值不等式。
平均值不等式的表达形式简单，容易记住，但它的证明和使用非常灵活、广泛，有多重不同的方法。
为使大家理解和掌握，这里我们选择了其中的几种典型的证明方法。
供大家参考学习。
1.2平均值不等式的证明证法一（归纳法）（1）当n=2时，已知结论成立。
（2）假设对n=k（正整数k）时命题成立，即对，，，，有。
那么，当n=k+1时，由于，关于，，，是对称的，任意对调和，和的值不改变，因此不妨设，，，，，，，显然，以及（）（）可得（）所以（）（）即（）两边乘以，得从而，有证法二（归纳法）（1）当n=2时，已知结论成立。
（2）假设对n=k（正整数k）时命题成立，即对，，，，有。
那么，当n=k+1时，由于从而，有证法三（利用排序不等式）设两个实数组，，，和，，，满足；，则（同序乘积之和）（乱序乘积之和）（反序乘积之和）其中，，，是，，的一个排列，并且等号同时成立的充分必要条件是或成立。
证明：切比雪夫不等式（利用排序不等式证明）杨森不等式（Young）设，，，则对，有等号成立的充分必要条件是。
琴生不等式（Jensen）设，（，）为上凸（或下凸）函数，则对任意，（，，），我们都有或其中，，习题一1.设，求证：对一切正整数n，有（）2.设，，，求证（）（）（）（3.设，，为正实数，证明：（）（）（）4.设，，，，求证：（）（）（）（）（）5.设，，，，求证6.设，，，且求证：7.设a，b，c，d是非负实数，满足，求证：8.设n为给定的自然数，，对于n个给定的实数，，，；记（）的最小值为m，求在的条件下，m的最大值。
均值不等式
均值不等式及其应用戴又发一．基本均值不等式（一般形式）设0>i a ，n i ,,,, 321=， 记：na a a nH 1++1+1=21 为n a a a a ,,,, 321的调和平均值， n n a a a a G 321= 为n a a a a ,,,, 321的几何平均值， n a a a a A n++++=321 为n a a a a ,,,, 321的算术平均值， na a a a Q n 2232221++++=为n a a a a ,,,, 321的平方平均值， 则 Q A G H ≤≤≤，当且仅当n a a a a ====321 时，等号成立． （特殊形式2=n ）若0>0>b a ,，则 2+≤2+≤≤1+1222b a b a ab ba ， 当b a =时，等号成立．二．基本均值不等式证明1．证明一 （2=n ） （比较法证A G ≤）0≥21=2+21=2+=2)()(b a ab b a ab b a G A －－－－ ． A G ≤∴，当b a =时，等号成立．（分析法证Q A ≤）由 2+≤2+22b a b a ， 得2+≤42++2222b a ab b a ，即 22+≤2b a ab ，显然成立，以上各步均可逆，所以2+≤2+22b a b a ． 当b a =时，等式成立．（放缩法证Q A ≤）2+=2+=42++≥4+++=2+222222222ba b a ab b a b a b a b a )( ，所以2+≤2+22b a b a ． 当b a =时，等式成立．（放缩法证G H ≤）ab ba abab b a ab ba ≤+2×=+2=1+12． 所以 ab ba ≤1+12∴．当b a =时，等式成立．2．证明二 （3=n ）如果+R c b a ∈,,，那么abc c b a 3≥++333．（当且仅当c b a ==时等号成立）∵abc ab b a c b a abc c b a 333++=3++2233333－－－－)()(])())[((c b a ab c c b a b a c b a ++3+++++=22－－ ])[(ab c bc ac b ab a c b a 3++2+++=222－－－ ))((ca bc ab c b a c b a －－－222++++=])()())[((222++++21=a c cb b ac b a －－－．A BCDOA 1 A 2A 3A 4B 1 B 2 B 3 B 4∵+R c b a ∈,, ， 0≥3++∴333abc c b a －，即 abc c b a 3≥++333．当且仅当c b a ==时等号成立． 于是有 3333333333≥++c b a c b a )()()(⇒33≥++abc c b a3≥3++abc c b a ． 3．均值不等式（2=n ）几何解释1：以b a +为直径作圆O （如图），AB 为直径，a AC =，b CB =，过C 作AB CD ⊥交圆上一点D ， 过O 作AB OM ⊥交圆上一点M ， 连接CM ，OD ，过C 作OD CE ⊥于E ， 于是2=b a OC －，2+==ba OM OD ，ab CD =，2+=22b a CM ，ba DE 1+12=，由CM OM CD DE ≤≤≤，得 2+≤2+≤≤1+1222b a b a ab ba ． 当b a =时，等号成立．4．均值不等式（2=n ）几何解释2 ：梯形ABCD 中，上底a AB =，上底b CD =，对角线BD AC ,相交于O （如图）， 点4321A A A A ,,,在AD 上，点4321B B B B ,,,在BC 上，且44332211B A B A B A B A //////，若11B A 过点O ，则ba b a ab B A 1+12=+2=11； 若22B A 使得梯形∽22A ABB 梯形CD B A 22，则ab B A =22；ABCDOMabE若33B A 是梯形ABCD 的中位线，则2+=33ba B A ；若44B A 使得梯形44A ABB 和梯形CD B A 44的面积相等，则2+=2244b a B A ；于是有 得 2+≤2+≤≤1+1222b a b a ab ba ．三．对数均值不等式和指数均值不等式及其证明 1．若0>0>b a ,，且b a ≠，称ba ba ln ln －－为b a ,的对数平均值，则2+<<ba b a b a ab ln ln －－．证明：不妨设0>>b a ，另1>=bat ， 由2+<<b a b a b a ab ln ln －－，得21+<1<)(ln )(t b t t b t b －， 即21+<1<t t t t ln －， 所以 tt t t t 1<<1+12－－ln )(． 构造函数1+12=t t t t f )(ln )(－－，则0>1+1=1+41=′222)()()()(t t t t t t f －－， 所以)(t f 在),[∞+1上是增函数，又0=1)(f ， 所以0>)(t f ，即t t t ln )(<1+12－． 再构造函数tt t t g 1+=－ln )(， 则0<21=212=21211=′2tt t t t t t t t t t t g )()(－－－－－－， 所以)(t g 在),[∞+1上是减函数，又0=1)(g ，所以0<)(t g ，即tt t 1<－ln ．所以tt t t t 1<<1+12－－ln )(，故2+<<ba b a b a ab ln ln －－． 2．若R b R a ∈,∈，且b a ≠，称ba e e ba －－为b a ,的指数平均值， 则 2+<<2+b a b a b a e e b a e e e－－． 证明：在对数均值不等式2+<<ba b a b a ab ln ln －－中，将正数b a ,分别用b a e e ,代替，即得2+<<2+b a b a ba e eb a e e e－－．四．均值不等式应用 利用均值不等式求最值：（1）如果正数y x ,满足积P xy =（是定值），则y x =时，和y x +有最小值P 2；（2）如果正数y x ,满足和S y x =+（是定值），则y x =时，积xy 有最大值22)(S ． 例1 已知实数y x ,满足0>>y x ，且1=2+4+1yx y x －，则y x +2的最小值是 ．解析： 0>2+0>y x y x ,－ ，)()(y x y x y x 2++=+2－))(())((yx yx y x y x y x y x y x y x －－－－2++2+4+4+1=2+4+12++= 9=42+5≥．当6=2+=2y x y x )(－时，即1=4=y x ,时，y x +2的最小值是9．例2 已知正实数y x ,满足6=3+2xy x ，则y x 3+2的最小值是（ ）3.A234－.B 29.C211.A 解析：由6=3+2xy x ，得26=3－xy ，234≥26+2=3+2－－∴xx y x ． 当3=x 时，y x 3+2 取得最小值 234－，选B ．例3 设0>>b a ，则)(b a a ab a －1+1+2的最小值是（ ） 1.A2.B3.C4.D解析：4≥1++1+=1+1+2abab b a a b a a b a a ab a )()()(－－－ ， 当1=ab ，且1=)(b a a －时，即22=2=b a ,等号成立，故选.D例4．求证：)(c b a a c c b b a ++2≥+++++222222．解析： 由2+≥2+22b a b a ，得)(b a b a +22≥+22，同理)(c b c b +22≥+22，)(a c a c +22≥+22， 所以)(c b a a c c b b a ++2≥+++++222222．例5．设0>0>b a ,，且1=+b a ，求证：225≥1++1+22)()(b b a a ． 解析：∵21=2+≤b a ab ， ∴41≤ab ， ∴4≥1ab， 于是 22)()(21+1+12=21++1+2≥1++1+22b a b b a a bb a a )()(225=252≥21+12=2++12=2)(22)()(ab ab b a ． 225≥1++1+∴22)()(b b a a ．例6 已知的三边长为c b a ,,，其外接圆半径为R ，求证：222222236≥1+1+1++R CB A c b a )sin sin sin )((． 解析：由正弦定理，有R a A 2=sin ，所以2224=1aR A sin ，同理，2224=1b R B sin ，2224=1cR C sin ，所以，)sin sin sin )((CB A c b a 2222221+1+1++ 2322232222222222236=3×3×≥1+1+1++4=R cb ac b a R c b a c b a R 4))((，即 222222236≥1+1+1++R CB A c b a )sin sin sin )((．例7 设c b a ,,为正实数，求证32≥+1+1+1333abc c b a ． 解析：32≥+3≥+1+1+1333abc abc abc c b a ．当且仅当613===c b a 时，等号成立．例8 设c b a ,,均为正数，证明：361+1+1+++2222≥)(cb ac b a ，并确定c b a ,,为何值时等号成立．解析：3≥2222223++c b a c b a ，322223219=131+1+1cb a abc c b a ))((≥， 36=27219+31+1+1+++32222222222≥≥∴3cb ac b a c b a c b a )(．当且仅当c b a ==，且3=2223c b a 时等号成立，即43===c b a 时等号成立．例9 已知函数x xe x f －=)(，如果21≠x x ，且)()(21=x f x f ， 证明：2>+21x x ．证明：由x xe x f －=)(，x x x e x xe e x f －－－－－)()(1==′，可知，当0<x 时，0<)(x f ；当0>x 时，0>)(x f ；当1<x 时，0>′)(x f ；当1>x 时，0<′)(x f ； 由)()(21=x f x f ，得0>0>21x x ,，2121=x x e x e x －－，2211=x x x x －－ln ln即1=2121x x x x ln ln －－，由 2+<=1212121x x x x x x ln ln －－， 所以2>+21x x ．例10 设数列}{n a 的通项公式为na n 1++31+21+1= ，证明：)ln(1+2<n a n ． 证明：由2+<b a b a b a ln ln －－，得 ba b a b a +2>－－ln ln ， 令 12=1+2=－n b n a ,，得n n n 21>2121+2)ln()ln(－－， 所以 nn n 1>121+2)ln()ln(－－． 于是 na n 1++31+21+1= )ln()ln()ln(ln ln ln ln 1+2=121+2++35+13<n n n －－－－ ，即 )ln(1+2<n a n ．四．练习题1． 已知正数b a ,满足2=2+1b a ，求224+1ba 的最小值． 2．已知0>>y x ，且1=xy ，则yx y x －22+的最小值为 ．3．若对任意0>x ，a x x x≤1+3+2恒成立，则的取值范围是 ．4．若0>0>b a ,，且不等式0≥++1+1ba kb a 恒成立，则实数k 的最小值等于 ． 5．①求函数)(x x y －1=2的最大值)(1<<0x ；②求函数)(21=x x y －的最大值)(1<<0x ．6．若1=+b a ，求证：2≤21++21+b a ． 7．设c b a ,,均为正数，且1=++c b a ，证明：31≤++ca bc ab ．8．当2>n 时，求证：1<1+1)(log )(log n n n n －．9．设函数x a ax x x f )(ln )(－－2+=2的两个零点是21x x ,，求证：0<2+′1)(xx f ． 10．设数列}{n a 的通项公式为1+1+1=)(n n a n ，其前n 项和为n S ，证明：)ln(1+<n S n ．参考答案与提示：第1题 2； 第2题 22； 第3题（),[+∞51）； 第4题 4－； 第5题 ①274，32=x② 932，33=x ； 第9题 由0=2+=12111x a ax x x f )(ln )(－－，0=2+=22222x a ax x x f )(ln )(－－，两式相减，0=2++21212121))(())((ln ln x x a x x x x a x x －－－－－，2+<2++1=21212121x x a x x a x x x x －－－)(ln ln ， 于是有 0>2+2++21221－－))(()(x x a x x a ，即0>1++2+2121))()((x x x x a －， 0>2+21－)(x x a ，且0>a ，又因为))(()()(11+2=1+2+2=2+21=′2－－－－－－ax x xx a ax a ax x x f ，当0≤a 时，0>′)(x f 在),(+∞0上恒成立；当0>a 时，)(x f 在),(a10上单调递增，在),(+∞1a上单调递减；由0>2+21－)(x x a ，且0>a ，知a x x 1>2+21，0<2+′∴1)(xx f ．第10题 设0>>b a ，由2+<22b a b a b a ln ln －－，得22+2>ba b a b a )(ln ln －－，令n b n a =1+=,，有 n a n n n n >1+2+22>1+2ln )ln(－，所以 n n a a a S +++=21)ln(ln )ln(ln ln ln ln 1+=1+++23+12<n n n －－－ ，所以 )ln(1+<n S n ．。
均值不等式的公式
均值不等式的公式
四个均值不等式:
a+b≥2ab;
√(ab)≤(a+b)/2;
a+b+c≥(a+b+c)/3;
a+b+c≥3×三次根号abc
公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几
何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。
1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)
3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n
4、平方平均数：Qn=√ (a1^2+a2^2+...+an^2)/n
这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn的式子即为均值不等式。
这种方法将一个有n 个变量与k 个约束条件的最优化问题转换为
一个有n + k个变量的方程组的极值问题，其变量不受任何约束。
这种方
法引入了一种新的标量未知数，即拉格朗日乘数：约束方程的梯度（gradient）的线性组合里每个向量的系数。
此方法的证明牵涉到偏微分，全微分或链法，从而找到能让设出的隐函数的微分为零的未知数的值。
高中数学公式(均值不等式)
均值不等式归纳总结1.(1)若R b a ∈,，则abb a 222≥+(2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2.(1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则abb a 2≥+（当且仅当ba =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎟⎠⎞⎜⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）3.若0x >，则12x x +≥(当且仅当1x =时取“=”）若0x <，则12x x+≤−(当且仅当1x =−时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x xx x+≥+≥+≤即或(当且仅当b a =时取“=”）4.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b bababa+≥+≥+≤即或(当且仅当b a =时取“=”）5.若R b a ∈,，则2)2(222b ab a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y＝3x2＋12x2（2）y＝x＋1x解：(1)y＝3x2＋12x2≥23x2·12x2＝6∴值域为[6，+∞）(2)当x＞0时，y＝x＋1x≥2x·1x＝2；当x＜0时，y＝x＋1x =－（－x－1x ）≤－2x·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例已知54x <，求函数14245y x x =−+−的最大值。
解：因450x −<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x −−i不是常数，所以对42x −要进行拆、凑项，5,5404x x <∴−>∵，11425434554y x x x x ⎛⎞∴=−+=−−++⎜⎟−−⎝⎠231≤−+=当且仅当15454x x−=−，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
不等式的放缩技巧
数列型不等式放缩技巧八法证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考 性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力， 因而成为高考压轴题及各级 各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项 的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一利用重要不等式放缩1.均值不等式法例 1 设 S n . 1 2 2 3(n 1)22 此数列的通项为 a k k(k 1),k 1,2, ,n.k k 1 1 n , n k . k(k 1)k k S n (k2 2k 1k 1即 n(n 1)Sn(n 1) n(n 1)22 n2 2 2n(n 1).求证吗卫 s n 解析 注：①应注意把握放缩的“度”:上述不等式右边放缩用的是均值不等式n(k 1)ab 山，若放成 k(k 1) k ' 2侧得S nk 1(n 1)(n 3)22(n 1)2就放过“度”了!②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里n a 1 a nna 1V ----------- 2a nna 1 其中， a nn 2,3等的各式及其变式公式均可供选用。
1 _ ?bx已知函数f(X)求证: f(1) f(2) f(n) 1，若f(1) 4，且f(X)在［0,1］上的最小值为 —， 5 1-.(02年全国联赛山东预赛题) 2 简析f(x)4X 1 4X(1例3已知 a,b 为正数,(a b)n a1 简析由一 aab a b 4, b n 22n1—1 得 ab b 而(a b)n令 f(n) (a b)n 因为c n C n i ，倒序相加得 2f( n)=C ：(a n 1b ab n1)而 a n1b ab n12f(n )=(C ；c n1尹1 2?2X 1_ 1 4X1 E)1b.(88年全国联赛题) 1 1 又(a b)(--) a b2 且- a 2n VC °a n b n ，则 (x 0) f (1)f(n)(1占)r b rC11 n (1-4 21，试证：对每一个C ：a n 1b f(n )=C ：a n1br . nC n (ar n ra bn 1 「 nn)(a br b rc nabr b rC ；a n r b r4，故C n n b n ,C1ab n1 ,n 1nC n (abn 1ab n r ana b r ) (21bn2 . a n b n 2)(a r b n rnan4弓 1b),2n1，则a n rb r )(2n (a b)n2) 2n 1，所以 f(n) (2 n , n 2na b 22n — 2n — nn 2)2n ，即对每一个n N ,例4 简析 求证c n c ： 不等式左边c ；n ；：12. ------- 2n 1—2 2 2=n利用有用结论 求证(1 1)(1 1c ：n 12~ 简析特例(1 C ； c ；n 1n 口 c n，原结论成立•15 (1本题可以利用的有用结论主要有: 法1利用假分数的一个性质12n (n 1,n N). 2n 1 1 2 221)2n1.b a76"b a m2n 11 2n2 0,m0)可得2 彳 (1 法2 的) 1 2k 1例5是4 3 4 3 65 6 5 2n2n 1 2n )22n 1)2n 1即(1 3 41、 利用贝努利不等式 1 2 L (此处2k 1 「2k 1 n 2k 1 k 卩(1 x)n n 2, x 1 2k 1) 56 1 1)(1 -)(1 -) 3 5 N 3'、 1 nx(n 丄)得 2k 1n 2k 1k1.2k 12n 12n (2n 1)(1 ,n .2n 1. )i2n 1. 2n 1 2, x 1, x 0)的一个 “枝”加“叶”而编拟成 年全国高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。
均值不等式的简介（共五篇）
均值不等式的简介（共五篇）第一篇：均值不等式的简介1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均数：Qn=√(a1^2+a2^2+...+an^2)/n 这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn 的式子即为均值不等式。
目录均值不等式的一般形式：设函数D(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r)(当r不等于0时);(a1a2...an)^(1/n)(当r=0时）（即D(0)=(a1a2...an)^(1/n)）则有：当r 注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)由以上简化，有一个简单结论，中学常用2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√[(a^2+b^2)/2]编辑本段均值不等式的变形(1)对实数a,b，有a^2+b^2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)，a²+b²>0>-2ab(2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a×b)≥0，即(a+b)/2≥√(a×b)≥0(3)对负实数a,b，有a+b(4)对实数a,b，有a(a-b)≥b(a-b)(5)对非负实数a,b，有a²+b²≥2ab≥0(6)对实数a,b，有a²+b²;≥1/2*(a+b²)≥2ab(7)对实数a,b,c，有a²+b²+c²≥1/3*(a+b+c²;(8)对实数a,b,c，有a²+b²+c²≥ab+bc+ac(9)对非负数a,b，有a²+ab+b²≥3/4*(a+b)²;(10)对实数a,b,c，有(a+b+c)/3≥(abc)^(1/3)均值不等式方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。
均值不等式初二数学数学初中教育教育专区
均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式：公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数均值不等式概念：⑴对实数a,b，有a^2+b^2≥2ab （当且仅当a=b时取“=”号），a^2+b^2>0>-2ab⑵对非负实数a,b，有a+b≥2√（a×b）≥0，即（a+b)/2≥√（a×b）≥0⑶对负实数a,b，有a+b<-2√（a*b)<0⑷对实数a,b，有a(a-b）≥b(a-b)⑸对非负实数a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0⑹对实数a,b，有a^2+b^2≥1/2*(a+b）^2≥2ab⑺对实数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2⑻对实数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac⑼对非负数a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^2⑽对非负数a,b,c，有（a+b+c)/3≥（abc)^(1/3)方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。
引理：设A≥0，B≥0，则（A+B)^n≥A^n+nA^(n－1)B。
注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0，有兴趣的同学可以想想如何证明（用数学归纳法）。
原题等价于：（（a1+a2+…+an)/n)^n≥a1a2…an。
当n=2时易证；假设当n=k时命题成立，即（（a1+a2+…+ak)/k)^k≥a1a2…ak。
那么当n=k+1时，不妨设a(k+1）是a1，a2 ，…，a(k+1）中最大者，则k a(k+1）≥a1+a2+…+ak。
设s=a1+a2+…+ak，{[a1+a2+…+a(k+1)]/(k+1)}^(k+1)={s/k+[k a(k+1）－s]/[k(k+1)]}^(k+1)≥（s/k)^(k+1)+(k+1)(s/k)^k[k a(k+1）－s]/k(k+1) 用引理=(s/k)^k* a(k+1)≥a1a2…a(k+1）。
均值不等式 公式
均值不等式公式均值不等式是数学中的一个重要定理，它在解决不等式问题时起着重要的作用。
均值不等式是一种用于比较不等式两边的平均值的方法，它可以帮助我们找到不等式的最优解。
在本文中，我们将介绍均值不等式的概念、证明和应用。
让我们来了解一下均值不等式的定义。
均值不等式是指对于任意非负实数a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：(a1 + a2 + ... + an)/n ≥ (a1^n + a2^n + ... + an^n)^(1/n)其中，n为正整数，且不等号在n≥2时取等号的情况下成立。
接下来，我们来证明均值不等式。
我们可以使用数学归纳法来证明这个不等式。
首先，当n=2时，不等式变为：(a1 + a2)/2 ≥ (a1^2 + a2^2)^(1/2)这是平方均值不等式，可以通过平方和公式进行证明。
假设不等式对于n=k成立，即：(a1 + a2 + ... + ak)/k ≥ (a1^k + a2^k + ... + ak^k)^(1/k)我们需要证明不等式对于n=k+1也成立，即：(a1 + a2 + ... + ak + ak+1)/(k+1) ≥ (a1^(k+1) + a2^(k+1) + ...+ ak^(k+1) + (ak+1)^(k+1))^(1/(k+1))为了证明这个不等式，我们可以利用凸函数的性质和Jensen不等式。
由于凸函数性质的限制，我们需要假设a1, a2, ..., ak+1大于等于0。
然后，我们可以将不等式两边都取对数，得到：(k/(k+1)) * ln((a1 + a2 + ... + ak)/k) + (1/(k+1)) * ln(ak+1) ≥ ln((a1^(k+1) + a2^(k+1) + ... + ak^(k+1) + (ak+1)^(k+1))^(1/(k+1)))由于ln(x)是凸函数，根据Jensen不等式，我们知道：(k/(k+1)) * ln((a1 + a2 + ... + ak)/k) + (1/(k+1)) * ln(ak+1) ≥ ln(((a1 + a2 + ... + ak)/k)^(k/(k+1)) * (ak+1)^(1/(k+1)))进一步简化得到：(k/(k+1)) * ln((a1 + a2 + ... + ak)/k) + (1/(k+1)) * ln(ak+1) ≥ ln(((a1 + a2 + ... + ak + ak+1)/(k+1)))对两边同时取指数函数，即可得到原始不等式成立。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
运用均值不等式的八类拼凑方法利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点。
在运用均值不等式解题时,我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形。
均值不等式等号成立条件具有潜在的运用功能。
以均值不等式的取等条件为出发点，为解题提供信息，可以引发出种种拼凑方法。
笔者把运用均值不等式的拼凑方法概括为八类。
一、 拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。
例１ 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。
解：()()()()()()222111111y xx x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=•••-≤=⎪ ⎪⎝⎭。
当且仅当112x x +=-，即13x =时，上式取“=”。
故max 3227y =。
评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。
例2求函数)01y x x =<<的最大值。
解：y ==。
因()()32222221122122327x x x x x x ⎛⎫++- ⎪••-≤=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当()2212x x =-，即3x =时，上式取“=”。
故max y =。
评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。
例3 已知02x <<，求函数()264y x x =-的最大值。
解：()()()222222236418244y xx x x x =-=⨯--()()3222324418818327x x x ⎡⎤+-+-⨯⎢⎥≤=⎢⎥⎣⎦。
当且仅当()2224x x =-，即3x ==”。
故max3218827y ⨯=，又max 0,y y >=。
二、 拼凑定积通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件例4 设1x >-，求函数()()521x x y x ++=+的最小值。
解：()())14114415159111x x y x x x x ++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦==+++≥+=+++。
当且仅当1x =时，上式取“=”。
故min 9y =。
评注：有关分式的最值问题，若分子的次数高于分母的次数，则可考虑裂项，变为和的形式，然后“拼凑定积”，往往是十分方便的。
例5 已知1x >-，求函数()()22413x y x +=+的最大值。
解：1,10x x >-∴+>，()()()()22412424342241414141x y x x x x +∴==≤=⨯+++++++++。
当且仅当1x =时，上式取“=”。
故max 3y =。
评注：有关的最值问题，若分子的次数低于分母的次数，可考虑改变原式的结构，将分子化为常数，再设法将分母“拼凑定积”。
例6 已知0x π<<，求函数2cos sin xy x -=的最小值。
解：因为0x π<<，所以022x π<<，令tan 2xt =，则0t >。
所以211cos 113133sin sin 2222x t t ty t x x t t t -+=+=+=+≥=。
当且仅当1322tt =，即33t x π==时，上式取“=”。
故min y = 评注：通过有理代换，化无理为有理，化三角为代数，从而化繁为简，化难为易，创造出运用均值不等式的环境。
三、 拼凑常数降幂例7 若332,,a b a b R ++=∈，求证：2a b +≤。
分析：基本不等式等号成立的条件具有潜在的运用功能，它能在“等”与“不等”的互化中架设桥梁，能为解题提供信息，开辟捷径。
本题已知与要求证的条件是1a b ==，为解题提供了信息，发现应拼凑项，巧妙降次，迅速促成“等”与“不等”的辩证转化。
证明：33333333333333113113,113113a a a b b b ++≥=++≥=。
()33463, 2.a b a b a b ∴++=≥+∴+≤当且仅当1a b ==时，上述各式取“=”， 故原不等式得证。
评注：本题借助取等号的条件，创造性地使用基本不等式，简洁明了。
例8 若332,,x y x y R ++=∈，求225x y xy ++的最大值。
解：333333311,311,311,x x x x y y y y x y x y ⨯⨯⨯≤++⨯⨯⨯≤++⨯⨯⨯≤++()()33333333221151775733x x y y x y x y x y xy ++++++++++∴++≤==。
当且仅当1a b ==时，上述各式取“=”，故225x y xy ++的最大值为7。
例9 已知,,0,1a b c abc >=，求证：333a b c ab bc ca ++≥++。
证明：333333131,131,131a b a b b c b c c a c a ++≥⨯••++≥⨯••++≥⨯••，()()333323a b c ab bc ca ∴+++≥++，又3ab bc ca ++≥=，()()3333333223,a b c ab bc ca a b c ab bc ca ∴+++≥+++∴++≥++。
当且仅当1a b c ===时，上述各式取“=”，故原不等式得证。
四、 拼凑常数升幂例10 若,,a b c R +∈，且1a b c ++=≤。
分析：已知与要求证的不等式都是关于,,a b c 的轮换对称式，容易发现等号成立的条件是13a b c ===证明：()()()161616161616255,255,255333333a ab bc c +≤+++≤+++≤++， (()1623132.3a abc ∴+≤+++=≤。
当且仅当13a b c ===时，上述各式取“=”，故原不等式得证。
例11 若2,,,a b a b R ++=∈，求证：332a b +≥。
证明：33333331111,31111,a a b b ⨯⨯≤++⨯⨯≤++()3334a b a b ∴+≤++。
又332,2a b a b +=∴+≥。
当且仅当1a b ==时，上述各式取“=”，故原不等式得证。
五、 约分配凑通过“1”变换或添项进行拼凑，使分母能约去或分子能降次。
例12 已知28,,0,1x y x y>+=，求xy 的最小值。
解：222846446413223264y x y x xy xy xy x y x y x y ⎛⎫==+=++≥+= ⎪⎝⎭。
当且仅当2812x y ==时，即 4.16x y ==，上式取“=”，故()min 64xy =。
例13 已知01x <<，求函数411y x x=+-的最小值。
解：因为01x <<，所以10x ->。
所以()()414141159111x x y x x x x x x x x -⎛⎫=+=+-+=++≥⎡⎤ ⎪⎣⎦---⎝⎭。
当且仅当()411x x x x -=-时，即23x =，上式取“=”，故min 9y =。
例14 若,,a b c R +∈，求证()22212a b c a b c b c c a a b ++≥+++++。
分析：注意结构特征：要求证的不等式是关于,,a b c 的轮换对称式，当a b c ==时，等式成立。
此时22a ab c =+， 设()2a m b c +=，解得14m =，所以2a b c +应拼凑辅助式4b c+为拼凑的需要而添，经此一添，解题可见眉目。
证明：2222222,2,2444444a b c a b c b c a b c a c a b c a ba b c b c b c c a c a a b a b +++++++≥=+≥=+≥=++++++。
()22212a b c a b c b c c a a b ∴++≥+++++。
当且仅当a b c ==时，上述各式取“=”，故原不等式得证。
六、 引入参数拼凑某些复杂的问题难以观察出匹配的系数，但利用“等”与“定”的条件，建立方程组，解地待定系数，可开辟解题捷径。
例15 已知,,x y z R +∈，且1x y z ++=，求149x y z++的最小值。
解：设0λ>，故有()10x y z λ++-=。
()1491491491x y z x x x x y z x y z x y zλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++=+++++-=+++++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭λλ≥=。
当且仅当149,,x y z x y zλλλ===同时成立时上述不等式取“=”，即x y z ===，代入1x y z ++=，解得36λ=，此时36λ=，故149x y z++的最小值为36。
七、 引入对偶式拼凑根据已知不等式的结构，给不等式的一端匹配一个与之对偶的式子，然后一起参与运算，创造运用均值不等式的条件。
例16 设12,,,n a a a ⋅⋅⋅为互不相等的正整数，求证31222221111123123n a a a a n n+++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+。
证明：记3122222123n n a a a a b n =+++⋅⋅⋅+，构造对偶式1231111nn d a a a a =+++⋅⋅⋅+， 则3122222123111111112123123n n n n a a a a b d a a a n a n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++++++⋅⋅⋅++≥+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当且仅当(),i a i i N i n +=∈≤时，等号成立。
又因为12,,,n a a a ⋅⋅⋅为互不相等的正整数， 所以1111123n d n ≤+++⋅⋅⋅+，因此1111123n b n≥+++⋅⋅⋅+。
评注：本题通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式。
八、 确立主元拼凑在解答多元问题时，如果不分主次来研究，问题很难解决；如果根据具体条件和解题需要，确立主元，减少变元个数，恰当拼凑，可创造性地使用均值不等式。
例17 在ABC ∆中，证明1cos cos cos 8A B C ≤。
分析：cos cos cos A B C 为轮换对称式，即,,A B C 的地位相同，因此可选一个变元为主元，将其它变元看作常量（固定），减少变元个数，化陌生为熟悉。